Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion f zu ermitteln Diese leitung wurde dnn ls Steigung eines Funktionsgrphen interpretiert In diesem schnitt soll die ufgenstellung umgekehrt werden, d h wir wollen üerlegen, o ds Prolem Zu einer gegeenen Funktion f ist eine Funktion F zu estimmen, deren leitungsfunktion F gleich f ist gelöst werden knn Ds ufsuchen solcher Funktionen ezeichnen wir in der Mthemtik ls Bilden einer Stmmfunktion Mit Hilfe dieser Stmmfunktion führen wir dnn ds unestimmte und estimmte Integrl ein Dem estimmten Integrl kommt eine esondere geometrische Bedeutung zu: Mit ihm lssen sich Flächen mit nicht grdliniger Begrenzung estimmen Stmmfunktion und Integrl Beispiel (Bestimmung einer Stmmfunktion Gegeen ist die Funktion f mit f ( Es ist eine Funktion F zu ermitteln, für die gilt: F '( f ( Wir suchen in der Vielzhl von Funktionen, die wir in der Differentilrechnung geleitet hen, nch einer Funktion, deren leitung ist Die Funktion F ( ht diese Eigenschft, denn es ist Definition (Stmmfunktion F '( f ( Besitzen die Funktionen f und F einen gemeinsmen Definitionsereich gilt so heißt F Stmmfunktion von f (in F '( f ( für lle IDf, ID f ID f und nmerkung Jede gnzrtionle Funktion esitzt eine Stmmfunktion er: Nicht jede Funktion esitzt eine Stmmfunktion Der Vorgng des ufsuchens einer Stmmfunktion zu einer gegeenen Funktion wird ls Integrtion ezeichnet T: Zusmmenhng Differentition und Integrtion gegeen gesucht Funktion f differenzi eren leitungsfunktion f ' Funktion f integrieren Stmmfunktion F mit F ' f Eine Stmmfunktion F zu einer Funktion f können wir oft us unseren Erfhrungen eim Differenzieren gewinnen, wenn wir in der gegeenen Funktion f die leitung einer uns eknnten Funktion F erkennen Wir kontrollieren ds Ergenis, indem wir F differenzieren und mit f vergleichen T7: Gegenüerstellung einiger Funktionen und ihrer Stmmfunktionen Funktion f f ( f ( f ( Stmmfunktion F F ( F ( F ( f ( F ( f ( F ( f ( + F ( + Integrtio (lt Wiederherstellen eines Gnzen; integrre (lt - wiederherstellen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Nchdem wir den Zugng zum Bilden einer Stmmfunktion üer ds Differenzieren gefunden hen, stellen wir Ihnen n dieser Stelle einige Regeln zum Bilden einer Stmmfunktion vor Diese Regeln ergeen sich unmittelr us den Regeln zum Differenzieren Bildet mn lso jeweils die leitung der Funktion F, so erhält mn die ursprüngliche Funktion f Dher werden wir uf die Nottion der einzelnen Beweise verzichten Stz (Bestimmung einer Stmmfunktion einer konstnten Funktion Ist f eine konstnte Funktion mit f ( c und c IR, dnn ist F mit eine Stmmfunktion von f F( c Stz (Bestimmung einer Stmmfunktion ei Potenzfunktionen Ist f eine Potenzfunktion mit dnn ist F mit eine Stmmfunktion von f n f ( und n IN, F ( n+ n+ Wir estimmen lso eine Stmmfunktion einer Potenzfunktion durch erhöhen des Eponenten um : n+ dividieren durch diesen um erhöhten Eponenten: n+ n+ Beispiel (konstnte Fktoren ei Stmmfunktionen F ( ist Stmmfunktion von f ( G( ist Stmmfunktion von g ( Stz (Stmmfunktionen von Summen und Differenzen Ist F Stmmfunktion einer Funktion f und F Stmmfunktion einer Funktion f, so ist die Funktion F mit eine Stmmfunktion zu F ( F ( + F ( f f ( + f ( ( Ist F Stmmfunktion einer Funktion f und F Stmmfunktion einer Funktion f, so ist die Funktion F mit eine Stmmfunktion zu F( F ( F ( f f ( f ( ( Beispiel (Stmmfunktion einer Summe f ( ht F ( ls eine Stmmfunktion, f ( ht F ( ls eine Stmmfunktion Für g ( + ist somit G ( + eine Stmmfunktion Stz (konstnte Fktoren