EINFÜHRUNG IN DIE BAUSTATIK

Transkript

1 EINFÜHRUNG IN DIE BAUSTATIK Bruno Sudret CHAIR OF RISK, SAFETY AND UNCERTAINTY QUANTIFICATION STEFANO-FRANSCINI-PLATZ 5 CH-8093 ZÜRICH Risk, Safety & Uncertainty Quantification

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3 Einführung in die Baustatik Bruno Sudret Institut für Baustatik und Konstruktion ETH Zürich

4 Danksagung. Dieses Baustatik Skript wurde ursprünglich von Prof. Dr. Bruno Sudret auf Französisch verfasst. Dr. Moustapha Maliki lektorierte die französische Version. Dr. Roland Schöbi (Kapitel 1 3) und Philippe Wiederkehr (Kapitel 4-11) übersetzten das Skript vom Französischen ins Deutsche. Paul-Remo Wagner lektorierte die deutsche Version, er fertigte auch alle Figuren und Zeichnungen an. Ich bedanke mich für die Unterstützung dieser Studenten und Kollegen am Lehrstuhl für Risiko, Sicherheit und Quantifizierung von Ungewissheiten (ETH Zürich). Bruno Sudret, September 2018 Bildquelle. Alle Skizzen und Zeichnungen in diesem Skript sind Originale. Alle Fotos wurden entweder persönlich vom Autor gemacht, oder aus dem Internet geladen (lizenzfreie Bilder). Wie ist dieses Skript zu zitieren? B. Sudret, Einführung in die Baustatik, ETH Zürich, 2018.

5 Vorwort Was ist die Baustatik? Von einem historischen Standpunkt ist die Baustatik eine antike Wissenschaft. Die Prinzipien des Hebelarms oder des auf Festkörper wirkenden Auftriebs stammen von Archimedes. Das erste bekannte Problem der Baustatik wurde von Galileo im Jahr formuliert und bezieht sich auf den Widerstand eines Kragarms (Abbildung 1). Die fundamentalen Gesetze der Dynamik von Newton und die Arbeiten von Euler und Bernoulli 2 über Balken haben es erlaubt, dieses Wissen während des gesamten 18. Jahrhunderts zu vertiefen. Abbildung 1: Erstes Problem der Baustatik: Widerstand eines Kragarms (Galileo, 1638) Schon früher und daher unabhängig davon wurden grosse Bauwerke (Brücken, Burgen, Festungen, Kathedralen, Türme, usw.) anhand einfacher Regeln der grafischen Statik und empirischer Natur konstruiert. Es dauerte jedoch bis in die erste Hälfte des 19. Jahrhunderts, um die Verbindung zwischen den physischen Wissenschaften und der Baustatik herzustellen (im vorliegenden Fall die korrekte Formulierung der Spannungs- und Dehnungsbeziehungen in deformierbaren Festkörpern). Hier sind insbesondere die Arbeiten von Cauchy, Navier, Green, Lagrange und Saint-Venant 3 zu erwähnen. 1 Galileo Galilei ( ). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali. 2 Isaac Newton ( ); Leonhardt Euler ( ); Daniel Bernoulli ( ). 3 Augustin-Louis Cauchy ( ); Claude-Henri Navier ( ); George Green ( ); Joseph-Louis Lagrange ( ); Adhémar Barré de Saint-Venant ( ). i

