KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls.............. 76 6..3 erechnung des Doppelintegrls........................ 78 6..4 Anwendung: Integrlstz von Green...................... 86 6.2 Trnsformtion von Doppelintegrlen...................... 87 6.3 Dreifchintegrle.................................. 94 6.3. Normlbereiche.................................. 94 6.3.2 Integrlberechnung................................ 96 6.3.3 Trnsformtion von Dreifchintegrlen.................... 98 6.4 Oberflächenintegrle. und 2. Art........................ 20 6.4. Integrtion über Flächen im Rum....................... 20 6.4.2 Flächeninhlt................................... 205 6.4.3 Oberflächenintegrl einer sklren Funktion................. 207 73
6. Doppelintegrle 6.. Flächeninhlt ebener ereiche Der Flächeninhlt eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y beträgt x y. Überdeckt mn x y-ebene mit einem chsenprllelen Gitter mit den Koordintenlinien x = n 2 k, y = n 2 k, so wird die Ebene in Qudrte mit dem Flächeninhlt 2 2k zerlegt. Sei M R 2 eine beliebige beschränkte Punktmenge der x y-ebene, s k (M) der Flächeninhlt ller Qudrte, die einschließlich ihres Rndes gnz in M liegen (= Anzhl 2 2k, dunkles Pink im ild). S k (M) der Flächeninhlt der (bgeschlossenen) Qudrte, die mindestens einen Punkt von M enthlten (helles und dunkles Pink im ild). Offenbr gilt dnn s k (M) s k+ (M) S k+ (M) S k (M), insbesondere ist (s k (M)) k N eine monoton wchsende und nch oben beschränkte Folge sowie (S k (M)) k N eine monoton fllende und nch unten beschränkte Folge, folglich existieren die Grenzwerte F i (M) := lim s k (M) k F (M) := lim S k (M) k der innere Inhlt, der äußere Inhlt. 74
Definition 37: Mn nennt die Menge M Riemnn-messbr, wenn F (M) = F i (M) ist, in diesem Fll heißt F(M) := F (M) = F i (M) der Flächeninhlt von M. eispiel 94: Alle beschränkten Gebiete (offene und zusmmenhängende Mengen) des R 2 mit stückweise regulären (einml stetig differenzierbr)rnd sind Riemnn-messbr. eispiel 95: Allerdings können Mengen des R 2 uch ziemlich kompliziert sein, so ist die Menge M := {(x, y) R 2 : 0 x, 0 y und x, y Q} offensichtlich nicht Riemnn-messbr, d F i (M) = 0 und F (M) = für lle möglichen Zerlegungen ist. Unwesentliche Mengen sind die Mengen N vom Mße Null, d.h. N ist Riemnnmessbr und F(N) = 0. eispiel 96: eispiele für Mengen vom Mße Null im R 2 sind einzelne Punkte bzw. reguläre Kurven. Wie mn leicht sieht geht der äußere Inhlt gegen Null. eim Punkt deshlb, weil die Seitenlängen beide gegen Null gehen. ei der Kurve sieht mn ds nicht so leicht. Insbesondere verändern Mengen vom Mße Null nicht den Flächeninhlt, d.h. für jede Riemnn-messbre Menge M zusmmen mit einer Menge N, die nur us endlich vielen Punkten und endlich vielen regulären Kurvenstücken besteht gilt F(M) = F(M N) = F(M\N). Ds bedeutet zum eispiel, dss der Flächeninhlt des bgeschlossenen Rechtecks R := {(x, y) R 2 : x b, c y d} ist gleich dem Flächeninhlt des offenen Rechtecks R := {(x, y) R 2 : < x < b, c < y < d}. Wir wollen uns deshlb ls Integrtionsbereich für ebene integrle uf einfch zu chrkterisierende Mengen beschränken: 75
