Mathematik Formelheft

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1 Matematik Formeleft Formelammlung für die Realcule au den Bereicen Aritmetik Geometrie Algebra Maße Hinwei: Diee Seiten enttanden im Laufe vieler Unterrictjare. Sie ind nict nac Temen oder Kapiteln geordnet. Für eine erfolgreice Suce im PDF-Reader Ctrl + F verwenden. Toma Bigler Dezember 2018

2 Algebra: Einface Gleicungen Gleicung Eine Gleicung it ein matematicer Audruck, der au zwei Termen betet, die durc ein Gleiceitzeicen verbunden ind. Beipiele: 4 + x = 13 Löung x = 9 4 = x 2 Löung x = 6 x² + 4x 5 = 0 Löung x1 = 1; x2 = 5 Gleicwertige Gleicungen Gleicungen, welce die gleicen Löungen aben, eißen «gleicwertig». Beipiele: 2x + 9 = x x + 18 = x x = 2x + 6 x = 3 Gleicungen löen Eine Gleicung löen eißt, ie durc gleicwertige einfacere Gleicungen eretzen, bi man in der einfacten Gleicung (z. B. x = -3) die Löung erkennen kann («x aupacken.»). Beipiel: 9x + 12 = 3x 6 6x +12 = 6 6x = -18 x = -3-3x -12 :6 Zur nacträglicen Kontrolle kann man in jeder Umformung den gefundenen Wert für x einetzen. Der Wert der beiden Terme it immer gleic groß die Gleicung verält ic wie eine Hängewaage. Beim Löen der Gleicung ind folgende 6 Umformungen (Äquivalenzumformungen) erlaubt: I. Addition Zu beiden Termen wird dieelbe Zal oder derelbe Term addiert. x 4 = 10 x = II. Subtraktion Von beiden Termen wird dieelbe Zal oder derelbe Term ubtraiert. x +7 = 11 x = 4 7 III. Multiplikation Beide Terme werden mit derelben Zal oder demelben Term multipliziert. Diee Zal oder dieer Term darf nict Null ein. x/3 = 2 x = 6 3 IV. Diviion Beide Terme werden durc dieelbe Zal oder durc denelben Term dividiert. Diee Zal oder dieer Term darf nict Null ein. 8x = 24 x = 3 :8 V. Kerwert Von beiden Termen wird der Kerwert (Reziprokwert) genommen. 2x = 10 1 / 2x = 1 / 10 VI. Umformung Alle gültigen Umformungen (vereinfacen, auklammern, aumultiplizieren) an Termen ind möglic. 2(x + 4) = 22 2x + 8 = 22 ARI-Einface_Gleicungen.odt

3 Algebra: Binomice Formeln E gibt drei Binomice Formeln: 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a b)² = a² 2ab + b² 3. (a + b) (a b) = a² b² II + V = (a + b) (a b) I + V = (a + b) (a b), weil I = II I + V = a 2 b 2, weil I + III + V = a 2 un d III = b 2 Beipiele: (4x + 3y) 2 = (4x) x 3y + (3y) 2 = 16x xy + 9y 2 (4x 3y) 2 = (4x) 2 2 4x 3y + (3y) 2 = 16x 2 24 xy + 9y 2 (4x + 3y) (4x 3y) 2 = (4x) 2 + 4x (3y) + 3y 4x (3y) 2 = 16x 2 9y 2 Recenvorteile durc Nutzung von binomicen Formeln = (20 + 4) 2 = = = = (20 3) 2 = = = = ( ) (150 2) = = =

4 Teilbarkeit Primzalen Primfaktorzerlegung ggt kgv Teilbarkeitregeln: 0 Keine Zal it durc Null teilbar (kein Reultat)! Aber: Null it durc alle Zalen (ungleic Null) teilbar. Da Reultat it immer 0. 1 Jede Zal it durc 1 teilbar. Da Reultat it die Zal elbt. 2 Eine Zal it durc 2 teilbar, wenn ie gerade it. 3 Eine Zal it durc 3 teilbar, wenn ire Querumme durc 3 teilbar it. 4 Eine Zal it durc 4 teilbar, wenn ire beiden letzten Ziffern durc 4 teilbar ind. 5 Eine Zal it durc 5 teilbar, wenn ire Endziffer 5 oder 0 it. 6 Eine Zal it durc 6 teilbar, wenn ie gerade und durc 3 teilbar it. 7 Keine Regel. 8 Eine Zal it durc 8 teilbar, wenn ire drei letzten Ziffern durc 8 teilbar ind 9 Eine Zal it durc 9 teilbar, wenn ire Querumme durc 9 teilbar it. 10 Eine Zal it durc 10 teilbar, wenn ire letzte Ziffer eine 0 it. Primzalen Primzalen ind natürlice Zalen und aben genau zwei Teiler, nämlic 1 und ic elbt. Actung: 1 it keine Primzal (nur ein Teiler!). E gibt keine Formel, um Primzalen zu berecnen. Man mu alo jede einzelne Zal n auf ire Teiler unterucen (e genügt die Überprüfung bi n). Alle Primzalen von 2 bi Primfaktorzerlegung Beim Zerlegen von Zalen in ire Primfaktoren beginnt man immer mit der kleinten Primzal. Diee Verfaren it ilfreic beim Fettellen der Teilbarkeit einer Zal: 24 = = = = = = 37 (Primzal) 223'092'870 = ARI-Teilbarkeit_Primzalen_Primfaktorzerlegung.odt 1

5 GGT - Gröter gemeinamer Teiler Die Berecnung de GGT it ilfreic beim Kürzen groer Brüce. Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und betimmt die gemeinamen Teiler durc Untertreicen: 126 = = GGT = 2 7 = 14 KGV - Kleinte gemeiname Vielface Hilfreic zum Finden de gemeinamen Nenner (Gleicnamig macen). Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und untertreict diee dort, wo ie am äufigten vorkommen: 126 = = KGV = = 1008 Teilbarkeit in JavaScript JavaScript wird bei der Programmierung von Webeiten verwendet. Hier ein Rezept zum Selbermacen: Starte einen Texteditor (Window: Editor; Mac: TextEdit) Kopiere den Programmcode unten genau (!) und peicere die Datei al teilbar.tml (Dateiendung it wictig!). Doppelklicke die Datei teilbar.tml zum Starten de Programm. <!DOCTYPE tml> <tml lang="de"> <ead> <meta caret="utf-8"> <title>teilbarkeit mit JavaScript</title> <cript> function pfz(i){ function pf(n){ var r;f=[],next=2; wile(next*next<=n){if(n%next==0){f.pu(next);n=n/next;}ele next++;} if(n!=1)f.pu(n);return f; } n=i 0;r=i+" = "+pf(n).join(" \u00b7\u00a0");return r; } function ggt(m,n){if (n==0) return m; ele return ggt(n, m%n);} function kgv(m,n) {o=ggt(m,n); p=(m*n)/o;return p;} function prim(max){ var z=""; var a=new Array(max); for (i=1; i<=max;i++){a[i]=true}; a[1]=fale; var pz=2; wile (pz<max){ for (j=2;pz*j<=max;j++) {a[pz*j]=fale};pz++; wile ((pz<max) && (a[pz]==fale)) {pz++}; } for (i=1;i<=max;i++) {if (a[i]==true) z=z+" "+i+";";} return z; } ARI-Teilbarkeit_Primzalen_Primfaktorzerlegung.odt 2

6 function teiler(n){ var r=""; b=""; for (var i=2;i<n;i++) {var a=n/i;if (Mat.floor(a)==a) b=b+"; "+i;} if (b=="") {r="<b>"+n+"</b> it Primzal (oder kleiner al 2)."} ele {r="<b>"+n+"</b> at folgende Teiler:<br>1"+b+"; "+n;} return r; } function zeig(wa,wo){ document.getelementbyid(wo).innerhtml=wa; } function zeig2(x,y){ document.getelementbyid("k").innerhtml="kgv = "+kgv(x,y); document.getelementbyid("g").innerhtml="ggt = "+ggt(x,y); } </cript> </ead> <body> <1>Teilbarkeit mit JavaScript</1> <2>Primfaktorzerlegung</2> <form onubmit="zeig(pfz(ti.zal.value),'z'); return fale;"> <label for="zal">zal = </label> <input type="number" id="zal" name="zal" value="840" autofocu> <button type="ubmit">recne!</button> </form> <4 id="z">&nbp;</4><br> <2>kgV und ggt</2> <form onubmit="zeig2(ti.zal1.value,ti.zal2.value); return fale;"> <label for="zal1">zal 1 = </label><input type="number" id="zal1" name="zal1" value="12"><br> <label for="zal2">zal 2 = </label><input type="number" id="zal2" name="zal2" value="18"> <button type="ubmit">recne!</button> </form> <4 id="k">&nbp;</4> <4 id="g">&nbp;</4><br> <2>Alle Teiler einer Zal</2> <form onubmit="zeig(teiler(ti.zalt.value),'t'); return fale;"> <label for="zalt">zal = </label> <input type="number" name="zalt" id="zalt" value="120"> <button type="ubmit">recne!</button> </form> <4 id="t">&nbp;</4><br> <2>Primzalen berecnen</2> <form onubmit="zeig(prim(ti.zalp.value),'p'); return fale;"> <label for="zalp">bi </label> <input type="number" name="zalp" id="zalp" value="5000" max="999999"> <button type="ubmit">recne!</button> </form> <p id="p">&nbp;</p><br> </body> </tml> ARI-Teilbarkeit_Primzalen_Primfaktorzerlegung.odt 3

