Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

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1 Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

2 Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbuch inklusive Brückenkurs für Einsteiger 17., erweiterte Auflage Mit 500 Abbildungen und mehr als 1700 Übungsaufgaben

3 Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Tietze FH Aachen Aachen, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 1988, 1990, 1991, 1992, 1995,..., 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 V "Mathematik = Höhere Faulheit: ständig harte Arbeit auf der Suche nach dem leichteren Weg" (Graffito auf einer Hörsaalbank) Vorwort zur 17. Auflage Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) undenkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen große Teile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis. Mathematik in diesem Zusammenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu verstehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen. Das nun in 17. Auflage vorliegende Buch- als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zum Selbststudium konzipiert-versucht, beide Aspekte zu berücksichtigen durch ausführliche Darstellung, plausible Begründung und Einübung mathematischer Grundelemente und ökonomisch relevanter mathematischer Techniken aus der Analysis (d.h. der Differentialund Integralrechnung), der linearen Algebra und der linearen Optimierung sowie ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente auf Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung ökonomischer Vorgänge, Situationen und Probleme. Die Erfahrungen des Autors aus den letzten Jahren haben allerdings gezeigt, dass die für den erfolgreichen Einstieg in in die Wirtschaftsmathematik erforderlichen elementarmathematischen (insbesondere algebraischen) Grundlagen nicht immer ausreichend beherrscht werden. Daher wird für Studieneinsteiger erstmals in diesem Wirtschaftsmathematik-Lehrbuch ein Brückenkurs in elementarer Algebra in Kap. 1.2 vorgeschaltet: Die Darstellung ist besonders ausführlich und wird unterstützt von mehr als 500 Übungsauf gaben, Selbstkontroll-Tests, Eingangs- und Schlusstests. So besteht die realistische Möglichkeit, verschüttete Grundkenntnisse in elementarer Algebra (Axiome und elementare Rechenregeln für Terme, Potenzen, Logarithmen, Gleichungen und Ungleichungen) erfolgreich wieder ins Bewusstsein zu heben, um sie ebenso erfolgreich zur Behandlung wirtschaftsmathematischer Anwendungen einsetzen zu können. Im Übrigen wendet sich dieses Buch sowohl an Studierendeder ersten Semester, diedas wirtschaftsmathematische Rüstzeug zur ökonomischen Anwendung benötigen als auch an fortgeschrittene Studierende oder quantitativ orientierte Wirtschaftspraktiker, die sich über die Fülle der Anwendungsmöglichkeiten mathematischen Instrumentariums auf ökonomische Sachverhalte informieren möchten. Jahrelange Erfahrungen mit Teilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathematik bzw. Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch für den (zunächst) nicht so bewanderten Leser zu schreiben (und nicht für den mathematischen Experten). Wenn daher auch in manchen Fällen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herzuleiten. Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verständnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkommen, die sich im Selbststudium die Elemente der Wirtschaftsmathematik aneignen wollen. Weiterhin habe ich bewusst auf das eine oder andere Detail traditioneller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf eine ausführliche Theorie der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsilontik oder auf die Theorie der Determinanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interesse sind, nicht aber im Vordergrund ökonomischer Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erst recht dem Praktiker) als unnötiger theoretischer Ballast erscheinen können.