ei Stmmfunktionen Ist F eine Stmmfunktion zu f und c IR, so ist die Funktion G mit eine Stmmfunktion der Funktion g mit G( c F( g( c f ( Stz (Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion Eine Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion f mit ist F mit f ( e F ( e reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Beispiel (Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion f ( e ht F( e ls eine Stmmfunktion Beim Bilden der Umkehropertion ist stets die Frge der Eindeutigkeit interessnt In unserem Flle lso die Frge: Lssen sich für die Funktion f ( neen F ( noch weitere Stmmfunktionen ngeen? Dei ezeichnen wir f ( ls Integrndenfunktion oder kurz Integrnd, ls Integrtionsvrile, c ls Integrtionskonstnte und d ls Differentil des unestimmten Integrls f ( d - gelesen ls: Integrl üer f von d Dies trifft zu; denn eispielsweise sind uch F ( + oder F ( Stmmfunktionen zu f (, d die konstnten Summnden eim Differenzieren wegfllen Fzit: Wenn es zu einer Funktion f eine Stmmfunktion F git, so eistieren unendlich viele weitere Stmmfunktionen, die sich nur um eine dditive Konstnte unterscheiden Stz (Eindeutigkeit von Stmmfunktionen Es sei F eine Stmmfunktion von f in ID f ; dnn ist F genu dnn eine Stmmfunktion von f, wenn es eine Zhl c ( c IR git, so dss gilt: Ds unestimmte Integrl F F ( + c ( Wir hen festgestellt, dss eine gegeene Funktion f eine gnze Schr von Stmmfunktionen esitzt Für die Menge ller Stmmfunktionen einer gegeenen Funktion f führen wir einen neuen Begriff ein Definition (unestimmtes Integrl Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f heißt unestimmtes Integrl von f Wir schreien: { F( F'( f ( } f ( d Wollen wir die Mengenschreiweise vermeiden, so können wir uch nur mit einem Repräsentnten reiten: nmerkung Ds neu eingeführte Zeichen wird ls Integrlzeichen ezeichnet Es knn nie lleine mit einer Funktion stehen Zu jedem Integrlzeichen gehört immer die nge des Differentils, ds festlegt, nch welcher Vrilen integriert werden soll Beispiel: (Bestimmung eines unestimmten Integrls Wir ermitteln ds unestimmte Integrl d Dei ist f ( der Integrnd und die Integrtionsvrile, d h es soll nch integriert werden Wir wissen ereits, dss die Funktion eine Stmmfunktion von F ( f ( ist Somit ergit sich ls Lösung unserer ufge: d + c mit c IR Proe: F ( + c F' ( f ( Hinweis Für die Bestimmung der unestimmten Integrle gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Bestimmung der Stmmfunktionen f ( d F( + c mit F '( f ( und c IR reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Stz (Regeln für die Bestimmung von Stmmfunktionen Beim Integrieren leien konstnte Fktoren erhlten: f ( d f ( d Für Funktionen f mit f ( und n IN gilt: n n d n + n + + c Für die Summe zw Differenz zweier gnzrtionler Funktionen f und g mit den Stmmfunktionen F und G gilt: ( f ( + g( d f ( d + g( d F( + G( + c ( f ( d f ( d g( d F( G( + c Ds estimmte Integrl Ds estimmte Integrl wird durch die nge der sogennnten Integrtionsgrenzen festgelegt Diese werden in die Stmmfunktion eingesetzt, und die so entstndenen Funktionswerte sutrhiert, so dss ds Ergenis ds estimmte Integrl schließlich eine Zhl ist (een die Differenz zweier Funktionswerte der Stmmfunktion Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (Definition des estimmten Integrls Ist f eine im Intervll [ ; ] stetige Funktion und F eine zu f zugehörige Stmmfunktion, so gilt Dei ezeichnen wir f f ( d ls estimmtes Integrl, ( d F( F( und ls Integrtionsgrenzen und [ ; ] ls Integrtionsintervll Beispiele (Bestimmung unestimmter