D-MAVT/D-MATL FS 7 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie8. Klicken Sie die falsche Aussage an. a) Der Operator div ) ordnet einem Vektorfeld v ein Skalarfeld div v zu. v b) div v = x, v y, v ) 3 z c) d) e) div v des Coulombfeldes v ist Null. Der Operator grad ) ordnet einem Skalarfeld f ein Vektorfeld grad f zu. grad div v ist eine zulässige Bildung. Die Divergenz eines Vektorfelds vx, y, z) ist definiert durch Alles andere stimmt. div v = v x + v y + v 3 z.. Gegeben ist das Vektorfeld v : x, y, z) xz α r, yz β r, z r 3) mit r = x + y. Für welche Konstanten α und β ist rot v =? a) α = und β =. b) α = und β = 3. c) α = 3 und β =. d) α = 3 und β = 3. Wir verwenden r x = x r, r y = y r, r z =. / x xz α r rot v = / y yz β r = / z z r 3 Somit ist d) die richtige Antwort. 3yz r βyz β r αxz α r 3xz r xyz β r xyz α r = α = β = 3. Bitte wenden!
3. Klicken Sie die falschen Aussagen an. x a) div y = z b) gradx + y + z) = c) rotgradx + y + z)) = d) e) rot x y = z x div y = 3 z Die Divergenz ist immer ein Skalar, da Ausserdem ist rotgradx + y + z)) =. div v = v x + v y + v 3 z. Siehe nächstes Blatt!
4. Ein Vektorfeld v heisst quellenfrei wenn div v = und wirbelfrei wenn rot v = gilt. Klicken Sie die richtige Aussage an. a) b) Quellenfreie Vektorfelder sind auch wirbelfrei. Vektorfelder der Form v = grad f sind quellenfrei. c) Vektorfelder der Form v = rot w sind quellenfrei. d) Vektorfelder der Form v = rot w sind wirbelfrei. Die Aussage c) ist richtig, da div rot w =. Die Aussage a) ist falsch, da beispielsweise das Vektorfeld vx, y, z) = y, x, ) quellenfrei aber nicht wirbelfrei ist: div v =, rot v =,, ). Die Aussage b) ist falsch, da nicht immer Null ist. div grad f = f Die Aussage d) ist falsch, da für w = w, w, w 3 ) der Term nicht immer gleich Null ist. rot rot w = grad div w w, w, w 3 ) 5. Es seien a und c Konstanten. Das Vektorfeld vx, y, z) = c a x y ) x + y ), xy a x + y ), beschreibt die Strömung einer idealen Flüssigkeit um einen Zylinder vom Radius a, dessen Achse mit der z-achse zusammenfällt siehe dazu die Abbildung). a) Zeigen Sie, dass div v = und b) dass rot v = gilt, c) dass an der Oberfläche des Zylinders die Strömung tangential verläuft und d) dass in grosser Entfernung vom Zylinder das Vektorfeld nahezu homogen ist. e) Bestimmen Sie weiters die Punkte maximaler und minimaler Geschwindigkeit auf der Zylinderoberfläche. Lösung: Bitte wenden!
a) Es gilt div v = c a xx + y ) x y )4x x + y ) 3 a xx + y ) ) xy4y x + y ) 3 x = ca 3 + xy 4x 3 + 4xy + x 3 + xy 8xy ) x + y ) 3 =. b) Klar ist, dass die. und. Komponente von rot v verschwinden. rot v) 3 = c a yx + y ) xy4x x + y ) 3 + a yx + y ) x y ) )4y x + y ) 3 x = ca y y 3 + 8x y x y y 3 4x y + 4y 3 ) x + y ) 3 =. c) Es sei P = x, y, z ) ein Punkt auf der Zylinderoberfläche, d. h. x + y = a. Der Tangentialvektor T in P parallel zur xy-ebene ist gegeben durch T = y, x, ). vx, y, z ) = c a a y y a 4, a x ) y y a 4, = c a, x ) y a, = cy a T Das heisst v T. d) Es sei P = x, y, z) ein Punkt im Abstand R von der z-achse, d. h. x + y = R. Dann gilt x y x + y und xy x + y und Also strebt v c,, ) für R. a x y ) x + y ) = a x y ) R 4 für R a xy x + y ) = a xy R 4 für R e) Aus c) folgt für den Betrag der Geschwindigkeit auf der Zylinderoberfläche v = c a y T = c y. a Man sieht sofort, dass v auf der x-achse minimal und auf der y-achse maximal ist. v =max v = v = v =max 6. Gegeben ist das zweidimensionale Vektorfeld vx, y) = x y, xy ). Zeigen Sie, dass die Feldlinien Kreise sind, welche die x-achse im Ursprung berühren und bestimmen Sie die Koordinaten der zugehörigen Kreismittelpunkte. Siehe nächstes Blatt!
