Numerische Methoden in der Strömungstechnik

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1 Nmrsch Mthod dr Strömgstch WS 004/05 Dr.-Ig. Irs atl/dr.-ig. Fraco Magagato Fachgbt Strömgsmasch I. führg d Nmrsch Mthod CFD II. Grdglchg dr Strömgsmcha III. Dsrtsrg: Ft-Dffrz Mthod IV. Ft-Volm Mthod V. Lösgsalgorthm für statoär d statoär Strömg VI. Vrfahr dr omprssbl Navr-Stos Glchg VII. Vrfahr dr omprssbl Navr-Stos Glchg VIII. Fallbspl für tchsch wdg IX. Trblzmodllrg

2 Ltratr: Jol H. Frzgr, Mlova rc Comptatoal Mthods for Fld Dyamcs Sprgr-Vrlag, Brl Hdlbrg 999 d dto Ds Vorlsg.ppt: Lhr Vorlsg Nmrsch Mthod dr Strömgstch Scroll dow zm d dr St

3 I. führg d Nmrsch Mthod CFD I. Was st CFD? I. Möglcht d Grz vo CFD I.3 Modllbldg I.3. Gomtrschs Modll I.3. Mathmatschs Modll I.3.3 Nmrsch Mthod I.3.4 Gttrtyp I.4 Dsrtsrgsmthod I.4. gschaft vo mrsch Mthod I.4. Ft-Dffrz Mthod I.4.3 Ft-Volm Mthod I.4.4 Ft-lmt Mthod

4 Istatoär Strömg m Trbgttr Zströmg Zströmg Zströmg Isol dr Gschwdgtsompot Zströmgsrchtg

5 I. Was st CFD Comptatoal Fld Dyamcs? Idalsrg ds Strömgsprozsss Gomtr, Thrmodyam, Strömgsphys, Strömgsgbt, Radbdgg Nährg ds physalsch rozsss drch mrsch ppromato ftlg ds Strömgsgbts drch dlch groß Zll ahm s mst ost. Strömgszstads ρ,,t,p sw. r Zll Dsrtsrg ds mathmatsch Modlls Dffrtalglchg Glchgssystm Vorgab vo ggt Rad- d fagsbdgg Lös ds Glchgssystms mt r mrsch Mthod Übrprüfg dr Lösg af lasbltät swrtg dr rgbss

6 I. Möglcht d Grz vo CFD Utrschg vo schwr mssbar Strömg Brchg vor dr rototypfrtgg Brchg vo gfährlch Strömg ploso, Chmsch Rato Varato vo Strömgsparamtr R-, Ma-Zahl, Tmpratr sw. Gomtrvarato ö rlatv schll drchgführt wrd dtallrt blc das Strömgsgschh Lösg sd ppromato! thalt Idalsrg z.b. gomtrsch hys dr Trblz, ral Chm, Zwphasströmg, st sw. mß modllrt wrd Lösg wrd tratv rzgt, d.h. s thalt Kovrgzfhlr Sorgfältg Übrprüfg dr rgbss

7 I.3. Gomtrschs Modll Idalsrg dr ral Gomtr drch Bschräg af d wstlch, strömgsmchasch Mrmal ffüll vo schmal Spalt Glätt vo Sc, bsätz, Stf lmr vo Gomtrdtals z.b. Spgl bm tomobl Vrlr ds Strömgsgbts af Mmm Frfldrad b ßströmg ca. 0-0 Fahrzgläg Bschräg b Iströmg af adäqat Größ

8 fwad I.3. Mathmatschs Modll Komprssbl Navr-Stos-Glchg Iomprssbl Navr-Stos-Glchg Statoär Strömg Rbgsfr Strömg lr ottalströmg Drhgsfrht r 0 Schlchd Strömg Stos-Strömg Zwdmsoal Grzschchtströmg

9 I.3.3 Nmrsch Mthod Ft-Dffrz Mthod Ft-Volm Mthod Ft-lmt Mthod Wrd dsr Vorlsg tsvr bsproch Lattc Gas Gttr-Gas Mthod Sptralmthod Bodary lmt Rad-lmt Mthod al Mthod

