Funktionalanalysis SS 18

Logbuch zur Vorlesung Funktionlnlysis SS 18 Christin Schmeiser 1 Contents 1 Ein erster Blick uf Bnch- und Hilberträume 1 1.2 Der Bnchrum stetiger Funktionen........................... 1 1.3 Die Geometrie von Hilberträumen............................ 4 1.4 Vollständigkeit....................................... 6 1.5 Kompktheit........................................ 8 1.6 Beschränkte Opertoren.................................. 14 1.7 Allgemeinere Funktionenräume.............................. 16 1.8 Aufgben zu Kpitel 1................................... 18 2 Hilberträume 21 3 Kompkte Opertoren 21 4 Bnchräume 21 5 Weitere Resultte über Bnchräume 21 Die Vorlesung orientiert sich n Topics in Rel nd Functionl Anlysis von G. Teschl (http://www.mt.univie.c.t/ gerld/ftp/book-f/). Die Referenz [Teschl] bezieht sich uf diesen Text. Die LeserIn sei gewrnt, dss es hier im Vergleich zu [Teschl] geringfügige Nottionsbweichungen gibt. 1 Ein erster Blick uf Bnch- und Hilberträume 1.2 Der Bnchrum stetiger Funktionen 6.3.18: Beispiel: Integrlgleichung: Gesucht u : [, b] IR, sodss u(x) = f(x) + ε K(x, y)u(y)dy, x [, b], (1) mit f und K gegeben und stetig. ε 1. Gibt es eine (stetige) Lösung? Gilt für diese u(x) f(x), und ws bedeutet ds eigentlich? 1 Institut für Mthemtik, Universität Wien, Oskr-Morgenstern-Pltz 1, 1090 Wien, Austri. http://homepge.univie.c.t/christin.schmeiser/ 1

Abstnd zwischen Funktionen: Seien u, v C([, b]) und d (u, v) := sup u(x) v(x). x [,b] Definition 1 Sei M eine Menge und d : M M [0, ). Es gelte für lle u, v, w M Symmetrie: d(u, v) = d(v, u) Definitheit: d(u, v) = 0 u = v Dreiecksungleichung: d(u, w) d(u, v) + d(v, w) Dnn nennt mn d eine Metrik und ds Pr (M, d) einen metrischen Rum. Bemerkung: In metrischen Räumen sind Cuchyfolgen und Konvergenz von Folgen definiert. Konvergenz bezüglich d heißt gleichmäßige Konvergenz. Lemm 1 (C([, b]), d ) ist ein metrischer Rum. Beispiel: Gleichung (1) ist liner mit Inhomogenität f, d.h. wenn u j (x) = f j (x) + ε K(x, y)u j (y)dy, x [, b], j = 1, 2, dnn ist u = λu 1 + µu 2 eine Lösung von (1) mit f = λf 1 + µf 2 für λ, µ IR. C([, b]) ist uch ein Vektorrum (über IR). Verträglichkeit der beiden Strukturen: Sei M ein VR über IR und (M, d) ein metrischer Rum. Weiters gelte für u, v, w M, λ IR Trnsltionsinvrinz: d(u, v) = d(u + w, v + w) Homogenität: d(λu, λv) = λ d(u, v) Definiert mn in diesem Fll u := d(u, 0), dnn wird (M, ) ein normierter Rum, d.h. M ist ein Vektorrum über IR, und : M [0, ) erfüllt für lle u, v M, λ IR, Definitheit: u = 0 u = 0 Homogenität: λu = λ u Dreiecksungleichung: u + v u + v Bemerkung: Umgekehrt ist jeder normierte Rum ein metrischer Rum mit d(u, v) := u v. Lemm 2 (C([, b]), ) mit ist ein normierter Rum. u := sup u(x) x [,b] 2

Bemerkung: wird Supremumnorm gennnt. Mn könnte llerdings für stetige Funktionen sup durch mx ersetzen. Beispiel: Zurück zu (1): Die rechte Seite (F u)(x) := f(x) + ε definiert F : C([, b]) C([, b]). Gesucht: Fixpunkt von F. Itertion: u 0 := f, u n+1 = F u n, n 0, produziert für ε sup K(x, y) dy < 1 x [,b] eine Cuchyfolge {u n } in (C([, b]), ). K(x, y)u(y)dy (2) Lemm 3 Der normierte Rum (C([, b]), ) ist ein Bnchrum, d.h. er ist vollständig, d.h. jede Cuchyfolge konvergiert. Beispiel: D F stetig ist, ist der Grenzwert u der oben konstruierten Cuchyfolge {u n } ein Fixpunkt von F und dher eine Lösung von (1). Diese ist eindeutig, und es gilt u f = O(ε) für ε 0. Definition 2 Eine Teilmenge B H eines Vektorrumes heißt Hmel-Bsis, wenn jede endliche Teilmenge von B H liner unbhängig ist und wenn jedes Element des Vektorrumes ls (endliche) Linerkombintion von Elementen von B H drgestellt werden knn. Ds Problem mit Hmel-Bsen ist, dss sie für prktische Zwecke viel zu groß (im llgemeinen überbzählbr) sind (siehe Kpitel 4). Definition 3 Eine höchstens bzählbre Teilmenge B S = {u i : i I} eines normierten Vektorrumes X heißt Schuder-Bsis, wenn es für jedes x X eindeutige Koeffizienten x i IR, i I, gibt, sodss x = x i u i, i I wobei im Fll der Unendlichkeit der Indexmenge I die Reihe uf der rechten Seite ls Grenzwert interpretiert wird. Während die linere Hülle einer Hmel-Bsis der gnze Rum ist, genügt es bei einer Schuder- Bsis, dss die linere Hülle dicht ist. Definition 4 Ein metrischer Rum, der eine bzählbre dichte Teilmenge enthält, heißt seprbel. Lemm 4 Ein normierter Rum, der eine Schuder-Bsis besitzt, ist seprbel. Beweis: Rtionle Approximtion der Koeffizienten. Lemm 5 (C([, b]), ) besitzt eine Schuder-Bsis. 3