6 Die Entwicklung der heutigen klassischen Methoden um Kräfte und Verschiebungen in Strukturen zu berechnen stammt aus der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts, besonders aus den Arbeiten von Culmann (grafische Statik), Ritter, Mohr, Castigliano und Müller-Breslau 4. Die vor allem geschichtlich interessanten grafischen Methoden sind heutzutage durch die Einführung numerischer Simulationen obsolet geworden: Ingenieurbüros nutzen heute häufig Berechnungscodes mit finiten Elementen, um komplexe Bauwerke zu modellieren und ihre Dimensionierungen anhand der Dimensionierungsnormen (SIA Normen in der Schweiz oder Eurocodes) rechtskräftig zu überprüfen. Für den Ingenieur des 21. Jahrhunderts ist es folglich so wichtig wie nie zuvor, die von Softwares verwendeten mechanischen Modelle zu verstehen. Er muss fähig sein, komplexe Strukturen anhand von Modellen darzustellen und vereinfachte statische Modelle von Hand zu berechnen. Dies soll ihm ermöglichen, numerische Verfahren zu bestätigen und die Verbindung zwischen einfachen Modellen und numerischen Berechnungen anhand finiter Elemente herzustellen. Es ist die Ambition dieses Kurses Baustatik I, die elementaren Konzepte zu präsentieren, die ihrerseits als Grundlage für die weiterführenden Kurse dienen. Organisation des Kurses Ziele Das Ziel des Kurses Baustatik I ist es, den Studenten die grundlegenden Berechnungskenntnisse für elastische Strukturen, welche aus eindimensionalen Elementen (Stäbe, Balken, Seile) zusammengesetzt sind, zu vermitteln. Eindimensional heisst in diesem Zusammenhang, dass zwei Dimensionen (diejenigen, die den Querschnitt beschreiben) im Vergleich zur dritten klein sind. Zunächst wird die Definition von Schnittgrössen präsentiert. Um die daraus entstehenden lokalen Spannungen sowie die Deformationen und Verschiebungen zu berechnen, sind Vereinfachungen und die Verbindung mit der Kontinuumsmechanik notwendig: dies führt zu den Balkenmodellen von Euler-Bernoulli und Timoshenko. Die Kombination von Gleichgewichtsgleichungen, kinematischen Relationen und Stoffgesetzen erlaubt es, elastische Verformungen zu berechnen. Energieansätze ermöglichen es direkt Verschiebungsgrössen an einem beliebigen Punkt zu ermitteln. Sie bilden die Grundlage der Kraftmethode, mit welcher statisch unbestimmte Systeme gelöst werden können. Detailprogramm Kapitel 1 beginnt mit einer Wiederholung der grundlegenden Begriffe der Festkörpermechanik: Kräfte, Momente, Bindungskräfte und Lagerreaktionen. Das Axiom der Statik, welches das Gleichgewicht eines mechanischen Systems unter Belastung ausdrückt, wird eingeführt. Die Verbindung mehrerer nicht deformierbarer Festkörper führt zur Formulierung von inneren Bindungskräften im System. Schlussendlich werden die Begriffe der statischen Bestimmtheit und Unbestimmtheit erläutert. 4 Karl Culmann ( ); August Ritter ( ); Christian Otto Mohr ( ); Heinrich Müller, sog. Müller-Breslau ( ); Carlo Alberto Castigliano ( ). ii

7 In Kapitel 2 werden innere Kräfte und Momente, sogenannte Schnittgrössen (Normalkräfte, Querkräfte, Biegemomente, Torsionsmomente), in geraden Balken eingeführt und eine Methode basierend auf dem Gleichgewicht an Teilsystemen entwickelt, die deren Berechnung in jedem Punkt des Systems ermöglicht. Zugleich werden die Differentialgleichungen des lokalen Gleichgewichts bei Balken in der Ebene sowie beim räumlichen Balken hergeleitet. In Kapitel 3 geht es um Strukturen mit gekrümmter Geometrie, wie Bogen und Seile. Die Stützlinie, welche wichtig ist um zu verstehen, wie die geometrische Form der Struktur den inneren Kräften angepasst werden kann, wird definiert. Die gewonnenen Erkenntnisse werden auf das Gleichgewicht der Bögen angewendet. Zum Schluss werden dehnstarre Seile behandelt, bei welchen die Gleichgewichtsgeometrie von der aufgetragenen Belastung abhängt. Kapitel 4 ist den Fachwerken gewidmet. Das Modell des idealen Fachwerks nimmt an, dass ein System aus Stäben zusammengesetzt ist, die nur Zug- und Druckkräfte übernehmen und gelenkig miteinander verbunden sind. Zunächst werden diese Fachwerkkräfte anhand des Knotengleichgewichts bestimmt. Anschliessend werden zwei Ansätze präsentiert (Ritterschnitt und Prinzip der virtuellen Arbeit), um einzelne Stabkräfte direkt bestimmen zu können. Kapitel 5 wiederholt die grundlegenden Begriffe der Kontinuumsmechanik: Spannungs- und Dehnungstensor, Hypothese der kleinen Verformungen und elastisches Stoffgesetz. Damit soll eine Verbindung zwischen der eindimensionalen Tragwerksmodellierung (Schnittgrössen) und dem lokalen dreidimensionalen Spannungszustand hergestellt werden. Ausserdem werden das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Version der Kontinuumsmechanik sowie die Prinzipien der minimalen potenziellen (bzw. Ergänzungs-) Energie präsentiert. Kapitel 6 nimmt sich der Berechnung von Spannungen und Dehnungen auf Querschnittsebene an. Mithilfe von vereinfachenden Hypothesen, erhält man das Balkenmodell nach Euler- Bernoulli. Dieses Modell ermöglicht die Berechnung der Normal- und Schubspannungen an einem Querschnitt, wenn die zugehörigen Schnittkräfte aus der externen Belastung berechnet wurden. Es werden Voll- und dünnwandige Querschnitte sowie Verbundquerschnitte betrachtet. In Kapitel 7 wird gezeigt, wie die Kombination von Gleichgewichtsgleichungen, kinematischen Relationen und elastischen Stoffgesetzen zur Differentialgleichung der Verformungslinie eines Balkens führt. Danach wird das Timoshenko Balkenmodell eingeführt, das für gedrungene (grosses Verhältnis von Querschnittsabmessungen zur Länge) Elemente besser geeignet ist als das Euler-Bernoulli Modell. In Kapitel 8 werden die elastischen Potenziale am Balken aus der Kontinuumsmechanik hergeleitet. Das Prinzip der virtuellen Arbeit wird erneut bei Balkensystemen eingeführt. Die Energiesätze nach Castigliano und Müller-Breslau erlauben es, Verschiebungen nur an bestimmten Punkten zu erhalten, ohne die gesamte Verformungslinie durch Integration der jeweiligen Differentialgleichung zu berechnen. Spezielle Beanspruchungen, wie die thermische Belastung und aufgezwungene Verschiebung (z.b. Lagersenkung), werden schlussendlich behandelt. In Kapitel 9 wird die Kraftmethode zur Berechnung der Schnittkräfte bei statisch unbestimmten Systemen eingeführt. Diese Methode formt das vorhandene Problem in eine Menge statisch bestimmter Probleme an einem Grundsystem um. Diese statisch bestimmten Probleme erhält iii

