102 Maurer: Mathe macht Spaß

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1 0 Maurer: Mathe macht Spaß 7 Trriigonomettrriische Funkttiionen Bezeichnungen Das Wort Trigonometrie stammt aus dem Griechischen: τρί (tri) bedeutet drei und γονού (gony) Winkel, insgesamt also Dreiwinkligkeit oder Dreiecksberechnung. Das Wort Sinus stammt eigentlich vom alt-indischen Wort für Sehne, jiva, ab. Im arabischen dann giba geschrieben. Da in der arabischen Schrift meist nur Konsonanten geschrieben werden, wurde dieses Wort mit gaib verwechselt, das Busen bedeutet. Bei der Übersetzung ins Lateinische wurde daraus sinus. 7.. Deffi initti ion derr ttrri igonomettrri ischen Funktti ionen Definition im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete sin α = Hypotenuse Ankathete cos α = Hypotenuse tan α = Gegenkathete Ankathete b C. A c B a Wichtige Werte für Winkel zwischen 0 und 90 Mittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. Siehe Aufgabe α sin α cos α 0 0 = 0 4 = 30 = = 90 4 = 0 = 0 AUUFFGGAABBEE 77.. Rechnen Sie die obigen Werte nach. Verwenden Sie dazu ein gleichseitiges bzw. ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck

2 7. Trigonometrische Funktionen Sinus-- und Cosinus--Funktti ion im i Einheittskrreis Im rechtwinkligen Dreieck sind nur Winkel zwischen 0 und 90 möglich. Will man die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren, muss man sich etwas anderes einfallen lassen. Die Idee zur Verallgemeinerung ist der Einheitskreis. Im Einheitskreis kann man Sinus und Cosinus so definieren, dass man für beliebige Winkel Sinus- und Cosinus-Werte erhält. Definition P ist ein Punkt auf der Peripherie des Kreises. Dann definiert man den -Wert als Cosinus des Winkels und den y-wert als Sinus des Winkels. y P(cos sin ) sin α cos Beispiel α = 90 führt zu P( 0 I ): cos 90 = 0, sin 90 = α = 80 führt zu P( - I 0): cos 80 = -, sin 80 = 0 α = 70 führt zu P( 0 I -): cos 70 = 0, sin 70 = - α = 45 d.h. P( I ): cos 45 =, sin 45 = α = 35 d.h. P( I ): cos 35 =, sin 35 = α = 5 d.h. P( I ): cos 5 =, sin 5 = α = 35 d.h. P( I ): cos 35 =, sin 35 = AUUFFGGAABBEE 77.. Füllen Sie die Wertetabelle aus α sin α cos α Voorrzzeei icchheenn vvoonn Sinnuuss uunndd Coossi innuuss Im Einheitskreis kann man die Vorzeichen von Sinus und Cosinus ablesen y sin α: + sin α: + cos α: - cos α: + 90 bis 0 bis bis 70 bis sin α: - sin α: - cos α: - cos α: + Schaubilder Mit der Wertetabelle könnte man nun die Schaubilder zeichnen. Vorher werden wir aber ein neues Winkelmaß einführen. Das Grraaddmaaßß wird durch das Booggeennmaaßß ersetzt. Damit werden sinus und cosinus rreeeel llee FFuunnkkt tioonneenn. Den eigentlichen Vorteil wird man aber erste bei der Differentialrechung sehen.