7 Grundwien Gemeine Brüce (gewönlice Brüce) Zäler = Stammbrüce Bructric Nenner = ecte Brüce = unecte Brüce = gemicte Zalen Der Bructric verält ic wie ein Diviionzeicen: 3 3 : 4 = 4 Verwandeln von gemicten Zalen in Brüce = 13 Ganze ind 13 7 Siebtel : + = Verwandeln von unecten Brücen in gemicte Zalen = 47 : 11 = 4 Ganze, Ret = Kürzen Einen Bruc kürzen eißt, Zäler und Nenner durc die gleice Zal (=GGT) teilen. Der Wert de Bruce bleibt gleic gekürzt mit 5 = alo = 45 (GGT von 10 & 45) Erweitern Einen Bruc erweitern eißt, Zäler und Nenner mit der gleicen Zal multiplizieren. Der Wert de Bruce bleibt gleic erweitert mit 20 = alo = Gleicnamig macen Brüce gleicnamig macen eißt, ie o erweitern, da ie gleice Nenner eralten. Der gemeiname Nenner it da KGV beider Nenner = + = = ARI-Gemeine_Brüce.fodt 1

8 Addition Brüce werden addiert, indem man ie gleicnamig mact und dann ire Zäler addiert. Abcließend kürzen/verwandeln = + = = Subtraktion Brüce werden ubtraiert, indem man ie gleicnamig mact und dann ire Zäler ubtraiert. Abcließend kürzen/verwandeln = - = Multiplikation Brüce werden multipliziert, indem man Zäler mal Zäler durc Nenner mal Nenner recnet. Abcließend kürzen/verwandeln = = Diviion Brüce werden dividiert, indem man den Divior türzt und dann wie bei der Multiplikation verfärt (der getürzte Divior eißt Reziprokwert) : = = = 1 = Verwandeln von Dezimalzalen in Gemeine Brüce = = = = = = 0.45 = = _ = = = + = + = = Verwandeln von Brücen in Dezimalzalen (Rationale Zalen) Man erweitert die Brüce o, da man eine 10-er Zal al Nenner erält oder man teilt Zäler durc Nenner: Löung 1: Löung 2: : 8 = = = ARI-Gemeine_Brüce.fodt 2

9 GGT - Größter gemeinamer Teiler Die Berecnung de GGT it ilfreic beim Kürzen großer Brüce. Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und betimmt die gemeinamen Teiler durc Untertreicen: 126 = GGT = 2 7 = = KGV - Kleinte gemeiname Vielface Hilfreic zum Finden de gemeinamen Nenner (Gleicnamig macen). Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und untertreict diee dort, wo ie am äufigten vorkommen: 126 = KGV = = = Teilbarkeit Teilbarkeitregeln für die Teiler von 0 bi 10: 0 Keine Zal it durc 0 teilbar (nict definiert!). 1 Alle Zalen ind durc 1 teilbar. 2 Alle geraden Zalen. 3 Querumme it eine 3er-Zal. 4 Die beiden Endziffern bilden eine Viererzal. 5 Endziffer it 5 oder 0. 6 Querumme it eine 3er-Zal und Zal it gerade. 7 Keine Regel. 8 Die 3 Endziffern bilden eine Acterzal. 9 Querumme it eine 9er-Zal. 10 Endziffer it 0. Primzalen Primzalen ind natürlice Zalen und aben genau 2 Teiler, nämlic 1 und ic elbt. Man beacte: 1 it keine Primzal (nur ein Teiler voranden!). E gibt keine Formel, um ie zu berecnen. Man mu alo jede einzelne Zal auf ire Teiler in unterucen! Dabei kann ic die Suce auf den Bereic 3 bi Quadratwurzel au n becränken, weil 2 die einzige gerade Primzal it. Primzalen < 500: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 ARI-Gemeine_Brüce.fodt 3

10 Zerlegung in Primfaktoren Jede natürlice Zal lät ic al Produkt von Primzalen dartellen. Bei der Zerlegung beginnt man mit der kleinten Primzal. Zalen mit nur einem Faktor ind Primzalen. Beipiele: 12= = = = = Primzal. Fakultät Die Fakultät einer natürlicen Zal n wird o berecnet: n! = n Beipiele: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 Kreizal Pi π π (geprocen: Pi) it nict nur der 16. Buctabe de griecicen Alpabet, ondern eit naezu 300 Jaren auc Symbol für da Verältni de Umfang eine Kreie zu einem Durcmeer. Die in Anlenung an den erten Buctaben de griecicen Worte für Kreilinie (peripereia). π = Ein Verecmid namen Weinmeiter crieb 1878 diee Gedict: Wie, o die π Mact erntlic o vielen viele Mü'! Lernt immerin, Jünglinge, leicte Verelein, Wie o zum Beipiel die, dürfte zu merken ein! Die Pointe dieer Ode an die Zal π: Eretzt man jede Wort durc die Zal einer Buctaben, o erält man die erten 24 Stellen der begerten Ziffernfolge. Recenoperationen 2+3=5 addieren, Addition Summand + Summand = Summe 7-3=4 ubtraieren, Subtraktion Minuend - Subtraend = Differenz 2 3=6 multiplizieren, Multiplikation Faktor Faktor = Produkt 8:2=4 dividieren, Diviion Dividend : Divior = Quotient 2³ =8 potenzieren, Potenz Bai oc Exponent = Potenz êx Quadratwurzel au x = x oc 1 / 2 ëx Kubikwurzel au x = x oc 1 / 3 Andere Zalenyteme Beim Zenerytem it die größte möglice Ziffer 9, d Entprecende gilt auc für Syteme mit anderen Baen. Häufig ind die Baen 2, 8 und 16. Beipiel: A B uw. ARI-Gemeine_Brüce.fodt 4

11 Der Dreiatz oder Direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität Der Dreiatz it ein er gebräuclice Verfaren, um Proportionen zu löen. Zuert ollte man die Aufgabentellung genau verteen. Handelt e ic um oder Direkte Proportionalität: je mer von einem, deto mer vom anderen? Indirekte Proportionalität: je mer von einem, deto weniger vom anderen? Ert jetzt kann man an die Dartellung/Löung der Aufgabe geen. E gibt zwei üblice Verfaren: Dreiatz und Tabelle. Beipiele: 1) 2 Kilogramm Äpfel koten 4.90 Fr. Wie viel mu man für 5 Kilogramm bezalen? Al Dreiatz (direkte Proportionalität) Typice Aufgaben zur direkten Proportionalität andeln von: Menge Prei, Gecwindigkeit Strecke. Al Tabelle (direkte Proportionalität) kg cf 2 kg koten 4.90 cf cf 1 kg kotet 5 kg koten 4.90 cf =2.45cf cf 4.90 : cf =12.25cf cf 4.90 : 2 5 2) 2 Männer erledigen eine Arbeit in 4 Stunden. Wie lange braucen 3 Männer für die gleice Arbeit? Al Dreiatz (indirekte Proportionalität) Typice Aufgaben zur indirekten Proportionalität andeln von: Arbeiter Zeit, Gecwindigkeit Zeit, Radgröße Umdreungen. Al Tabelle (indirekte Proportionalität) Männer 2 Männer braucen Mann brauct 2 4 = Männer braucen =2 2 3 =240' = 2 40' 2 4 : 3 ARI-Der Dreiatz.odt DE fr US UK ES