Beweis: Äquidistnte Zerlegung des Intervlles in 2 n Teilintervlle und stückweise linere Interpoltion [Teschl, Problem 1.15]. Stz 1 (Weierstrß) Die Menge der Polynome ist dicht in (C([, b]), ). Beweis: Siehe [Teschl, Lemm 1.2, Theorem 1.3]. Bemerkungen: 1) Es genügt die Menge der Polynome mit rtionlen Koeffizienten, worus die Seprbilität von (C([, b]), ) folgt. 2) Ds Resultt zeigt, dss C ([, b]) dicht in (C([, b]), ) ist, d.h. dss stetige Funktionen gleichmäßig durch gltte Funktionen pproximiert werden können. 3) Die Menge der Polynome mit rtionlen Koeffizienten ist keine Schuder-Bsis, weil gleichmäßig konvergente Potenzreihen nur nlytische Funktionen drstellen können. 1.3 Die Geometrie von Hilberträumen Beispiel: Ds Lösen eines lineren Gleichungssystems im IR n der Form Au = f ist für symmetrische Mtrizen A wesentlich leichter ls im llgemeinen unsymmetrischen Fll. Mit (2) und der Definition Au := u F u knn uch (1) in der Form Au = f geschrieben werden. Wie können wir ds Konzept von Symmetrie uf die Abbildung A übertrgen? Symmetrie einer (n n)-mtrix A knn mit Hilfe des Sklrproduktes chrkterisiert werden: Au, v = u, Av, u, v IR n Sieht mn einen Vektor im IR n ls eine Abbildung von {1,..., n} nch IR, dnn knn mn ds Sklrprodukt ls punktweise Multipliktion mit nschließender Summtion beschreiben. Ersetzt mn für reelle Funktionen die Summtion durch ds Integrl, dnn ergibt sich für u, v C([, b]) ds Sklrprodukt u, v := u(x)v(x)dx. (3) Die Abbildung A = Id F ist dmit symmetrisch, wenn K(x, y) = K(y, x), x, y [, b]. Definition 5 Sei V ein Vektorrum und, : V V IR eine symmetrische bilinere Abbildung, mit u, u 0, und u, u = 0 u = 0. Dnn heißt, ein Sklrprodukt uf V. Lemm 6 Sei, ein Sklrprodukt uf V. Dnn wird durch u := u, u eine Norm (die vom Sklrprodukt induzierte Norm) uf V definiert. Definition 6 Ein Vektorrum mit Sklrprodukt, der bezüglich der vom Sklrprodukt induzierten Norm vollständig ist, heißt Hilbertrum. Lemm 7 (Cuchy-Schwrzsche Ungleichung) Sei, ein Sklrprodukt uf V. Dnn gilt u, v u v. 4

Beweis: 0 u λv, u λv mit λ = u,v v,v. Beweis: (von Lemm 6) Alles leicht ußer Dreiecksungleichung: u + v 2 = u + v, u + v = u 2 + 2 u, v + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2. Definition 7 Der Winkel (u, v) [0, π] zwischen Nichtnullvektoren u und v wird definiert durch cos (u, v) = u, v u v. Insbesondere nennt mn u und v orthogonl und schreibt u v, wenn u, v = 0. Bemerkung: Die Wohldefiniertheit des Winkels ist eine Konsequenz us der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung. Lemm 8 (Pythgors) Sei u v. Dnn gilt u 2 + v 2 = u + v 2. Beweis: Ausrechnen. Bestpproximtion P v u von u entlng der von v ufgespnnten Gerden: P v u = λv, wobei min u λv 2 λ IR wird ngenommen für λ = u,v v 2., d.h. P v u = u,v v 2 v. Für den Approximtionsfehler gilt u := u P v u v, d.h. P v ist die orthogonle Projektion uf die von v ufgespnnte Gerde. Pythgors impliziert u 2 = P v u 2 + u 2. Stz 2 1) Für jede von einem Sklrprodukt induzierte Norm gilt ds Prllelogrmmgesetz u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2. 2) Für jede Norm, die ds Prllelogrmmgesetz erfüllt, wird durch ein Sklrprodukt definiert. u, v := 1 4 ( u + v 2 u v 2) Beweis: 1) Ausrechnen. 2) Nicht Stoff der Vorlesung (siehe [Teschl, Theorem 1.6]). 5

1.4 Vollständigkeit Beispiel: Durch (3) wird die Norm uf C([, b]) induziert. Mn zeigt leicht u 2 := u(x) 2 dx u 2 b u u C([, b]). (4) Definition 8 1. Seien und Normen uf dem Vektorrum V, und es existiere c > 0, sodss u c u u V. Dnn heißt stärker ls. 2. Ist stärker ls und stärker ls. Dnn heißen und äquivlent. Lemm 9 Sei stärker ls. Dnn folgt Konvergenz bezüglich us Konvergenz bezüglich. Beweis: Leicht. Stz 3 Auf einem endlichdimensionlen Vektorrum sind lle Normen äquivlent. Beweis: Sei V ein Vektorrum mit Dimension d < und {b 1,..., b d } eine Bsis. D Äquivlenz von Normen eine Äquivlenzreltion ist, genügt es zu zeigen, dss lle Normen äquivlent zur Norm d u 1 := α j d für u = j b j j=1 j=1 sind. Sei lso eine beliebige ndere Norm uf V. Wir zeigen zunächst, dss : V IR stetig bezüglich 1 ist: u u u u d j=1 α j α j b j mx 1 j d b j u u 1, wobei die erste Ungleichung eine Konsequenz us der Dreiecksungleichung ist. Die Oberfläche der Einheitskugel S := {u V : u 1 = 1} bezüglich 1 ist eine bgeschlossene beschränkte Menge, und die stetige Funktion nimmt dher uf S ihr Minimum c 1 und ihr Mximum c 2 n. D S den Ursprung nicht enthält, gilt 0 < c 1 v c 2 v S. Der Beweis wird bgeschlossen, indem wir für ein beliebiges u V, u 0, v = u/ u 1 wählen. Bemerkung: Sei X ein d-dimensionler Vektorrum mit Bsis {b 1,..., b d }. Eine Folge u n = α 1,n b 1 + + α d,n b d konvergiert unbhängig von der Norm uf X genu dnn, wenn die Folgen (α k,n ) n=1 für lle k = 1,..., d in IR konvergieren. 6