Integrle Es gilt stets: c IR d + c, Ds estimmte Integrl f ( d d + c, ( + d + + c ( u + du u + u + c ( u + d u + + c ( u + du u + u + c,,, ist eine eindeutig festgelegte Zhl, die von der Funktion f und den Integrtionsgrenzen hängt Berechnung des estimmten Integrls in Kurzform usgehend von der Definition des estimmten Integrls, empfehlen wir folgende Vorgehensweise ei der Berechnung des estimmten Integrls ( d I eine Stmmfunktion F von f estimmen, II den Funktionswert F ( n der oeren Grenze erechnen, III den Funktionswert F ( n der unteren Grenze erechnen und IV die Differenz F( F( estimmen f reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Wie die leitungsfunktion f ' einer Funktion f, so ht uch ds estimmte Integrl eine geometrische Bedeutung für die Funktion f, die wir im nächsten Kpitel erläutern werden Bevor wir uns mit dieser efssen, wollen wir zunächst einige Regeln zur Berechnung von estimmten Integrlen zusmmenstellen Die hier ufgeführten Regeln ergeen sich unmittelr us den isher ehndelten Regeln für unestimmte Integrle zw für die Bildung von Stmmfunktionen Stz (Regeln für ds Ermitteln von estimmten Integrlen Stimmen oere und untere Grenze üerein, so ist ds Integrl Null: Intervlldditivität: Fktorregel: f Summenregel / Differenzregel: ( d c f ( d + f ( d f ( d k f ( d k f ( d [ f ( ± g( ] d f ( d ± g( d Um eim Berechnen eines estimmten Integrls die Bestimmung der Stmmfunktion und die Berechnung des Integrls in einer Rechnung durchführen zw ufschreien zu können, wird die folgende Schreiweise eingeführt: c Beispiele (Berechnung estimmter Integrle Beispiel : ( Beispiel : ( Beispiel : ( d [ ] ( ( ( [ + ] ( ( + ( ( + ( + d Beispiel : + ( + ( + d ( d + ( + d ( + d [ + ] Beispiel : ( + ( + ( + + + + d + ( + d ( d [ + ] ( + + + ( ( + ( ( + ( ( + ( d [ F( ] F( F( f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Integrl- und Flächenerechnung Einführung in die Integrlrechnung Eine nwendung der Integrlrechnung ist die Interprettion des estimmten Integrls ls Mßzhl der Fläche unterhl eines Funktionsgrphen Wir erhlten so die Möglichkeit, unregelmäßige Flächen reltiv einfch estimmen zu können Hierei wird unterschieden, o eine Fläche von dem Grph einer Funktion und der -chse eingeschlossen wird oder von zwei Funktionsgrphen D die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen nur eine wndlung der Berechnungen der Fläche zwischen Grph und -chse ist, werden wir zuerst diese Flächen ehndeln Bestimmung der Fläche zwischen einem Funktionsgrphen und der -chse Wie ereits in der Einführung zu diesem Kpitel ngekündigt wurde, können estimmte Integrle zur Berechnung von Flächen unterhl eines Funktionsgrphen von f( genutzt werden Dieser Zusmmenhng wird nhnd einiger einfcher Funktionen verdeutlicht ( T is T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei ( f ( 9: Fläche zwischen dem Grphen von f mit ( f und der -chse üer I [ ;] geometrische Flächenerechnung 9 f üer I [ ;] estimmtes Integrl f ( d d [ ] 9 Einführung in die Integrlrechnung T9: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f f ( 7: Fläche zwischen dem Grphen von f mit f ( + und der -chse I ; üer [ ] geometrische Flächenerechnung 9 7,7 ( üer I [ ;] T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei ( + f ( + 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( + und der -chse T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f - üer I [ ; ] f ( geometrische Flächenerechnung +, f üer I [ ; ] estimmtes Integrl d ( 9 [ ] ( üer I [ ;] ( 7,7 estimmtes Integrl ( + d [ ] + ( + geometrische