Beziehungen sind überall. Beziehungen zwischen Personen:

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1 46 Maurer: Mathe macht Spass 3 Funkttiionen 3.. Bezzi iehungen.. Zuorrdnungen.. Relatti ionen Beziehungen sind überall. Beziehungen zwischen Personen: Beziehungen zwischen Personen und Dingen: Beziehungen zwischen Personen und Namen, Begriffen etc.: Kuno ist Freund von Fritz. Erich ist Vater von Brigitte. Sabine ist größer als Andrea. Dieses Buch gehört laudia. Angelika liebt Mathematik. Beziehungen zwischen Personen oder Dingen und Zahlen oder Größen: Bertram hat die Telefonnummer: Ma ist,80 m groß. Unvermeidlicherweise befasst sich auch die Mathematik mit Beziehungen. Dabei geht man davon aus, dass Dinge, Personen, Worte, Zahlen usw. Mengen bilden. In der mathematischen Formulierung geht es dann bei allen Beispielen um Beziehungen zwischen Elementen von Mengen. Ziele der mathematischen Untersuchung von Beziehungen sind dann: Übersichtliche Darstellung: Eigenschaften von Beziehungen Ordnung Klassifikation der Beziehung Definition, also genaue Beschreibung, was wir mathematisch unter Beziehungen verstehen wollen. Häufig wird der Sachverhalt mit einem anderen Namen versehen als im Alltag. Die Beziehungen werden in der Mathematik Relationen genannt. Bemerkung: Sie bekommen in der Schule auch jetzt ist das so zuerst eine Definition präsentiert. Tatsächlich ist meistens schon ein großes Stück Arbeit nötig, um eine brauchbare mathematischen Definition zu finden. Definition Bemerkung Eine Relation ist eine Zuordnung, die Elementen aus einer Definitionsmenge A, Elemente aus einer Zielmenge B zuordnet. Oder eine zweite Version: Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare (a;b), wobei a A und b B. Statt (a;b) schreibt man auch arb. Man kann die Relation etwas hroglphisch schreiben als: R = {(a;b) I arb mit a A und b B} Die Mengen A und B müssen nicht verschieden sein.

2 3 Lineare Funktionen 47 Darstellung Eine Relation kann durch verbale Beschreibung, ein Pfeildiagramm, eine Tabelle Koordinatensstem dargestellt werden. Dabei ist natürlich nicht jede Darstellungsform für jede Relation geeignet. Beispiel 3. Erich ist Vater von Kurt. Kurt, Elke, Michael und Fritz sind Geschwister. Heinz ist Schwester von Erich. Erich ist Onkel von Yvonne und Birgit. Geben Sie ein Pfeildiagramm der Relation "ist Vater von" an. Lösung: Der Pfeil ist zu lesen als: "ist Vater von". Erich Friedrich Heinz Kurt Elke Michael Fritz Yvonne Birgit Bemerkung Bei einer Relation gehen im Pfeildiagramm von den Elementen a von A Pfeile zu Elemente von B. Nicht von jedem a muss ein Pfeil ausgehen, es können von a auch mehrere Pfeile ausgehen. Nicht bei jedem b aus B muss ein Pfeil ankommen, es können auch mehrere ankommen. Beispiel 3. ZZuueerrsst t eei innee Deef finni itioonn: : aa isst i t TTeei ileerr ddeerr ZZaahhl l bb,, weennnn ssi icchh bb oohhnnee Reesst t dduurrcchh aa teei t ileenn läässsst l t.. Z.B. ist Teiler von 6, aber 3 ist kein Teiler von 0. "ist Teiler von" ist eine Relation stelle sie für die Zahlen bis 0 durch eine Tabelle und ein Pfeildiagramm dar. Die ist Teiler von allen natürlichen Zahlen, die habe ich weggelassen, damit das Pfeildiagramm nicht allzu unübersichtlich wird. Lösung: Tabelle: Definitions- und Zielmenge A = B = {;3;4;5;6;7;8;9;0} a a ist Teiler ; 4; 6; 3; 6; 4; von b 8; 0 9 Pfeildiagramm A B

