KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen Sie mit Hilfe des Stzes von Cvlieri den Inhlt der Menge K, wenn ) K R der Körper zwischen der Ebene (x, y, x + y) : (x, y) R } und dem Rechteck [, ] [, ] ist, b) K R derjenige Körper ist, welcher oben von dem Prboloid (x, y, x +y ) : (x, y) R } und unten von dem Qudrt [, ] [, ] begrenzt wird, c) K R derjenige Körper ist, welcher unterhlb der Fläche (x, y, xy + y ) : (x, y) R } und oberhlb des Qudrts [, ] [, ] liegt, d) wenn K R die Ellipse (x, y) R : x + y b } ist (, b > ). Lösungsvorschlg: zu ): Es ist Dnn gilt für y [, ] K (x, y, z) R : x, y, z x + y}. K(y) (x, z) R : x, z x + y}. Die Menge K(y) ist ein Trpez mit den Eckpunkten (, ), (, ), (, + y) und (, y) bzw. ein Dreieck im Flle y und es folgt dher K(y) y +, worus sich K mit dem Stz von Cvlieri ergibt. zu b): Wir hben K(y) dy y + dy K (x, y, z) R : (x, y) [, ], z x + y } und dher sowie K(y) (x, z) R : x [, ], z x + y } (K(y))(x) z R : z x + y }
für lle x, y [, ]. Es gilt (K(y))(x) x + y, worus durch zweimliges Anwenden des Cvlierischen Prinzips ncheinnder und folgen. K(y) (K(y))(x) dx K K(y) dy x + y dx y + y + dy (y [, ]) zu c): Es gilt und wir erhlten K (x, y, z) R : (x, y) [, ], z xy + y } K(y) (x, z) R : x, z y x + y } für y [, ]. Die Menge K(y) ein Trpez mit den Eckpunkten (, ), (, ), (, y + y ) und (, y ) bzw. ein Dreieck für y und es folgt dher K(y) y + ((y +y ) y ) y + y, worus sich K K(y) dy y + y dy 8 + 6 mit dem Stz von Cvlieri ergibt. zu d): Es gilt und dher uch K [ ]} (x, y) R : x [, ], y b x, b x [ ] K(x) b x, b x für jedes x [, ]; insbesondere ht mn jeweils K(x) b Mit dem Stz von Cvlieri erhlten wir folglich K b K(x) dx b x. x dx b t dt b π bπ, ( x ) dx wobei die Gleichung t dt π gezeigt worden ist. in der HM I (mit Hilfe der Substitution t sin(τ))
Aufgbe ) erechnen Sie für R und f : R ds Integrl f(x, y) d(x, y) in den folgenden Fällen: (i) f(x, y) x + y und ist ds Dreieck mit den Eckpunkten (, ), (, ) und (, ); (ii) (iii) (iv) f(x, y) x + y und ist ds Dreieck mit den Eckpunkten (, ), (, ) und (, ); f(x, y) xy und ist der ereich im ersten Qudrnten zwischen der durch die Gleichung y x beschriebenen Gerden und der durch y x beschriebenen Prbel;. f(x, y) x und ist der ereich im ersten Qudrnten zwischen den durch die Gleichungen y x und y x beschriebenen Prbeln. b) Es seien < b reelle Zhlen und f C([, b] [, b]). eweisen Sie, dss dnn gilt. b y f(x, y) dx dy b b x f(x, y) dy dx Lösungsvorschlg: zu ) (i): Es gilt (x, y) R : x, y x}; insbesondere ist ein Normlbereich bzgl. der x-achse und wir erhlten x f(x, y) d(x, y) (x + y ) dy dx x( x) + [ x x ] ( x). ( x) dx zu ) (ii): Wir hben (x, y) R : x, y x } ; insbesondere ist ein Normlbereich bzgl. der x-achse und wir erhlten f(x, y) d(x, y) x (x + y ) dy dx ( x x ) ( + x ) dx x + x dx + x ( x) + ( x) dx