3 04 Maurer: Mathe macht Spaß 7..3 Bogenmaß Statt der Kuchenstückcheneinteilung kann man die Größe eines Winkels auch durch die Länge des Bogens messen, den er aus dem Kreis ausschneidet. Allerdings hängt der Bogen nicht nur vom Winkel, sondern auch vom Radius des Kreises ab. Wir erinnern uns: Kreisumfang: U = r r r Bogen für den Winkel α = : b = = Booggeenn füürr f eei inneenn Winnkkeel l α: : bb == r r α = α Umrechnung zwischen Gradund Bogenmaß Allerdings hängt der Bogen nicht nur vom Winkel, sondern auch vom Radius des Kreises ab. Hier hilft wieder der Einnhheei itsskkrreei iss, d.h. der Radius wird gleich eins gesetzt. Definition Booggeennmaaßß füürr f eei inneenn Winnkkeel l α: : Das Bogenmaß eines Winkels α ist die Länge des zugehörigen Bogens im Einnhheei itsskkrreei iss. == α = α α AUUFFGGAABBEE Bestimmen Sie von folgenden Winkeln das Bogenmaß. Gib dabei das Bogenmaß als Vielfaches von an. α AUUFFGGAABBEE Füllen Sie folgende Tabelle aus. Gib dabei das Bogenmaß als Vielfaches von an. Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß 5 AUUFFGGAABBEE Wie viel Grad hat der Winkel mit dem Bogenmaß? = α = AUUFFGGAABBEE 77.. Gib das Bogenmaß jeweils auf 3 Nachkommastellen an: α

4 7. Trigonometrische Funktionen Sinus-- und Cosinus--Kurrve Berechnung von Sinus- und Cosinus-Werten GTR Am einfachsten ist es natürlich die Sinus- und Cosinus-Werten mit dem GTR zu bestimmen. Gibt man die Winkel im Bogenmaß ein, dann muss der GTR zunächst auf RAD umgestellt werden. Z.B. Menü RUN, Shift Setup, Angle auf RAD DEG bedeutet Gradmaß GRA liefert Neugrad (Gon) 90 = 00 Gon Grafische Bestimmung der Sinus-und Cosinus-Werte Im Einheitskreis kann man die Sinus- und Cosinus-Werte direkt ablesen. Der Maßstab beträgt: r = LE = 5 cm. Man muss also die in cm abgelesenen Werte durch 5 cm dividieren und hat dann den Sinus bzw. Cosinus. Als Beispiel ist ein Winkel von α = 30 = eingetragen und man kann sin α = 0,5 und cos α = 0,87 ablesen. Sieht er mir nicht ähnlich? sin sin > 0 > 0 cos cos < 0 > 0 sin sin < 0 < 0 cos cos < 0 > 0 Wertetabelle. Gradmaß α Bogenmaß y = sin 0 0,5 0,7 0,87 0,87 0,7 0-0,7 - -0,7-0,5 0 y = cos 0,87 0,7 0,5 0-0,5-0,7 - -0,7 0 0,7 0,

5 0 Maurer: Mathe macht Spaß Sinnuuss- -Kuurrvvee yy == ssi inn,, IR I 3 Eiggeennsscchhaaf fteenn ddeerr Sinnuuss- -FFuunnkkt tioonn f() ) == ssi inn Peerri iooddee Syymmeet trri iee Funktionswerte liegen zwischen - und +: - y Nullstellen (Schnitt mit -Achse) bei =, =, 3 = 3 usw. Maimalwerte bei =, = +, usw. 3 3 Minimalwerte bei =, = +, usw. Periode Die Sinuskurve besteht aus identischen Schwingungen der Länge (30 ). Das folgt unmittelbar aus der Definition am Einheitskreis. Nach einer Umdrehung sind wir wieder an derselben Stelle. Für das Schaubild heißt das: Geht man von einer beliebigen Stelle nach rechts, dann erhält man denselben Wert. In Formeln: f(+) = f(), also sin (+) = sin für alle IR Man sagt: Die Sinus-Funktion ist eine ppeerri iooddi isscchhee FFuunnkkt tioonn mit der Periode P =. Schaut man genauer hin, dann sieht man, dass die ganze Kurve aus einem Viertelbogen zusammengesetzt ist. Der wird gespiegelt und verschoben. Den Viertelbogen erhält man aus dem. Viertel des Einheits-kreises. Am Einheitskreis wiederholen sich nach 90 = / alle Werte, damit ist klar, weshalb der Viertelbogen als Baustein ausreicht. Symmetrie zu =, denn Spiegelung an = führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu P( 0), denn Spiegelung an P führt auf dieselbe Kurve. 3 3 Symmetrie zu =, denn Spiegelung an = führt auf dieselbe Kurve. AUUFFGGAABBEE Geben Sie weitere Symmetrie-Achsen und Punkte der Sinuskurve an. AUUFFGGAABBEE Bei welchen Verschiebungen bleibt die Kurve ungeändert? Das nennt man dann TTrraannssl laat tioonnssssyymmeet trri iee. Es gibt natürlich viele Lösungen.

