Einführung in die Kovarianzanalyse (ANCOVA)

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1 Arbeitsunterlage Einführung in die Kovarianzanalyse (ANCOVA) ARGE-Bildungsforschung

2 2 Einführung in die Kovarianzanalyse (ANCOVA) 1 Die Varianzanalyse ist ein Verfahren, das die Wirkung einer (oder mehrerer) unabhängiger Variable auf eine (oder mehrere) abhängige Variable untersucht. Für die unabhängige Variable wird dabei lediglich Nominalskalierung verlangt, während die abhängige Variable metrisches Skalenniveau aufweisen muss. Die Varianzanalyse ist das wichtigste Analyseverfahren zur Auswertung von Experimenten. Typische Anwendungsbeispiele sind: - Verbessern Brain-Gym-Übungen aus dem Programm der Edu-Kinestetik die Konzentrationsfähigkeit von Volksschülern? - Unterscheiden sich die Englischleistungen von Buben und Mädchen in Stadthauptschulen, Landhauptschulen und Gymnasien? - Haben attraktive Zusatzangebote von Schulen einen Einfluss auf das von Schülern wahrgenommene Sozialklima, die Schulleistungen, sowie die Elternzufriedenheit? Gemeinsam ist allen Beispielen, dass ihnen eine Vermutung über die Wirkungsrichtung der Variablen zugrunde liegt. Wie in der Regressionsanalyse, die einen Erklärungszusammenhang der Art Y = f(x 1, X 2,, X J ) über metrische Variable herstellt, formuliert auch die Varianzanalyse einen solchen Zusammenhang, allein mit dem Unterschied, dass die Variablen X 1, X 2,, X J nominal skaliert sein dürfen. Die Beispiele verdeutlichen dies. So nimmt man im ersten Beispiel an, dass ein bestimmtes Treatment als unabhängige Variable mit den beiden Ausprägungen Übungsprogramm und kein Übungsprogramm einen Einfluss auf die Konzentrationsfähigkeit hat. Die Ausprägungen der unabhängigen Variablen beschreiben dabei stets alternativ Zustände. Demgegenüber ist die abhängige Variable, hier die Konzentrationsfähigkeit metrisch skaliert. Gemeinsam ist weiterhin allen Anwendungsbeispielen, dass sie experimentelle Situationen beschreiben: Feldexperimente im zweiten und dritten Beispiel, ein Laborexperiment im ersten Beispiel. Die Varianzanalyse ist das klassische Verfahren zur Analyse von Experimenten mit Variablen des bezeichneten Skalenniveaus. Die genannten Beispiele unterscheiden sich durch die Zahl der Variablen. So wird im ersten Beispiel die Wirkung einer unabhängigen Variablen (Treatment) auf eine abhängige Variable (Konzentrationsfähigkeit) untersucht. Im zweiten Beispiel wird demgegenüber die Wirkung von zwei unabhängigen Variablen (Schulart und Geschlecht) auf eine abhängige Variable (Englischleistungen) analysiert. Im dritten Beispiel gilt das Interesse ausschließlich der Wirkung einer unabhängigen Variablen (attraktive Zusatzangebote) auf drei abhängige Variablen (Sozialklima, Schulleistungen, Elternzufriedenheit). Die unabhängigen Variablen werden als Faktoren bezeichnet, die einzelnen Ausprägungen als Faktorstufen. Die Typen der Varianzanalyse lassen sich nach der Zahl der Faktoren differenzieren. Wenn eine abhängige Variable und eine unabhängige gegeben sind, spricht man von einfaktorieller, entsprechend bei zwei unabhängigen von zweifaktorieller Varianzanalyse usw. Bei mehr als einer abhängigen Variablen spricht man von mehrdimensionaler (multivariater) Varianzanalyse. 1 Textteile entnommen aus: BACKHAUS, Klaus, ERICHSON, Bernd, PLINKE, Wulff, WEIBER, Rolf (2008): Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung (12., vollst. überarb. Auflage). Berlin: Springer, S

3 3 Exemplarisches Beispiel Problem Der Leiter einer Supermarktkette will die Wirkung verschiedener Arten der Warenplatzierung überprüfen. Er wählt dazu Margarine in der Becherverpackung aus, wobei ihm drei Möglichkeiten der Regalplatzierung offen stehen: - Platzierung im Normalregal der Frischwarenabteilung - Platzierung im Normalregal der Frischwarenabteilung und Zweitplatzierung im Fleischmarkt - Platzierung im Kühlregal der Frischwarenabteilung Anschließend wird folgendes experimentelle Design entworfen: Aus den insgesamt vorhandenen Supermärkten werden drei weitgehend vergleichbare Supermärkte des Unternehmens ausgewählt, die sich durch unterschiedliche Präsentation von Margarine unterscheiden. In einem Zeitraum von 5 Tagen wird in jedem der drei Supermärkte jeweils eine Form der Margarine-Präsentation durchgeführt. Die Auswirkungen der Maßnahmen werden jeweils in der Größe kg Margarineabsatz pro Kassenvorgänge erfasst. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Datenerhebung: Platzierung in 3 Supermärkten Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Normalregal Zweitplatzierung Kühlregal Aufgabe 1 1. Definieren Sie für das o.a. Problem eine passende Datenmatrix in SPSS. 2. Tragen Sie die Daten der Tabelle ein. 3. Berechnen Sie die Mittelwerte (gesamt und getrennt nach Platzierung). Lösung Sie erhalten drei Teilstichproben mit jeweils genau fünf Beobachtungswerten; die Teilstichproben haben also den gleichen Umfang. Es fällt ins Auge, dass die drei Supermärkte unterschiedliche Erfolge im Margarineabsatz aufweisen. Die Mittelwerte zeigt folgende Tabelle: Platzierung der Margarine Mittelwert der Absatzmenge Normalregal 43,40 Zweitplatzierung 64,40 Kühlregal 52,20 Gesamt 53,33 Der Leiter des Unternehmens will nun wissen, ob die unterschiedlichen Absatzergebnisse in den drei Supermärkten auf die Variation der Warenplatzierung zurückzuführen sind. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass keine Einflussgrößen von außen (d. h. außerhalb der experimentellen Anordnung, wie z. B. Preiseinflüsse, Konkurrenzeinflüsse, Standorteinflüsse) das Ergebnis mitbestimmt haben. Dann dürften, wenn kein Einfluss der Art der Warenplatzierung auf den Absatz bestünde, auch keine größeren Unterschiede zwischen den Mittelwerten der

4 4 drei Supermärkte auftreten. Umgekehrt kann bei Vorliegen von Mittelwertunterschieden auf das Wirksamwerden der unterschiedlichen Warenplatzierung geschlossen werden. Platzierung in 3 Supermärkten Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Mittelwert Normalregal ,40 Zweitplatzierung ,40 Kühlregal ,20 Streuung der Beobachtungswerte Nun zeigen die einzelnen Beobachtungswerte, dass sie deutlich um den Mittelwert je Supermarkt streuen. Diese Streuung ist allein auf andere absatzwirksame Einflussgrößen als die Warenplatzierung zurückzuführen. Absatzmenge 80 kg pro 1000 Kassenvorgänge Zweitplatzierung Kühlregal Normalregal Tag Streng genommen muss die vereinfachende Annahme keine Einflussgrößen von außen also genauer formuliert werden: Es gibt Einflüsse von außen, jedoch geht die Varianzanalyse davon aus, dass diese Einflüsse bis auf zufällige Abweichungen in allen drei Supermärkten gleich sind. Wenn nun der Frage nachgegangen wird, ob die Warenplatzierung einen signifikanten Einfluss auf den Absatz hat, dann müssen die im Modell nicht erfassten Einflüsse von den im Modell erfassten Einflüssen getrennt werden. Dies geschieht, indem gefragt wird, ob sich ein bestimmter Beobachtungswert, z. B. der Wert y 11 = 47, zufällig (d.h. nur durch nicht erfasste äußere Einflüsse erklärt) oder systematisch (d.h. durch die Warenplatzierung erklärt) vom Gesamtmittelwert 53,33 unterscheidet. Wenn die im Modell nicht erfassten Einflüsse sich in allen drei Supermärkten bis auf zufällige Abweichungen gleich stark auswirken, dann drückt sich in den Abweichungen der Mittelwerte je Supermarkt vom Gesamtmittelwert die untersuchte Einflussgröße Warenplatzierung aus.

5 5 Grafische Erläuterung Die obige Grafik lässt sich auch so interpretieren: Der Prognosewert für den Margarineabsatz ist y M, wenn kein Einfluss der Warenplatzierung vorhanden wäre. Nimmt man einen Einfluss der Warenplatzierung auf den Absatz an, dann ist der Prognosewert für den Margarineabsatz je nach Art der Platzierung y 1, y 2 oder y 3. Die Abweichungen vom Prognosewert sind auf zufällige äußere Einflüsse zurückzuführen und somit nicht erklärt. Die Gesamtabweichung der Mittelwerte lässt sich also in zwei Komponenten zerlegen (sog. Streuungszerlegung! Varianzanalyse): Gesamtabweichung = erklärte Abweichung + nicht erklärte Abweichung Analyse der Abweichungsquadrate (Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert) Diese Zerlegung der Gesamtabweichung je Beobachtung lässt sich in der Varianzanalyse auf die Summe der Gesamtabweichungen aller Beobachtungen übertragen (SS = sum of squares). Gesamtabweichung = erklärte Abweichung + nicht erklärte Abweichung Summe der quadrierten Gesamtabweichungen = Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den Faktorstufen + Summe der quadrierten Abweichungen innerhalb der Faktorstufen SS t(otal) = SS b(etween) + SS w(ithin) Die Quadratsumme der Abweichungen als Maß für die Streuung wird um so größer, je größer die Zahl der Einzelwerte ist. Um eine aussagefähigere Schätzgröße für die Streuung zu erhalten, wird die SS durch die Zahl der Einzelwerte vermindert um 1 geteilt. Somit erhält man die Varianz, die unabhängig von der Zahl der Beobachtungswerte ist. Allgemein ist die (empirische) Varianz definiert als mittlere quadratische Abweichung (MS mean sum of squares ): Varianz MS = SS Zahl der Beobachtungen 1

6 6 Freiheitsgrade Die Größe im Nenner ist die Zahl der Freiheitsgrade df (degrees of freedom). Der Wert ergibt sich aus der Zahl der Beobachtungswerte vermindert um 1, weil der Mittelwert, von dem die Abweichungen berechnet wurden, aus den Beobachtungswerten selbst errechnet wurde. Demnach lässt sich immer einer der Beobachtungswerte aus den anderen Beobachtungswerten und dem geschätzten Mittelwert errechnen, d.h. er ist nicht mehr frei. So wie die Gesamtquadratsumme in SS b und SS w aufgeteilt wurde, können auch die Freiheitsgrade aufgeteilt werden. In unserem Beispiel haben wir 3 Faktorstufen mit je 5 Beobachtungen, d.h. 15 Beobachtungen insgesamt. df t ist demnach 15 1 = 14. Da nun jede Faktorstufe 5 Beobachtungen enthält, von denen nur 5 1 frei variieren können, ergeben sich bei drei Faktorstufen 3 (5 1) Freiheitsgrade. Der Wert für df w ist demnach 12. Bei 3 vorhandenen Faktorstufenmittelwerten können nur 3 1 frei variieren. Demnach ist df b = 2. Mit Hilfe der verschiedenen Freiheitsgrade können nun die Varianzen (a) zwischen den Faktorstufen und (b) innerhalb der Faktorstufen sowie (c) die Gesamtvarianz bestimmt werden. Ausgehend von den bisher gesetzten vereinfachenden Annahmen über das Wirksamwerden von den im Modell erfassten und von den im Modell nicht erfassten Einflussgrößen kann nun gefolgert werden, dass SS b von der Warenplatzierung und SS w von den nicht erfassten Einflüssen bestimmt wird. Ein Vergleich beider Größen kann Auskunft über die Bedeutung der unabhängigen Variablen im Vergleich zu den nicht erfassten Einflüssen geben. Wenn bei gegebener Gesamtvarianz (MS t(otal) ) MS w Null wäre, dann könnte gefolgert werden, dass MS t allein durch die experimentelle Variable erklärt wird. Je größer MS w ist, desto geringer muss gemäß dem Grundprinzip der Streuungszerlegung (SS t = SS b + SS w ) der Erklärungsanteil der experimentellen Variablen sein. Je größer demnach MS b im Verhältnis zu MS w ist, desto eher ist eine Wirkung der unabhängigen Variablen anzunehmen. Aufgabe 2 1. Führen Sie im SPSS mit den Daten aus Aufgabe 1 eine Varianzanalyse durch. 2. Berechnen Sie die Effektgröße (Eta-Quadrat). 3. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Lösung Abhängige Variable: Absatzmenge Margarine Quelle Quadratsumme vom Typ III df Mittel der Quadrate F Signifikanz Partielles Eta-Quadrat Korrigiertes Modell 1112,133 a 2 556,067 38,087,000,864 Konstanter Term 42666, , ,374,000,996 REGAL 1112, ,067 38,087,000,864 Fehler 175, ,600 Gesamt 43954, Korrigierte Gesamtvariation 1287, a. R-Quadrat =,864 (korrigiertes R-Quadrat =,841) In unserem Beispiel übersteigt MS b = 556,07 den Wert für MS w = 14,6 erheblich, so dass ein Einfluss der unabhängigen Variablen Warenplatzierung vermutet werden kann. Die ermittelten mittleren quadratischen Abweichungen zwischen den und innerhalb der Faktorstufen können also dahingehend interpretiert werden, dass ein Einfluss des Faktors Warenplatzierung vermutet werden kann. Um diese interpretierende Aussage über die Wirkung des Faktors statistisch prüfen zu können, werden MS b und MS w in folgende Beziehung gesetzt:

7 7 F emp = MS MS b w (empirischer F-Wert) = 556,067 14,6 = 38,087 Den Maßstab zur Beurteilung des empirischen F-Wertes bildet die theoretische F-Verteilung. Die F-Verteilung oder FISHER-Verteilung (nach Ronald Aylmer FISHER) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable n und ergibt sich als Quotient zweier Chi- Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Sie besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so selbst eine zwei-parameter-verteilungsfamilie. Als Test wird die F-Verteilung verwendet, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier oder mehrerer Stichproben die gleiche Varianz haben (Varianzanalyse). Ausgangspunkt der Prüfung ist die Nullhypothese (H o ): Es bestehen bezüglich des Margarineabsatzes keine Unterschiede in der Wirkung durch die Art der Warenplatzierung. Die Alternativhypothese H 1 lautet: Es besteht bezüglich des Margarineabsatzes ein Unterschied in den Wirkungen alternativer Arten der Warenplatzierung. Die Prüfung erfolgt anhand eines Vergleichs des empirischen F-Wertes mit dem theoretischen F-Wert lt. Tabelle. Die Tabelle der theoretischen F-Werte zeigt für jeweilige Vertrauenswahrscheinlichkeit einen Prüfwert. Seine Höhe hängt von der Zahl der Freiheitsgrade im Zähler und von der Zahl der Freiheitsgrade im Nenner ab. Die Ermittlung des theoretischen F-Wertes in unserem Beispiel führt zu df = 2 im Zähler und df = 12 im Nenner, d.h. zu dem theoretischen Wert 6, 93 (muss in einer Tabelle nachgeschlagen werden). Empirischer und theoretischer F-Wert werden verglichen. Ist der empirische Wert größer als der theoretische, dann kann die Nullhypothese verworfen werden, d.h. es kann ein Einfluss des Faktors gefolgert werden. Theoretische F-Werte werden üblicherweise für Vertrauenswahrscheinlichkeiten von 90%, 95% und 99% in Tabellenform aufbereitet. Die materielle Bedeutung der Vertrauenswahrscheinlichkeiten ist die Erfassung der grundsätzlich verbleibenden Restunsicherheit, dass eine Wirkung der unabhängigen Variablen angenommen wird, obwohl tatsächlich der Einfluss nur zufälliger Natur ist.

8 8 Im Beispiel überschreitet der empirische F-Wert von 38,09 den theoretischen 2 von 6,93 erheblich, so dass im Rahmen der gesetzten Annahmen die Nullhypothese verworfen, d.h. (mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 99 %) der Schluss gezogen werden kann, dass die Platzierung Einfluss auf die Absatzmenge hat. SPSS gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit (α-fehler, Fehler 1. Art) an, mit der man sich irrt, wenn man die Alternativhypothese H 1 annimmt, obwohl in der Wirklichkeit die Nullhypothese H 0 gilt. In unserem Beispiel ist die Signifikanz p < 0,001. Somit kann von einem signifikanten (bedeutsamen) statistischen Unterschied zwischen den 3 Platzierungen der Margarine hinsichtlich der Absatzmenge ausgegangen werden. Die Effektgröße wird bei der nächsten Aufgabe behandelt. Zweifaktorielle Varianzanalyse Problem Der Leiter der Supermarktkette will nicht nur wissen welchen Einfluss (1) die Warenplatzierung auf den Absatz hat, sondern auch, ob (2) die Verpackungsart den Absatz mitbestimmt. Dazu wird das Experiment erweitert. Bei drei Platzierungsarten und zwei Verpackungsarten ( Becher und Papier ) ergeben sich genau 3 x 2 experimentelle Kombinationen der Faktorstufen. Dies ist daher ein 3x2-faktorielles Design. Die notwendige Zahl von Teilstichproben im Experiment erhöht sich also auf sechs. Demnach werden sechs annähernd gleiche Supermärkte ausgesucht und wiederum wird die vereinfachende Annahme gesetzt, dass mögliche äußere Einflüsse bis auf Zufallsabweichungen jeweils einen gleich starken Einfluss auf die 6 Teilstichproben haben. Folgende Absatzmengen in kg pro Kassenvorgängen in sechs Supermärkten wurden erhoben: Platzierung Normalregal Zweitplatzierung Kühlregal Tag Verpackung Becher Papier In einer F-Werte-Tabelle würde man bei einem Signifikanzniveau von 1 % und bei 2 Freiheitsgraden im Zähler und 12 Freiheitsgraden im Nenner den theoretischen F-Wert von 6,93 ablesen können.

9 9 Aufgabe 3 1. Erweitern Sie Ihre SPSS-Datei mit den in der o.a. Tabelle stehenden Daten. 2. Suchen Sie Antworten auf die drei Fragen: (a) Hat die Warenplatzierung Einfluss auf den Absatz? Wie groß ist der Effekt? (b) Hat die Verpackung Einfluss auf den Absatz? Wie groß ist der Effekt? (c) Besteht eine Wechselwirkung zwischen Verpackung und Warenplatzierung? Wie groß ist der Effekt? Lösung Die Fragestellung der Varianzanalyse ist im faktoriellen Design gegenüber der einfachen Varianzanalyse erweitert. Zunächst werden die beiden Faktoren betrachtet. Falls für jede Kombination von Faktorausprägungen mehr als eine Beobachtung vorliegt (K > 1), erlaubt die zweifaktorielle Varianzanalyse gegenüber der einfaktoriellen zusätzlich die Erfassung des gleichzeitigen Wirksamwerdens zweier Faktoren, indem das Vorliegen von Wechselwirkungen (Interaktionen) zwischen den Faktoren getestet wird. So mag beispielsweise die Vermutung gerechtfertigt erscheinen, dass der durchschnittliche Absatz von Margarine in Becherform anders auf die Variation der Platzierung reagiert als die Papierverpackung, etwa, weil ein Weichwerden der Margarine im Normalregal eher auffällt als im Kühlregal. Eine einfache und sehr anschauliche Methode, das Vorhandensein von Interaktion zu prüfen ist ein Plot der Faktorstufenmittelwerte. Keine Interaktionen liegen vor, wenn die Verbindungslinien der Mittelwerte (die hier nur zur Verdeutlichung eingezeichnet sind) parallel laufen. Nichtparallele Verläufe sind ein klares Indiz für das Vorhandensein und die Stärke von Interaktionen. Im vorliegenden Fall bietet sich ein Anhaltspunkt für eine schwache Interaktion von Verpackung und Platzierung, da der Wirkungsunterschied zwischen Becher und Papier im Kühlregal im Analyseergebnis nahezu verschwindet, möglicherweise, weil dort von den Käufern ein Unterschied nicht wahrgenommen wird.

10 10 Analyse der Abweichungsquadrate (Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert) Die Absatzmenge wird bestimmt vom (1) Einfluss des Faktors Platzierung, (2) Einfluss des Faktors Verpackungsart, (3) Einfluss der Interaktion zwischen den beiden Faktoren sowie (4) Zufallseffekt nicht kontrollierter Einflüsse. Die Gesamtstreuung teilt sich im zweifaktoriellen Design folgendermaßen auf: Gesamtstreuung SS t Streuung zwischen den Gruppen SS b (4) Streuung innerhalb der Gruppen SS w (1) Streuung durch Platzierung SS A (2) Streuung durch Verpackung SS B (3) Streuung durch Wechselwirkung von Platzierung und Verpackung SS AxB Berechnung mit SPSS Anzahl der Fälle je Faktorstufe: Faktoren Faktorstufen N Verpackungsart Becher 15 Papier 15 Platzierung Normalregal 10 Zweitplatzierung 10 Kühlregal 10 Abhängige Variable: Absatzmenge Quelle Quadratsumme Mittel der Partielles df F Signifikanz vom Typ III Quadrate Eta-Quadrat Korrigiertes Modell 2233,500 a 5 446,700 45,045,000,904 Konstanter Term 76507, , ,042,000,997 VERPACK 240, ,833 24,286,000,503 REGAL 1944, ,100 98,027,000,891 VERPACK * REGAL 48, ,233 2,444,108,169 Fehler 238, ,917 Gesamt 78979, Korrigierte Gesamtvariation 2471, a. R-Quadrat =,904 (korrigiertes R-Quadrat =,884) Varianzzerlegung SS t (Gesamtstreuung) = 2471,5 SS A (Streuung erklärt durch Platzierung Haupteffekt Platzierung) = 1944,2 SS B (Streuung erklärt durch Verpackung Haupteffekt Verpackung) = 240,833 SS AxB (Streuung erklärt durch Wechselwirkung Interaktionseffekt) = 48,467 SS w (Reststreuung, innerhalb der Zellen) = 238,0 SS b (Abweichungen zwischen den Gruppenmitteln und dem Gesamtmittel) = 2233,5

11 11 Die Gesamtstreuung teilt sich im konkreten zweifaktoriellen Design folgendermaßen auf: Gesamtstreuung SS t = 2471,5 Streuung zwischen den Gruppen SS b = 2233,5 Streuung innerhalb der Gruppen SS w = 238,0 Streuung durch Platzierung SS A = 1944,2 Streuung durch Verpackung SS B = 240,833 Streuung durch Wechselwirkung von Platzierung und Verpackung SS AxB = 48,467 Die empirischen Varianzen (MS = mean (sum of) squares, mittlere quadratische Abweichung) werden berechnet, indem die Streuungen durch die Zahl der Freiheitsgrade dividiert werden: 1944,2 MS Regal = = 972,1 2 Die Ermittlung des empirischen F-Wertes erfolgt durch Division der MS der betrachteten Faktoren durch die MS der Reststreuung: 972,1 F = = 98,027 9,917 Übersteigt der empirische F-Wert den theoretischen F-Wert, kann die Nullhypothese verworfen werden. SPSS gibt den p-wert der Signifikanzprüfung gleich mit aus. In unserem Fall ist für den Faktor Platzierung p < 0,001. Die Nullhypothese darf also zugunsten der Alternativhypothese verworfen werden. Antworten Hat die Warenplatzierung Einfluss auf den Absatz? Ja, die Warenplatzierung hat einen signifikanten Einfluss auf den Absatz. Der alleinige Faktor Platzierung klärt 89,1% der Absatzvarianz auf. Hat die Verpackung Einfluss auf den Absatz? Ja, die Verpackungsart hat einen signifikanten Einfluss auf den Absatz. Der alleinige Faktor Verpackungsart klärt 50,3% der Absatzvarianz auf. Besteht eine Wechselwirkung zwischen Verpackung und Warenplatzierung? Nein, es lässt sich keine signifikante Interaktion zwischen den beiden Faktoren Platzierung und Verpackungsart nachweisen (Irrtumswahrscheinlichkeit p = 10,8%). Mit dem gesamten Modell können 90,4% Varianz der abhängigen Variablen Absatzmenge aufgeklärt werden.

12 12 Kovarianzanalyse Eine Erweiterung der Varianzanalyse liegt in der Einbeziehung von Kovariaten in die Analyse ((M)ANCOVA, (Multivariate) Analysis of Covariance). Kovariaten sind metrisch skalierte unabhängige, d.h. erklärende Variablen in einem faktoriellen Design. Häufig ist dem Forscher bewusst, dass es außer den Faktoren Einflussgrößen auf die abhängige Variable gibt, deren Einbeziehung sinnvoll und notwendig sein kann. Wenn in unserem Margarine-Beispiel der Absatzpreis in den 6 Zellen der Erhebung unterschiedlich ist (z. B. aufgrund unterschiedlicher Preise je Verpackungsart oder aufgrund unterschiedlicher Preise für Zweitplatzierung), dann würde die Reststreuung nicht nur zufällige, sondern auch systematische Einflüsse enthalten. Indem der Preis als Kovariate eingeführt wird, kann ein Teil der Gesamtvarianz möglicherweise auf die Variation des Preises zurückgeführt werden, was sich bei Nichterfassung in einer erhöhten Reststreuung (SSW) ausdrücken würde. Üblicherweise geht die Varianzanalyse bei einem Untersuchungsdesign mit Kovariaten ( Kovarianzanalyse ) so vor, dass zunächst der auf die Kovariaten entfallende Varianzanteil ermittelt wird. Dieses entspricht im Prinzip einer vorgeschalteten Regressionsanalyse. Die Beobachtungswerte der abhängigen Variablen werden um den durch die Regressionsanalyse ermittelten Einfluss korrigiert und anschließend der Varianzanalyse unterzogen. Dadurch wird rechnerisch der Einfluss der Kovariaten bereinigt. Problem Der Leiter der Supermarktkette gibt keine Ruhe. Nun will er zusätzlich überprüfen, ob nicht außer den Faktoren (1) Verpackungsart und (2) Platzierung auch (3) der Verkaufspreis sowie (4) die durchschnittliche Temperatur im Supermarkt die nachgefragte Menge erklärt. Aufgabe 4 1. Erweitern Sie Ihren Datensatz mit den u.a. Beobachtungswerten. 2. Berechnen Sie den Einfluss aller Faktoren bzw. Variablen auf die Absatzmenge. 3. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Verpackung Becher Papier Platzierung Tag Absatz Preis Temp. Absatz Preis Temp. Normalregal , , , , , , , , , ,09 20 Zweitregal , , , , , , , , , ,09 18 Kühlregal , , , , , , , , , ,13 18

13 13 Lösung Die Aufnahme der Kovariaten PREIS und TEMP in das Modell erfolgt wiederum im Dialogfeld Univariat durch Übertragen dieser Variablen in das Feld Kovariate. Durch den erneuten Aufruf der Prozedur und eine neue Analyse zeigt sich folgendes Ergebnis: Abhängige Variable: Absatzmenge Quadratsumme Mittel der Partielles Quelle vom Typ III df Quadrate F Signifikanz Eta-Quadrat Korrigiertes Modell 2247,511 a 7 321,073 31,536,000,909 Konstanter Term 8, ,815,866,362,038 PREIS 5, ,010,492,490,022 TEMP 4, ,884,480,496,021 REGAL 1207, ,941 59,319,000,844 VERPACK 82, ,605 8,113,009,269 REGAL * VERPACK 13, ,610,649,532,056 Fehler 223, ,181 Gesamt 78979, Korrigierte Gesamtvariation 2471, a. R-Quadrat =,909 (korrigiertes R-Quadrat =,881) Wiederum finden wir in der ersten Spalte der Tabelle die Zerlegung der Gesamtstreuung in die erklärte Streuung (Korrigiertes Modell) und in die Reststreuung (Fehler). Die mittleren Zeilen zeigen nunmehr in der ersten Spalte eine Aufteilung der durch die Kovariaten und durch die Faktoren erklärten Streuung (Korrigiertes Modell) in ihre jeweiligen Einzelbeiträge (PREIS, TEMP, REGAL, VERPACK, REGAL*VERPACK). Die übrigen Spalten enthalten die Freiheitsgrade (df), die empirischen F-Werte (F), das Signifikanzniveau der F-Statistik (Signifikanz) sowie die partiellen Eta 2 -Werte (Partielles Eta-Quadrat). Antwort Der SPSS-Output verdeutlicht, dass (1) die Platzierung der Margarine den größten Einfluss auf die Absatzmenge hat (84% Varianzaufklärung, höchst signifikant), (2) die Verpackungsart einen deutlichen, aber geringeren Einfluss auf die Absatzmenge hat (27% Varianzaufklärung, sehr signifikant), (3) kein signifikanter Interaktionseffekt zwischen Verpackungsart und Platzierung nachweisbar ist, (4) für eine gegebene Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% der Einfluss der Kovariaten (a) Preis und (b) Temperatur im Supermarkt auf die abhängige Variable Absatzmenge als nicht signifikant einzustufen ist, (5) das Modell insgesamt 91% der Varianz aufklärt und somit mit sehr gut beurteilt werden kann.