Die Vernunft im Cauchy-Mythos

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1 SUB Göttingen A33118 D. Spalt Die Vernunft im Cauchy-Mythos Synthetischer Aufbau einer Analysis: Herkunft, Mißverständnisse und Herkunft der Mißverständnisse \. Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 9 I Worum es geht 13 O.l Die Perspektive Das Thema Die Methode Das Ergebnis 25 II Cauchy: Algebraische Analyse, Infinitesimalrechnung 29 1 Geschichtliche Einleitung 33 2 Die Grundbegriffe der Infinitesimalrechnung Größe Zahlgröße Wert einer Zahlgröße Vorzeichen und Vorzeichenregel Natürliche und gebrochene Zahl Beständige und Veränderliche Continuierliche und diskrete Veränderliche Grenze Irrationale Zahlen. Zahl als Grenze Irrationale Zahl als Grenze Unbestimmte Verminderung: der Wert null Begrenzte Verminderung (oder Vermehrung): die endlichen Werte Unbestimmte Vermehrung: der Wert unendlichgroß Unendlichkleine und unendlichgroße Zahlgrößen Intentionalität 61 3 Die Algebra der Infinitesimalrechnung Das Rechnen mit Beständigen und Zahlen Addieren und Subtrahieren Multiplizieren und Dividieren 65

3 Inhalt Potenzieren und Wurzelziehen Rückbück Ausblick Das Rechnen mit veränderlichen Zahlgrößen Rechnen mit null oder unendlich Rechnen mit null und unendlich Größenvergleiche bei Zahlgrößen und Zahlen Gleichheit bei Zahlgrößen 76 Die Grundlagen der Functionenlehre Function Der Begriff der Function und ihrer Werte Einteilung der Functionen Konsequenzen aus dem Functionsbegriff für die Algebra der Zahlgrößen Continuität Functionen einer unabhängig Veränderlichen Functionen mehrerer Veränderlicher Nullstellensatz 95 Unendliche Summen von Zahlgrößen 99 Die Differentialrechnung Differential Derivierte Differentiale bei einer unabhängig Veränderlichen Differentialrechnung bei einer unabhängig Veränderlichen Mittelwertsatz der Differentialrechnung Einzelwerte aus Functionen bei einer gemeinsamen unabhängig Veränderlichen Ordnungen des Unendlichkleinen Eigenschaften der Unendlichkeitsordnungen Eine geometrische Anwendung Über Derivierte, welche unendlichkleine Zahlgrößen darstellen Differentiale bei Functionen mehrerer Veränderlicher Totales Differential Vorbetrachtungen Totales Differential bei mehreren unabhängig Veränderlichen Totales Differential bei mehreren, untereinander abhängig Veränderlichen Totales Differential Zusammenfassung Gemischte Differentiale Die Vertauschungsformel für Differentiale (1) Der Vertauschungssatz für Derivierte Die Vertauschungsformel für Differentiale (2) 158

4 Inhält 7 Integralrechnung Bestimmtes Integral Vorbereitung Erklärung des bestimmten Integrals Mittelwertsatz der Integralrechnung Uneigentliches Integral Bestimmtes Einzelintegral. Hauptwert Integration von Reihen Note an Abel Abels Behandlungsweise Kritische Betrachtung der Abelschen Behandlungsweise Ein einfacherer Beweis Beweisvergleich Note an Dedekind 193 Analysis aus wirklichen Zahlgrößen Grundlagen und Sprechweisen Zahlgrößen und Werte Ordnung der Zahlgrößen Rechnen mit Zahlgrößen Drei besondere Intentionsarten der Zahlgrößen Natürliche Veränderliche Aufbau einer strengen Lehre Heuristische Vorbetrachtung Die stetig 'Veränderlichen-und die idealen Werte Ideale Veränderliche Die Grundlage einer strengen Functionenlehre Das ideale Continuum 208 III Cauchy-Bilder Ergebnis Die Grundform Die Grundbegriffe Die Grundkonsequenzen Grundlegende Verschiedenheiten Die methodische Einheit Das Verschwinden der Infinitesimalen Gesamtschau: Die Cauchysche Analysis Methodischer Ausblick: Die Sprache der Historisch vergleichenden Analysis Ein Seitenblick über den Zaun der Mathematik hinaus: Eine höfische Analysis? Historische und ontologische Reflexionen Wert in der höfischen Gesellschaft Prestige- oder Gebrauchs-Wert? Function und Wert bei Cauchy Wie kam Cauchy zum Wert-Begriff? 229

5 8 Inhalt 11 Geschichtsschreibung der Analysis heute auf der Grundlage des mathematischen Wissens von heute Die historische Literatur zu Cauchy seit Abraham Robinson Imre Lakatos John P. Cleave Cleave Cleave Gordon M. Fisher Ivor Grattan-Guinness Grattan-Guinness Grattan-Guinness 1970a Grattan-Guinness Grattan-Guinness Hans Freudenthal Judith V. Grabiner Detlef Laugwitz Laugwitz Laugwitz 1986, Laugwitz 1986a Laugwitz Laugwitz Laugwitz Detlef D. Spalt Enrico Giusti Enrico Giusti Umberto Bottazzini Bottazzini Bottazzini Teunis Koetsier 264 Begleitumstände 267 Literatur 269 Register 279 Personen 279 Begriffe 281