Numerisches Progrmmieren (IN0019) Frnk R. Schmidt Winter Semester 2016/2017 6. Qudrtur................................................................................................... 2 Qudrtur 3 Motivtion................................................................................................... 4 Integrtion (Beispiel)............................................................................................ 5 Allgemeine Form............................................................................................... 6 Klssische Qudrtur 7 Mittelpunktregel............................................................................................... 8 Trpezregel.................................................................................................. 9 Qudrtur mit Hilfe von Interpoltion................................................................................ 10 Mittelpunktsregel und Trpezregel.................................................................................. 11 Simpsonregel / Keplersche Fssregel................................................................................ 12 Fehlerbschätzung............................................................................................. 13 Polynome und Simpsonregel...................................................................................... 14 Zusmmenfssung und Ausblick................................................................................... 15 Sklrprodukte 16 Sklrprodukte (Wdh.).......................................................................................... 17 Sklrprodukte............................................................................................... 18 1
Legendre-Polynome............................................................................................ 19 Rekursion................................................................................................... 20 3-Term-Rekursion............................................................................................. 21 Legendre-Polynome............................................................................................ 22 Guß-Qudrtur 23 Guß-Qudrtur.............................................................................................. 24 Optimlität der Guß-Qudrtur................................................................................... 25 Gewichte der Guß-Qudrtur..................................................................................... 26 Guß-Qudrtur uf r 1;1s..................................................................................... 27 Nive Integrtion (I 1 ).......................................................................................... 28 Guß-Qudrtur (I 1 )........................................................................................... 29 Simpsonregel (I 2 )............................................................................................. 30 Guß-Qudrtur (I 2 )........................................................................................... 31 Vorteile und Nchteile.......................................................................................... 