10 I.3.4 Gttrtyp Kartssch Koordat Zyldroordat Kgloordat Orthogoal Rchgttr Krmmlg orthogoal Rchgttr Krmmlg cht-orthogoal Rchgttr Blocstrtrrt Rchgttr Ustrtrrt Rchgttr Hybrd Rchgttr

11 I.3.4. Blocstrtrrts Gttr Rchgttr m d ONR M6 Tragflügl

12 I.3.4. Ustrtrrts Gttr Rchgttr m das Kdctr dr Volswag G

13 I.4. gschaft vo mrsch Mthod Kosstz Stabltät Kovrgz La: KosstzStabltätKovrgz rhaltg Bschrätht Gagt bschrät drch: Modllfhlr Dsrtsrgsfhlr Kovrgzfhlr

14 I.4. Ft-Volm Mthod Basrt af dr tgral Form dr Trasportglchg typschs Kotrollvolm d d Notato für artsschs Ntz zw Dmso

15 I.4.3 Ft-Dffrz Mthod Basrt af dr dffrtll Form dr Trasportglchg typschs Kartsschs Gttr dr Ft-Dffrz Mthod für -D ob d -D t

16 I.4.4 Ft-lmt Mthod Basrt af dr gwchtt tgral Form dr Trasportglchg typschs Rchgttr für d Ft-lmt Mthod -D

17 II. Grdglchg dr Strömgsmcha II. II. II.3 II.4 II.5 II.6 Komprssbl Navr-Stos-Glchg Iomprssbl Navr-Stos-Glchg Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg mt chmsch Rato Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg für Mhrphasströmg Klassfato dr Trasportglchg

18 II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg tgralr Form. t V ρdv S r ρ r ds t ρ dv ρ ds T ds V S r r S r V ρg dv 5. t V ρdv S r ρ r ds S rr T ds S q r ds

19 II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg tgralr Form - Nomlatr. Kottätsglchg cotty Implsglchg für 3 Ramrchtg momtm 5. rgglchg rgy Ncht tratv z lös, abr zm bglch ötg: Zstadsglchg qato of stat

20 T p t ρ ρ T p q t ρ ρ T δ µ 3 T q λ γ ρ p 0 t ρ ρ II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg dffrtllr Form

21 g T p t ρ ρ µ ν ν T 0 II. Iomprssbl Navr-Stos-Glchg..-4.

22 T p t τ ρ ρ T p q t θ ρ ρ T δ µ 3 T q λ γ ρ p 0 t ρ ρ II.3 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg

23 II.4 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg mt chmsch Rato T p t τ ρ ρ T p q t θ ρ ρ M D Y t Y ω ρ ρ & T δ µ 3 Y D ργ K g h D T q λ K g h Y p ρ 0 t ρ ρ

24 II.5 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg für Mhrphasströmg M T,,, τ α α g p t ρ α α ρ α ρ α,,, p q t,,, α α ρ α ρ α S t, ρ α ρ α T,,, θ α α 0 S σ M M, σ

25 II.6 Klassfato dr Trasportglchg llgm Form dr Dffrtalglchg zwtr Ordg: a Φ b Φ y c Φ y d Φ Φ y fφ g 0 Hyprbolschr Charatr dr Strömg w b -4ac > 0 arabolschr Charatr dr Strömg w b -4ac 0 llptschr Charatr dr Strömg b -4ac < 0 Gmschtr Charatr w zw odr mhr Typ m Strömgsgbt voromm llptsch hyprbolsch parabolsch

26 III. Ft Dffrz Mthod III. III. III.3 III.4 III.5 III.6 III.7 III.8 führg Grdozpt ppromato dr bltg rst Grads ppromato dr bltg zwt Grads Implmtrg dr Radbdgg Das lgbrasch Glchgssystm Dsrtsrgsfhlr Bspl