12 Zuammengeetzte Größen: Gecwindigkeit Die internationale Eineit it Meter pro Sekunde (m/) Im Alltag verwenden wir Kilometer pro Stunde (km/) In den USA mit man die Gecwindigkeit in Meilen pro Stunde (mp) In der See- und Luftfart verwendet man Knoten (kn) Bei der Berecnung verwenden wir folgende Größen: Weg, zurückgelegte Strecke (Kilometer, km) t benötigte Zeit (Stunden, ) v Gecwindigkeit, zuammengeetzte Größe (Kilometer pro Stunde, km/) v t Geucte zudecken. Berecnung Gecwindigkeit= Strecke Zeit Strecke=Gecwindigkeit Zeit Strecke Zeit= Gecwindigkeit Formel v= t =v t t= v Beipiele: 1. Wie viele brauct ein Wagen für 560 km, wenn er mit durccnittlic 80 km/ färt? Antwort: t= v alo 560km 80km/ =7 2. Ein Radfarer färt wärend 30 Minuten mit einer Durccnittgecwindigkeit von 18km/. Wie weit it er gefaren? Antwort: =v t alo 18 km/ 0.5 =9 km 3. Ein Auto färt die Strecke Bern-Züric (120 km) in 1½ Stunden. Berecne eine Durccnittgecwindigkeit. Antwort: v= t alo 120km 1.5 =80 km/ Umrecnungen: 1m/ =3.6 km/ 1km/=0.27m/ 1 km/= mp 1mp= km/ 1 kn=1.852 km/ 1 km/= kn ARI-Gecwindigkeit.odt DE fr US UK ES

13 Da Pacalce Dreieck Blaie Pacal (19. Juni Augut 1662) war ein franzöicer Piloop, Pyiker und Matematiker. Da Pacalce Dreieck entält die Binomialkoeffizienten ( Computertecnik). Sie ind im Dreieck derart angeordnet, da ein Eintrag die Summe der zwei darüber teenden Einträge it. Der Name get auf Blaie Pacal zurück, obgleic da Pacalce Dreieck bereit im alten Cina bekannt war. Die natürlicen Zalen (1, 2, 3, 4, 5...) ind in der zweiten «Diagonalen» de Dreieck zu finden. Die Dreieckzalen (1, 3, 6, 10, 15...) ind in der dritten «Diagonalen» de Dreieck zu finden: Die Summe der Glieder der n-ten Zeile it 2 n (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...). z. B. 2 4 = = 16 ARI-Blaie_Pacal.fodt

14 Prozente ind Hunderttel Da Prozent Prozent (lateinic: pro cent) bedeutet durc undert oder Hunderttel. Beipiele: Bruc Dezimalzal Prozent % % % % % % Die Prozentformel: Prozentatz= Prozentwert Grundwert 100 Grundwert= Prozentwert Prozentatz 100 Prozentwert= Prozentatz Grundwert 100 Bei der Prozentrecnung get e immer um drei Werte: Prozentatz: Teil de Ganzen augedrückt in Hunderttel oder Prozent. Grundwert: Ganze, Geamtmenge, Total. Maß: z. B. Mencen, Kilometer, Liter uw. Prozentwert: Anteil, Teilwert, Teil de Grundwerte. Maß: gleic wie beim Grundwert. Prozentatz geuct In einer Sculklae tragen 3 von 20 Scülern eine Brille. Wie viele Prozent ind da? 3 100=15% oder =15% 20 Grundwert geuct In einer Sculklae tragen 3 Scüler oder 15 % eine Brille. Wie groß it die Klae? 3 100=20Scüler oder =20Scüler 15 Prozentwert (Teilwert) geuct In einer Sculklae beteend au 20 Scülern tragen 15 % eine Brille. Wie viele Scüler ind da? 15 20=3Scüler oder =3Scüler 100 ARI-Prozente ind Hunderttel.odt

15 Prozentrecnung Da Prozent Prozent (latein.: pro cent) bedeutet durc undert oder Hunderttel. Alo gilt: =0.05=5% =0.75=75% =0.025=2.5% Bei der Prozentrecnung get e immer um drei Werte: Grundwert: Prozentwert: Prozentatz: Ganze, Geamtmenge, Total Maß: je nac Aufgabe, z. B. Mencen, Kilometer, Liter uw. Anteil, Teil, Untermenge, Teil de Grundwerte Maß: gleic wie beim Grundwert Teil de Ganzen augedrückt in Hunderttel Maß: Prozent, % Prozentwert geuct In einer Sculklae beteend au 20 Scülern tragen 15 % eine Brille. Wie viele Scüler ind da? 15 20=3Scüler oder =3Scüler 100 Grundwert geuct In einer Sculklae tragen 3 Scüler oder 15 % eine Brille. Wie groß it die Klae? 3 100=20Scüler oder 3:0.15=20Scüler 15 Prozentatz geuct In einer Sculklae tragen 3 von 20 Scülern eine Brille. Wie viele Prozent ind da? 3 100=15% oder 3:20 100=15% 20 Prozentformel: Prozentwert= Prozentatz Grundwert 100 Grundwert= Prozentwert Prozentatz 100 Prozentatz= Prozentwert Grundwert 100 ARI-Prozent-Zinrecnung.odt 1

16 Zinrecnung Wa bedeutet Zin? Wenn ein Kunde Geld (Kapital) zur Bank bringt, kann die Bank mit dieem Geld arbeiten. Für den Gebrauc de Gelde bezalt ie dem Kunden eine Art Miete, diee nennt man Zin. Die Größe diee Zine wird in Prozent de Kapital angegeben, man nennt dieen Wert Zinfuß oder auc Zinatz. Der Zin wird järlic aubezalt. Wenn der Kunde nict unternimmt, wird der Zin automatic zu einem Kapital inzugezält. So vermert ic da Erparte auf der Bank. Gleice gilt, wenn man von der Bank Geld augelieen bekommt (Darleen, Kredit, Hypotek). Für da gelieene Geld entrictet man der Bank einen Zin, welcer mit dem Zinatz berecnet wird. Zuammenfaung: Kapital, Darleen: Zin: Zinatz, Zinfuß: Maß: Wärung (CHF, GB,, US$ uw.) Maß: gleic wie beim Kapital Järlic zu bezalender Zin ( Geldmiete ), augedrückt in Hunderttel de Kapital. Maß: immer Prozent, % Zin geuct Wärend eine Jare befindet ic ein Kapital von CHF auf der Bank. Der Zinatz beträgt 3½%. Welcen Zin eralte ic dafür? = =52.50CHF Kapital geuct Bei einem Zinfuß von 3½ % bezalt mir die Bank am Jareende CHF Zin. Wie groß war da Kapital? =1500CHF oder 52.5:0.035=1500CHF 3.5 Zinatz (=Zinfuß) geuct Wie groß it der Zinatz für ein Konto, wenn ic für mein Kapital von CHF einen järlicen Zin von CHF eralte? =3.5%=3½% Zinberecnung: Zin=Kapital Zinatz 100 Kapital=Zin 100 Zinatz Zinatz=100 Zin Kapital Z=K p 100 K= Z 100 p p= 100 Z K ARI-Prozent-Zinrecnung.odt 2

17 Marczin Z M Wa bedeutet Marczin (=Stückzinen)? Der Zin wird normalerweie järlic aubezalt. Dealb gelten Zinätze grundätzlic immer für ein Jar. Wenn nun ein Kapital nur wärend einer gewien Zeit auf dem Konto verbleibt, mu mit einem entprecenden Bruc der errecnete Jarezin angepat werden Da recnerice Bankjar at immer 360 Tage (12 30 d = 360 d). Marczin Z M geuct Wärend 5 Monaten befindet ic ein Kapital von CHF auf der Bank. Der Zinatz beträgt 3½%. Welcen Zin eralte ic dafür? =21.90CHF Kapital K geuct Bei einem Zinfuß von 3½% bezalt mir die Bank nac 65 Tagen CHF Zin. Wie groß war da Kapital? = CHF Zinatz p geuct Wie groß it der Zinatz für ein Konto, wenn ic für mein Kapital von CHF einen albjärlicen Zin von CHF eralte? =3.5%=3½% Marczinberecnung: Marczin=Kapital Zinfuß 100 Zeit Jar Kapital=Marczin 100 Zinfuß Jar Zeit Zinfuß=100 Marczin Jar Kapital Zeit Zeit=Jar Marczin 100 Kapital Zinfuß = K p t 100 J = Z M 100 J p t = 100 Z M J K t = J Z M 100 K p Hinwei: Zeit/Jar bedeutet Tage/360 oder Monate/12 ARI-Prozent-Zinrecnung.odt 3

