2.4 Eigenschaften des Gradienten

2.4 Eigenschaften des Gradienten Niveauflächen: Die Niveauflächen (D = 2 Höhenlinien) einer Funktion f sind die durch die Gleichung f(x, y, z) = c = const bestimmten Flächen(scharen); für jeden Wert von c ergibt sich eine Fläche. So sind etwa die Niveauflächen der Funktion Kreise mit dem Radius c. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Satz: Der Gradient steht senkrecht auf den Höhenlinien (Niveauflächen für D = 3) und zeigt (damit) in die Richtung des stärksten Anstiegs von z = f(x, y) bzw. w = f(x, y, z). Das sieht man so: Für eine infinitesimale Änderung von f bei Änderung der unabhängigen Variablen r um dr hatten wir df = f dr = f dr cos α erhalten. Also ist df = f dr cos α f dr Ist nun dr parallel oder antiparallel zu f, so steht in der obigen Ungleichung das Gleichheitszeichen, und damit ist dann die Änderung von f am größten. Ist andererseits dr parallel zu einer Höhenline (Niveaufläche) f(x, y) = const so ist df = 0, damit also f dr = 0; der Gradient steht also senkrecht zu den Höhenlinien bzw. Niveauflächen. 2.4.1 Formaler Beweis dafür, daß der Gradient senkrecht auf den Niveauflächen steht Sei N c := {(x, y, z) f(x, y, z) = c} eine Niveaufläche von f. Sei P ein beliebiger Punkt aus N c. Wir betrachten eine Kurve C, die durch P geht. Die

Kurve wird durch einen Parameter s, der zwischen den reellen Grenzen α und β liegt, beschrieben: C = {(x(s), y(s), z(s)) α < s < β} Da die Kurve in N c liegt, gilt für α < s < β: Deshalb ist 0 = dc ds c = f(x(s), y(s), z(s)) = df ds = f dx x ds + f dy y ds + f dz z ds = f ( dx ds, dy ds, dz ds ) = f d r ds Hierbei wurde für df das totale Differential df = df df df dx + dy + dx dy dz dz eingesetzt. Also ist d r senkrecht zum Gradienten von f. Was aber bedeutet ds d r? Es ist doch ds r(s + s) r(s) lim = d r s 0 s ds ; Mit einer Zeichnung(!) der glatten Kurve s r(s) macht man sich klar, daß r(s + s) r(s) einen Sekantenvektor dieser Kurve darstellt, d r(s) daher eine ds Tangente an die Kurve ist. Das heißt aber schließlich, daß f senkrecht zu allen Kurven ist, die in der Fläche N c liegen! 2.4.2 Die Richtungsableitung Sei ˆn ein fester Einheitsvektor. Sei P ein fester Punkt und P ein Punkt, der sich so auf P zu bewegt, daß der Vektor P P stets parallel zu ˆn ist. Dann ist die Richtungsableitung von ϕ nach ˆn im Punkt P definiert als ϕ n = lim ϕ(p ) ϕ(p ) P P P P

Selbstverständlich wird sich ϕ unterschiedlich verhalten, wenn der Punkt P sich in verschiedene Richtungen bewegt; die Richtungsableitung ϕ mißt die n Änderung in Richtung ˆn. Wie läßt sich die Richtungsableitung berechnen? Sehr einfach, es gilt nämlich ϕ n = ˆn ϕ Um das einzusehen, beachtet man, daß die Richtungsableitung nach der Veränderung dϕ bei der Änderung der unabhängigen Variablen dr = P P = ˆn P P fragt. Mit dem totalen Differential folgt deshalb: dϕ = dr f = P P ˆn f Division durch P P liefert die obige Formel. Speziell wird für ˆn = e x die Richtungsableitung zu ϕ = e n x ϕ = ϕ, x also zur partiellen Ableitung. Die Richtungsableitung verallgemeinert also die partielle Ableitung auf beliebige Richtungen. Außerdem sieht man mit ϕ n = ˆn ϕ cos α = ϕ cos α daß die Richtungsableitung am größten ist (α = 0), wenn ˆn in Richtung des Gradienten von ϕ weist. 2.5 Die Divergenz eines Vektorfeldes 2.5.1 Der Fluß eines Vektorfeldes Wir betrachten ein Flächenelement. Es hat eine bestimmte Orientierung im Raum, die durch einen Einheitsvektor ˆn der senkrecht auf dem Flächenelement steht beschrieben wird; ˆn heißt Flächennormale oder auch Normaleneinheitsvektor. Außerdem hat das Flächenelement eine bestimmte Größe (Fläche), die den Wert da haben soll. Insgesamt kann man daher Orientierung und Größe des Flächenelements durch den Vektor da = ˆndA beschreiben. Das Flächenelement liegt an einem