8 man, indem man Bindungen oder Lagerreaktionen löst, wobei anschliessend die geometrische Verträglichkeit verlangt wird. Schliesslich wird gezeigt, dass man durch Minimierung der potenziellen Ergänzungsenergie zum selben Resultat gelangt (Satz von Menabrea). In Kapitel 10 werden schlussendlich Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen vorgestellt. Sie erlauben die Darstellung einer Reaktion (bzw. Schnittgrösse oder Verschiebung) als Funktion der Position einer beweglichen Einheitslast. Solche Einflusslinien können elegant durch die kinematische Methode nach Land ermittelt werden. iv

9 Inhaltsverzeichnis 1 Gleichgewicht starrer Systeme 1 1 Einleitung Mechanische Grundlagen Kinematik Hypothese kleiner Verformungen und Superpositionsprinzip Kräfte und Momente Moment einer Kraft Gleichgewichtsgleichungen Dyname Gleichgewicht statischer Systeme Lagerreaktionen und Bindungen Lager Bindungen Grad der statischen Unbestimmtheit Zusammenfassende Beispiele Berechnungsverfahren Beispiel 1: Einfacher Balken Beispiel 2: Dreigelenkbogen Beispiel 3: Eingespannter Träger Beispiel 4: Statisch unbestimmter Balken v

10 2 Statisch bestimmte Stabtragwerke 31 1 Balkengeometrie Schnittgrössen Schnittdefinition Resultierende der Schnittgrössen Berechnungsverfahren Balken in der Ebene Definition Orientierungs- und Vorzeichenkonventionen Beispiel: einfach gelagerter Balken unter Einzellast Schnittgrössendiagramme Lokale Gleichgewichtsbedingungen Gerader Balken in der Ebene Verbindung mit den Schnittgrössendiagrammen Dreidimensionaler gerader Balken Elementare Anwendungsbeispiele Einfach gelagerter Balken Kragarm Galgen Gekrümmte Balken, Seile und Bogen 53 1 Geometrie ebener Bogen Einleitung Frenet sche Formeln Parametrisierte Kurve im kartesischen Koordinatensystem Lokales Gleichgewicht Stützlinien Einleitung Gleichung der Stützlinie Druckkraft vi

11 2.4 Eigengewicht Vertikallast (Schnee) Seile Einleitung Geometrie eines Seils unter fixierter Belastung Anwendungen Statisch bestimmter Bogen Einleitung Dreigelenkbogen Elastische Fachwerke 79 1 Einleitung Ideale Fachwerke Hypothese Grad der statischen Unbestimmtheit Anwendungen Berechnungsweisen für statisch bestimmte Fachwerke Einleitung Knotengleichgewicht Ritter sche Schnittmethode Prinzip der virtuellen Arbeit Virtuelle Verschiebungen Prinzip der virtuellen Arbeit Anwendung zur Berechnung von Lagerreaktionen Anwendung zur Berechnung von Stabkräften Grundlagen der Kontinuumsmechanik 97 1 Einführung Spannungen Einführung vii

12 2.2 Spannungstensor Gleichgewichtsgleichungen Eigenschaften des Spannungstensors Verzerrungen Abbildung im Kontinuum Verzerrungstensor Zweidimensionaler Fall: physikalische Bedeutung Stoffgesetz Einführung Lineare Elastizität Probleme der linearen Elastizität Zusammenfassung der Gleichungen Randbedingungen Randwertproblem Energiesätze Prinzip der virtuellen Arbeit Elastische Potenziale Energiesätze Spannungen in elastischen Balken Einleitung Motivation zur Spannungsabschätzung Spannungsresultierende Zwei grundlegenden Versuche Euler-Bernoulli Balken Kinematik Hypothese der Spannungen Normalspannungen Stoffgesetz am Balken Navier sche Gleichung viii

13 3.3 Kern des Querschnitts Ergänzungsenergie bei Zug/Druck Inkohärenz der Hypothesen der Theorie Schubspannungen Einleitung Resultierende der Schubspannungen Satz von Schurawski Wirksame Schubfläche Komplexe Querschnitte Geometrische Eigenschaften des Querschnitts Dünnwandige Querschnitte Verbundquerschnitte Verformungen elastischer Balken Einleitung Elastische Verformung Euler-Bernoulli Balken Gleichgewicht, Materialverhalten, Kinematik Axiales Verschiebungsfeld Querverschiebungsfeld Elastische Verformung Timoshenko Balken Einleitung Timoshenko Kinematik Elastisches Stoffgesetz Querverschiebungsfeld Schubbalken Ergänzende Beispiele Kragarm Beidseitig eingespannter Balken (Euler-Bernoulli Modell) ix

14 8 Energiesätze für Tragwerke Einleitung Elastisches Potenzial für Balken Ergänzungspotenzial Elastisches Potenzial Kurzschreibweise des Potenzials Prinzip der virtuellen Arbeit Statisch zulässige Schnittgrössen Virtuelles, kinematisch zulässiges Verschiebungsfeld Arbeit der äusseren Kräfte Arbeit der inneren Kräfte Prinzip der virtuellen Arbeit Energiesätze Einleitung: lineare Feder Nachgiebigkeitsmatrix Satz von Maxwell-Betti Satz von Clapeyron Satz von Castigliano Satz von Müller-Breslau Ausgewählte Anwendungen Mohr sches Integral Einfacher Balken unter Einzellast Statisch bestimmtes Fachwerk Balken unter verteilter Last Kragarm Komplettes Ergänzungspotenzial Federn Aufgezwungene Verschiebungen Thermische Belastung Zusammenfassung Fazit Anhang: Mohr sche Integrale x

15 9 Kraftmethode Einleitung Statisch unbestimmte Systeme Einführendes Beispiel Prinzip der Kraftmethode Intuitiver Ansatz zur Kraftmethode Einleitung Statisch zulässiges Feld Berechnung der Verschiebungen Verträglichkeitsbedingung Superposition Allgemeiner Ansatz zur Kraftmethode Eingespannt/aufgelegter Balken Lösen von Bindungen Satz von Menabrea Superposition der Lastfälle Fazit: Berechnungsverfahren Anwendungsbeispiele Eingespannter/aufgelegter Balken Durchlaufträger auf vier Lagern (h = 2) Statisch unbestimmtes Fachwerk Berechnung von Verschiebungen Einleitung Reduktionssatz Anwendungen xi

16 10 Einflusslinien Einführung Allgemeines Problemstellung Direkte Berechnung anhand der Statik Prinzip Gerader Balken auf zwei Lagern Fazit Methode nach Land Einleitung Lagerreaktion Schnittgrössen Zusammenfassung Verschiebungen Anwendungen Verwendung der Einflusslinien Gerberträger Fachwerk Fazit xii

17 Literaturverzeichnis Frey, F. (2014). Analyse des structures et milieux continus, Volume 1: Mécanique des structures. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes. Mang, H. and G. Hofstetter (2013). Festigkeitlehre (4 ed.). Springer. Marti, P. (2013). Baustatik Grundlagen, Stabtragwerke, Flächentragwerke (2 ed.). Ernst & Sohn. Salençon, J. (2001). Handbook of Continuum Mechanics General Concepts - Thermoelasticity. Springer. Sayir, M., J. Dual, and S. Kaufmann (2004). Teubner. Ingenieurmechanik 2 Deformierbare Körper. Zweidler, S. (2016). Baustatik I. vdf Hochschulverlag AG, ETH Zürich. 283