TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/4 Aufgabenblatt 3 3. Januar 4 Präsenzaufgaben Aufgabe 75. Die goldene Himbeere. Welche der folgenden Rechenregeln gelten für alle Matrizen A, B R n n? A + B A + AB + B A + B A B AB BA BA AB Welche der folgenden Rechenregeln gelten für alle invertierbaren Matrizen A, B R n n? A A T A A T AB A B A B A + BA B A 5 A 5 Die meisten der folgenden falschen Aussagen kann man darauf zurückführen, daß die Matrizenmultikplikation nicht kommutativ ist. A + B A + AB + B A + B A B [Gegenbeispiel: A B AB BA [Gegenbeispiel: A, B BA AB A A T A A T AB A B A B A + BA B A 5 A 5 ] ] Aufgabe 76. Hingucker. Bestimmen Sie folgende Determinanten ohne großen Rechenaufwand. Welche Rechenregeln helfen jeweils? i 4 i i i 6 π i i. Vertauschung von erster mit vierter Zeile und Vertauschung von zweiter mit dritter Zeile wandelt die Matrix in Dreiecksgestalt um, ohne das Vorzeichen ihrer Determinante zu ändern da wir zwei Vertauschungen vornehmen. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente. Somit gilt: 4 6. Vertauschung von zweiter mit dritter Zeile zerlegt die Matrix in zwei Blockmatrizen. Die Determinante einer solchen Matrix ist das Produkt dieser Blockmatrizen. Es gilt also:

2 3. Die dritte Spalte ist die Summe der ersten beiden Spalten; somit sind die drei Spaltenvektoren linear abhängig, und ihre Determinante ist Null: Entwicklung nach der zweiten Zeile ergibt: π 6π 6 π π 5. Vertauschung von erster mit zweiter, dritter mit vierter und fünfter mit sechster Spalte ergibt eine Dreiecksmatrix. Es gilt: i i i i i i 3 i i i 6 i i i i Aufgabe 77. IN VER TIER EN. Invertieren Sie, wenn möglich, folgende Matrizen 4 A 5 9, B i, C i Gegeben ist ein Körper K, ein n N + und eine Matrix M K n n. Gesucht ist eine Matrix M K n n, die die Gleichung M M E n erfüllt. Hierbei bezeichne E n die Einheitsmatrix des K n n. Wir lösen obige Matrixgleichung jeweils durch elementare Zeilenumformungen an der erweiterten Matrix M E n bis wir En M erhalten. a Es ist K R, n 3 und A E II + I III + I III + 3 II I + 4 III II + III I + II ,

3 Also A b Es ist K R, n 3 und B E II + 3 I 3 III + 4 I An letzter Matrix erkennt man, daß B nicht invertierbar ist, denn die jetzt links stehende Teilmatrix läßt sich nicht durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix E 3 umformen, da die letzten beiden Zeilen linear abhängig sind.. c Jetzt ist K C, n und also C i i. C E i i i i i i i i II i I I i II II Aufgabe 78. Unter- und überbestimmte lineare Gleichungssysteme.. Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme besitzt keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? 3 5 x 3 8, 3 5 x 3 8, 3 6 x 3 9 x 6 x 6 3 x 4 8. Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme besitzt keine oder unendlich viele Lösungen? x x , x x Kann ein lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen jemals genau eine Lösung besitzen? Unter- und überbestimmte lineare Gleichungssysteme.. Das lineare Gleichungssystem Ax a 3 5 x 6 ist wegen ranga ranga, a Zeile3 Zeile lösbar. Wegen ranga, a und Variablenanzahl gibt es genau eine Lösung. Es ist x, x T, T. Das lineare Gleichungssystem Bx b 3 5 x

4 hat wegen rangb rangb, b 3 keine Lösung. Das lineare Gleichungssystem Cx c 3 6 x ist wegen rangc rangc, c Zeile 3 Zeile, Zeile3 Zeile lösbar. Wegen rangc, c und Variablenanzahl gibt es unendlich viele Lösungen. Die Lösungen sind von der Form x, x T 3, T + r, mit r R.. Das lineare Gleichungssystem Dx d hat wegen rangd rangd, d keine Lösung. Das lineare Gleichungssystem F x f x 4 4 x ist wegen rangf rangf, f lösbar. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen Begründung siehe unten. Die Lösungen sind von der Form x, x, T 4,, T + r,, T + s3,, T mit r R und s R. Kann ein lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen jemals genau eine Lösung besitzen? Nein. In einem linearen Gleichungssystem M x b mit mehr Variablen als Gleichungen n Variablen und m Gleichungen, n > m gilt rangm m < n und rangm, b m < n. Selbst wenn rangm rangm, b m bleibt wegen m < n immer mindestens eine freie Variable übrig, die beliebig gewählt werden kann. Aufgabe 79. Cramer & Co. Hausaufgaben. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der CRAMERschen Regel. Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem 7x + 3x + 9 x + x x x x x Da d besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung. Die Anwendung der CRAMERschen Regel ergibt x 9 3 d 8, x 7 9 d 8, d 8 3.