27 III. führg d Ft Dffrz Mthod Trasportglchg hab all d glch Strtr Bsproch wrd dshalb grsch Trasportglchg mt ostat Koffzt Hr r m artssch Koordatsystm btrachtt ρ ρ t Γ q Istatoärr Trm Kovtostrm Dffsos- Trm Qlltrm

28 III. Grdozpt typschs Kartsschs Gttr dr Ft-Dffrz Mthod für -D ob d -D t lm 0

29 III. Grdozpt Rücwärts at Ztral Vorwärts Dfto dr rst bltg d dr ppromato

30 III.3 ppromato dr bltg rst Grads twclg r sttg d dffrzrbar Fto r Taylor-Rh: H! 3!! rstz vo drch odr - H 3 3 3!

31 Fortstzg III.3 rstz vo drch - : H 3 3 3! Vrwdg vo d - : H !

32 Fortstzg III.3 Utr Vrachlässgg dr bat bltg höhrr Ordg rgb sch: Rücwärtsdffrz Vorwärtsdffrz Ztraldffrz

33 Dr bbrchfhlr rgbt sch: Fortstzg III.3 ε τ m m α m α m... α wob α m höhr bltg vo mt r ε τ r Φ Ztraldffrz ε τ Φ Vorwärts-d Rücwärtsdffrz

34 Fortstzg III.3 Vrschd ppromato dr rst bltg: O O O Rücwärtsdffrz.Ord Vorwärtsdffrz.Ord Ztraldffrz.Ord O O O Rücwärtsdffrz 3.Ord Vorwärtsdffrz 3.Ord Ztraldffrz 4.Ord

35 III.4 ppromato dr bltg zwt Grads ppromato dr bltg zwt Grads für äqdstat Gttr: O O Ztral.Ord Ztral 4.Ord ppromato ds Dffsostrms drch Ztraldffrz: / / / / Γ Γ Γ Γ Γ

36 III.5 Implmtato dr Radbdgg Drchlt d Nma-Radbdgg wrd mst vrwdt: RB Drchlt Cost. Vorwärtsdffrz.Ord RB Nma Cost O Vorwärtsdffrz.Ord O Vorwärtsdffrz 3.Ord

37 III.6 Das lgbrasch Glchgssystm D Ft-Dffrz Mthod lfrt lars bzw. chtlars algbraschs Glchgssystm für lar chtlar DGl: p p l l l Q p l Koffzt, thalt gomtrsch Größ, Strömgsgschaft d, b chtlar Glchg, Lösgsvarabl p Lösgsvarabl Q p Qlltrm Rchgttr -D

38 III.6 Fortstzg FDM lfrt schwach bstzt Badmatr Strtr dr Koffztmatr für Füf-t-Dffrzstr

39 III.7 Dsrtsrgsfhlr rstz dr Dffrtalglchg drch Dffrzglchg lfrt bbrchfhlr τ h LΦ L h Φ τ h 0 D at Lösg h dr dsrtsrt Glchg af dm Gttr h gügt dr folgd Glchg: L h -Q h 0 Ds Lösg wcht vo dr at Lösg dr Dffrtalglchg m d Dsrtsrgsfhlr ε d h d Φ h ε h

40 III.7 Fortstzg ε d h p h α H Wob H dr tl dr höhr bltg st. α hägt vo dr bltg a dm tsprchd t d st abhägg vo dr Ntzwt h. p st d Ordg ds Schmas. p p Φ h αh H h αh H D Ordg d d Dsrtsrgsfhlr a ma mt folgd Forml brch: p h log h log 4h h ε d h h p h

41 III.8 Bspl Statoär -D Kovto-Dffsosglchg ρ Γ Radbd.: 0 b 0, l b L D at Lösg latt: / L 0 L 0 ρ L Γ

42 III.8 Fortstzg L <0 0 >0 0 0 L RB ds -D roblms d Lösg als Fto dr clt-zahl

43 III.8 Fortstzg Lösg für 50 mt Ztraldffrz d Gttrpt Lösg für 50 mt Upwddffrz d Gttrpt Ztraldffrz g z Oszllato, w d Zllpcltzahl z groß st Upwddffrz sd z dffsv w d Zllpcltzahl z groß st

