Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4
Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen Sie (R + ϱ cos ϑ) cos ϕ (R + ϱ cos ϑ) sin ϕ ϱ sin ϑ. den Oberflächeninhalt des Torus TR r : T ([, r] [, π] [, π]) mit r [, R],. den Fluß des Vektorfeldes v : R 3 R 3, v(x) x, durch die Oberfläche von T r R direkt,.3 den Fluß des Vektorfeldes v : R 3 R 3, v(x) x, durch die Oberfläche von T r R mit Hilfe des Satzes von Gauß. Lösung: (.) Die Oberfläche von T r R wird beschrieben durch die Parametrisierung x : [, π] [, π] R 3, x(ϕ, ϑ) T (r, ϕ, ϑ). Wir berechnen und daraus x ϕ (R + r cos ϑ) sin ϕ (R + r cos ϑ) cos ϕ x ϕ x ϑ r(r + r cos ϑ) cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ, x ϑ r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ mit x ϕ x ϑ r(r + r cos ϑ). Damit erhalten wir für den gesuchten Flächeninhalt F (M) der Torusoberfläche M: π π F (M) do r(r + r cos ϑ) dϕ dϑ πr [ Rϑ + r sin ϑ ] π 4π Rr. M (.) Der Fluß des Vektorfelds v : R 3 R 3, v(x) x, durch die Oberfläche M von TR r läßt sich mit Hilfe der Formel aus der Vorlesung berechnen: π π v do v(x(ϕ, ϑ)) T (x ϕ x ϑ ) dϕ dϑ M π π ( ) r Rr + (R + r ) cos ϑ + Rr cos ϑ dϕ dϑ πr [ ( ϑ Rrϑ + (R + r ) sin ϑ + Rr + sin(ϑ) 4 ) ]π 6π Rr.
(.3)Für die Integration von cos ϑ verwenden wir die Formelsammlung. Für das Vektorfeld v gilt div(v) 3. Daher erhalten wir für den Fluß von v durch die Oberfläche M des Torus TR r mit dem Satz von Gauß r π π v do div(v) dv 3 det J x (ϱ, ϕ, ϑ) dϑ dϕ dϱ M TR r r π π π R r 3ϱ(R + ϱ cos ϑ) dϑ dϕ dϱ 3 ϱ dϱ 6π Rr. Aufgabe (Gauss) erechnen Sie das Integral x + e y +z I y + x z dσ, W z e y r π [ϱrϑ + ϱ sin ϑ] π ϑ dϕ dϱ wobei W der Einheitswürfel mit den Ecken in (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) und (,, ). Lösung: Auf herkömmlichem Wege müßten wir uns jetzt mit sechs Flächenintegralen herumschlagen, je eines für jede Würfelseite. Auch wenn es nicht schwer wäre, die Flächen zu parametrisieren und die Normalenvektoren zu ermitteln, wäre das erechnen von sechs Doppelintegralen doch ein beachtlicher Aufwand. Versuchen wir es stattdessen lieber mit dem Satz von Gauß. Unser Vektorfeld ist ja seine Divergenz ergibt sich also zu x + e y +z v(x, y, z) y + x z, z e y div v x( x + e y +z ) + ( y + x z ) + ( z e y) x + y + z. y z Mit dem Satz von Gauß haben wir jetzt also nur noch ein Volumenintegral zu ermitteln: I (x + y + z) dv W (x + y + z) dx dy dz (x + y + ) dx dy (x + ) dx 3. 3
Aufgabe 3 (Gauß) Man bestätige den Satz von Gauß in der Ebene für die Funktion u(x, y) (x + y ) 5 : u dxdy u, n ds, wobei eine Kreisscheibe vom Radius R sei. Lösung: Zuerst berechne man die benötigten Ableitungen u x 5x(x + y ) 3 u y 5y(x + y ) 3 u x 5x (x + y ) + 5(x + y ) 3 u x 5y (x + y ) + 5(x + y ) 3 und somit ist u 5(x + y )(x + y ) + (x + y ) 3 5(x + y ) 3. Der nach außen deutende Normalenvektor von ist n(x, y) womit sich das folgende Skalarprodukt ergibt: ( ) 5x(x u, n + y ) 3 5y(x + y ) 3 x x +y y, x +y x x +y y x +y 5(x + y ). Aufgrund der sphärischen Symmetrie von bietet sich zur erechnung der Integrale eine Transformation in Polarkoordinaten an. Für das ereichsintegral erhält man R π R u dxdy 5r 3 rdrd 5π r 4 dr πr 5. Der Rand von lässt sich in Polarkoordinaten einfach parametrisieren. Für den Kreisbogen gilt s Rϕ und somit ergibt sich für das Randintegral π u, n ds 5(x + y ) ds 5 r 4 ds 5R 5 d πr 5. Damit ist der Satz von Gauß für dieses eispiel verifiziert. 4
Aufgabe 4 (Gauss) Man berechne mit Hilfe des Divergenzsatzes von Gauß das Flächenintegral z x v ds für das Vektorfeld v(x, y, z) xy, 3z wobei die Oberfläche des Gebietes ist, welches durch die Fläche z 4 y und die drei Ebenen x, x 3, z begrenzt ist. Lösung: Das durch die Flächen definierte Gebiet hat die Form eines Tunnels mit parabelförmigem Querschnitt, welcher sich entlang der x-achse erstreckt. Die x-y-ebene bildet den oden des Tunnels der bei x anfängt und bei x 3 endet. Präzise formuliert handelt es sich um das dreidimensionale Normalgebiet {(x, y, z) x 3, y, z 4 y }. Wendet man den Divergenzsatz von Gauß auf das Oberflächenintegral an, d. h. v ds v dv, so erhält man ein Volumenintegral welches sich bezüglich dieses Normalgebiets wie folgt berechnet 3 ( ( 4 y ) ) v dv ( x) dv ( x)dz dy dx Γ Γ 3 ( 3 ) ( z xz ) 4 y dy dx ( x )( 4y 3 y3) dx 3 3 3 [ 3 ] ( x)(4 y )dy ( x ) dx 3 ( 3 x x) 3 6. Aufgabe 5 (Satz von Green) Zeigen Sie, dass der ebene Satz von Green ein Spezialfall des Satzes von Stokes ist. dx Lösung:Es sei dazu v (v, v, ) und {(x, y, ) x, y R}. Es gilt dann u v (,, ) (nach entsprechender Wahl von u und v). Nach dem Satz von Stokes gilt dann v ds rot(v) ds rot(v) v ( u v )dudv x v y dudv. 5
Aufgabe 6 (Satz von Green) Man verifiziere für das Vektorfeld v(x, y) (xy x, x + y ) und das Gebiet, das durch y x und y x begrenzt wird, den Satz von Green. Lösung: Die beiden Kurven y x und y x schneiden sich in (, ) und (, ). Das Kurvenintegral entlang des Randes muss entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Entlang der Kurve x t, y t, t [, ], erhält man das Kurvenintegral [( x(t)y(t) x(t) ) ẋ(t) + ( x(t) + y(t) ) ẏ(t) ] dt [ t 3 t + (t + t 4 )t ] dt [ t 3 + t + t 5] dt 7 6 und entlang der Kurve x ( t), y t (t [, ]) das Integral [( (x(t)y(t) x(t) ) ẋ(t) + ( x(t) + y(t) ) ẏ(t) ] dt [( ( t) 3 ( t) 4) ( )( t) ( t) ] dt [ ( t) 5 4( t) 4 ( t) ] dt 3 ( t)6 + 4 5 ( t)5 + 3 ( t)3 Somit ergibt das gesamte Kurvenintegral 7 6 7 5 3. 3 4 5 3 7 5. Der Satz von Green behauptet nun die Identität dieses Kurvenintegrals mit dem Gebietsintegral ( x (x + y ) ) y (xy ( ) x ) dxdy x dxdy. Um dieses Integral zu berechnen, beschreiben wir als Normalbereich: Damit ergibt sich der Wert ( x ) dxdy {(x, y) x, x y x}. x womit der Satz von Green bestätigt ist. ( ) y xy x dx x ( ) x dydx x ( 3 x x x + x 3) dx 3 x 3 4 5 x 5 3 x3 + x4 3, 6
Aufgabe 7 (Satz von Stokes) Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld v : R 3 R 3, v(x, x, x 3 ) (x x 3, x, x x 3 ) T auf dem Stück des Kegelmantels x + x x 3, das zwischen den Ebenen x 3 und x 3 liegt. Worauf ist bei der Parametrisierung der Randkurve des Kegelmantelstücks zu achten? Lösung: Auf einer stückweise regulären, orientierbaren Fläche S mit positiv umlaufenem Rand S gilt für ein in einer Umgebung von S stetig differenzierbares Vektorfeld v der Satz von Stokes: v T dx rot v T do. S In unserem eispiel ist S der Kegelmantel M {(x, x, x 3 ) T R 3 x + x x 3, x 3 } mit Rand M {(x, x, x 3 ) T R 3 x + x, x 3 } (Skizze!). Um den Satz von Stokes für das Vektorfeld v : R 3 R 3, v(x, x, x 3 ) (x x 3, x, x x 3 ) T zu verifizieren, benötigen wir noch Parametrisierungen von M und M. Mit lick auf die Skizze beschreiben wir M durch die Abbildung S x : [, ] [, π] R 3, x(z, ϕ) (z cos ϕ, z sin ϕ, z) T mit x z x ϕ ( z cos ϕ, z sin ϕ, z) T. Achtung: M ist positiv bezglich der nach oben gerichteten Flächennormalen x z x ϕ von M zu parametrisieren. Man überlege sich anhand der Skizze, dass k : [, π] R 3, k(t) (cos t, sin t, ) T eine positive Parametrisierung von M liefert! Für die linke Seite im Satz von Stokes erhalten wir folglich π π v T dx v(k(t)) T k(t) dt cos t sin t + sin t cos t dt. S Für die rechte Seite im Satz von Stokes gilt ebenso π rot v T do z (cos ϕ+cos ϕ sin ϕ) dϕ dz S z [ sin ϕ+ sin ϕ] π dz, wobei wir den Ausdruck cos ϕ sin ϕ mittels Formelsammlung integrieren. Somit ist die Aussage des Satzes von Stokes für unser eispiel bestätigt. Aufgabe 8 (Satz von Stokes) Man bestätige den Satz von Stokes 3y rotv ds v ds für das Vektorfeld v(x, y, z) xz, yz 7
wobei die Fläche des Paraboloids z x + y mit negativer z-komponente des Flächennormalenvektors darstellt, welches durch die Ebene z mit dem Rand begrenzt ist. Lösung: Das Kurvenintegral: Der Rand γ von ist der Kreis {(x, y, z) x + y 4, z }. Hierfür findet man die Parametrisierung cos t γ : t [, π] sin t, wobei wir natürlich darauf geachtet haben, dass die Raumkurve bzgl. dem angegebenen Normalenvektor positiv orientiert ist. Somit erhält man das Kurvenintegral γ v ds π π 6 sin t sin t 4 cos t cos t dt 8 sin t ( ) 8 + 4 sin t dt π. π ( ) sin t + 8 cos t dt Das Flächenintegral: Die Rotation des Vektorfelds v beträgt z + x w rotv. z 3 Die Funktion der Fläche und der Flächennormalenvektor u v lauten u u (u, v) v und u v v mit u v + u + v, (u + v ) wobei wir uns vor der Angabe des Definitionsbereichs D von noch drücken, da wir das entstehende Integral natürlich vorteilhaft in Polarkoordinaten auswerten werden; hierbei wird der Definitionsbereich zu einem Rechteck. Übrigens müssen wir die Reihenfolge von u und v noch vertauschen, da der bisherige Flächennormalenvektor u v eine 8
positive z-komponente hat. Mit v u erhalten wir: rotv ds w ds w((u, v)) ( v u ) dudv D 4 (u + v ) + u u v dudv D (u + v ) 3 D 4 u( u + v ) + u + ( u + v ) + 3 dudv π 4 r5 cos ϕ + r cos ϕ + r + 3d rdr πr 3 + πr 3 + 6πrdr π r4 + 3πr π. Somit ist der Satz von Stokes in diesem Fall verifiziert. Aufgabe 9 (Satz von Stokes) Gegeben sind das Vektorfeld v und die Fläche v(x) xz, x R 3 cos ϕ sin ϑ und (ϕ, ϑ) sin ϕ sin ϑ, ϕ [, π], ϑ [, π ] 4. xy cos ϑ Man berechne mit Hilfe des Satzes von Stokes das das Flächenintegral rotv ds. Lösung: Offensichtlich handelt es sich bei der parametrisierten Fläche um ein Segment der Oberfläche einer Kugel mit Radius, d. h., {(x, y, z) x +y +z, z }. Vergleiche hierzu die Darstellung einer Sphäre in Polarkoordinaten. Der Rand der Fläche ist der Kreis γ mit Parameterdarstellung γ(ϕ) cos ϕ sin ϕ mit ϕ [, π]. Nun kann man den Satz von Stokes v ds γ rotv ds anwenden und das Kurvenintegral berechnen: π v ds cos ϕ sin ϕ γ cos ϕ d cos ϕ sin ϕ π ( ) sin ϕ + cos ϕ d 4 π d π. 9
Man beachte, dass gemäß unserer Orientierung wir den Fluss von innen nach außen berechnet haben. Aufgabe (Maxwell) Leiten Sie mithilfe der Integralsätze aus der folgenden differentiellen Form der Maxwell-Gleichungen die integrale Darstellung her: rot(h) Ḋ j, rot(e)+ḃ, div(d)ρ, div(). Lösung: Es bezeichnen E das elektrische Feld, D die Verschiebungsdichte, die Induktionsdichte, ρ die Ladungsdichte (Ladung pro Volumen), j die Stromdichte (Strom pro Fläche). H das magnetische Feld, Es sei eine Fläche mit dem Rand. Integration der. Gleichung liefert: rot(h) ds Ḋ ds j ds H ds d D ds I dt Hierbei bezeichnet I den Strom. Analog für die. Gleichung: rot(e) ds + Ḃ ds ds E ds d ds dt Für die 3. und 4. Gleichung betrachten wir ein (beschränktes) Gebiet mit der Oberfläche : div(d) dx dy dz ρ dx dy dz D ds Q Und schließlich: div() dx dy dz dx dy dz ds