Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Bitte... SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellildung am Areitszeit: 5 min Aufgae 3 erreichare Punkte 9 3 erreichte Punkte... tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Decklatt ein,... rechnen Sie die Aufgaen auf separaten Blättern, nicht auf dem Angaelatt,... eginnen Sie für eine neue Aufgae immer auch eine neue Seite,... geen Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an und Note: Musterlösung... egründen Sie Ihre Antworten ausführlich. Viel Erfolg!

2 . In dieser Aufgae wird die Radeinheit mit instailem Aufau aus Aildung e- P. trachtet. h sax F l g β s a l ez e z e z e x α saz e y ex τa R Aildung : Links: Aufau, rechts: gesamte Radeinheit. a) Der Aufau esteht aus den zwei Quadern mit den Längen l sowie l, der Breite, der Höhe h und der Dichte ρ. i. Bestimmen Sie die Masse ma des Aufaus und den Vektor s a vom Ursprung.5 P. des körperfesten Koordinatensystems (x z ) zum Schwerpunkt des Aufaus. Hinweis: Betrachten Sie hierei nur Vektoren in der e x, e z Eene. (S) ii. Berechnen Sie die Massenträgheitsmomente θy y der eiden Quader e-.5 P. züglich der e (S) y Achsen durch ihren jeweiligen Schwerpunkt. Geen Sie die (S) Berechnungsvorschrift zur Berechnung des Massensträgheitsmoments θy y,a des Aufaus ezüglich der e (S) Achse durch den Schwerpunkt des Aufaus y an. Hinweis: Sie müssen dieses nicht erechnen. Für die weiteren Aufgaen sind die Masse ma und das Massenträgheitsmoment θyy,a ezüglich des Schwerpunkts des Aufaus, die Masse mr und das Massenträgheitsmoment θyy,r ezüglich des Schwerpunkts des Rads, die Schwerpunktsastände sax sowie saz des Aufaus und der Radius R des Rads gegeen. ) Geen Sie die Schwerpunktsvektoren rr des Rads und ra des Aufaus im Inertialkoordinatensystem (xz) als Funktion der generalisierten Koordinaten q = [α, β]t an. Nehmen Sie hierzu an, dass der Schwerpunkt des Rades für α = im Ursprung des Inertialkoordinatensystem liegt. Berechnen Sie auch die Schwerpunktgeschwindigkeiten va und vr. c) Nehmen Sie nun sax = an und estimmen Sie die potenzielle und die kinetische Energie des Systems. d) Auf das Rad wirkt das Antriesmoment τa. Außerdem wirkt die Kraft F = F ex auf den Aufau. Geen Sie die generalisierte Kraft f an. e) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen des Systems unter Verwendung des Euler-Lagrange-Formalismus. f) Nehmen Sie für F 6= an, dass sich die Radeinheit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit α ewegt. Berechnen Sie das notwendige Moment τa und den i h Winkel β π, π, für den β = gilt, aus den Bewegungsgleichungen. P. P. P. P. P.

3 Lösung: a) i. ) ii. m a = (l + l )hρ s a = [ ] l l l + l + ll l θ (S) ȳȳ,q = hρ 3 l + l 3 θ (S) ȳȳ,q = hρ 3 l + l 3 θ (S) ȳȳ,a = θ (S) ȳȳ,q+m Q (s Q s a ) T (s Q s a )+θ (S) ȳȳ,q+m Q (s Q s a ) T (s Q s a ) mit und αr r r = αr v r = m Q = lhρ s Q = [ l ] m Q = l hρ s Q = [ l l αr + sax cos(β) + s r a = az sin(β) s ax sin(β) + s az cos(β) αr + β( sax sin(β) + s v a = az cos(β)) β( s ax cos(β) s az sin(β)) ] c) V = mgs az cos(β) T = m ( a α R + β s az + αr βs az cos(β) ) + m r α R + Θ β yy,a + Θ yy,r α d) e) f = τa + F R F l cos(β) [ (θyy,r + (m a + m r )R ) α + ( cos(β) β sin(β) β ) ] m a Rs az (θ yy,a + m a s az) β = + cos(β) αm a Rs az gm a s az sin(β) τa + F R F l cos(β) f) τ a = F R ( ) F l β = arctan s az m a g 3