32 Gewichtete Sklrprodukte....................................................................................... 33 3-Term-Rekursion............................................................................................. 34 Guß-Tschebyscheff-Qudrtur.................................................................................... 35 Romberg-Integrtion 36 Zusmmengesetzte Qudrtur..................................................................................... 37 Extrpoltion................................................................................................ 38 Romberg-Integrtion........................................................................................... 39 Romberg-Integrtion (Beispiel).................................................................................... 40 2
6. Qudrtur 2 / 40 Qudrtur 3 / 40 Motivtion Bei der Interpoltion einer Funktion f: R Ñ R sind wir dvon usgegngen, dss f nur für gewisse Stützstellen x 0 ă... ă x n beknnt ist. Im Folgenden wollen wir eine Funktion f: r;bs Ñ R n Stützstellen x 0 ă... ă x n so uswerten, dss wir ds Integrl Ipfq : möglichst gut pproximieren. Eine erste nive Vorgehensweise ergibt sich us folgender Gleichung ż b fpxqdx Ipfq lim nÿ nñ8 i 0 fpx i q n x i ` ipb q n IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 4 / 40 3
Integrtion (Beispiel) y fpx 1 q fpx 0 q b x Für die Funktion fpxq expp x 2 q ergibt sich lso (für 1 und b 1) Ipf q «1.49365 fpx 0 q `fpx 1 q 1 «1.36788 ε rel «8.42% IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 5 / 40 4
Allgemeine Form Um eine verbesserte Approximtion zu finde, wollen wir folgende Qudrturformel betrchten I n pfq nÿ fpx i q w i Die Prmeter, die wir wählen können, sind die n `1 verschiedenen Stützstellen x i sowie die n `1 Gewichte w i. i 0 Beide Ausdrücke Ipfq und I n pfq sind für beliebige stetige Funktionen f: r;bs Ñ R berechenbr. Außerdem sind diese Ausdrücke linere Funktionle, d.h. für f,g P C 0 prq und α,β P R gilt Ipα f `β gq α Ipfq `β Ipgq I n pα f `β gq α I n pfq `β I n pgq IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 6 / 40 5
Klssische Qudrtur 7 / 40 Mittelpunktregel Sind die Stützstellen x i äquidistnt über ds Intervll r,bs verteilt, so nennt mn die Qudrtur Newton-Cotes-Formeln. Ist x 0 und x n b, so redet mn von geschlossenen, ndernflls von offenen Newton-Cotes Formeln. Bei der Mittelpunktregel interpoliert mn die Funktion f n der Stelle `b 2. Ds heißt wir ersetzen fpxq durch ds interpolierende Polynom vom Grd 0: ż b ˆ `b I 0 pfq f dx 2 ˆ `b pb qf 2 Ds heißt bei der Mittelpunktregel ist n 0 und wir hben w 0 b x 0 `b 2. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 8 / 40 6
Trpezregel Bei der Trpezregel interpoliert mn die Funktion f zwischen und b. Ds heißt wir ersetzen fpxq durch ds interpolierende Polynom vom Grd 1: Ds heißt bei der Trpezregel ist n 1 und wir hben ż b x pfpbq fpqq `bfpq fpbq I 1 pfq dx b 1 2 pb 2 2 q pfpbq fpqq b ` pb qrbfpq fpbqs b 1 pp `bq pfpbq fpqqq ` rbfpq fpbqs 2 fpq `fpbq pb q 2 w 0 w 1 b 2 x 0 x 1 b. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 9 / 40 7
