Physikalische Atmosphäre 1 atm = 760 Torr 1 Torr ~ 4/3 mbar (Fehler 10-4 ) Technische Atmosphäre 1 at = 1kp/cm 2 (1 kp = 9,80665 N) 1 at = 0,981 bar

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1 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 1 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Kurzfassung Stand Druckeinheiten Bar: 1 bar=10 5 N/m 2 =10 5 Pa Torr: 1 Torr = 1 mm Hg Säule = 133,3224 Pa ~1,33 mbar Dyn/cm 2 1 dyn/cm 2 = 0,1 N/m 2 = 0,1 Pa Physikalische Atmosphäre 1 atm = 760 Torr 1 Torr ~ 4/3 mbar (Fehler 10-4 ) Technische Atmosphäre 1 at = 1kp/cm 2 (1 kp = 9,80665 N) 1 at = 0,981 bar Idealgas kin. Gastheorie PSI (Pound force per square inch) 1 pound = 453,59237 Gramm 1 Pond-force = 4, N 1 inch = 6894,75729 Pa p v N k T p n k T p V v N A k T vrt N = Teilchenzahl, n = Teilchendichte, v = Molzahl, N A = Avogadrozahl, R = Gaskonstante, T = Temperatur, p = Druck, V = Volumen m vm p M V V RT M = Molmasse, m = Masse, =Dichte, Kraft der Moleküle auf die Wand: d p F dt P n m 2 v x 3 E kin 2 kt =mittlere kinetische Energie eines Teilchens im Idealgas Geschwindigkeitsverteilung und Geschwindigkeitsmittelwerte Geschwindigkeitsverteilungsfunktion f ( v) 4 2 m kt 3/ 2 v 2 e 2 mv /(2kT )

2 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 2 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Energieverteilungsfunktion (Maxwell Boltzmann Energieverteilung) f ( E ) k 2 1 kt 3/ 2 E k e Ek / kt mittlere Geschwindigkeit: 8kT 8RT v m M wahrscheinlichste Geschwindigkeit: 2kT 2RT v w m M Effektiv-Geschwindigkeit (rms - Geschwindigkeit) 2 rms = root mean square v rms v mittlere quadratische Geschwindigkeit 3kT 3RT v rms m M m = Molekülmasse M= Molmasse R = Gaskonstante =8,31 J/(K mol) m = Molekülmasse M= Molmasse R = Gaskonstante =8,31 J/(K mol) Geschwindigkeitsverteilung von Sauerstoff-Molekülen bei 80 K und 300 K

3 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 3 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung von Sauerstoff-Molekülen

4 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 4 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Wandstromdichten und Effusion (Flächenstoßraten) Wahrscheinlichkeitsverteilung des Betrages der Geschwindigkeit (siehe oben) v' v f v' v' e mit v' v w Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit in x-richtung: 1 2 vx ' f v x ' e mit v vx' v x w Teilchenstromdichte: (Flächenstroßrate) = Teilchenrate/Zeit/Fläche dn j N dt da Effusionsstrom = Teilchenstromdichte mal Fläche q j A N Volumenstrom = Teilchenstromdichte/Teilchenkonzentration 1 qv jn A n N Teilchenstrom in x-richtung für Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung: j Nx n v 2 W n 4 v

5 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 5 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 oder alternativ: j Nx n RT kt N A n P 2 M 2 m 2 ktm Teilchenrate in x-richtung: mit: M = Molmasse m = Molekülmasse N A = Avogadro Zahl K = Boltzmann Konstante T = Temperatur Volumenstromdichte q Nx j Nx A j V v 4 RT 2 M Volumenstrom durch die Fläche A: v q V A 4 Molekülströmung durch eine Lochblende I II A Thermischer Effusionsstrom durch die Blende der Fläche A zwischen Gebiet I (n 1,T 1,P 1 ) in Gebiet II (n 2,T 2,P 2 ) n v1 A n 1 2 v2 qnx qn x qn x 4 4 Falls beide Behälter gleiche Temperatur (T 1 =T 2 =T) Effusionsteilchenstrom: 1 2 k T m P P A q Nx 1 2 qnx 2, P1 P2 A T M q Nx 8, T M r P P A