Definition 38: Regulärer ereich. Eine beschränkte Teilmenge R 2 heißt regulärer ereich, wenn ) bgeschlossen ist, d.h. der Rnd gehört zu Menge. b) ds Innere von, lso \ ein Gebiet (offene und zusmmenhängende Menge) ist, und c) der Rnd von us endlich vielen regulären Kurven besteht. Es wird mnchml erforderlich sein, einzelne Punkte oder Kurvenstücke ls Ausnhmemengen heruszunehmen. Deshlb lssen wir ls Integrtionsbereiche uch \N zu. Nchdem wir den Flächeninhlt definiert hben, wollen wir nun ds Riemnnsche Flächenintegrl bzw. ds ebene Integrl oder uch ds Doppelintegrl sinnvoll definieren. 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls Es sei f : R eine beschränkte und stetige Funktion (ggf. nur uf \N stetig), ein regulärer ereich. Durch ein Netz regulärer Kurven wird in n Teilbereiche := {, 2,..., n } zerlegt. Jeder ereich i ht einen Durchmesser δ( i ) := sup x,y i x y und einen Flächeninhlt F i. Der Durchmesser δ() = mx i=, 2,..., n δ( i ). Wir wählen nun für jedes i =, 2,..., n einen beliebigen Punkt (x i, y i ) i und bilden die Riemnnsche Zwischensumme Z n ( f) := n f(xi, y i ) F i. i= Stz 30: Konvergenz der Folge der Riemnnschen Zwischensummen. Ist f : R beschränkt und in (mit möglicher Ausnhme einer Menge vom Mß Null) stetig, so konvergiert die Folge der Riemnnschen Zwischensummen (Z k ( f)) k N für jede Folge von Zerlegungen K mit δ( K ) 0 für k. Der Grenzwert I ist unbhängig von der speziellen Whl der Folge der Zerlegungen und von der Whl der Zwischenpunkte. 76
Definition 39: Riemnnsches Flächenintegrl. Unter den Vorussetzungen des Stzes 30 nennt mn den Grenzwert I ds Riemnnsche Flächenintegrl der Funktion f über den ereich, mn schreibt f df = f df = f(x, y) df = f(x, y) dx dy := I. Geometrische Deutung Ds folgende ild soll die geometrische edeutung vernschulichen:. Flächeninhlt Mit f(x, y) = ist jede Riemnnsche Zwischensumme gleich dem Flächeninhlt von, lso gilt F = df Flächeninhlt von. Die Anteile i der Zerlegung werden lle gleich (nämlich mit ) gewichtet. 2. Volumen Ist f(x, y) 0 für lle (x, y), dnn stellt V = f df 77
ds Volumen des senkrecht uf der (x, y)-ebene stehenden Zylinderbschnitts mit der Grundfläche und der Deckfläche z = f(x, y) dr. Denn ds Volumen des uf i stehenden Zylinders der Höhe f(x i, y i ) beträgt V i = f(x i, y i ) F i. Folglich ist V = lim n f(xi, y i ) F i = f(x, y) df. Der Flächeninhlt ist uch in diesem Fll ein Spezilfll, d für f(x, y) offensichtlich gilt V = A mit dem Flächeninhlt A des ereichs. emerkung 26: Es gelten die vom eindimensionlen Riemnn-Integrl beknnten Rechenregeln: Linerität: ( f + bg) df = f df + b g df,, b R. Monotonie: f(x, y) g(x, y) für lle (x, y) f df g df Additivität: Wird durch eine stückweise reguläre Kurve in zwei Teilbereiche und 2 zerlegt, so gilt f df = f df + f df. 2 6..3 erechnung des Doppelintegrls Für die prktische erechnung des Doppelintegrls ist eine Rückführung uf getrennte Integrtion nch x bzw. y von Vorteil. Die einfchsten Gebiete, wo ds möglich ist, sind die sogennnten Normlbereiche. 78