44 III.8 Fortstzg Lösg für 50 mt Ztraldffrz d 4 Gttrpt Lösg für 50 mt Upwddffrz d 4 Gttrpt Ztraldffrz zg Oszllato mhr, w d Zllpcltzahl l gg st < Upwddffrz sd mmr och dffsv, ach w d Zllpcltzahl lr gwählt wrd

45 III.8 Fortstzg Mttlrr Fhlr für -D Bspl für 50 als Fto ds mttlr Gttrabstads

46 IV. Ft Volm Mthod IV. IV. IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 IV.7 führg ppromato dr Obrflächtgral ppromato dr Volmtgral Itrpolato dr Kovto- d Dffsosflüss Implmtato dr Radbdgg Das lgbrasch Glchgssystm Bspl

47 ρv ds IV. führg sgagspt für FVM st d Itgralform dr rhaltgsglchg Im Ggsatz zr FDM dfrt hrb das Rchgttr d Kotrollvolmrädr d cht d Brchgsot Γgrad ds S S Ω q dω Zllmttlptschma wrd am mst vrwdt Zllcptschma

48 IV. ppromato dr Obrflächtgral Dr Nttoflß drch d KV-Rädr st d Smm dr Itgral übr d vr m -D bzw. schs m 3-D KV-Fläch S fds S fds Kotrollvolm d d tsprchd Notato für D-artsschs Gttr

49 IV. Fortstzg Kotrollvolm d d tsprchd Notato für 3-D-artsschs Gttr Um dr rhaltgsform z güg, dürf d Kotrollvolma sch cht übrlapp odr Hohlräm thalt D ppromato dr Obrflächtgral mfasst zw Stf: Das Itgral wrd mt dm Varablwrt a r odr mhrr Stll af dr Radfläch appromrt Dr Radflächwrt wrd drch d Kotwrt dr Zllmtt appromrt

50 IV. Fortstzg fachst ppromato st d Itgrato mt dr Mttlptsrgl: F S fds f S f S.Ordg ga wtr ppromato st d Itgrato mt dr Trapzrgl: F S fds S f f s.ordg ga ppromato 4. Ordg rhält ma mt dr Smpsosch Rgl: F S fds 4 S 6 f f f s 4.Ordg ga

51 IV.3 ppromato dr Volmtgral D Qlltrm rfordr d Itgrato übr das Volm D fachst ppromato rhält ma wdr mt dr Mttlptsrgl: Q qdω q Ω q Ω Ω.Ordg ga ppromato höhrr Ordg rhält ma tr Vrwdg mhrrr t rhalb ds Kotrollvolms. Im -D z.b.: y Q s w 4 s sw 36 6q 4q 4q 4q q q q q q w 4.Ordg ga

52 IV.4 Itrpolato dr Kovtos- d Dffsosflüss Um d Flüss a d Radfläch brch z ö, müss d Brchgsgröß drch d Kotptwrt agährt wrd Vrwdt ma r t, so t ma ds Upwdschma Vrwdt ma zw t, so t ma ds Ztraldffrzschma Vrwdt ma dr t, so t ma ds Qadratschs Upwdschma Vrwdt ma mhr als dr t, so t ma ds Schma höhrr Ordg IV.4. Upwd-Schma Das Upwdschma st.ordg ga. s st dm Vorwärts- bzw. Rücwärtsdffrzvrfahr.Ordg dr FDM äqvalt. v v > < 0 0.Ordg ga

53 IV.4. Upwd-Schma Upwd-Schma st mrsch dffsv. D Taylorrhtwclg m d t p für : H 0 > v bbrchfhlr st proportoal zr. bltg. Ma t h dahr mrsch, üstlch odr falsch Dffso. D mrsch Dffso st b mhrdmsoal roblm och größr, wl zsätzlch zr Dffso Strömgsrchtg och dg Normalrchtg hzommt Das Upwd-Schma rfordrt shr f Gttr, m arat Lösg z rhalt d f Γ m Γ ρ