Qudrtur mit Hilfe von Interpoltion Wenn wir Stützstellen x 0 ă... ă x n wählen, erhlten wir ds eindeutige Interpoltionspolynom mit Hilfe der Lgrngedrstellung, d.h. nÿ p n pxq fpx i ql i pxq Dmit erhlten wir eine Qudrtur mittels w i Denn es gilt wegen der Linerität I n pfq ż b i 0 ż b p n pxq L i pxqdx nÿ fpx i q w i IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 10 / 40 i 0 8
Mittelpunktsregel und Trpezregel Für n 0 und x 0 `b 2 erhlten wir ws gerde zur Mittelpunktsregel führt. Für n 0 und x 0 und x 1 b erhlten wir L 0 pxq 1 w 0 ż b L 0 pxqdx b, L 0 pxq b x b L 1 pxq x b w 0 w 1 ż b ż b L 0 pxqdx b 2 L 1 pxqdx b 2, ws gerde zur Trpezregel führt. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 11 / 40 9
Simpsonregel / Keplersche Fssregel Für n 2 sowie x 0, x 1 `b 2 und x 2 b erhlten wir mit der Nottion c x 1 und h c x 0 x 2 x 1 gerde L 0 pc `xq x2 hx 2h 2 w 0 L 1 pc `xq x2 h 2 h 2 w 1 L 2 pc `xq x2 `hx 2h 2 w 2 ż h hl 0 pc `xqdx h 3 ż h hl 1 pc `xqdx 4h 3 ż h hl 2 pc `xqdx h 3 Dies führt zur Simpsonregel und wir hben I 2 pfq b 6 ˆ fpq `4f ˆ `b 2 `fpbq IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 12 / 40 10
Fehlerbschätzung Um den Fehler bei der Qudrturformel bschätzen zu können, erinnern wir uns n folgendes Fehlerbschätzung für Interpoltionen fpxq p n pxq f pn`1q pξq pn `1q! px x 0q... px x n q ξ P r;bs Definieren wir M : mx ξpr;bs ˇˇf pn`1q pξqˇˇ, so gilt wegen x xi ď b gerde Ipfq I n pfq ď ż b M pn `1q! pb qn`1 dx M pb qn`2 pn `1q! Dies führt dzu, dss Qudrturformeln, die Polynome vom Grd n benutzen, für Polynome vom Grd n exkte Lösungen liefern. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 13 / 40 11
Polynome und Simpsonregel Für die Monome p n pxq x n gilt gerde Ipp n q Wir wissen, dss die Simpsonregel dies exkt berechnen sollte, flls n ď 2 gilt: ż b x n dx bn`1 n`1 n `1 I 2 pp 0 q b b r1 `4`1s Ipp 0 q 6 1 I 2 pp 1 q b 6 r `2p `bq `bs b2 2 2 I 2 pp 2 q b 6 r2 ` p 2 `2b `b 2 q `b 2 s b3 3 3 I 2 pp 3 q b 6 r3 ` 1 2 p3 `3 2 b `3b 2 `b 3 q `b 3 s b4 4 4 Ipp 1 q Ipp 2 q Ipp 3 q IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 14 / 40 12
Zusmmenfssung und Ausblick Jede Qudrturformel I n, die uf der Lgrnge-Drstellung beruht, berechnet ds Integrl Ipfq exkt, flls f P Π n. Wir können die Stützstellen so wählen, dss die Qudrturformel I n uch für f P Π n`k noch gilt. Ds Ziel ist es, k möglichst groß zu wählen. Die Simpsonregel berechnet Ipfq exkt für f P Π 3, d.h. k 1. Die Mittelpunktregel berechnet Ipfq exkt für f P Π 1, d.h. k 1. Die Guß-Qudrtur knn k n `1 wählen, d.h. wir können z.b. zwei Stützstellen so wählen, dss I 1 pfq Ipfq für lle f P Π 3 gilt. Außerdem werden wir sehen, dss es für jede Qudrtur I n ein Polynom f P Π 2n`2 gibt, so dss I n pfq Ipfq, d.h. mn knn die Guß-Qudrtur ls optimle Qudrtur interpretieren. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 15 / 40 13
Sklrprodukte 16 / 40 Sklrprodukte (Wdh.) Wir htten bereits gesehen, dss die stetigen Funktionen oder die Polynome einen R-Vektorrum beschreiben, d.h. mn knn solche Funktionen ddieren oder mit einem Sklr λ P R multiplizieren und erhält wieder eine stetige Funktion bzw. ein Polynom. Als nächstes wollen wir ein Sklrprodukt für Funktionen definieren. Sei V ein R-Vektorrum. Dnn nennen wir eine Abbildung x, y : V ˆ V Ñ R ein Sklrprodukt, wenn Folgendes gilt xαx `βy,zy α xx,zy `βxy,zy xx, αy ` βzy α xx, yy ` β xx, zy xx, yy xy, xy xx,xy ě0 xx,xy 0 ôx 0 (Liner in der ersten Komponente) (Liner in der zweiten Komponente) (Symmetrisch) (Positiv-Definit) IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 17 / 40 14