[ x ] + [ x x ] ( x). zu ) (iii): Für x R hben wir die Äquivlenz x x x x und für lle x [, ] gilt zudem x x. Dher ist (x, y) R : x, x y x } und wir erkennen, dss ein Normlbereich bzgl. der x-achse ist. Mithin ergibt sich x [ ] x x f(x, y) d(x, y) xy dy dx x (x x ) dx 8 x6. zu ) (iv): Für x hben wir die Äquivlenz x x x x x(x ) x x und für lle x [, ] gilt zudem x x. Deshlb erhlten wir (x, y) R : x, x y x } und sehen, dss ein Normlbereich bzgl. der x-achse ist. Folglich gilt x [ f(x, y) d(x, y) x dy dx x x 5 x dx x x 7 7 ]. zu b): Wir betrchten : (x, y) [, b] : x y b } (x, y) [, b] : x y } und bemerken, dss sowohl ein Normlbereich bzgl. der x- ls uch bzgl. der y-achse ist. Hierus ergibt sich einerseits b b f(x, y) d(x, y) f(x, y) dy dx und ndererseits lso wie behuptet. b y f(x, y) d(x, y) f(x, y) dx dy x b y b b x f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx
Aufgbe ) erechnen Sie den Inhlt von K, wenn (i) K (r cos ϕ, r sin ϕ) : ϕ [, π], r ϕ} ( > ), (ii) K (r cos ϕ, r sin ϕ) : ϕ [, π], r ( + cos ϕ)} ( > ), (iii) K derjenige Körper ist, der von dem Kreiszylinder (x, y, z) R : x + y R } us der Kugel (x, y, z) R : x + y + z R } (R > ) herusgebohrt wird. b) erechnen Sie x + y d(x, y, z), wobei der ereich sei, welcher von dem durch z x + y beschriebenen Prboloid und der durch z gegebenen Ebene begrenzt wird. c) erechnen Sie lim ρ ρ x y d(x, y), (x + x y + xy + y )(ln(x + y )) wobei ρ : (x, y) R : x + y ρ, y x} für ρ >. Lösungsvorschlg: zu ) (i): Wir verwenden Polrkoordinten und erhlten mit der Substitutionsregel (wobei wir zudem bechten, dss K in Polrkoordinten ein Normlbereich bzgl. der ϕ-achse ist) π ϕ π ϕ K d(x, y) r dr dϕ dϕ π. K zu ) (ii): Auch hier gehen wir wie in Teil ) (i) zu Polrkoordinten über und erhlten π (+cos ϕ) π ( + cos ϕ) K d(x, y) r dr dϕ dϕ K π ( + cos ϕ sin ϕ dϕ π ) [ϕ cos(ϕ) sin(ϕ)]π π, wobei wir hier die in der HM I mittels prtieller Integrtion hergeleitete Identität sin (t) dx (t cos(t) sin(t)) verwendet hben. zu ) (iii): Wir setzen sowie Dnn ist Z zu berechnen. Es gilt Z : (x, y, z) R : x + y R } : (x, y, z) R : x + y + z R }. Z (x, y, z) R : x + y R und x + y + z R } (x, y, z) R : x + y R und R x y z R x y } (r cos ϕ, r sin ϕ, z) : r [, R], ϕ [, π] und z [ R r, R r ]}
Durch Übergng zu Zylinderkoordinten und mit Hilfe des Stzes von Fubini erhlten wir dher R π R r R Z d(x, y, z) r dz dϕ dr π r R Z r dr R r π [ (R r ) ] R π (8 )R. zu b): Es gilt (x, y, z) R : x + y z } (r cos ϕ, r sin ϕ, z) : r [, ], ϕ [, π], z [r, ]}. Trnsformtion uf Zylinderkoordinten liefert dher zusmmen mit dem Stz von Fubini π x + y d(x, y, z) r r dz dϕ dr π r ( r ) dr r [ ] r π r5 π 5 5. zu c): Für ϕ [, π] hben wir die Äquivlenz sin ϕ cos ϕ ϕ [, π ]. Dher gilt ρ [ (r cos ϕ, r sin ϕ) : r ρ und ϕ, π ]}. Durch Übergng zu Polrkoordinten folgt somit x y d(x, y) ρ (x + x y + xy + y )(ln(x + y )) r(cos ϕ sin ϕ) [,ρ] [, π ] r (cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin r d(r, ϕ) ϕ)(ln(r )) cos ϕ sin ϕ [,ρ] [, π ] cos ϕ(cos ϕ + sin ϕ) + sin ϕ(cos ϕ + sin ϕ) r ln d(r, ϕ) (r ) ( π ) ( cos ϕ sin ϕ ρ ) sin ϕ + cos ϕ dϕ r ln (r ) dr ( π ln( ) Also gilt ) ( cos ϕ sin ϕ ρ sin ϕ + cos ϕ dϕ ( ln() ) ln(ρ) ρ lim ρ ρ r ln (r) dr ln( ) x y ) [ln(sin ϕ + cos ϕ)] π ln() ln( ) [ ln( ) 8. ] ρ ln(r) (x + x y + xy + y )(ln(x + y )) d(x, y) 8.