6 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 6 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Und für eine kreisrunde Lochblende mit Durchmesser d: q Nx 2 d 2,06 P1 P2 T M r T = Temperatur in K M = Molmasse in kg M r = Atomare Masseneinheit (z. B. 28 für Stickstoff-Moleküle N 2 ) A = Fläche in m 2 P = Druck in Pa D = Durchmesser der kreisrunden Öffnung in m Volumenstrom: q Vx q n Nx Im Gegensatz zum Teilchenstrom ist der Volumenstrom unabhängig vom Druck. q Vx kt A 2 m Die physikalische Einheit des Volumenstromes lautet: 3 m [ ] 2 m s Gasstromstärke I (Druck-Volumenstrom) und Teilchenstromstärke I T Die Teilchenstromstärke lautet: Definition der Gasstromstärke: I q T Nx kt I IT kt A P 2 m dv I P P q Vx dt Die Gasstromstärke (Druck-Volumenstrom) ist eine messbare Größe. Gesamte Gasstromstärke: P = Druckdifferenz I ges I T kt kt A P 2 m Leitwert und Definition: C P I ges C = Leitwert einer Öffnung

7 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 7 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Widerstand einer molekularen Strömung C kt RT A 2 m 2 M A Strömungsleitwert Als zugeschnittene Größengleichung: Temperatur T in K Molmasse des Moleküls in kg Fläche A in m 2 C 1, 15 T M A Leitwert einer Öffnung für Stickstoff bei Raumtemperatur T=293K C 117, 6 A L in [m 3 /s] und A [m 2 ] Strömungswiderstand W W 1 C Saugvermögen Der Volumendurchsatz bzw. der Volumenstrom wird als effektives Saugvermögen definiert. S eff q Vx RT A [m 3 /s] 2 M Beispiel: Ein Loch einer Fläche von 1 cm 2 entspricht einem effektiven Saugvermögen von 11,77 l/s Grundgleichung für den Evakuierungsprozess Hieraus folgt: dp dt rez P rez q V VA rez I V E rez 0 P P ( P e 0 Pe ) e t / mit V q rez Va I E = einströmender Gasstrom (Druck-Volumenstrom) q VA = ausströmender Volumenstrom P rez = Druck im Rezipienten V rez = Volumen des Rezipienten P e = Enddruck P 0 = Druck zum Zeitpunkt t=0 = charakteristische Zeitkonstante

8 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 8 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Lecks Falls eine Vakuumkammer ein Leck mit einem Leitwert C hat, stellt sich ein Gleichgewichtsenddruck ein: P a = Aussendruck P e = Enddruck in der Kammer S eff = effektives Saugvermögen P C P S a e eff Druckanstieg aufgrund eines Lecks ohne angeschlossene Pumpe: Schließt man bei einer Vakuumkammer das Ventil zur Pumpe, dann führt der einlaufende Gasstrom zu einem linearen Druckanstieg: I P V E r t P 0 I E =einlaufender Druck-Volumenstrom =Leckrate=Gasstrom P 0 = Druck der Kammer bei t=0 (zum Zeitpunkt, wenn die Pumpe ausgeschaltet wird) V r =Volumen des Rezipienten Aus dieser Beziehung kann beim Druckanstieg die Leckrate abgeschätzt werden: L V r p t P=Druckanstieg t= Zeit des Druckanstiegs L=Leckrate=einlaufender gasstrom I E Winkelverteilung einer Molekularström ung Molekularströmung durch eine Lochblende: Moleküle, die aus einer Blende austreten zeigen als Winkelverteilung eine Kosinusverteilung. djn j d j = auf den Raumwinkel bezogene Teilchenstromdichte. cos( )-Verteilung Winkelverteilung des Teilchenstromes einer Blende (Molekularströmung durch Blende):

