Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen asymmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax = b x } max, 0 { Z b A c} mn =. Dabe snd: c : = ( c ), =,,..., n x : = ( x ), =,,..., n A: = ( a ), =,,..., m; =,,..., n b : = ( b ), =,,..., m : = ( ), =,,..., m. De ene (n der Regel de vorlegende) Aufgabe heßt Prmal und de andere (n der Regel de zu konstruerende) Aufgabe heßt Dual. S... Für ede zulässge Lösung x der prmalen Aufgabe und ede belebge zulässge Lösung der dualen Aufgabe glt z( x) Z( ). Aus der Nebenbedngung x 0, 0 A c folgt de Unglechung A c, so dass sch wegen z( x) = c x Ax b = b = Z( ) ergbt.
S... Ist für ene zulässge Lösung x * der prmalen Aufgabe und ene zulässge Lösung * der dualen Aufgabe de Glechung z( x*) = Z( *) erfüllt, so snd x * und * optmale Lösungen der ewelgen Aufgaben. Für ene belebge zulässge Lösung * der dualen Aufgabe folgt wegen S... Z( *) = z( x*) Z( ). Also st * ene optmale Lösung der dualen Aufgabe. Ene entsprechende Überlegung zegt, dass auch x * optmal st. S... Ist de Zelfunkton der dualen Aufgabe auf der Menge hrer zulässgen Lösungen nach unten ncht beschränkt, so bestzt de prmale Aufgabe kene zulässge Lösung. Würde de prmale Aufgabe ene zulässge Lösung x bestzen, so müsste wegen S... De Zelfunkton der dualen Aufgabe nach unten beschränkt sen. Das wdersprcht der Annahme des Satzes, so dass de Menge der zulässgen Lösungen der prmalen Aufgabe leer sen muss. S... Entweder bestzen bede Aufgaben des dualen Paares ene optmale Lösung, oder kene der beden Aufgaben hat ene optmale Lösung. Im ersten Falle stmmen de Extremalwerte beder Probleme überen. S... Notwendg und hnrechend für de Lösbarket ener Aufgabe des dualen Paares st, dass bede Aufgaben zulässge Lösungen bestzen. De Notwendgket der Bedngung st trval. Zum Bewes der hnrechenden Bedngung nehmen wr an, dass bede Probleme zulässge Lösungen bestzen. Dann st de Menge der zulässgen Lösungen der prmalen Aufgabe ncht leer und de Zelfunkton wegen Satz.. Nach oben beschränkt. Auf Grund von Satz S.. 9. Muss daher de prmale Aufgabe ene optmale Lösung bestzen De Lösbarket der dualen Aufgabe kann entsprechend gezegt werden. S.. 6. Damt ene Aufgabe des dualen Paares zulässge Lösungen bestzt und de zwete Aufgabe über kene zulässgen Lösungen verfügt, st notwendg und hnrechend, dass de Zelfunkton der ersten Aufgabe auf der Menge der zulässgen Lösungen ncht beschränkt st. Bewes. Nach Satz S... Ist de Bedngung hnrechend. Zum Bewes der Notwendgket zehen wr den Satz S... Heran. Ene Aufgabe des dualen Paares bestzt ene zulässge Lösung; se kann edoch ncht lösbar sen, wel sonst auch de zwete Aufgabe ene optmale Lösung
bestzen müsste (nach Voraussetzung hat de zwete Aufgabe kene zulässge Lösung). Nach Satz S.. 9. Kann daher de Unlösbarket der ersten Aufgabe nur dadurch verursacht werden, dass de Zelfunkton auf der Menge hrer zulässgen Lösungen ncht beschränkt st. S.. 7. Ene zulässge Lösung x * der prmalen Aufgabe st dann und nur dann optmal, wenn ene zulässge Lösung * der dualen Aufgabe mt z( x*) = Z( *) exstert. * st dann Optmallösung der dualen Aufgabe. Entsprechendes glt für duale Aufgabe. Nach Satz S... Ist de Bedngung