6 7. Trigonometrische Funktionen 07 Coossi innuuss- -Kuurrvvee yy == ccooss 3 Eiggeennsscchhaaf fteenn ddeerr Coossi innuuss- -FFuunnkkt tioonn f() ) == ccooss Wie entsteht die Cosinus- aus der Sinuskurve? yy == ssi inn yy == ccooss Verschiebung um nach links, d.h. durch + ersetzen y = cos = sin +. Daraus ergeben sich alle Eigenschaften von selbst: Funktionswerte liegen zwischen - und +: - y Nullstellen (Schnitt mit -Achse) bei =, = usw. Maimalwerte bei = 0, =, usw. Minimalwerte bei =, = 3, usw. Periode Es gilt ebenfalls f(+) = f() für alle IR, also cos(+) = cos für alle IR 3, 3 = 5 Daher hat auch die Cosinus-Funktion eine Peerri iooddee P ==. Symmetrie Symmetrie zu =, denn Spiegelung an = führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu P( 0), denn Spiegelung an P führt auf dieselbe Kurve. Symmetrie zu =, denn Spiegelung an = führt auf dieselbe Kurve. AUUFFGGAABBEE Geben Sie weitere Symmetrie-Achsen und Punkte der Cosinuskurve an. AUUFFGGAABBEE Bei welchen Verschiebungen bleibt die Kurve ungeändert? Das nennt man immer noch Translationssymmetrie. Es gibt natürlich viele Lösungen.

7 08 Maurer: Mathe macht Spaß AUUFFGGAABBEE 77.. GTTR Bestimmen Sie auf drei Nachkommastellen folgende Funktionswerte: a) sin, b) sin (), c) sin (,8), d) sin (,57), e) sin(4), f) sin(4,5) 3 g) cos(0), h) cos, i) cos (3,4), j) cos (), k) cos (4), l) cos (,57) AUUFFGGAABBEE 77.. Bestimmen Sie zu den folgenden Gleichungen jeweils eine reelle Lösung: a) sin = 0,5, b) sin = 0, c) sin =, d) sin = 0,77, e) sin = -, f) sin = -0,7, g) sin =,5, h) sin = -0,5, 7..5 Trri igonomettrri ische Gleichungen derr Forrm sin = c yy- -Weerrt tee uunndd Peerri iooddi izzi itäät t Wegen der Periodizität und der Symmetrien der Sinus-Kurve haben die Gleichungen sin = c unendlich viele Lösungen oder keine. Zunächst wird der GTR zum Lösen verwendet. Beispiel sin () = 0,5, 0 mitt GRTT = sin c = Der Taschenrechner liefert mit Shift sin 0.5 nur einen Wert: = 0,54 (genauer Wert ) Wegen der Symmetrie zu = sin erhält man als zweiten Wert = = 3,4 0,54,8 = = 0,54 und =,8 sind die Lösungen zwischen 0 und. Mit + und + usw. erhält man weiter Lösungen. Beispiel sin () = - 0,5, 0 mitt GRTT 0 = sin c = 0 Der Taschenrechner liefert mit Shift sin -0,5 nur einen Wert: 0 = -0,54 (genauer Wert ), der allerdings außerhalb des Intervalls zwischen 0 und liegt. Wegen der Symmetrie zu = sin erhält man als ersten Wert im Lösungsintervall: = = 3,4 0,54 3,. ( ) 5 0 =