54 IV.4. Ztral-Dffrz-Schma Bm Ztral-Dffrz-Schma appromrt ma d Wrt a dr Zllfläch drch lar Itrpolato dr bd ächst Nachbar: λ λ bbrchfhlr st. Ordg ga. λ H λ λ D ahm r lar Vrtlg dr Wrt zwsch d führt z r fachr ppromato dr bltg d Dffsosflüss:.Ordg ga

55 IV.4.3 Qadratschs Upwd-Schma QUICK Für qadratsch Itrpolato ds Radwrts bötgt ma dr t. Ds wrd so gwählt, dass s Stromafrchtg zw t d wtr t stromab gwählt wrd: < > W g g g g H W Das Schma st 3.Ordg ga für äqdstat d cht äqdstat Gttr: W W g W W W g 3 g 4 g

56 IV.5 Implmtato dr Radbdgg d hysalsch Rädr mss ma b dr FVM Flüss vorgb. twdr gbt ma s drt vor, w bat z.b. Mass- bzw. Wärmflüss Odr s müss drch Kombato drch Radwrt d r Strömgswrt brcht wrd Üblchrws gbt ma folgd Radbdgg vor: d Wäd sd Massflüss z Nll gstzt, Wärmflüss wrd vorgb adabat Wad wrd Wärmflss z Nll strömrädr wrd Gschwdgt,Tmpratr d Drüc gstzt sströmrädr wrd Gschwdgt d Tmpratr mst trapolrt, dr Drc wrd gstzt Symmtrrädr wrd all Flüss ormal zm Rad Nll gstzt

57 IV.6 Das lgbrasch Glchgssystm Das rsltrd lgbrasch Glchgssystm glcht dm dr Ft Dffrzmthod.

58 IV.7 Bspl -D Kovtos- d Dffsosproblm mt ggbm Gschwdgtsfld d y -y: ρv ds Γgrad S S ds Mt folgd Radbdgg: 0 am strömrad Nord Lar Varato vo 0 b y bs b y0 am wstlch Rad Symmtrbdgg am südlch Rad Gradt0 am östlch strttsrad D Kovtv Flüss wrd mt dm Upwd- d dm Ztraldffrzvrfahr dsrtsrt

59 IV.7 Fortstzg Dr ovtvr Flss stzt sch zsamm as dm Massflss d dm mttlr Wrt vo hr am Rad dsrtsrt : S c m ds v F ρ & Dsr Flss wrd w folgt dsrtsrt: CDS m m UDS m m F c λ λ & & & &,0 m,0 ma Dr dffsvr Flss wrd mt dr Mttlptsrgl d Ztraldffrz appromrt: y y ds grad F S d Γ Γ Γ

60 IV.7 Fortstzg D Lösg für vrschd Wrt vo Γ sh w folgt as: Isol vo für Γ0.0 ls d Γ0.00 rchts:

61 IV.7 Fortstzg Kovrgz ds Totalflsss drch d wstlch Wad ls d ds Fhlrs dm brcht Flss als Fto dr Ntzwt rchts:

62 V. Lösgsalgorthm für lar Glchgssystm V. Drt Mthod V. Itratv Mthod V.. Uvollstädg LU-Zrlgg V.. DI-Mthod V.. Rg-Ktta-Mthod V..3 Mhrgttrmthod V.3 Gopplt Glchgssystm V.4 Nchtlar Glchg V.5 Mthod für statoär roblm V.5. Zwschrttvrfahr V.5. Mhrschrttvrfahr V.5.3 Implzt Vrfahr

63 V. Drt Mthod Gaßschs lmatosvrfahr LU-Zrlgg Thomas lgorthms D Drt Mthod ö przpll für blbg vollbstzt Matrz vrwdt wrd. S lfr at Lösg. Sd abr cht ffzt. Dr fwad z Lösg s Glchgssystm st proportoal z 3 bm Gaßsch Vrfahr d proportoal z b dr LU- Zrlgg. 5.. Gaßschs lmatosvrfahr: lmrg dr tr Drcslmt drch Mltplato dr rst Zl dr Matr mt / d Sbtrato mt dr zwt Zl. M M M L L O L M U L M 0 M 0 M 0 L O L M