3 48 Maurer: Mathe macht Spass Beispiel 3.3 Kurt, Emil, Erika und Elke bilden eine Freundesklicke. Geben Sie die Relation "ist Feund/Freundin von" für die Menge A=B = { Kurt, Emil, Erika, Elke } als Pfeildiagramm und als Paarmenge an. Lösung: Pfeildiagramm Kurt Emil Erika ZZw eei i Eiggeennsscchhaaf fteenn vvoonn Reel laat tioonneenn Elke Relation dargestellt durch Paarmenge: {(Emil;Kurt); (Kurt;Erika); (Erika;Elke); (Elke;Emil); (Kurt;Emil); (Erika;Kurt); (Elke;Erika); (Emil; Elke)} Smmeet trri iee TTrraannssi itivvi itäät t Eine Relation R ist smmetrisch, wenn für alle (a;b) auch (b;a) gilt. Eine Relation R ist transitiv, wenn aus (a;b) und (b;c) stets auch (a;c) folgt. AUUFFGGAABBEE 33..: : Stellen Sie zu Beispiel 3. die Relation "ist Sohn von" durch ein Pfeildiagramm dar. AUUFFGGAABBEE 33..: : Ist das Wahlergebnis der Bundestagswahl 005 eine Relation? Geben Sie die Mengen A und B und einige Paare an. AUUFFGGAABBEE : : Welcher dieser Relationen sind smmetrisch, welche sind transitiv? a) "ist Schwester von" b) "ist Bruder von" c) "ist Mutter von" d) "ist Freund/Freundin von" e) "sitzt im Unterricht neben" f) "ist Teiler von" g) "ist älter als" h) "ist Quadratzahl von" AUUFFGGAABBEE : : Die folgenden Personen sind nach dem Alter geordnet: Erich, Susanne, Robert, Ludwig, Karin. Stellen Sie die Relation ist älter als durch ein Pfeildiagramm dar. AUUFFGGAABBEE :: Die Abbildung zeigt die 5 platonischen Körper. a a a 3 a 4 a 5 A ist die Menge der platonischen Körper. B = IN Geben Sie die Relationen R : "a hat b Flächen" R : "a hat b Kanten" R 3 : "a hat b Ecken"

4 3 Lineare Funktionen Deffi initti ion derr Funktti ion und Darrsttel llungsfforrmen Relationen sind Zuordnungen fast ohne Einschränkungen. Sie sind dennoch in vielen Bereichen wichtig, z.b. bei Organisationsfragen, Suche nach dem optimalen Weg, Sprachanalse, etc. Dennoch interessieren sie uns weniger. Wichtig sind für uns spezielle Relationen. Nämlich solche, bei denen in der Pfeildarstellung von jedem Element der Menge A nur ein Pfeil ausgeht. Definition Wertemenge Eine FFuunnkkt tioonn f ist eine Zuordnung, die jedem Element aus einer Definitionsmenge (oder Deef finni itioonnssbbeerreei icchh) ID genau ein Element aus einer Zielmenge B zuordnet. Bei reellen Funktionen sind die Definitionsmenge ID und de Zielmenge B Teilmengen der reellen Zahlen, ID IR, B IR. heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion oder (besonders hübsch) Abszisse. heißt Funktionswert oder Ordinate. Die Definitionsmenge ID ist die Menge aller zulässigen -Werte. Der maimale Definitionsbereich ID ma ist die größtmögliche Definitionsmenge, für die eine Funktion definiert ist. Wir werden häufig die Termschreibweise verwenden: f() bezeichnet den Funktionsterm, dabei ist f der Funktionsnamen und die unabhängige Variable. f(3) bedeutet: Ersetze im Funktionsterm überall die Variable durch den Wert 3. Die Menge aller -Werte, die die Funktion annimmt, heißt Wertemenge (oder Wertebereich) \W. \W = { = f(), ID } Darstellung von Funktionen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten festgelegt bzw. dargestellt werden: - Funktionsgleichung - Zuordnungsvorschrift - Pfeildiagramm (siehe Relation) - Wertetabelle - Schaubild Man kann eine Funktion f durch eine Funktionsgleichung festlegen: = f() Dabei bezeichnet f() den Funktionsterm. Beispiel 3.4 Durch die Gleichung = , wird eine quadratische Funktion gegeben. Der Funktionsterm ist hier f() = f(3) = = = 0 Bezeichnungen, Schreibweisen Definitionsmenge Termschreibweise Funktionsgleichung Zuordnungsvorschrift Den Zuordnungscharakter der Funktion macht die Schreibweise f: f(), ID besonders deutlich. Beispiel 3.5 f: ,