Flächenerechnung 9 7,7 ( +, estimmtes Integrl ( d 7 ( 9 [ ],7 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( und der -chse üer I [ ;] reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f geometrische Flächenerechnung ( üer I [ ;] estimmtes Integrl Beispiele, und ( - Wir wissen ereits von den vorherigen Beispielen einiges üer die Funktion f mit f ( : Es ergeen sich üer dem Intervll [ ;] I ei der geometrischen Berechnung der Fläche zwischen dem Funktionsgrphen und der -chse und dem Integrl üer [ ;] Üer dem Intervll [ ;] f ( 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( und der -chse üer I [ ;] I dieselen Werte 9 7,7 I unterscheiden sich die Ergenisse lediglich durch ds negtive Vorzeichen eim Integrl Dher erscheint es sinnvoll, ei einem Funktionsgrphen, der zum Teil oerhl der -chse und zum nderen Teil unterhl der -chse verläuft, die Teilflächen, die oerhl zw unterhl der -chse liegen, getrennt zu erechnen ( 7 Nun muss lediglich ds negtive Vorzeichen eim Integrl der Teilfläche unterhl der -chse eseitigt werden, dnn ergit die Summe der eiden Teilflächen (Teilintegrle die Gesmtfläche zw deren Flächenmßzhl Zu diesem Zweck wird die sogennnte Betrgsfunktion enutzt: Definition (Betrg Der Betrg einer reellen Zhl ist definiert durch die Bedingung für für < [ d ] ( 9 ( 9 Der Betrg einer reellen Zhl ist lso stets der positive Zhlenwert dieser Zhl Somit gilt für die Flächenestimmung us T: d +,7 +,7,7 d Hinweis Genu genommen wird stets die Mßzhl der jeweiligen Teilfläche erechnet Die in den isher etrchteten Beispielen drgestellten Zusmmenhänge zwischen der geometrischen Flächenerechnung und der Integrlrechnung finden ihren usdruck in der nun folgenden Definition: Definitionen (Flächenmßzhl und Integrl Ist f eine üer dem Intervll [ ] ; definierte integrierre Funktion mit f ( für lle us dem Intervll [ ; ] (d h es liegt keine Nullstelle von f in dem Intervll, so verstehen wir unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche den Betrg des estimmten Integrls mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d Durch die oige Definition werden die folgenden eiden Spezilfälle erfsst: Ist f eine üer dem Intervll [ ; ] definierte integrierre Funktion und gilt f ( für lle [ ; ] (d h der Grph von f verläuft in dem Intervll vollständig oerhl der -chse, so versteht mn unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche ds estimmte Integrl mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Ist f eine üer dem Intervll [ ; ] definierte integrierre Funktion und gilt f ( für lle [ ; ] (d h der Grph von f verläuft in dem Intervll vollständig unterhl der -chse, so versteht mn unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche, den negtiven Wert des estimmten Integrls mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d 7 zeigt, dss die zu erechnende Fläche vollständig unterhl der -chse liegt Dher knn die zugehörige Flächenmßzhl wie folgt erechnet werden: [ + ] ( ( ( + ( ( ( + ( ( ( + d ( + + ( 9 + 9 + Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise erfolgen nun zwei Beispielrechnungen: Beispiel (Flächenerechnung ei einer Fläche, die vollständig unterhl der -chse liegt Gegeen ist: f ( + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll I [ ; ] eingeschlossen ist Die Flächenmßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der - chse im Intervll I [ ; ] eingeschlossen wird (mrkierte Fläche in 7, eträgt Flächeneinheiten (FE Beispiel (Flächenerechnung ei einer Fläche, die unterhl und oerhl der -chse liegt Gegeen ist: f ( + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen ist 7: Fläche zwischen ( + f und -chse im Intervll I [ ; ] 7: Fläche zwischen ( + f und -chse im Intervll I [ ;] reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In 7 wird deutlich, dss ei eine Nullstelle vorliegt Die zu erechnende Fläche liegt für ds Teilintervll zwischen und unterhl der -chse und für ds Teilintervll zwischen und oerhl der -chse Diese eiden Teilflächen sind getrennt zu erechnen ( + d [ + ] ( ( + ( ( ( ( + ( ( ( + ( + + 9 [ + ] ( ( + ( ( ( ( + ( ( ( + d ( 9 + 9 ( + ( 9 Beispiel (Flächenerechnung ei der ntürlichen Eponentilfunktion Gegeen ist: f ( e + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen ist Wir wissen ereits, dss der Grph der ntürlichen Eponentilfunktion vollständig oerhl der -chse verläuft Die ddition der Konstnten entspricht einer Verschieung des Funktionsgrphen um zwei Einheiten nch oen, so dss uch die hier etrchtete Funktion f mit f ( e + vollständig oerhl der -chse verläuft Somit ist lediglich eine Teilfläche zu erechnen (e [ e + ] ( ( ( e + ( e + ( + d ( (,9 + ( +,, Die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse im Intervll [ ;] I eingeschlossen wird, eträgt demnch, FE Dmit erhlten wir die Gesmtfläche + + ges Die Mßzhl der Gesmtfläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse im Intervll [ ;] demnch I eingeschlossen wird (mrkierte Fläche in 7, eträgt FE Generell gilt: Liegt keine Skizze des Funktionsgrphen vor, muss stets rechnerisch üerprüft werden, o in dem zu etrchtenden Intervll I [ ; ] eine Nullstelle der untersuchten Funktion liegt Liegt eine oder liegen mehrere Nullstellen in dem Intervll, so muss zunächst die Teilfläche, die von der linken (unteren Intervllgrenze is zur ersten Nullstelle reicht, erechnet werden ( 7 nschließend erechnen wir flls erforderlich die Teilfläche von der ersten Nullstelle is zur nächsten Nullstelle Gegeenenflls wird dies is zur letzten Nullstelle im etrchteten Intervll fortgeführt Schließlich muss noch die Teilfläche von der letzten Nullstelle im Intervll I [ ; ] is zur rechten (oeren Intervllgrenze erechnet werden reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung y Dmit esitzt der Grph von f N ( / und N ( / ls Schnittpunkte mit -chse Keine der Nullstellen liegt in dem Intervll I [ ;], lso gilt Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bereitung von Feldfunktionen Ojekte zu erstellen Die im Intervll I [ ;] vom Grph der Funktion f und der -chse eingeschlossene Fläche eträgt FE 7: Funktion mit mehreren Teilflächen üer einem Intervll I [ ; ] D wir hier dvon usgehen, dss der Verluf des Grphen nicht eknnt ist, weiß mn zunächst nicht, o die etrchtete Teilfläche oerhl oder unterhl der - chse verläuft Um weitere Untersuchungen des Kurvenverlufs zu vermeiden, knn mn stets die Beträge der zu erechnenden Integrle estimmen uf diese Weise ist sichergestellt, dss ds Ergenis stets eine positive Flächenmßzhl ist Dieses Berechnungsprinzip soll in den folgenden Beispielen verdeutlicht werden Beispiel (Fläche üer einem Intervll Bestimmen Sie für die Funktion f mit f ( die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen wird Zunächst muss üerprüft werden, o der Grph von f in dem Intervll I vollständig oerhl oder unterhl der -chse verläuft Dzu werden zuerst die Nullstellen von f estimmt Beispiel (Fläche üer einem Intervll Bestimmen Sie für die Funktion h mit h ( + die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von h und der -chse üer dem Intervll I [ ;] eingeschlossen wird Zunächst muss uch hier üerprüft