Funktionen Graphen lesen. x Anzahl SMS y Kosten in 9 9,25 9,5 9, ,25 10,5 10, ,25 11,5

Transkript

1 Geräte-Leihgebühr / Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang IV 3-A,C SMS Die Graphik im Bild erzählt, wie viel ein SMS-Betrieb am Handy kosten kann. Können Sie erkennen, welche Grundgebühr anfällt? Wie groß ist die SMS-Gebühr? Funktionen Graphen lesen y..kosten in x..anzahl SMS Möglicher Lösungsweg Sie lesen die eingezeichneten Punkte ab und fertigen eine Tabelle an: x Anzahl SMS y Kosten in 9 9,25 9,5 9, ,25 10,5 10, ,25 11,5 Das Ablesen der Grundgebühr ist einfach: kein SMS x = 0, y = 9 Die Grundgebühr für den Handybetrieb beträgt 9. Ferner kann man erkennen, dass jedes SMS 0,25 kostet. IV 3-A,C Gerät ausleihen a) Wie hoch ist die Grundgebühr? b) Wie viel kostet das Gerät in 4, 8 und 10 Stunden? c) Wie lange kann man sich das Gerät für 45, 65 und 75 ausleihen? Stundenanzahl a) Grundgebühr: 6 b) 4 h.30, 8 h 54, 10h 66 c) 45 ca.6 ½ h, 65 ca. 9 ½ h, 75 ca. 11 ½ h 1

2 y = Kosten in y = Temperatur in C Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang IV 3-A,C Temperaturverlauf x= Tages-Uhrzeit a) Was können Sie dem Diagramm entnehmen? b) Warum sind hier die Punkte mit einer Linie verbunden? c) Zu welcher Tageszeit ist die Temperatur am tiefsten und wann am höchsten? d) Welcher Jahreszeit könnte die Graphik in Österreich entsprechen? a) Die Kurve gibt den Temperaturverlauf eines Tages von 0 Uhr bis 24 Uhr in Abständen von 2 Stunden wieder. b) Die Temperatur verändert sich nicht ruckweise sondern kontinuierlich. c) Um 14 h ist die höchste Temperatur (26 ), die tiefste um 4 h (15 ) d) Mitte August, jedenfalls Sommer oder ein warmes Frühjahr oder warmer Herbst. IV 3-A,C Telefonieren x= Gesprächminuten, Inland a) Wie hoch ist die Grundgebühr? b) Wie viel kosten 200, 400, 500 Gesprächsminuten? c) Wie viel Minuten wurden monatlich insgesamt telefoniert, wenn die Telefonrechnung 45, 32, 25 beträgt? a) Die Grundgebühr beträgt 16 b) 200 Minuten kosten 12, , c) Rechnung mit 45 ca. 460 Minuten, 32 ca. 270 Minuten, Minuten 2

3 verzinstes Kapital in Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang IV 3-A,B,C, D Geldanlage 260,0 250,0 240,0 230,0 220,0 210,0 200,0 190,0 180,0 170,0 160,0 150,0 140,0 130,0 120,0 110,0 100,0 90, Jahre Kapital, bei dem die Zinsen nicht entnommen werden, sondern jährlich weiter verzinst werden, vermehrt sich in der Art des gegebenen Graphen. a) Wie viel Geld wurde eingelegt? b) Wie hoch ist der Zinsgewinn nach 10 Jahren? c) Können Sie herausfinden, wie hoch der Prozentsatz wäre? Diskutieren Sie, ob das Ergebnis mit den aktuellen Anlagemöglichkeiten realisierbar wäre. a) 100 b) Ablesung: nach 10 Jahren 260, Zinsgewinn 160 c) Kapital nach einem Jahr: ca.110, das bedeutet einen Zuwachs um ca. 10 %. Ein hohes Zinsniveau wird bei einigen Fonds geboten, bei normalen Spareinlagen sicher nicht. (Vielleicht kennen Sie die Formel für den Geldzuwachs: K n = K o ( 1+p/100) n Setzt man in diese Formel ein: K n = 260, n =10 und K o = 100, dann ergibt sich der Prozentsatz genauer zu 10,02%) IV 3-C,D Verkehrstote In einer Tageszeitung wird folgendes Diagramm dargestellt: a) In welchem Jahr gab es die meisten Verkehrstoten und in welchem Jahr die wenigsten. b) Wie ist die langfristige Entwicklung und worauf ist sie Ihrer Meinung nach zurückzuführen? c) Warum ist die Darstellung nicht korrekt? 3