Definition 40: Normlbereiche. Ein ereich R 2 heißt Normlbereich vom Typ I, wenn es ein bgeschlossenes Intervll [, b] und zwei stetig differenzierbre Funktionen g, h : [, b] R gibt mit g(x) h(x) für lle x [, b] und = {(x, y) : x b, g(x) y h(x)}. Ein ereich 2 R 2 heißt Normlbereich vom Typ II, wenn es ein bgeschlossenes Intervll [c, d] und zwei stetig differenzierbre Funktionen l, r : [c, d] R gibt mit l(y) r(y) für lle y [c, d] und 2 = {(x, y) : l(y) x r(y), c y d}. Stz 3: Integrtion über Normlbereiche. ) Für jede stetige Funktion f : R uf einem Normlbereich vom Typ I gilt b ( h(x) ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. b) Für jede stetige Funktion f : 2 R uf einem Normlbereich 2 vom Typ I gilt d ( r(y) ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. 2 c g(x) l(y) emerkung 27: Für die erechnung des Flächeninhlts sind diese Formeln trivil, d wir wissen, dss der Flächeninhlt A berechnet werden knn ls F = df = b h(x) g(x)dx = b h(x) g(x) dy dx. Also der Flächeninhlt unter der Kurve, in diesem Fll der Funktion y = h(x), minus dem Flächeninhlt unter der Kurve, hier der Funktion y = g(x). 79
U Hinweise zur erechnung des ebenen Integrls Mn fertige eine Skizze des ereichs n. Dzu knn mn die Schnittpunkte der Kurven, die berndten, verwenden, sowie die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen. Drus ergeben sich die festen Grenzen. Aus der Skizze wird ersichtlich wie mn den ereich in Normlbereiche zerlegen knn. Eine Ursche für die Zerlegung knn sein, dss es mehrere Kuevenstücken/Formeln für die Grenze gibt. Ds innere Integrl ht immer die veränderlichen Grenzen, ds äußere Integrl ht immer die festen Grenzen. eispiel 97: Mn berechne ds Volumen des von z = y2 und dem ereich in der x-yx 2 Ebene berndeten Körpers. Dbei wird von y = x, xy = und y = 2 begrenzt. Lösung: Zu berechnen ist ds Integrl f(x, y) db, f(x, y) = y2 x 2. Um eine Skizze vom ereich nzufertigen, bestimmen wir zunächst die Schnittpunkte der Kurven: Die Schnittpunkte von (6.) und (6.2) sind y = x, (6.) xy = y = x, (6.2) y = 2. (6.3) y = x = x x2 = 0 x,2 = ±, y,2 = ±. Der Schnittpunkt von (6.) und (6.3) ist y = 2 = x x = 2, y = 2. Der Schnittpunkt von (6.2) und (6.3) ist y = x = 2 x = 2, y = 2. Dmit gehören die Punkte (; ), (2; 2) und ( 2 ; 2) zum ereich (wie mn in der Skizze 80
erkennt, gehört der Punkt ( ; ) nicht zu ). Nun können wir ls Normlbereich vom Typ I bzw. Typ II drstellen. Zunächst ls Normlbereich vom Typ I = {(x, y) : 2 x, x y 2} 2 = {(x, y) : x 2, x y 2}. Dmit können wir ds Integrl berechnen: = 2 V = = ( 8 2 f(x, y) db = ( 2 x y 2 3x 2 3x 5 ) x 2 dy ) dx + y 2 x 2 db + dx + 2 y 2 2 2 ( 2 y 2 ) x ( 8 3x 2 x 3 x 2 db x 2 dy dx ) dx = 9 4. y 2 y 2 y x x y x y y x y x 2 x x 2 Für den Normlbereich vom Typ II erhlten wir = {(x, y); y 2, y x y} und ds Integrl wird wie folgt berechnet: V = ( 2 y y ) y 2 2 x 2 dx dy = y2 x x=y x= y dy = 2 ( y + y 3 ) dy = 9 4. 8