werden, o der Grph von h in dem Intervll I vollständig oerhl oder unterhl der -chse verläuft Dzu werden die Nullstellen von h estimmt h( ( + + Dmit esitzt der Grph von f ls Schnittpunkte mit -chse ( p q Formel N( /, N(/ und N ( / Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bereitung von Feldfunktionen Ojekte zu erstellen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Die Nullstellen liegen im Intervll I [ ; ] und, lso gilt h d + h( d + ges + + ( h( d Für ergit sich folgende Rechnung: ( + d [ + ] ( + ( ( ( + ( ( ( (, Somit gilt für die Gesmtfläche ges + +, +, +, lso ist die Gesmtfläche FE groß Ein Sonderfll liegt vor, flls wir den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die der Funktionsgrph mit der -chse einschließt erechnen sollen (77 Bei dieser ufgenstellung wird stets die Mßzhl derjenigen Fläche erechnet, die vom Funktionsgrphen und der -chse vollständig eingeschlossen wird Jede zu erechnende Teilfläche wird von zwei Nullstellen egrenzt Eine solche Fläche knn somit nur estehen, flls die etrchtete Funktion mindestens zwei Nullstellen esitzt y Für errechnen wir: [ + ] ( + d ( + ( ( ( + ( ( +, erechnet sich wie folgt: [ + ] ( + d ( + ( + ( (,, + + 77: Flächen, die vom Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossen werden Die Flächenmßzhl der Fläche *, die der Funktionsgrph in 77 mit der -chse einschließt, eträgt demnch: * f ( d + f ( d ( 7,9 (,, reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Ds edeutet Folgendes für ds llgemeine Vorgehen: Soll der Flächeninhlt (d h die Flächenmßzhl der Fläche, die der Funktionsgrph einer Funktion f mit der -chse einschließt, erechnet werden, so müssen wir zunächst die Nullstellen dieser Funktion erechnen Für die Flächenmßzhl estimmen wir dnn unhängig von eventuell in nderen ufgenteilen erücksichtigten Intervllen ds Integrl I üer f, dessen Grenzen die kleinste und die zweitkleinste Nullstelle ilden, und ds Integrl I üer f, dessen Grenzen die zweitkleinste und die drittkleinste Nullstelle von f ilden Dieses führt mn is zur letzten Nullstelle fort Beispiel (Bestimmung der vom Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossenen Fläche Gegeen sei die Funktion f mit f ( + Einführung in die Integrlrechnung [ + ] + [ + ] ( F( F( ( 7 ( 9 + 7 + + F( F( 7 Demnch esitzt die vom Funktionsgrphen von f ( + und der -chse eingeschlossene Fläche einen Flächeninhlt von FE Für die Nullstellen der Funktion f gilt: Skizze: f ( ( + ( + - - - f ( + Polynomdivision Bestimmung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen Wir wollen uns hier zunächst mit denjenigen Flächen eschäftigen, die von zwei Funktionsgrphen vollständig eingeschlossen werden Um zu verdeutlichen, welche Flächen in diesem Kpitel ehndelt werden, und wie mn diese erechnet, stellen wir drei ildungen vorn, in denen verdeutlicht wird, wie die Mßzhl der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche mit Hilfe der isher ehndelten Flächen zwischen Funktionsgrphen und -chse erechnet werden knn Die Funktionsterme der Beispielsfunktionen luten: lso gilt: 7: Fläche, die von f ( + und der -chse eingeschlossen wird f ( + und g ( + 7, ls Integrtionsgrenzen wurden die eiden Schnittstellen der Funktionsgrphen f ( d + ( + f ( d d + ( + d gewählt und reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung T: Zusmmenhng von Flächen zwischen Grphen und -chse und der von zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche Fläche zwischen g und -chse I ; : im Intervll [ ] g( d Fläche zwischen f und -chse I ; : im Intervll [ ] f ( d