4 Preis in Preis in Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang a) Im Jahr 2000 Maximum, 2007 Minimum b) Sinkend, mögliche Gründe: Punkteführerschein, mehr Geschwindigkeitsbeschränkungen, technische Verbesserungen bei Sicherheitseinrichtungen in Autos c) Richtig wäre ein Punktediagramm, weil ein diskreter und kein kontinuierlicher Verlauf vorliegt, da für jedes Jahr nur ein Wert bekannt ist. IV 3-A,D Die Post Welcher der folgenden Graphen a) c) passt zum gegebenen Text: Die österreichische Post verlangt für die Beförderung von Briefen einen gestaffelten Tarif: Für Briefe bis 20 g werden 0,55, bis 50 g 0,75, bis 100 g 1, bis 350 g 1,25, bis 500g 1, 75 verlangt. Begründen Sie Ihre Entscheidung! a) b) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 c) 1 0,8 0,6 0,4 0, Gramm 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Gramm b) Es ist der Tarif treppenförmig und nicht kontinuierlich steigend. bei b sollen die Grenzen genau eingezeichnet werde: 50g, 200 g, 350g 500 g jeweils noch auf der unteren Stufe 4

5 IV 3-C,D Durchschnittseinkommen Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Die Graphik zeigt die Entwicklung des Durchschnittseinkommens der Arbeitnehmer, Zahl der Arbeitslosen, Teilarbeitsplätze und Inflationsrate für den Zeitraum von 4 Jahren. Welche Aussagen stimmen nicht? Begründen Sie! a) Im Laufe der 4 Jahre ändert sich das Durchschnittseinkommen nur wenig b) Die Teilarbeitsplätze fallen von c) Die Arbeitslosigkeit hat 2007 ihren Höhepunkt d) Teilarbeitsplätze und Inflation entwickeln sich fast parallel. e) Die Inflationsrate bleibt 2007 und 2008 relativ stabil. a) stimmt, b) stimmt nicht, fallend bis Beginn 2008, dann steigt Kurve wieder c) stimmt nicht, höchste Arbeitslosenzahl 2008 d) Stimmt trendmäßig ungefähr e) stimmt IV 3-C,D Temperaturverlauf Die folgende Abbildung zeigt den Temperaturverlauf in der Atmosphäre. Begründen Sie, weshalb diese Abbildung nicht den Graphen einer Funktion darstellt. Bei dieser Aufgabe werden einer bestimmten Temperatur, zb. 0 C mehrere Höhen zugeordnet Widerspruch zur Definition einer Funktion. Es liegt eine Relation vor. 5

6 IV 3C,D Sportlerpuls Die Pulskurve eines Sportlers, der im Gelände (bergab, bergauf) gelaufen ist sieht folgendermaßen aus. a) Wie lange war er unterwegs? b) Was waren seine höchsten Pulswerte? c) Was sind die niedrigsten Werte während der Aktivität (Beginn und Ende zählen nicht)? d) In welchen Bereichen ist er hauptsächlich gelaufen? e) Was kann man über die Stecke sagen? Wo ging es eher bergauf, wo eher bergab? f) Wie ist die Strecke zwischen der ca Minute verlaufen, als die Pulswerte konstant bei ca. 160 waren? (steil, bergab, bergauf, eben,..) Begründen Sie Ihre Antwort. a) 50 Minuten b) 170 / Minute c) Nach ca. 30 Min. zwei Phasen bei einem Puls von ca. 120 Schlägen. d) Ca. zwischen 120 und 160. e) Beim Aufstieg der Kurve: Beginn einer Steigung oder Geschwindigkeitszuwachs. Beim Abstieg der Kurve: bergab. Gerader Verlauf: gleichmäßige Steigung/ gleichmäßiges Gefälle, nicht zwangsweise in der Ebene. f) Wahrscheinlich gleichmäßig eher steil bergauf (dabei bleibt der Puls relativ konstant) 6

7 IV 3A,C Gerade und Formel Funktionsgleichungen Welche der angegebenen Formeln ergibt graphisch eine Gerade? Begründen Sie! 1. y = kx +d 2. y = kx² + 2d 3. y = d +2x 4. y = 2kx +d 5. y = d + 2k/x 1., 2. und 3. sind richtig. 1., 3. und 4. sind richtig. Alle sind richtig. 1. und 3. sind richtig. 4. und 5. sind richtig. Mögliche Lösung: 1,3, und 4 sind richtig IV 3-C,D Funktionsterm zuordnen Ordnen Sie die Graphen 1-4 den richtigen Funktionstermen a) d) zu. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung a) y = 2-2,5x b) y = 0,5 + x c) y = 1 0,5x d) y = ,5x Möglicher Lösungsweg 1 und a): Durchgang auf y-achse bei 2 und negative Steigung -2,5 2 und b): Durchgang auf y-achse bei 0,5 und positive Steigung 1 3 und d): Durchgang auf y-achse bei -3 und positive Steigung 2,5 4 und c): Durchgang auf y-achse bei 1 und negative Steigung -0,5 7