18 Zinezin Wa bedeutet Zinezin? Ganz einfac: Der Zin de Zine! Der Zin wird järlic aubezalt. Wenn der Kunde nict unternimmt, wird der Zin automatic zu einem Kapital inzugezält. Der o gewonnene Zin wird zum Kapital und trägt dealb im näcten Jar auc Zin. In der Praxi werden Zinezinberecnungen am einfacten mit Operatoren durcgefürt: Endkapital geuct Ein Kunde mact eine Einlage von CHF Wie viel beträgt ein Endkapital nac 3 Jaren bei einem kontanten Jarezin von 2½ %? 1. Jar 2. Jar 3. Jar = CHF = CHF = CHF Kaufm. Kurzformel: ³ = CHF Wealb eißt der Operator 1.025? 1 da Kapital da Kapital (au 2.5 : 100), zuammen Anfangkapital geuct Nacdem ein Kunde wärend drei Jaren ein Konto nict angetatet at, beträgt der Saldo (Kontotand) CHF Wie groß war ein Anfangkapital, wenn der Zinatz tet 2¾% betrug? 3. Jar 2. Jar 1. Jar 850 : = CHF : = CHF : = CHF Kaufm. Kurzformel: 850 : ³ = CHF Zinezinberecnung (Kaufmännice Kurzformel) Bankkaufleute bevorzugen folgende Formel, welce direkt da Endreultat liefert: Endkapital=Anfangkapital (1+ Zinatz 100 Die Umkerung: Anfangkapital= ) Jare kurz: K n =K 0 (1+ p 100 )n Endkapital (1+ Zinatz kurz: K 0 = K n ) Jare (1+ p )n ARI-Prozent-Zinrecnung.odt 4

19 Gewinn Verlut Rabatt, Skonto Verwendete Begriffe Gewinn Verlut Rabatt Skonto Zuname, Steigerung, Wactum, größer werden, gleice Maß wie Anfangwert, (kann in % de Anfangwert angegeben werden) Abname, Minderung, Scwund, kleiner werden, gleice Maß wie Anfangwert, (kann in % de Anfangwert angegeben werden) Preiabclag, Dicount, on ale -Preie, Scluverkauf Preinacla (ital. contare = abzieen, abrecnen) bei Barzalung oder Bezalung inneralb einer beonder kurzen Frit. Anfangwert Litenprei, Katalogprei, Augangbetrag, Grundwert: immer 100 % Endwert wird mit dem Anfangwert verglicen Gewinn oder Verlut? Beipiele: Berecnung von Gewinn / Verlut Gewinnod.Verlut= ( Endwert Anfangwert 100 ) 100 1) Facebook-Aktie Mai 2012 (Anfangwert) = 40 USD; im Mai USD. Verlut? Verlut= ( ) 100 = 32.5Prozent (Verlute ind Minuprozente ) 2) 2003 atte Indien Mill. Einwoner; 2018 rund Mill. Einwoner. Zuname? Zuname= ( ) 100 =23.97Prozent Berecnung von Rabatt und Skonto Am einfacten berecnet man Rabatt und Skontopreie mit einem Operator. Zuert Rabatt, dann Skonto berecnen (Prozente nict zuammenzälen!). Beipiel: Ein Ferneapparat kotet 950 CHF. E gilt ein Früjarerabatt von 15 %, bei Barzalung werden 2 % Skonto gewärt. Wie viel mu an der Kae bezalt werden? CHF 950. CHF CHF Der Operator 0.85 enttet au 100 % 15 % = 85 % 0.85 Der Operator 0.98 enttet au 100 % 2 % = 98 % 0.98 ARI-Gewinn-Verlut.odt

20 Exponentielle Wactum Sclüel Exponentielle Wactum (bzw. exponentieller Zerfall) becreibt einen Vorgang, bei dem ic ein Wert in gleicen (zeitlicen) Abtänden immer um denelben Faktor ändert. Exponentielle Wactum kann mit folgender Funktiongleicung becrieben werden: N(t): N 0 N(t)=N 0 a t die Anzal bzw. Größe von einem Wert N nac der Zeit t bzw. nac t Scritten die Anzal bzw. Größe von einem Wert N zur Zeit 0 (oder vor dem erten Scritt), alo der Startwert a Wactum- bzw. Zerfallfaktor. E gilt a R + 1, a it alo eine poitive, reelle Zal und ungleic 1. Wenn a < 1, get e um eine Abname (Zerfall). t Anzal Scritte (oder Zeitabcnitte) Scaclegende Der Erfinder de Scacpiel atte bei einem Herrcer einen Wunc frei. Er wüncte ic bloß ein paar Reikörner. Auf dem erten Feld ein Korn, auf dem zweiten 2 Körner, auf dem dritten 4 Körner, uw. Dieer auf den erten Blick einface Wunc it in Wirklickeit unerfüllbar (Reultat: etwa 1000face Weltjareernte 2010!) Feld Berecnung Total Körner Trillionen 9.2 Trillionen A: Auf dem 64. Feld at e 2 63 = 9'223'372'036'854'775'808 = 9.2 Trillionen Reikörner Virenbefall Ein Organimu wird von 500 Viren befallen, die ic (für eine Zeit lang) exponentiell vermeren. Wärend jeder Stunde wäct ire Anzal um 20%. Wie groß it die Zal der Viren zu einer beliebigen Zeit nac der Infektion? Da 20% daelbe it wie ein Fünftel (0.2), wäct die Zal der Viren wärend jeder Stunde um den Faktor = 1.2. Zur Zeit t (in Stunden gemeen) befinden ic N(t)= t Viren im befallenen Organimu (wobei diee Formel natürlic nur o lange gilt, wie da exponentielle Wactum anält). F: Wie viele Viren ind e nac 10 Stunden? A: Nac 10 Stunden ind e N(10)= =3095.8Viren Zinezin Ein Neugeborene erielt von einem Taufpaten ein Sparbuc mit einer Einlage von 100 cf. Leider wurde da Sparbuc vergeen. Nun at ic einige an Zinezin angeäuft. Wir geen von einem kontanten Zinfuß von 3% ( järlicer Faktor 1.03) au. F: Welcer Betrag befindet ic nac 20 Jaren auf dieem Konto? A: Nac 20 Jaren ind e N(20)= =180.61cf ARI-Exponentielle Wactum.odt

21 Römice Zalen creiben Römice Zalen Um römice Zalen zu creiben, mut du die Werte der Ziffern und die Bedeutung irer Poition kennen: I I II 11 XI 12 XII V 5 3 III 13 XIII X 10 4 IV 14 XIV 5 V 15 XV L 50 6 VI 16 XVI C VII 17 XVII D 500 (päter inzugefügt) 8 VIII 18 XVIII M 1000 (päter inzugefügt) 9 IX 19 XIX V 5000 (zuletzt inzugefügt: Untertric: 1000) 10 X 20 XX Wenn ic eine Ziffer ein, zwei oder dreimal wiederolt, dann zäle den Wert zuammen: XXX = = 30 MM = 2000 V, L und D dürfen ic nict wiederolen. I, X, C und M dürfen öcten dreimal naceinander teen. Antatt eine Ziffer viermal zu creiben, creibt man ie nur einmal, gefolgt von der näctgröeren Ziffer: 4 creibt man nict IIII, ondern IV (I weniger al V) 9 creibt man nict VIIII, ondern IX (I weniger al X) Gleice gilt für 40, 90, 400, 900. Screibe die o enttandenen Gruppen in abteigender Ordnung: 794 = = D + CC + XC + IV = DCCXCIV Die römicen Zalen funktionieren nur bi 3999 (MMMCMXCIX). Für gröere Zalen müte man den Zalen 5000, 10' auc Buctaben zuordnen. Römice Zalen leen Um römice Zalen zu leen, geen wir rückwärt vor. Wir leen in Gruppen von link nac rect, wobei eine Gruppe au einem einzelnen Buctaben oder folgenden Kombinationen beteen kann: IV, IX, XL, XC, CD, CM (= 4, 9, 40, 90, 400, 900). Die Gruppen erkennt man, wenn die Ziffern nict mer in abteigender Folge erceinen. Die Werte der Gruppen werden dann zuammengezält: MCMLXXXVI = M + CM + L + XXX + V + I = = 1986 MCMXCVIII = M + CM + XC + V + III = = 1998 MMVIII = 2008 Die römicen Zalen aben ire praktice Bedeutung nur noc in der Dartellung von Jarezalen und beim Nummerieren (Loui XIV). Uner arabic-indice Zenerytem it viel prakticer, weil wir ein Zeicen für Null aben und auc Brüce und negative Zalen creiben können. ARI-Römice Zalen.odt