Sklrprodukte Betrchten wir Funktionen us C 0 pr,bsq, d.h. stetige Funktionen f,g: r,bs Ñ R, so lässt sich wie folgt ein Sklrprodukt definieren xf,gy : ż b fpxq gpxqdx Mn knn leicht sehen, dss dieser Ausdruck liner in f und in g ist. Die Symmetrie folgt us der Kommuttivität des Produkts. Die Positiv-Definitheit folgt us der Stetigkeit der Funktionen. Mit Hilfe des Sklrproduktes knn mn von orthogonlen Funktionen sprechen. Zum Beispiel sind sinp q,cosp q P C 0 r π,πs orthogonl zueinnder: ż π ż π j d 1 xsin,cosy sinpxqcospxqdx dx 2 sinpxq2 dx 0 π IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 18 / 40 π 15
Legendre-Polynome Im Folgenden wollen wir eine Orthogonlbsis von Polynomen finden. Wir wollen lso Polynome P 0,P 1,... finden, so dss Folgendes gilt Diese Polynome heissen Legendre-Polynome. n 1 ÿ P n x n ` n,i x i i 0 xp n,qy 0 @q P Π n 1 Hierzu reicht es ber, dss xp n,p i y 0 für lle i ă n gilt, d die vorherigen P i j bereits eine Bsis von Π n 1 bilden. Insbesondere knn mn P n wie folgt drstellen n 3 ÿ P n px `AqP n 1 `BP n 2 ` C i P i IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 19 / 40 i 0 16
Rekursion Die Koeffizienten von P n px `AqP n 1 `BP n 2 ` řn 3 i 0 C ip i lssen sich mit Hilfe von Sklrprodukten berechnen. Für j ă n 2 gilt 0! n 3 ÿ xp n,p j y xp n 1, px `AqP j y `BxP n 2,P j y ` C i xp i,p j y C j xp j,p j y i 0 Dmit sind lle C i 0 und P n hängt nur von P n 1 und P n 2 b: 0 xxp n 1,P n 1 y `A xp n 1,P n 1 y ô A xxp n 1,P n 1 y xp n 1,P n 1 y 0 xxp n 1,P n 2 y `BxP n 2,P n 2 y ô B xp n 1,P n 1 y xp n 2,P n 2 y IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 20 / 40 17
3-Term-Rekursion Insgesmt erhlten wir lso die folgende 3-Term-Rekursion für Polynome, die uf r;bs definiert sind: P 0 1 P n px `AqP n 1 `BP n 2 P 1 x `b 2 A xxp n 1,P n 1 y xp n 1,P n 1 y B xp n 1,P n 1 y xp n 2,P n 2 y Insbesondere bedeutet ds für Polynome, die uf r 1;1s definiert sind: P 0 1 P 1 x P 2 x 2 1 3 P 3 x 3 3 5 x IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 21 / 40 18
Legendre-Polynome y P 1 P 3 x P 2 Wir werden sehen, dss uns die Nullstellen dieser Polynome die Stützstellen der Guß-Qudrtur liefern werden. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 22 / 40 19
Guß-Qudrtur 23 / 40 Guß-Qudrtur Seien x 0,...,x n die n `1 Nullstellen des Legendre-Polynoms P n`1. Dnn wird ddurch die Guß-Qudrtur definiert nÿ I n pfq fpx i q w i Diese Qudrtur ist exkt für lle q P Π n. Weiter gibt es für jedes p P Π 2n`1 nch Polynomdivision mit Rest folgende Drstellung i 0 p q P n`1 `r q,r P Π n Dmit erhlten wir Ippq xq,p n`1 y `Iprq Iprq nÿ I n ppq qpx i qp n`1 px i qw i `I n prq I n prq Iprq i 0 IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 24 / 40 20