5 . A b II + I III + I II x + 3x + x 4 3x + 3 3x 4 r x 4 s x r s x 3 r + s r x 4 s Somit hat die Lösungsmenge folgende Form L x x x 4 R4 x x x r + s, r R, s R Aufgabe 8. Inverse mechanisch. Gegeben sei eine invertierbare Matrix A a ij i,j 3 R 3 3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung a a 3 a 3 a 33 A a a 3 a 3 a 33 a a 3 a a 3 a a 3 a 3 a 33 a a 3 a 3 a 33 a a 3 a a 3 a a T a 3 a 3 a a a 3 a 3. a a a a Zur Bestimmung der Inversen A : x ij von A a ij müssen wir folgendes Matrix-Gleichungssystem lösen: a a a 3 x x A A E 3 a a a 3 x x. a 3 a 3 a 33 3 Wir können die Spaltenvektoren von A v, v, v 3 schreiben als v k : x k x k k,, 3. k Damit ist äquivalent zu den drei linearen Gleichungssystemen A v k e k k,, 3.

6 für die gesuchten Spaltenvektoren v, v, v 3 von A. Wir lösen nun jedes dieser drei Gleichungssysteme mithilfe der CRAMERschen Regel: So ist z.b. A v e a a a 3 a a a 3 x x. a 3 a 3 a 33 Die Regel von CRAMER liefert hier x x a a 3 a a 3 a 3 a 33 a a 3 a a 3 a 3 a 33 a a a a a 3 a 3 a a 3 a 3 a 33 a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 also v x x a a 3 a 3 a 33 a a 3 a 3 a 33. a a a 3 a 3 Analoges Lösen der beiden restlichen Gleichungssysteme A v e und A v 3 e 3 liefert v a a 3 a 3 a 33 x x a a 3 a a 33 3 a a a 3 a 3 und v 3 a a 3 a a 3 a a 3 a x a a a a a Aufgabe 8. Die Telefonmatrix und andere Kuriositäten. Berechnen Sie folgende Determinanten: Um die gesuchten Determinanten zu berechnen, nutzen wir fast ausschließlich das Kriterium, daß das Ersetzen einer Zeile durch dieselbe Zeile plus das Vielfache einer anderen Zeile den Wert der Determinante nicht verändert II + 4 I 6 III + 7 I

7 , da die letzten beiden Zeilen linear abhängig sind II + I III + I IV + I V + I III + II 3 IV + 3 II 6 53 V + 4 II IV + 3 III 4 7 V + 6 III V + 4 III Aufgabe 8. Freundliche Drachen.

8 Lucy hat Charlie Brown eine Bauanleitung für einen neuen Drachen und einen Gutschein für das Material im Drachenladen geschenkt. Um die Materialkosten möglichst gering zu halten vielleicht langt es dann noch für einen automatischen Drachenhalter möchte Charlie Brown den Flächeninhalt des Drachens ausrechnen. Helfen Sie ihm! Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Batfledermaus mit Hilfe von Determinanten. Zur Bestimmung des Flächenmaßes der BAT-Fledermaus verwenden wir die Determinatenformel aus der Vorlesung: Dazu bestimmen wir die Koordinaten der Eckpunkte des die gesuchte Fläche berandenden Polygonzuges: Im angegebenen xy-koordinatensystem erhalten wir ˆ] Z\ ] ƒ Š $Œ&] $ŒŽ rs$t uvs sxw yz${& ]z$}~ WXZY\[]X$^_ QR$S&T UV l m n o]mmqp K L M N OP ` a b c]a de f ghi]g jk EF G Ḧ IJ?@$A&B CD :;$<& <> **+,&-. / 34!"$#&% '& Gemäß Vorlesung berechnet sich dann der Flächeninhalt F der BAT-Fledermaus zu F also F 58/ ,