Aufgbe Es sei n N und r >. Wir definieren n (r) : x R n : x r} sowie τ n : n (). ) Zeigen Sie n (r) r n τ n. b) eweisen Sie mit Hilfe des Prinzips von Cvlieri die Formel τ n π sinn (t) dt τ n (n > ). c) erechnen Sie τ,..., τ. Lösungsvorschlg: zu ): Wir betrchten die bijektive Abbildung g : R n R n ; x rx. Offenkundig ist g beliebig oft stetig differenzierbr und es gilt g (x) re n für lle x R n, wobei E n die n n-einheitsmtrix bezeichnet. Folglich ist det g (x) r n für lle x R n. Wegen g( n ()) n (r) liefert die Substitutionsregel n (r) dx dx r n dx r n dx r n n (r) r n τ n wie behuptet. n(r) g( n()) zu b): Sei n N mit n >. Dnn gilt n () (x,..., x n ) R n : Folglich erhlten wir für x n [, ] n() n j } x j (x,..., x n ) R n : x n [, ] und n() n x j } x n. ( n ()) (x n ) (x,..., x n ) R n : (x,..., x n ) n () } n ( x n). Der Stz von Cvlieri und Teil ) liefern dher n () wie behuptet. π ( n ()) (x n ) dx n ( s ) n ds τ n sin n (t) dt τ n j n ( s ) ds π ( cos(t) ) n sin(t) dt τ n ( s ) n ds τ n zu c): Wir werden jetzt τ n sogr für lle n N bestimmen. Hierzu leiten wir zunächst eine
Rekursionsformel für I n : π sinn (t) dt (n N ) her. Es sei n >. Prtielle Integrtion liefert I n π π sin n (t) dt [cos(t) sin n (t)] π + π (n )( sin (t)) sin n (t) dt (n ) (n )I n (n )I n, (n ) cos (t) sin n (t) dt π worus sich lsdnn I n n n I n ergibt. Als nächstes zeigen wir per Induktion nch n, dss π sin n (t) dt + (n ) sin n (t) dt für lle n N gilt. Es gilt I π sowie I π I n I n π n sin(t) dt [ cos(t)] π und dher I I π, womit der Induktionsnfng erledigt ist. Es sei die ehuptung nun bereits für ein n N gezeigt. Mit der oben hergeleiteten Rekursionsformel ergibt sich dnn I n+ I n n n + I n I n n n + π n π (n + ). Dmit ist uch der Induktionsschritt vollzogen. Wir erhlten nun für n > τ n I n τ n I n I n τ n π n τ n bzw. τ k π k τ (k ) für k us N sowie τ k+ π k + τ (k )+ für k N. Mit Hilfe von vollständiger Induktion verifiziert mn nun leicht die Gültigkeit der nchfolgenden Formeln: und τ k+ τ k πk k! τ (k N) k π k k j (j + ) τ (k N ) Wegen τ () [, ] sowie τ I τ ( I )τ I π ergibt sich somit τ k πk k! (k N)
sowie τ k+ k+ π k k j (j + ) k+ π k k j (j) (k + )! k+ k!π k (k + )! (k N ). Insbesondere erhlten wir τ π und τ π. emerkung: Aus den eben hergeleiteten Formeln lässt sich eine sehr verblüffende Aussge deduzieren. Für k N ht mn τ k πk k! k sowie Ds bedeutet lso, dss gilt! τ k+ k+ π k k k+ π k πk j (j + ) k j (j) k! lim n() n k.