5 VI Vorwort Die vorliegende 17. Auflage wurde einerseits durch den ausführlichen algebraischen Brückenkurs wesentlieh erweitert, im Übrigen wieder sorgfältig durchgesehen und in vielen Details verbessert. Das bis zur 4. Auflage noch enthaltene Kapitel über Finanzmathematik ist in wesentlich erweiterter Form als eigenständiges Lehrbuch "Einführung in die Finanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen, siehe [66] im Literaturverzeichnis. Der Text enthält -nicht nur im Brückenkurs-eineVielzahl ergänzender Beispiele und Übungsauf gaben, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kernstoffes stärken sollen. Für den umfangreichen Aufgabenteil (mit mehr als 1700 Aufgaben) sind die Lösungen wie folgt verfügbar: - Die Lösungen der mehr als 500 Aufgaben/Tests des Brückenkurses sind im Lösungsanhang am Ende dieses Buches (ab Seite 633) verfügbar. Ausführliche Herleitungen dieser Lösungen finden sich auf den Internetseiten des Verlages ( -mit Hilfe der Suchfunktion findet man die Verlags-Seite dieses Buches und dort den Link zu den ausführlichen Lösungen). - Lösungen einer Auswahl der übrigen Aufgaben dieses Buches sind ebenfalls im Lösungsanhang am Ende des Buches enthalten. Ausführliche Herleitungen sämtlicher Lösungen sowie zehn Testklausuren mit Lösungen sind erschienen im ergänzenden Übungsbuch Tietze, J.: Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik -Aufgaben, Testklausuren und ausführliche Lösungen-8. Auflage, 402 S. Vieweg+ Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die Form strukturiert: Definitionen, mathematische Sätze und I wichtige Ergebnisse I sind jeweils eingerahmt. Bemerkungen sind in kursiver Schrifttype gehalten. Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet. Definitionen (Def.), Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formeln, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durchnummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2 nacheinander Bsp , Abb , Bem , Def usw. Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen Klammern, z.b. [ 66 ], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss des Buches. Dieses Buch hätte nicht entstehen können ohne Henna, die mir in vielen kritischen Situationen ihre Kraft zum Weitermachen lieh. Zum Schluss gebührt mein Dank dem Springer Spektrum Verlag und insbesondere Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch für die jahrelange gute und verständnisvolle Zusammenarbeit. Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten in den vorhergehenden Auflagen waren für mich und - so hoffe ich - auch für diese Neuauflage sehr wertvoll. Da ich allerdings damit rechne, dass trotzaller Sorgfalt der Fehlerteufel (bzw. die Fehlerteufelin) nicht untätig geblieben sind, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise oder Verbesserungsvorschläge, z.b. per (tietze@fh-aachen.de). Ich werde jede Ihrer Rückmeldungen beantworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein. Aachen, im Herbst 2013 Jürgen Tietze

6 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort Symbolverzeichnis XIII Abkürzungen, Variablennamen 1 Grundlagen und Hilfsmittel Mengen und Aussagen Mengenbegriff Spezielle Zahlenmengen Aussagen und Aussageformen Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen Konjunktion Disjunktion Negation Zusammengesetzte Aussagen Folgerung (Implikation) und Äquivalenz Folgerung(Implikation) Äquivalenz Relationen zwischen Mengen Gleichheitzweier Mengen Teilmengen Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Restmenge (Differenzmenge) Paarmengen, Produktmengen Elementare Algebra im Bereich der reellen Zahlen 1R Brückenkurs (BK) Eingangstest Eingangstest - Aufgaben BKl Thema: Axiome (Grundregeln) der Algebra in lr BK 1.1 Die neun Axiome (Grundregeln) der Algebra in lr BK 1.2 Subtraktion und Division - Differenzen und Brüche BK 1.3 Konventionen/Vereinbarungen zur Reihenfolge der Operationen Selbstkontroll-Test zu Thema BKl BK2 Thema: Termumformungen in lr - aus den Axiomen abgeleitete Rechenregeln 36 BK 2.1 Oll-Regeln und Vorzeichenregeln; Multiplikation von Summen, insb. "Binomische Formeln" BK 2.2 Brüche und algebraische Bruchterme: Multiplikation/Division zweier Brüche, Kürzen und Erweitern von Brüchen, Addition/Subtraktion zweier Brüche BK 2.3 Wann ist ein Produkt/Quotient Null? Konsequenzen für Gleichungen 51 Selbstkontroll-Test zu Thema BK BK3 Thema: Einige spezielle mathematische Begriffe und Symbole (Exkurs) BK 3.1 (absoluter) Betrag einer Zahl/eines Terms BK 3.2 Das Summenzeichen V XIV