Optimlität der Guß-Qudrtur Wir hben gesehen, dss die Guß-Qudrtur I n für lle q P Π 2n`1 exkt ist. Wir wollen zeigen, dss keine Qudrtur lle q P Π 2n`2 exkt integrieren knn. Sei hierzu I n eine beliebige Qudrtur mit den Stützstellen x 0 ă... ă x n. Wir wählen nun fpxq : ś n i 0 px x iq 2 P Π 2n`2. Hierfür gilt nun Ipfq I n pfq ż b fpxqdx ą 0 nÿ w i i 0 nź px i x j q 2 0 j 0 Ds heißt jede Qudrtur I n knn bestenflls die Polynomklsse exkt integrieren, die die Guß-Qudrtur integrieren knn. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 25 / 40 Gewichte der Guß-Qudrtur D die Guß-Qudrtur I n für lle q P Π 2n`1 exkt ist, ist sie uch exkt für Q i : P n`1 x x i P n P Π 2n : (x 0 ă... ă x n sind die Nullstellen von P n`1 ) I n pq i q nÿ w j Q i px j q w i Pn`1px 1 i qp n px i q j 0 D P n`1 x x i ls führenden Koeffizienten gerde 1 ht, hben wir die Drstellung P n`1 x x i P n `R, wobei R P Π n 1 und wir erhlten: IpQ i q xp n,p n y ` xp n,ry xp n,p n y Somit erhlten wir lso w i xp n,p n y P 1 n`1 px iqp n px i q 21
IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 26 / 40 22
Guß-Qudrtur uf r 1; 1s Für n 0 hben wir P 1 x, x 0 0 und die Guß-Qudrtur I 0 wird zu Ds ist genu die Mittelpunktregel. Für n 1 hben wir P 2 x 2 1 3, x 0,1 b 1 3 und die Guß-Qudrtur I 1: b Für n 2 hben wir P 2 x 3 3 5 x, x 3 0,2 5, x 1 0 und I 0 pfq 2 fp0q c c 1 1 I 1 pfq f `f ` 3 3 I 2 pfq 5 c 3 9 f 5 ` 8 9 fp0q ` 5 9 f ` IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 27 / 40 c 3 5 23
Nive Integrtion (I 1 ) y fpx 1 q fpx 0 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der niven Qudrtur I 1 für ş 1 1 Ipfq «1.49365 I 1 pfq «1.36788 ε rel «8.42% IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 28 / 40 24
Guß-Qudrtur (I 1 ) y fpx 0 q fpx 1 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Guß-Qudrtur I 1 für ş 1 1 Ipfq «1.49365 I 1 pfq «1.43306 ε rel «4.06% IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 29 / 40 25
Simpsonregel (I 2 ) y fpx 1 q fpx 0 q fpx 2 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Simpsonregel I 2 für ş 1 1 Ipfq «1.49365 I 2 pfq «1.57859 ε rel «5.69% IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 30 / 40 26
Guß-Qudrtur (I 2 ) y fpx 1 q fpx 0 q fpx 2 q b x Für fpxq expp x 2 q ergibt sich nch der Guß-Qudrtur I 2 für ş 1 1 Ipfq «1.49365 I 2 pfq «1.49868 ε rel «0.34% IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 31 / 40 Vorteile und Nchteile Für festes n ergibt sich mit der Guß-Qudrtur ein optimles Ergebnis für lle Polynome p P Π 2n`1. Flls ds Resultt nicht gut genug ist, sollte mn n erhöhen. Ddurch werden sich ber lle Stützstellen ändern, d.h. es müssen lle Stützstellen neu usgewertet werden. Dieser Effekt knn bgemildert werden, indem mn n in jedem Schritt verdoppelt. Mn ht dnn mximl doppelt so viele Stützstellen usgewertet, wie nötig wären. Wenn mn die Guß-Qudrtur dynmisch benutzen möchte, müssen Nullstellen von Polynomen hohen Grdes berechnet werden. Dies ist im Allgemeinen recht schwierig. Dieses Problem knn überwunden werden, wenn wir die orthogonlen Polynome bzgl. eines nderen Sklrprodukts berechnen. 27
IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 32 / 40 28
Gewichtete Sklrprodukte Ist eine Funktion ϕ: r;bs Ñ R` gegeben, so können wir ds bzgl. ϕ gewichtete Sklrprodukt definieren xf,gy ϕ ż b f pxqgpxqϕpxq dx Dmit läßt sich eine Guß-Qudrtur I n beschreiben, die für jedes Polynom p P Π 2n`1 ds Integrl ş b ppxqϕpxqdx exkt berechnet. Von besonderem Interesse ist der folgende Fll 1 b 1 ϕpxq 1? 1 x 2 Auch hierfür lässt sich eine Orthogonlbsis berechnen. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 33 / 40 29