Beispiel: 1) Die Folge u n (x) = (1 nx 1 ) + C([0, 1]) konvergiert punktweise und bezüglich 2 gegen u (x) = 0 C([0, 1]), ber nicht bezüglich. Es ist dher wegen (4) stärker ls 2, ber nicht umgekehrt. 2) Die Folge (u n ) n=1 C([ 1, 1]), definiert durch 1 1 x < 1/n u n (x) = nx 1/n x 1/n (5) 1 1/n < x 1 ist eine Cuchyfolge bezüglich 2, konvergiert ber nicht gegen eine stetige Funktion sondern, zumindest punktweise, gegen die unstetige Funktion u (x) = sign(x). Der normierte Rum (C([, b]), 2 ) ist dher kein Bnchrum. Jeder normierte Rum knn durch Vervollständigung uf eindeutige Art zu einem Bnchrum erweitert werden. Diese Prozedur, mit deren Hilfe uch die irrtionlen Zhlen eingeführt werden können, wird im Folgenden drgestellt. Sie besteht vereinfcht gesgt drin, dem Rum die fehlenden Grenzwerte von Cuchyfolgen hinzuzufügen. Stz 4 1) Sei (X, ) ein normierter Rum. Dnn wird durch (u n ) n=1 (v n ) n=1 : lim n (u n v n ) = 0 eine Äquivlenzreltion uf der Menge der Cuchyfolgen in X definiert. Mit [(u n) n=1 ] wird die Äquivlenzklsse von (u n ) n=1 bezeichnet. 2) Sind (u n ) n=1, (v n) n=1 Cuchyfolgen in X und λ IR, dnn sind uch (u n+v n ) n=1 und (λu n) n=1 Cuchyfolgen in X, und ( u n ) n=1 ist eine Cuchyfolge (und dher konvergent) in IR. 3) Definiert mn uf der Menge X der Äquivlenzklssen die Vektorrumopertionen und die Norm durch [(u n ) n=1] + [(v n ) n=1] := [(u n + v n ) n=1], λ[(u n ) n=1] := [(λu n ) n=1], [(u n ) n=1] := lim n u n, dnn ist (X, ) ein Bnchrum, der X ls dichten Teilrum enthält, wenn mn die in X konvergenten Cuchyfolgen mit ihren Grenzwerten identifiziert. Beweis: Siehe [Teschl, Lemm 1.9, Theorem 1.10] Korollr 1 Die Vervollständigung eines Vektorrums mit Sklrprodukt bezüglich der induzierten Norm ist ein Hilbertrum, wobei ds Sklrprodukt uf der Vervollständigung durch definiert ist. [(u n ) n=1], [(v n ) n=1] := lim n u n, v n Beispiel: Der durch Vervollständigung von (C([, b]), 2 ) entstehende Hilbertrum wird (L 2 ((, b)), 2 ) gennnt. Auch seine unstetigen Elemente können in gewissem Sinne ls Funktionen interpretiert werden. Als Nmen für eine Äquivlenzklsse knn oft der punktweise Limes einer Cuchyfolge verwendet werden. So knn mn z.b. die Äquivlenzklsse der durch (5) definierten Cuchyfolge mit der Signum-Funktion identifizieren. Leider ist diese Drstellung 7

nicht eindeutig. Mn zeigt leicht, dss mit geeignet gewählten nderen Repräsentnten der Äquivlenzklsse die Werte der punktweisen Limiten n einzelnen Punkten beliebig verändert werden können. Ds sollte nicht überrschen, weil die durch ein Integrl definierte Norm nicht zwischen Funktionen unterscheiden knn, die sich nur n endlich vielen Stellen voneinnder unterscheiden. Interpretiert mn ds Integrl im Lebesgue-Sinn, dnn knn mn L 2 ((, b)) uch ls die Menge ller qudrtisch Lebesgue-integrierbren Funktionen einführen, wobei Funktionen ls identisch ngesehen werden, wenn sie sich nur uf einer Lebesgue-Nullmenge voneinnder unterscheiden. Dzu gehören uch die qudrtisch (eigentlich oder uneigentlich) Riemnnintegrierbren Funktionen. Beispiel: Für beliebiges p 1 wird durch ( u p := u(x) p dx eine Norm uf C([, b]) definiert. Die Dreiecksungleichung zeigt mn, indem mn die Minkowski- Ungleichung (13) zunächst für Riemnn-Summen verwendet. Der durch Vervollständigung von C([, b]) bezüglich dieser Norm entstehende Bnchrum wird mit (L p ((, b)), p ) bezeichnet. 1.5 Kompktheit ) 1/p Beispiel: Als Motivtion betrchten wir nun eine nichtlinere Integrlgleichung: u(x) = f(x) + K(x, y) sin u(y)dy, (6) wobei wir wieder nnehmen, dss f : [, b] IR und K : [, b] 2 IR stetig sind. betrchten wir die Fixpunktitertion Wieder u 1 = f, u n+1 (x) = f(x) + in C([, b]). Mn sieht leicht, dss u n f + mx x [,b] K(x, y) sin u n (y)dy, (7) K(x, y) dy n IIN, gilt, d.h. die Folge (u n ) n=1 ist beschränkt in C([, b]). Ds genügt ntürlich nicht für Konvergenz. Allerdings könnten wir uns mit weniger begnügen, nämlich mit der Existenz einer konvergenten Teilfolge. Stz 5 (Bolzno-Weierstrß) In einem endlichdimensionlen Bnchrum besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge. Beweis: Siehe [Teschl, Theorem B.22]. Beispiel: Dieses Resultt gilt nicht in unendlichdimensionlen Räumen. Für die Funktionenfolge (5) gilt u n = 1, n IIN, ber sie enthält keine in C([, b]) konvergente Teilfolge, weil sie punktweise gegen die unstetige Funktion sign(x) konvergiert. Mn bechte, dss der 8

Stetigkeitsmodul δ n (ε) = ε/n von u n für n degeneriert. Wir untersuchen, ob es zu einem solchen Problem uch in der Folge (7) kommen knn: u n+1 (x 1 ) u n+1 (x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) + K(x 1, y) K(x 2, y) dy, n 1. Mit den Stetigkeitsmoduln δ f bzw. δ K von f bzw. K sieht mn leicht, dss { ( ε ) ( )} ε δ(ε) := min δ f, δ K 2 2(b ) ein gemeinsmer Stetigkeitsmodul für lle u n ist. Definition 9 Eine Teilmenge von C([, b]) heißt gleichgrdig stetig, wenn es einen gemeinsmen Stetigkeitsmodul für lle ihre Elemente gibt. Stz 6 (Arzelá-Ascoli) Für F C([, b]) sind folgende Aussgen äquivlent: 1. Jede Folge in F besitzt eine in C([, b]) konvergente Teilfolge. 2. Es gibt ein x 0 [, b], sodss {u(x 0 ) : u F } beschränkt ist, und F ist gleichgrdig stetig. Beweis: Es gelte 2, δ(ε) sei der gemeinsme Stetigkeitsmodul der Elemente von F und es sei ε > 0. Dnn gibt es Intervlle I 1,..., I J, deren Länge jeweils höchstens δ(ε) ist, sodss Als Konsequenz gilt für u F : J [, b] = I j. j=1 u sup v(x 0 ) + Jε, v F d.h. F ist beschränkt in C([, b]). Sei nun (u n ) eine Folge in F und (x k ) eine Nummerierung der rtionlen Zhlen in [, b]. D die Folge (u n (x 1 )) beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge (u 1,n ) von (u n ), sodss (u 1,n (x 1 )) konvergiert. Induktiv konstruiert mn für jedes k IIN eine Teilfolge (u k,n ) von (u n ), sodss (u k,n (x 1 )),..., (u k,n (x k )) konvergieren. Die Digonlfolge v n := u n,n konvergiert dher n llen rtionlen Punkten in [, b]. Wir werden zeigen, dss (v n ) (u n ) eine Cuchyfolge und dher konvergent in C([, b]) ist. Für ε > 0 wählen wir die Intervlle I 1,..., I J wie oben und rtionle Zhlen x j I j, j = 1,..., J. Dnn gilt v m (x j ) v n (x j ) ε für m, n N j (ε), j = 1,..., J. Sei nun x [, b] beliebig und dher x I j für ein j {1,..., J}. Dnn gilt v m (x) v n (x) v m (x) v m (x j ) + v m (x j ) v n (x j ) + v n (x j ) v n (x) 3ε für m, n N(ε) := mx{n 1 (ε),..., N J (ε)}. 1. 2.: später 9