7 VIII Inhaltsverzeichnis BK 3.3 Das Produktzeichen BK 3.4 Fakultät und Binomialkoeffizient Selbstkontroll-Test zu Thema BK BK4 Thema: Potenzen und Wurzeln BK 4.1 Potenzen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten BK 4.2 Rechernegeln für Potenzen BK 4.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln Selbstkontroll-Test zu Thema BK BKS Thema: Logarithmen BK 5.1 Begriff des Logarithmus BK 5.2 Rechernegeln für Logarithmen Selbstkontroll-Test zu Thema BK BK6 Thema: Gleichungen BK 6.1 Allgemeines zu Gleichungen und ihren Lösungen BK 6.2 Äquivalenzumformungen von Gleichungen Exkurs: Beliebte Fehlerfallen bei der Gleichungsumformung BK 6.3 Lineare Gleichungen BK 6.4 Quadratische Gleichungen BK 6.5 Gleichungen höheren als 2. Grades, Substitution, Polynomdivision BK 6.6 Bruchgleichungen BK 6.7 Wurzelgleichungen und Potenzgleichungen BK 6.8 Exponentialgleichungen BK 6.9 Logarithmengleichungen BK6.10 Exkurs: Lineare Gleichungssysteme Selbstkontroll-Test zu Thema BK BK7 Thema: Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen- Monotoniegesetze Lösungsverfahren für Ungleichungen Selbstkontroll-Test zu Thema BK Abschluss-Test Funktionen einer unabhängigen Variablen Begriff und Darstellung von Funktionen Funktionsbegriff Graphische Darstellung von Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen Umkehrfunktionen Implizite Funktionen Verkettete Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beschränkte Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Nullstellen von Funktionen Elementare Typen von Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynome) Grundbegriffe, Horner-Schema Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Nullstellen von Polynomen und Polynornzerlegung Gebrochen-rationale Funktionen Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) Exponentialfunktionen

8 Inhaltsverzeichnis IX Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) Beispiele ökonomischer Funktionen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Der Grenzwertbegriff Grenzwerte von Funktionen für x- x Grenzwerte von Funktionen für x - oo (bzw. x -- oo) Grenzwerte spezieller Funktionen Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen Der Stetigkeitsbegriff Unstetigkeitstypen Stetigkeitsanalyse Stetigkeit ökonomischer Funktionen Asymptoten Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Grundlagen und Technik Grundlagen der Differentialrechnung Problemstellung Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung), Differenzenquotient Steigung und Ableitung einer Funktion (Differentialquotient) Differenzierbarkeit und Stetigkeit Technik des Differenzierens Die Ableitung der Grundfunktionen Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c Ableitung der Potenzfunktion f(x) = xn Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ex Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = In x Ableitungsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ergänzungen zur Ableitungstechnik Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen Logarithmische Ableitung Höhere Ableitungen Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken- Regeln von de L'Hospital Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung Das Differential einer Funktion

9 X Inhaltsverzeichnis Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische) Grenzfunktion Grenzkosten Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben) Grenzproduktivität (Grenzertrag) Grenzgewinn Marginale Konsumquote Marginale Sparquote Grenzrate der Substitution Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchungvon Funktionen Monotonie- und Krümmungsverhalten Extremwerte Wendepunkte Kurvendiskussion Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen Beschreibung des Wachstumsverhaltens ökonomischer Funktionen Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen Fahrstrahlanalyse Diskussion ökonomischer Funktionen Gewinnmaximierung Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion Optimale Lagerhaltung Die Elastizität ökonomischer Funktionen Änderungen von Funktionen Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizität von Funktionen Elastizität ökonomischer Funktionen Graphische Ermittlung der Elastizität Überprüfung ökonomischer "Gesetze" mit Hilfe der Differentialrechnung Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grundlagen Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen Partielle Ableitungen höherer Ordnung Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung durch partielle Ableitungen Partielles und vollständiges (totales) Differential Kettenregel, totale Ableitung Ableitung impliziter Funktionen Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Relative Extrema ohne Nebenbedingungen Extremwerte unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Lagrange-Methode Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Partielle Elastizitäten Begriff der partiellen Elastizität Die Eulersche Homogenitätsrelation Elastizität homogener Funktionen

10 Inhaltsverzeichnis XI Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion Gewinnmaximierungvon Mehrproduktunternehmungen Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung Die Methode der kleinsten Quadrate Ökonomische Beispielefür Extrema unter Nebenbedingungen Minimalkostenkombination Expansionspfad, Faktornachfrage-und Gesamtkostenfunktion Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum Nutzenmaximale Güternachfrage-und Konsumfunktionen Einführung in die Integralrechnung Das unbestimmte Integral Stammfunktion und unbestimmtes Integral Grundintegrale Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Integralfunktion Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Flächeninhaltsberechnung Spezielle Integrationstechniken Partielle Integration Integration durch Substitution Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Die Konsumentenrente Die Produzentenrente Kontinuierliche Zahlungsströme Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft Optimale Nutzungsdauer von Investitionen Elementare Differentialgleichungen Einleitung Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen Ökonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen Exponentielles Wachstum Funktionen mit vorgegebener Elastizität Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow Einführung in die Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Grundbegriffe der Matrizenrechnung Spezielle Matrizen und Vektoren Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor Die skalare Multiplikationzweier Vektoren (Skalarprodukt) Multiplikation von Matrizen Die inverse Matrix

