Determnanten - I Ene Determnante st ene Abbldung, welche ener quadratschen (!) Matrx ene Zahl zuordnet. Wr verwenden n desem Zusammenhang de Schrebwese A = a 2, wobe den -ten Zelenvektor der n n-matrx A bezechnet. Defnton. Ene Abbldung det : M(n n; K) K heßt (n-rehge) Determnante, wenn glt (D1) : det st lnear n jeder Zele, d.h. falls = a + a = λa, dann st det det = det = λ det a + det a a bzw. bzw. (D2) : det st alternerend, d.h. glt = für j, dann st deta = 0. (D3) : dete n = +1. Wr werden erst etwas später de Exstenz und Endeutgket von derartgen Abbldungen nachwesen, wobe de Endeutgket aus der Normerungsegenschaft (D3) folgen wrd. Satz. Zu jedem n N gbt es genau ene Abbldung det : M(n n; K) K mt den Egenschaften (D1), (D2), (D3). 1
Aus den dre defnerenden Egenschaften können wr nun ene Rehe weterer Egenschaften herleten. (D4) : det(λa) = λ n deta für λ K und A M(n n; K) (D5) : mt = (0,., 0) deta = 0 (D6) : B entstehe aus A durch Vertauschen von zwe (verschedenen) Zelen detb = deta (Vorzechenwechsel!) (D7) : B entstehe aus A durch Addton der λ-fachen j-ten Zele zur -ten Zele ( j) detb = deta. (D8) : Se A ene obere (bzw. untere) Dreecksmatrx mt Hauptdagonalelementen λ 1, λ 2,., λ n. Dann st deta = λ 1 λ 2. λ n. (D9) : deta = 0, a 2,., snd lnear abhängg. (D10) : deta 0 A st nverterbar. (D11) : A, B M(n n; K) det(a B) = deta detb Folgerung. Ist A nverterbar, d.h. A 1, dann det(a 1 ) = 1 deta. Bewes. zu (D4) : A = det(λa) = λ det λa 2 λ λa = = λ2 det λ λ a 2 λ. Mt (D1) folgt =. = λn det A. zu (D5) : Se = (0,., 0) = 0. Mt (D1) : det A = 0. zu (D6) : Se j. 2
= det 0 (D2) = det = det Damt glt + + + det + det det j = det + det. j + = det + det + det. + = = zu (D7) : + λ det j = det (D1) + λ det (D2) = det A. zu (D8) : (für obere Dreecksmatrx) ) Ist λ = 0 für en {1, 2,., n}, dann kann A durch elementare Zelenumformungen vom Typ III und Typ IV n ene obere Dreecksmatrx B übergeführt werden, be der de n-te Zele ene Nullzele st. Dann st det A = ± det B = 0. ) Sonst glt λ 0. Mt (D1) st dann det A = λ 1 λ 2.λ n det B 3
wobe B = 1 0 1 0 0 0 1. B kann durch elementare Zelenumformungen vom Typ III n de Enhetsmatrx E n übergeführt werden. Wegen (D7) st det B = det E n = 1 und damt det A = λ 1 λ 2. λ n. Folgerung. Ist A ene Block-Matrx der Form A = A 2 quadratsch snd, dann glt ( A1 C 0 A 2 ), wobe A 1 und det A = det A 1 det A 2. Bewes. Durch Zelenumformungen vom Typ III und Typ IV führe A 1 n ene obere Dreecksmatrx B 1 über. Aus C werde dabe C. A 2 blebt dabe unverändert. ( ) ( ) A1 C B1 C 0 A 2 0 A 2 Dann st det A 1 = ( 1) k det B 1 (k Anzahl der Zelenvertauschungen). Im nächsten Schrtt führe A 2 n ene obere Dreecksmatrx B 2 über. Dabe bleben B 1 und C unverändert. ( ) ( ) B1 C B1 C = B 0 A 2 0 B 2 Dann st det A 2 = ( 1) l det B 2 (l Anzahl der Zelenvertauschungen). De Matrx B st offenbar ene obere Dreecksmatrx, für de glt det B = det B 1 det B 2. Dann st det A = ( 1) k+l det B = ( 1) k det B 1 ( 1) l det B 2 = det A 1 det A 2. zu (D9) : Man führe A durch Zelenumformungen vom Typ III und Typ IV n ene Matrx B n Zelenstufenform über. 4