Lösung: P = x, y ) R mit y. Der Kreis K durch x, y ), welcher die x-achse in, ) berührt, ist von der Form K : x + y m) = m oder x + y m y =. Mit x, y ) K erhalten wir m = x + y. y Wir müssen nun zeigen, dass MP vx, y ) = gilt. MP vx, y ) = x, y m) vx, y ) = Bemerkung: Eine weitere Feldlinie ist die x-achse. x, y x ) x y ) y, x y = 7. Ein ebenes Vektorfeld Kx, y) = P x, y), Qx, y)) wird harmonisch genannt, falls es sowohl divergenzfrei als auch wirbelfrei ist, das heisst, falls div K = P x +Q y = und rot K = Q x P y = gelten. Ferner bezeichne K α das Feld, das entsteht, wenn jeder Feldvektor eines Feldes K um den Winkel α gedreht wird. Das Feld K sei harmonisch. Zeigen Sie, dass dann auch K α harmonisch ist. Hinweis: Ist x, y) ein Punkt in der Ebene, so berechnet sich der um den Winkel α gedrehte Punkt durch ) cos α sin α x. sin α cos α y) Lösung: Es sei das Vektorfeld Kx, y) = P, Q) harmonisch. Das um den Winkel α gedrehte Vektorfeld K α hat die Komponenten ) ) ) ) x cos α sin α P cos α P sin α Q K α = =. y sin α cos α Q sin α P + cos α Q Die Divergenz von K α berechnet sich zu div K α = x cos α P sin α Q) + sin α P + cos α Q) y = cos α P x + Q y )s sin α Q x P y ) =. Die letzte Gleichheit gilt, da K harmonisch ist. Analog berechnet sich die Rotation von K α zu rot K α = x sin α P + cos α Q) cos α P sin α Q) y = cos α Q x P y ) + sin α P x + Q y ) =. Folglich ist das gedrehte Vektorfeld K α ebenfalls harmonisch. Bitte wenden!
8. Eine Gerade geht durch den Punkt,, ) und hat den Richtungsvektor,, ). Lässt man sie um die z-achse rotieren, so erzeugt sie eine Fläche einschaliges Rotationshyperboloid). a) Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Fläche an. b) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Fläche. c) In welchen Punkten der Fläche ist der Normalenvektor parallel zur Richtung des Vektors,, )? d)* Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes zwischen den Ebenen z = und z =. Lösung: d) Eine Parameterdarstellung der Geraden ist gegeben durch rt) = + t = t < t <. t Als zweiten Parameter für die Flächendarstellung wählt man den Drehwinkel φ der Drehung um die z-achse, deren Matrix durch cos φ sin φ sin φ cos φ gegeben ist. So erhält man für die Parameterdarstellung der Fläche cos φ sin φ rt, φ) = sin φ cos φ cos φ t sin φ t = sin φ + t cos φ < t <, φ π. t t e) Aus der Parameterdarstellung folgt z = t. Dies eingesetzt führt zu x = cos φ z sin φ, y = sin φ + z cos φ und daraus x + y = + z. Die Gleichung der Fläche lautet also x + y z =. f) Der Gradient x, y, z) der Flächengleichung steht senkrecht zur Fläche. Also x y y = z & z = x. z Da der Punkt auf der Fläche sein soll, folgt x + y z = x = und somit x = ±. Man erhält somit die beiden Punkte P =,, ) und P =,, ). g) Man berechnet den Betrag des Normalenvektors sin φ sin φ t cos φ r t r φ = cos φ cos φ t sin φ = cos φ + t sin φ sin φ t cos φ t = + t Siehe nächstes Blatt!
und erhält für den Flächeninhalt F = π = π + t dt dφ = π + t dt [ t + t + log t + + t )] = π ) 3 + log + 3) = 6π + π log 3 + ).77.