Beispiel: Als Konsequenz des Stzes von Arzelá-Ascoli enthält (7) eine konvergente Teilfolge. Leider reicht ds nicht für die Existenz einer Lösung von (6). Auch wenn (u nk ) eine konvergente Teilfolge ist, muss ds nicht für (u nk +1) gelten. Und wenn doch, knn die zweite Teilfolge gegen einen nderen Grenzwert konvergieren. Die Existenz einer Lösung folgt us dem Schuderschen Fixpunktstz [Teschl, Theorem 18.7], der llerdings nicht zum Stoff dieser Vorlesung gehört. Im Folgenden verwenden wir in metrischen Räumen die Begriffe offene Kugeln (Nottion: K r (u) für die offene Kugel mit Rdius r und Mittelpunkt u), offene bzw. bgeschlossene Mengen, sowie Rnd bzw. Abschluss einer Menge (Nottion z.b. K r (u) bzw. K r (u) für die Oberfläche von Kugeln bzw. bgeschlossene Kugeln). Definition 10 Sei A Teilmenge eines metrischen Rumes. Eine Fmilie {O i : i I} von offenen Mengen nennt mn eine offene Überdeckung von A, wenn A i I O i. Definition 11 Eine Teilmenge K eines metrischen Rumes heißt kompkt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Sie heißt reltiv kompkt, wenn ihr Abschluss kompkt ist. Sie heißt folgenkompkt, wenn jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge besitzt. Sie heißt totl beschränkt, wenn sie für jedes ε > 0 eine endliche Überdeckung mit offenen Kugeln vom Rdius ε besitzt. Lemm 10 Kompkte Mengen sind totl beschränkt und bgeschlossen. Mengen sind reltiv kompkt. Teilmengen kompkter Beweis: Sei K kompkt und ε > 0. Dnn ist {K ε (u) : u K} eine offene Überdeckung, die eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Drus folgt die totle Beschränktheit. Sei nun v im Komplement von K. Dnn gibt es für jedes u K ein ε u > 0, sodss K εu (u) K εu (v) = {}. Offensichtlich bilden die K εu (u) eine offene Überdeckung von K, und es gibt eine endliche Teilüberdeckung {K ε1 (u 1 ),..., K εj (u J )}. D für ε := min 1 j J ε j gilt, dss K ε (v) K = {}, ist ds Komplement von K offen. Sei K K und {O i : i I } eine offene Überdeckung von K. Für jedes u K \ K können wir wegen der Offenheit dieser Menge eine Kugel K εu (u) finden, sodss K εu (u) K = {}. Offensichtlich ist {O i : i I } {K εu (u) : u K \ K } eine offene Überdeckung von K, und die wegen der Kompktheit von K existierende endliche Teilüberdeckung induziert eine endliche Überdeckung von K durch Elemente von {O i : i I }. Stz 7 In metrischen Räumen sind die Eigenschften kompkt und folgenkompkt äquivlent. Beweis: 1) Sei K kompkt und (u n ) K eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Aus dieser Eigenschft folgt, dss {u n : n IIN} bgeschlossen und dher wegen Lemm 10 kompkt ist. Außerdem gibt es für jedes n IIN ein ε n > 0, sodss K εn (u n ) kein nderes Folgenglied enthält. 10

Die Überdeckung von {u n : n IIN} durch die Menge dieser Kugeln knn dher keine endliche Teilüberdeckung besitzen. 2) Sei nun K nicht kompkt und {O i : i I} eine offene Überdeckung von K, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Für jedes u K wählen wir nun unter den O i u eine us, die eine möglichst große Kugel mit Mittelpunkt u enthält. Genuer gesgt wählen wir i(u) I so, dss für die größte Kugel K r(u) (u) O i(u) entweder r(u) 1 oder K 2r(u) (u) O i i I. (8) Nun konstrurieren wir eine Folge beginnend mit einem beliebigen u 1 K, und dnn rekursiv so, dss u n+1 K \ n m=1 O i(um), (9) ws möglich ist, weil es keine endliche Teilüberdeckung gibt. Nehmen wir nun n, die Folge hätte eine gegen u K konvergente Teilfolge, die wir der Einfchheit hlber wieder mit (u n ) bezeichnen. Diese erfüllt ebenso (9). Wählen wir nun ϱ (0, 1) so, dss K ϱ (u ) O i(u ). Dnn gibt es N IIN, sodss u N, u N+1 K ϱ/5 (u ). Drus folgt d := d(u N, u N+1 ) 2ϱ/5 und dmit K 2d (u N ) K ϱ (u ) O i(u ). D ber ndererseits r(u N ) d < 1 gilt, ist ds ein Widerspruch zu (8). folgenkompkt. Dher ist K nicht Korollr 2 Eine Teilmenge K eines metrischen Rumes ist genu dnn reltiv kompkt, wenn jede in K liegende Folge eine (nicht unbedingt in K) konvergente Teilfolge enthält. Bemerkung: 1. Aus dem Stz von Bolzno-Weierstrß folgt nun der Stz von Heine-Borel, dss nämlich in endlichdimensionlen Räumen Kompktheit äquivlent ist zu Beschränktheit und Abgeschlossenheit. 2. Der Stz von Arzelá-Ascoli (dessen Beweis wir gleich vervollständigen werden) liefert ein Kriterium für reltive Kompktheit in C([, b]). Beweis: (1. 2. im Stz von Arzelá-Ascoli) Sei F C([, b]) reltiv kompkt und ε > 0. Dnn gibt es eine endliche offene Überdeckung {K ε(u j ) : j = 1,..., J} von F (Lemm 10). Sei nun δ(ε) ein gemeinsmer Stetigkeitsmodul der Funktionen u 1,..., u J. Für u K ε (u j ) und x y δ(ε) gilt dnn u(x) u(y) u(x) u j (x) + u j (x) u j (y) + u j (y) u(y) 3ε, ws die gleichgrdige Stetigkeit von F beweist. Beschränktheit folgt direkt us der reltiven Kompktheit (Lemm 10). Stz 8 In vollständigen metrischen Räumen sind die Eigenschften reltiv kompkt und totl beschränkt äquivlent. 11

