Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)() = u ()v() + u()v () un mit u()v () = u()v() u ()v(). Um iese Regel für ie Berechnung von f() nwenen zu können, versucht mn, f ls u v zu schreiben, un zwr so, ss u ()v() einfcher zu berechnen ist. Wie s prktisch geht, zeigen folgene Beispiele.. sin() Wir wählen u() = un v () = sin(), lso v() = cos(). Dmit folgt sin() = ( cos()) ( cos()) = cos()+ cos() = cos()+sin()+c.. 3. Es ist sinnvoll, s Ergebnis urch Dierenzieren nch zu überprüfen: ln() ( cos() + sin() + c) = cos() + sin() + cos() = sin(). Hier wählen wir u() = ln() un v () =. Dmit erhlten wir ln() = ln() = ln() ( ) ln() 4 + c = ln() + = ln() = ln() 4 + c. (In iesem Beispiel führt übrigens uch ie Whl u() = un v () = ln() zum Erfolg. Wie?) rctn() Mit er Whl u() = rctn() un v () = gilt rctn() = rctn() = + rctn() Wegen er bereits us er Vorlesung beknnten Rechnung + = + + = = rctn() + c + erhlten wir rctn() = + rctn() + c. ( + rctn() ) + c = rctn() + + ( + ) = rctn() +.
4. sin() Mit u() = un v () = sin() ist sin() = ( cos()) ( cos()) = cos() + cos(). Ds Integrl cos() berechnen wir, inem wir nochmls prtiell integrieren mit u() = un v () = cos(): cos() = sin() sin() = sin() + cos() + c. 5. Zusmmen ergibt sich sin() = cos() + sin() + cos() + c. ( cos() + sin() + cos() + c) = cos() + sin() + sin() + cos() sin() = sin() ln() ist zwr schon us er Vorlesung beknnt, lässt sich ber uch mit prtieller Integrtion berechnen: ln() = ln() = ln() = ln() = ln() + c. 6. In iesem Beispiel wenen wir prtielle Integrtion un ie Formel sin () + cos () = n: sin () = sin() sin() = sin() ( cos()) cos() ( cos()) = sin() cos() + cos () = sin() cos() + sin () = sin() cos() + sin (). Subtrhiert mn sin () uf beien Seiten er Gleichung, so erhält mn sin () = sin() cos() + c. Division er Gleichung urch ergibt sin () = ( sin() cos()) + c. ( ) ( sin() cos()) + c = ( cos () + sin ()) = sin (). Übung: Berechnen Sie mit prtieller Integrtion. ln() ) b) ln () c) e ) sin() cos() e) cos(ln()) f) sinh () Prtielle Integrtion knn uch uf bestimmte Integrle ngewenet weren. Die Formel lutet nn b f ()g() = f()g() b b f()g ().
Die Substitutionsregel Für ierenzierbre Funktionen F un g gilt (F g) (t) = F (g(t))g (t) nch er Kettenregel. Also folgt mit f = F : f(g(t))g (t) t = (F g) (t) = F (g(t)) + c. In ie Stmmfunktion F von f ist lso g(t) ls Argument einzusetzen. Als Abkürzung für iese Ersetzung verwenet mn ie Schreibweise [h()] =g(t) := h(g(t)).. Die erste Vrinte er Substitutionsregel Mit obigen Überlegungen folgt sofort ie erste Vrinte er Substitutionsregel für unbestimmte Integrle: Es gilt [ ] f(g(t))g (t) t = f(), =g(t) flls f stetig un g stetig ierenzierbr ist. Der Nme Substitutionsregel kommt von er Substitution = g(t). Wie mn iese Substitutionsregel nwenen knn, zeigt s folgene Beispiel. 7. sin(t) cos (t)t Wir wählen f() = un g(t) = cos(t). Dnn gilt sin(t) cos (t) = f(g(t))g (t) un her [ ] [ ] sin(t) cos (t)t = 3 = 3 + c = 3 cos3 (t) + c. = cos(t) ( ) t 3 cos3 (t) + c = cos (t)( sin(t)) = sin(t) cos (t) = cos(t) Beim Anwenen er Substitutionsregel benutzt mn oft ie uf Leibniz zurückgehene Schreibweise t für (t) un rechnet mit t forml wie mit einem gewöhnlichen Bruch. Angewnt uf obiges Beispiel beeutet s: = cos(t) = t = sin(t), lso = sin(t)t = sin(t) cos (t)t =. Dbei wir ie Ersetzungsklmmer oft weggelssen. Die Rücksubstitution rf ber trotzem nicht vergessen weren! e t 8. e t + t Substitution: = e t = t = et,.h. = e t t. e t e t + t = (e t ) + et t = = rctn() + c + e t Mit Rücksubstitution folgt e t + t = rctn(et ) + c. t (rctn(et ) + c) = (e t ) + et = et e t + Übung: Berechnen Sie mit er Substitutionsregel. ) b) sin 4 () cos() c) ) e e) cos()e sin() f) cos() sin() ln()