3-Term-Rekursion Wir hben die folgende 3-Term-Rekursion für die Bsispolynome: P 0 1 P 1 x P n px `AqP n 1 `BP n 2 für A xxp n 1,P n 1 y ϕ xp n 1,P n 1 y ϕ B xp n 1,P n 1 y ϕ xp n 2,P n 2 y ϕ Mn knn zeigen, dss P 2n gerde und P 2n`1 ungerde Funktionen sind. Dmit ist A 0 und wir hben P n xp n 1 xp n 1,P n 1 y ϕ xp n 2,P n 2 y ϕ P n 2 Weiter knn mn zeigen, dss die 3-Term-Rekursion zur Rekursionsformel der Tschebyscheff-Polynome führt. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 34 / 40 30
Guß-Tschebyscheff-Qudrtur Wir hben lso P n 1 2 n cos `pn `1q cos 1 pxq ˆ2i `1 x i cos 2n `2 π w i xp n 1,P n 1 y ϕ P 1 npx i qp n 1 px i q Die Guß-Tschebyscheff-Qudrtur zur Berechnung von ş 1 1fpxqdx ist lso Sie ist exkt für f, die sich ls f I n pfq π n `1 nÿ f i 0 p? 1 x 2 für p P Π 2n`1 drstellen lssen. π n `1 ˆ ˆ2i `1 ˆ2i `1 cos 2n `2 π sin 2n `2 π IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 35 / 40 31
Romberg-Integrtion 36 / 40 Zusmmengesetzte Qudrtur Mit Hilfe jeder Qudrtur I n knn mn eine zusmmengesetzten Qudrtur definieren (h b k ): Ipfq ż b h Wir betrchten hier lso die (recht ungenue) Trpezregel. fpxqdx kÿ i 1 ż `h ż b fpxqdx `... ` fpxqdx `pk 1qh fp ` pi 1q hq `fp `i hq 2 : T f phq Die wesentliche Idee der Extrpoltion ist die Euler-Mclurin-Summe, die mn ls komplizierte Erweiterung der Tylor-Entwicklung verstehen knn. Wir benutzen hier lediglich folgendes Ergebnis (τ i hängen nur von,b,f b) T f phq Ipfq `τ 1 h 2 `... `τ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 37 / 40 32
Extrpoltion Hlbieren wir nun jedes Integrtionsintervll und berechnen T f erneut, so hben wir in der Tt die beiden Werte T f phq und T f ph{2q berechnet. Dmit erhlten wir folgende Fehlerdrstellungen T f phq Ipfq `τ 1 h 2 `τ 2 h 4 `... `τ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m ˆh T f Ipfq ` h2 2 4 τ 1 ` h4 h2m 2 16 τ 2 `... ` 2 2m 2τ m 1 ` h2m 2 m ρ mphq Für die Extrpoltion R : 4T f ph{2q T f phq 3 ergibt sich dnn ber d.h. wir konnten den Fehler von h 2 uf h 4 senken. R Ipfq ` ˆτ 2 h 4 `... ` ˆτ m 1 h 2m 2 `ρ m phqh 2m, IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 38 / 40 33
Romberg-Integrtion D wir diese Opertion itertiv durchführen können, erhlten wir eine neue Qudrtur, die ohne komplizierte Polynominterpoltion uskommt. Diese Qudrtur heißt Romberg-Integrtion. Sie liefert Rpk,kq zurück nchdem Rpi,jq wie folgt berechnet wird ˆb Rp0,jq T f j `1 Interessnterweise ergibt sich, dss Rp1, q gerde der Simpsonregel entspricht. Rpi,jq 4j Rpi,j 1q Rpi 1,j 1q 4 j 1 Ab i 3 unterscheiden sich die Newton-Cotes-Formeln von der Romberg-Integrtion. Mn knn zeigen, dss die Romberg-Integrtion numerisch stbiler sind ls die Newton-Cotes-Formeln. IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 39 / 40 34
Romberg-Integrtion (Beispiel) y Um Rpk,kq usgeben zu können, werden insgesmt 2 k `1 Stützstellen usgewertet. Wir werden dher Rpk,kq mit den Qudrturen I 2 k vergleichen. ε rel in % k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 Trpezregel 50.741 8.4202 2.0693 0.5142 0.1283 Romberg 50.741 5.6866 0.3282 ă 7 10 3 ă 5 10 5 Guß-Tschebyscheff 9.7932 3.2277 0.7694 0.2457 0.0697 Guß 4.0562 0.3368 ă 2 10 3 ă 2 10 9 ă 5 10 10 IN0019 - Numerisches Progrmmieren 6. Qudrtur 40 / 40 b x 35