8 7. Trigonometrische Funktionen 09 = 0 + Den zweiten Wert erhält man mit = + = 0,54 +,83 5, ( ) 70 0 = = 3,5 und = 5,70 sind die Lösungen zwischen 0 und. Mit + und + usw. erhält man weiter Lösungen. AUUFFGGAABBEE Für welche Werte c IR hat die Gleichung sin () = c unendlich viele Lösungen, für welche c hat sie keine Lösung. AUUFFGGAABBEE Substituieren Sie bei c) bis f). Beispiel oohhnnee GRTT = Beispiel oohhnnee GRTT = 0 = 0 + Löse die folgenden Gleichungen im Intervall 0 : a) sin () = 0,7 b) sin () = -0,3 c) sin () = 0,45 (!) d) sin = 0,9 (!) e) sin ( +) = 0, f) sin ( ) = 0,707 sin () =, 0. Löse eakt, d.h ohne GTR Der Lösungsweg ist genau so wie beim GTR-Weg: sin () =. Aus der Tabelle auf Seite 0 wissen wir, dass =. 5 = = = Mit + und + usw. erhält man weiter Lösungen. sin () =, 0. Löse eakt, d.h ohne GTR 0 =, der liegt außerhalb des Intervalls zwischen 0 und liegt. 7 = = = + =. Den zweiten Wert erhält man mit = 0 + = + = Mit + und + usw. erhält man weiter Lösungen AUUFFGGAABBEE Lösen Sie eakt im Intervall [0; ]: a) sin () = b) sin () = c) sin () = 3 d) sin () = 0 e) sin () = f) sin ( ) = g) cos () = - (Hinweis: Man kann die Cosinus-Gleichung in eine Sinus-Gleichung umwandeln.) h) sin (3 ) = i) sin () + =

9 0 Maurer: Mathe macht Spaß GTTR- -LLöössuunngg Mit dem GTR lassen sich die Gleichungen übrigens ganz einfach lösen, allerdings erhält man dabei keine eakte Lösung: Beispiel sin() = 0,75 Menü Y=SIN() Y=0.75 Schnittpunkte bestimmen mit: Man erhält: = 0,848 =, Spiegelung an derr --Achse Wie für alle bisherigen Funktionen gilt auch für die trigonometrischen Funktionen: Beispiel Sppi ieeggeel luunngg aann ddeerr - -Acchhssee f() ) == ssi inn () ( ) Minnuuss vvoorr ddeenn ggaannzzeenn FFuunnkkt tioonnsst teerrm 7..7 Sttrreckung in i y--ri ichttung.. Änderrung derr Amplittude Da man zur Beschreibungen von Schwingungen häufig Sinus- und Cosinus-Funktionen benötigt, verwendet man einige für Schwingungen übliche Bezeichnungen auch bei den Sinus-Funktionen. Bei einer Schwingung nennt man die maimale Auslenkung aus der Nulllage Amplitude. Deef finni itioonn Amppl lituuddee Analog nennen wir den größten Abstand der Funktionen f() = sin () und g() = cos () von der Nulllinie Amppl lituuddee. Amppl lituuddeenn- - Ännddeerruunngg Wie bei den Parabeln. Ordnung erstmals aufgetreten, gilt auch hier: Durch Streckung / Stauchung wird die Amplitude verändert. Multiplikation des Terms mit k > Streckung 0 < k < Stauchung k < 0 bedeutet zusätzlich eine Spiegelung an der -Achse Amplitude A = I k I

