Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x } und f : A R definiert durch f(x, y) : (x, y). (d) A : U 1 (, 1). (e) Siehe Übung und Aufgbe 36 (b). (f) A {(x, y) R : x [ 1, 1], x 1 y 1 x }. Aufgbe 34 ( e () Behuptung (i): f : R R mit f(x, y) : y ) + cos(x) cos(y) xe y ht uf R sin(x) sin(y) die Stmmfunktion F : R R definiert durch F (x, y) : xe y + sin(x) cos(y). Beweis: Offensichtlich ist R ein sternförmiges Gebiet und für (x, y) R gilt ( sin(x) cos(y) e J f (x, y) y ) cos(x) sin(y) e y cos(x) sin(y) xe y, sin(x) cos(y) lso sind uf R die Integrbilitätsbedingungen erfüllt. Nch Stz 14.5 ht f eine Stmmfunktion uf R. D F C 1 (R, R) und für (x, y) R gilt, dss ( e (grd F )(x, y) y ) + cos(x) cos(y) xe y f(x, y) sin(x) sin(y) ist F die gesuchte Stmmfunktion. y + xyz 3 Behuptung (ii): f : R 3 R 3 mit f(x, y, z) : y + x z 3 ht keine Stmmfunktion uf R 3. y + 3x yz Beweis: R 3 ist ein sternförmiges Gebiet, f C 1 (R 3, R 3 ) und für (x, y, z) R 3 gilt yz 3 y + xz 3 6xyz J f (x, y, z) xz 3 3x z. 6xyz y + 3x z 6x yz Wie mn schnell feststellt ist dies keine symmetrische Mtrix und dher sind die Integrbilitätsbedingungen uf R 3 nicht erfüllt. Nch Stz 14.5 ht f lso keine Stmmfunktion. y + xz Behuptung (iii): f : R 3 R 3 mit f(x, y, z) : z + xy ht uf R 3 die Stmmfunktion F : R 3 x + yz R definiert durch F (x, y, z) xy + x z + yz. 1
Übung zur Anlysis II SS 1 Beweis: R 3 ist ein sternförmiges Gebiet, f C 1 (R 3, R 3 ) und für (x, y, z) R 3 gilt z y x J f (x, y, z) y x z. x z y D J f (x, y, z) symmetrisch ist, ht f nch Stz 14.5 eine Stmmfunktion. Diese werden wir nun berechnen. Ds folgende Vorgehen ist dbei ber nicht ls forml korrekte Rechnung zu verstehen, vielmehr soll es vernschulichen wie mn einen Kndidten für die Stmmfunktion ermittelt. Gesucht ist eine Funktion F : R 3 R mit der Eigenschft, dss (grd F )(x, y, z) (f 1 (x, y, z), f (x, y, z), f 3 (x, y, z)) gilt, wobei f i für i {1,, 3} die Komponentenfunktionen von f drstellen. Dies schreiben wir in ds Gleichungssystem F x (x, y, z) y + xz, F y (x, y, z) z + xy, F z (x, y, z) x + yz. Integriert mn (1) in der x-vribelen, erhält mn F F (x, y, z) (x, y, z) dx y + xz dx xy + x z + c 1 (y, z), x wobei die Konstnte c 1 (y, z) von y und z bhängen knn, d wir nur in x integrieren und diesbezüglich y und z ls Konstnten einzustufen sind. Integrieren wir () nch y und (3) nch z erhlten wir F (x, y, z) xy + c (x, z) + yz und F (x, y, z) c 3 (x, y) + x z + yz. An dieser Stelle vergleicht mn die drei Gleichungen für F (x, y, z) und wird schnell feststellen, dss c 1 (y, z) yz und c (x, z) x z und c 3 (x, y) xy eine Möglichkeit ist, diese Gleichungen zu erfüllen. Unser Kndidt lutet dher F : R 3 R definiert durch F (x, y, z) xy + x z + yz. Dnn ist F C 1 (R 3, R) und für (x, y, z) R 3 gilt y + xz (grd F )(x, y, z) z + xy f(x, y, z). x + yz Folglich ist F die gesuchte Stmmfunktion. (1) () (3) Behuptung (iv): Die Funktion f : D R 3 mit D : {(x, y, z) R 3 : z > } und f(x, y, z) : x y ze x ht uf D keine Stmmfunktion. xy log(z)
