SKRIPTUM ZUR VORLESUNG ANALYSIS III IM SOMMERSEMESTER 2006

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 STFAN GSCHK 1. Grlgen der Mßtheorie Ziel dieses Abschnittes ist es, ds Lebesguesche Mß uf den Räumen R n zu definieren. Betrchte zunächst nur R. Wir wollen für möglichst viele Teilmengen von R ein Mß definieren, ds die Länge von Intervllen verllgemeinert. Genuer wollen wir möglichst vielen Teilmengen von R eine Zhl λ() [0, ) { } zuordnen, so dss gilt: (1) für lle, b R mit < b ist λ([, b]) = b (2) flls die Mengen i, i N prweise disjunkt sind, so gilt ( ) λ i = λ( i ). 1.1. σ-algebren Borelmengen. Als rstes mchen wir uns Gednken über den Definitionsbereich unseres Mßes λ. Dieser Definitionsbereich sollte unter den nheliegenden Mengenopertionen Durchschnitt, Vereinigung Mengendifferenz bgeschlossen sein. Wir werden noch etws mehr fordern. Definition 1.1. Sei X eine Menge. ine Fmilie A P(X) heißt Algebr uf X, flls gilt: (1), X A (2) A, B A A B A (3) A, B A A \ B A (4) A, B A A B A Gilt zusätzlich (5) i N(A i A) A i A, so heißt A σ-algebr. Anstelle von (3) genügt es in Definition 1.1 jeweils zu fordern, dss für lle A A die Menge X \ A lement von A ist. Auch (2) folgt mit dem folgendem Lemm jeweils us den restlichen Bedingungen. Lemm 1.2. Sei X eine Menge B X. Für lle i N sei A i X. Dnn gelten die de Morgnschen Regeln (1) X \ A i = (X \ A i) (2) X \ A i = (X \ A i) die Distributivgesetze (3) B A i = (B A i) (4) B A i = (B A i) Ist A eine σ-algebr uf X mit A i A für lle i N, so ist uch A i A. Beweis. Leichtes Nchrechnen. 1

2 STFAN GSCHK Definition 1.3. Sei X eine Menge F eine Fmilie von Teilmengen von X. Die von erzeugte σ-algebr σ(f) ist die kleinste σ-algebr, die F umfßt, d.h., σ(f) = {A : A ist eine σ-algebr uf X mit F A}. F heißt rzeugendensystem von σ(f). Die von den offenen Teilmengen von R n erzeugte σ-algebr uf R n ist die Borelσ-Algebr Bor(R n ). Die lemente von Bor(R n ) heißen Borelmengen. Ohne mengentheoretische Hilfsmittel ist es schwierig, eine explizitere Beschreibung der Borelmengen nzugeben. Die meisten Teilmengen von R n, die einem im Alltg begegnen, sind Borel. Diese These wird durch ds folgende Lemm den folgenden Stz gestützt. Lemm 1.4. Die folgenden Fmilien von Teilmengen von R n sind lle rzeugendensysteme von Bor(R n ). (1) bgeschlossene Mengen (2) kompkte Mengen (3) krtesische Produkte offener Intevlle (offene Quder) (4) krtesische Produkte bgeschlossener Intervlle (bgeschlossene Quder) (5) krtesische Produkte links offener, rechts bgeschlossener Intervlle (6) Mengen der Form A 1 A n, wobei höchstens ein A i von R verschieden ist die Form (, ) für ein Q ht. (7) Mengen der Form A 1 A n, wobei höchstens ein A i von R verschieden ist die Form (, ] für ein Q ht. Beweis. Beispielhft zeigen wir, dss die Intervlle der Form (, ] mit Q die Borel-σ-Algebr uf den reellen Zhlen erzeugen. Sei Q. Dnn ist (, ] = R \ (, ). Nch Definition von σ-algebren ist R Bor(R). D (, ) offen ist, ist (, ) Bor(R). Dmit ist uch (, ] Bor(R). s folgt, dss σ(f) Bor(R) gilt. Seien, b Q mit < b. Dnn ist (, b] = (R \ (, ]) (, b] σ(f). Sei nun U R offen. Für jedes x U gibt es, b Q mit x (, b] U. Also ist U = {(, b] :, b Q < b (, b] U}. D Q bzählbr ist, ist uch die Fmilie, über die uf der rechten Seite der Gleichung vereinigt wird, bzählbr. s folgt U σ(f). Dmit gilt Bor(R) σ(f). s folgt Bor(R) = σ(f). Lemm 1.5. Sei A 0 Bor(R n ) x 0 R n. Dnn ist x 0 +A 0 = {x 0 + : A 0 } Borel. Beweis. Sei A = {A Bor(R n ) : x 0 + A Bor(R n )}. Offenbr ist A Bor(R). Wie mn leicht nchrechnet, ist A eine σ-algebr. Für lle offenen Mengen O R n ist uch x 0 + O offen. Dmit enthält A lle offenen Mengen. s folgt Bor(R n ) A Bor(R n ). Dmit ist A = Bor(R). Mit nderen Worten, für jede Borelmenge A R n ist uch x 0 + A Borel. s ist nicht einfch, eine Teilmenge von R n zu finden, die nicht Borel ist. Mn knn jedoch zeigen, dss es eine Bijektion zwischen R Bor(R n ) gibt. Ds liegt letztlich drn, dss Bor(R n ) ein bzählbres rzeugendensystem ht (Lemm 1.4 (6)).

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 3 s gibt lso genuso viele Borelmengen wie reelle Zhlen. s gibt ber mehr Teilmengen von R ls reelle Zhlen. Dmit muss es eine Teilmenge von R geben, die nicht Borel ist. Später werden wir so eine Menge uch konstruieren. 1.2. Mße. Im folgenden werden wir in der Menge [0, ] = [0, ) { } rechnen. Wie üblich setzen wir + = + = + für lle R. Ist ( i ) i eine Folge in [0, ], so setzen wir i =, flls mindestens ein i unendlich ist oder lle i endlich sind, ber die Reihe i divergiert. Definition 1.6. Sei A eine σ-algebr uf einer Menge X. ine Abbildung µ : A [0, ] heißt Mß uf A, flls gilt: (1) µ( ) = 0 (2) Sind ist (A i ) eine Folge prweise disjunkter Mengen us A, so gilt µ( A i) = µ(a i). (Mße sind σ-dditiv.) in uf A definiertes Mß µ heißt Whrscheinlichkeitsmß, flls µ(x) = 1 gilt. Lemm 1.7. Sei µ ein Mß uf einer σ-algebr A. Dnn gilt: (1) A, B A A B µ(a) µ(b) (Mße sind monoton.) (2) Ist (A i ) eine bezüglich wchsende Folge von Mengen in A, so gilt ( ) µ A i = lim µ(a i ). i (3) Ist (A i ) eine bezüglich fllende Folge von Mengen in A gibt es mindestens ein i N, für ds µ(a i ) endlich ist, so gilt ( ) µ A i = lim µ(a i ). i Beweis. (1) Seien A, B A mit A B. Dnn gilt µ(a) µ(a) + µ(b \ A) = µ(a (B \ A)) = µ(b). (2) Sei (A i ) eine ufsteigende Folge in A. Für lle i N sei B i = A i+1 \ A i. Dnn ist (B i ) eine Folge prweise disjunkter Mengen in A. s gilt lim µ(a i) = ( ) ( ) µ(b i ) = µ B i = µ A i. i (3) Sei (A i ) eine bsteigende Folge in A, so dss es mindestens ein i N gibt, für ds µ(a i ) endlich ist. O.B.d.A. können wir nnehmen, dss bereits µ(a 1 ) endlich ist. Für jedes i N sei B i = A 1 \ A i. Dnn ist (B i ) eine wchsende Folge in A. Nch (2) gilt ( ) ( µ A i = µ A 1 \ ) ( ) B i = µ(a 1 ) µ B i = µ(a 1 ) lim µ(b i ) i = lim (µ(a 1 ) µ(b i )) = lim µ(a 1 \ B i ) = lim µ(a i ) i i i Definition 1.8. Sei X eine Menge. ine Abbildung α : P(X) [0, ] heißt äußeres Mß uf X, flls gilt: (1) α( ) = 0 (2) A B α(a) α(b)