22 Verciedene Zalenyteme Arabic Römic Binär Hexadezimal Bai: ⁿ 1 I II ¹ 3 III IV ² 5 V VI VII VIII ³ 9 IX X 1010 A 11 XI 1011 B 12 XII 1100 C 13 XIII 1101 D 14 XIV 1110 E 15 XV 1111 F 16 XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI A 27 XXVII B 28 XXVIII C 29 XXIX D 30 XXX E 31 XXXI F 32 XXXII XXXIII XXXIV XXXV XXXVI XXXVII XXXVIII XXXIX XL XLI XLII A 43 XLIII B 44 XLIV C 45 XLV D 46 XLVI E 47 XLVII F 48 XLVIII ARI-Tabelle-Zalenyteme(arab-roem-bin-ex).odt

23 Maße für Längen, Fläcen und Körper Längenmaße Fläcenmaße Holmaße mm mm² mm³ cm cm² cm³ dm dm² dm³ m m² m³ (DM) a (HM) a km km² km³ 1 dm³ = 1 dm 1 dm 1 dm = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm³ GEO-Längen-Fläcen-Holmaße.odt

24 Die gebräuclicten Maße 1 Längenmaße Kilometer 1 km = 1'000 m = 10'000 dm = 100'000 cm = 1'000'000 mm Meter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1'000 mm Dezimeter 1 dm = 10 cm = 100 mm Zentimeter 1 cm = 10 mm Millimeter 1 mm Fläcenmaße Quadratkilometer 1 km² = 100 a = 10'000 a = 1'000'000 m² Hektare 1 a = 100 a = 10'000 m² Are 1 a 100 m² Quadratmeter 1 m² = 100 dm² = 10'000 cm² = 1'000'000 mm² Quadratdezimeter = 1 dm² = 100 cm² = 10'000 mm² Quadratzentimeter 1 cm² = 100 mm² Quadratmillimeter 1 mm² Holmaße (Körper, Volumen) Kubikkilometer 1 km³ = 1'000'000 m³ Kubikmeter 1 m³ = 1'000 dm³ = 1'000'000 cm³ = 1'000'000'000 mm³ Kubikdezimeter (1 Liter) = 1 dm³ = 1'000 cm³ = 1'000'000 mm³ Kubikzentimeter 1 cm³ = 1'000 mm³ Kubikmillimeter 1 mm³ Holmaße (Flüigkeiten) Liter (1 dm³) 1 l = 10 dl = 100 cl = 1'000 ml Deziliter (100 cm³) 1 dl = 10 cl = 100 ml Zentiliter (10 cm³) 1 cl = 10 ml Milliliter (1 cm³) = 1 ml Zuammentellung: Maße, die direkt auf dem Meter beruen Länge Fläce Körper km Kilometer km² Quadratkilometer km³ Kubikkilometer Hektometer * a Hektare Dekameter * a Are m Meter m² Quadratmeter m³ Kubikmeter dm Dezimeter dm² Quadratdezimeter dm³ Kubikdezimeter cm Zentimeter cm² Quadratzentimeter cm³ Kubikzentimeter mm Millimeter mm² Quadratmillimeter mm³ Kubikmillimeter *) elten verwendet Gewicte Tonne 1 t = 1'000 kg = 1'000'000 g = 1'000'000'000 mg Kilogramm 1 kg = 1'000 g = 1'000'000 mg Gramm 1 g = 1'000 mg Milligramm = 1 mg Immer eltener gebrauct wird der Zentner: 1q = 100 kg ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

25 Zeitmaße (auf dem Bankjar beruend) Jar 1 J = 12 Monate = 360 d Monat 1 M = 30 d Die gebräuclicten Maße 2 Zeitmaße (allgemein) Tag 1 d = 24 = 1'440 Min = 86'400 Sek Stunde 1 = 60 Min = 3'600 Sek Minute 1 = 60 Sek Sekunde 1 Sek Beipiele zur Umwandlung: a) 2.50 =?? Min c) 2 22'47" =? = Min = / / 3600 = 2 30 Min = = b) 3.91 =?? Min? Sek. = Min = Min = 3 54 Min Sek. = 3 54 Min 36 Sek. Gecwindigkeit Gecwindigkeiten werden angegeben al Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde. Vermeide den matematic falcen Audruck Stundenkilometer! Umrecnung: 3.6km/ = 1m/ 1km/ = 5 18m/ = 0.27m/ Kurzbezeicnungen für Zenerpotenzen Multiplikationfaktor Potenz Voratz Kurzbezeicnung 1'000'000'000'000'000' Exa E 1'000'000'000'000' Peta P 1'000'000'000' Tera T 1'000'000' Giga G 1'000' Mega M 1' Kilo k Hekto Deka da Dezi d Zenti c Milli m Mikro µ Nano n Piko p Femto f Atto a ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

26 Die gebräuclicten Maße 3 Längenmaße Gebräuclice US-Maße 1" oder 1 in (inc) = 2.54 cm 1 cm = in (inc) abgeleitet: 1 ft (foot) = 12 in 1 ft² (qft) = m² 1 ft (foot) = m = cm 1 ft³ (cft) = m³ 1 m = ft 1 m³ = ft³ 1 yd (yard) = 3 ft 1 yd (yard) = m = cm 1 m = yd abgeleitet: 1 (mile) = 1760 yd 5 km/ = mp 1 (mile) = km 100 km/ = mp 1 km = mile 55 mp = km/ Gewicte 1 oz. (Ounce) = g (Gramm) 1 g = oz. 1 P (Pound) = 16 oz. 1 P (Pound) = kg 1 kg = P Holmaße 1 Gal. (liquid Gallon) = l (Liter) 1 l (Liter) = Gal. Temperatur 100 F = C 0 F = C 100 C = 212 F 37 C = 98.6 F 0 C = 32 F ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

27 Zenerpotenzen die wiencaftlice Screibweie Mit der wiencaftlicen Screibweie (Zenerpotenzen) kann man er groe und er kleine Zalen auf einface Weie dartellen. Alle Zalen aben genau eine Werteziffer vor dem Komma, beliebig viele Nackommatellen, gefolgt vom Operator mit einer Zenerpotenz. Viele Tacenrecner kürzen die Dartellung ab: Menc: 3 10² TR Typ 1: 3.0 E02 TR Typ 2: E = Zenerpotenz Kleine 02 = Zenerpotenz Uner Tacenrecner kann Zenerpotenzen nur dartellen, dagegen wird die Recnung 3² gleic augefürt 3² = 9. Groe Zalen ( = 3'210'000'000 ) Uner TR it Typ 2: Texa Intrument TI-30 10er Potenz im Detail Zal Tacenrecner Typ 1 Typ E E E ' E ' E ' E '000' E Kleine Zalen ( = 0, ) 10er Potenz im Detail Zal Tacenrecner Typ 1 Typ / E / (10 10) E / ( ) E / ( ) E / ( ) E / ( ) E Actung: Verwecle die Zenerpotenzen (Screibweie) nict mit beliebigen Potenzen: beliebige Potenz Zenerpotenz 2 3 = = 8 aber = = 2000 TR (Tatplan): [ 2 ] [ y x ] [ 3 ] [ = ] 8 [ 2 ] [ EE ] [ 3 ] [ = ] 2000 ARI-Zenerpotenzen.odt Formeleft

28 Geometrie Gerade Halbgerade Strecke Scenkel Sceitel Winkel Scenkel Winkel meen 1. Geodreieck auf Sceitel. Nullpunkt! 2. Dreieck um 0 dreen bi ein Scenkel die lange Dreieckeite berürt und der andere Scenkel unter dem Dreieck liegt. 3. Wal der Skala: Die Skala, die vom berürenden Scenkel au anteigt. Hier: gelbe Skala 4. Grad ableen, fertig: 25 Die Winkelalbierende A

29 Die Mittelenkrecte Da Dreieck C γ Winkelumme im Dreieck Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelumme α + β + γ beträgt 180 Grad. b a β B A α c Bezeicnungen Für geometricen Fläcen gelten folgende Abmacungen: Ecken werden im Gegenurzeigerinn mit Großbuctaben bezeicnet: A, B, C, D... Die Seiten bezeicnet man mit Kleinbuctaben (a, b, c, d...). Für die Winkel verwenden wir griecice Buctaben (α=alpa, β=beta, γ=gamma, δ=delta)