Fläche zwischen f und g f ( d d Schnittpunkte hinweg integriert werden Sie müssen lso vor Beginn der eigentlichen Flächenerechnung zunächst estimmt werden Die Schnittpunkte der eiden Funktionsgrphen lssen sich uch ls Nullstellen der Differenzfunktion uffssen Ds edeutet für die Berechnung, dss wir zuerst die Differenzfunktion ilden, von dieser die Nullstellen estimmen und dnn die im vorherigen Kpitel eschrieenen Berechnungen durchführen Besitzen die eiden Funktionsgrphen mehr ls zwei Schnittstellen, so werden dementsprechend mehr Teilflächen eingeschlossen, die nch den oen eschrieenen Verfhren erechnet werden können 79: g( d : f ( d : Wir sehen, dss die von zwei Funktionsgrphen eingeschlossen Fläche nichts Weiteres ls die Differenz von den zwei zwischen den jeweiligen Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossenen Flächen ist ls gemeinsme Integrtionsgrenzen dienen die -Koordinten der Schnittpunkte der eiden Funktionsgrphen Stz (Bestimmung der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche Gegeen seien zwei stetige Funktionen f und g und seien ferner zwei Schnittstellen der eiden Funktionsgrphen Dnn gilt für die Fläche, die zwischen den eiden Schnittstellen und von den eiden Funktionsgrphen eingeschlossen ist reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen ( f ( f ( d d d Ähnlich wie ei der Fläche zwischen Funktionsgrphen und -chse die Nullstellen echtet werden müssen, müssen wir uch ei der Berechnung der Fläche, die von zwei Grphen eingeschlossen wird, die Schnittstellen echten: Eine Teilfläche wird nur dnn von den eiden Grphen vollständig eingeschlossen, wenn mindestens zwei Schnittstellen vorhnden sind uch hier drf nicht üer die Beispiel (Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die von Grphen der Funktionen f mit f ( und g mit g ( eingeschlossen wird Zunächst muss festgestellt werden, wo sich die Grphen von f und g schneiden Somit gilt f ( g( ( + + ( ± reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen ( f ( d + ( f ( ( ( d + ( ( d d
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung ( d + ( [ ] [ ] + d y f ( lso ( + ( + Die von den Funktionsgrphen von f und g eingeschlossene Fläche esitzt einen Flächeninhlt von FE Hinweis: Die Bestimmung der Schnittstellen erfolgt stets durch Gleichsetzen der Funktionsterme nschließend wird die Gleichung so umgeformt, dss uf einer Seite der Gleichung Null steht Diese Gleichung wird dnn gelöst Folgen wir diesem nstz, so hen wir, sold uf einer Seite der Gleichung die Null erreicht wird, eine Differenzfunktion der eiden zu etrchtenden Funktionen geildet Diese Differenzfunktion knn dnn uch ls Integrndenfunktion enutzt werden Dies knn uch eim oigen Beispiel eochtet werden: f ( g( f ( - - - - - - g ( : Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen in einem Intervll I [, ] Wir hlten fest: Für jede Teilfläche wird die untere von der oeren Funktion sutrhiert und die Differenzfunktion integriert lle Teilintegrle werden summiert lle Flächen hen solute Beträge ls Mßzhlen Es drf nicht üer die Schnittpunkte hinweg integriert werden Bei Funktionen, deren Grphen sich schneiden, und ei denen ein Intervll [ ] Grphen im Intervll I [ ; ] I ; zur Flächenestimmung vorgeen ist, wird die Fläche zwischen den folgendermßen erechnet:, dnn entsprechend den 79 is ( f ( d + ( f ( d + ( f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Beispiel (Mßzhl der zwischen zwei Grphen eingeschlossenen Fläche üer einem Intervll I Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen der Funktionen f