4 STFAN GSCHK (3) Ist (A i ) eine Folge von Teilmengen von X, so ist ( ) α A i α(a i ). Lemm 1.9. Für lle A R sei { λ = inf i i ) : i N( i, b i R) A (b } ( i, b i ). Dnn ist λ äußeres Mß uf R. Beweis. Offenbr ist λ eine Abbildung von P(R) nch [0, ]. s ist uch klr, dss λ monoton ist, lso Bedingung (2) in Definition 1.8 erfüllt. Sei nun (A i ) eine Folge von Teilmengen von R. Wir müssen Bedingung (3) in Definition 1.8 für (A i ) nchrechnen. Dzu können wir nnehmen, dss λ (A i ) < für lle i N gilt. Sei ε > 0. Wähle für jedes i N eine Folge (( ij, b ij )) j N von offenen Intervllen mit A i ( ij, b ij ) (b ij ij ) λ (A i ) + ε2 i. Dnn ist s folgt j N A i ( ij, b ij ) i,j N i,j N(b ij ij ) λ (A i ) + ε 2 i = λ ( A i ) λ (A i ). λ (A i ) + ε. Dmit ist λ in der Tt ein äußeres Mß. Definition 1.10. Sei X eine Menge α : P(X) [0, ] ein äußeres Mß. ine Menge A X heißt α-messbr, flls für lle B X gilt: α(b) = α(b A) + α(b \ A) Mit M α wird die Menge ller α-messbren Mengen bezeichnet. Stz 1.11. Ist α ein äußeres Mß uf einer Menge X, so ist M α eine σ-algebr uf X. Die Abbildung α M α ist ein Mß uf M α. Beweis. Offenbr sind, X M α es gilt (A M α X \ A M α ). Wegen der Bemerkung nch Definition 1.1 muss für den Nchweis, dss M α eine Algebr ist, nur noch gezeigt werden, dss M α unter Vereinigungen bgeschlossen ist. Seien lso A 0, A 1 M α B X. Wegen A 1 M α gilt Außerdem gilt D α äußeres Mß ist, folgt α(b \ A 0 ) = α((b \ A 0 ) A 1 ) + α((b \ A 0 ) \ A 1 )). B (A 0 A 1 ) = (B A 0 ) ((B \ A 0 ) A 1 ). α(b (A 0 A 1 )) α(b A 0 ) + α((b \ A 0 ) A 1 ).

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 5 Insgesmt ergibt sich α(b (A 0 A 1 )) + α(b \ (A 0 A 1 )) α(b A 0 ) + α((b \ A 0 ) A 1 ) + α((b \ A 0 ) \ A 1 ) = α(b A 0 ) + α(b \ A 0 ) = α(b) Dmit ist A 0 A 1 M α. Nimmt mn in dieser Rechnung A 0 A 1 ls disjunkt n ersetzt B durch B (A 0 A 1 ), so ergibt sich α(b (A 0 A 1 )) = α(b A 0 ) + α(b A 1 ). Mittels vollständiger Induktion erhält mn sofort für prweise disjunkte Mengen A 1,..., A n M α lle B X die Gleichung ( ) n n α B A i = α(b A i ). i=1 Sei nun (A i ) eine Folge prweise disjunkter Mengen in M α. Setze A = A i. Wir zeigen A M α α(a) = α(a i). Für jedes n N sei B n = A 1 A n. D M α unter Vereinigungen bgeschlossen ist, sind lle B n lemente von M α. Sei C X. Für jedes n N gilt dnn i=1 α(c) = α(c B n ) + α(c \ B n ) n = α(c A i ) + α(c \ B n ) s folgt i=1 n α(c A i ) + α(c \ A) i=1 α(c) α(c A i ) + α(c \ A) α(c A) + α(c \ A) D α ein äußeres Mß ist, gilt dmit s folgt A M α α(c) α(c A) + α(c \ A) α(c) = α(c A) + α(c \ A). α(a) = α(a i ). Dmit ist α M α ein Mß, flls M α eine σ-algebr ist. Letzteres folgt ber leicht us dem bisher Bewiesenem. Sei (B i ) eine Folge in M α. Für jedes n N setze A n = B n \ i<n B i. Dnn ist (A i ) eine Folge prweise disjunkter Mengen in M α. s gilt A i M α. B i = Dmit ist M α ttsächlich eine σ-algebr. Definition 1.12. Sei α ein äußeres Mß uf einer Menge X. A X heißt α- Nullmenge, oder, wenn sich α us dem Zusmmenhng ergibt, einfch Nullmenge, flls α(a) = 0 gilt. Lemm 1.13. Sei α ein äußeres Mß uf einer Menge X. ) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist ebenflls Nullmenge. b) Ist A α-messbr, B X N = A B = (A \ B) (B \ A) eine Nullmenge, so ist uch B α-messbr.

6 STFAN GSCHK Beweis. ) folgt sofort us der Monotonie von äußeren Mßen. b) Sei C X. Dnn gilt α(c) α(c B) + α(c \ B) α((c B) N) + α((c \ B) N) = α((c A) N) + α((c \ A) N) α(c A) + α(n) + α(c \ A) + α(n) = α(c A) + α(c \ A) = α(c) Dmit ist B M α. 1.3. Ds Lebesguesche Mß. Wir sind nun soweit, dss wir ds Lebesguesche Mß uf den reellen Zhlen definieren können. Definition 1.14. Sei λ ds äußere Mß us Lemm 1.9. Wir setzen Leb(R) = M λ nennen λ = λ Leb(R) ds Lebesguemß uf den reellen Zhlen. Die Mengen in Leb(R) nennen wir Lebesgue-messbr oder einfch messbr. Mn bechte, dss nch Stz 1.11 Leb(R) eine σ-algebr uf R λ ein Mß uf Leb(R) ist. Lemm 1.15. ) Für lle, b R mit < b gilt λ ([, b]) = b. b) Jede bzählbre Teilmenge von R ist eine Nullmenge. c) Seien b wie in ). Dnn sind (, b) [, b] messbr es gilt λ ((, b)) = b. Beweis. ) Für lle ε > 0 ist offenbr [, b] ( ε, b+ε). s folgt λ ([, b]) b. Wir müssen noch λ ([, b]) b zeigen. Sei (( i, b i )) eine Folge von offenen Intervllen mit [, b] ( i, b i ). D [, b] kompkt ist, existiert n N mit [, b] n i=1 ( i, b i ). Offenbr gilt n (b i i ) (b i i ) b. i=1 s folgt λ ([, b]) b dmit λ ([, b]) = b. b) Sei C = {c i : i N} R ε > 0. Für jedes i N sei ( i, b i ) ein offenes Intervll mit c i ( i, b i ) b i i ε2 i. Dnn ist C ( i, b i ) (b i i ) ε. Ds zeigt λ (C) = 0. c) Sei B R. Für die Messbrkeit von [, b] müssen wir zeigen. Dbei folgt λ (B) = λ (B [, b]) + λ (B \ [, b]) λ (B) λ (B [, b]) + λ (B \ [, b]) bereits us den igenschften von äußeren Mßen. Sei ε > 0. Sei (( i, b i )) eine Folge offener Intervlle mit B ( i, b i ) (b i i ) λ (B) + ε. Dnn gilt B [, b] (( ε2 i, b + ε2 i ) ( i, b i )) B \ [, b] (((, ) ( i, b i )) ((b, ) ( i, b i ))).

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 7 Dbei summieren sich die Längen der uf den rechten Seiten der beiden obigen Ungleichungen insgesmt uftretenden offenen Intervlle höchstens zu (b i i ) + ε. Dmit gilt λ (B [, b]) + λ (B \ [, b]) (b i i ) + ε λ (B) + 2ε. D ε beliebig wr, ergibt sich λ (B [, b]) + λ (B \ [, b]) = λ (B). Also ist [, b] messbr. D {, b} eine Nullmenge ist, ist uch (, b) messbr. s gilt Drus folgt λ ((, b)) = b. λ ([, b]) = λ ((, b)) + λ ({, b}) = b. Korollr 1.16. Alle Borelmengen sind Lebesgue-messbr. Beweis. D die Borel-σ-Algebr uf R von den offenen Intervllen erzeugt wird, lle offenen Intervlle messbr sind die messbren Mengen eine σ-algebr bilden, gilt Bor(R) Leb(R). Stz 1.17. Ds Lebesguemß ist trnsltionsinvrint. D.h., für lle t R lle A Leb(R) ist t + A = {t + : A} messbr es gilt λ(a) = λ(t + A). Beweis. Offenbr ist für lle t R für jedes offene Intervll (, b) die Trnsltion t + (, b) einfch ds Intervll (t +, t + b). Diese ht die Länge b. Drus folgt, dss für lle t R lle A R gilt: λ (A) = λ (t + A). Mittels einer leichten Rechnung folgt, dss für messbre A uch t + A messbr ist. Definition 1.18. ine Menge A R n heißt F σ -Menge, wenn sie Vereinigung von bzählbr vielen bgeschlossenen Mengen ist. A heißt G δ -Menge, flls A Durchschnitt von bzählbr vielen offenen Mengen ist. Mn bechte, dss G δ - F σ -Mengen Borel sind. A R n ist genu dnn G δ, wenn ds Komplement R n \ A eine F σ -Menge ist. Lemm 1.19. Sei A R messbr. Dnn existieren eine F σ -Menge B A eine G δ -Menge C A, so dss C \ B eine Nullmenge ist. Insbesondere ist eine Menge genu dnn messbr, wenn sie bis uf eine Nullmenge mit einer F σ - oder G δ -Menge übereinstimmt. D.h., eine Menge A R ist genu dnn messbr, wenn es eine F σ - oder G δ -Menge B R gibt, so dss A B eine Nullmenge ist. Beweis. Zunächst nehmen wir n, dss λ(a) endlich ist. Wir konstruieren eine G δ - Menge C A mit λ(c) = λ(a). Für jedes n N sei (( n,i, b n,i )) eine Folge offener Intervlle mit A ( n,i, b n,i ) (b n,i n,i ) λ(a) + 2 n. Setze O n = ( n,i, b n,i ). Die Menge O n ist offen. Setze C = O n. Dnn ist C eine G δ -Menge mit A C es für lle n N gilt λ(a) λ(c) λ(a) + 2 n. s folgt λ(a) = λ(c), dmit ist C \ A eine Nullmenge. Ist nun λ(a) unendlich, so müssen wir etws subtiler vorgehen. Wähle eine Folge (A m ) m N prweise disjunkter, messbrer Mengen von endlichem Mß mit A =