30 Bekannte Fläcen (Planimetrie) Recteck Dreieck d b g l Rombu (Raute) Parallelogramm g Quadrat Trapez p 1 d p p 2 Dracenviereck Unregelmäßige Viereck d 1 c d 2 d b a Krei Ellipe d Z r

31 Geometrie: Da Dreieck (Grundlagen) γ C b a c = A α c = g β B Die Eckpunkte de Dreieck werden im GUZS (= Gegenurzeigerinn) mit den Großbuctaben A, B und C bezeicnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird mit den Kleinbuctaben a, b bzw. c bezeicnet. Die Winkel der drei Ecken A B C werden mit den griecicen Buctaben α, β und γ (alpa, beta und gamma) bezeicnet. Die Summe der 3 Winkel α, β und γ beträgt im Dreieck immer 180 : α = 41 β = 68 + γ = Die Fläce a eine Dreieck (a von lat. area = Fläce) beträgt die Hälfte de umgebenden Recteck : a= g 2 uner Dreieck: a= 8.6cm 5.5cm =23.65cm 2 2 GEO-Dreieck-Grundlagen.odt

32 Geometrice Grundformen: Dreiecke, Vierecke Vierecke Eigencaften: rectwinklige Diagonalen 1 parallele Seite 2 parallele Seiten rectwinklig 4 gleic lange Seiten gleic lange Diagonalen Diagonalen albieren ic unregelmäßige Viereck Dracenviereck Trapez Parallelogramm Rombu Recteck Quadrat Dreiecke GEO-3Eck-4Eck.odt

33 Geometrice Grundformen: Dreiecke, Vierecke Vierecke unregelmäßige Viereck Dracenviereck Trapez Parallelogramm Rombu Eigencaften: rectwinklige Diagonalen 1 parallele Seite 2 parallele Seiten rectwinklig 4 gleic lange Seiten gleic lange Diagonalen Diagonalen albieren ic Quadrat Recteck unregelmäßige Viereck Dracenviereck Trapez Parallelogramm Rombu Recteck Quadrat Dreiecke unregelmäig gleiccenklig gleiceitig rectwinklig GEO-3Eck-4Eck.odt

34 Fläcengeometrie (Planimetrie) Eckige Fläcen Dreieck A= g 2 g= A 2 = A 2 g g Quadrat A= 2 u=4 d = A d= 2 Recteck d b A=l b b= A l l= A b l u=2 l 2 b =2 l b d= l 2 b 2 Rombu A= = A = A Parallelogramm A=g = A g g= A g p 1 Trapez p A= p p p 2 Dracenviereck d 1 A= d 1 d 2 2 d 2 Verwendete Variablennamen: A für Fläce (area); u für Umfang, g für Grundlinie, für Höe, p für Parallele, d für Diagonale, für Seite GEO-Grundwien-Planimetrie.odt

35 Abbildungen A A' Acenpiegelung - Hilfgeraden rectwinklig auf g - Ditanz ga = ga' mit Zirkel abtragen B B' - Ditanz gb = gb' mit Zirkel abtragen - Ditanz gc = gc' mit Zirkel abtragen A C g C' A' g1 - Bildfigur it nict kongruent Sciebung - Hilfgeraden g1-g3 ind parallel (Geodreieck) B B' g2 - Ditanz AA' mit Zirkel auf BB' und CC' abtragen - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC A C C' C' g3 Punktpiegelung B Z - Hilfgeraden über Z verlängern B' - Ditanz ZA mit Zirkel auf ZA' abtragen - Ditanz ZB mit Zirkel auf ZB' abtragen - Ditanz ZC mit Zirkel auf ZC' abtragen C A' - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC, (die Punktepieglung it eine 180 -Dreung!) C Dreung A B - Kreibogen um Z durc Bildpunkte (Zirkel) - Zentriwinkel δ legt die Dreung fet - Weitere Bildpunkte mit Zirkel übertragen: AB = A'B' und AC = A'C' B' δ Z - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC, (die Punktepieglung it eine 180 -Dreung) C' A' Kongruenz Zwei Figuren ind kongruent, wenn ie deckunggleic ind, d.. man könnte ie übereinanderlegen. GEO-Abbildungen.odt

36 Da Dreieck γ C b b a a c A α c β B Bezeicnung Die Eckpunkte de Dreieck werden im Gegenurzeigerinn mit A, B und C bezeicnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird a, b bzw. c genannt. Die Winkel werden α, β und γ genannt. Berecnungen am Dreieck Die Fläce wird mit A (für lat. area) bezeicnet, g it die Grundlinie und die dazu geörende Höe: g Die Fläce de Dreieck it die Hälfte de umcreibenden Recteck: A= g 2 g= A 2 = A 2 g GEO-Dreieck.odt

37 Dreieck - Eigencaften A α Becriftung: c b B β 1) Eigencaften Die Winkelumme (Innenwinkel) bei Dreiecken it immer 180. In jedem Dreieck liegt der gröeren von zwei Seiten der gröere Winkel gegenüber. In jedem Dreieck it die Summe zweier Seiten tet länger al die dritte Seite. Da Zentrum de Umkreie wird durc den Scnittpunkt der Mittelenkrecten betimmt. Da Zentrum de Inkreie wird durc den Scnittpunkt der Winkelalbierenden betimmt. Der Scwerpunkt wird durc den Scnittpunkt der Seitenalbierenden betimmt. a γ C 2) Einteilung nac Seiten: nac Winkeln: unregelmäig pitzwinklig alle Seiten ind unterciedlic lang alle Innenwinkel ind pitz (kleiner al 90 ) gleiccenklig rectwinklig zwei gleic lange Seiten (Scenkel) ein Winkel mit 90 gleiceitig tumpfwinklig alle Seiten ind gleic lang (regelmäige Δ) ein Innenwinkel it tumpf (gröer al 90 ) 3) Änlickeit bei Dreiecken (Proportionalität) Dreiecke ind änlic wenn ie gleice Winkel aufweien. Dreiecke ind änlic wenn ire Seiten da gleice Längenverältni zueinander aben. 4) Kongruenz bei Dreiecken (Deckunggleiceit) SSS Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen der drei Seiten übereintimmen. Die Dreiecke timmen dann auc in den Winkelgröen überein. Beacte: Ein Dreieck it au drei Seiten nur dann kontruierbar, wenn gilt: In jedem Dreieck it die Summe zweier Seitenlängen tet gröer al die dritte Seitenlänge. SWS Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen zweier Seiten und der Gröe de eingecloenen Winkel übereintimmen. WSW (SWW) Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in der Länge einer Seite und den Gröen zweier Winkel übereintimmen. SSW Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen zweier Seiten und der Gröe de Winkel übereintimmen, welcer der längeren Seite gegenüberliegt. GEO-Dreieck.odt

38 Dreieck Umkrei Inkrei Scwerpunkt Da Zentrum de Umkreie liegt im Scnittpunkt der Mittelenkrecten. Da Zentrum de Inkreie liegt im Scnittpunkt der Winkelalbierenden. Der Scwerpunkt liegt im Scnittpunkt der Seitenalbierenden. A c = 8 cm I B S b = 12 cm U a = 16 cm C Kontruktion Kontruiere mit dem Zirkel zuert die Winkelalbierenden (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt S und kontruiere den dazugeörenden Inkrei. Kontruiere mit dem Zirkel die Mittelenkrecten (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt U und kontruiere den dazugeörenden Umkrei. Verbinde nun die Scnittpunkte Mittelenkrecte/Seite mit der gegenüberliegenden Ecke. Da ergibt die Seitenalbierenden (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt S. E it der Scwerpunkt de Dreieck. GEO-Dreieck-Umkrei-Inkrei-Scwerpunkt.odt

39 Der Krei t d Z r e r = Radiu d = Durcmeer u = Umfang A = Fläce = Sene e = Sekante t = Tangente Z = Zentrum π (Pi) it da Verältni de Umfang eine Kreie zu einem Durcmeer. π = u d gerundete Angaben: π = (auf d. TR) π = 3 1 / 7 oder π = 22 / 7 Berecnungen am Krei u=d π u=2 r π Strecken: Fläce: A=r r π A=r 2 π d r d= u π r= u 2 π d=2 A π r= A π A= ( d 2 ) 2 π Der Kreiektor Der Kreiring b r a A= r2 π α 360 A= r2 π b U A= r2 b 2 r =r b 2 r R A=R 2 π r 2 π A=(R 2 r 2 ) π Der Kreiringektor Actung Maße! B Längenmaße: 1 cm = 10 mm r α b R A= (R2 r 2 ) π α 360 Fläcenmaße: 1 cm² = 100 mm² GEO-Krei.odt

