Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 2, SS

Transkript

1 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Komplx Zahl Dr kürst Wg wsch w Wahrht m Rll führt übr das Komplx. [Jacus Hadamard, fra. Mathmatkr, ] Am Afag stad w so oft b wssschaftlch Etdckug d Nchtlösbarkt s Problms. D Nchtlösbarkt bstmmtr algbraschr Glchug hatt scho vorhr oft ur schrttws Erwtrug usrs Zahlbgrffs gführt: x + = 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x = 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x = /5 x = 0 cht lösbar Q, führt auf R. x x + = 0 cht lösbar R. x??? D komplx Zahl rlaub s, solch Glchug ud w wr sh wrd auch all algbrasch Glchug u lös... Dfto ud Darstllug komplxr Zahl Ausghd vo dr Glchug x 0 bw. x führ wr formal d Lösug x,. Df D -: magär Eht D magär Eht wrd durch dfrt. D Rchgst um Wurlh dürf NICHT allgm auf gatv Zahl übrtrag wrd: Bspl ur Warug:??? ( )( )???? RICHTIG: Mt als Symbol rch, für das glt, NICHT durch rst. Amrkug: I dr Elktrotchk wählt ma auch oft j als Bchr für d magär Eht, damt ma cht mt dm Symbol für d Strom (I, ) Koflkt kommt. Df D - Das Produkt b magär ud komplx Zahl b b r rll Zahl b mt dr magär Eht, hßt magär Zahl. ) D Summ r rll Zahl a ud r magär Zahl b st komplx Zahl: a b a hßt Raltl, b Imagärtl vo : ) D komplx Zahl R( ) a, Im() b. * a b hßt d u kojugrt-komplx Zahl. W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 79

2 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS ) D Mg C { a b;a, b R} hßt Mg dr komplx Zahl. Am.: D magär Zahl =b löst d Glchug = b, d (b)(b) = b = b. Bspl komplxr Zahl:, 5 7,, jd rll Zahl (s.u.). Df D - Rch mt komplx Zahl Für komplx Zahl =a +b ud =a +b glt d folgd Rchoprato: ) Glchht: a a b b ) Addto: a a (b b ) ) Multplkato: a a b b a b a b Bgrüdug Vorlsug! Für d komplx Addto ud Multplkato glt w für d rll Zahl das Kommutatvgst, das Assoatvgst ud das Dstrbutvgst (Bws durch Nachrch!) Mt komplx Zahl, dr Imagärtl 0 st, wrd w mt rll Zahl grcht: (a (a 0) (a 0) (a 0) (a 0) (a a a ) 0 ) 0 S lass sch dahr mt d rll Zahl dtfr; ma läßt 0 wg ud schrbt kur a statt a 0. I dsm S st R Tlmg vo C. Sat S - Btrag ) Das Produkt r komplx Zahl mt hrr kojugrt-komplx Zahl * st r rll: (a b)(a b) a b (ab ab) a b ) D Wurl aus dsm Produkt t ma d Btrag dr komplx Zahl: a b W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 80

3 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Sat S - Subtrakto ud Dvso komplxr Zahl Für komplx Zahl =a +b ud =a +b glt: ) Es gbt C gau utrals Elmt dr Addto: 0 0, für das glt: C ) Zu jdr Zahl C gbt s gau vrss Elmt dr Addto = a b, für das glt: + ( ) =. Utr dr Subtrakto vrstht ma d Addto mt dm vrs Elmt: (a a ) (b b ) ) Es gbt C gau utrals Elmt dr Multplkato: E 0, für das glt: E C 4) Zu jdr Zahl C, 0+0, gbt s gau vrss Elmt dr Multplkato a b, für das glt: E. a Dvso: b a a a b b a b a b 0 b b a Bws Vorlsug! [odr Stgl, S. 09f] Sat S - Mrkrgl Subtrakto ud Dvso Für komplx Zahl =a +b ud =a +b glt: ) Zw komplx Zahl wrd subtrahrt, dm ma hr Ral- ud Imagärtl subtrahrt: (a a ) (b b ) ) Um durch komplx Zahl 0 u dvdr, muss ma d Bruch mt hrr kojugrt-komplx Zahl rwtr, damt dr Nr rll wrd (k mhr thält): * * Mrkrgl für Dvso wrd Vorlsug vorgrcht. Übug: Brch S ( )? 4? 4?.. Gaußsch Zahlb W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 8

4 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Da komplx Zahl durch d Agab wr rllr Zahl dutg fstglgt wrd, lass sch d komplx Zahl d Pukt dr Eb, d.h. ds Vktorraums R uord: x yp() (x, y) D tsprchd graphsch Darstllug hßt Gaußsch Zahlb odr komplx Eb: Im() y r = x + y x R() I Aalog u d Polarkoordat ka d komplx Zahl Läg ds Pfls ud Wkl dargstllt wrd. Mt Hlf dr Trasformatosglchug: rgbt sch: x r cos,y r s x y r cos s x y auch durch d Mt Hlf dr Eulrsch Forml läßt sch ds Darstllug och bträchtlch vrfach: Sat S -4 Eulrsch Forml Für jd rll Zahl glt: cos s. Bws Vorlsug. Mt dsr Forml folgt d sogat Expotalform: r mt r x y ud ta = y x Df D -4: Darstllugsform komplxr Zahl. Algbrasch odr kartssch Form x y x R() y Im(). Trgoomtrsch Form W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 8

5 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS rcos s mt r R() Im(), ta Im() R(). Expotalform r r hßt Btrag, hßt Phas (odr Argumt odr Wkl) vo. Bd Form. ud. t ma auch Polarform. Amrkug:. Mt dm Wkl st auch k für jds gaahlg k Phas vo, d.h. d Phas st prodsch mt dr Prod. Isbsodr glt 0. Dr sog. Hauptwrt dr Phas lgt vor, w ], ].. Jd komplx Zahl hat R d Btrag (d Läg). 4. D Umrchug Polarform kartssch Form st fach: Eulrsch Forml but, Ral- ud Imagärtl ausrch. 5. B dr Umrchug kartssch Form Polarform muss ma b dr Ermttlug dr Phas aufpass. Ma rhält Abhäggkt vom Quadrat: y. odr 4. Quadrat: arcta x. odr. Quadrat: arcta I Vorlsug wrd d Forml für d. Quadrat (y>0, x<0) hrgltt [Papula, Bd., S. 00] y x I vl Programmbblothk (C, C++, Java, Matlab) st ds umfassdr Dfto ds Arcus Tags übr ata(y,x) ]-,] vrfügbar, d glch d obg Fallutrschdug macht: Bspl: ) x R(), y Im() Da dr Raltl gatv ud dr Imagärtl postv st, lgt d Zahl m. Quadrat. Für Btrag ud Phas folgt: o r 4 4, arcta 0 4 cos s o W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 8

6 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS ) 5 / 6 x R() cos(5 / 6).5, y Im() s(5 / 6).598 Übug: Rch S vo = x + y wdr urück auf r ud. Sat S -5 Für d Multplkato ud Dvso wr komplxr Zahl r, r dr Expotalform glt: r r Zw komplx Zahl wrd multplrt, dm ma d Bträg multplrt ud d Phas addrt. r r Zw komplx Zahl wrd dvdrt, dm ma d Bträg dvdrt ud d Phas subtrahrt. Bws durch Nachrch mt trgoomtrschr Form >> Hausaufgab. Amrkug:. Efach Mrkrgl: "Wd auf d üblch Potgst a!".. I dr trgoomtrsch Form rgb sch d aalog Rgl durch Awdug dr Eulrsch Forml.. Aus dr Expotalform dr Multplkato tmmt ma, daß d Multplkato mt r komplx Zahl gomtrsch r Strckug um d Btrag dr Zahl ud r Drhug um d Phaswkl tsprcht, ds t ma auch Drhstrckug. Java-Applt ur Drhstrckug: GUIComplxPla.htm.lk... Schwgug als komplx Zahl Drht ma d Zgr r komplx Zahl A A um d Ursprug, so lässt sch t ( t ) das durch (t) A A bschrb. Vo dr St btrachtt sh wr d Imagärtl y(t), dr susförmg Schwgug bschrbt. (Es glt (t)=x(t)+y(t).) Mt (t) lässt sch vlfach bssr rch als mt y(t). Z.B. ka ma (t) gfahrlos d Nr schrb, d s wrd Null (!), m Ggsat u y(t). E oft buttr Trck: Rll Fukto durch komplx Erwtrug rst, damt rch, um Schluss vom Ergbs ur d Raltl hm. Ist b vl Problm dr Elktrotchk ud dr Quatmchak fachr als r rll Rchug. (Wr rr a Hadamard: Dr kürst Wg wsch w Wahrht m Rll führt übr das Komplx.) Zw Zgr lass sch komplx addr, ud hlf so, komplrtr Schwgugsphäom darustll: W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 84

7 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS (t) A (t) A ω t ω 4A t A t 8ωt (t) (t) (t).. Pot komplxr Zahl bdutt " mal mal ". I dr Expotaldarstllug Aufgab ur Motvato: bdutt "mal", dass ma d Phas addr muss, d Bträg multplr. Btracht S also komplx Zahl vom Btrag. D Pot vo hab also auch d Btrag (klar?) Übrlg S graphsch m Zgrdagramm: Für wlch Phas glt, wa also addr sch glch Phas u Gsamtphas 0? Zch S d Zgr dr Gauss'sch Zahlb! W sht's aus für 4, für?... Pot mt rll Expot Zur Brchug vo Pot, Wurl ud Logarthm wrd d Expotalform mt k sämtlch Phas bötgt, d.h. r. Wd wr u d aus dr rll Rchug bkat Gst aalogr Ws a, kö Pot w folgt brcht wrd: c k c c ckc r r D Brückschtgug dr Prod st otwdg, da ma all Fäll d c k atürlch Zahl st, mhr als Lösug rhält. Gomtrsch hab all Pot d glch Btrag. D Spt dr ughörg Pfl lg all auf m Krs vom Radus c r. D Phas (bw. Wkl) utrschd sch um c. Spalfäll.) c st ga Zahl. Da st kc k wdr gaahlgs Vlfachs vo ud all Wkl fall usamm. I dsm Fall gbt s ur Lösug: r Bspl Vorlsug W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 85

8 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Dr achfolgd Sat lfrt kompakt Zusammfassug vlr trgoomtrschr Addtosthorm: Sat S -6 (Sat vo Movr) cos s cos s Bw: folgt drkt aus d Potrchrgl ud dr Eulrsch Forml (Sat S -4). Übug: But S d Sat vo Movr, um d Addtosthorm für cos() ud s() hrult. Übug: Lt S d "ormal" Addtosthorm cos( ) coscos s s s( ) s cos coss aus dr Eulrsch Forml (Sat S -4) hr. Lösug d Übug..) c st dr Khrwrt r ga Zahl : c. Wr woll also d -t Wurl r k komplx Zahl bstmm: r. All Wurl lg auf m Krs mt dm Radus r. Ihr Wkl utrschd sch jwls um. Ma rhält für k 0,,,...( ) sgsamt vrschd Lösug, d für k = rgbt sch wdr d Lösug u k = 0. Bspl: Bstmmug dr drtt Wurl dr Zahl : 0,, 0 k k cos s cos4 s , k 0,, Übug: Zch S d komplx Zahl 0, ud dr komplx Zahlb. Wlch Wkl Grad schlß s mt dr x-achs? D Glchug f (a) a 0 bstt also komplx Lösug für a. W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 86

9 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS p.) c st ratoal Zahl. Wr kö ahm, dass c mt tlrfrmd Zahl p ud st. I dsm Fall rgät ma ach dm p-potr Faktor k ud s rgb sch vrschd Lösug: c r p p r p r pk p p k k c r c mt k 0,,..,( ) Bspl: k 5 k' 5 k' mt k 0,, 4.) c st rratoal Zahl. I dsm Fall st k gaahlgs Vlfachs vo c ga Zahl, dahr st für k gaahlgs k d Größ kc Vlfachs vo. Es gbt c dahr udlch vl Lösug, d all auf dm Krs mt dm Radus r lg.... Fudamtalsat dr Algbra W wr.) gsh hab, bstt d Glchug glt sogar wstlch mhr: a also komplx Lösug. Es Sat S -7 Fudamtalsat dr Algbra E algbrasch Glchug -t Grads (N) P () a a... a a0 0 W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 87

10 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS mt komplx Kofft a j bstt dr Mg C dr komplx Zahl gau "Lösug",,..., d.h. das Polyom P läßt sch w folgt Larfaktor rlg: P () a... Amrkug:. D,,... müss cht all vrschd s, dshalb "Lösug" Aführugsstrch.. Dsr Sat gt, dass mach Dg m Komplx fachr sd! Für rlls Polyom ka s k,, w,..., vl Lösug gb (d.h. vl lästg Fallutrschdug sd u bacht). Im Komplx gbt s mmr Larfaktor.. Folgrug: Jds Polyom P () mt hat mdsts C als Lösug. 4. Dr Sat st fach aufuschrb, abr xtrm schwr u bws. Bspl: Das Polyom P ( ) rfällt d rll Zahl offschtlch cht Larfaktor, da d Glchug 4 0 k rll Lösug hat. I d komplx Zahl läßt sch P w folgt rlg: 4 ( )( )( ) P () 4 4 Übug: Wlch, C lös d Glchug (4 ) Bstmm S d Lösug mt dr Mthod dr uadratsch Ergäug. Braucht ma ach N Z Q R C och größr Zahlkörpr als C? N, d d komplx Zahl C bld "algbrasch abgschloss" Körpr. D dr Fudamtalsat dr Algbra bsagt: "Jds Polyom mt komplx Kofft ud Grad größr 0 hat Nullstll C." Mt adr Wort: Währd s b d adr Zahlkörpr mmr och Polyomglchug übr dm Zahlkörpr gab, d cht lösbar war, gbt s jtt solch Glchug cht mhr: x + = 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x = 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x = /5 x = 0 cht lösbar Q, führt auf R. x x + = 0 cht lösbar R, führt auf C. x a x + a - x a 0 =0 lösbar C für all a C (!!) W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 88