5 50 Maurer: Mathe macht Spass Wertetabelle f() Schaubild Das zur Frage, wozu sind eigentlich Parabeln gut. f AUUFFGGAABBEE : : Welche der folgenden Pfeildigramme stellen Funktionen dar? a) b) c) a b c d e h z r s t AUUFFGGAABBEE : : {(;); (;3); (3;6); (4;0); (5;5);..} a) Stellt diese Paarmenge eine Funktion dar? b) Wie heißt vermutlich das nächste Paar? AUUFFGGAABBEE :: Welche der folgenden Kurven sind Schaubilder einer Funktion? heißt: Der Punkt gehört zum Schaubild. heißt: Der Punkt gehört nicht zum Schaubild a) b) c) c) d) e)

6 3 Lineare Funktionen 5 AUUFFGGAABBEE : : Das Schaubild zeigt den Füllstand einer Badewanne in Abhängigkeit von der Zeit. Füllstand Handelt es sich um das Schaubild einer Funktion? Beschreiben Sie den dargestellten Vorgang. Zeit t AUUFFGGAABBEE :: Ein Schwimmbecken hat den abgebildeten Querschnitt. Es wird über einen Schlauch mit gleichmäßig laufendem Wasser gefüllt. Die Füllhöhe kann als Funktion der Zeit betrachtet werden. Skizzieren Sie, wie der Graph von H(t) prinzipiell verläuft. Gefäße mit den abgebildeten Querschnitten werden über einen Schlauch mit gleichmäßig laufendem Wasser gefüllt. Stellen Sie jeweils die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar. a) b) c) d) e) f) AUUFFGGAABBEE 33..: : Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs und dem Kraftstoffverbrauch eines Fahrzeugs ist bei jedem Gang verschieden. a) Bei welchen Geschwindigkeiten beträgt der Verbrauch 0l pro 00 km? b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verbrauch im 4. Gang am geringsten? c) Um wie viel sinkt der Verbrauch, wenn man bei 60 km/h im 4. Gang statt im 3. Gang fährt?

7 5 Maurer: Mathe macht Spass 3..3 Linearre Funktti ionen.. Deffi initti ion und grraphische Darrsttel llung Definition Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung, deren Schaubild eine Gerade ist. Lineare Funktionen lassen sich darstellen durch die Zuordnungsvorschrift m + c, m, c. Oder durch die Funktionsgleichung = m + c, m, c, diese Gleichung heißt auch Hauptform der Geradengleichung. Dabei gibt m die Steigung der Geraden und c den -Achsenabschnitt an, d.h. die Gerade schneidet die - Achse im Punkt S (0 c). Beispiel 3. g Steigungsdreieck -Achsenabschnitt c = -Achsenabschnitt c = - Steigungsdreieck - h Aus dem Steigungsdreieck von g liest man die Steigung von g ab: senkrechte Kathete m = = waagrechte Kathete -Achsenabschnitt von g: c = Geradengleichung von g in Hauptform: g : = + Aus dem Steigungsdreieck von h liest man die Steigung von h ab: senkrechte Kathete m = = = - waagrechte Kathete -Achsenabschnitt von h: c = - Geradengleichung von h in Hauptform: h : = Spezialfälle α =45 α =35 c > 0 c < 0 Ursprungsgeraden Geraden durch den Ursprung. Funktionsgleichung: = m, d.h. c = 0.. Winkelhalbierende Die. Winkelhalbierende halbiert den. und 3. Quadrant. Funktionsgleichung: =, d.h. m = und c = 0.. Winkelhalbierende Die. Winkelhalbierende halbiert den. und 4. Quadrant. Funktionsgleichung: = -, d.h. m = - und c = 0. Waagrechte Geraden Waagrechte Geraden haben die Steigung m = 0. Funktionsgleichung: = c