10 7. Trigonometrische Funktionen Beispiel Streckung, k = f() = sin () Amplitude A = Beispiel Beispiel Stauchung, k = f() = sin () Amplitude A = 3 Streckung, k = und Spiegelung an -Achse 3 f() = sin() 3 3 Amplitude A = = AUUFFGGAABBEE 77.. Geben Sie bei den vier Sinuskurven jeweils die Amplitude an. f() g() h() k() 7..8 Verrschiebung in i -- und y--ri ichttung Wie für alle bisherigen Funktionen gilt auch für die trigonometrischen Funktionen: Veerrsscchhi ieebbuunngg inn i - -Ricchht tuunngg uum 0 Veerrsscchhi ieebbuunngg inn i yy- -Ricchht tuunngg uum yy 0 eerrsseet tzzeenn dduurrcchh (- ( - 0 ) yy 0 zzuum TTeerrm aaddddi ieerreenn Beispiel Beispiel Verschiebung der Sinuskurve um Einheit nach oben. Nulllinie: y = f() ) == ssi inn () ( ) ++ Verschiebung der Sinuskurve um / Einheit nach rechts. Nulllinie: -Achse f() ) == ssi inn (- ( -/ /) )

11 Maurer: Mathe macht Spaß Beispiel Amplitude: A = Verschiebung um nach oben: Nulllinie:.y = Verschiebung um / nach rechts f() ) == ssi inn (- ( -/ /) )++ AUUFFGGAABBEE Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung an und erläutern Sie, wie die aus der Sinuskurve mit y = sin() hervor geht. Geben Sie zunächst jeweils die Nulllinie und die Amplitude an. a) b) c) d) e) f)

12 7. Trigonometrische Funktionen 3 AUUFFGGAABBEE AUUFFGGAABBEE Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen, geben Sie die eakten Hoch- und Tiefpunkte im Intervall [0;], d.h. 0. a) f ( ) = sin( ) + b) f( ) = sin 3 c) f( ) = sin( ) d) f ( ) = sin( ) + Geben Sie jeweils 3 Gleichungen für die untern abgebildeteten Funktionen an Sttrreckung/ /Sttauchung in i --Ri ichttung.. Perri iodenverränderrung Es fehlt nun nur noch ein Weg, um die Peerri iooddee zu verändern. Dazu muss man in -Richtung strecken bzw. stauchen. Nahe liegender weise muss man dazu einen Koeffizienten bei einführen: Strreecckkuunngg/ / Staauucchhuunngg inn i - - Ricchht tuunngg Das Schaubild von y = sin (k) entsteht aus dem von y = sin durch Streckung/Stauchung mit dem Faktor k. Die Peerri iooddee ist also P = k Beispiel f() = sin () + g() = sin AUUFFGGAABBEE Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen. Wie entstehen die Schaubilder aus der Grundfunktion? Geben Sie jeweils die Periode an, geben Sie jeweils ein Symmetriezentrum und eine Symmetrieachse an. Geben Sie jeweils eine zweite Funktionsgleichung an, bei der Sinus-Kurven mit Cosinus, bei Cosinus-Kurven mit Sinus f() = sin ( ), g() = cos ( ) +, h() = 5 sin, k() = 3 cos ( ) 3

13 4 Maurer: Mathe macht Spaß Bemerkung Bitte beachten Sie: Geht man von y = sin () aus, dann heißt y = sin (): Die Sinuskurve wird gestreckt in y-richtung. y = sin () Die Sinuskurve wird gestaucht in -Richtung. Denn die Periode beträgt P = = =. k AUUFFGGAABBEE 77.. Geben Sie jeweils die Periode an und skizzieren Sie die Kurve. ( ) sin() f = P = f ( ) = sin 3 P = f ( ) = sin 3 P = f ( ) = sin( ) P = f 4 ( ) = sin 3 P = f ( ) = sin P = f ( ) = sin( ) P =

