PROSEMINAR: AUSGEWÄHLTE KAPITEL AUS DER GESCHICHTE DER MATHEMATIK. Isaac Newton vs. Gottfried Leibniz Patrick Giron

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Hedwig Böhm
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1 PROSEMINAR: AUSGEWÄHLTE KAPITEL AUS DER GESCHICHTE DER MATHEMATIK Isaac Newton vs. Gottfried Leibniz Patrick Giron

2 ÜBERBLICK 1. Kurzbiographien von Isaac Newton und Gottfried Leibniz 2. Ausgewählte Errungenschaften von Newton und Leibniz 3. Fluxions-/Differentialrechnung 4. Prioritätsstreit 5. Quellen

3 ISSAC NEWTON * in Woolsthorpe-by-Colsterworth 1655 free gramar school in Grantham 1659 Ende der Schulzeit und Rückkehr zur Mutter Herbst 1660 erneuter Besuch der Schule Juni 1661 Einzug in Cambridge anni mirables 1667 Ernennung zum Minor fellow

4 ISSAC NEWTON 1669 Lucasischer Lehrstuhl 1672 Mitglied der Royal Society 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Parlament in London 1696 Warden of Mint 1699 Master of Mint 1701 Umzug nach London

5 ISSAC NEWTON 1703 Präsident der Royal Society 1705 Ritterschlag durch Queen Anne in Kensington (London) Beisetzung in der Westminster Abbey

6 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ * in Leipzig ab 1653 Besuch der Nicolaischule in Leipzig ab 1661 Philosophiestudium 1663 Disputatio metaphysica de principio individui 1663 Sommersemester in Jena Studium von Kirchen- und Staatsrecht 1667 Promotion in Altdorf (bei Nürnberg)

Philosophiestudium 1663 Disputatio metaphysica de principio

7 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ 1670 Eintritt in die Dienste des Kurfürsten von Mainz Parisaufenthalt Januar 1673 Gesandschaftsreise nach London Aufnahme in die Royal Society 1676 Tod des Kurfürsten Dezember 1676 Eintritt in hannoverische Dienste 1684 Nova Methodus

8 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ 1685 Geschichte des Welfenhauses Präsident der Berliner Akademie März 1700 Aufnahme in die Pariser Akademie in Hannover Beisetzung in der Hofkirche St. Johannis

1700 Präsident der Berliner Akademie März 1700

9 WERKE ISAAC NEWTONS Verallgemeinerter Binomischer Lehrsatz: 1 + x α = k=0 Brief an Leibniz: Extractions of roots are much shortened by this theorem, (P + PQ) m/n = P m/n + m n AQ + m n 2n m 2n BQ + 3n α k xk CQ + m 3n DQ + etc. 4n Where P+PQ signifies the quantity whose root or even any power, or the root of any power, is to be found, P signifies the first term of that quantity, Q the remaining term divided by the first, and m/n the numerical index of the power of P+PQ, whether that power is integral or (so to speak) fractional, whether positive or negative. Wobei A,B,C, den vorhergegangenen Term, also A = P m/n, B = m n bezeichnen. AQ, usw.,

$remaining term divided by the first, and m/n the numerical index of the power of P+PQ, whether that power is integral or (so to speak) fractional, whether$

10 WERKE ISAAC NEWTONS Newton-Verfahren: Gesucht ist die Nullstelle der Gleichung k f x = i=0 a i x i = 0 Angenommen wir hätten eine Nährung x n an eine Nullstelle gefunden. Dann setzt man x : = x n + p in die Gleichung ein: 0 = k i=0 a i x i = k i=0 a i (x n +p) n

Nährung x n an eine Nullstelle gefunden.

11 WERKE ISAAC NEWTONS Newton-Verfahren: 0 = Mittels Binomialtheorem folgt 0 = k i=0 k i=0 a i x i = a i x n i + ix n i 1 p + = k i=0 k i=0 a i (x n +p) n a i x n i + p k i=0 ia i x n i 1 +, Also 0 = f x n + pf x n +, vernachlässigt man hierbei die Terme höherer Ordnung, f x folgt für p: p f x Und somit für die Näherung der Nullstelle x x n + p = x n f x n f x n =: x n+1

+, Also 0 = f x n + pf x n +, vernachlässigt man hierbei die Terme höherer Ordnung, f x

12 WERKE ISAAC NEWTONS Spiegelteleskop:

13 WERKE GOTTFRIED LEIBNIZ Reihen:

14 WERKE GOTTFRIED LEIBNIZ Leibniz-Reihe: k=0 ( 1) k 2k + 1 = = π 4 Leibniz-Kriterium: Sei (a n ) n 1 eine monoton fallende/steigende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die Reihe n=0 ( 1) n a n

15 WERKE GOTTFRIED LEIBNIZ Rechenmaschine:

16 WERKE GOTTFRIED LEIBNIZ Dualsystem:

17 FLUXIONSRECHNUNG Newtons Vorgehen ist physikalischer Natur. Die Kurve f(x, y) = 0 ist gegeben durch die Bewegung eines Punktes. Zerlegung der Bewegung in horizontale und vertikale Komponenten. Momentangeschwindigkeiten in x- bzw. y-richtung werden bezeichnet als x bzw. y (Fluxionen). x und y bezeichnet Newton als Fluenten.

Zerlegung der Bewegung in horizontale und vertikale Komponenten.

18 FLUXIONSRECHNUNG In moderner Notation: f(x(t), y(t)) = 0 x = dx dt y = dy dt y x = dy dt dx dt = dy dx

19 FLUXIONSRECHNUNG Wie findet man nun die Fluxionen einer gegebenen Kurve? Newtons Ansatz: Im Unendlichkleinen verhält sich jede Bewegung wie eine gleichförmige Bewegung. Einführung eines unendlichkleinen Zeitintervalls σ Zuwachs in x-richtung ist dann xσ in y-richtung yσ

Newtons Ansatz: Im Unendlichkleinen verhält sich jede Bewegung wie

20 FLUXIONSRECHNUNG Differentation der Potenzfunktion nach Newton: Sei y = x n, dann gilt y + x n + y + yσ = (x + xσ) n yσ = x n + n( xσ)x n 1 + yσ = x n + n( xσ)x n 1 + yσ = n( xσ)x n 1 + y = n xx n 1 + Und schließlich f x = y x = nxn 1

21 FLUXIONSRECHNUNG Fluxionen als letzte und erste Verhältnisse Wenn ich ferner in der Folge Größen als aus kleinen Teilen bestehend betrachten oder statt gerader unendlich kleine krumme Linie annehmen sollte; so wünsche ich, daß man darunter nicht unteilbare, sondern verschwindend kleine teilbare, nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Teile, sondern die Grenzen der Summen und Verhältnisse verstehen möge. Jene letzte Verhältnisse, mit denen die Größen verschwinden, sind in der Wirklichkeit nicht die Verhältnisse der letzten Größe, sondern die Grenzen, denen die Verhältnisse fortwährend abnehmender Größen sich beständig nähern, und denen sie näher kommen, als jeder angebbare Unterschied beträgt, welche sie jedoch niemals überschreiten und nicht früher erreichen können, als bis die Größen ins Unendliche verkleinert sind. (Newton, 1687 zitiert nach [Volkert 1988, S.90])

22 DIFFERENTIALRECHNUNG Leibnizsche Differentialquotient: Steigung der Sekante an einer Funktion y Tangentensteigung an einer Funktion dx dy mit dx, und dy als infinitesimale Größen x Heute: f x 0 = df (x f x dx 0) = lim 0 +h f(x 0 ) h 0 h = lim x x0 f x f(x 0 ) x x 0

23 DIFFERENTIALRECHNUNG Leibniz Deutungen der unendlich kleinen Größe: 1. Unendlichklein = vernachlässigbar Ich halte für gleich nicht nur diejenigen Größen, deren Differenz durchaus Null ist, sondern auch diejenigen, deren Differenz unvergleichbar klein ist. [...] Mit Euklid (fünftes Buch, fünfte Definition) halte ich für vergleichbar solche gleichartigen Größen, von denen die eine eine andere übertreffen kann, wenn sie mit einer endlichen Zahl multipliziert wird. Leibniz zitiert nach [Volkert 1988, S.99]