8 3 Lineare Funktionen 53 Wachsende Geraden Wachsende Geraden haben positive Steigung m > 0 Fallende Geraden Fallende Geraden haben negative Steigung m < 0 Senkrechte Geraden Senkrechte Geraden haben Gleichungen der Form = a (Das ist keine Funktionsgleichung.) Beispiel 3. Zeichnen Sie die Geraden g und h mit den Gleichungen g: = 3 + und h: = 5 Lösung: 3 Gerade g: m = Gerade h: m = 5 4 senkrechte Kathete waagrechte Kathete senkrechte Kathete waagrechte Kathete 3 = = ; c = - 3 ; c = 3 g h +4 TTi ipppp + 5 Zähler und Nenner der Steigung werden gerne vertauscht. Deshalb empfiehlt es sich, wenn die Zeichnung fertig ist, zur Kontrolle nochmals nach der Steigung zu schauen: 3 Steigung von g, m = : m negativ, also fallend, Betrag von m:,5 >, g fällt steiler als die Winkelhalbierende. 4 Steigung von h, m = <, m positiv, also steigend 5 Betrag von m: 0,8 <, h steigt flacher als die Winkelhalbierende. Beispiel 3.3 Überprüfen Sie, ob die Punkte P( - 3 ) und Q( - ) auf der Geraden g: =

9 54 Maurer: Mathe macht Spass Puunnkkt tpprroobbee Lösung: Setzt man in der Gleichung von g: =, = -, dann erhält man = -,5. P hat aber den -Wert 3, P liegt also nicht auf g.. Weg: Man kann auch gleichzeitig für = - und für = 3 einsetzen und dann nachrechnen, ob sich eine wahre Aussage ergibt. Dieses Verfahren nennt man Punktprobe. Mit P( 3 ) erhält man 3 = ( ) = -,5 und das ist eine falsche Aussage, P liegt - wie wir bereits wissen nicht auf g. Punktprobe zu Q( ): = =. Dies ist eine wahre Aussage, Q liegt also auf der Geraden g. Beispiel 3.4 Gegeben sind die beiden Punkte P( ) und Q( - ). Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch P und Q geht. Skizze Lösung: An der Skizze sieht man, wie man die Steigung erhält Q m = = Q Q P P ( 3) = = ( ) 3. P = Q - P = Q - P Man kann also schon ansetzen: = 3 + c Den -Achsenabschnitt erhält man durch Punktprobe mit einem der Punkte, z.b. Q( - ). Q liegt auf g, daher müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen: - =. + c. 3 7 Man erhält c =. 3 Insgesamt ergibt sich für g : 7 =. 3 3 Gerade wollte ich fragen, ob es eigentlich keine Aufgaben zu Geraden gibt. ÜBBUUNNGGSSAAUUFFGGAABBEENN AUUFFGGAABBEE 33..: : Zeichnen Sie die folgenden Geraden in ein Koordinatensstem g : = ; g : = 3 + ; g3 : = - ; 3 g 4 : = 3; g 5 : = ; g 6 : 5 - = 0

10 3 Lineare Funktionen 55 AUUFFGGAABBEE : : Geben Sie zu den dargestellten Geraden Gleichungen an. m k g AUUFFGGAABBEE : : Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g, g, g 3, g 4, die durch die gegebenen Punkte gehen. Geben Sie, wenn möglich, die Hauptform an. g : P(- 0 ), Q ( 0 3 ) ; g : A ( 7 ), B ( - ) ; g : ( ), D( 5 - ) ; g 3 : E ( -,5 ), F ( 5 -,5) 4 AUUFFGGAABBEE : : Untersuchen Sie, ob die drei Punkte P( ), Q( 3 0 ) und R( 4-0,5 ) auf einer Geraden liegen. l h Orthogonal?? Ist mir egal!! 3..4 Parrallelittätt und Orrtthogonal littätt Satz g h Zwei Geraden g: = m + c und h: = m + c sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. m = m Beispiel 3.5 Die beiden Geraden g: = + und h: = sind parallel, siehe Abbildung.