Beweis: Wegen Lemm 10 und Korollr 2 genügt es zu zeigen, dss us totler Beschränktheit folgt, dss Folgen Häufungspunkte besitzen. Sei lso K totl beschränkt und (u n ) K eine Folge. Wählen wir eine endliche Überdeckung von K mit Kugeln vom Rdius ε 1 = 1, dnn enthält eine dieser Kugeln unendlich viele Folgenglieder, die eine Teilfolge (u 1,n ) bilden. Rekursiv definieren wir für lle k IIN Folgen (u k,n ), sodss (u k+1,n ) in einer Kugel vom Rdius ε k = 2 k liegt und Teilfolge von (u k,n ) ist. Dnn ist die Digonlfolge (u n,n ) eine Cuchyfolge, die wegen der Vollständigkeit des metrischen Rumes konvergiert. Eine prktische Beweismethode für totle Beschränktheit ist ds folgende Resultt: Lemm 11 Sei K Teilmenge eines metrischen Rumes, und für jedes ε > 0 existiere ein δ(ε) > 0, ein metrischer Rum (M ε, d ε ) und eine Abbildung Φ ε : K M ε, sodss Φ ε (K) totl beschränkt ist und d ε (Φ ε (x), Φ ε (y)) < δ(ε) = d(x, y) < ε. Dnn ist K totl beschränkt. Beweis: D Φ ε (K) totl beschränkt ist, existiert eine endliche Überdeckung {V 1,..., V N } mit Kugeln vom Rdius δ(ε). Dher ist {Φ 1 ε (V 1 ),..., Φ 1 ε (V N )} eine Überdeckung von K mit Mengen, die jeweils in Kugeln mit Rdius ε liegen. Beweis: (Alterntiver Beweis von 2. 1. im Stz von Arzelá-Ascoli) Sei K C([, b]) beschränkt und gleichgrdig stetig, sowie ε > 0 und {K δ(ε) (x 1 ),..., K δ(ε) (x N )} eine Überdeckung von [, b]. Wir definieren Φ ε (u) := (u(x 1 ),..., u(x N )) IR N. Wegen der Beschränktheit von K ist Φ ε (K) beschränkt und dher totl beschränkt. Weiters folgt us Φ ε (u) Φ ε (v) < ε und x K δ(ε) (x n ), dss und dher u v 3ε. u(x) v(x) u(x) u(x n ) + u(x n ) v(x n ) + v(x) v(x n ) 3ε, Im Folgenden benötigen wir die Jensen-Ungleichung (ohne Beweis): Lemm 12 Sei u C([α, β]) und ϕ : IR IR konvex. Dnn gilt ( ) 1 β ϕ u(x)dx 1 β ϕ(u(x))dx. β α α β α α Stz 9 (Riesz-Kolmogorow) Sei K L p ((, b)), p 1, beschränkt. Für jedes ε > 0 existiere ein δ(ε) > 0, sodss u( + y) u p < ε für u K, y < δ(ε), wobei u ußerhlb von (, b) durch Null fortgesetzt wird. Dnn ist K totl beschränkt (d.h. reltiv kompkt). Beweis: Sei ε > 0 und N(ε) IIN so, dss x = b N(ε) δ(ε). Weiters wählen wir x j := + j x, j = 1,..., N(ε), und (P u)(x) := 1 xj u(y)dy für x j 1 x < x j. x x j 1 12

Nun zeigen wir (beides mit Jensen mit ϕ(u) = u p ) N P u p 1 xj p = x u(x)dx x x j 1 und u P u p p = 1 x x x Dher gilt N j=1 xj x j 1 1 x j=1 (u(x) u(y))dy x j 1 xj p p u p p dx 1 x u(x) u(x + z) p dx dz 2ε p u K. Nun definieren wir Φ : K IR N(ε) durch und u L p ((, b)) N j=1 xj x j 1 xj P u P v p < ε = u v p < (1 + 2 1+1/p )ε Φ(u) j := 1 x xj x j 1 u(y)dy j = 1,..., N(ε), Φ(u) ε := P u p. Dnn ist Φ(K) beschränkt und dher totl beschränkt. Außerdem gilt Φ(u) Φ(v) ε < ε = u v p < (1 + 2 1+1/p )ε, womit die Annhmen von Lemm 11 gezeigt sind. x j 1 u(x) u(y) p dx dy Beispiel: Eine Menge von lipschitzstetigen Funktionen uf [, b] mit gemeinsmer Lipschitzkonstnte ist reltiv kompkt in C([, b]). Beispiel: Die Folge (u n ), definiert durch Lösung von ist reltiv kompkt in C([0, 1]). u n(x) = sin(nu n (x)), u n (0) = 1, Beispiel: Den Sobolevrum W 1,p ((, b)), p 1, knn mn definieren ls Vervollständigung von C 1 ([, b]) bezüglich der Norm u 1,p := u p + u p. Offensichtlich gilt W 1,p ((, b)) L p ((, b)). Sei K eine beschränkte Menge in W 1,p ((, b)). Dnn ist K uch beschränkt in L p ((, b)), und es gilt für u K, y > 0, u(x + y) u(x) p dx = y p 1 x+y p x+y u (z)dz y dx y p 1 u (z) p dz dx y p 1 x z z y u (z) p dx dz = y p u p p, und nlog für y < 0. Es folgt dher us Stz 9, dss K reltiv kompkt in L p ((, b)) ist (ein Spezilfll des Stzes von Rellich-Kondrchov). Die obige Abschätzung muss ntürlich zunächst für eine gegen u konvergente Folge in C 1 ([, b]) durchgeführt werden, wonch mn zum Limes übergehen knn. x 13

