Übungsblatt 3 Musterlösung

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1 Fllstudien WS4 Übungsbltt 3 Musterlösung Lösung 9 (Numerierung) ) Wir berechnen mit die y mit den Kontrollpnten in umgeehrter Nummerierung zu ( ) n y c n t ( t) n ( ) n c i t n i ( t) i n i ( ) n c i t n i ( t) i i wobei wir die Identität x( t), ( ) ( ) n n i n i verwendet hben. Folglich bedeutet diese Umnumerierung eine Änderung der Durchlufrichtung und die beiden Bézierurven liefern die selbe Rumurve. b) Für die Anordnung der n+ Kontrollpunte gibt es insgesmt(n+)! Möglicheiten. D die nch Teil ) eine umgeehrte Durchlufrichtung dieselbe Rumurve liefert, nn mn höchstens (n+)!/2 unterschiedliche Rumurven beommen. c) Wir betrchten ls Beispiel c ( ), c Dmit erhlten wir unterschiedliche Kurven: ( ), c 2 ( ). { c,c,c 2 } { c,c,c 2 }

2 .5.5 Lösung (Integrtion einer Bézierurve) ) Wir müssen die Reltion B n i (s)ds n+ n+ i+ B n+ nchweisen. Asu der Vorlesung ennen wir bereits die Ableitung eines Bernstein- Polynoms: d ( ) dt Bn i n B n i Bn i. Dher önnen wir rechnen ( ) ( ) ( ) Bi n Bi n Bi+ n + Bi+ B n i+2 n + Bi+2 B n i+3 n + ( ) ( ) + Bn B n n n + Bn B n n+ n n+ n+ n+ i+ n+ ( ) (n+) B B n n d dt Bn+ i+. Dnn önnen wir diese Gleichung uf [,t] integrieren und erhlten B n i (s)ds n+ n+ weil B n+ () für lle,...,n+. n+ i+ n+ i+ d ds Bn+ B n+, (s)ds 2

3 b) Mit Teil ) berechnen wir c(s)ds c i Bi n (s)ds n+ n+ c i n+ n+ n+ i+ ĉ B n+ B n+ c i B n+ mit ĉ c i, n+,...,n+. c) Mit dem Resultt us Teil b) folgt sofort ws zu zeigen wr. n+ c(s)ds ĉ B n+ () ĉ n+ n+ c i, Lösung (Approximtion eines Kreises mit Bézierurven) ) Eine Ellipse lässt sich drstellen ls x 2 + y2. () 2 b2 Wählen wir für eine polynomile Kurve vom Grd n in R 2 die Drstellung ( ) ( x n c x ) it i y n y it i, dnn önnen wir ds Qudrt schreiben ls ( n ) 2 ( ) 2 c x it i ( n ) 2 y it i Einsetzen in () liefert 2 ) ( xi + ỹi t i. 2 b 2 ( 2n x it i 2n ỹit i Diese Gleichung ht höchstens 2n Lösungen. Folglich nn eine polynomile Kurve vom Grd n eine Ellipse in höchstens 2n Punten schneiden. ). 3

4 b) Wählen wir die vier Kontrollpunte ( ) ( ) c, c, c α 2.5 ( ), c α 3 mit α > genügend groß, dnn erhlten wir Schnittpunte. Alph Alph 4 ( ), Eine weitere Möglicheit ist, für die durch die Funtion y(x) β ( 2x 3 x ) mit β > genügend groß, definierte Kurve die Bézierdrstellung zu berechnen. c) Umschreiben der Mtlb-Vorlge zu % Interpoltion von Bezier Kurven close ll ; cler ll ; % lph zwischen.54 und.56 lphv linspce (.54,.56,) ; y linspce (,,) ; for i : length ( lphv ) lph lphv ( i ) ; % 4 Punte p [ ;... lph ;... lph ;... ] ; % Berechne Bezier Kurve [X,Y, p_bez ] CASTELJAU(,,p, y) ; % Kreisurve c (:,) cos (.5 pi y) ; c (:,2) sin (.5 pi y) ; % Rdiler Abstnd : rd sqrt (p_bez (:,).^2 + p_bez (:,2).^2) ; mrd( i ) mx(bs( rd ) ) ; end figure () ; plot (lphv, mrd, b, LineWidth,3) ; hold on ; box on ; set (gc, FontSize,8) ; 4

5 xlbel ( lph ) ; title ( mximler rdiler Abstnd ) ; % Minimun ind (mrd min(mrd) ) ; lphv ( ind ) liefert für ds optimle α die numerische Approximtion α opt und die grfische Ausgbe für den mxmlen Abstnd 7 x 3 mximler rdiler Abstnd lph Für ds α opt erhlten wir im Vergleich zu α.56 und α.53 die folgenden Abstndsverteilungen und die dzugehörigen Bézierurven: Bezierurve für lph.559 x 4 rd. Abstnd für lph.559 Kontrollpolygon Bezierurve Kreissegment.5 Bezierurve für lph.56 t 5 x rd. Abstnd für lph Kontrollpolygon Bezierurve Kreissegment.5 2 t 5

6 Bezierurve für lph.53 Kontrollpolygon Bezierurve Kreissegment rd. Abstnd für lph.53 t Lösung 2 (Krümmung Spline) Zunächst berechnen wir b (g s )s dx Dmit erhlten wir x i (g s )s dx i x i x i [(g s )s ] x i x i (g s )s dx i x i x i [(g s )s ] x i x i [(g s)s ] x i x i + (f s)s (4) dx i x i (g (b) s (b))s (b) (g () s ())s () g (x) 2 L 2 ([,b]) b b (g ) 2 dx (s +g s ) 2 dx b b b (s ) 2 dx+2 (g s )s dx+ (g s ) 2 dx b b (s ) 2 dx+ (g s ) 2 dx s 2 L 2 ([,b]), ws zu beweisen wr. 6