Übung zur Anlysis II SS 1 Beweis: D ist ein Gebiet und f C 1 (D, R 3 ). Für (x, y, z) D gilt xy x J f (x, y, z) ze x e x y log(z) x log(z) und dmit ist J f (x, y, z) nicht symmetrisch und f ht nch Stz 14.4 keine Stmmfunktion uf D. ( ) (b) Vorussetzung: Es sei f : R \ {(, )} R 1 x + y definiert durch f(x, y) : sowie (x,y) y x D 1 : {(x, y) R : y > } und D : R \ {(, )}. Behuptung: f ht uf D 1 die Stmmfunktion F : D 1 R definiert durch F (x, y) : 1 log(x + y ) + rctn ( x y ) und uf D keine Stmmfunktion. Beweis: (i) Es gilt f C 1 (R \ {(, )}, R ) und für (x, y) R \ {(, )} gilt ( 1 (x J f (x, y) + y ) (x + y)x (x + y ) ) (x + y)y (x, y) 4 (x + y ) (y x)x (x + y ) (y x)y ( 1 x xy + y x xy y ) (x, y) 4 x xy y x + xy y. J f (x, y) ist symmetrisch und dher sind die Integrbilitätsbedingungen uf R \ {(, )} erfüllt. (ii) Wir bestimmen nun eine Stmmfunktion von f uf D 1. f C 1 (D 1, R ) und D 1 ist ein sternförmiges Gebiet und D 1 R \ {(, )}. In (i) hben wir schon festgestellt, dss f uf R \ {(, )} die Integrbilitätsbedingungen erfüllt, lso erfüllt f uch uf D 1 diese Bedingung. Nch Stz 14.5 existiert lso eine Stmmfunktion von f uf D 1. Wir suchen nun wieder einen Kndidten für die Stmmfunktion. Wie in (iii) us () ergibt sich der Kndidt F : D 1 R mit F (x, y) : 1 log(x + y ) + rctn ( x) y für den sich leicht bestätigen lässt, dss für (x, y) D 1 gilt, dss (grd F )(x, y) f(x, y). Dies ist lso die gesuchte Stmmfunktion. (iii) Wir zeigen nun, dss f uf D R \ {(, ( )} keine ) Stmmfunktion besitzt. D ist ein Gebiet und cos(t) für γ : [, π] D definiert durch γ(t) : gilt sin(t) γ und dmit ist Aufgbe 35 f(x, y) d(x, y) γ π π ( cos(t) + sin(t) ) sin(t) + ( sin(t) cos(t) ) cos(t) dt dt π f(x, y) d(x, y) nicht wegunbhängig und f ht keine Stmmfunktion uf D. () Vorussetzung: Sei j, n N mit j n sowie D R n offen und f C(D [, b], R) sowie C(D [, b], R). f xy z 3
Übung zur Anlysis II SS 1 Behuptung: Die Funktion F : D R definiert durch ist prtiell differenzierbr nch x j und F (x) : f(x, t) dt f(x, t) dt f (x, t) dt. Beweis: Die Funktion F : D R definiert durch F (x) : f(x, t) dt ist wohldefiniert, d für festes x D die Funktion t f(x, t) uf [, b] stetig und dmit Riemnn-integrierbr ist. Es sei x (x 1,..., x n ) D und d D offen ist existiert ein ɛ > mit U ɛ (x ) D. O.B.d.A. wählen wir j 1 und setzen I : [x 1 ɛ, x 1 + ɛ] und definieren die Funktion f : [, b] I R durch f(s, t) : f(s, x,..., x n, t). Dnn ist f C(I [, b], R) und für festes t [, b] stetig uf I sowie stetig differenzierbr uf I o. Um die prtielle Differenzierbrkeit