Beispiel: Sei immer noch K eine beschränkte Teilmenge von W 1,p ((, b)), nun mit p > 1, und u K C 1 ([, b]). Dnn besitzt die Funktion v(x) = u(x) 1 b u(y)dy mindestens eine Nullstelle x 0, weil ihr Integrl über [, b] verschwindet. Drus folgt die Drstellung u(x) = 1 x u(y)dy + u (y)dy. b x 0 Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung erhält mn u(x) (b ) 1/p u p + (b ) 1 1/p u p, worus die Beschränktheit von K bezüglich folgt. Ähnlich zeigt mn u(x) u(y) y x u (z) dz x y 1 1/p u p. Ds beweist einerseits W 1,p ((, b)) C([, b]) (ein Spezilfll des Sobolevschen Einbettungsstzes) und ndererseits, dss K reltiv kompkt in C([, b]) ist. Genuer genommen müsste mn sgen, dss für jedes Element von W 1,p ((, b)), ds j eine Äquivlenzklsse von Cuchyfolgen ist, lle Repräsentnten der Cuchyfolge gleichmäßig gegen dieselbe stetige Funktion konvergieren. 1.6 Beschränkte Opertoren Definition 12 1) Seien (X, X ), (Y, Y ) normierte Räume, D(A) ein linerer Unterrum von X und A : D(A) X Y eine linere Abbildung. Dnn nennt mn A einen lineren Opertor. Die Mengen Ker(A) := {u D(A) : Au = 0} X und Rn(A) := {Au : u D(A} heißen Kern und Bild (engl.: rnge) von A. 2) Ein linerer Opertor heißt beschränkt, wenn A X Y < für die Opertornorm A X Y := sup Au Y u D(A), u X =1 Lemm 13 Ein linerer Opertor ist genu dnn beschränkt, wenn er stetig ist. Beweis: Aus Beschränktheit folgt Lipschitzstetigkeit bei Null, Au Y A X Y u X, und dher wegen der Linerität Lipschitzstetigkeit überll. Sei ndererseits A unbeschränkt. Drus folgt die Existenz einer Folge (u n ) uf der Einheitskugel von X (d.h. u n = 1), sodss Au n Y n, ws für v n = u n /n impliziert, dss Av n Y 1, obwohl v n 0. Also ist A unstetig. Lemm 14 Sei A ein dicht definierter (d.h. D(A) dicht in X), beschränkter linerer Opertor und Y ein Bnchrum. Dnn existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung von A uf X. Diese ht dieselbe Opertornorm wie A. 14

Beweis: Aufgrund der Stetigkeit werden in D(A) verlufende und in X konvergente Folgen uf Cuchyfolgen in Y bgebildet, die wegen der Vollständigkeit konvergieren. Definition 13 Die Menge der beschränkten lineren Opertoren von X nch Y wird mit L(X, Y ) bezeichnet. Im Fll X = Y schreiben wir L(X) := L(X, X). X := L(X, IR) heißt Dulrum von X. Die Elemente von X heißen beschränkte linere Funktionle. Bemerkung: Allgemein werden Abbildungen von einem Vektorrum in den Sklrrum ls Funktionle bezeichnet. Beispiel: Jedes x (IR d ) knn in der Form x (x) = d x j x j, (x 1,... x d) IR d, geschrieben werden. Mn knn lso (IR d ) mit IR d identifizieren. j=1 Beispiel: Sei p > 1, 1 p + 1 q = 1 und l q fest gewählt. Dnn wird durch () = j j (10) j=1 ein Element von (l p ) definiert, und zwr wegen der hölderschen Ungleichung () q p. Es knn dher l q mit einem Teilrum von (l p ) identifiziert werden. Wir werden später zeigen, dss sogr lle Elemente von (l p ) in der Form (10) geschrieben werden können. Beispiel: Sei H ein Hilbertrum und u H fest gewählt. Dnn wird durch u (u) = u, u (11) ein Element von H definiert, und zwr wegen der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung u (u) u u. Es knn dher H mit einem Teilrum von H) identifiziert werden. Anlog zum vorigen Beispiel werden wir später zeigen, dss sogr lle Elemente von H in der Form (11) geschrieben werden können. Lemm 15 L(X, Y ) bildet zusmmen mit der Opertornorm einen normierten Rum, der ein Bnchrum ist, wenn Y einer ist. Beweis: Sowohl die Vektorrumeigenschften ls uch die Normeigenschften sind leicht zu zeigen. Ist (A n ) eine Cuchyfolge in L(X, Y ), dnn ist (A n u) wegen A n u A m u Y A n A m X Y u X für lle u X eine Cuchyfolge in Y. Ist Y ein Bnchrum, dnn ist durch Au := lim n A n u ein beschränkter linerer Opertor definiert, von dem mn leicht sieht, dss er der Grenzwert von (A n ) ist. 15

1.7 Allgemeinere Funktionenräume Definition 14 1) Eine Teilmenge Ω eines metrischen Rumes heißt zusmmenhängend, wenn jedes beliebige Pr von Punkten in Ω durch eine Kurve verbunden werden knn, d.h. x, y Ω ϕ : [0, 1] Ω stetig: ϕ(0) = x, ϕ(1) = y. 2) Eine offene, zusmmenhängende Teilmenge eines metrischen Rumes nennt mn ein Gebiet. Beispiel: 1. Die Gebiete in IR sind die offenen Intervlle. 2. Offene Kugeln und, llgemeiner, offene konvexe Mengen sind Gebiete. In diesem Fll können die Verbindungskurven ls Strecken gewählt werden. Definition 15 Sei Ω IR m ein Gebiet. Dnn bezeichnet mn mit Cb k (Ω), k 0, die Menge der Funktionen, für die lle prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung k in Ω existieren, sowie stetig und beschränkt sind. Mit C k (Ω) bezeichnet mn die Teilmenge der Funktionen in Cb k (Ω), die zusmmen mit ihren Ableitungen bis zur Ordnung k stetig uf Ω fortgesetzt werden können. Wir schreiben uch C b (Ω) = Cb 0(Ω) bzw. C(Ω) = C0 (Ω). Prtielle Ableitungen schreiben wir mit Hilfe von Multiindices α = (α 1,..., α m ) IIN m 0. Die Ordnung eines Multiindex ist definiert durch α = α 1 + + α m und die prtielle Ableitung zum Multiindex α durch α α u u(x 1,..., x m ) := x α 1 1 (x 1,..., x m ). xαm m Die Supremumnorm uf einem Gebiet Ω IR m schreiben wir ls u := sup u(x). x Ω Lemm 16 Sei Ω IR m ein Gebiet. Dnn ist Cb k (Ω) mit der Norm u k, := α u α k ein Bnchrum und C k (Ω) ein bgeschlossener Teilrum. Definition 16 Eine uf einem Gebiet Ω IR m definierte reellwertige Funktion u heißt hölderstetig mit Exponent γ (0, 1], wenn u(x) u(y) [u] γ := sup x y Ω x y γ endlich ist. Bemerkung: Hölderstetigkeit mit γ = 1 heißt Lipschitzstetigkeit. Lemm 17 Sei C k,γ (Ω) die Menge ller u C k (Ω), sodss lle Ableitungen der Ordnung k von u hölderstetig mit Exponent γ sind. Dnn ist C k,γ (Ω) mit u k,,γ := u k, + [ α u] γ ein Bnchrum. α =k 16