bestimmten Punkt P im Raum. Das kann man durch die Schreibweise da(p ) bezeichnen. Wir interessieren uns jetzt für den Fluß eines Vektorfeldes v durch das Flächenelement da. Um eine Anschauung zu haben, stelle man sich unter v das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit vor. Der Fluß dφ von v durch da ist dann das Flüssigkeitsvolumen δν, welches in der Zeit dt durch da fließt geteilt durch dt. In der Zeit dt schiebt sich ein Flüssigkeitszylinder mit Achse ds = vdt durch da. Über da hat er die (senkrechte) Höhe dh = ds cos α = ˆn ds (Zeichnung!) Damit fließt das Volumen δν = da dh = daˆn s = da vdt durch das Flächenelement und nach Division durch dt erhält man für den Fluß von v durch da: dφ = v da, Das ist also der Flüssigkeitsstrom, der Fluß durch da. 2.5.2 Fluß aus einem Volumenelement Quellstärke Wir betrachten einen (achsenparallenen) Würfel mit Mittelpunkt bei (x 0, y 0, z 0 ) und Seitenlängen dx, dy und dz. Wir fragen uns nach dem Fluß des Vektorfeldes v aus diesem Würfel. Dazu betrachten wir die sechs Seitenflächen des Würfels x = x 0 dx 2, x = x 0 + dx 2, y = y 0 dy 2, y = y 0 + dy 2, z = z 0 dz 2, z = z 0 + dz 2

mit den Mittelpunkten und berechnen Das werden wir später als dφ = P 1 (x 0 dx 2, y 0, z 0 ), P 2 (x 0 + dx 2, y 0, z 0 ), P 3 (x 0, y 0 dy 2, z 0), P 4 (x 0, y 0 + dy 2, z 0), P 5 (x 0, y 0, z 0 dz 2 ), P 6 (x 0, y 0, z 0 + dz 2 ) 6 v(p i ) da(p i ). i=1 v(p ) da(p ) bezeichnen als ein Integral über eine geschlossene Fläche. Für die Flächenelemente ergibt sich: woraus für die Summe der Ausdruck da(p 1 ) = dy dz ( 1) e x, da(p 1 ) = dy dz (+1) e x, da(p 3 ) = dz dx ( 1) e y, da(p 4 ) = dz dx (+1) e y, da(p 5 ) = dx dy ( 1) e z, da(p 6 ) = dx dy (+1) e z, (v x (x 0 + dx/2, y 0, z 0 ) v x (x 0 dx/2, y 0, z 0 )) dy dz + (v y (x 0, y 0 + dy/2, z 0 ) v y (x 0, y 0 dy/2, z 0 )) dz dx + (v z (x 0, y 0, z 0 + dz/2) v z (x 0, y 0, z 0 dz/2)) dx dy,