8 STFAN GSCHK m N A m. Für lle n, m N sei (( n,m,i, b n,m,i )) eine Folge offener Intervlle mit A m ( n,m,i, b n,m,i ) (b n,i n,i ) λ(a m ) + 2 n m. ( n,m,i, b n,m,i ). Wieder ist jedes O n offen. Für jedes n N Setze O n = m N Setze C = n N O n. Dnn ist C eine G δ -Menge für jedes n N gilt λ(c \ A) 2 n. Dmit ist C \ A eine Nullmenge. Die Konstruktion der gesuchten F σ -Menge B knn uf ds bisher Bewiesene zurückgeführt werden. Sei D eine G δ -Menge mit R\A D, so dss D \(R\A) eine Nullmenge ist. Dnn ist B = R \ D eine F σ -Menge, A \ B = D \ (R \ A) ist eine Nullmenge. D Vereinigungen von bzählbr vielen Nullmengen wieder Nullmengen sind, ist C \ B eine Nullmenge.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 9 1.4. Ds n-dimensionle Lebesguemß. Lemm 1.20. Sei α ein äußeres Mß uf einer Menge X β ein äußeres Mß uf einer Menge Y. Für jede Menge S X Y sei { } (α β)(s) = inf A i B i. α(a i ) β(b i ) : i N(A i X B i Y ) S Dnn ist (α β) ein äußeres Mß uf X Y. Ist A X α-messbr B Y β-messbr, so ist A B (α β)-messbr. Beweis. s ist klr, dss α β monoton ist dss (α β)( ) = 0 gilt. Sei nun (S n ) n N eine Folge von Teilmengen von X Y S = n N S n. Sei ε > 0. Für jedes n N sei (A n,i ) eine Folge von Teilmengen von X (B n,i ) eine Folge von Teilmengen von Y mit Dnn gilt S n A n,i B n,i α(a n,i ) β(b n,i ) (α β)(s n ) + ε2 n. (α β)(s) D ε beliebig wr, folgt S i,n N A n,i B n,i i,n N α(a n,i ) β(b n,i ) n N (α β)(s) n N(α β)(s n ). (α β)(s n ) + ε. Dmit ist α β ein äußeres Mß uf X Y. Als nächstes zeigen wir, dss für α-messbre Mengen A X die Menge A Y (α β)-messbr ist. Dzu sei C X Y ε > 0. Weiter sei (A i ) eine Folge von Teilmengen von X (B i ) eine Folge von Teilmengen von Y mit C A i B i sowie s gilt α(a i ) β(b i ) (α β)(c) + ε. C (A Y ) ((A i A) B i ) C \ (A Y ) = ((A i \ A) B i ) D A messbr ist, gilt für jedes i N die Gleichung s ergibt sich α(a i ) = α(a i A) + α(a i \ A). α(a i ) β(b i ) = α(a i A) β(b i ) + α(a i \ A) β(b i ).

10 STFAN GSCHK Drus folgt (α β)(c (A Y )) + (α β)(c \ (A Y )) D ε beliebig wr d α(a i A) β(b i ) + α(a i \ A) β(b i ) (α β)(c) + ε. (α β)(c) (α β)(c (A Y )) + (α β)(c \ (A Y )) drus folgt, dss (α β) ein äußeres Mß ist, erhlten wir (α β)(c) = (α β)(c (A Y )) + (α β)(c \ (A Y )). Dmit ist A Y (α β)-messbr. Anlog sieht mn, dss für β-messbres B Y die Menge X B (α β)-messbr ist. Dmit ist uch A B = (A Y ) (X B) (α β)-messbr. Mit Lemm 1.20 können wir nun rekursiv für lle n ein äußeres Mß (λ ) n uf R n definieren. Definition 1.21. Sei λ ds in Lemm 1.9 definierte äußere Mß uf R = R 1. Setze (λ ) 1 = λ. Für n > 1 sei (λ ) n = (λ ) n 1 λ. Für lle n N sei Leb(R n ) = M (λ ) n λn = (λ ) n Leb(R n ). λ n ist ds n-dimensionle Lebesguemß. Mn bechte, dss us Lemm 1.20 sofort Bor(R n ) Leb(R n ) folgt. Im folgenden werden wir nstelle von λ n einfch λ schreiben. Lemm 1.22. Sei C R n ε > 0. Dnn existiert eine offene Menge O mit C O λ(o) (λ ) n (C) + ε. Beweis. Wir beweisen die Behuptung durch Induktion über n. Für n = 1 hben wir die Behuptung schonml implizit im Beweis von Lemm 1.19 benutzt. Sei nun n > 1. Dnn existieren Folgen (A i ) (B i ) von Teilmengen von R n 1 beziehungsweise R mit C (A i B i ) (λ ) 1 (A i ) λ (B i ) (λ ) n (C) + ε 2. Nch Induktionsvorussetzung existieren für lle i N offene Mengen U i V i mit A i U i R n 1, B i V i R λ(u i ) λ(v i ) (λ ) n 1 (A i ) λ (B i ) + ε 2 i 1. Die Menge O = (U i V i ) ist eine offene Obermenge von C. s gilt (λ ) n (C) (λ ) n (O) λ(u i ) λ(v i ) ( (λ ) n 1 (A i ) λ (B i ) + ε 2 i 1) (λ ) n (C) + ε. Lemm 1.23. ) Sei A R n messbr mit λ(a) < ε > 0. Dnn existiert eine kompkte Menge C A mit λ(a) λ(c) + ε. b) Sei A R n messbr mit λ(a) = n N. Dnn existiert eine kompkte Menge C A mit λ(c) n.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 11 Beweis. ) Für jedes n N sei U n die bgeschlossene Kugel in R n um den Nullpunkt mit Rdius n. Wegen der σ-additivität von λ gilt Insbesondere existiert ein n N mit λ(a) = lim n λ(a U n). λ(a) λ(a U n ) + ε 2. Betrchte nun die Menge U n \ A. Nch Lemm 1.22 existiert eine offene Menge O R n mit U n \ A O λ(o) λ(u n \ A) + ε 2. Setze C = U n \ O. Dnn ist C kompkt es gilt C A. Weiter ist λ(a U n ) λ(c) + ε 2 dmit λ(a) λ(c) + ε. b) Wegen λ(a) = lim m λ(a U m) gibt es ein m N mit λ(a U m ) n + 1. Nch ) existiert eine kompkte Menge C A U m mit λ(c) n. Lemm 1.24. Seien A R n B R kompkt. Dnn ist λ(a B) = λ(a) λ(b). Beweis. Auf Gr der induktiven Definition des Lebesguemßes gilt λ(a B) λ(a) λ(b). Sei nun ε > 0. Wir wählen eine Folge (A i ) von Teilmengen von R n eine Folge (B i ) i B von Teilmengen von R mit A B (A i B i ) (λ ) n (A i ) λ (B i ) λ(a B) + ε. Nch Lemm 1.22 können wir nnehmen, dss die A i B i lle offen sind. D mit A B uch A B kompkt ist, gibt es ein n N, so dss bereits n A B (A i B i ) i=1 gilt. Wir können nun Fmilien (C 1,..., C m ) (D 1,..., D m ) messbrer Teilmengen von R n bzw. R mit folgenden igenschften wählen: (1) Die C j die D j sind jeweils prweise disjunkt. (2) C 1 C m = A D 1 D m = B. (3) Für lle i {1,..., n} ist A i B i = {C j D k : j, k {1,..., m} C j D k A i B i }.