Bemerkung: C k,γ (Ω) = C k,γ b (Ω), weil Hölderstetigkeit in Ω stetige Fortsetzbrkeit uf Ω grntiert. Im Folgenden werden wir eine llgemeinere Version des Stzes von Arzelá-Ascoli verwenden: Stz 10 Seien X, Y metrische Räume, sei Y vollständig und B X kompkt. Sei K eine Menge von Funktionen u : B Y, die punktweise beschränkt und gleichgrdig stetig ist. Dnn besitzt jede Folge in K eine gleichmäßig konvergente Teilfolge mit einem stetigen Grenzwert. Beweis: Anlog zum Beweis für X = Y = IR uf S. 12 (siehe uch [Teschl, Theorem 1.29]). Stz 11 Sei Ω IR m ein beschränktes Gebiet. Seien k 1, k 2 0 und γ 1, γ 2 (0, 1], sowie entweder k 1 < k 2 oder k 1 = k 2 und γ 1 < γ 2. Dnn sind beschränkte Mengen in C k 2,γ 2 (Ω) reltiv kompkt in C k 1,γ 1 (Ω) und beschränkte Mengen in C k 1,γ 1 (Ω) reltiv kompkt in C k 1 (Ω). Beweis: Die zweite Aussge folgt us Stz 10. Die erste Aussge zeigen wir für k 1 = k 2 = 0, γ 1 < γ 2. Sei lso (u n ) eine beschränkte Folge in C 0,γ 2 (Ω). Dnn folgt us der Beschränktheit von Ω [u n ] γ1 sup x y γ 2 γ 1 u(x) u(y) x y Ω x y γ C[u 2 n ] γ2, d.h. die Folge ist uch beschränkt in C 0,γ 1 (Ω). Aus der ersten Aussge folgt die Existenz einer gleichmäßig konvergenten Teilfolge, die wir wieder mit (u n ) bezeichnen, d.h. lim n u n = u bezüglich der Supremum-Norm. D us der gleichmäßigen Konvergenz punktweise Konvergenz folgt, können wir in der Ungleichung u n (x) u n (y) C x y γ 2 zum Limes n übergehen, worus u C 0,γ 2 (Ω) folgt. Weiters gilt für lle ε > 0 u n (x) u(x) u n (y) + u(y) u n (x) u(x) u n (y) + u(y) [u n u] γ1 sup x y <ε x y γ + sup 1 x y >ε x y γ 1 ε γ 2 γ 1 ([u n ] γ2 + [u] γ2 ) + 2ε γ 1 u n u 2Cε γ 2 γ 1 + 2ε γ 1 u n u. Die rechte Seite knn beliebig klein gemcht werden, indem mn zuerst ε klein und dnn n groß wählt. Dmit ist die Konvergenz u n u in C 0,γ 1 (Ω) gezeigt. Bemerkung: Sind X Y Bnchräume und es gilt u Y c u X, d.h. die Identität ls Abbildung von X nch Y ist stetig, dnn spricht mn von einer stetigen Einbettung von X in Y und schreibt X Y. Sind beschränkte Mengen in X sogr reltiv kompkt in Y, dnn spricht mn von einer kompkten Einbettung und schreibt X Y. Stz 11 ist lso ein Resultt über kompkte Einbettungen. Bei dieser Sprechweise muss die Einbettungsbbildung nicht immer die Identität sein, wie ds Beispiel uf Seite 14 zeigt, wo die Einbettungsbbildung drin besteht, eine Äquivlenzklsse von Cuchyfolgen uf ihren gemeinsmen Grenzwert bzubilden. In diesem Sinne gilt W 1,p ((, b)) C 0,1 1/p ([, b]) C([, b]) für p > 1. Der Träger (engl. support) einer stetigen Funktion u : Ω IR m IR ist definiert durch supp(u) := {x Ω : u(x) 0}. 17

Sei Ω IR m ein Gebiet. Wir betrchten Vektorräume von Funktionen mit kompktem Träger: und C k c (Ω) := {u C k (Ω) : supp(u) Ω und supp(u) beschränkt} C k c (Ω) := {u C k (Ω) : supp(u) Ω und supp(u) beschränkt}. Mn bechte die Unterschiede zwischen den beiden Definitionen: C k c (Ω) besteht us Funktionen, die in der Nähe des Rndes von Ω und, wenn Ω unbeschränkt ist, ußerhlb einer genügend großen Kugel verschwinden. Elemente von C k c (Ω) hben nur die zweite Eigenschft. Dher gilt für beschränktes Ω, dss C k c (Ω) = C k (Ω) Verwenden wir einen Integrlbegriff für stetige Funktionen uf kompkten Mengen (siehe z.b. [1]), dnn knn die Norm berechnet werden. ( u p := Ω u(x) p dx) 1/p, u C c (Ω), p 1, Definition 17 Sei Ω IR m ein Gebiet und p 1. Der Bnchrum W k,p (Ω) ist die Vervollständigung von C k c (Ω) bezüglich der Norm u k,p := 1/p α u p p = 1/p α u p dx. Ω α k α k Für k = 0 schreiben wir L p (Ω) := W 0,p (Ω). Bemerkung: Die Räume W k,p (Ω) werden Sobolevräume gennnt. Der Rum W k,2 (Ω) ist ein Hilbertrum mit dem Sklrprodukt u, v k := α u α v dx. Er wird oft mit H k (Ω) bezeichnet. 1.8 Aufgben zu Kpitel 1 α k In den folgenden Aufgben knn mn usgehen von der Hölderschen Ungleichung und der Minkowskischen Ungleichung Ω ( d d ) 1/p ( d ) 1/q n b n n p b n q, (12) n=1 n=1 n=1 ( d ) 1/p ( d ) 1/p ( d ) 1/p n + b n p n p + b n p, (13) n=1 n=1 n=1 für lle n, b n IR für n = 1,..., d, p [1, ], 1 p + 1 q = 1 (Beweis siehe Vorlesung Anlysis). 18