ensteht, worin wir mit der mittlerweise bekannten Schlußweise (Satz von Taylor) v x (x 0 + dx/2, y 0, z 0 ) v x (x 0 dx/2, y 0, z 0 ) = v x x dx v y (x 0, y 0 + dy/2, z 0 ) v y (x 0, y 0 dy/2, z 0 ) = v y y dy v z (x 0, y 0, z 0 + dz/2) v z (x 0, y 0, z 0 dz/2) = v z z dz ersetzen und schließlich die Gleichung erhalten. dφ = 6 v(p i ) da(p i ) i=1 = ( v x x + v y y + v z ) dx dy dz z := div v dx dy dz Damit haben wir die Differentialoperation der Divergenz eines Vektorfeldes gefunden. Mit dem Volumenelement dτ := dx dy dz gilt also dφ = div v dτ = vdτ Die Divergenz erweist sich damit als der Ausfluß des Vektorfeldes pro Volumeneinheit als die Quellstärke! Man sieht noch, daß sich die Divergenz eines Vektorfeldes v als das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Feld v ausdrücken läst: div v = v. 2.5.3 Rechenregeln Wir verwenden der Übersichtlichkeit halber zur Formulierung der Rechenregeln die Nabla-Schreibweise. φ und ψ seien skalare Felder A sei ein Vektorfeld und f sei eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen:

(φψ) = ψ φ + φ ψ, (f(φ)) = f (φ) φ, (φ A) = A φ + φ A r = r r div r = D (Anzahl der Dimensionen) 2.5.4 Die Divergenz des Elektrischen Feldes Die Maxwellsche Gleichung div E = 1 ɛ ρ besagt also, daß die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind. Beispiel: Es sei E( r) = α r. Dann ist div E = 3α. Also wird hiermit ein elektrisches Feld beschrieben, daß durch eine Ladungsverteilung der Dichte ρ = ɛ div E = 3ɛα hervorgerufen wird. Damit erhalten wir für das Feld ( E i ) im Innern einer gleichmäßig geladenen Kugel 1 E i ( r) = 1 3ɛ ρ r = Q 4πɛR 3 r. Hier wurde noch für eine Kugel mit Radius R und Ladung Q ρ = eingesetzt. Q 4π 3 R3 Dieses Feld wird an der Oberfläche stetig in das Außenfeld übergehen eine gleichmäßig geladene Kugel muß ein Nichtleiter sein, daher gibt es keine Oberflächenladungen, die zu einem Sprung der elektrischen Feldstärke führen würden. Außerhalb der Kugel muß aber offensichtlich div E = E = 0 gelten, da dort die Ladungsdichte Null ist. Für das Feld außerhalb der Kugel E a machen wir den Ansatz E a ( r) = αr β r, wobei die Konstanten α und β zunächst unbestimmt sind und aus den beiden Bestimmungsgleichungen 1 Daß das Feld ein radialsymmetrisches Feld ist, ist hier eigentlich nicht ersichtlich sondern müßte eigentlich aus den ensprechenden Randbedingungen erschlossen werden; die Symmetrie des Problems legt aber diesen Ansatz stark nahe.

E a = 0, E a = E i für r = R (Rand der Kugel). zu ermitteln sind. Berechnen wir also zunächst die Divergenz von 1 α E a : 1 α E a = r r β + r β r = r βr β 1 r r + rβ 3 = βr β + 3r β = (3 + β)r β ergibt. Auswertung der An- Daraus folgt: β = 3, so daß sich E a = α r r 3 schlußbedingeung für r = R ergibt: α 1 R 3 r = Q 4πɛR 3 r. Also folgt α = Q, womit sich schließlich das Außenfeld zu 4πɛ E a ( r) = Q r 4πɛ r. 3 Das Außenfeld ist also das gleiche, wie bei einer Punktladung. 2 Das elektrische Feld eines unendlich langen Zylinders mit homogener Ladungsdichte: Mit der gleichen Methode wollen wir für diese Geometrie das elektrische Feld ermitteln. Den Zylinder mit Radius R und Ladungsdichte σ legen wir längs der z-achse eines kartesichen Koordinatensystems. Den Abstand von der z-achse bezeichnen wir mit ρ, also ρ = x 2 + y 2. Den von der Zylinderachse wegweisenden Einheitsvektor bezeicnen wir mit e ρ, also e ρ = 1 (x, y, 0) x2 + y2 Wieder unterteilen wir das Feld in Innenfeld E i und Außenfeld E a. Aus der Geometrie des Problems liegt für diese Felder folgender Ansatz nahe: E i = f(ρ) e ρ, E a = g(ρ) e ρ. Die Funktionen f und g werden aus den Forderungen 2 Das hiermit auch begründet ist (warum?).