11 XII Inhaltsverzeichnis Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse) Lineare Gleichungssysteme (LGS) Grundbegriffe Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme- Gaußscher Algorithmus Pivotisieren Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer Matrix Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Lineare Optimierung (LO) Grundlagen und graphische Lösungsmethode Ein Problem der Produktionsplanung Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems Ein Diät-Problem Graphische Lösung des Diät-Problems Sonderfälle bei graphischer Lösung Graphische Lösungvon LO-Problemen- Zusammenfassung Simplexverfahren Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems Grundidee des Simplexverfahrens Einführungvon Schlupfvariablen Eckpunkte und Basislösungen Optimalitätskriterium Engpassbedingung Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall- Zusammenfassung Beispiel zum Simplex-Verfahren (Standard-Maximum-Problem) Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme Sonderfälle bei LO-Problemen Keine zulässige Lösung Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung) Degeneration (Entartung) Mehrdeutige optimale Lösungen Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus Produktionsplanungsproblem Problernformulierung, Einführung von Einheiten Optimaltableau und optimale Basislösung Deutung der Zielfunktionskoeffizienten Deutung der inneren Koeffizienten Zusammenfassung Diätproblem Dualität Das duale LO-Problem Dualitätssätze Ökonomische Interpretation des Dualproblems Dual eines Produktionsplanungsproblems Dual eines Diätproblems Lösungshinweise zum Brückenkurs und zu ausgewählten Aufgaben Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

12 XIII Symbolverzeichnis (auf den angegebenen Seiten finden sich nähere Erläuterungen zu den jeweiligen Symbolen) E (EI:) ist (kein) Element von, 1 lim f(x) Grenzwert von f, 243ff X-+-oo für: x gegen unendlich {xemj... } Mengenklammer, 2f X---+- x 0 für: x gegen x X---+- JN,7L,(Q,IR spezielle Zahlenmengen, 3 xj- rechtsseitiger fuenzwert X---+- XÖ linksseitiger Grenzwert { },~ leere Menge, 3 Differenzenquotient [a,b]; ]a,b[ M (Sekantensteigung), 276 [a,b[; ]a,b] Intervalle, 4 ill!. <. < Differentialquotient 277f ' kleiner; kleiner oder gleich - f'(x), ~~ 1. Ableitung ' > ~ größer; größer oder gleich ' d w,f wahr, falsch, 5 dx Differentialoperator, 277 A(x), 2 A(x,y,...) Aussageformen, 5 f"(x), d ; dx 2. Ableitung, 299f T(x), Terme, 5f f(n)( ) dnf T(x,y,...) X' dxn n-te Ableitung, 299f DA,DG Definitionsmenge, 6,96 df Differential, 313ff L, LA> LG Lösungsmenge, 6ff,97 Ef.x x-elastizität von f, 379ff == ;=: definitionsgemäß gleich, 3,27 identisch gleich Länge der (gerichteten) Strecke IA131 ;::; ungefähr gleich von A nach B, 390f af ~ entspricht ax 'fx 1. partielle Ableitung, 403ff /\,V,-, und, oder, nicht, 9ff a partieller Differential- ~. {:::: Folgerung, 14f ax operator, 403 ~ Äquivalenz, 15f c ist Teilmenge von, 16f a 2 f -2, fxx 2. partielle Ableitung, 407f n,u Durchschnitt,Vereinigung, 17f ax Mengendifferenz, 18f dfx partielles Differential, 411f AxBx... Produktmenge, 21f df totales Differential, 412 JRll n-dimensionaler Raum, 22 Iai absoluter Betrag, 54f Jf(x)dx unbestimmtes Integral, 479 ~.n Summe, Produkt, 55ff,60ff J)(x)dx bestimmtes Integral, 484 n! Fakultät, 61 (~) Binomialkoeffizient, 61ff F(x)j: F(b)- F(a), 491 an, ex Potenz, 65ff n 1 y y'(t), ~i ' 513 va. an Wurzel, 76ff A,B,... logax, lnx, lgx Logarithmus, 85ff Amn Matrizen, 525ff 00 unendlich, 4,243ff (a;k) f, f(x),f(x,y,..) Funktionen, 153ff,229ff aik b;k' Matrix-Elemente, 526 Dr, Wf Definitions-, Wertebereich, 154 AT transponierte Matrix, 527 x ~--+ f(x) Zuordnungsvorschrift, 153ff f-1 a,b,... Umkehrfunktion, 165ff Spaltenvektoren, 527f f(g(x)) verkettete Funktion, 171f,291 ""it, bt,... Zeilenvektoren, 527f ft,t+ f steigt bzw. fällt, 173f,253f 0,0 Nullmatrix, Nullvektor, 529 sin, cos trigonometrische Funktio- Einheitsmatrix, tan, cot nen, 197ff E,ei Einheitsvektor, 529 -X Vektor, 230,527f A-1 inverse Matrix, 542 1" 1" uneigentliche Terme, 256,302ff "oo "Ü+ rga Rang der Matrix A, 562