14 7. Trigonometrische Funktionen Sinuskurrven derr Forrm ff(()) = a sin ((k ((-- 0 )))) + y 0 Wenn alle Transformationen auf die Sinuskurve angewandt werden, dann erhält man eine Funktion der Form f = asin k 0 + y. ( ) ( ( )) 0 Beispiel Voonn ddeenn TTrraannssf foorrmaat tioonneenn zzuurr Gleei icchhuunngg Beispiel Voonn ddeerr Gleei icchhuunngg zzuu ddeenn TTrraannssf foorrmaat tioonneenn f() = sin () Streckung in -Richtung mit Faktor wegen = gilt k = : f() = sin, k Verschiebung um nach rechts f() =sin ( ) =sin Verschiebung um nach unten: f() = sin - Wie entsteht das Schaubild von ( ) Sinuskurve? f = sin aus der Achtung, um die Verschiebung zu erkennen, muss man in dem Ausdruck den Faktor k = ausklammern: = ( ), also: f ( ) = sin ( ) + Streckung in y-richtung mit Faktor, Amplitude A =, Streckung in -Richtung mit Fakt. =, Periode P= = =, k k Verschiebung um nach rechts, Verschiebung um 3 nach oben. Nulllinie: y = 3. AUUFFGGAABBEE 77.. Geben Sie mögliche Gleichungen der folgenden Kurven an. Schauen Sie zunächst nach der Nulllinie, dann nach der Amplitude, weiter nach der rechts/links Verschiebung und schließlich nach der Periode. f h g k

15 Maurer: Mathe macht Spaß AUUFFGGAABBEE Bestimmen Sie alle Hochpunkte der Funktion f mit a) f() = - 3 sin (-)+ b) f() = sin (-/)+ AUUFFGGAABBEE Bestimmen Sie Amplitude und Periode der Funktion f mit a) f() = 3,8 sin (0,-0,)+,3 b) f() = - 3, sin (-0,5) c) f ( ) = sin AUUFFGGAABBEE Das Schaubild der Sinusfunktion f mit f() = sin() ist mit dem Faktor in y-richtung gestreckt und um 3 LE nach unten verschoben. Wie ist die Periode zu wählen, damit der Punkt P( I -) auf der neuen Kurve liegt? 7.. Anwendungen AUUFFGGAABBEE 77.. Vor Ampeln auf stark befahrenen Straßen wellt sich der Asphalt. Die Wellen haben etwa die Form einer Sinuskurve. Ein Beispiel: Die Bremswellen sind 0 cm tief und eine Welle ist 30 cm lang. Gib eine Gleichung an. Wie viele Wellen gibt es auf 0 Metern? AUUFFGGAABBEE Wellen gibt es auch auf frisch gepflügten Äckern, dort heißen sie Furchen. Wie hoch bzw. tief und wie breit sind die Furchen, wenn das Oberflächenprofil des Ackers sich etwa durch die Gleichung y = 0sin beschreiben lässt? 0 AUUFFGGAABBEE Beim Wechselstrom führt die Spannung je Sekunde 50 Schwingungen aus. Gib die Periode an und eine Gleichung für die Spannung, wenn die Maimalspannung 30 Volt beträgt. AUUFFGGAABBEE In Freiburg/Breisgau, der wärmsten Stadt in Deutschland, scheint die Sonne im März ca. 00 Stunden, zwei Monate später sind es ca. 00 Stunden. Die Sonnenscheindauer eines Monats soll in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Monaten, t = 0 im April) modellhaft durch eine Funktion S mit S() t = a + b sin t ;a,b IR (S(t) in Stunden) beschrieben. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b aus den obigen Daten. [Zur Kontrolle: a = 50, b = 00] b) Welche Sonnenscheindauer ergibt sich aus dem Modell für Oktober? Wie groß ist die prozentuale Abweichung vom Modell zur Wirklichkeit, wenn die Sonne im Oktober tatsächlich 5 Stunden scheint. c) Geben Sie den Wertebereich der Sonnenscheindauer an. d) In welchem Zeitraum scheint die Sonne mehr als 35 Stunden?

16 7. Trigonometrische Funktionen 7 MUUSSTTEERRAAUUFFGGAABBEE FFÜÜRRSS ABBI IITTUURR (NI( IICCHHTT GGAANNZZ VVOOLLLLSSTTÄÄNNDDI IIGG) ) : :