hnrechend. Zum Nachwes der Notwendgket nahmen wr an, dass x * optmal st. Dann bestzt auch de duale Aufgabe ene optmale Lösung *, und es glt z( x*) = Z( *). Be der Untersuchung des dualen Paares können dre Fälle auftreten:. Bede Aufgaben bestzen zulässge Lösungen;. Nur ene Aufgabe hat zulässge Lösungen;. Bede Aufgaben bestzen kene zulässgen Lösungen. Im ersten Fall snd de Aufgaben des dualen Paares lösbar, n den beden weteren Fällen unlösbar. B... Kennt man von ede Aufgabe des dualen Paares ene zulässge Lösung ( x * bzw. * ), so kann der Maxmalwert zmax der prmalen Aufgabe und der Mnmalwert Zmn der dualen Aufgabe durch z( x) z = Z Z( *) max mn engeschlossen werden. B... (Dualtät und de Smplexmethode) De Dualtät lefert numersch den Vortel, dass man mt der Lösung ener Aufgabe des Dualpaares glechzetg de Lösung der anderen Aufgabe bekommt. Der nachfolgende Satz gbt Auskunft über de Bezehungen zwschen den optmalen Lösungen des dualen Paares m optmalen Smplextableau: S.. 8. Ene zulässge Lösung mt den Komponenten x, x,... x m + k der prmalen Aufgabe + =, mt x ' : = ( x... x ) max{ c x Ax x ' b', x 0, x ' 0} k+ k+ m st dann und nur dann ene optmale Lösung, wenn es ene zulässge Lösung mt den Komponenten,,... m + k der dualen Aufgabe =, mt ' : = (... ) max{ b A ' c, 0, ' 0} mt folgenden Egenschaften gbt: k+ k+ m
. Für alle Indzes mt x > 0 glt m + = 0, =,,..., k;. Für alle Indzes mt m + > 0 glt x = 0, =,,..., k;. Für alle Indzes mt > 0 glt x k + = 0, =,,..., m;. Für alle Indzes mt x + > 0glt = 0, =,,..., m. k Dann st de zulässge Lösung der dualen Aufgabe ene optmale Lösung des Dualproblems. BS... Gegeben se das Problem Z = + mn! + 9 + + 8 8, 0. Dualseren Se dese Aufgabe.. Lösen Se das Dualproblem.. Geben Se de Lösungen des Prmal- und des Dualproblems an.. Interpreteren Se de Dualvarablen. Lösung:. z = 9x + x + 8x max! x + x + x x + x + 8x x, x, x 0. Normalform: z = 9x + x + 8x max! x + x + x + x = x + x + 8 x + x = x 0, =,,...,.
. Smplextableau BV x x x x x x0 x 0 x 8 0 z -9 - -8 0 0 0 x 0 - - - x 8 0 z 0 6 0 9 9 x * = ( 0 0 0), ( ) * = 0 9 0 6, zmax = Zmn = 9 (Unter den Schlupfvarablen des gelösten Problems fnden wr n der letzten Zele des Endtableaus n der gegebenen Rehenfolge de Komponenten der Optmallösung des anderen Problems. Unter den Problemvarablen des gelösten Problems fnden wr n der letzten. x = bedeutet: Ene Erhöhung der rechten Sete der ersten Nebenbedngung des gegebenen Problems, nämlch 9, um ene Enhet bewrkt ene Erhöhung des optmalen Zelfunktonswertes um Enhet. Wegen x = x = 0 hat de Erhöhung der rechten Sete der zweten bzw. der drtten Nebenbedngung des gegebenen Problems kene Auswrkung auf den optmalen Wert der Zelfunkton.
BS... (Sehe das Bespel BS.. 6.) Gegeben se das Problem z = 0x + 0x > mn 6 x + x 8 x + x x + x 0 x, x 0 Lösen Se das Problem durch das entsprechende Dualproblem. Lösung:. Z = 8 + + 0 max 6 + + 0 + + 0,, 0 Normalform: Z = 8 + + 0 max 6 + + + = 0 + + + = 0 0, =,,...,. 6
Smplextableau BV 0 6 0 0 0 0 Z -8 - -0 0 0 0 6 6 0 0 0 0 6 6 Z 0-9 - 0 60 0 7 0 0 6 0 Z 0 0 6 60 60 0 0 7 7 7 7 0 60 7 7 7 7 Z 8 0 0 60 x * = ( 8 0 0), ( ) * = 0 60 7 0 7 0 0, z* = Z* = 60 (Letzte Aktualserung:..06) 7