64 V.. LU-Zrlgg B dr LU-Zrlgg wrd d voll Matr tr lowr Drcsmatr L d obr ppr Drcsmatr U zrlgt LU. U LY Y Q Vortl dr LU-Zrlgg ggübr Gaßsch lmatosvrfahr st das d Fatorsrg oh d Kts ds Vtors Q drchgführt wrd a. Dr fwad st proportoal. Nachtlg st das dss Vrfahr, ga w das Gaßsch lmatosvrfahr, cht paralllsrt odr vtorsrt wrd a. br Varat dsr LU-Zrlgg g sch gt für tratv Vrfahr

65 V..3 Thomas lgorthms W d Matr d Form r trdagoal Badmatr hat strg gomm r b -dmsoal roblm da st das Gaßsch lmatosvrfahr shr ffzt proportoal z d fach. W * * W Q Q Q Q * Dss Vrfahr wrd m aglsächssch Sprachram ach Trdagoal Matr lgorthm TDM gat. g tratv Lösgsvrfahr tz ds Vortl ds Vrfahrs drch Rdto ds roblms s mt Trdagoalstrtr. W Q

66 V. Itratv Mthod D Matr st b Strömgsproblm ldr cht schwach bstzt. Dahr g sch d drt Mthod am für dr Lösg. Darübr has st dr Dsrtsrgsfhlr üblchrws vl größr als dr Rdgsfhlr drch d Comptrarchttr. Ds macht d Lösg vo Strömgsproblm drch Itratv Mthod svoll. Hrb wrd agährt faglösg ach d ach drch vrbssrt Zwschlösg rstzt, bs sch d Lösg cht mhr ädrt. Q ρ hrb ρ Rsdm Dr Kovrgzfhlr ε ε Zwc ds Itratosprozsss st das Rsdm gg Nll gh z lass. Daz a ma tratvs Schma folgdrmaß schrb: M N B ρ

67 V. Fortstzg Da b Kovrgz st, folgt daras: M N B Q M B M N Damt tratvs Schma fftv st, mss d Ivrtrg dr Matr M d d Brchg vo N fach s. Das hßt d Matr M sollt dagoal, trdagoal, bloctrdagoal odr drcsform hab. Für gt Kovrgzgschaft sollt M gt ppromato vo s.

68 Kovrgz: V. Fortstzg Da b Kovrgz st, folgt daras für das tratv Vrfahr: M N Sbtrato dsr Glchg vo dr Glchg b dr -t Itrato lfrt: M ε Nε B odr ε M Nε Itratvs Vrfahr ovrgrt w lm ε 0. Ds hägt b lar Glchgssystm vo d gwrt d d gvtor dr Itratosmatr M - N ab.s sd w folgt dfrt: M NΨ λ Ψ,,...,K, wob K d Zahl dr Glchg st

69 V. Fortstzg Dr fagsfhlr st da: Dr Itratosprozss lfrt da: K a 0 ψ ε Drch vollstädg Idto a ma da lcht zg, das dr Kovrgzfhlr ε : Ψ K K a a N M N M 0 λ ψ ε ε K a ψ λ ε Damt das tratv Vrfahr ovrgrt, müss all gwrt lr s s.

70 V. Fortstzg Dr Kovrgzfhlr wrd ach r zahl vo Itrato drch d größt gwrt domrt. Wr woll h λ Sptralrads : ε ~ a λ Ψ W Kovrgz dfrt wrd als d Rdto ds Kovrgzfhlrs trhalb r Schra δ, da fordr wr: a λ δ Da a ma ach dr bötgt zahl vo Itrato aflös: δ l a l λ Ma rt, dass d Kovrgzrat lr wrd wrd größr ähr sch λ s ährt.