12 STFAN GSCHK s gilt ( m m ) λ(a B) λ(a) λ(b) = λ(c j ) λ(d k ) = m j=1 k=1 j=1 m (λ(c j ) λ(d k )) D ds für jedes ε > 0 gilt, ergibt sich k=1 n (λ(a i ) λ(b i )) λ(a B) + ε i=1 λ(a B) = λ(a) λ(b). Lemm 1.25. Seien A R n B R messbr. Dnn ist λ(a B) = λ(a) λ(b). Beweis. Ist A oder B eine Nullmenge, so ist uch A B eine Nullmenge, wie mn leicht nchrechnet. In der Mßtheorie gilt lso 0 = 0 = 0. Wir können lso nnehmen, dss weder A noch B ds Mß 0 hben. Angenommen, es gilt λ(a) =. Sei n N. Nch Lemm 1.23 existieren kompkte Mengen C A D B mit λ(c) λ(d) n. s gilt C D A B nch Lemm 1.24 gilt λ(a B) λ(c D) = λ(c) λ(d) n. s folgt λ(a B) = = λ(a) λ(b). Anlog behndelt mn den Fll λ(b) =. Seien nun A B von endlichem Mß. Sei ε > 0. Nch Lemm 1.23 existieren kompkte Mengen C A D B mit Nch Lemm 1.24 gilt λ(a) λ(b) λ(c) λ(d) + ε. λ(a B) λ(a) λ(b) λ(c) λ(d) + ε = λ(c D) + ε λ(a B) + ε. Wieder ergibt sich λ(a B) = λ(a) λ(b). Stz 1.26. Seien A 1,..., A n R messbr. Dnn ist λ(a 1 A n ) = λ(a 1 ) λ(a n ). Beweis. Die Behuptung folgt leicht mittels vollständiger Induktion us Lemm 1.25. Wir hben ds Lebesguemß uf R n durch Rekursion über die Dimension definiert, wobei wir die Drstellung R n = (... (R R) R) R zu Gre gelegt hben. Mn knn nchrechnen, dss jede Klmmerung von R R zu demselben Mß geführt hätte. Wesentliches Hilfsmittel ist hierbei Stz 1.26.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 13 2.1. Messbre Funktionen. 2. Integrtion Definition 2.1. Sei A R n Borel. ine Funktion f : A R m heißt Borelmessbr oder einfch messbr, flls für jede Borelmenge B R m uch f 1 [B] R n Borel ist. Im folgenden formulieren wir einige Resultte für messbre Funktionen von R n nch R m, die jeweils sinngemäß uch für messbre Funktionen gelten, die nur uf einer Borel-Teilmenge von R n definiert sind. Lemm 2.2. Sind f : R n R m g : R m R k messbr, so ist uch g f messbr. Lemm 2.3. Sei ein rzeugendensystem der Borel-σ-Algebr uf R m. Dnn ist eine Funktion f : R n R m genu dnn messbr, wenn für lle A die Menge f 1 [A] Borel ist. Beweis. Sei ein rzeugendensystem von Bor(R m ). Dnn ist insbesondere eine Teilmenge von Bor(R m ). Ist f messbr, so gilt lso f 1 [A] Bor(R n ) für lle A. Sei ndererseits jede Menge der Form f 1 [A], A, Borel. Wir zeigen, dss f messbr ist. Dzu genügt es, nchzuweisen, dss die Fmilie T = {A R m : f 1 [A] Bor(R n )} eine σ-algebr ist, die umfsst. T hben wir ber genu vorusgesetzt. Offenbr sind f 1 [ ] = f 1 [R m ] = R n Borel. Dmit liegen R m in T. Seien nun A, B T. Dnn gilt f 1 [B \ A] = f 1 [B] \ f 1 [A] Bor(R m ) f 1 [B A] = f 1 [B] f 1 [A] Bor(R m ). Also liegen uch A \ B A B in T. Sei schließlich (A n ) n N eine Folge von Menge in T. Dnn ist [ ] f 1 A n = f 1 [A n ] Bor(R n ) n N n N dmit n N A n T. Dmit ist T eine σ-algebr. s folgt Bor(R m ) T. Dmit ist f messbr. Korollr 2.4. Jede stetige Funktion f : R n R m ist messbr. Beweis. Ds folgt sofort us Lemm 2.3, d Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen wieder offen sind die offenen Mengen die Borel-σ-Algebr uf R m erzeugen. Wie mn leicht sieht, bilden die messbren Funktionen uf einer Borelmenge A R n einen reellen Vektorrum. Lemm 2.5. Sind f, g : R n R messbr, so sind die Mengen {x R n : g(x) < f(x)} {x R n : g(x) = f(x)} Borel. Beweis. Mit f g ist uch f g messbr. Also sind Borel. {x R n : g(x) < f(x)} = {x R n : (f g)(x) > 0} {x R n : g(x) = f(x)} = {x R n : (f g)(x) = 0}

14 STFAN GSCHK s ist für einige Betrchtungen nützlich, nicht in R, sondern in dem Rum R = R {, } zu rechnen. Ds ht den Vorteil, dss Suprem Infim uch dnn definiert sind, wenn sie bzw. sind. Die Borel-Teilmengen des Rumes R seien genu die Mengen der Form B C mit B R C {, }. Wie mn leicht sieht, bilden diese Mengen eine σ-algebr. Messbrkeit von Funktionen nch R ist uf die nheliegende Weise definiert. Lemm 2.6. Sei (f n ) n R eine Folge messbrer Funktionen von R n nch R. Dnn sind die punktweise definierten Funktionen sup n N f n, inf n N f n, lim sup n f n lim inf n f n messbr. Außerdem ist die Menge {x R n : lim n f n(x) existiert} Borel. Flls lim n f n (x) für lle x R n existiert, so ist die punktweise definierte Funktion lim n f n messbr. Beweis. Wir betrchten die Funktion g = sup n N f n. Die Mengen der Form [, ], R, erzeugen die Borel-σ-Algebr uf R. s genügt dher zu zeigen, dss die g-urbilder solcher Mengen Borel sind. Für jedes R ist g 1 [[, ]] = {x R n : sup f n (x) } = {x R n : f n (x) }. n N n N Diese Menge ist Borel, d lle f n messbr sind. Die Funktion inf n N f n behndelt mn nlog. Wegen lim sup n f n = inf sup f n k N n k lim inf n f n = sup inf f n k N n k folgen sofort die entsprechenden Behuptungen für lim inf lim sup. Dmit ist die Menge {x R n : lim n f n(x) existiert} = {x R n : lim inf n f n (x) = lim sup n f n (x)} Borel. Flls lim n f n (x) für lle x R n existiert, so ist lim n f n = lim sup n f n messbr. Wichtige Beispiele messbrer Funktionen sind die chrkteristischen Funktionen von Borelmengen. Lemm 2.7. Für jede Borelmenge A R n ist die chrkteristische Funktion χ A : R n R messbr. Dbei ist χ A definiert durch { 1 x A, χ A (x) = 0 sonst. Definition 2.8. ine Treppenfunktion uf R n ist eine messbre Funktion f : R n R, die nur endlich viele Werte nnimmt. ntsprechend sind Treppenfunktionen uf Borel-Teilmengen von R n definiert. Wie mn leicht sieht, bilden die Treppenfunktionen uf einer Borelmenge A R n eine reellen Vektorrum. Stz 2.9. Sei A R n Borel. ) Sei f : A [0, ) messbr. Dnn existieren Treppenfunktionen 0 f 1 f 2...

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 15 uf A mit lim f n(x) = f(x) n für lle x A. b) Jede messbre Funktion uf A ist punktweiser Limes einer Folge von Treppenfunktionen. c) Für beschränkte Funktionen knn in ) b) gleichmäßige Konvergenz erzielt werden. Beweis. ) Für lle n N sei ( 4 ) n 1 f n = i 2 n χ An,i + 2 n χ Bn i=0 mit A n,i = {x A : i 2 n f(x) < (i + 1) 2 n } B n = {x A : f(x) 2 n }. Nch Konstruktion ist (f n ) n N monoton wchsend mn sieht leicht, dss die Folge punktweise gegen f konvergiert. Aus der Messbrkeit von f folgt sofort, dss uch lle f n messbr sind. b) knn wegen f = mx(f, 0) mx( f, 0) uf ) zurückgeführt werden. c) folgt unmittelbr us der Konstruktion. 2.2. Integrierbre Funktionen. Die integrierbren Funktionen werden die messbren Funktionen sein, denen sich uf sinnvolle Weise ein Integrl zuordnen lässt. Wir werden zunächst Integrle positiver Treppenfunktionen, dnn Integrle positiver messbrer Funktionen schließlich Integrle integrierbrer Funktionen definieren. Wir werden uns in den Definitionen Sätzen uf ds Lebesguemß beschränken. s ist ber wichtig, festzustellen, dss unsere Definitionen Sätze im wesentlichen für beliebige Mße uf beliebigen Mengen durchgehen, wobei mn Messbrkeit von Funktionen dnn ntürlich entsprechend (uf die nheliegende Weise) definieren muss. Definition 2.10. Sei R n. ) Sei f eine Treppenfunktion uf R n { 1,..., m } die Menge ihrer Funktionswerte. Alle i seien 0. Wir setzen m fdλ = i λ(f 1 ( i ) ). i=1 b) Sei f : R n [0, ] messbr. Dnn sei { } fdλ = sup gdλ : 0 g f, g Treppenfunktion. Lemm 2.11. Seien g h Treppenfunktionen uf R n mit Werten 0. ) Die Abbildung µ : gdλ definiert ein Mß uf Bor(R n ). b) Für lle Bor(R n ) gilt gdλ + hdλ = c) Sei Bor(R n ). Flls g h ist, so gilt gdλ hdλ. (g + h)dλ.