. Zwei Spezilfälle Wir betrchten nun zwei häug uftretene Spezilfälle er Substitutionsregel. Im ersten Spezilfll ist g(t) = t + b mit, b R,. Dnn gilt f(t + b) t = f(t + b) t = [ ] f() Beispiele für ie Anwenung ieser Regel sin 9. cosh(t + b)t = sinh(t + b) + c für, b R mit... e t t = e t + c = e t + c. =t+b sin (t)t hben wir bereits mit prtieller Integrtion berechnet (Beispiel 6). Es gibt ber uch einen elegnteren Weg: Mit Hilfe es Aitionstheorems für en Cosinus folgt cos(t) = cos (t) sin (t) = sin (t). Also ist sin (t) = ( cos(t)) un es folgt sin (t)t = ( cos(t))t = ( ) sin(t) + c Ds Aitionstheorem für en Sinus liefert sin(t) = sin(t) cos(t), lso sin (t)t = ( sin(t) cos(t)) + c. Im zweiten Spezilfll ist f() =. Dnn lutet ie Substitutionsregel so: g [ ] (t) g(t) t = = [ln ] =g(t) = ln g(t) + c. =g(t) Diese Regel wir in en folgenen beien Beispielen ngewnt.. + = ln + + c = ln( + ) + c sin() 3. tn() = = ln cos() + c cos() Übung: Berechnen Sie mit Hilfe er in iesem Abschnitt eingeführten Regeln. e ) 5 + e b) + 5 sin() cos() + 4 c) + sin () ) + 3 e) cos () f) sin() cos().3 Die zweite Vrinte er Substitutionsregel Bisher hben wir Integrle er Form f(g(t))g (t)t uf f() zurückgeführt. Häug geht mn en umgekehrten Weg: Um f() zu berechnen, sucht mn eine umkehrbre Funktion g so, ss f(g(t))g (t)t einfch usgewertet weren knn. Ersetzt mn nn ie Vrible t urch g (), so erhält mn s Integrl f(): [ ] f() = f(g(t))g (t) t. t=g () Richtig ist s z.b., wenn f stetig un g stetig ierenzierbr mit g (t) ist. Wie mn iese Regel prktisch nwenen knn, zeigen folgene Beispiele.
4. sin Wir wählen g(t) = t mit t >, g (t) = t. Dmit gilt sin [ = sin ] t t t t= = [ ] t sin(t) t. t= Mit Beispiel folgt sin = [ sin(t) t cos(t) + c] t= = sin cos + c. ( sin cos + c) = cos cos + sin = sin Als nützlich erweist sich uch hier ie Leibniz-Schreibweise, wie ie folgenen Beispiele zeigt. 5. Substitution: = sin(t) für t ( π, π ) = t = sin (t) cos(t)t = Für ie Rücksubstitution t = rcsin() schreiben wir cos(t) = = cos(t),.h. = cos(t)t. cos (t)t = (t + sin(t) cos(t)) + c. sin (t) un erhlten = ( ) t + sin(t) sin (t) + c = (rcsin() + ) + c. ( (rcsin() + ) ) + c = + = Übung: Berechnen Sie mit er Substitutionsregel. ) e e b) e c).4 Substitutionsregel für bestimmte Integrle Bei Substitution in bestimmten Integrlen müssen uch ie Grenzen trnsformiert weren. Dfür entfällt nn ie Rücksubstitution. Es gilt flls f stetig un g stetig ierenzierbr ist. 6. e t( + ln(t)) t Substitution: = ln(t), = t t e e t( + ln(t)) t = b f(g(t))g (t)t = + ln(t) t t = ln(e) ln() g(b) g() f(), + = = ln + + = ln()
Alterntiv knn mn uch zuerst s unbestimmte Integrl berechnen (mit Rücksubstitution). Dnn müssen ie Grenzen nicht trnsformiert weren. In Beispiel 6 sieht s so us: 7. e t( + ln(t)) t Wir berechnen zuerst s unbestimmte Integrl mit Hilfe er Substitution: = ln(t), = t t t( + ln(t)) t = + ln(t) t t = = ln + + c = ln + ln(t) + c. + Mit em Huptstz er Dierentil- un Integrlrechnung folgt Übung: Berechnen Sie. e t = ln + ln(t) t( + ln(t)) e = ln(). ) (e ) 4 e b) e3 c) + ln() 4 3 4 +