eispiel 98: Mn berechne ds Integrl xy db, wobei von der Gerden y = x und der Prbel y 2 = 2x + 6 berndet wird. Es ist sehr sinnvoll zunächst eine Skizze des ereichs nzufertigen, drn knn mn dnn erkennen, welche Grenzen sinnvoller Weise ls fest und welche ls Funktionen gewählt werden sollten. Um die Skizze erstellen zu können, ist es sinnvoll die Schnittpunkte der Kurven und die Schnittpunkte der Kurven mit den Koordintenchsen. Schnittpunkte: Die Schnittpunkte von Gerde und Prbel ergeben sich us y 2 = 2x + 6 = (x ) 2 = x 2 2x + x 2 4x 5 = 0 x /2 = 2 ± 4 + 5 = 2 ± 3 zu den x-werten x = und x 2 = 5, die zugehörigen y-werte sind y = x = 2 und y 2 = x 2 = 4. Wir erhlten lso ( ; 2) und (5; 4) ls Schnittpunkte der Kurven, die Schnittpunkte mit der y-achse sind y = und y = ± 6, wobei wie us der Skizze hervorgeht nur y = 6 zum ereich gehört. Die Schnittpunkte mit der x-achse sind x = 3 und x =. Hier nun eine Skizze des ereichs : y 2x 6 y x -3-5 y 2x 6 Nun muss mn sich überlegen, ob es günstiger ist ls Normlbereich vom Typ I oder vom Typ II zu betrchten. Wie us der Skizze ersichtlich ist, knn mn entweder in 2 ereiche vom Typ I ufteilen oder ls ereich vom Typ II betrchten. Wir betrchten deshlb zunächst ls Normlbereich vom Typ II, d.h. y vriiert in den festen Grenzen und die Grenzen für x sind Funktionen von y. 82
Zunächst lösen wir die Gleichungen für die Rndkurven nch x uf, um die Grenzen für x zu bestimmen, es gilt: y 2 = 2x + 6 x = 2 y2 3 und y = x x = y +. Die Grenzen für y ergeben sich us dem kleinstmöglichen bzw. größtmöglichen Wert den y nnehmen knn, wenn y zum ereich gehört, diese Werte ergeben sich us den Schnittpunkten der Kurve zu y = 2 bzw. y = 4. Dmit erhlten wir = {(x, y) : 2 y2 3 x y +, 2 y 4}. Jetzt können wir ds Integrl berechnen, die inneren Grenzen sind die veränderlichen, lso in diesem Fll die Grenzen für x, deshlb wird zunächst über x und dnn über y integriert: = 4 2 xy db = 4 2 y+ 2 y2 3 xy dx dy = 4 2 2 y x 2 x=y+ x= 2 y2 3 2 (y + )2 y ( ) 2 4 2 2 y2 3 y dy = 2 4 y5 + 4y 3 + 2y 2 8y dy = 36. Will mn den ereich dgegen ls Normlbereich vom Typ I drstellen, so muss er in 2 Teilbereiche ufteilen, d für die untere Grenze von y nicht nur eine Funktion gibt, die diese Grenze beschreibt. Wir hben für 3 x für y die eziehung 2x + 6 dy 83
y 2x + 6, ds ergibt den ereich : = {(x, y) : 3 x, 2x + 6 y 2x + 6}. Im zweiten ereich 2 vriiert x zwischen und 5 und wir müssen bzgl. y von der Gerden y = x bis zur positiven Wurzel 2x + 6 integrieren, d.h. 2 = {(x, y) : x 5, x y 2x + 6}. Somit erhlten wir = 2 = {(x, y) : 3 x, 2x + 6 y 2x + 6} {(x, y) : x 5, x y 2x + 6}. Dmit hben wir ls Normlbereich(e) vom Typ I drgestellt und die festen Grenzen sind bzgl. x, dgegen sind die Grenzen bzgl y veränderlich und mn muss im Integrl zunächst nch y und dnn nch x integrieren. Ds Integrl berechnet sich wie folgt: xy db = xy db = xy db + xy db 2 2 = = 2x+6 3 3 2x+6 x y2 2 xy dy dx + y= 2x+6 y= 2x+6 5 5 dx + 2x+6 x x y2 2 xy dy dx y= 2x+6 y=x dx 84
= 3 5 (x )2 x(x + 3) x(x + 3) dx + x(x + 3) x dx = 2 8 x4 + 2 3 x3 + 5 5 4 x2 = 36 emerkung 28: Es ist immer möglich einen regulären ereich, d.h. ist bgeschlossen (der Rnd von gehört mit zur Menge ), ds Innere von = \ ist offen und zusmmenhängend (muss nicht einfch zusmmenhängend sein), der Rnd besteht us endlich vielen regulären Kurven, in Normlbereiche vom Typ I und Typ II zerlegt werden. Rerechnung des Doppelintegrls. I = f(x, y) dx dy.. Schritt: Mn zerlege durch chsenprllele Schnitte in Normlbereiche vom Typ I bzw. II: = 2... n. 2. Schritt: Ist k vom Typ I, so berechnet mn zuerst ds Prmeterintegrl und dmit I k := b F(x) dx; d.h. k