Dann st det A = ± det B und Zelenrang von B = Zelenrang von A. B habe de Zelenvektoren b 1, b 2,., b n. Dann glt (b 1,., b n ) lnear unabhängg Zelenrang von B = n B st obere Dreecksmatrx, wo alle Hauptdagonalelemente λ 1,., λ n 0 snd det B 0 (wegen (D8)). Somt glt (,., ) lnear unabhängg (b 1,., b n ) lnear unabhängg det A = ± det B 0 bzw. det A = 0 (,., ) st lnear abhängg. zu (D10) : folgt aus (D9). A st nverterbar RgA = n det A 0. zu (D11) : Ist RgA < n (und damt det A = 0) oder RgB < n (und damt det B = 0), dann st nach der Unglechung von Sylvester Rg(A B) < n, also det(a B) = 0. Ist det(a B) = 0, dann st Rg(A B) < n, und wederum folgt mt der Unglechung von Sylvester, dass RgA < n oder RgB < n bzw. det A = 0 oder det B = 0 und damt det A det B = 0. Se also RgA = n und RgB = n. Man überlegt sch zuerst lecht : st C ene belebge n n Matrx und C 1 ene Elementarmatrx der Form S (λ) oder Q j oder Q j ( 1), dann st det(c 1 C) = det C 1 det C. De Matrx A kann nun durch Zelenumformungen vom Typ I und Typ II n de Enhetsmatrx E n übergeführt werden, und, we wr wssen, entsprcht derartgen Zelenumformungen de Multplkaton von lnks mt ener Elementarmatrx S (λ) oder Q j. Also gbt es Elementarmatrzen D (vom Typ I bzw. Typ II), sodass D s. D 1 A = E n bzw. A = D 1 1. D 1 s = C 1. C s, wobe C = D 1 vom Typ I, Typ II oder vom Typ Q j ( 1) st. Damt st det(a B) = det(c 1. C s B) = det C 1 det(c 2. C s B) = 5
= det C 1 det C 2 det(c 3. C s B) =. = det C 1 det C 2. det C s det B Wegen A = C 1. C s erhält man n analoger Wese det A = det C 1 det C 2. det C s. Insgesamt ergbt sch somt det(a B) = det A det B. Ist A nverterbar, dann st det A 0 und A A 1 = E n. Folglch st 1 = det E n = det(a A 1 ) = det A det(a 1 ), und damt det A 1 = 1 det A. Wr zegen nun de Exstenz der Determnantenfunkton und dass se endeutg bestmmt st. 1 Satz. Abbldung det : M(n n; K) K, welche (D1), (D2) und (D3) erfüllt, und det A = sgnσ σ(1) a 2σ(2).σ(n). Bewes. ) (Endeutgket) Jede Determnante, falls se überhaupt exstert, hat notwendgerwese obge Form. Se A = a 2. Dann st = 1 e 1 + 2 e 2 +. + n e n. det A (D1) = n = n 1, 2,, n =1 1 =1 1 det e 1 a 2 = 1 a 22.n det n n 1 1 =1 2 =1 e 1 e 2 e n. a 22 det e 1 e 2 =. = 6
Wegen (D2) st det von (1, 2,., n) st. e 1 e 2 e n Damt det A = σ(1) a 2σ(2).σ(n) det = 0, wenn ( 1, 2,., n ) kene Permutaton e σ(1) e σ(2) e σ(n). Wel jeder Zelenvertauschung ene Transposton entsprcht, st e σ(1) e 1 det e σ(2) = sgnσ det e 2 = sgnσ und damt e σ(n) e n det A = sgnσ σ(1) a 2σ(2).σ(n). ) (Exstenz) Wr zegen nun, dass de Abbldung det A = sgnσ σ(1) a 2σ(2).σ(n) tatschlch de Egenschaften (D1), (D2) und (D3) erfüllt. det a + a = sgnσ σ(1). (a σ() + a σ() ). σ(n) = = sgnσ σ(1). a σ(). σ(n) + sgnσ σ(1). a σ(). σ(n) = = det a + det a. Analog zegt man, dass Damt st (D1) erfüllt. det λa = λ det a. 7
Se nun a k = a l für k < l und τ jene Transposton, de k und l vertauscht. Dann st (sehe vorher) S n de dsjunkte Verengung S n = A n A n τ. Durchläuft σ de Menge A n, dann durchläuft σ τ de Menge A n τ. Damt erhalten wr det A = σ(1) a 2σ(2).σ(n) σ A n σ A n σ(τ(1)) a 2σ(τ(2)).σ(τ(n)). Wel a k = a l (somt a kσ(l) = a lσ(l) und a kσ(k) = a lσ(k) ), erhalten wr σ(τ(1)). a kσ(τ(k)). a lσ(τ(l)). σ(τ(n)) = σ(1). a kσ(l). a lσ(k). σ(n) = = σ(1). a kσ(k). a lσ(l). σ(n) = σ(1). σ(n). Damt heben sch de Summanden gegensetg auf und det A = 0. Also glt (D2). { 1 falls = j Ist δ j = 0 falls j das Kronecker Symbol, dann glt offenbar δ 1σ(1) δ 2σ(2).δ nσ(n) = { 1 falls σ = d 0 falls σ d. Damt st det E n = det(δ j ) = sgnσ δ 1σ(1) δ 2σ(2). δ nσ(n) = +1. Bemerkung. Ene häufge Schrebwese st auch 1... n 1... n det... =... 1 a nn 1 a. nn 8