mit f ( und h mit h( eingeschlossen wird üer dem Intervll I [ ; ] Zunächst müssen die Schnittstellen der eiden Funktionsgrphen estimmt werden f ( h( ( + + :, +,,7 + +, 9, h( usklmmern p q Formel (, + 9,,, Die Schnittstelle, liegt innerhl des Intervlls I und die Schnittstelle ildet die rechte Intervllgrenze Somit müssen folgende Teilflächen erechnet werden:, ( f ( h( + d ( f ( h(, + d, (, (,, + d (, (9 9, + d ( (,, Für die gesuchte Mßzhl der vorgegeenen Fläche gilt dnn + 9, +, 9,7 Bei den isher durchgeführten Berechnungen spielten die Nullstellen der etrchteten Funktionen keine Rolle Lediglich die Schnittstellen werden für die Flächenerechnung enötigt Die folgenden eiden ildungen ( und zeigen, dss es ei der Bestimmung der Flächenmßzhl der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche ttsächlich keine Rolle spielt, o Teile der Fläche oerhl oder unterhl der -chse verlufen Dies können wir leicht erkennen, wenn wir eide Funktionsgrphen um die Länge c in Richtung der y-chse verschieen: Der Verluf der Grphen und dmit uch die Größe der eingeschlossenen Fläche werden ddurch nicht verändert X y - - - - X X f( g( : Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen (unverschoen y - - c - f ( g ( : Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen (unverschoen um c reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Die Funktionsterme ändern sich durch die ddition des konstnten Fktors c ( c IR zu f ( f ( + c und g ( g( + c Für die Berechnung der zwischen den eiden Grphen eingeschlossenen Fläche gilt dei ( f( ( g( d + ( f( ( g( ( f( + c ( g( + c d + ( f( + c ( g( + c ( f( + c c d + ( f( + c c ( f ( d + ( f ( d Die Verschieung um den Fktor c ht lso keinen rechnerischen Einfluss In eigener Sche: Die Bestimmung von Flächen ist eenflls eine Pflichtüung im Rhmen der schlussprüfung Die Üungsufgen sollten Sie er druf sehr gut vorereiten Bereiten Sie diese dher möglichst intensiv chten Sie dei uch uf die Zeit, die Sie dfür enötigen insesondere: Wie lnge enötigen Sie, um eine Fläche zwischen zwei Grphen zw zwischen einem Grphen und der -chse zu estimmen? Möglicherweise müssen Sie hier, um Schnittstellen zu estimmen, uf die Polynomdivision zurückgreifen Hlten Sie lle Dinge, die Ihnen noch unklr sind schriftlich fest Versuchen Sie dnn, durch Rückschu uf dieses Kpitel selst ntworten zu finden Welche Frgen konnten Sie nicht klären? Bitte geen Sie Ihrem/r Lehrer/in eine detillierte und egründete Rückmeldung d d d Üungsufgen zur Integrlrechnung Geen Sie für die folgenden Funktionen f eine Stmmfunktion F n f ( +, f ( c f ( + d f ( + + e f ( e + f f ( e g Geen Sie für die Funktion f fünf verschiedene Stmmfunktionen n f ( + Geen Sie die folgenden unestimmten Integrle n ( + d ( + 7 + d c ( + d + 7 d ( + d e ( u + u u du f ( + d g ( + d h ( + 7 d i ( e + d Berechnen Sie die folgenden estimmten Integrle Vereinfchen Sie, wenn möglich ( + + d ( z + zdz c ( e d + d ( + + d + ( + d e ( + d ( + d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse üer dem Intervll I eingeschlossen wird + I [ ; ] f ( f I [ ; ] ( + Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen von f und g eingeschlossen wird f ( g ( + f ( g ( + + f I [ ; ] c ( e c + f ( g( d f ( ( ( + I [ ; ] 7 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen von f und g üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen wird f ( + g ( Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse eingeschlossen wird + f (, + + g ( + f ( + f ( + c f ( ( ( d f ( + reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen