Jürgen Tietze. Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

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1 Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

2 Aus dem Programm Mathematik Lineare Algebra von A. Beutelspacher Stochastik für Einsteiger vonn. Henze Numerische Mathematik für Anfänger von G. Opfer Mathematik für Wirtschaftsingenieure 1 von N. Henze und G. Last Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 und 2 von F. Pfuff Einführung In die angewandte WIrtschaftsmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Einführung in die Finanzmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur Finanzmathematik von J. Tietze Ingenieurmathematik kompakt von W. Richter FInanzmathematik für EInsteiger von M. Adelmeyer und E. Warmuth Derivate, Arbitrage und Portfollo-Selectlon von W. Hausmann, K. Diener und J. Käsler Moderne Methoden der FInanzmathematik von R. und E. Korn Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik 11., verbesserte Auflage Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben ~ vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Jürgen Tietze Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Fachhochschule Aachen Eupener Straße Aachen 1. Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage , neubearbeitete und erweiterte Auflage , verbesserte Auflage , durchgesehene Auflage , durchgesehene Auflage , durchgesehene Auflage November , verbesserte und aktualisierte Auflage Mai , verbesserte Auflage September 2003 Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 2003 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn VerlagjGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN DOI / ISBN (ebook)

5 v Vorwort zur 11. Auflage "Mathematik = Höhere Faulheit: ständig harte Arbeit auf der Suche nach dem leichteren Weg (( (Graffito auf einer Hörsaalbank) Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) undenkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen große Teile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis. Mathematik in diesem Zusammenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu verstehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen. Das nun in 11. Auflage vorliegende Buch - als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zum Selbststudium konzipiert - versucht, beide Aspekte zu berücksichtigen durch ausführliche Darstellung, plausible Begründung und Einübung mathematischer Grundelemente und ökonomisch relevanter mathematischer Techniken aus der Analysis (d.h. der Differentialund Integralrechnung), der linearen Algebra und der linearen Optimierung sowie ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente auf Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung ökonomischer Vorgänge, Situationen und Probleme. Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studierende der ersten Semester, die das notwendige mathematische Elementarrüstzeug von Grund auf verstehen, wiederholen, einüben und ökonomisch anwenden möchten als auch an fortgeschrittene Studierende oder quantitativ orientierte Wirtschaftspraktiker, die sich über die Fülle der Anwendungsmöglichkeiten mathematischen Instrumentariums auf ökonomische Sachverhalte informieren möchten. Jahrelange Erfahrungen mit Teilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathematik bzw. Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch für den (zunächst) nicht so bewanderten Leser zu schreiben (und nicht für den mathematischen Experten). Wenn daher auch in manchen Fällen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herzuleiten. Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verständnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkommen, die sich im Selbststudium die Elemente der Wirtschaftsmathematik aneignen wollen. Weiterhin habe ich bewusst auf das eine oder andere Detail traditioneller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf die Theorie der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsilontik oder auf die Theorie der Determinanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interesse sind, nicht aber im Vordergrund ökonomischer Anwendungen stehen und daber dem Studienanfänger (und erst recht dem Praktiker) als unnötiger theoretischer Ballast erscheinen müssen. Während die 5. Auflage vollständig neugesetzt und in vielen Teilen neubearbeitet, erweitert und umstrukturiert wurde, habe ich mich bei den Folge-Auflagen im wesentlichen auf umfangreiche Textkorrekturen und kleinere Ergänzungen beschränkt. Für die vorliegende 11. Auflage wurde der Text erneut kritisch durchgesehen, überprüft und in vielen Details verbessert. Das bis zur 4. Auflage noch enthaltene Kapitel über die Finanzmathematik wurde ersetzt (und wesentlich erweitert) durch das im gleichen Verlag erschienenen separate Lehrbuch "Einführung in die Finanzmathematik", siehe [66] im Literaturverzeichnis.

6 VI VOlwort Der Text enthält eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgaben, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kernstoffes stärken sollen. Für den umfangreichen Aufgabenteil (mit mehr als 1300 Aufgaben in über 300 Übungsteüen) ist im gleichen Verlag ein separates Übungsbuch erschienen, das neben sämtlichen Aufgaben dieses Lehrbuchs auch die Lösungen - mit z.t. ausführlichen Lösungswegen - sowie zehn Original-Klausuren enthält: Tietze, J.: Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik - Aufgaben, Testklausuren und Lösungen - 3. Auflage Vieweg Braunschweig, Wiesbaden 2002, ISBN Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die äußere Form strukturiert: Definitionen, mathematische Sätze und I wichtige Ergebnisse I sind jeweils eingerahmt. Bemer1amgen sind in kursiver Schrifttype gehalten. I Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet. Definitionen (Def.), Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formeln, Beispieie (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durchnurneriert. So folgen etwa in Kap. 6.2 nacheinander Bsp , Abb , Bem , Def usw. Ein * an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen Klammern, z.b. [67], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss des Buches. Die reproduktionsfähige Druckvorlage hat in monatelanger unermüdlicher und sachkundiger Weise Herr cand. rer. pol. Norbert Breker (mit Hilfe des wissenschaftlichen Textverarbeitungssystems WiTEX 4.01) gestaltet. Hilfreiche Unterstützung erhielt ich von Herrn cand rer. pol. Manfred Havenith (digitale Bearbeitung der Graphiken) sowie von Herrn cand. rer. pol. Roland Hansen (Korrektur). Ihnen allen danke ich herzlich. Die 2-D-Graphiken wurden zu einem kleinen Teil mit TurboPlot 7.5 neu erstellt, zum größten Teil aus den vorhandenen Tusche-Originalen per Scanner digitalisiert und nach teilweise mehrfacher Konvertierung und Bearbeitung schließlich in WilEX 4.01 übernommen und dort neu beschriftet. Die 3-D Darstellungen in Kapitel 3 wurden mit der Graphiksoftware GRAPHDAT, einer Entwicklung des Instituts für Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen erstellt. Für seine diesbezügliche Unterstützung danke ich Herrn Prof. Dr. Reinhard Wodicka vielmals. Dieses Buch hätte nicht entstehen können ohne Herma, die mir in vielen kritischen Situationen ihre Kraft zum Weitermachen lieh. Zum Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg Verlag Wiesbaden und hier besonders Frau Ulrike Schrnickler-Hirzebruch für die gute und verständnisvolle Zusammenarbeit. Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten in den vorangehenden Auflagen waren für mich sehr wertvoll. Da ich allerdings damit rechnen muss, dass trotz aller Sorgfalt der Fehlerteufel (bzw. die Feh/erteufe/in) nicht untätig geblieben sind, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise oder Verbesserungsvorschläge, z.b. per Telefon ( ), Fax ( ) oder (tietze@fh-aachen.de). Ich werde jede Ihrer Rückmeldungen beantworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein. Aachen, im Juli 2003 Jürgen Tietze

7 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort... Symbolverzeichnis... XV Abkürzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet... XVI 1 Grundlagen und Hilfsmittel Mengen und Aussagen Mengenbegriff Spezielle Zahlenmengen Aussagen und Aussageformen Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen Konjunktion Disjunktion Negation Zusammengesetzte Aussagen Folgerung (Implikation) und Äquivalenz Folgerung (Implikation) Äquivalenz Relationen zwischen Mengen Gleichheit zweier Mengen Teilmengen Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Restmenge (Differenzmenge) Paarmengen, Produktmengen Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in IR Axiome Elementare Rechenregeln für reelle Zahlen Betrag einer Zahl Das Summenzeichen Das Produktzeichen Fakultät und Binomialkoeffizient Potenzen Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln V

8 VIII Inhaltsverzeichnis Potenzen mit reellen Exponenten Logarithmen Begriff des Logarithmus Logarithmenbasen Rechenregeln für Logarithmen Logarithmen zu beliebiger Basis Gleichungen Allgemeines über Gleichungen und deren Lösungen Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen ax + b = cx + d... " Lineare Gleichungssysteme (LGS) Quadratische Gleichungen ax 2 + bx + c = Gleichungen höheren als zweiten Grades Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Bruchgleichungen Ungleichungen Wo steckt der Fehler? Fehler bei Termumformungen Fehler bei der Lösung von Gleichungen Fehler bei der Lösung von Ungleichungen Funktionen einer unabhängigen Variablen Begriff und Darstellung von Funktionen Funktionsbegriff Graphische Darstellung von Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen Umkehrfunktionen Implizite Funktionen Verkettete Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beschränkte Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Nullstellen von Funktionen Elementare Typen von Funktionen Ganzrationale Funktionen (Poynome) Grundbegriffe, Horner-Schema Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung Gebrochen-rationale Funktionen Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen)

9 Inhaltsverzeichnis IX Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) Beispiele ökonomischer Funktionen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Der Grenzwertbegriff Grenzwerte von Funktionen für x -+ x o Grenzwerte von Funktionen für x (bzw. x ) Grenzwerte spezieller Funktionen Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen Der Stetigkeitsbegriff Unstetigkeitstypen Stetigkeitsanalyse Stetigkeit ökonomischer Funktionen Asymptoten DitTerentiairechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik Grundlagen der Differentialrechnung Problemstellung Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung) und Differenzenquotient Steigung und Ableitung einer Funktion (Differentialquotient) Differenzierbarkeit und Stetigkeit Technik des Differenzierens Die Ableitung der Grundfunktionen Ableitung der konstanten Funktion fex) :::: C Ableitung der Potenzfunktion fex) :::: x Ableitung der Exponentialfunktion fex) :::: e X Ableitung der Logarithmusfunktion fex) :::: In x Ableitungsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel

10 x Inhaltsverzeichnis Quotientenregel Kettenregel Ergänzungen zur Ableitungstechnik Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen Logarithmische Ableitung Höhere Ableitungen Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken - Regeln von de L'H6spital Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung Das Differential einer Funktion Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische) Grenzfunktion Grenzkosten Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben) Grenzproduktivität (Grenzertrag) Grenzgewinn Marginale Konsumquote Marginale Sparquote Grenzrate der Substitution Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen Monotonie- und Krümmungsverhalten Extremwerte Wendepunkte Kurvendiskussion Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen Beschreibung des Wachstumsverhaltens ökonomischer Funktionen Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen Fahrstrahlanalyse Diskussion ökonomischer Funktionen

11 Inhaltsverzeichnis XI Gewinnmaximierung Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion Optimale Lagerhaltung Die Elastizität ökonomischer Funktionen Änderungen von Funktionen Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizität von Funktionen Elastizität ökonomischer Funktionen Graphische Ermittlung der Elastizität Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe der Differentialrechnung Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grundlagen Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen Partielle Ableitung höherer Ordnung Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung durch partielle Ableitungen Partielles und vollständiges (totales) Differential Kettenregel, totale Ableitung Ableitung impliziter Funktionen Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Relative Extrema ohne Nebenbedingungen Extremwerte unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Lagrange-Methode Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Partielle Elastizitäten Begriff der partiellen Elastizität Die Eulersche Homogenitätsrelation Elastizität homogener Funktionen Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes.. ~ Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion Gewinnmaximierung von Mehrproduktunternehmungen Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung

12 XII Inhaltsverzeichnis Die Methode der kleinsten Quadrate Ökonomische Beispiele für Extrema unter Nebenbedingungen Minimalkostenkombination Expansionspfad, Faktornachfrage- und Gesamtkostenfunktion Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum Nutzenmaximale Güternachfrage- und Konsumfunktionen Einführung in die Integralrechnung Das unbestimmte Integral Stammfunktion und unbestimmtes Integral Grundintegrale Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Integralfunktion Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Flächeninhaltsberechnung Spezielle Integrationstechniken Partielle Integration Integration durch Substitution Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Die Konsumentenrente Die Produzentenrente Kontinuierliche Zahlungsströme Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft Optimale Nutzungsdauer von Investitionen Elementare Differentialgleichungen Einleitung Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen Ökonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen Exponentielles Wachstum Funktionen mit vorgegebener Elastizität Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow. 8-44

13 Inhaltsverzeichnis XIII 9 EiDfühnmg in die Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Grundbegriffe der Matrizenrechnung Spezielle Matrizen und Vektoren Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor Die skalare Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) Multiplikation von Matrizen Die inverse Matrix Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse) Lineare Gleichungssysteme (LGS) Grundbegriffe Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme - Gaußscher Algorithmus Pivotisieren Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer Matrix Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung., Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Lineare Optimiemng (LO) Grundlagen und graphische Lösungsmethode Ein Problem der Produktionsplanung Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems Ein Diät-Problem Graphische Lösung des Diät-Problems Sonderfälle bei graphischer Lösung :6 Graphische Lösung von LO-Problemen- Zusammenfassung Simplexverfahren Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems Grundidee des Simplexverfahrens Einführung von Schlupfvariablen Eckpunkte und Basislösungen Optimalitätskriterium Engpaßbedingung Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall- Zusammenfassung Beispiel zum Simplexverfahren (Standard-Maximum-Problem)

14 XIV Inhaltsverzeichnis 10.3 Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme Sonderfälle bei LO-Problemen Keine zulässige Lösung Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung) Degeneration (Entartung) Mehrdeutige optimale Lösung~n Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus Produktionsplanungsproblem Problemformulierung, Einführung von Einheiten Optimaltableau und optimale Basislösung Deutung der Zielfunktionskoeffizienten Deutung der inneren Koeffizienten Zusammenfassung Diätproblem Dualität Das duale LO-Problem Dualitätssätze Ökonomische Interpretation des Dualproblems Dual eines Produktionsplanungsproblems Dual eines Diätproblems Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

15 Symbolverzeichnis (auf den angegebenen Seiten finden sich nähere Erläuterungen zu den jeweiligen Symbolen) e ($) {xemi } N,Z,Gl,R { }, ~ [a,b] ; ]a,b[ [a,b[ ; ]a,b] < ; :,; > ; ~ w,f A(x), A(x,y,... ) T(x), T(x,y,... ) DND G L,LNL G :=;=: ist (kein) Element von, 1-1 Menge~er, 1-2f spezielle Zahlenmengen,I-3 leere Menge, 1-3 Intervalle, 1-4 kleiner; kleiner oder gleich größer; größer oder gleich wahr, falsch, 1-5 Aussageformen, 1-5 Terme, 1-6 Definitionsmenge, 1-7,1-51 Lösung<>menge,1-6,1-52f ist definitionsgem. gleich, 1-3 ist identisch gleich ist ungefähr gleich entspricht I'I,V,-, ~,{:: und, oder, nicht, 1-9ff Folgerung, 1-14f <=} Äquivalenz, 1-16 c ist Teilmenge von, 1-17 n,u Durchschnitt,Vereinigung, 1-18 \ AxBx... Mengendifferenz, 1-19 Produktmenge, 1-21 ]Rn n-dimensionaler Raum, 1-22 lai absoluter Betrag, 1-31f l::,11 Summe, Produkt, 1-32ff n! Fakultät, 1-35 Binomialkoeffizient, 1-35f an, e" Potenz, 1-37ff n! Va, an Wurzel, 1-42 log,.x, lnx,lgx Logarithmus, 1-46ff 00 unendlich,1-4,1-47,4-1ff f, f(x),f(x,y,..) Funktionen,2-1ff,3-1ff Df' Wf Definitions-, Wertebereich, 2-2 x ~ f(x) Zuordnung<>vorschrift, 2-2 f-i Umkehrfunktion, 2-14f f(g(x» verkettete Funktion, 2-20 f t,f ~ f steigt bzw. fällt, 2-23,6-18f sin, cos trigonometrische Funktiotan, cot nen, 2-49f -x Vektor, 3-2, 9-4f "00 "0+ uneigentliehe Terme, 4-15,5-31ff limf(x) x_= x-xo x... xj X-+Xö M L\x f(x), ~~ d dx 2 f"(x), d ~ dx f(n)( ) dnc x, dxn df IABI of ox,fx o ox o2 f ox2 df x df ff(x)dx b ft(x)dx a F(x) I: y A,B,... A rnn (ai,k) ai,k' bi,k'... AT i,b,... A-I rga Grenzwert von f, 4-1ff für: x gegen unendlich für: x gegen Xo rechtsseitiger Grenzwert linksseitiger Grenzwert Differenzenquotient (SekantensteIgung), 5-3 Differentialquotient 5-3f 1. Ableitung, Differentialoperator, Ableitung, 5-28f :xv n-te Ableitung, 5-28f Differential, 6-lf Elastizität von f bzgl. x, 6-69ff Länge der (gerichteten) Strecke von A nach B, partielle Ableitung, 7-3 partieller Differentialoperator, partielle Ableitung, 7-9 partielles Differential, 7-13 totales Differential, 7-14 unbestimmtes Integral, 8-3 bestimmtes Integral, 8-9 F(b) - F(a), 8-16 y'(t), ~i, 8-38 Matrizen, 9-1ff Matrix-Elemente, 9-2 transponierte Matrix, 9-3 Spaltenvektoren, 9-4 Zeilenvektoren, 9-4 Nullmatrix, Nullvektor, 9-6 Einheitsmatrix, Einheitsvektor, 9-6 inverse Matrix, 9-19 Rang der Matrix A, 9-40

16 XVI Abkürzungen Abkürzungen BL BV CD c.p. DB f FE GE LE LOS Basislösung Basisvariable Cobb-Douglas ceteris paribus Deckungsbeitrag Euro falsch Faktoreinkommen Geldeinheit Leistungseinheit Lineares Gleichungssystem LO ME NB NBV NNB Lineare Optimierung Mengeneinheit Nebenbedingung Nichtbasisvariable Nichtnegativitätsbedingung pro Jahr p.a. T tausend Euro w wahr WB Währungseinheit w.z.b.w. was zu beweisen war ZE Zeiteinheit Abkürzungen für Rechengesetze: AI-AS D MI-M5 Ll-L3 PI - P7 Rl -R13 WI-W5 Axiome für " + " Distributivgesetz Axiome für "." Logarit~engesetze Potenzgesetze Rechemegeln in IR Wurzelgesetze Häufig verwendete Variablennamen llt, a(t) Auszahlung d. Periode t K" Barwert (eines KIJpitals) A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) ~ Zeitwert (eines KIJpitals B Bestand; (zulässiger) Bereich im Zeitpunkt t) C Konsum, Konsumsumme k" stückvariable Kosten Co Kapitalwert Kv variable Kosten e Eulersche Zahl L Lösungsmenge; Lagrangee t, e(t) Einzahlung d. Periode t Funktion; Liquidationserlös E Erlös, Umsatz, Ausgaben; A Lagrange-Multiplikator e Einheitsmatrix p Preis; Zinsfuß Elastizität q Zinsfaktor (= 1 +i) g Stückgewinn r Input; Homogenitätsgrad; go Stückdeckungsbeitrag Matrix (stetiger) Zinssatz; Rang einer G Gewinn R Rate; Zahlungsstrom GD Deckungsbeitrag Rn Renten-Endwert h Stunde(n) S Sparen, Sparsumme Zinssatz (= p/l 00) t Zeit I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T Laufzeit k Stückkosten U Nutzen(index); Umsatz K Kosten; Kapital x Nachfrage; Angebot; kr stückfixe Kosten Output; Menge Kt Fixkosten Y Einkommen; Sozialprodukt Ku Endwert (eines KIJpitals) Z Zielfunktion Griechisches Alphabet a,a Alpha t, I Jota p,p Rho ß,B Beta /C, K Kappa a,~ Sigma y, r Gamma A, A Lambda 1', T Tau 15, Ll Delta fl,m My v, Y Ypsilon e, E Epsilon v, N Ny cp, <I> Phi l;,z Zeta S, E Xi X,X Chi 1], H Eta 0,0 Omikron t/j,1p Psi it, e Theta n,n Pi w,q Omega