von F in x nch x 1 zu zeigen, müssen wir zeigen, dss F : I R definiert durch F (s) : f(s, t) dt in s x 1 differenzierbr ist. Für h I \ {} gilt 1 ( ) b F (s + h) F (s) h f(s + h, t) f(s, t) h dt (ξ, t) dt, wobei ξ ξ(t, h) [s, s + h] dem Mittelwertstz entspringt. Dnn schreiben wir (ξ(t, h), t) dt (s, t) dt + (s, t) dt. und bemerken, dss es nun genügt zu zeigen, dss ds hintere Integrl für h gegen konvergiert. Dies ist eine Folgerung us sup t [,b] denn dnn gilt (s, t) h, (4) (s, t) dt sup t [,b] (b ) sup t [,b] (s, t) dt (s, t) dt (s, t) h. Es bleibt lso (4) zu zeigen. Nch Vorussetzung ist f C(D [, b], R) und dmit ist uch x 1 C(I [, b], R). I [, b] ist kompkt und dher ist sogr gleichmäßig stetig uf I [, b], lso ɛ> δ> (s,t),(s,t ) I [,b], (s,t) (s,t ) <δ : (s, t) (s, t ) < ɛ. 4
Übung zur Anlysis II SS 1 Für h gilt ξ s und dmit folgt insbesondere und dies impliziert (4). Insgesmt hben wir nun x 1 ɛ> h> t [,b] : (s, t) < ɛ f(x, t) dt F 1 ( ) (x, t) lim F (s + h) F (s) x 1 h h f ( (s, t) dt + lim f h (s, t) dt f x 1 (x, t) dt. (s, t) dt) (b) Vorussetzung: Es sei n N und G R n ein sternförmiges Gebiet und f C 1 (G, R n ). Behuptung: f erfüllt uf G die Integrbilitätsbedingungen f ht uf G eine Stmmfunktion. Beweis: Es sei x G der Punkt bezüglich dessen G sternförmig ist und x G. Wir definieren γ x : [, 1] G durch γ x (t) : x + t(x x ). Dnn gilt γ x C 1 ([, 1], G) und für t [, 1] gilt γ x(t) x x. Nimmt mn n, dss F : G R die Stmmfunktion von f uf G ist, so liefert Stz 14.1 γ x f(x) dx F (γ x (1)) F (γ x ()) F (x) F (x ). Die Konstnte F (x ) ist nun unerheblich und wir definieren F : G R durch 1 F (x) : f(x) dx f(x + t(x x )) (x x ) dt γ x und weisen nch, dss dies eine Stmmfunktion ist. Um später Teilufgbe () zu verwenden, untersuchen wir die Funktion f : G [, 1] R definiert durch f(x, t) : f(x +t(x x ))(x x ). Als Komposition stetiger Funktionen ist f C(G [, 1], R) und f ist uf G [, 1] stetig prtiell nch x 1,..., x n differenzierbr. Für j {1,..., n} und x G gilt F (x) () (IB) 1 1 i1 1 i1 1 i1 1 i1 1 f i (x + t(x x ))(x x ) i dt i1 f i (x + t(x x ))(x x ) i dt [ f i (x + t(x x )) ] (x x ) i + f i (x + t(x x )) [ (x x ) i ] dt f i (x + t(x x ))t(x x ) i dt + 1 f j (x + t(x x )) dt f j x i (x + t(x x ))t(x x ) i + f j (x + t(x x )) dt [ t tf j(x + t(x x )) ] dt f j (x). 5
Übung zur Anlysis II SS 1 Aufgbe 36 () Behuptung: Für A : {(x, y) R : y x, y 4 x} gilt A 16 3. Beweis: Es gilt und y x 4 y impliziert A {(x, y) R : y x 4 y } Es folgt y 4 y y y. A {(x, y) R : y [, ], y x 4 y } und dmit ist A ein Normlbereich bezüglich der y-achse und es gilt ( ) 4 y A 1 dx dy y y dy 16. 