Aufgbe 1.1 Für p 1 betrchte mn die Menge von reellen Folgen ( ) l p := { = ( n ) 1/p n=1 : p < } mit p := n p, n=1 und zeige, dss (l p, p ) ein Bnchrum ist. Ebenso für die Menge l ller beschränkten Folgen mit := sup n IIN n. Aufgbe 1.2 Mn zeige, dss l p, p <, seprbel ist, ber nicht l. Hinweis: Für letzteres betrchte mn die Folgen, deren Glieder nur 0 oder 1 sind. Wie viele dvon gibt es? Aufgbe 1.3 Sei (B, ) ein Bnchrum (mit Sklrkörper IR). Dnn wird durch B C := {u + iv : u, v B} die Vektorrum-Komplexifizierung von B definiert. Mn vervollständige dies durch Definition der Vektorrumopertionen in B C. Außerdem zeige mn, dss durch u + iv C := sup cos(ϕ)u + sin(ϕ)v (14) ϕ [0,2π) eine Norm uf B C definiert wird, die die Komptibilitätsbedingungen u + i0 C = u, u + iv C = u iv C erfüllt. Aufgbe 1.4 Sei (H,,, ) ein Hilbertrum und H C die Vektorrum-Komplexifizierung von H. Mn zeige, dss durch u + iv, x + iy C := u, x + v, y + i( v, x u, y ) = u + iv, x iy ein Sklrprodukt uf H C definiert wird, ws bedeutet, dss es die Eigenschften us Definition 5 besitzt bis uf die Symmetrie, die durch die Hermite-Eigenschft v, u C = u, v C ersetzt wird, und die Linerität bezüglich des zweiten Arguments, die durch u, λx + µy C = λ u, x C + µ u, y C ersetzt wird. Ist die durch, C induzierte Norm dieselbe wie in (14)? Aufgbe 1.5 Mn berechne die beste Approximtion der Form x, IR, für die Funktion u(x) = sin x in L 2 ((0, π/2)). Aufgbe 1.6 Seien v 1,..., v K prweise orthogonl im Hilbertrum H. Mn zeige, dss die beste Approximtion von u H durch eine Linerkombintion der Vektoren v 1,..., v K gegeben ist durch K P vk u. k=1 Ws ist die Antwort, wenn die Annhme der prweisen Orthogonlität uf linere Unbhängigkeit bgeschwächt wird? 19

Aufgbe 1.7 Seien u, v 0 in einem Hilbertrum. Mn zeige Hinweis: Mn verwende P v u. (u, v) = 0 λ > 0 : u = λv. Aufgbe 1.8 Auf der Menge der Polynome ersten Grdes sei ds Sklrprodukt 1 x + b 1, 2 x + b 2 := 2 1 2 + 3b 1 b 2 + 1 b 2 + 2 b 1 gegeben sowie ds L 2 ((0, 1))-Sklrprodukt, 2. Mn zeige direkt (d.h. ohne Verwendung von Stz 3), dss die beiden induzierten Normen äquivlent sind. Aufgbe 1.9 Mn zeige L p ((, b)) L q ((, b)) für p q. Aufgbe 1.10 Wie könnte mn L p (IR), p 1, definieren? Aufgbe 1.11 Für u = [(u n )] L 1 ((, b)) und c, d [, b] definieren wir ds Integrl d c d u(x)dx := lim u n (x)dx, n c wobei uf der rechten Seite ds Riemnnintegrl verwendet wird. Mn zeige Wohldefiniertheit, d.h. dss der Grenzwert existiert und unbhängig von der gewählten Cuchyfolge ist. Weiters zeige mn, dss ds Integrl ls Abbildung von L 1 ((, b)) nch IR liner ist sowie, dss d c u(x)dx = e c d u(x)dx + u(x)dx, e gilt. Ws bedeutet dbei der letzte Term eigentlich? d d u(x)dx c u(x) dx c Aufgbe 1.12 Mn beweise folgendes Resultt (Fréchet): Sei p 1 und K l p. Weiters gelte 1) K ist punktweise beschränkt, d.h. n IIN M n > 0, sodss sup K n M n, und 2) ε > 0 N(ε) IIN, sodss n=n+1 n p ε p für lle K. Dnn ist K reltiv kompkt. Aufgbe 1.13 Welche der folgenden Mengen ist reltiv kompkt in C([0, 1])? (i) K = {u C 1 ([0, 1]) : u 1} (ii) K = {u C 1 ([0, 1]) : u 1} (iii) K = {u C 1 ([0, 1]) : u 1, u 2 1} Es ist leicht zu zeigen, dss C 1 ([, b]) mit der Norm u 1, := u + u ein Bnchrum ist. D er lle Polynome enthält, ist er dicht in C([, b]). 20

Aufgbe 1.14 Mn zeige, dss A = d dx : C1 ([, b]) C([, b]) in L(C 1 ([, b]), C([, b])) ist, dss ber A C([,b]) C([,b]) = ist. Knn mn eine lterntive Norm uf C([, b]) finden, sodss A C([,b]) C([,b]) bezüglich endlich ist? (Hinweis: u(x) = e nx ) Aufgbe 1.15 Der Opertor A : C([, b]) C([, b]) ist definiert durch (Au)(x) := x sin(x y)u(y)dy. Mn zeige A L(C([, b])) und, dss A beschränkte Mengen uf reltiv kompkte Mengen bbildet, indem mn zunächst A L(C([, b]), C 1 ([, b])) zeigt. Aufgbe 1.16 Mn zeige, dss durch Au := u(x 0 ), x 0 [, b], ein beschränktes lineres Funktionl uf C([, b]) definiert wird, d.h. A C([, b]). Ist A uch beschränkt, wenn mn C([, b]) mit der Norm p, 1 p <, usstttet sttt mit? Aufgbe 1.17 Seien (X, X ) und (Y, Y ) Bnchräume. Mn zeige, dss dnn uch (X Y, X Y ) mit (x, y) X Y := x 2 X + y 2 Y ein Bnchrum ist. Mn nennt ihn die direkte Summe von X und Y. Aufgbe 1.18 Sei u : I IR IR hölderstetig mit Exponenten γ > 1. Mn zeige, dss u konstnt ist. Aufgbe 1.19 Sei u C 0,γu (Ω) und v C 0,γv (Ω) mit 0 < γ u, γ v 1. Mn zeige, dss für ds punktweise definierte Produkt uv C 0,γ (Ω) mit γ = min{γ u, γ v } gilt. 2 Hilberträume 3 Kompkte Opertoren 4 Bnchräume 5 Weitere Resultte über Bnchräume References [1] J. Jost, Postmodern Anlysis, Springer, 2005. [2] G. Teschl, Topics in Rel nd Functionl Anlysis, http://www.mt.univie.c.t/ gerld/ftp/book-f/ 21