16 STFAN GSCHK d) Ist c eine reelle Zhl 0, so gilt c gdλ = c gdλ. Beweis. ) Sei g = m i=1 iχ g 1 ( i), wobei die i die prweise verschiedenen Funktionswerte von g sind. Offenbr gilt µ( ) = 0. Seien nun i, i N, prweise disjunkte Borelmengen = i. Dnn gilt m m µ() = i λ( g 1 ( i )) = i λ( j g 1 ( i )) i=1 i=1 = j=1 m i λ( j g 1 ( i )) = µ( j ) j=1 i=1 b) Seien g i, i {1,..., m} wie im Beweis von ). Weiter sei R n Borel h = k i=1 iχ h 1 (b i), wobei die b i die prweise verschiedenen Funktionswerte von h sind. Für i {1,..., m} j {1,..., k} sei ij = g 1 ( i ) h 1 (b j ). Dnn gilt gdλ = i λ( ij ), hdλ = b j λ( ij ) ij ij (g + h)dλ = ( i + b j )λ( ij ). ij Nch ) wegen = i,j ij gilt = (g+h)dλ (g+h)dλ = ( ) gdλ + hdλ = i,j ij i,j ij ij j=1 gdλ+ hdλ c) Sei R n wieder eine Borelmenge. Wegen g h ist f = h g eine Treppenfunktion mit Funktionswerten 0. Also ist fdλ 0. Dmit ist nch b) gdλ gdλ + fdλ = hdλ. d) ist klr. Sei (A i ) 1 i m eine Fmilie von prweise disjunkten Borel-Teilmengen von R n ( i ) 1 i m eine Folge reeller Zhlen 0. Sei f = m i=1 iχ Ai R n. Aus Lemm 2.11 b) folgt m fdλ = i λ( A i ), unbhängig dvon, ob die i prweise verschieden sind oder nicht. i=1 Lemm 2.12. Seien f, g : R n [0, ] messbr, F R n Borel. Dnn gelten folgende Aussgen: (1) 0 f g fdλ gdλ (2) F fdλ fdλ F (3) f = 0 fdλ = 0 (4) λ() = 0 fdλ = 0

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 17 Der folgende Stz von der monotonen Kovergenz (oder uch Stz von Beppo Levi) ist die Bsis ller Konvergenzsätze für ds Lebesgueintegrl. Stz 2.13. Seien f f 1, f 2,... messbre Funktionen von R n nch [0, ]. s gelte f 1 f 2.... Die Funktion f sei der punktweise Limes der f i. Für lle Borelmengen R n gilt dnn lim i f i dλ = fdλ. Beweis. Die Messbrkeit von f folgt us Lemm 2.6. D mit der Folge der f i uch die Folge der Integrle der f i monoton wächst, existiert c = lim f i dλ n in [0, ]. Wegen f i f ist f idλ fdλ. s folgt c fdλ. Andererseits gilt c = sup f idλ. Um nun fdλ c nchzuweisen, genügt es dher die Ungleichung gdλ sup f i dλ für lle Treppenfunktionen g mit 0 g f zu zeigen. Wir beweisen nun diese Ungleichung. Sei 0 < 1. Für ll i N sei i = {x : g(x) f i (x)}. Offenbr gilt 1 2.... D (f i (x)) für lle x in gegen f(x) konvergiert, gilt = i. Folglich gilt für lle i N c f i dλ f i dλ gdλ = gdλ. i i i Aus der σ-additivität der Abbildung F gdλ folgt F c lim gdλ = gdλ. i i D < 1 beliebig wr, folgt c gdλ. Wir wollen noch eine Formulierung dieses Stzes für Summen unendlich vieler Funktionen beweisen. Dzu benötigen wir Lemm 2.14. Seien f, g : R n [0, ] messbr R n Borel. Dnn gilt (f + g)dλ = fdλ + gdλ. Beweis. Wähle monoton wchsende Folgen (f i ) (g i ), die punktweise gegen f beziehungsweise g konvergieren. Dnn gilt ( ) (f + g)dλ = lim (f i + g i )dλ = lim f i dλ + g i dλ i i = lim f i dλ + lim g i dλ = i i fdλ + gdλ

18 STFAN GSCHK Korollr 2.15. Seien g 1, g 2, : R n [0, ] messbr g = i=1 g i. Dnn ist g messbr für jede Borelmenge R n gilt gdλ = g i dλ. i=1 Beweis. Für jedes i N sei f i = g 1 + + g i. Die Behuptung folgt nun sofort us Lemm 2.14 Stz 2.13. Definition 2.16. Für eine Funktion f : R seien f + = mx(f, 0) f = mx( f, 0). s gilt f = f + f. Mit f sind uch f + f messbr. Sei nun R n Borel. ine messbre Funktion f : R n R heißt integrierbr uf, flls die Integrle f + dλ f dλ endlich sind. In diesem Fll setzt mn fdλ = f + dλ f dλ. ine messbre Funktion f : R heißt schlicht integrierbr, flls irgendeine, dmit jede, messbre Fortsetzung von f uf gnz R n uf integrierbr ist. In diesem Fll setzt mn fdλ = gdλ, wobei g eine messbre Fortsetzung von f uf gnz R n ist. s sollte klr sein, dss diese Definition unbhängig von der Whl von g ist. Mn bechte, dss wegen 0 f, f + f f + f + eine Funktion f : [, ] genu dnn integrierbr ist, wenn f messbr ist f dλ < gilt. Stz 2.17. Seien R n Borel, f, g : R integrierbr, b R. Dnn ist f + bg integrierbr mit (f + bg)dλ = fdλ + b gdλ. Ist f 0, so gilt fdλ 0. Schließlich ist fdλ f dλ. Insbesondere bilden die integrierbre Funktionen einen Vektorrum, die Abbildung f fdλ ist ein positives lineres Funktionl uf diesem Vektorrum. Beweis. Im wesentlichen einfches Nchrechnen.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 19 2.3. Konvergenzsätze. Lemm 2.18 (Lemm von Ftou). Seien R n Borel f i : [0, ] messbr für lle i N. Dnn gilt lim inf i f i dλ lim inf i f i dλ. Beweis. Nch Lemm 2.6 ist lim inf i f i messbr. Stz 2.13 impliziert nun lim inf i f i dλ = sup inf f idλ = sup inf f idλ k N i k k N i k sup inf f i dλ = lim inf i f i dλ Die Ungleichung folgt dbei us ( ) j k inf f i f j i k k N n k ( ) j k inf f idλ f j dλ. i k Mit dem Lemm von Ftou erhlten wir leicht den Konvergenzstz von Lebesgue (uch Stz von der mjorisierten (oder dominierten) Konvergenz gennnt). Stz 2.19. Sei R n Borel f i : R messbr für lle i N. Die Folge (f i ) konvergiere punktweise gegen die Funktion f. Angenommen, es gibt eine integrierbre Funktion g : [0, ], so dss für lle i N gilt: f i g. Dnn sind f lle f i integrierbr mit lim i f i f dλ = 0 fdλ = lim f i dλ. i Beweis. Für lle i N ist f i g dmit f i dλ gdλ. Also ist f i integrierbr. Die Messbrkeit von f folgt us Lemm 2.6. Wegen f g ist f ebenflls integrierbr. Sei nun h = g+ f. Dnn ist h integrierbr. Für lle i N ist 0 f i f h. Nch dem Lemm von Ftou gilt hdλ = lim (h f i f )dλ = lim inf i (h f i f )dλ i lim inf i (h f i f )dλ = hdλ lim sup i f i f dλ Durch Subtrktion der reellen Zhl hdλ folgt lim sup i f i f dλ 0 dmit lim f i f dλ = 0. i Nch Stz 2.17 ist für lle i N f i dλ fdλ f i f dλ.