3 (b) (i) Vorussetzung: A : {(x, y) R : y, y x 1, y 1 + x} und f : R R definiert durch f(x, y) : cosh ( x y+1). Behuptung: f(x, y) d(x, y) e 4 e. A Beweis: Wir weisen zuerst nch, dss A ein Normlbereich bezüglich der y-achse ist. Es sei (x, y) A. Dnn gilt y und y 1 x y + 1 und dmit Also gilt y [, ]. Dmit ist y 1 y + 1 (y + 1)(y 1) y + 1 y. ein Normlbereich bezüglich der y-achse und A f(x, y) d(x, y) A {(x, y) R : y [, ], y 1 x y + 1} ( y+1 y 1 cosh ( ) x ) dx dy y + 1 (y + 1) sinh(1) (y + 1) sinh(y 1) dy e 4 e, wobei ds letzte Integrl mittels prtieller Integrtion berechnet werden knn. (ii) Vorussetzung: A sei die Fläche, die durch ds Dreieck mit Ecken (, ), ( 1, 5) und (, 1) begrenzt wird und f : R R sei definiert durch f(x, y) : x + y. Behuptung: f(x, y) d(x, y) 86. A Beweis: Um zu zeigen, dss A ein Normlbereich ist, prmetrisieren wir die Ränder des Dreiecks 6
Übung zur Anlysis II SS 1 mit den Ecken (, ),( 1, 5) und (, 1). Die Strecken S 1 [(, ), ( 1, 5)] und S [( 1, 5), (, 1)] werden durch die Funktion f : [, ] R definiert durch { x + 6, x [, 1] f(x) : x, x [ 1, ], prmetrisiert und S 3 [(, 1), (, )] durch g : [, ] R definiert durch g(x) : x 5. Dnn gilt A {(x, y) R : x [, ], g(x) y f(x)} und A ist dher ein Normlbereich bezüglich der x-achse. Also A f(x, y) d(x, y) 1 ( ) f(x) x + y dy dx g(x) [ x y + y ] f(x) g(x) dx x f(x) + f(x) x (x + 6) (x + 6) + dx + 1 x ( x ) 1( x) + dx 86, 5 5 wobei die letzten Integrle elementr berechnet werden. x (x) + (x) dx x g(x) + g(x) (c) Vorussetzung: Es sei A : {(x, y, z) R : y 4 x, z } und B {M(θ)(A) : θ [, π]} wobei 1 M(θ) : cos(θ) sin(θ). sin(θ) cos(θ) dx dx Behuptung: A {(x, y) R : x [, ], x 4 y 4 x } ist ein Normlbereich bezüglich der x-achse und für den Normlbereich bezüglich der xy-ebene B {(x, y, z) R 3 : (x, y) A, (4 x ) y z (4 x ) y } gilt B B und B B 51 15 π. Beweis: D wir einen Normlbereich bezüglich der xy-ebene bestimmen sollen, betrchten wir die Menge B geschnitten mit der xy-ebene. Dieser Schnitt ist offensichtlich durch A vereinigt mit der n der x-achse gespiegelten Menge A gegeben. Diese Vereinigung schreiben wir ls Normlbereich A : {(x, y) R : x [, ], x 4 y 4 x } bezüglich der x-achse. Sei nun (x, y) A. Schneidet mn B mit der einer Ebene prllel zur yz-ebene durch (x, y, ) erhält mn eine Kreisscheibe mit Rdius r(x) : 4 x und Mittelpunkt (x,, ). (x, y, z) liegt lso genu dnn in B, wenn y und z einer Kreisscheibengleichung mit Rdius r(x) genügen, lso (x, y, z) B z + y (4 x ) (4 x ) y z (4 x ) y. 7
Übung zur Anlysis II SS 1 D g : A R mit g(x, y) : (4 x ) y stetig ist, folgt, dss B B : {(x, y, z) R 3, (x, y) A, g(x, y) z g(x, y)} ein Normlbereich bezüglich der xy-ebene ist und ( ) g(x,y) B B 1 d(x, y, z) 1 dz d(x, y) g(x, y) d(x, y) B A g(x,y) A ( r(x) ) r(x) y dy dx πr(x) dx r(x) π (4 x ) dx 51 15 π. Ds Integrl r(x) r(x) r(x) y dx ist flls r(x) und lässt sich flls r(x) > mit der Substitution y r(x) sin(u) berechnen. 8