40 Prima Pyramide Kegel Prima V=l b S =2 (l b+l +b ) l b Quadratice Pyramide V= GF = / 2 S S =Grundfläce+Mantel =Quadrat +4 Dreieck 2) = 2 +4 ( = ( = 2)2 2 Kegel V= GF = r2 π 3 3 S =Grundfläce+Mantel =r 2 π+r π =r π (r+ ) r = 2 +r 2 Merke: Da Volumen eine pitzen Körper (Pyramide, Kegel) beträgt ein Drittel dejenigen eine Prima gleicer Grundfläce und Höe. GEO-Prima-Pyramide-Kegel.odt

41 Geometrie: Quader und Kubu (Würfel) Der Quader Berecnungen am Quader Geamtkantenlänge k =4 (l+b+) Oberfläce S=2 (lb+l +b) Mantel M =2 (l+ b) l b Volumen V=l b Körperdiagonale d k = l 2 +b Der Kubu (Würfel) Berecnungen am Würfel Geamtkantenlänge k=12 Oberfläce S=6 2 Mantel M=4 2 Volumen V= 3 Seitendiagonale d = 2 Körperdiagonale d k = 3 GEO-Quader-Kubu.odt DE fr US UK ES

42 Da Prima Primen ind Körper mit gleicer Grund und Deckfläce. Der Quader Grundfläce: G=l b Mantel: M =2 (l +b ) Oberfläce: S=2 (l b+l +b ) Kantenlänge total : K=4 (l+b+) b Volumen: V =l b l Der Kubu (Würfel) Grundfläce: G= 2 Mantel: M=4 2 Oberfläce: S=6 2 Kantenlänge total : K=12 Volumen: V = 3 Seite: = 3 V Der Zylinder r Grundfläce: G=r 2 π Mantel: M =2 r π Oberfläce: S=2 r 2 π + 2 r π =2 r π (r +) Kantenlänge total : K=4 r π Volumen: V =r 2 π Radiu: r= V π GEO-Da Prima.odt

43 Körperberecnung Grundwien I Primen Der Quader l b Geamtkantenlänge G=4 (l+b+) Körperdiagonale D k = l 2 +b Mantel M =2 (l+b) Oberfläce S=2(lb+l+b) Volumen V =l b Der Kubu (Hexaeder, Würfel) Geamtkantenlänge K =12 Seitendiagonale D = 2 Körperdiagonale D k = 3 Mantel M=4 2 Oberfläce S=6 2 Volumen V= 3 Der Zylinder r Grundfläce G=r 2 π Geamtkantenlänge G=4 r π Mantel M=2r π Oberfläce S=2r π (r+) Volumen V=r 2 π II Spitze Körper Die (quadratice) Pyramide p Volumen V= 2 p 3 eitlicehöe = p2 +( 2 ) 2 Oberfläce S= 2 +2 Der Kegel p Volumen V= r2 πp 3 eitlicehöe = p 2 +r 2 Oberfläce S=r π (r+ ) r Die Kugel III Kugel (idealer Körper) M r Oberfläce S=4r 2 π Kugelzone(Mantel) M=2rπ Volumen V= 4r3 π 3 GEO-Grundwien-Körper.odt

44 Berecnungen am regelmäigen Vieleck (Polygon) Beim regelmäigen Vieleck (auc n-eck) ind alle Seiten gleic lang und die Eckpunkte aben den gleicen Abtand zum Zentrum. Dealb kann man Polygone in einen Umkrei etzen. Eine einface Fläcenberecnung erreict man durc die Zerlegung de Polygon in n gleice Dreiecke: α α Die Fläce eine n-eck beträgt: A= n g 2 g g n = 5 n = 6 Die Winkeumme im n-eck beträgt: WS= n Der Innenwinkel eine n-eck beträgt: = n 2 n 180 Die Anzal der Diagonalen eine n-eck it: D=n n 3 2 GEO-Polygone.odt

45 Der goldene Scnitt C A B M D E Goldener Scnitt - Kontruktion Im Krei: Radiu AM albieren: B Zirkel in B einetzen, BC = BD Zirkel in C einetzen, CD = CE CE it die Länge der Fünfeckeite MC it der Radiu de Umkreie. CD it die Länge der Fünfeckeite MD it die Länge der Zeneckeite Eine Strecke it im Goldenen Scnitt geteilt, wenn ic die ganze Strecke zum gröeren Abcnitt verält wie der gröere zum kleineren: a : b = b : c Abcnitt b eit Major, Abcnitt c Minor. Pentagon.odt

46 Kontruktion eine regelmäßigen Fünfeck 1) Krei mit Zentrum Z 2) 2 Durcmeer im recten Winkel zeicnen ( Fadenkreuz ) 3) AZ mit Zirkel albieren (Mittelenkrecte) B 4) Kreibogen um B durc C D 5) Kreibogen um C durc D E 6) CE it die genaue Seitenlänge de Fünfeck 5 abtragen auf Kreilinie. C E A B Z D Seitenlänge a Diagonale d= a 2 (1+ 5) Fläceninalt A= a Umfang u = 5a 4 Umkreiradiu r u = a Höe =a =r u +r i Inkreiradiu r i = a Kantenwinkel (108 ) coα=1 4 (1 (5)) GEO-Kontruktion_Pentagon.odt

47 Fläcengeometrie (Planimetrie) Eckige Fläcen Dreieck A= g 2 g= A 2 = A 2 g g Quadrat A= 2 u=4 d = A d= 2 Recteck d b A=l b b= A l l= A b l u=2 l 2 b =2 l b d= l 2 b 2 Rombu A= = A = A Parallelogramm A=g = A g g= A g p 1 Trapez p A= p p p 2 Dracenviereck d 1 A= d 1 d 2 2 d 2 Verwendete Variablennamen: A für Fläce (area); u für Umfang, g für Grundlinie, für Höe, p für Parallele, d für Diagonale, für Seite GEO-Grundwien-Planimetrie.odt

48 Der Kegel b α r r = Radiu der Grundfläce (Krei) = Körperöe (auc p oder p ) = eitlice Höe, Radiu de Mantel (Kreiektor) α = Zentriwinkel, Winkel de Mantel b = Kreibogen de Mantel od. Umfang der Grundfläce M = Mantel (Fläce) G = Grundfläce O = Oberfläce V = Volumen (Inalt) r= 2 π α π = α 360 r= 3 V π = 2 +r 2 b= 2 π α 360 b=2 r π α= r 360 α= b π = 2 r 2 = 3 V G G=r 2 π G= 3 V M= 2 π α 360 M=r π V= G 3 O=G+M =r 2 π+r π =r π (r+) GEO-Kegel.odt

49 Die Kugel M r Alle Punkte, die vom Mittelpunkt M gleic weit entfernt ind (Abtand r), bilden die Kugeloberfläce. Die Kugeloberfläce it viermal o groß wie die Kreifläce durc den Mittelpunkt M der Kugel (Äquatorfläce = größte Scnittfläce). Der Durcmeer der Äquatorfläce it d = 2r. Umfang u O u O =2rπ Größte Scnittfläce A O A O =r 2 π r= 2A O π Oberfläce S O S O =4r 2 π r= 2S O 4π Kugelzone Mantel M O M O =2r π r= M O 2π Volumen V O V O = 4r3 π 3 r= 3 3V O 4π Alle Kugeln ind zueinander geometric änlic. Die Kugel beitzt unendlic viele Symmetrieebenen, nämlic die Ebenen durc den Kugelmittelpunkt. Ferner it die Kugel dreymmetric bezüglic jeder Ace durc den Mittelpunkt und jede Drewinkel und punktymmetric bezüglic ire Mittelpunkte. Die Kugel at die kleinte Oberfläce von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Fläcen mit vorgegebenen Fläceninalt umcließt ie da größte Volumen. Au dieem Grund tritt die Kugel auc in der Natur auf: Blaen (z.b. Seifenblae) und Waertropfen ind Kugeln, weil die Oberfläcenpannung veruct, die Oberfläce zu minimieren. Planeten ind Kugeln, weil ie bei irer Entteung flüig waren. Die matematice Kugel it eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln aben tet nur näerungweie Kugelform. Bereit Arcimede wute, da der einer Kugel umcriebene Zylinder da 3 / 2 -face Volumen der Kugel at. GEO-Kugel.odt