71 V. Fortstzg fachs Bspl für Glchg zgt: a b Löst ma ds Glchg mt m tratv Vrfahr pitratoszählr: m p p b Da rhält ma für d Kovrgzfhlr ε: ε p ε m p Ma rt, dass dr Kovrgzfhlr schllr lr wrd lr das Vrhälts /m wrd.

72 V. Fortstzg D fachst Mthod für tratvs Vrfahr st d Jacob Mthod. Hrb appromrt ma d Matr M drch Dagoalmatr mt d Dagoallmt vo. ls Bspl wrd hr d Laplacglchg mt Ztraldffrz dargstllt: N N W W S S p Q Ds Mthod st shr lagsam d wrd dahr dsr Form cht vrwdt. Varat davo wrd als SOR-Vrfahr sccssv ovr-rlaato bzcht. Ds st vl ffztr. Dr Rlaatosfator ω bstmmt d Kovrgzrat. s gbt mmr optmals ω wlchs für ggbs roblm d Kovrgzrat mmrt. Ldr a ma h cht a pror bstmm. N N W W S S p Q ω ω

73 V.. Uvollstädg LU-Zrlgg SI D LU-Zrlgg st allgmgültg Mthod abr s tzt d schwach Bstzg dr Matrz cht as. W ma abr gt ppromato M dr Matr fdt, da rhält ma gts tratvs Vrfahr: M LU N D Mthod ach Sto, gat Strogly Implct rocdr SI zrlgt d Matr vollstädg L- d U-Matr. Dab wrd all lmt vo wlch Nll sd, a d tsprchd Stll dr L- d U-Matr ach z Nll gstzt. Schmatsch Darstllg dr Matrz L d U d das rodt M: Dagoallmt wlch cht dr Matr voromm sd gptt dargstllt.

74 V.. DI-Mthod wt vrbrtt Vorghsws zr Lösg vo statoär,llptsch odr hyprbolsch roblm st d rwtrg dr Glchg mt m statoär Trm. B dsm da parabolsch roblm fällt dr Zsatztrm m asovrgrt Zstad hras, d ma rhält d Lösg ds sgagsproblm. Wll ma z.b. d Laplacglchg lös, so wrd ds da folgdrmaß gschrb: N mss ma d Ztabltg z.b. mt r Vorwärtsdffrz dr Zt dsrtsr. Btzt ma das Cra-Ncolso-Vrfahr so rgbt sch: Γ y t Γ y y t δ δ δ δ δ δ δ δ,,, δ δ Wob folgd bürzg vrwdt wrd:,,, y y δ δ

75 V.. Fortstzg Stllt ma ds Glchg m, so sht ma das folgds Glchgssystm glöst wrd mss: Γ Γ Γ Γ Γ 4 y t y t t y t t δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ y t t δ δ δ δ Γ Γ * Wl glt, st dr ltzt Trm proportoal t 3 d a vrachlässgt wrd. Dr Rst a da zw fachr Glchg fatorsrt wrd d drch d ffzt Thomas-Mthod brcht wrd. t t / * δ δ δ δ Γ Γ t y t

76 V..3 Rg-Ktta-Mthod D lasssch Rg-Ktta-Mthod st Mhrschrttmthod für statoär roblm. Jamso t al. hab s dahgg modfzrt, m s ach für statoär roblm vrwd z ö. Daz hab s d Stabltät ds Vrfahrs af Kost dr Gagt rhöht. Z.B. für d Laplacglchg: R y t Γ m m m m R t R t R t,,, 0,,, 0,, 0, 0,,, 0, α α α Ω Ω Ω M

77 V..3 Fortstzg Drch stz s Kompl satzs d Lösgsvarabl d Forraalys a ma d Stabltät ds Vrfahrs trsch. Z ω D Stabltät hägt vo d Koffzt α d dr zahl dr Itratosschrtt m ab. D Stabltät st m so größr, größr dr Imagärtl sch b R0 rstrct. Ω ω Stabltätsbrch dr ompl Zahlb für d lasssch,plzt RK- Mthod.

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