. Juli 28 3 9 Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n k= k k, X D. Es sei D 3 offen und = [, 2, 3 ] T : D 3 stetig differenzierbar. Unter der otation des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck 3 2 2 3 rot := 3 3. 2 2 Merkhilfen div =. n T. rot = n 2 3 2 3 Man beachte, dass rot = äquivalent ist zur Integrabilitätsbedingung i j = j i, i, j 3 (siehe (7.2)). Insbesondere ist die otation eines Gradientenfeldes = grad ϕ einer zweimal stetig differenzierbaren unktion ϕ gleich. In diesem Sinne misst rot die Abweichung des Vektorfeldes von einem Gradientenfeld. Geometrische Bedeutung der otation Eine starre Drehnung um die durch einen ichtungsvektor a beschriebene Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω wird beschrieben durch die Abbildung a 2 3 a 3 2 : ω a = ω a 3 a 3. a 2 a 2 Die zugehörige Abbildungsmatri lautet also a 3 a 2 A = ω a 3 a a 2 a und diese Matri ist schiefsymmetrisch: A T = A.
. Juli 28 32 Es sei nun = [, 2, 3 ] T ein beliebiges differenzierbares Vektorfeld. Zu gegebenem Punkt X ist dann die lineare Approimation von in X gegeben durch Beachte nun, dass rot (X ) (X X ) = X X + J (X )(X X ). 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 = (J (X ) J (X ) T )(X X ). (X X ) rot (X ) beschreibt also den schiefsymmetrischen Anteil der linearen Approimation des Vektorfeldes in X. Diesen können wir als starre Drehung um die durch rot (X ) beschriebene Achse auffassen. Bemerkungen (i) Laplace-Operator Ist f : D n zweimal stetig differenzierbar, so folgt f div ( grad f) = div. = 2 f +... + 2 f 2 f 2 n n Die Zuordnung f div ( grad f) heißt Laplace-Operator. Statt div ( grad f) schreibt man auch f. (ii) Ist : D 3 ein Gradientenfeld, also = grad f für eine unktion f, und ist f zweimal stetig differenzierbar, so folgt aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen von f rot = rot ( grad f) =. Es gilt also: Jedes stetig differenzierbare Potentialfeld hat otation. (iii) Ist : D 3 zweimal stetig differenzierbar, so folgt 9.2 Integration über lächen div ( rot ) =. Definition Es sei D 2 offen und die abgeschlossene Hülle D := D D sei messbar und kompakt. Es sei G 2 offen, D G, und = 2 : G 3 3 sei stetig differenzierbar und die Matri y J = 2 2 y 3 3 y
. Juli 28 33 habe für alle X = [, y] T D vollen ang (d.h. ang 2, d.h. die Spaltenvektoren sind linear unabhängig). Dann heißt reguläre läche (über D) und die Punktmenge := 2 : =, 2 = 2, 3 = 3 für ein X D 3 heißt reguläres lächenstück. Beispiel 9. ugeloberfläche im 3 = y auf G = {X : X < } 2 2 y 2 ist stetig differenzierbar und J = 2 2 y 2 y 2 2 y 2 hat für alle X G vollen ang. Es sei D = {X : X < ε} für ein ε ], [, also D = {X : X ε}. Dann ist eine reguläre läche. : D 2 Es sei eine reguläre läche über D. ür X D heißt die durch die Vektoren = 2 y und y = 2 3 y 3 y aufgespannte Ebene T : + λ + µ y, λ, µ Tangentialebene an die läche im Punkte X. Der hierzu orthogonale Vektor N := y y, X D heißt Normalenvektor an die läche im Punkte X. Beispiel 9.2 In der Situation des Beispiels 9. ist y = 2 2 y 2 y 2 2 y 2 = 2 2 y 2 y 2 2 y 2
. Juli 28 34 also N = y. 2 2 y 2 Die Tangentialebene T im Punkte X wird durch die Vektoren und y aufgespannt. Der lächeninhalt des von und y aufgespannten Parallelogramms ist gerade y. Dies motiviert: Definition Es sei reguläre läche über D, H : stetig. Dann heißt D H( (, y)) (, y) y (, y) d(, y) =: das Oberflächenintegral von H über der läche. Insbesondere heißt dσ = der lächeninhalt der läche. Beispiel 9.3 In der Situation des Beispiels 9. ist y 2 = D (, y) y (, y) d(, y) H dσ 2 + y 2 2 2 y 2 + = 2 2 2 y 2. ür die Oberfläche der Halbkugel ergibt sich damit dσ = d(, y) G 2 2 y2 mit G = {[, y] T : 2 + y 2 < 2 }. Zur Berechnung des Integrals auf der rechten Seite wählen wir Polarkoordinaten im 2 : [ ] r cos ϕ g(r, ϕ) =, r sin ϕ also g (G) = ], [ ], 2π[, und damit 2 2 y d(, y) = 2 G = g (G) 2π r d(r, ϕ) 2 r2 r dϕ dr = 2π 2. 2 r }{{ 2 } = d dr 2 r 2 Die Oberfläche der Halbkugel mit adius beträgt somit 2π 2 und die Oberfläche der ugel mit adius somit 4π 2.