11 56 Maurer: Mathe macht Spass Definition Orthogonalität Zwei Geraden g und h heißen orthogonal, wenn sie aufeinander senkrecht stehen. In Zeichen: g h Satz - -b a a b Wenn die Geraden g und h nicht achsenparallel sind, dann sind sie orthogonal, wenn für ihre Steigungen m, m gilt: m. m = - oder m = m In Worten: m ist der negative Kehrwert von m Beispiel 3.6 g S P h Gegeben ist die Gerade g: = +. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die orthogonal zu g ist und durch den Punkt P( 3 ) geht. Lösung: Die Steigung m h von h erhält man als negativen Kehrwert aus m g. m h = = =. mg Damit ergibt sich für h der Ansatz: = + c. Punktprobe mit P( 3 ) führt zur Gleichung: 3 =. + c - 3 c = - Damit hat h die Gleichung in Hauptform: = Schnitttt von Gerraden Zwei Geraden in der Ebene können sich in einem Punkt schneiden, (echt) parallel liegen oder überhaupt identisch sein. Die drei folgenden Beispiele zeigen diese drei Möglichkeiten. Beispiel 3.7 Zeichnung siehe Beispiel 3.6 Gegeben sind die beiden Geraden g: = + und h: = -. Wo schneiden sich die beiden Geraden? Lösung: Wir suchen einen Punkt, der sowohl auf der Geraden g, als auch auf der Geraden h liegt, er muss also beide Gleichungen erfüllen. Das führt zum Gleichungssstem:

12 3 Lineare Funktionen 57 g und h haben einen Schnittpunkt () = + () = - Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an: () = () + = = und folglich: = 5 5 Beispiel 3.8 g h g und h sind echt parallel In () eingesetzt erhält man: = = Das Lösungselement ; kann nun zwanglos als Punkt 5 5 gedeutet werden. Es folgt: 4 3 Der Schnittpunkt von g und h ist also S. 5 5 Gegeben sind die beiden Geraden g: = + und h: =. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? (Siehe Beispiel 3.5) Lösung: Auch hier liefert uns die Lösung eines Gleichungssstems die Antwort. () = + () = Auch hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. () = () + = = 0 Man erhält eine falsche Aussage und weiß damit, dass die beiden Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben. g und h sind parallel. Zur Unterscheidung von Beispiel 3.9 nennen wir die Geraden g und h echt parallel. Beispiel 3.9 Gegeben sind die beiden Geraden g: 4-5 = 0 und h: =. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Scheiß-Job g und h sind identisch Lösung: Und zum dritten Mal stellen wir ein Gleichungssstem auf: () 4 5 = 0 5 () 5 + = () 4 5 = 0 () 5 = 5.. ( )

13 58 Maurer: Mathe macht Spass Dieses Mal sind wir mit dem Additionsverfahren besser beraten. Wir erhalten: 0 = 0. Dies ist eine wahre Aussage. Jedes Zahlenpaar, das die Gleichung () löst, löst auch Gleichung (). Oder geometrisch gedeutet: Jeder Punkt auf der Geraden g liegt auch auf der Geraden h. Es gibt also nur eine Gerade, g und h sind identisch. () und () sind zwei verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade. Bemerkung echte Parallelität Hätte man bei Beispiel 3.9 nur die Steigung betrachtet, so hätte 4 man bei g und h jeweils m = gefunden und nach dem Satz 5 vom Anfang des Kapitels festgestellt: g und h sind parallel. Das ist völlig richtig. Allerdings sind die beiden Geraden g und h sogar identisch. Um Beispiel 3.8 davon abzugrenzen, haben wir die echte Parallelität eingeführt, d.h. im Beispiel 3.8 sind die beiden Geraden g und h parallel und verschieden. Beispiel 3.0 Geben ist das Dreieck AB durch A( -3 0 ), B( 4 ) und ( 0 4 ). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist. b) Berechnen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: Zeichnung nicht verlangt aber hilfreich Da kann man sich ja krumm rechnen mit den blöden Geraden. b a A B c Steigung von Seite a: m a = B B 4 = = 4 Steigung von Seite b: m b = A A = = ( ) 3 4 Es gilt m a m b = =, d.h. die Seiten a und b sind 4 3 orthogonal und damit ist der Winkel γ ein Rechter, also γ = 90.