f(x, y) dx dy = F(x) := h(x) g(x) b ( h(x) g(x) f(x, y) dy ) b f(x, y) dy dx = F(x)dx. Ist l vom Typ II, so berechnet n zuerst ds Prmeterintegrl und dmit I l := d c G(y) dy; d.h. l f(x, y) dx dy = G(y) := r(y) l(y) d ( r(y) c l(y) f(x, y) dx ) d f(x, y) dx dy = F(x)dy. c Die Reihenfolge der Integrtionen knn nicht vertuscht werden, sie hängt vom Typ des Normlbereichs und dmit dvonb, welche Veränderliche die festen Grenzen ht und für welche Vrible die Grenzen Funktionen der nderen Veränderlichen sind. 3. Schritt: I = I + I 2 +... + I n. 85
6..4 Anwendung: Integrlstz von Green Einen Zusmmenhng zwischen einem Kurvenintegrl 2. Art und einem ebenen Integrl stellt der Stz von Green dr. Aus strömungsmechnischer Sicht ist der Stz von Green die ebene Vrinte des Stzes von Stokes. Stz 32: Es sei ein regulärer ereich, der von den Kurven(stücken) γ, γ 2,..., γ k, die positiv orientiert sind (wenn die Kurve durchlufen wird, liegt der ereich immer links), berndet wird. die Funktionen P(x, y) und Q(x, y) seien stetig prtiell differenzierbr in der offenen Menge D, die den regulären ereich enthält. Dnn gilt Q P(x, y) dx + Q(x, y) dy = x P dy db. eweis: Wir wollen den Stz nur für ein einfch zusmmenhängendes Gebiet, ds sowohl ls Normlbereich vom Typ I ls uch ls Normlbereich vom Typ II drgestellt werden knn. Stellen wir zunächst ls Normlbereich vom Typ I dr: x=. ereich ls Normlbereich vom Typ I y=h(x) Integrtion von unten nch oben. x=b y=g(x) Die Pfeile geben die positive Orientierung der Rndkurve n. so lässt sich der ereich drstellen ls Dnn gilt P y db = b h(x) g(x) = {(x, y) : x b, g(x) y h(x)}. P y dy dx = b P(x, h(x)) P(x, g(x)) dx = P(x, y) dx. γ Dbei ergibt sich ds Minus vor dem 3. und 4. Integrl ddurch, dss die Prmetrisierung für die Rndkurve γ gerde ( t g(t) ) ( t h(t) ), t b, 86
ist, d.h. die zweite Kurve wird gerde entgegengesetzt durchlufen. Wir erhlten dmit ls Teilresultt: P P(x, y) dx = y db. Stellt mn nun ls Normlbereich vom Typ II dr:. y=d γ ereich ls Normlbereich vom Typ II x=r(y) x=l(y) Integrtion von links nch rechts. y=c Die Pfeile geben die positive Orientierung der Rndkurve n. so lässt sich der ereich drstellen ls dnn ergibt sich Q x db = d c = {(x, y) : l(y) x r(y), c y d}, r(y) l(y) Q x dx dy = d c Q(r(y), y) Q(l(y), y) dy = Addiert m nun beide eziehungen so ergibt sich die ehuptung. # γ Q(x, y) dy. 6.2 Trnsformtion von Doppelintegrlen In diesem Abschnitt geht es drum, wie sich Doppelintegrle unter Veränderungen des Integrtionsbereichs verhlten. ereits für den Fll eindimensionler Integrle ist eine entsprechende Formel, nämlich die Substitutionsformel. eispiel 99: Substitution eindimensionler Integrle. Ds Integrl b f(x) dx soll mittels der Substitution x = g(t) berechnet werden. Mn knn diese Substitution wie folgt ( ) ( ) x t interpretieren: Der Integrtionsbereich wird von der Kurve γ = = mit y 0 ( ) ( ) x g(t) dem Prmeter t, t b uf die Kurve γ 2 = = trnsformiert mit y 0 t 0 t t, wobei hier g(t 0 ) = und g(t ) = b der Anfngs- bzw. Endpunkt der Kurve sind. Die Trnsformtion g bewirkt eine Verzerrung des Integrtionsbereichs. (Stellen Sie sich den Integrtionsbereich ls eine Art elstisches Gummibnd vor, dnn 87