11 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Wso komplx Zahl "schö" sd: Awdugsfall Fraktal D Natur st komplx, d.h. vlgstaltg. Dr Msch vrsucht s durch möglchst fach Gst u bschrb. Mt dm vo Bot Madlbrot gführt Bgrff dr Fraktal hab d Mathmatkr twas twcklt, was aus fach Gst rstaulch komplx Mustr hrvorbrgt. E wchtg Roll spl dab d komplx Zahl. Btracht S d fach Rkurso 0 c mt,c C 0 Jtt stll wr ur d fach Frag: Für wlch c blbt d Folg bschräkt? 6 Ma mag rwart, dass rgd glatts Gbt dr komplx Eb d Atwort st. D Atwort st abr wstlch komplxr ud führt auf d Madlbrot-Mg, d auch utr dm Nam "Apflmäch" bkat st. Das Gbt st am Rad rfrast, mmr wdr tauch kovrgt Isl m dvrgt Mr auf ud vor allm: Das Mustr st slbstählch, d.h. s thält a vl Stll ählch vrklrtr Kop sr slbst. (Java-Applt vo oomfähg. Rot: für ds c blbt Folg bschräkt; adr Farb: für ds c sprgt d Folg mhr odr wgr schll jd Schrak) Slbstählch Struktur fd sch auch a vl Stll dr Natur: Far, Schflock, DNA-Faltug,... Nb dr ästhtsch Schöht dr fraktal Struktur hat hr mathmatsch Modllrug also vor allm Zwck: u vrsth, w ma komplx Systm aus fach Gst bschrb ka. (Das muss cht mmr mt komplx Zahl gschh, abr s vrfach oft das Lb ugm.) Iformatk-Awdugsfall Bldkomprsso: Bldr lass sch xtrm komprmr, w ma s aus fach "fraktal Bldugsgst" kostrur ka >> Itrrt Fuktosystm (IFS) 6 Das bdutt d mst Fäll: Wo kovrgrt d Folg? W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 89

12 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Fat: Komplx Zahl Wou sd komplx Zahl gut?. Mt h lass sch vorhr ulösbar Glchug w = - lös. Währd ma vorhr ( d rll Zahl) b algbrasch Glchug umstädlch Fallutrschdug "hat k//mhrr Lösug" mach musst, glt jtt (m Körpr dr komplx Zahl) htlch dr Fudamtalsat dr Algbra (Sat S -7): E Glchug. Grads läßt sch gau Larfaktor rlg (hat gau Lösug).. D Gaußsch Zahlb gbt aschaulch Vorstllug vo komplx r Zahl als Vktor. D altratv Polar- odr Expotaldarstllug r komplx Zahl rlaubt fachs Multplr ud Potr.. D Eulrsch Forml cos s st dr wchtgst Forml dr mathmatsch Physk. Mt hr lass sch Schwgugsphäom (s- ud cos-fukto) kompakt schrb übr. Mt läßt sch vl fachr rch (Multplkato odr Potr durch Addto bw. Multplkato m Expot vl fachr als trgoomtrsch Addtosthorm!). Ma darf durch mmr dvdr, was b cos a d Nullstll cht rlaubt wär. a. Awdugsfall: Wchslstrombhug dr Elktrotchk gauso abr auch b adr Schwgugsphäom. 4. Wtrs Awdugsgbt (darauf komm wr spätr och) a. Fourrrh ud Fourrtrasformato; auch hr wrd d Brchug durch wstlch lchtr. D Fourrtrasformato splt dr für d tchsch Iformatk wchtg Sgalvrarbtug ud dr Bldvrarbtug groß Roll. b. Lös vo Dffrtalglchug (DGL): Mt dm Asat t, C, lass sch vrschd Typ vo DGLs gschloss lös..5.. Whr to go from hr Vrtfugsmöglchkt: W S mhr übr komplx Zahl lr woll ud wss woll, was ma och mt komplx Zahl mach ka: o o Lös komplrtr Itgral m Rll durch d "Umwg" übr d Gaußsch Zahlb Lös vo lar Dffrtalglchug übr Asat x(t) ( t) r(t). o Wchslstrombhug dr Elktrotchk [Stgl, S. 56-6] o Fraktal: schö Eführug [Schrodr94] ud schö Bldr [PtgR86] o IFS (Itrrt Fuktosystm) ur Bldkomprsso: [Barsly88] o Apflmäch Java programmr: W. Ko ZD-MathSS-xt.docx St 90