. Juli 28 35 9.3 Integralsätze Satz (Gaußscher Integralsatz für den 3 ) Es sei 3 ein regulärer Normalbereich, G, G offen, H : G stetig differenzierbares Vektorfeld und N : 3 äußere Normale des andes, so gilt div H d(, y, z) = H, N dσ. Beispiel 9.4 (i) Wir berechnen den luss H, N dσ des Vektorfeldes 2z H(, y, z) = + y durch die Oberfläche der ugel : 2 + y 2 + z 2 2. Nach dem Gaußschen Divergenzsatz gilt H, N dσ = div H d(, y, z) = (siehe Beispiel 8.2). (ii) Zu berechnen ist der luss H, N dσ des Vektorfeldes y 2 H(, y, z) = durch die Oberfläche des Zylinderausschnitts 2 y y : 2 + y 2, z. Nach dem Gaußschen Divergenzsatz gilt H, N dσ = div H d(, y, z) = (y 2 + 2 ) d(, y, z) = 2π d(, y, z) = 4 3 π3 r 2 r dr dϕ dz = π. wobei wir in der vorletzten Gleichheit Zylinderkoordinaten eingesetzt haben (siehe Beispiel 8.3). Zur geometrischen Interpretation des Gaußschen Integralsatzes Das Oberflächenintegral H, N dσ beschreibt den mittleren luss des Vektorfeldes H durch die Oberfläche von (von innen nach außen).
. Juli 28 36 Beschreibt H das Geschwindigkeitsfeld einer lüssigkeitsströmung, so gilt H, N dσ = H, y y y d(, y) = H, y }{{} dσ. Spatprodukt von H,, y Zur Erinnerung: Das Spatprodukt von H,, y ist gerade das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Also beschreibt H, N dσ das Volumen derjenigen lüssigkeit, die durch das Oberflächenelement dσ strömt und damit H, N dσ das Gesamtvolumen der durch die Oberfläche strömenden lüssigkeitsmenge. Nach dem Gaußschen Integralsatz ist diese Menge gleich dem Integral div H d(, y, z) über die Divergenz von H. ür jede ganz in liegende ugel r mit Mittelpunkt X und adius r gilt insbesondere div H d(, y, z) = H, N dσ r r und für kleine adien wird gelten div H d(, y, z) div H r, also r div H H, N dσ. r r Damit wird deutlich: die Divergenz von H misst den aus einer Volumeneinheit austretenden luss. Deshalb heißt div H auch die Quelldichte. Punkte X mit div H > heißen Quellen div H < heißen Senken. H heißt quellenfrei, wenn div H = für alle X. Illustrationen In einer ugel betrachten wir die Geschwindigkeitsfelder zweier lüssigkeiten: (a) gleichförmiger Durchfluss v H(, y, z) = v 2 also div H = v 3
. Juli 28 37 und daher div H d(, y, z) =. ür das Oberflächenintegral gilt andererseits: H, N dσ = v, y (, y) d(, y) + v, ˆ ˆ y (, y) d(, y) = G G (siehe Beispiel 9.). Hierbei bezeichnet ˆ (, y, z) = y die Oberfläche der unteren 2 2 y 2 Halbkugel. (b) Geschwindigkeitsfeld mit Quelle H(, y, z) = y, div H(, y, z) = 3, also z div H d(, y, z) = 3 = 3 4 3 π3 = 4π 3. Andererseits H, N dσ = 2, y (, y) d(, y) G }{{} 2 2 y 2 = 2 G = 2 +y 2 2 2 y 2 + 2 2 2 y 2 d(, y) = 2 2π2. Satz (Stokesscher Integralsatz) Es sei : G 2 3 eine reguläre läche über D, D G, G offen. sei zweimal stetig differenzierbar, D sei ein Normalbereich und X : [a, b] 2 eine positiv orientierte stetig differenzierbare Parametrisierung des andes D. Dann ist Y (t) = (X(t)), t [a, b], eine positiv orientierte Parametrisierung des andes von 3. Es sei H : U 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit U. Dann gilt rot H, N dσ = H dy. Beispiel 9.5 Es sei > und (, y) = y, [, y] T D := {X 2 : X < } 2 2 y 2 die läche, die die Oberfläche der oberen Halbkugel mit adius beschreibt, also N(, y) = y y. Desweiteren sei H(, y, z) =, also rot H(, y, z) = [,, 2] T, und 2 2 y 2 damit rot H, N dσ = = 2π 2N 3 dσ = 2r dr dϕ = 2π 2. D 2 2 2 y 2 d(, y) 2 2 y2
. Juli 28 38 Andererseits können wir D durch die urve [ ] cos t X(t) =, t [, 2π] sin t parametrisieren, also folgt für die urve cos t Y (t) = (X(t)) = sin t, t [, 2π] dass H dy = 2π sin t cos t Hierdurch wird der Stokessche Integralsatz bestätigt. T sin t cos t dt = 2π 2. Zur geometrischen Interpretation des Stokesschen Intergralsatzes Das Wegintegral H dy beschreibt die Zirkulation des Vektorfeldes entlang des andes von. Analog zum Gaußschen Integralsatz ergibt sich für jedes kreisförmige Teilstück S r der läche um einen lächenpunkt X: rot H, N dσ = H dy S r S r und für kleine adien r wird gelten rot H, N dσ rot H, N S r also S r rot H, N H dy. S r S r Hiermit wird deutlich: rot H, N misst die Zirkulation pro lächeneinheit und heißt entsprechend Wirbelstärke von H um N.