Der Satz von de Moivre / Laplace als Aussage über Binomialkoeffizienten

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1 Dr Satz vo d Movr / Laplac als ussa übr Boaloffzt JÖRG MEYER, HMEL Zusafassu: Batlch bt s Zusaha zwsch d stadardsrt Boalvrtlu rsts ud dr oralvrtlu, sbsodr t d Tr, x / adrrsts Hr wrd dutlch acht, dass sch dsr Zusaha scho ltarsrt ud stochast-fr Kotxt vrsth lässt Isbsodr splt dr fralch Tr b r ussa übr Boaloffzt Roll Eltu Dr Satz vo d Movr / Laplac ud dss Bws sd ar cht so fach zu vrsth Es hadlt sch u Boalvrtlu t dr Zufallsvarabl B ( zahl dr Erfol b Vrsuch, d jwls d Erfolswahrschlcht p hab soll) t prob( B ) p q (w üblch st q p) Ma uss d Zufallsvarabl stadardsr (vl twa Hz [ 3 ; S 8]); dadurch bot a d Zuordu µ σ p q σ a () bzw µ x σ pσ x ϕ : x ; p σ x q σ x a σ p q () ( ) dab st µ p dr Erwartuswrt ud σ p q d Stadardabwchu vo B (I Fold wrd r ao, dass pσ x azzahl st, dat dr Boaloffzt svoll blbt Hraus pσ x folt allrds, dass x () cht ostat s a, sodr für jds twas adr Wrt hab wrd ltratv öt a d Boal- offzt rstz durch [ pσ x ] W wrd hr cht schla) Dsr x / Scho d t () ud () vrbud Trstrutur sd für Schülr uübrschtlch Zu Bws dr Tatsach, dass d durch () bschrb stadardsrt Boalvrtlu d oralvrtlu ovrr, uss () bzw () t apulrt wrd; Wudr, dass hr dr Übrblc lcht vrlor ht br slbst w a d Übrblc wdr rlat hat: Was st tlch das Wstlch a Bws (ud a dr ussa) ds Satzs? Hat das urwartt uftrt ds Trs t dr Stadardsru zu tu, odr wohr ot r tlch? Hr wär s wüschswrt, w a d Bws ds Satzs vo d Movr / Laplac lr Modul zrl öt, d ölchst für sch svoll sd ud d zl vrstad wrd ö D ussa ds (loal) Grzwrtsatzs vo d Movr / Laplac bstht aus dr Tl: D Tatsach dr Kovrz dr stadardsrt Boalvrtlu Ds Tatsach st für Schülr offschtlch, a lcht vsualsrt wrd ud wrd auf dr Schul dahr cht bws D Gstalt dr Grzfuto ϕ(x) ϕ() x / 3 D orru dr Grzfuto so, dass ϕ(x) dx st, t d Erbs ϕ () Hrb hadlt s sch u π r aalytschs Probl Hr soll s all u Tl h (usführu zu d Tl ud 3 fdt sch Myr [4]) Dass auch Tl odularsrt ud ltarsrt wrd a ud w das ht, st Ihalt dss ufsatzs Dr Kr dr ussa vo Tl wrd Kotxt rarbtt, dr t Stochast ar chts zu 8 Stochast dr Schul 5 (5) Hft 3, S 8-

2 tu hat Es wrd dutlch wrd, dass s sch dab ur u ussa übr Boaloffzt hadlt Ds ussa lässt sch da shr lcht d stochastsch Kotxt dr Boalvrtlu übrtra Vorab st s svoll, aalytschs La brt zu stll, das auch für adr stochastsch wdu hra zo wrd a E aalytsch Lata us d Schulutrrcht sd d fold Rsultat cht vrtraut, oblch d Bws cht schwr sd: B La : l Bws: Mt Hlf dr Mrcator-Rh folt: B B B ( ) B l 3 ( ) D Rh B 3 3 lässt sch durch otrsch Rh lcht abschätz ud st dahr bschrät La folt u durch Grzübra (Statt d Bws t Hlf dr Mrcator-Rh zu führ, a a auch d bschätzu vrwd) x x bzw x B B ( ) B lx x x La : 3 3 l ± ± / Bws: Es s M: ; wr führ d Bws für D Mthod ds l Gauß, d atürlch Zahl vo bs zu sur, lässt sch lcht odfzrt auch hr awd Wr ach Ls Fhlr, w wr statt M Fator ur M Fator btracht; da st M M M M M ( M ) M ( M ) M ( M ) u lt ( M ) stts zwsch ud lt M ( ) M M M M ( M ) 4 M 4, also W La ovrr d l ud d rcht Schra bd, woraus d Bhauptu folt D zwt ussa bwst a aalo (E altratv Brüdu lfrt Hz [ 3 ; S 7 f] Bws ss Satzs Er butzt cht La, sodr d für d Schul cht so ahld bschätzu x xp x ) x Ddatsch Bru: D Übrlu zu La ud La sd ähr a d tlch Zl ds alyss-utrrchts als durchorasrt ud schatsrt Kurvdsusso Ds zt auch das utrrchtspratsch Dla: Grad wl sch d Übrlu au schatsr lass, sd s für Lrd schwr br dr Schwrt lt auch dr Gw! 3 Exurs: La ud das Gburtstasprobl Wr hab Ur t vrschd ud utrschdbar Kul ud zh -al MIT Zurücl Da lt: 9