E i = 1σ, ɛ E a = 0, f(r) = g(r) ermittelt. Die obigen Rechenregeln liefern zunächst für den Gradienten von ρ: ρ = e ρ, und für die Divergenz von e ρ : e ρ = (x, y, 0) ( 1) 1 ρ 2 e ρ + 2 1 ρ Weiter rechnet man = ( 1) 1 ρ + 21 ρ = 1 ρ, E i = e ρ f (ρ) e ρ + f(ρ) 1 ρ = f (ρ) + f(ρ) ρ E a = e ρ g (ρ) e ρ + g(ρ) 1 ρ = g (ρ) + g(ρ) ρ Damit folgen die Differentialgleichungen f (ρ) + f(ρ) = σ ρ ɛ, g (ρ) + g(ρ) = 0. ρ Wir lösen die zunächst die zweite Gleichung mit ein wenig Rechnung mit Differentialen : dg dρ + g ρ = 0,

also also also dg g + dρ ρ = 0, d ln g + d ln ρ = 0, ln g + ln ρ = C = const, und damit 3 g = C ρ. Die Differentialgleichung für f ist die inhomogene Variante derjenigen für g, also gewinnt man die allgemeine Lösung, indem zur für g gefundenen Lösung eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung addiert wird. Die Struktur der rechten Seite legt für diese spezielle Lösung f s den Ansatz f s (ρ) = a + bρ nahe. Einsetzen ergibt: b + a + bρ = σ ρ ɛ, und damit a = 0 und b = σ, so daß die allgemeine Lösung für f durch 2ɛ gegeben ist. f(ρ) = σ 2ɛ ρ + C ρ. Jetz werden die Rand- und Anschlußbedingeungen verwendet, um die noch offenen Konstanten zu bestimmen: Die Lösung im Innenraum muß für ρ 0 endlich bleiben: Deshalb ist in der allgemeinen Lösung für f C = 0 zu setzen, so daß sich f(ρ) = σ 2ɛ ρ ergibt. Die Übereinstimmung von f und g bei ρ = R führt auf die Gleichung σ 2ɛ R = C R, aus der dann C = σ 2ɛ R2 und damit g(ρ) = σ 2ɛ R2 1 ρ folgt. Schließlich erhält man für die Felder: E i = σ 2ɛ ρ e ρ, E a = σ 2ɛ R2 1 ρ e ρ. 3 Das ist jetzt ein anderes C = const!

2.6 Die Rotation eines Vektorfeldes Im vorigen Abschnitt hatten wir gesehen, daß sich die Divergenz div A eines Vektorfeldes A als das Skalarprodukt des Nabla-Operators 4 mit dem Vektorfeld A schreiben läßt: div A = A. Es ist daher naheliegend zu fragen ob das formal gebildete Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld A eine sinnvolle Bedeutung hat. Die Rotation des Vektorfeldes A: Wir nennen die Rotation des Vektorfeldes A. rot A := A Berechnung der Rotation: Mit der Determinantendarstellung des Vektorproduktes e x e y e z u v = u x u y u z v x v y v z erhalten wir die Darstellung rot A = A e x e y e z = x y z A x A y A z. Welche Bedeutung hat dieser Differentialoperator? Dazu schauen wir uns das Geschwindigkeitsfeld v eines mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Achse ˆn rotierenden Körpers an, das mit ω := ωˆn durch v = ω r gegeben ist. Davon wollen wir die Rotation berechnen. Dazu erinnern wir uns an die bac-cab-formel der Vektorrechnung: und erhalten a ( b c) = b( a c) c( a b), v = ( ω r) =. ( ω. r) +. ( ω r. ) =. ( ω r. ) = ω( r) ω r = 3 ω ω = 2 ω. 4 Der Name soll von einem phönizischen Saiteninstrument gleicher Form stammen.

Die Rotation ist also ein Maß für die Wirbelstärke eines Feldes.