24 DIFFERENTIALRECHNUNG 2. Unendlichklein = gegen Null konvergent Hierbei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die unvergleichlich kleinen Größen, selbst in ihrem populären Sinne genommen, keineswegs konstant und bestimmt sind, dass sie vielmehr da man sie so klein annehmen kann, als man nur will, in geometrischen Erwägungen dieselbe Rolle wie die Unendlichkleinen im strengen Sinne spielen. Will nämlich ein Gegner unseren Sätzen die Richtigkeit absprechen, so zeigt unser Kalkül, dass der Irrtum geringer ist, als irgendeine angebbare Größe, da es in unserer Macht steht, das Unvergleichbarkleine das man ja immer so klein, als man nur will, annehmen kann zu diesem Zwecke hinlänglich zu verringern. Leibniz zitiert nach [Volkert 1988, S.100]

25 DIFFERENTIALRECHNUNG 3. Unendlichklein = 0 Und dies ist das Fundament der cavalierischen Methode, wodurch ihre Wahrheit evident bewiesen wird, indem man gewisse sozusagen Rudimente oder Anfänge der Linien und Figuren denkt, kleiner als jede beliebige angebbare Größe. Leibniz zitiert nach [Volkert 1988, S.100]

26 PRIORITÄTSSTREIT 1665/1666 Newton entdeckt seine Fluxionsrechnung 1675 Leibniz entdeckt seine Differentialrechnung Newtons erster Brief an Leibniz / Newtons zweiter Brief an Leibniz Bei 6 a gegebener c c d & 13 Gleichung e f f 7 i 3 l 9 zwischen n 4 o 4 q beliebig r r 4 s 9 t vielen 12 v x fließenden Größen deren Fluxionen zu finden und umgekehrt. Sowie Die 5 a eine c c Methode[besteht] d & 10 e f f h 12 i 4 l im 3 m Herausziehen 1 o n 6 o q q der r 7 Fluenten s 11 t 10 v aus 3 x: einer Gleichung, 11 a b 3 c welche d d 10 zugleich e & g 10 auch i l l 4 m deren 7 n 6 Fluxion o 3 p 3 mit q 6 einschließt; r 5 s 11 t 7 vdie andere [Methode] besteht darin, fur eine beliebige unbekannte x, 3 a c & 4 e g h 6 i 4 l 4 m 5 n 8 o q 4 r 3 s 6 t 4 v, a a d d & e Größe eine Reihe anzunehmen, woraus das Übrige leicht abgeleitet werden e e e e kann, i i i m und m n imn o Vergleich o p r r r s einander s s s s t t u entsprechender u. Glieder der sich ergebenden Gleichung, um die Glieder der angenommenen Reihe zu ermitteln.

27 PRIORITÄTSSTREIT 1684 Leibniz publiziert seine Differentialrechnung in den Acta Eruditorum 1687 Newton veröffentlicht seine Principia 1696 Jakob Bernoulli stellt das Problem der Brachistrone Leibniz löst das Problem sehr schnell 1699 Nicolas Fatio de Duillier veröffentlicht einen Beweis nach Newtons Methode und greift Leibniz in seiner Schrift an 1705 Leibniz bespricht Newtons Opticks in den Acta Eruditorum

28 PRIORITÄTSSTREIT 1710 John Keill bezichtigt Leibniz des Plagiats: Alle diese Dinge folgen aus der jetzt so berühmten Methode der Fluxionen, deren erster Erfinder ohne Zweifel Sir Isaac Newton war, wie das Jeder leicht feststellen kann, der jene Briefe von ihm liest, die Wallis zuerst veröffentlicht hat. Dieselbe Arithmetik wurde dann später von Leibniz in den Acta Eruditorum veröffentlicht, der dabei nur den Namen und die Art und Weise der Bezeichnung wechselte.

29 PRIORITÄTSSTREIT 1711 Leibniz fordert eine Entschuldigung von Keill und beschwert sich bei der Royal Society März 1712 Berufung einer unabhängigen Kommission Urteil der Royal Society: Leibniz ist ein Plagiator

30 QUELLEN C.H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, Springer 1979 K. Volkert, Geschichte der Analysis, Bi-Wiss.-Verl T. Sonar, 3000 Jahre Analysis, Springer 2011

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