3 ( ) prob all Kul vrschd L Für jds such wr so, dass (3) st B Gburtstasprobl st 365; das Erbs st 3 W ot a oh usprobr auf ds Wrt für? ufrud vo La st l / Für roß sollt dahr l 4 s, woraus sch / bzw l4 rbt B Gburtstasprobl st 365 l 4,5, also rstaulch uts Erbs Ma a das Gburtstasprobl als wstlch wdu vo La auffass, abr auch als Motvato, sch übrhaupt t solch Produt w (3) zu bfass Dat sd zw Mölcht ab, La zu utrrcht: ls rathatsch Thsquz odr abr aushd vo r wdu w d Gburtstasprobl 4 Das Vrhalt vo Boaloffzt Wr bschäft us zuächst ar cht t dr Kovrz dr stadardsrt Boalvrtlu, sodr t fachr ud durchschtr Probl, dss Lösu lchwohl scho d Lösu ds allr Probls st Das fachr Probl lautt: W vrhalt sch Boaloffzt für roß obr rut? Es st thodsch vo Vortl, dass dss fachr Probl rl Stadardsru, ja soar rl Kts übr Boalvrtlu vorausstzt u wrd für rad dr rößt Wrt dr Boaloffzt b x ao, so dass s vrüft st, d Boal- x offzt als zu schrb D fold Illustrato bt für 8 rst Edruc: u st s lüclch Id, d Boaloffzt ar cht drt zu btracht, so- dr statt dss d auf d Ztralwrt bzo Quott Da Zählr ud r sas obrs rut hab, sd solch Quott rchtchsch ut zuälch Wr trssr us also für d Größ dr Boaloffzt für roß E fa- ch Rchu lfrt!! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) Für roß st das obr Produt t- wa so roß w ( d S, dass dr Quott bdr Produt ht), so dass

4 lt W soll a d bd Produt dr rcht St wtr vrarbt? Übr ählch Produt wurd La ussa acht Dahr drh wr d Spß u ud rcht d Produt so, dass d Bzhu / l bzw l / awdbar st Dazu uss vo dr Gstalt x s; alsda bot a x x x / x x x / Ds st ussa übr d Größ dr Boaloffzt: Für roß st dach / (4) Es st shr brswrt, dass dr für d oralvrtlu wstlch Tr W- x / stlch dr Ls s Quott vo Boaloffzt st! Isofr acht dr Satz vo d Movr/ Laplac ur ussa übr Boaloffzt Ma sollt d Forl (4) a bst statsch auffass, ud zwar als Ufähr-ussa für roß ud utrschdlch Wrt vo I ds S bt s auch ufschluss übr d Kurv dr Boaloffzt bhät vo Würd a (4) dyasch auffass, so wär d tschdd Varabl ud cht Zud rb sch Itrprtatosschwrt, d hät (w x ) vo ab ud x st so zurcht, dass x azzahl st Hr für optsch Illustrato vo (4); d Strch t d dc Edput bzch d Lä dr Boaloffzt, ud d Kurv bt d pproxato / a: Dat hat a auf d Ztralwrt bzo ut Übrscht übr das Vrhalt vo I Schulutrrcht hab ch ut Erfahru dat acht, zuächst ds fachr Vrso ds Satzs vo d Movr / Laplac zu bhadl, d ja t Stochast och ar chts zu tu hat ud für sch all hrchd trssat st W da twas spätr d stadardsrt Boalvrtlu bhadlt wrd, so lfrt lcht Modfato das azustrbd Rsultat Etlch uss ur och altr W u Schläuch füllt wrd Dab rws sch d u Schläuch für ach Lrd scho als twas uübrschtlch, so dass cht auch och ur W hzuo uss 5 Quott dr stadardsrt Boalvrtlu für p,5 Zl usrr Übrlu st das Grzvrhalt vo p σ x q σ x ϕ ( x) σ p q pσ x für roß b azzahl pσ x (vl () bschtt ) B wr t p ; hr lässt sch d Vorhsws ds ltzt bschtts fast wörtlch übr- tra: Es hadlt sch u das Grzvrhalt vo ( x) ϕ ( x )/ für roß b azzahl Wrt vo ( x )/

5 ϕ Wr brch (x) ϕ (), wob : azzahl s uss, dat dr r dfrt st Da auch ( x )/ azzahl s uss, st x : x bfalls azzahl Für x > st (für x < a a aalo arutr) w x /4 x ϕ(x) ϕ x () x /4 l ± / ± x / Ldr bot a auf ds rt ur ussa übr rad Idzs llrds lfrt d darstllt rutato d wstlch Grud dafür, dass ϕ (x) ϕ() st, ud s st aschaulch vdt, dass d zu urad Idzs ϕ hör Folldr (x) d Kovrz cht stör ϕ () wrd x / 6 Quott dr stadardsrt Boalvrtlu für alls p Für p hat a ur uwstlch hr rbt: Es ht u p σ x q σ x ϕ ( x) σ p q, pσ x ϕ ud wr brch (x), wob p azzahl ϕ () s uss, dat dr r dfrt st Da auch pσ x azzahl s uss, st : σ x bfalls azzahl Für x > st ϕ (x) p p () ϕ q p ( p )! ( q )! p ( p )! ( q )! q Für roß lt ( q ) p q ( p ) q q, so dass a utr Vrwdu vo La d astrbt Grzaussa x p q ϕ q q (x) ϕ () x q p p p bot px / qx / x / Hald [998; S 3] schrbt übr ds Bws, dr Wstlch vo Spso (74) stat: Ths s th frst xplct proof of th approxato th ral cas, ad t s dd otworthy for ts splcty Hätt Spso so, w s hr schh st, vorab La solrt, wär s Bws och fachr word Ltratur Hald, [998]: hstory of athatcal statstcs fro 75 to 93 w Yor usw: Joh Wly Hz, [ 3 ]: Stochast für Estr Brauschw usw: Vw Vrla (Oral 997) Myr, J [4]: Schulah Bws zu ztral Grzwrtsatz Hldsh: Frazbcr Vrla utor Jör Myr Schäfrtrft Hal Eal: JMMyr@t-old q