20 STFAN GSCHK s folgt lim f i dλ = fdλ. i infche Beispiele zeigen, dss mn in Stz 2.19 nicht uf die xistenz der integrierbren Funktion g verzichten knn. In der Theorie des Lebesgueschen Mßes, gibt es weitere Konvergenzsätze, die über Konvergenz fst überll reden. Sei R n Borel, P eine igenschft, die lemente von hben können. Mn sgt dnn fst lle lemente von hben die igenschft P, wenn die lemente von, die nicht die igenschft P hben, eine Nullmenge bilden. f < fst überll bedeutet zum Beispiel, dss {x : f(x) = } eine Nullmenge ist. Lemm 2.20. Sei R n Borel f : R integrierbr. Dnn gilt (1) f < fst überll. (2) f dλ = 0 f = 0 fst überll. (3) Ist g : R messbr gilt f = g fst überll, so ist uch g integrierbr es gilt gdλ = fdλ. Auf Gr dieses Lemms knn mn uch sinnvoll Funktionen f : R betrchten, die nur fst überll definiert sind. Solch eine Funktion ist messbr (integrierbr), wenn sie fst überll mit einer uf gnz definierten messbren (integrierbren) Funktion übereinstimmt. Aus dem Konvergenzstz von Lebesgue erhält mn leicht Korollr 2.21. Sei R n Borel f i : R messbr für lle i N. Ferner existiere lim i f i (x) für fst lle x es gebe eine integrierbre Funktion g : [0, ], so dss für lle i N die Ungleichung f i g fst überll gilt. Dnn sind die f i integrierbr es existiert eine integrierbre Funktion f : R mit lim i f i = f fst überll, sowie f i f dλ 0 f idλ fdλ für i.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 21 2.4. Der Stz von Fubini. Für stetige Funktionen uf kompkten Intervllen stimmt ds Lebesguesche Integrl dem Riemnnschen überein. Dher gilt der Huptstz der Differentil- Integrlrechnung uch für ds Lebesgueintegrl. Insbesondere können die beknnten Integrtionsregeln uch für ds Lebesgueintegrl ngewendet werden. Um nun Funktionen von R n nch R explizit zu integrieren, ist es nötig, mehrdimensionle Integrle uf eindimensionle zurückzuführen. Ds leistet der Stz von Fubini, den wir nch einigen Vorbereitungen beweisen. Lemm 2.22. Sei A R n R m Borel. Für jedes x R n sei Für jedes y R m sei A x = {y R m : (x, y) A}. A y = {x R n : (x, y) A}. Dnn sind die Mengen A x A y lle Borel. Außerdem sind die Abbildungen x λ(a x ) y λ(a y ) messbr es gilt λ(a) = λ(a x )dλ = λ(a y )dλ. R n R m Beweis. Dss die Mengen A x A y jeweils Borel sind, rechnet mn leicht nch. Dzu benutzt mn die Ttsche, dss eine Menge der Form {x} B genu dnn Borel ist, wenn B Borel ist. Wir zeigen die weiteren Behuptungen zunächst für beschränkte A. Seien R n F R n Borelmengen von endlichem Mß. Wir betrchten Mengen A F. Ist A ein Produkt B C von Borelmengen B R n C R m, so sind die Behuptungen unmittelbr klr. Mit Lemm 2.15 sieht mn, dss die Fmilie A der Mengen A F, die ds Lemm erfüllen, unter bzählbren Vereinigungen bgeschlossen ist. Aus Lemm 2.17 sowie der ndlichkeit von λ() λ(f ) folgt, dss A uch unter Komplementen (bezüglich F ) bgeschlossen ist. Dmit umfsst A lle Borel-Teilmengen von F. ine Borelmenge A R n R m ist, uch wenn sie unbeschränkt ist, Vereinigung über eine ufsteigenden Folge beschränkter Borelmengen. Mit Stz 2.13 dem bisher Bewiesenem folgt nun die Behuptung des Lemms für A. Korollr 2.23. ine Borelmenge A R n R m ist genu dnn eine Nullmenge, wenn für fst lle x R n die Menge A x eine Nullmenge ist. Lemm 2.24. Seien R n F R m Borel. Die Funktion f : F [0, ] sei messbr. Dnn sind die Abbildungen [0, ]; x f(x, )dλ messbr. F [0, ]; y F f(, y)dλ Beweis. Zunächst stellen wir fest, dss für festes x die Abbildung f x : F [0, ]; y f(x, y) messbr ist. Sei nämlich A [0, ] Borel. Wegen der Messbrkeit von f ist f 1 [A] Borel. Dmit ist uch fx 1 [A] = (f 1 [A]) x Borel. Aus Symmetriegründen ist uch für festes y F die Abbildung f y : F [0, ]; x f(x, y) messbr. Dmit sind die Integrle F f(x, )dλ f(, y)dλ sinnvoll definiert.

22 STFAN GSCHK Ist nun f die chrkteristische Abbildung χ A einer Borelmenge A F, so folgt die Behuptung sofort us Lemm 2.22. Mit Lemm 2.17 folgt die Behuptung uch für Treppenfunktionen. Mit Hilfe von Stz 2.13 folgt schließlich der llgemeine Fll. Stz 2.25 (Stz von Tonelli). Seien, F f wie in Lemm 2.24. Dnn gilt ( ) ( ) fdλ = F fdλ m dλ n = fdλ n dλ m. F Beweis. Lemm 2.22 zeigt den Stz für chrkteristische Funktionen von Borelmengen. Den llgemeinen Fll erhält mn nun wie in Lemm 2.22. Mittels recht einfcher Rechnungen ergibt sich nun Stz 2.26 (Stz von Fubini). Seien R n F R m Borel. Die Abbildung f : F R sei integrierbr. Dnn gilt: (1) Für fst lle x ist y f(x, y) integrierbr. Für fst lle y F ist x f(x, y) integrierbr. (2) Für x y F sei { f(x, )dλ, flls y f(x, y) integrierbr ist, I f (x) = F 0 sonst { f(, y)dλ, flls x f(x, y) integrierbr ist, J f (y) = F 0 sonst. Dnn sind I f J f integrierbr mit fdλ = I f dλ = F Aus Stz 2.25 Stz 2.26 erhlten wir F F J f dλ. Korollr 2.27. Seien R n F R m Borel f : F R messbr. Weiter sei ( F f dλm) dλ n oder ( F f dλn) dλ m endlich. Dnn gilt ( ) ( ) fdλ m dλ n = fdλ n dλ m, F wobei die Integrnden eventuell nur fst überll definiert sind. F

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 23 2.5. Die Trnsformtionsformel für Integrle. Die Trnsformtionsformel ist eine Verllgemeinerung der Integrtion durch Substitution (Kettenregel) uf höhere Dimensionen. Die Trnsformtionen, die uns dbei interessieren, sind Diffeomorphismen. Definition 2.28. Seien U, V R n offen. ine stetige Bijektion Φ : U V, deren Umkehrung ebenflls stetig ist, heißt Homöomorphismus. Φ heißt Diffeomorphismus, flls Φ Φ 1 sogr stetig differenzierbr sind. Wir beginnen mit einem einfchen Spezilfll. Lemm 2.29. Sei Φ : R n R n eine invertierbre linere Abbildung, R n Borel. Dnn ist Φ[] Borel es gilt λ(φ[]) = det(φ) λ(). Beweis. D Φ ein Homöomorphismus ist, ist Φ[] Borel. Beknntlich ist det(φ) ds Volumen des Bildes des n-dimensionlen inheitswürfels [0, 1] n unter der Abbildung Φ. Wegen der Linerität von Φ gilt für jeden bgeschlossenen Quder jeden offenen Quder Q R n die Gleichung λ(φ[q]) = det(φ) λ(q). Mittels einer leichten Rechnung folgt, dss die entsprechende Gleichung uch für endliche Vereinigungen von Qudern gilt. s folgt, dss die Gleichung uch für bzählbre Vereinigungen offener Quder gilt, lso für lle offenen Mengen. D sich Borelmengen bezüglich des Mßes beliebig gut durch offene Mengen pproximieren lssen, folgt die Behuptung für beliebige Borelmengen. Korollr 2.30. Seien Φ wie in Lemm 2.31. Weiter sei f : Φ[] R integrierbr. Dnn ist fdλ = det(φ) (f Φ)dλ. Φ[] Beweis. Nch Lemm 2.31 gilt die Behuptung, flls f die chrkteristische Funktion einer Borelmenge ist. Drus folgt ber leicht die Behuptung für Treppenfunktionen schließlich llgemein für integrierbre Funktionen. Ds folgende Lemm ist eine nicht-trivile Verllgemeinerung von Lemm 2.31. Lemm 2.31. Seien U, V R n offen Φ : U V ein Diffeomorphismus. Für jede Borelmenge U ist dnn uch Φ[] Borel es gilt λ(φ[]) = det(j Φ ) dλ. Dbei bezeichnet J Φ die Funktion, die jedem x U die Jcobi-Mtrix von Φ im Punkt x zuordnet. Wir beweisen dieses Lemm zusmmen mit dem folgenden noch llgemeineren Stz: Stz 2.32 (Trnsformtionsformel für Integrle). Seien U, V Φ wie in Lemm 2.31. Dnn ist eine messbre Funkion f : V R genu dnn integrierbr, wenn (f Φ) det(j Φ ) : U R integrierbr ist, in diesem Fll gilt fdλ = (f Φ) det(j Φ ) dλ. V U Beweis. Lemm 2.31 ist genu Stz 2.32 eingeschränkt uf chrkteristische Funktionen f von Borelmengen U zusmmen mit der Informtion, dss Φ[] Borel ist, d Φ ein Homöomorphismus ist. Aus Lemm 2.31 folgt leicht der Stz für Treppenfunktionen. Indem mn messbre Funktionen ls Limiten von ufsteigenden