14 3 Lineare Funktionen 59 b) Zur Berechnung der Seitenlängen benötigen wir den Satz von Pthagoras, ein Vorgriff wie gesagt. Der Zeichnung entnimmt man: a = ( ) + ( ) = ( 4 0) + ( 4) B = = 5 B b = ( ) + ( ) = ( 3 0) + ( 0 4) A = = 5 c = a + b = = 5 Flächeninhalt: a b A = =,5 A Herrlich, noch mehr Aufgaben, hoffentlich sind sie wohl geraten. ÜBBUUNNGGSSAAUUFFGGAABBEENN AUUFFGGAABBEE :: Gegeben sind die drei Punkte A(-5 ), B( 3 - ), ( 5 3 ). a) Welche Gleichung hat die Parallele zu (B) durch A? b) Welche Gleichung hat die Parallele zu (A) durch B? AUUFFGGAABBEE :: Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die auf der Geraden g: =,5 senkrecht steht und durch P( 3 ) geht. AUUFFGGAABBEE :: Gegeben ist das Dreieck AB mit den drei Eckpunkten A( ), B( 4 0 ) und ( 5 ). a) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensstem. b) Bestimmen Sie Gleichungen der Geraden, auf denen die Dreiecksseiten liegen. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Höhe h c. Berechnen Sie den Höhenfußpunkt F c auf c. AUUFFGGAABBEE :: Gegeben sind die drei Geraden g: = + 4, h: 8 +=3 und k: 5 = Berechnen Sie die Schnittpunkte. Zeichnen Sie die drei Geraden. Prüfen Sie, ob das Dreieck rechtwinklig ist. AUUFFGGAABBEE :: Gegeben sind die beiden Geraden g und h durch g: = + und h: = a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h und die Schnittpunkte von g und h mit der -Achse. Zeichnen Sie die beiden Geraden in ein Koordinatensstem. b) Die beiden Geraden bilden zusammen mit der -Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck rotiere um die -Achse. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

15 60 Maurer: Mathe macht Spass 3..6 Zusammenffassung Haauuppt tfoorrm Paarraal lleel lee zzuurr - -Acchhssee = a = m + c m bedeutet die Steigung, c bedeutet den -Achsenabschnitt Allggeemeei innee Geerraaddeennggl leei icchhuunngg A + B + = 0 Diese Form erfasst alle Geraden, auch Parallelen zur -Achse. Ist B = 0 erhält man eine Gleicunh der Form = a. Sind zwei Punkte P ( I ) und P ( I ) einer Geraden gegeben, dann berechnet sich die Steigung durch FFoorrmeel l füürr f ddi iee Steei igguunngg m = Puunnkkt t-steei igguunnggssf foorrm Gegeben ein Punkt P ( I ) und die Steigung m der Geraden g. PSF: g: = m ( ) + Beispiel: Gegeben P( I 3 ) und m =. Ansatz: = m (- ) + = ( ) + 3 = = AUUFFGGAABBEE 33..:: Gegeben sind von dem Parallelogramm ABD die drei Eckpunkte A(- 3-0), B( 3-6) und (5 4). Berechne den vierten Punkt D. (Skizze empfehlenswert, Zeichnung nicht sinnvoll.) AUUFFGGAABBEE 33..:: Zeige, dass das Viereck A( 4 ), B( 6 ), ( 9 6 ) und D( 4 I 9 ) ein Rechteck ist. AUUFFGGAABBEE :: Gegeben sind die drei Punkte A( 3 ), B( I ) und ( 3 ) a) Untersuche, ob das Dreieck AB gleichschenklig oder gar gleichseitig ist. Zeichne das Dreieck. Streckenlänge mit Pthagoras b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AB c) Der Punkt D liege auf der Gerade g: = Zeichne die Gerade g in das Koordinatensstem des a)-teils. Bestimme rechnerisch den Punkt D so, dass das Dreieck ABD einen Inhalt 5 von FE (Flächeneinheiten) hat.