8 IV 3A,B,C,D Graph und Text, passen sie zusammen? Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen mit der Graphik übereinstimmen und welche nicht. Der Definitionsbereich entspricht jeweils den positiven Werten. a) Für den Druck eines Plakates werden in einer Druckerei pro Plakat 9 verlangt. Zusätzlich werden 1,2 pro Plakat für das Stecken der Druckplatte verrechnet. b) Eine junge Frau möchte für ein Fest Namensanstecker bestellen. Die Kosten dafür betragen 1,2 pro Anstecker und 9 Liefergebühr. c) Für eine Lieferung Frühlingsblumen bezahlt eine Gemeinde 9 pro Pflanze, für die Lieferung kommt ein Pauschalbetrag von 1,2 dazu d) Ein Pizzalieferant berechnet pro Pizza einen Betrag von 9, für die Lieferung verlangt er 1,2. e) Die Grundgebühr eines Handyanbieters beträgt 9, für jede Telefonminute wird zusätzlich 1,2 verrechnet. a) passt nicht, wäre: 9x + 1,2x b) passt c) passt nicht, wäre: 9x + 1,2 d) passt nicht, wäre: 9x + 1,2 e) passt 8

9 IV 3-A Was ist eine Funktion, was nicht? Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Handelt es sich bei folgenden Zuordnungen um Funktionen? Begründen Sie die Antworten! a) Den SchülerInnen einer Klasse werden die Katalognummern zugeordnet. b) Den SchülerInnen einer Klasse werden die jeweils gewählten Freigegenstände zugeordnet. c) Den natürlichen Zahlen werden ihre Teiler zugeordnet. d) Der Zeit nach dem Fallenlassen einer Kugel wir die momentane Höhe zugeordnet. e) Den Sitzplätzen im Theater wird der Preis für die Karte zugeordnet. a) Funktion: jeder/m SchülerIn wird ein eindeutiger Wert (Katalognummer) zugeordnet b) Keine Funktion, weil jede/r SchülerIn mehrere Freigegenstände wählen kann. c) Keine Funktion, weil vielen natürlichen Zahlen mehrere Teiler zugeordnet werden. d) Funktion, weil zu jedem Zeitpunkt eine eindeutige Höhe zugeordnet werden kann. e) Funktion, weil jeder Sitzplatz einen eindeutigen Preis hat. IV 3A,B,C Funktionsdarstellung Es sind folgende drei Wertetabellen gegeben: a) Bei welcher Tabelle könnte eine lineare Funktion vorliegen? b) Begründen Sie Ihre Entscheidung! c) Geben Sie die Funktionsgleichungen an, wo es möglich ist! d) Was fällt bzgl. f(x) und h(x) auf? e) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) über D = {0; 1; 2; 3; 4;} und über D = [-4; 4]! f(x): g(x): h(x): x y x y x y Mögliche Lösung: a) Bei f(x) und h(x) könnte eine lineare Funktion vorliegen. Bei g(x) liegt keine lineare Funktion vor. b) Ich lege durch zwei Punkte eine Gerade und wenn die restlichen Punkte auf dieser Geraden liegen, dann könnte es sich um eine lineare Funktion handeln. Dies trifft bei f(x) und h(x) zu. Bei g(x) ist dies nicht möglich. c) f(x) = k x + d 8 = k 0 + d => d = 8 14 = k 3 + d 14 = 3k = 3k : 3 k = 2 f(x) = 2x + 8

10 h(x) = k x + d -1 = k (-3) + d 5 = k 0 + d => d = 5-1 = -3k = -3k : (-3) k = 2 h(x) = 2x + 5 d) f(x) und h(x) sind parallel, sie haben die gleiche Steigung. e) f( x) x IV 3-A,B,C Lineare Funktion. 1) In der Zeichnung ist eine lineare Funktion dargestellt. Kennzeichnen Sie die Größen k und d, lesen Sie ihren Wert ab und geben Sie die Gleichung der linearen Funktion an. 2 Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an: Je größer die Steigung, umso steiler verläuft die Gerade. Je größer die Steigung, umso flacher verläuft die Gerade. Die Steigung ist der Quotient von Höhenunterschied zur waagrechten Entfernung. Die Steigung ist der Quotient von waagrechter Entfernung zum Höhenunterschied. In der Gleichung einer linearen Funktion wird mit d der x Achsenabschnitt bezeichnet. In der Gleichung einer linearen Funktion wird mit d der y Achsenabschnitt bezeichnet k = 2, d = 1, y = 2x + 1 Richtige Aussagen: Je größer die Steigung, umso steiler verläuft die Gerade. Die Steigung ist der Quotient von Höhenunterschied zur waagrechten Entfernung. In der Gleichung einer linearen Funktion wird mit d der y Achsenabschnitt bezeichnet 10

11 IV 3-A,C Spezielle lineare Funktion Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade. Wie verläuft eine Gerade, wenn in der Funktionsgleichung a) k = 0 b) d = 0 ist? Skizzieren Sie jeweils eine Gerade für Teil a) bzw. Teil b): Bei k = 0 Gerade ist parallel zur x-achse, bei d= 0 geht die Gerade durch den Ursprung. Bsp: f: y = 4 und g: y = 4x IV 3-A, C Parallele Geraden Parallele Geraden erkennt man daran, dass ihre Funktionsgleichungen... Gegeben sind vier Geradengleichungen: g 1 : y = 3x 5 g 2 : 2y = 6x 5 g 3 : 5y = 15x + 30 g 4 : 2y = 6x + 10 Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an: g 1 g 3 g 2 g 4 g 1 g 2 g 1 g 4 Parallele Geraden erkennt man daran, dass ihre Funktionsgleichungen das gleiche k haben. g 1 g 3 g 1 g 2 IV 3-A, C Punkte Gegeben sind die Punkte P 1 (7;6), P 2 (9;4), P 3 (1;5) a) Überprüfen Sie graphisch, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen. b) Berechnen Sie die Steigung zwischen P 1 und P 2, bzw. P 2 und P 3 und interpretieren Sie das Ergebnis. a) Liegen nicht auf einer Geraden! b) k(p1,p2) =2/-2 = -1 k(p2,p3) =-1/8 11

12 IV 3- A,B,C Die Normale a) Lesen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Funktion f ab. b) Beantworten Sie grafisch und rechnerisch die beiden Fragen f(-2) =? und f(x) = -2, x =?. c) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch die Gleichung jener Geraden g, die zur Geraden f normal ist und durch den Koordinatenursprung geht. a) y-achsenabschnitt d = 1 Die Steigung k ist 1/4, weil 4 nach rechts und 1 hinunter, also 1 f(x) x 1 4 b) f( 2) =? und f(x) = 2, x =?. 1 1 f( 2) ( 2) 1 0,5 f(x) = 2 x = Normale: y = 4x 12

13 IV 3-A, C k und d zuordnen a) Geben Sie für die dargestellten linearen Funktionen an, welche Bedingungen für die Parameter k und d jeweils gelten müssen (Füge ein: >, <, = ) g 1 : k 0 d 0 g 2 : k 0 d 0 g 3 : k 0 d 0 g 4 : k 0 d 0 b) Entscheiden Sie, welche der oben dargestellten Funktionen die nachfolgende reale Situation abbildet und geben Sie die Bedeutung von k und d in diesem Zusammenhang an Ein voller Tanklastwagen wird entladen. Pro Sekunde wird immer dieselbe Menge an Öl abgelassen. a) g1: k > 0 d =0 g2: k = 0 d > 0 g3: k < 0 d < 0 g4: k < 0 d > 0 b) g 4 bildet das ab, y = 200 0,5x x Zeit in Sekunden, 200 Liter sind im Wagen in einer Sekunde wird 0,5 Liter abgelassen y = verbleibendes Öl im Wagen 13

14 IV 3A,B,C,D Geschwindigkeit Bei gleich bleibender Geschwindigkeit kann der zurückgelegte Weg berechnet werden mit der Formel: Weg = Geschwindigkeit mal Zeit s = v. t a) Erstellen Sie ein Zeit-Weg-Diagramm für eine Geschwindigkeit von 50 km/h und von 75 km/h. Wie beeinflusst die Geschwindigkeit das Bild der Funktion? b) Wie verändert sich der zurückgelegte Weg, wenn die Geschwindigkeit sich verdoppelt? O Er bleibt gleich O Er wird verdoppelt O Er wird halbiert O Er wird größer c) Jemand möchte in derselben Zeit die dreifache Wegstrecke zurücklegen. Wie muss er die Geschwindigkeit wählen? a) Der Anstieg der Geraden gibt die Geschwindigkeit wieder, daher ist s 2 steiler, k = 75! b) Er wird verdoppelt. c) Er muss 3 mal schneller sein. v 2 = 3. v 1 IV 3A,B Farbe Eine Malerfirma verlangt für das Mischen der Farbe für eine Hausfassade eine Grundgebühr von 35, die Kosten für jeweils ein Liter Farbe betragen 1,50. Geben Sie eine Gleichung für die Gesamtkosten an, wenn a Liter Farbe benötigt werden! y = 1,5 a + 35 y = Kosten a= Farbmenge in Liter 14

15 IV 3-A,B,C,D Rolltreppen Rolltreppen bewegen sich in Österreich in Flughäfen mit 2,34 km/h, in Kaufhäusern mit 1,8 km/h. In Asien wird generell mit 2,7 km/h gefahren, damit mehr Menschen transportiert werden können. Mit Höchsttempo, fast 2,8 km/h, fahren die Treppen der Moskauer Metro. Die nach t Minuten zurückgelegten Strecken s(t) in Meter werden durch folgende Gleichungen angegeben: 2340 sflughafen t skaufhaus t sasien t smoskau t 60 a) Berechnen Sie für alle vier Funktionen die Dauer für eine Strecke von 100m. Geben Sie die Zeitunterschiede in Sekunden und die prozentuellen Zeitunterschiede - bezogen auf die kürzeste Zeit - an und stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle dar. b) Formulieren Sie vergleichende Antwortsätze in der Form Während eine Rolltreppe in einem Flughafen für 100m c) Formulieren Sie Antworten zu: i) s Flughafen (10) =? und ii) s Flughafen (t=?) = 200 d) Ordnen Sie den nachstehenden Graphen die Funktionsgleichungen zu. 15

16 a) Flughafen: 100 = 39t Kaufhaus: 100 = 30t Asien: 100 = 45t Moskau: 100 = 46, t t = 2,56 min = 153,85 Sekunden t =3, min = 200 Sekunden t = 2, min = 133, Sekunden t = 2,14 min = 128,57 Sekunden...kürzeste Zeit Dauer für 100m absoluter Unterschied relativer Unterschied in Minuten in Sekunden in Prozent Flughafen-Rolltreppe 2,56 25,27 19, Kaufhaus-Rolltreppe 3, 71,43 55,56 Rolltreppe in Asien 2, 4,76 3,7 Rolltreppe in Moskau 2,14 b) Während die Rolltreppe in einem Flughafen für 100m 2 Minuten 33,85 Sekunden braucht, braucht sie für diese Strecke in einem Kaufhaus 3 Minuten 20 Sekunden, in Asien 2 Minuten 13, Sekunden, in der Moskauer Metro nur 2 Minuten 8,57 Sekunden. Die Rolltreppe in der Moskauer Metro ist somit 25,27 Sekunden schneller als in einem Flughafen, 1 Minuten 11,43 Sekunden schneller als in einem Kaufhaus und 4,76 Sekunden schneller als in Asien. In Moskau ist die Rolltreppe somit um 19, % schneller als in einem Flughafen, 55,56 % schneller als in einem Kaufhaus und um 3,7 % schneller als in Asien. c) s Flufhafen (10) = = 390 m s Flughafen (t) = = 39t t = 5,13 min In einem Flughafen fährt die Rolltreppe in einer Zeit von 10 Minuten eine Strecke von 390 m, für 200m braucht die Rolltreppe 5,13 Minuten. d) Reihenfolge von oben nach unten: oberste: Moskau Asien Flughafen unterste: Kaufhaus 16

17 Herstellungskosten / Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang IV 3-A,B,C Internetzugang Die monatliche Grundgebühr eines Internetzuganges bei Anbieter A beträgt 12 Euro. Eine Sekunde Online-Zeit kostet 0,00035 Cent. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung f der Kosten, abhängig von der Online-Zeit auf. Begründen Sie das Ansteigen der Geraden. b) Berechnen Sie die Gesamtkosten für 17,5h Onlinezeit! c) Berechnen Sie, wie lange man für 50 Euro online sein kann! a.) Die vorgegebene Größe ist die Zeit; Einheit Minuten. Die abhängige Größe sind die Kosten K in Euro, die eine Funktion der Zeit t sind: K = f(t) = 0,021t + 12 b.) 17,5 h = 17,5 60 = 1050 min. Gesucht sind die Kosten für 1050 min, also f(1050): f(1050) = 0, = 34,05 Euro. c.)gesucht ist dasjenige t, für das die Kosten f(t)=50 Euro betragen: f(t) = 0,021t + 12 = 50 t = 30h 9min 31s IV 3-A,C Produktion Was lässt sich alles aus dem Diagramm ablesen? Produktionsmenge / Stück Es gibt zwischen den Herstellungskosten und der Produktionsmenge einen linearen Zusammenhang, je mehr produziert wird, desto mehr stiegen die Kosten. pro 100 Stück um 125. Die Fixkosten betragen Die Funktionsgleichung mit x Produktionsmenge, y Herstellungskosten y = 1,25 x

18 IV 3-A,C,D Text erfinden Betrachten Sie folgende Diagramme! a) Überlegen Sie zu jedem Diagramm eine passende Problemstellung aus dem alltäglichen Leben und formulieren Sie je ein Textbeispiel. b) Ergänzen Sie die Diagramme mit den für Ihre Texte entsprechenden Achsenbeschriftungen. c) Gibt es ein Zahlenpaar, welches in beiden Diagrammen vorkommt? d) Können Sie Fragestellung c auf Ihre Beispiele sinnvoll anwenden? Begründen Sie! e) Nennen Sie je eine Funktionsgleichung, welche diese Zahlenpaare beinhaltet. Diagramm 1: Diagramm 2: 18

19 Mögliche Lösungswege: a.)diagramm 1) Samuel geht ins Schwimmbad. Der Eintritt kostet 2. Weiters möchte er sich Süßigkeiten kaufen, welche jeweils 25 Cent kosten. Erstelle eine Kostenfunktion für Samuels Schwimmbadaufenthalt. Diagramm 2) Emilia geht in ein Geschäft und kauft Schokolade. Eine Tafel kostet 0,5. Wie viel muss Emilia bezahlen, wenn sie eine, zwei, drei, Tafeln kauft? Erstelle eine Kostenfunktion. b.) Achsenbeschriftung: D1: 1. Achse: Anzahl Süßigkeiten 2. Achse: D2: 1. Achse: Anzahl Tafel Schokoladen 2. Achse: c.) Ja : ( 4/8) d.) Ja kann ich, weil ich vergleichen kann, wie viel Geld von beiden ausgegeben wird. e.) Samuel: f(x) = 0,25 x + 2 Emilia : f(x) = 0,5 x IV 3A,B, C,D Handyvertrag Melanie möchte einen Handyvertrag abschließen. Sie überlegt, ob sie den Tarif Two oder den Tarif Two Young wählen soll. Preise in Two Two Young Grundgebühr / 5,00 10,00 Monat Gespräch/Minute 0,20 0,10 a) Bei welcher monatlichen Gesprächszeit sind die beiden Tarife gleich? Stellen Sie den Sachverhalt in einer Gleichung dar! b) Stellen Sie den Graph in einem geeigneten Intervall dar! c) Diskutieren Sie in welchem Bereich Two oder Two Young günstiger ist! d) Sie sollen Ihre Freundin beraten: Sie wird pro Monat 40 Minuten (ohne Freiminuten) telefonieren. Für welches Angebot soll sie sich entscheiden und wie groß ist ihre Ersparnis? Dokumentieren Sie alle Rechenschritte! a) 5 + 0,2 x = ,1 x x = 50 c) Unter 50 min ist Two günstiger. Über 50 min ist Two Young günstiger d) Für die Freundin ist Angebot Two um 1 günstiger. 19

20 IV 3-B,C Handytarife Interpretieren Sie die folgende Grafik hinsichtlich: a) Beschreiben Sie die Funktionen mittels einer Funktionsgleichung! b) Welche der beiden Funktionen hat eine Grundgebühr? Wie viel? c) Bei wie vielen Gesprächsminuten/Monat sind die Tarife gleichwertig? d) Die Schülerin X telefoniert im Schnitt 170 min. pro Monat. Welcher Tarif kann ihr empfohlen werden? e) Der Schüler Y telefoniert im Schnitt nur 100 min. pro Monat. Welchen Tarif kann man ihm empfehlen? f) Bei wie vielen Gesprächsminuten/Monat ist Tarif A bzw. Tarif B günstiger? g) Sind Handytarife generell als lineare Funktion darstellbar? (Tipp: Taktung) Lösung a) Tarif A: y = 0,05x + 10; Tarif B: y = 0,12x b) Tarif A hat eine Grundgebühr von 10 Euro, erkennbar an d = 10. c) 0,05x + 10 = 0,12x x = 142,86 Die Tarife sind bei 142,86 Gesprächsminuten gleichwertig. d) f A (170)=0, = 18,5 f B (170 = 0, = 20,4 Für die Schülerin X wird Tarif A empfohlen. e) f A (100) = 0, = 15 f B (100) = 0, = 12 Für den Schüler Y wird Tarif B empfohlen. f) Erkennbar aus Aufgabe c! Bis 143 Minuten ist Tarif B günstiger, telefoniert man jedoch mehr als 143 Minuten pro Monat, so sollte man Tarif A wählen. g) Nein. Minuten werden in 1-Minuten-Taktung, bzw. in 0,5-Minuten-Taktung abgerechnet, was einer sogenannten Treppenfunktion entsprechen würde. 20

21 IV 3B,C,D Tarif nach Telefonierverhalten Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Herr Muster möchte für sich, die Großmutter und seinen Sohn Sebastian neue Handys besorgen. Erfahrungsgemäß telefoniert Sohn Sebastian durchschnittlich häufig. Der Vater benutzt das Handy sowohl privat als auch beruflich sehr intensiv, während die Großmutter ihr Handy nur im Notfall verwendet. Es drei verschiedene Telefontarife zur Auswahl: (A) keine Grundgebühr; Gesprächsgebühr: 4,9 Cent pro Minute (B) Grundgebühr: 9,90.- ; Gesprächsgebühr: 2,9 Cent pro Minute (C) Grundgebühr: 19,90 ; Gesprächsgebühr: 1,9 Cent pro Minute a) Welchen Tarif würden Sie spontan welcher Person zuordnen? Begründen Sie Ihre Entscheidung. b) Beschreiben Sie die einzelnen Tarife mit Hilfe einer Formel. c) Der Vater beobachtet das Telefonierverhalten von Sebastian einen Monat lang und stellt eine Gesprächsdauer von 10 Stunden fest. Berechnen Sie, welchen Tarif er für seinen Sohn wählen soll! d) Berechnen Sie, ab welcher monatlichen Gesprächsdauer der Tarif am günstigsten ist. e) Stellen Sie den Verlauf der einzelnen Tarife graphisch dar. a)a) Großmutter, sie telefoniert selten und kurz, daher wird sie relativ billig ohne Grundgebühr wegkommen. B) Sebastian telefoniert oft, kleine Grundgebühr und mittlere Kosten pro Minute C) Vater, falls er mehr telefoniert als Sebastian und wahrscheinlich länger, dann ist die teuerste Grundgebühr sinnvoll und die billigsten Minutentarife b) x... Minuten, f(x)... Kosten in (A) f(x)=0,049x (B) g(x)=0,029x + 9,9 (C) h(x)=0,019x + 19,9 c) f(600)=29,4 g(600)=27.3 h(600)=31.3 d) Wann sind (B) und (C) gleichwertig: 0.029x = x > ab 1000 Minuten (Kosten: 38.9 ) ist Tarif (C) günstiger. e) 21

22 IV 3-A,D Richtiger Tarif Welche Funktion beschreibt welchem Mobiltelefontarif? Ordnen Sie zu! 1 A Carina zahlt keine Grundgebühr und in alle Netze dieselbe Gesprächsgebühr. 2 B Fabian hat eine Wertkarte von der der Minutentarif abgezogen wird. 3 C Alex hat eine Flatrate. Egal wie viel er telefoniert, er zahlt immer denselben Fixbetrag. 4 D Sabine zahlt eine Grundgebühr und in alle Netzen dieselbe Gesprächsgebühr. Lösung: 1-D, 2-C, 3-A, 4-B IV 3-A,BC E-Werk Zwei Elektrizitätswerke A, B haben folgende Konditionen: A: Grundgebühr G 1 = 10.-, Preis k 1 /kwh = 0,08 B: keine Grundgebühr, Preis k 2 /kwh = 0,4 R Rechnung a) Stellen Sie eine Wertetabelle für R A und R B (0, 10, 20, 30, 40, 50 kwh) auf! b) Stellen Sie Funktionsterme für R A und R B auf! (R = k. x + G) c) Zeichnen Sie die Graphen der Rechnungsbeträge! d) Was lässt sich aus der Zeichnung ablesen? e) Bei welchem Verbrauch sind die monatlichen Gesamtkosten gleich? f) Wie hoch sind die Kosten im Fall e) Gruppenbildung: Jede Gruppe teilt sich in Befürworter und Gegner des grafischen Lösens! Schreiben Sie jeweils die besten Argumente auf! a) c) RA RB , , , , b) RA: y = 10+0,08x RB: y = 0,4x d) Bis 30 kwh ist Werk A teurer, ab 30 kwh ist A zunehmend günstiger. Beide Werke haben bei ca. 30 kwh gleiche Gesamtkosten von ca. 12 / kwh. e) Beide Werke haben bei genau: 10+0,08x =0,4x x= 31,25 kwh gleiche Gesamtkosten f) 12,5 Argumente: Grafisch ist anschaulich, aber ungenau usw 22

23 IV 3 A,B,C,D Autovermietung In der Graphik werden die Tarife von 2 Autovermietern A und B dargestellt. a) Erklären Sie an Hand der Zeichnung welcher Autovermieter unter welchen Bedingungen günstiger ist. b) Bei wie viel km sind die Tarife gleich? c) Ermitteln Sie die Gleichungen und überprüfen Sie Ihre Annahme durch eine Rechnung. d) Für ein dreitägiges Wochenende bieten A und B einen Sondertarif an, 20% Ermäßigung auf die Tagesgebühr. a) ab 501 km Anbieter A günstiger. b)gleicher Preis bei 500km, c) A: y= 200, B: y = 150 in D = [100,300] und y = ,25x für x>100 Überprüfung: ,25x = 200 x=125/0,25 = 500 d) Für 3 Tage: A: B: , ,25 = B günstiger 23