24 STFAN GSCHK Folgen von Treppenfunktionen drstellt, folgt der Stz für messbre Funktionen. Drus folgt schnell der Stz für beliebige integrierbre Funktionen. s bleibt lso eigentlich nur Lemm 2.31 zu zeigen. Wir werden ber Stz 2.32 gleich mitbeweisen, zwr durch Induktion über die Dimension n. Sei zunächst n = 1. Ist ein kompktes Intervll [, b], so gilt nch dem Huptstz der Integrl- Differentilrechnung us der Riemnnschen Integrtionstheorie Φ(b) Φ() = b Φ (x)dx. Bechte, dss Φ[] genu ds Intervll [min(φ(), Φ(b)), mx(φ(), Φ(b))] ist, denn d Φ ein Homöomorphismus ist, bildet Φ bgeschlossene Intervlle uf bgeschlossene Intervlle die Rndpunkte von Intervllen uf die Rndpunkte der Bildintervlle b. D der Integrnd Φ stetig sind, folgt für ds Lebesguesche Integrl die Formel λ(φ[]) = Φ dλ. Mit den üblichen Methoden überträgt sich diese Formel uf beliebige Borelmengen. Sei nun n > 1. Zunächst mchen wir uns folgendes klr: Angenommen, Stz 2.32 gilt für die Diffeomorphismen Ψ : U V P : V W. Dnn ist uch Φ = P Ψ : U W ein Diffeomorphismus die Kettenregel zusmmen mit dem Determinntenmultipliktionsstz liefert für jede integrierbre Funktion f : W R fdλ = (f P) det(j P ) dλ = (f P Ψ) det(j P Ψ) det(j Ψ ) dλ V W U = (f Φ) det((j P Ψ) J Ψ ) dλ = (f Φ) det(j Φ ) dλ. U Mit nderen Worten, die Trnsformtionsformel gilt dnn uch für Φ. Wir nehmen nun n, Stz 2.32 gilt in Dimension n 1 zeigen die Aussge in Dimension n zunächst für Diffeomorphismen Φ, die eine Koordinte festhlten. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir dbei nnehmen, dieses sei die erste Koordinte, denn nch Korollr 2.30 gilt die Trnsformtionsformel für Diffeomorphismen, die nur die Koordintenvertuschen nch dem oben Gezeigten überträgt sich die Trnsformtionsformel uf Kompositionen von Diffeomorphismen. Sei lso Φ ein Diffeomorphismus, der die erste Koordinte festhält. Schreiben wir die lemente von R n ls (t, x) mit t R x R n 1, so ht Φ(t, x) die Form (t, Φ t ), wobei Φ t ein Diffeomorphismus von U t = {x R n 1 : (t, x) U} nch V t ist. Nch Lemm 2.22 gilt für lle Borelmengen A U die Gleichung λ(φ[a]) = λ((φ[a]) t )dλ = λ(φ t [A t ])dλ. R Nch Induktionvorussetzung gilt die Trnsformtionsformel bereits für Φ t wir erhlten λ(φ[a]) = det(j Φt ) dλ n 1 dλ 1. R A t D Φ die erste Koordinte festhält, gilt für die Jcobimtrix von Φ 1 0... 0 J Φ ((t, x)) =. J Φt (x). R U

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 25 Dmit ist det(j Φ (t, x)) = det(j Φt (x)). s folgt ( ) λ(φ[a]) = χ At det(j Φt ) dλ n 1 dλ 1 R R n 1 = χ A det(j Φ ) dλ = det(j Φ ) dλ. R n A Ds zeigt die Trnsformtionsformel für Diffeomorphismen, die eine Koordinte fest lssen. Für den llgemeinen Fll rgumentieren wir wie folgt. Für x U schreiben wir Φ(x) ls (Φ 1 (x),..., Φ n (x)) mit stetig differenzierbren Abbildungen Φ i : U R. Sei p U. D Φ ein Diffeomorphismus ist, ist mindestens eine der prtiellen Ableitungen Φ i / x j im Punkt p von 0 verschieden. Indem wir Φ mit Koordintenvertuschungen komponieren, können wir nnehmen, dss Φ 1 / x 1 bei p nicht verschwindet. Für x = (x 1,..., x n ) U sei Ψ(x) = (Φ 1 (x), x 2,..., x n ). s gilt Φ 1 x 1 (x)... 0 1... 0 J Ψ (x) =..... 0 0... 1 Dmit ist J Ψ (p) invertierbr. Wegen der stetigen Differenzierbrkeit von Ψ existiert eine offene Umgebung U(p) von p, uf der Ψ ein Diffeomorphismus ist. Dmit ist uch P = Φ Ψ 1 : Ψ[U(p)] Φ[U(p)] ein Diffeomorphismus. Für y = (y 1,..., y n ) Ψ[U(p)] gilt P(y 1,..., y n ) = (y 1, P 2 (y),..., P n (y)). Dher hlten sowohl Ψ ls uch P mindestens eine Koordinte fest. Nch dem oben schon Bewiesenem gilt die Trnsformtionsformel dmit uch für Φ U(p) = P Ψ U(p). D p beliebig wr, gilt die Trnsformtionsformel für Φ lso zumindest lokl. Für jeden Punkt p U existieren rtionle Zhlen r 1,..., r n m N mit U < 1 ((r 1,..., r m n )) U(p). D Q N bzählbr sind, gibt es nur bzählbr viele offene Mengen der Form U < 1 ((r 1,..., r m n )). Dmit existiert eine Folge (p i ) mit U = U(p i). Setze B 1 = U(p 1 ) B i = U(p i ) \ i 1 j=1 U(p j) für i > 1. Dnn sind die B i prweise disjunkte Borelmengen, die U überdecken uf denen jeweils die Trnsformtionsformel für Φ gilt. s folgt nun leicht mit Hilfe des Stzes von der monotonen Konvergenz, dss die Trnsformtionsformel für Φ uch uf gnz U gilt.