50 Die 5 platonicen Körper Name Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikoaeder Perpektivice Abbildung Abwicklung Seitenfläcen (Anzal, Art) 4 gleiceitige Dreiecke 6 Quadrate 8 gleiceitige Dreiecke 12 regelmäßige Fünfecke 20 gleiceitige Dreiecke Fläcen / Kanten / Ecken 4 / 6 / 4 6 / 12 / 8 8 / 12 / 6 12 / 30 / / 30 / 12 Anzal Kanten pro Ecke Volumen V = 2 12 a3 V =a 3 V = 2 3 a3 V = a3 V = a3 Oberfläce A O = 3a 2 A O =6a 2 A O =2 3a 2 A O = a 2 A O =5 3a 2 Umkugelradiu Inkugelradiu r u = 6 4 a r u = 3 2 a r u = 2 2 a r u = a r u = a r i = 6 12 a r i = 1 2 a r i = 6 6 a r i = a r i = a GEO-Platonice_Körper.odt

51 Im rectwinkligen Dreieck gilt: Die dem recten Winkel anliegenden Seiten nennt man Kateten, die gegenüberliegende Seite Hypotenue. Da Hypotenuenquadrat it gleic der Summe der beiden Katetenquadrate. Der Satz de Pytagora C a² c 2 =a 2 +b 2 A b² b c a B nac Seiten aufgelöt: c= a 2 +b 2 b² c² = a² + b² a² a= c 2 b 2 b= c 2 a 2 b² = 9 a² = 16 b = 3 a = 4 c² = 25 c = 5 Pytagora von Samo a.c. GEO-Pytagora.odt

52 Pytagora: Fläcen und Raumdiagonalen Zur Berecnung der Fläcen und Raumdiagonalen verwenden wir den Satz de Pytagora: Katete 2 Katete 1 Hypotenue= Katete1 2 +Katete2 2 Hypotenue Quader Der Quader at drei unterciedlic lange Fläcendiagonalen. Die 4 Raumdiagonalen ind gleic lang. d 1 = l 2 +b 2 d 3 d 2 = l d 2 d r d 3 = b l d 1 b d r = d = l 2 +b Würfel Die Fläcendiagonalen de Würfel ind alle gleic lang. Auc die 4 Raumdiagonalen aben die gleice Länge. d r d f = = 2 d r = d f d f = 3 GEO-Pytagora.odt

53 Volumen Gewict (Mae) Dicte Berecnung Formel 1 dm³ 1 dm 1 dm 1 dm Mae=Volumen Dicte Volumen= Mae Dicte Dicte= Mae Volumen m=v ρ V = m ρ ρ= m V m V ρ Geucte verdecken! Für reine Waer gilt: 1 dm³ = 1 Liter = 1 Kilogramm ( eit 1789) Jeder Stoff at eine eigene Dicte (Maendicte). Sie ängt neben der Becaffeneit de Stoff auc von einer Temperatur und einem Umgebungdruck ab. Die Dicte r (griecice Ro) wird al Verältnizal zur Dicte de Waer angegeben: Gebräuclice Maße für die Dicte ind g/cm³, kg/dm³ und t/m³ Maendicten einiger Stoffe bei 20ºC: Stoff Dicte in kg/dm³ Platin Pl 21.4 Gold Au 19.3 Uran U Queckilber Hg Blei Pb Silber Ag Kupfer Cu 8.92 Eien Fe (auc Stal) Titan Ti 4.5 Kolentoff C (Diamant) 3.51 Kolentoff C (Grapit) 2.26 Kolentoff C (Carbonfaer) 1.8 Kalktein 2.7 Aluminium Al Beton Sand (trocken) Waer H 2 O Waer dent ic bei inkenden Temperaturen Waer (bei 4ºC) unter 4 C au. Man prict dealb von der Ei (bei 0ºC) Anomalie de Waer (Unregelmäßigkeit). Fette Papier Holz (trocken) Scaumtoffe Für Wibegierige: Ein Kilogramm it nict immer ein Kilogramm! Abängig vom Ort, an dem gemeen wird, it die Erdbecleunigung unterciedlic oc, daer gibt e elbt auf der der Erde Meunterciede (mit der Federwaage). Wenn man diee Unterciede berückictigt, prict man nict von Dicte, ondern von der Wicte (pezifice Gewict). ρ (kleine Gae werden meit in g/l (=g/dm³) angegeben: gr. Ro) Stoff Dicte in g/l Stoff Dicte in g/l Helium He Sauertoff O Luft (N und O) Sticktoff N Metan CH Waertoff H GEO-Volumen-Gewict-Dicte.odt

54 Karat (Gold-Feingealt) Gold it ein cwere Edelmetall (ρ = g/cm³). Wegen einer Selteneit und Betändigkeit wird e al Geldanlage verwendet. Sein geringer elektricer Widertand bringt in der Elektronik viele Vorteile. Die Gier nac Gold fürte zu Eroberungen (Lateinamerika, Südafrika), Aubeutung und und Kriegen. Da Karat (Abk. k, kt oder C) it eine Maßeineit für den Feingealt von Gold. Dabei bedeutet 1 Karat 1 / 24 Anteil Gold in der Legierung (Micung au Gold Silber Kupfer). Gebräuclice Gold-Feingealte Karat (Promille) Handelbezeicnung Umrecnen: k Feingold, Gold Gold 965, Taigold Gold Gold 900, Münzgold Gold Gold Gold Gold Gold 333 Karat: k= Promille: = k Beipiele: 1) Berecne den Feingealt in Promille für einen 20-karätigen Goldring. Feingealt = 20 / = ) Recne den Feingealt von 625 einer alten Münze in Karat um. Karat = 625 / = 15 k 3) Auf der Waage liegt ein Gold-Scmucktück mit der Prägung 22k. Die Waage zeigt ein Gewict von 20 Gramm an. Welcen Goldwert at da Scmucktück bei einem Prei von CHF je 1g Gold? Goldgewict = 22 / = 18.3 g Wert = 18.3 g = , gerundet CHF GEO-Karat-Feingealt.odt

55 Der Zylinder (Kreizylinder) Kreizylinder Berecnung: Legende: r G=r 2 π M=2 r π D=r 2 π S=G D M =2 r 2 π 2 r π =2 r π r V =G =r 2 π r = Radiu = Körperöe V = Volumen (Inalt) S = Oberfläce beteend au G = Grundfläce, M = Mantel (Fläce) D = Deckfläce Holzylinder Berecnung: Legende: r R G=R 2 π r 2 π = R 2 r 2 π r = Radiu (innen) R = Radiu (außen) S=2 R 2 π r 2 π 2Rπ 2rπ =2π R 2 r 2 2π R r V = R 2 π r 2 π = R 2 r 2 π Zylinderektor Berecnung: Legende: α r G= r2 π 360 α = Zentriwinkel S=2r 2 π α 360 2rπ α 360 2r V= r2 π 360 Berecnung: Holzylinderektor (Sektor eine Holzylinder) G= R2 r 2 π 360 V = R2 r 2 π 360 GEO-Zylinder.odt

56 Da Koordinatenytem Auf geograpicen Karten wird die Erde mit einem Koordinatennetz überzogen. So kann man jeden Ort mit zwei Zalen adreieren. 0 (London) (Nordpol) (Äquator) - 30 Breite (y-ace) (Südpol) Länge (x-ace) Die Stadt Bern at z.b. folgende Koordinaten: nördlice Breite, ötlice Länge / Google Map gibt die Koordinaten dezimal an: nördlice Breite, ötlice Länge. Der Einfaceit wegen ind poitive Grade immer nördlic rep. ötlic gemeint. Auf dem Tacenrecner laen ic die Koordinaten mit der DMS DD Funktion leict umrecnen (DMS = Degree/Second/Minute; DD = Decimal Degree). GEO-Koordinatenytem.odt

57 In der Matematik verwenden wir folgende Koordinatenytem: Ein Koordinatenytem betet au den zwei Koordinatenacen x und y. Der Punkt A at die Koordinaten (4 5). Der Punkt B at die Koordinaten (3 5). Der Nullpunkt at die Koordinaten (0 0). Koordinaten kennen wir auc au dem Spiel «Sciffe verenken». Hier gelten für die x Ace Buctaben und für die y Ace Ziffern. Nac dem gleicen Prinzip funktionieren auc die Computer und TV-Bildcirme. Der Einfaceit wegen werden nur nur poitive Zalen verwendet. Der Nullpunkt der x und y Ace liegt wie beim Sciffe verenken in der oberen linken Ecke de Bildcirm. GEO-Koordinatenytem.odt