24 IV 3-A, B Reisebudget Der Leiter einer Kulturreise hat anfänglich ein Budget von 1000,- für Trinkgelder, Parkplatzgebühren und sonstigen kleineren Ausgaben zur Verfügung. Er verbraucht im Schnitt pro Tag 100,-. a) Geben Sie eine Formel für den Restbetrag f(x) am Ende des x-ten Urlaubstages an! b) Stellen Sie diese Funktion grafisch dar! c) Am Anfang des 6. Tages erhält der Leiter noch weitere 400,-, wie ändert sich dadurch der Funktionsgraph? Möglicher Lösungsweg a) f(x) = x b) f(x)= x c) f(x)

25 IV 3A,B,D Bewegung Die Formel v = a. t + v 0 beschreibt die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit t, wenn ein Fahrzeug beschleunigt bzw. bremst (a ist die Beschleunigung, t ist die Zeit und v 0 die Anfangsgeschwindigkeit). a) Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet: f: y = kx+d Welche Variablen der beiden Gleichungen entsprechen einander? b) Ordnen Sie den Fahrten laut Grafik (siehe unten) die richtigen Gleichungen zu: v(t) = 10 4t v(t) = 2t + 10 v(t) = 3t +10 Eine Gleichung fehlt: Stellen Sie diese durch Ablesen aus der Graphik selbst auf! c) Beschreiben Sie anhand des Verlaufs der einzelnen Graphen das Fahrverhalten der Fahrer (1) bis (4). d) Welcher Fahrer beschleunigt am stärksten? Begründen Sie Ihre Behauptung. e) Welcher Fahrer kommt nach welcher Fahrzeit zum Stillstand? f) Inwieweit stößt die Darstellung dieses Sachverhaltes (Zeit Geschwindigkeit) durch eine lineare Funktion eventuell an Grenzen? a) d = v o, k = a, x = t, y = v b) 10-4t 1 2t+10 2, 3t+10 3, 2t+15 4 c) 1. fährt mit 10 m/s und bremst ab mit 4m/s². 2. fährt mit 10 m/s und beschleunigt mit 2m/s². 3. fährt mit 10m/s und beschleunigt mit 3m/s². 4. fährt mit 15 m/s und beschleunigt mit 2m/s² d) Am stärksten beschleunigt 1, er bremst mit 4m/s². e) 1 kommt nach 2,5 s zum Stillstand: Nullstelle: 10-4t = 0 t = 10/4 = 2,5s f) Das Auto kann nur in kurzen Abschnitten gleichmäßig beschleunigen! 25

26 IV 3-A,B,C,D Kinoeintritt In einem Salzburger Kino gelten folgende Eintrittspreise: Einzeleintrittskarte 6,00 Ermäßigte Eintrittskarte zu 4,00 (Mitgliedsbeitrag 10) Wie oft muss man jährlich das Kino besuchen, damit sich die Mitgliedschaft gegenüber der Einzeleintrittskarte rentiert? a) Welche der Graphiken beschreibt den Sachverhalt? Begründen Sie Ihre Entscheidung! b) Beschreiben Sie den Unterschied von homogener zu inhomogener linearer Funktion und nehmen Sie auf das Beispiel Bezug. c) Lesen Sie aus der Graphik das Ergebnis ab und erläutern Sie ob eine Mitgliedschaft Ihrer Meinung nach sinnvoll ist! Abb.1 Abb.2 Abb.3 26

27 Mögliche Lösung: a) Abb.3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Die Funktion (Einzeleintritt 6,00) geht durch den Ursprung, da man nur bezahlt, wenn man das Kino besucht. Die Funktion (Mitgliedsbeitrag) beginnt beim y-wert 10 und steigt flacher als die andere Funktion. b) Homogene Funktion: y=kx; Die Funktion Einzeleintritt ist eine homogene lineare Funktion, sie geht durch den Ursprung. y=6x Inhomogene Funktion: y=kx+d; Die Funktion Mitgliedsbeitrag ist eine inhomogene lineare Funktion und beginnt bei y=10. y=4x+10 c) Ab dem sechsten Kinobesuch zahlt sich eine Mitgliedschaft aus. Das ist sinnvoll, da ich im Jahr ungefähr zehn Mal ins Kino gehe. 27