13 XIV Abkürzungen Abkürzungen BK Brückenkurs m.a.w. mit anderen Worten Abkürzungen für Regeln BL Basislösung ME Mengen-Einheit und Rechengesetze: BV Basisvariable NB Nebenbedingung CD Cobb-Douglas NBV Nichtbasisvariable Al-A4 Axiome für " + " c.p. ceteris paribus NNB Nichtnegativitätsbe- Ml-M4 Axiome für" " DB Deckungsbeitrag dingung D Distributivgesetz d.h. das heißt p.a. pro Jahr Kl-K7 Konventionen Euro s. siehe Rl- R16 Rechenregeln in lr f falsch T tausend Euro Pl -PS Potenzregeln FE Faktoreinkommen u.v.a.(m.) und vieles andere (mehr) L1 -L3 Logarithmenregeln GE Geldeinheit vgl. vergleiche Gl- G9 zuläss. Umform. LE Leistungseinheit w wahr Ul-U7 f. Gl./Ungleichg. LGS Lineares Gleichungs- WE Währungseinheit system w.z.b.w. was zu beweisen war LO Lineare Optimierung ZE Zeiteinheit Häufig verwendete Variablennamen al' a(t) Auszahlung d. Periode t Ko Barwert (eines Kapitals) A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) ~ Zeitwert (eines Kapitals B Bestand; (zulässiger) Bereich im Zeitpunkt t) c Konsum, Konsumsurnrne ky stückvariable Kosten Co Kapitalwert l<y variable Kosten e Eulersche Zahl L Lösungsmenge; Lagrangeel' e(t) Einzahlung d. Periode t Funktion; Liquidationserlös E Erlös, Umsatz, Ausgaben; A. Lagrange-Multiplikator Einheitsmatrix p Preis; Zinsfuß f Elastizität q Zinsfaktor ( = 1 + i) g Stückgewinn Input; Homogenitätsgrad; gd Stückdeckungsbeitrag (stetiger) Zinssatz; Rang einer Matrix G Gewinn R Rate; Zahlungsstrom Go Deckungsbeitrag Rn Renten-Endwert h Stunde(n) s Sparen, Sparsurnrne i Zinssatz ( = p/1 00) t Zeit I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T Laufzeit k Stückkosten u Nutzen(index); Umsatz K Kosten; Kapital X Nachfrage; Angebot; kf stückfixe Kosten Output; Menge Kr Fixkosten y Einkommen; Sozialprodukt ~ Endwert (eines Kapitals) z Zielfunktion Griechisches Alphabet a,a Alpha t, I Jota p,p Rho ß,B Beta K,K Kappa a,~ Sigma y, r Gamma A., A Lambda r, T Tau o, ß Delta f-t,m My v, y Ypsilon e, E Epsilon v, N Ny <p, <I> Phi ~. z Zeta ~. 3 Xi X, X Chi 1], H Eta o, 0 Omikron '1/J, lj1 Psi ij, e Theta :rr, li Pi w,q Omega