26 STFAN GSCHK 3.1. Kurven- Arbeitsintegrle. 3. Die klssischen Integrlsätze Definition 3.1. Sei I = [, b] ein kompktes Intervll. ine stetige Funktion ϕ : I R n heißt Weg (in R n ) mit dem Prmeterbereich I, C = ϕ[i] ist die von ϕ erzeugte Kurve ϕ eine Prmeterdrstellung (Prmetrisierung) von C. Die Punkte ϕ() ϕ(b) sind Anfngs- ndpunkt des Weges ϕ. Der Weg ϕ heißt Jordnsch, wenn ϕ injektiv ist, geschlossener Jordnscher Weg, wenn ϕ uf (, b) injektiv ist ϕ() = ϕ(b) gilt. in Weg ϕ ist gltt, flls ϕ stetig differenzierbr mit nirgends verschwindender Ableitung ist. ϕ ist stückweise gltt, wenn es eine Unterteilung = t 0 < t 1 < < t n = b des Intervlls I gibt, so dss ϕ uf den Intervllen [t i 1, t i ] gltt ist. Definition 3.2. Sei ϕ : [, b] R n ein gltter Weg, C = ϕ[[, b]] f : C R stetig. Ds Kurvenintegrl von f über ϕ ist die Zhl b f(s)ds = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. C Dbei ist ϕ (t) der Vektor (ϕ 1(t),..., ϕ n(t)), wobei die ϕ i die Komponentenfunktionen von ϕ sind. Ist f konstnt 1, so erhält mn die Länge b ϕ (t) dt von C. Ist ϕ nur stückweise gltt, so setzt mn ds Kurvenintegrl f(s)ds uf die C nheliegende Weise us Integrlen über gltte Teilkurven zusmmen. Die Schreibweise f(s)ds deutet bereits n, dss ds Integrl von der Prmetrisierung ϕ der Kurve C unbhängig C ist. Lemm 3.3. Seien ϕ : [, b] R n ψ : [c, d] R n gltte, injektive Prmetrisierungen derselben Kurve C mit ϕ() = ψ(c) ϕ(b) = ψ(d). Weiter sei f : C R stetig. Dnn gilt b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = d c f(ψ(t)) ψ (t) dt. Beweis. Wir nehmen zunächst n = 1 n. In diesem Flle sieht mn leicht, dss die Abbildung ψ 1 ϕ : [, b] [c, d] ein Diffeomorphismus ist. Kettenregel Trnsformtionsformel liefern (f ψ) ψ dλ = (f ψ ψ 1 ϕ) ψ ψ 1 ϕ (ψ 1 ϕ) dλ [c,d] [,b] = [,b] (f ϕ) ϕ dλ. Die Behuptung folgt nun mittels einer einfchen Vorzeichenbetrchtung. Der Fll n > 1 lässt sich uf den Fll n = 1 zurückführen, dss ist ber etws ufwendiger. Definition 3.4. Sei S R n. ine Abbildung K : S R n heißt Vektorfeld. V : R n R ist ein Potentil zu K, flls für lle s S gilt: grd V (s) = K(s) Sei ϕ : [, b] R n ein gltter Weg, C = ϕ[[, b]] K : C R n ein stetiges Vektorfeld. Ds Arbeitsintegrl von K entlng ϕ ist die Zhl b K(s), ds = K(ϕ(t)), ϕ (t) dt. ϕ Für stückweise glttes ϕ ist die Definition des Arbeitsintegrls wieder die nheliegende.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 27 Ds Arbeitsintegrl von K entlng ϕ knn interpretiert werden ls die Arbeit, die ufgewendet werden muss, um ein punktförmiges Objekt, uf ds im Punkt x die Krft K wirkt, entlng ϕ zu bewegen. Lemm 3.5. Sei K : R n R ein stetiges Vektorfeld. K besitzt genu dnn ein Potentil, wenn der Wert von Arbeitsintegrlen von K entlng eines Weges ϕ nur von den ndpunkten von ϕ bhängt. Mn sgt in diesem Fll, dss die Arbeitsintegrle wegunbhängig sind. Beweis. Ist V : R n R ein Potentil von K, so gilt b K(ϕ(t)), ϕ (t) dt = b grd V (ϕ(t)), ϕ (t) dt = b (V ϕ) dt = V (ϕ(b)) V (ϕ()). Der letzte Ausdruck hängt offenbr nur von den ndpunkten von ϕ b. Sind umgekehrt Arbeitsintegrle von K wegunbhängig, so knn mn ein Potentil V : R n R leicht wie folgt definieren: Für jedes x R n sei ϕ x : [0, 1] R n ein gltter Weg mit ϕ x (0) = 0 ϕ x (1) = x. Setze V (x) = ϕ x K(s), ds. Wir bestimmen nun V/ x i (x). Für geeignete, b R mit 0 < < b sei ϕ : [0, b] R n ein gltter Weg mit ϕ() = x, ϕ i () = 1 ϕ j () = 0 für j i. Dnn gilt V/ x i () = (V ϕ) () = d dy ( y 0 ) K(ϕ(t)), ϕ (t) dt () wobei K i die i-te Komponentenfunktion von K ist. 3.2. Flächen- Flußintegrle. = K(ϕ()), ϕ () = K i (ϕ()), Definition 3.6. N R 2 heißt Normlbereich, flls es < b stetige Funktionen α, β : [, b] R mit α β gibt, so dss gilt. N = {(x, y) R 2 : x b α(x) y β(x)} Definition 3.7. Sei N R 2 ein Normlbereich. ine gltte Fläche in R n mit Prmeterbereich N ist eine stetig differenzierbren Abbildung Φ : N R n, so dss J Φ (x) für lle x N den Rng 2 ht. Φ ist die Prmeterdrstellung (Prmetrisierung) des Flächenstücks F = Φ[N]. Definition 3.8. Sei Φ : N R 3 eine gltte Fläche, F = Φ[N] f : F R stetig. Ds Flächenintegrl von f über F ist die Zhl ( b β(x) ( f(ω)dω = (f Φ)(x, y) Φ x Φ ) ) (x, y) y dy dx. Φ α(x) Dbei bezeichnet ds Vektorprodukt zweier Vektoren in R 3., b α, β beschreiben wie in Definition 3.6 den Normlbereich N. Ds Flächenintegrl von 1 über F ist der Flächeninhlt von F. Mn bechte: Für u, v R 3 steht u v senkrecht uf u v u v ist die Fläche des von u v ufgespnnten Prllelogrmms. Für gltte injektive Flächen sind Flächenintegrle unbhängig von der Prmetrisierung der Fläche. Ds knn mn mit Hilfe der Trnsformtionsformel für Integrle beweisen.

28 STFAN GSCHK Definition 3.9. Sei Φ : N R 3 eine gltte Fläche, F = Φ[K] f : F R 3 ein stetiges Vektorfeld. Ds Flussintegrl von f über Φ ist die Zhl ( b β(x) ( Φ (f Φ)(x, y), x Φ ) ) (x, y) dy dx. y α(x) Flussintegrle lssen sich wie folgt interpretieren: Angenommen, für jeden Punkt x R 3 ist f(x) der Geschwindigkeitsvektor eines im Punkt x befindlichen Gsmoleküls. Dnn gibt ds Flussintegrl von f über Φ n, wieviel Gs durch die Fläche F hindurchströmt. 3.3. Volumenintegrle. Definition 3.10. ine Menge G R 3 heißt Normlgebiet, wenn es einen Normlbereich N R 2 stetige Abbildungen γ, δ : N R mit gibt. G = {(x, y, z) : (x, y) N γ(x, y) z δ(x, y)} Definition 3.11. Sei G R 3 ein Normlgebiet. in glttes Volumen mit Prmeterbereich G ist eine stetig differenzierbre Abbildung V : G R 3, deren Jcobimtrizen überll invertierbr sind. Definition 3.12. Sei V : G R 3 ein glttes Volumen, G 0 = V [G] f : G 0 R stetig. Ds Volumenintegrl von f über G 0 ist die Zhl b β(x) δ(x,y) α(x) γ(x,y) (f V ) det(j V (x, y, z)) dzdydx. Dbei seien, b, α, β, γ, δ die Dten, die ds Normlgebiet G beschreiben. Mit Hilfe der Kettenregel der Trnsformtionsformel lässt sich leicht nchrechnen, dss Volumenintegrle für injektive gltte Volumin von der Prmetrisierung des Volumens unbhängig sind. ine typische Anwendung eines Volumenintegrls ist die Berechnung der Msse eines festen Körpers bei gegebener Dichteverteilung.

SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 29 3.4. Die Sätze von Guß Stokes. Definition 3.13. ) Sei U R 3 offen g : U R 3 differenzierbr. Die Divergenz von g ist die Funktion ( g1 div g : U R; (x, y, z) x + g 2 y + g ) 3 (x, y, z). z Dbei bezeichnen g 1, g 2, g 3 wie üblich die Komponentenfunktionen von g. b) Sei g wie oben. Die Rottion von g ist die Abbildung ( rot g : U R 3 g3 ; (x, y, z) y g 2 z, g 1 z g 3 x, g 2 x g ) 1 (x, y, z). y Die Opertoren div rot sind sogennnte Differentilopertoren. Die einfchsten Differentilopertoren sind die prtiellen Ableitungen x i. Lemm 3.14. ) div g =, g b) rot g = g c) Ist g : R 3 R 3 stetig differenzierbr, so gilt rot(grd f) = 0. d) Ist f : R 3 R zweiml differenzierbr, so setzt mn f = div(grd f). ist der Lplceopertor. s gilt ( 2 ) f f(x, y, z) = x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 (x, y, z). Beweis. infches Nchrechnen, wobei für c) der Stz von Schwrz benutzt wird. 3.4.1. Der Stz von Guß in der bene. Sei U R 2 offen g : U R 2 differenzierbr. Die Divergenz von g wird in Anlogie zu dreidimensionlen Fll ls div g = g1 x + g2 y definiert. inen Normlbereich N R 2 wie in Definition 3.6 nennen wir im Folgenden Normlbereich bezüglich der x-achse. in Normlbereich bezüglich der y-achse ist eine Menge, deren Spiegelung n der ersten Winkelhlbierenden (Koordintenvertuschung) ein Normlbereich bezüglich der x-achse ist. Ist N R 2 ein durch, b R stetig differenzierbre Abbildungen α, β : [, b] R mit α β bestimmtes Normlgebiet bezüglich der x-achse, so definiert mn den Rnd N ls die Kurve, die von dem stückweise gltten Weg erzeugt wird, der durch Hintereinnderhängen der Wege ϕ 1 : [, b] R 2 ; t (t, α(t)), ϕ 2 : [α(b), β(b)] R 2, t (b, t), ϕ 3 : [0, b ] R 2 ; t (b t, β(b t)) ϕ 4 : [0, β() α()] R 2 ; t (, β() t) entsteht. Ds Intervll [c, d] sei der Definitionsbereich von ϕ. Dbei kommt es uf die Prmetrisierung von N eigentlich nicht n. Wichtig ist nur, dss die Prmetrisierung stückweise gltt ist, der Anfngs- mit dem ndpunkt übereinstimmt, die Prmetrisierung nsonsten ber injektiv ist N so durchlufen wird, dss N immer zur Linken liegt. An jeder Stelle t [c, d] sei ν(t) der Vektor der Länge 1, der im Punkte (x, y) senkrecht uf der Tngente n die Kurve N steht nch ußen, lso von N weg zeigt. Bechte, dss ν(t) n endlich vielen Ausnhmestellen in [c, d] nicht definiert ist. Ds mcht ber nichts, d es sich um eine Nullmenge hndelt. s gilt nun folgender Stz: