Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens SS2013

Inhalt Fourier Reihen Sehen wir in 2 Wochen Lösung der lin. Dgln. M. konst. Koeffizienten auch mit Laplacetransformation Numerische Lösungsverfahren für Dgln. 1. Ordnungen(z.B Runge-Kutta) Angewandte Mathematik und Programmierung 2

Fourier Reihen Definition: Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu entwickeln. Diese Darstellung sind in der Mathematik sowie in der Physik und Elektronik von großer Bedeutung und finden in vielen Bereichen Anwendung. In Folgenden setzen wir voraus, dass f(x) Riemen-intergrierbar ist, auf jedem beschränkte Intervall. Wir wollen nun wissen, welche Funktionen eine Reihendarstellung der Form besitzen. Dazu schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften 3

Fourier Reihen Steckbrief der Funktion x sin x Steckbrief der Funktion x cos x Gerade/ungerade Funktionen(Symmetrie und Antisymmetrie) Stetigkeit von Funktionen Darstellung einer periodischen Funktion Fourierreihe Berechnung der Koeffizienten ai und bi Beispiele 4

Steckbrief der Funktion x sin x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich π/2 x π/2 streng monoton wachsend; im Bereich π/2 x 3π/2 streng monoton fallend; Monotonie-Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich 0 < x < π positiv; im Bereich π < x <2π negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: it t ll keine 5

Steckbrief der Funktion x cos x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich 0 x π streng monoton fallend; im Bereich π x 2π streng monoton wachsend; Monotonie- Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich π/2 < x < π/2 positiv; im Bereich π/2 < x <3π/2 negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem (n + 1/2)π mit ganzzahligem n Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: keine 6

Gerade/ungerade Funktionen 7

Gerade/ungerade Funktionen Symmetrie und Antisymmetrie : Wir nennen eine Funktion f : R R gerade(manchmal auch symmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. Der Graph einer symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-achse (d.h. er geht unter einer Spiegelung an der y-achse in sich selbst über). Weiteres nennen wir eine Funktion f : R R ungerade(manchmal auch antisymmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. 8

Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung) Eine in einem Intervall A definierte Funktion f : A R wird als stetig bezeichnet, wenn kleine Änderungen von x innerhalb von A kleine Änderungen von f (x) zur Folge haben. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve (die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen). Der Begriff der Stetigkeit macht nur für Intervalle, in denen eine Funktion definiert ist, Sinn. Eine unstetige Funktion ist dadurch charakterisiert, dass die Forderung nach einem zusammenhängenden Graphen im Definitionsbereich nicht erfüllt ist, dass also beispielsweise eine Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist, an der der Graph aber "auseinandergerissen" ist). Eine Funktion, die voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen aber stetig ist, heißt stückweise (oder abschnittsweise) stetig. Es gibt aber auch Funktionen, die auf ganz R definiert und an jeder Stelle unstetig sind 9

Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung) Beispiel für (un)stetige Funktionen 10

Beispiel: Unstetiger Sägezahn 11

Darstellung einer periodischen Funktion 12

Darstellung einer periodischen Funktion Dirichlet hat die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz einer Fourier-Spektren für jedes Signal. Jede Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt: 1. Die Anzahl der Unstetigkeiten innerhalb einer Periode ist endlich 2. Die Anzahl der Maxima und Minima innerhalb einer Periode ist endlich 3. Die Funktion ist in jeder Periode integrierbar (d.h., die Fläche unter dem Betrag der Funktion ist in jeder Periode endlich) läßt sich als Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen. 13

Darstellung einer periodischen Funktion Beispiele 14

periodischen Funktion Fourierreihe Die Fourier-Reihe in spektraler Darstellung Jede 2π-periodische Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, läßt sich als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen Fourier-Reihe. Eine Funktion f(x) ist 2π-periodisch wenn sich für alle x-werte des Definitionsbereichs die Funktionswerte nach einer Verschiebung um 2π nicht ändern. Für solche Funktionen gilt dann f(x) = f(x + 2π). 15

2π-periodische Funktion cos(0)=1 und sin(0)=0 vereinfacht sich diese Gleichung zu: Fourierreihe Um für eine konkrete periodische Funktion die Fourrierreihe bilden zu können, müssen die Koezienten a k, b k bestimmt werden, die Fourierkoeffizenten. Muss nicht immer k sein. Kann auch n oder andere Buchstabeln sein. Also: Fourier-Reihenentwicklungen stellen eine Möglichkeit der Transformation vom Zeitin den Frequenzbereich dar. Voraussetzung hierfür ist, dass die zu transformierende Funktion periodisch ist. 16

2π-periodische Funktion Ist f(x) eine stetige monotone Funktion und im Intervall π x π integrierbar, so kann die Funktion als trigonometrische Reihe in Form einer unendlichen Funktionenreihen geschrieben werden, und a k und b k die Fourierkoeffizienten lassen sich so berrechnen. 17

2π-periodische Funktion Angewandte Mathematik und Programmierung 18

Beispiele 19

Rechteck-Schwingung. Beispiel 1 20

Berechnung der Koeffizienten ai und bi Rechteck-Schwingung Diese Rechteckschwingung ist eine ungerade Funktion. Allgemein: Für gerade Funktionen sind alle b n = 0, für ungerade Funktionen alle a n = 0. OOP und Angewandte Mathematik 21

Rechteck-Schwingung 22

Beispiel 2 Reelle Fourierreihe einer abschnittsweise definierten Funktion Gegeben sei die 2π-periodische Funktion f(x) = x² x Є [0..π] und π = 2π - x x Є [π..2π] 1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) 30

Reelle Fourierreihe: Beispiel 2 31

Reelle Fourierreihe Die Funktion wird dadurch als Funktionsreihe oder Fourier-Reihe dargestellt. Die Koeffizienten a n, an und b n werden Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) genannt. Bei der harmonischen Analyse einer periodischen Funktion werden diese Koeffizienten bestimmt. Je mehr Glieder bei der Fourieranalyse errechnet werden, desto genauer kann die Funktion f(x) durch entsprechende Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden. Mit Hilfe der Fourierreihen ih kann jedes ungedämpfte periodische Signal durch eine lineare Überlagerung, d.h. Addition oder Subtraktion, einfacher harmonischer Teilschwingungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) beschrieben werden.