4 . In einer Haltevorrichtung ist eine Platte mit Hilfe einer kleinen Walze verklemmt. Der Winkel α, die Dicke der Platte d und deren Gewichtskraft G = mg seien gegeen. Die Masse der Walze soll vernachlässigt werden. Die Walze unterliegt in eiden Kontaktpunkten trockener Haftreiung mit dem Koeffizienten µ W. Das System steht im statischen Gleichgewicht. Verwenden Sie die Kräfte- und Momentenilanz, um folgende Aufgaen zu lösen. 9 P. α µ W d Platte Walze r µ P mg Aildung : Haltevorrichtung a) Fertigen Sie je eine Skizze für die frei geschnittene Walze und Platte mit den P. wirkenden Kräften an. ) Ermitteln Sie den mindestens erforderlichen Haftreiungskoeffizienten µ W der P. eiden Kontaktpunkte der Walze. Hinweis: µ W ist für eide Kontaktpunkte gleich. Daher ist es ausreichend den Kontakpunkt zwischen Wand und Walze zu etrachten. c) Bestimmen Sie für den Grenzfall des ideal glatten Kontakts zwischen Platte 4 P. und Wand, also µ P =, die mindestens erforderliche Länge der Platte. d) Nehmen Sie ideal starre Körper an (keine Deformation möglich). Wie groß darf P. die Masse der Platte sein, damit Haften auftritt? 4

5 a) Es wirken auf eide Körper Normal- und Haltekräfte, sowie die Gewichtskraft auf die Platte. F CN α r F BN F BH c F CH F BN F AN F AH F BH d mg Aildung 3: Freischnitt Walze, Platte ) Der Koeffizient muss erfüllen. µ W sin(α) + cos(α) c) Um das Moment der Kräfte F CN und F BN auszugleichen muss der Angriffspunkt C auf der Höhe d sin α c = ( + cos(α)) liegen. d) Da µ W und µ P nicht vom Gewicht der Platte ahängen spricht man von Selsthemmung: die Kraft kann theoretisch (is zur plastischen Verformung) unendlich werden. 5

6 3. In dieser Aufgae wird die Heizung des in Aildung 4 dargestellten Raums e- P. trachtet. δp l l δw lh Ta Ti lw Kontur h αa δd Kontur d αi Kontur x l Aildung 4: Links: Raumheizung, rechts: mit Innendämmung (a Aufgae ). a) Berechnen Sie die Verlustwärmestromdichte durch die Wand ei der Luftin- P. nentemperatur Ti und der Außentemperatur Ta mit den Wärmeüergangskoeffizienten αi und αa und der Wärmeleitfähigkeit λw von Putz und Ziegel. Nehmen Sie für die folgenden Aufgaen an, dass die Temperatur des Innenputzes (Dicke δp ) mit einer integrierten Wandheizung konstant auf Th geheizt wird. ) Wie dick muss eine Innendämmung (Wärmeleitkoeffizient λd ) zwischen der P. Putz/Heizungsschicht und der Ziegelmauer gewählt werden, so dass der Wärmeverlust durch die Mauer nach Einau der Wandheizung für die gegeenen Temperaturen Ti, Ta und Th unverändert leit? c) Geen Sie den Temperaturverlauf in der Wand (ei Einsatz der Innendäm-.5 P. mung) in Ahängigkeit der Koordinate x an. Skizzieren Sie diesen außerdem qualitativ für λw = λd. d) Ermitteln Sie den Sichtfaktor Fh,d in Ahängigkeit der eingezeichneten Längen, P. woei die Kontur h die eheizte Wand und die Kontur d die Raumdecke mit den Längen l und l ezeichnen. e) Die ungeheizte Wand (Länge lw ) und die Decke werden nun zur Kontur u.5 P. zusammengefasst. Nehmen Sie an, dass die Sichtfaktoren Fh,, Fh,u F,u gegeen sind und geen Sie allgemein die Berechnungsvorschrift für die restlichen Sichtfaktoren der Sichtfaktormatrix F in Ahängigkeit der angegeenen Sichtfaktoren und der Längen an. f) Vernachlässigen Sie nun den Wärmeüergang im Innenraum (αi = ). Geen P. Sie die Gleichung zur Bestimmung der unekannten Temperaturen Tu und T und der notwendigen Heizleistungsdichte der Wandheizung q h (für gegeene Temperaturen Th und Ta ) an. Nehmen Sie hierzu ein konstantes ε an und fassen Sie die Temperaturen im Vektor T geeignet zusammen. 6

7 Lösung: a) ) c) d) e) f) mit mit k = q = k(t i T a ) α i + δw+δp λ w + α a ( Tw T a δ d = λ d k(t i T a ) δ w ) λ w α a T h T (x) = T h q x δp λ d T h q ( δ d λ d + x δp δ ) d λ w für x < δ p für δ p x < δ p + δ d für δ p + δ d x δ p + δ d + δ w F h,d = ( ) l h + l l + l w l + (l w l h ) h F h,h = F, = F,h = l h l F h, l h F u,h = F h,u l + l + l w l F u, = F,u l + l + l w F u,u = (l F,u + l h F h,u ) l + l + l w T 4 ε(e F( ε)) h q h k (T h T a ) (E F)σ Tu 4 + = T 4 F h,u F u,h F = F u,h F u,u F u,, k = F,h F,u δ w λ w + δ d λ d + α a 7