9 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 9 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Molekularströmung durch Rohr: Die Strömung durch ein Rohr wird im Wesentlichen dadurch verändert, dass die Moleküle, die auf die Rohwand auftreffen, hier zunächst gebunden werden, und dann wieder mit einer Kos-Verteilung thermische emittiert werden. Daher bilden sich je nach Länge des Rohres ein mehr oder weniger starker Rückstrom und eine scharfe Winkelverteilung am Rohrausgang. Diese Verteilung ist zusätzlich auch noch abhängig von der Oberflächebeschaffenheit des Rohres. Leitwert von Rohren im Molekularflussge Ein Rohr mit Durchmesser d hat den Leitwert:

10 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 10 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 biet 3 T D c 1,20 Werte in S.I.-Einheiten M L T D c 3.81 M L r 3 Hierbei ist d sehr viel kleiner als der Durchmesser der Vakuum Kammer. T = Temperatur in [K], M r = atomare Masseneinheit des Moleküls in AMU D = Durchmesser des Rohres in [cm] L = Länge des Rohres in [cm] c = Leitwert in [l/s] Wie erkennt, dass dieser Leitwert für L gegen 0 nicht gegen den Leitwert einer Lochblende strebt. Clausing hat diesen Effekt näher untersucht und beschreibt den Übergang mit einem Korrekturfaktor K c 3,81 T M r D L 3 K' ' L L D mit '' D K 2 L L D D D = Durchmesser in [cm] L = Länge des Rohres in [cm] C = Leitwert in [l/s] 2 Die Korrekturwerte können auch Tabellen entnommen werden (siehe unten). Leitwert einer Krümmung: Für die Bestimmung des Leitwertes des Bogens, wird eine äquivalente Länge berechnet. l lax 1,33 D 180 l = äquivalente Länge eines entsprechenden Rohres l ax = L 1 +L 2 in [cm] D= Durchmesser in [cm] = Winkel

11 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 11 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Tabelle zur Bestimmung von Leitwerten von Rohren im Molekularflussgebiet: Diaphragm Effekt (Blendeneffekt) Betrachte den Leitwert durch folgende Blende: P= 1 mbar P 1 C Rohr A A 0 Beim molekularen Gasstrom innerhalb der Rohrleitung bildet sich ein Druckgradient im Rohr aus. Der Gasstrom von links nach rechts wird bestimmt durch die Leitfähigkeit der Lochblende A 0, die Leitfähigkeit des Rohres C Rohr und durch die Leitfähigkeit der Lochblende A im Fluss von links nach rechts C e. Der Gasstrom von links nach rechts wird bestimmt

12 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 12 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 durch die Leitfähigkeit der Lochblende A, der Leitfähigkeit des Rohres. Da die gesamte Leitfähigkeit der Anordnung unabhängig von der Richtung der Strömung ist, folgt: 1 1 C C A0 1 C Rohr 1 C Ce 1 C Rohr 1 C Hieraus folgt für die Leitfähigkeit der Blende von der Rohrseite aus betrachtet: A C e CA mit den Querschnitten A und A 0 der Lochblenden A 1 A 0 Mittlere freie Weglänge Für die Bestimmung der mittleren freien Weglänge, werden die Teilchen als Kugeln beschrieben. Eine Teilchen mit Radius r 1 hat in einem Gas mit Teilchenradius r 2 die temperaturunabhängige mittlere freie Weglänge: Da die Idealgasgleichung gilt, folgt: r r n kt 2 2 r1 r2 p Experimentell findet man jedoch eine temperaturabhängige mittlere freie Weglänge, die durch einen temperaturabhängigen Stossradius eingeführt wird. 1 1 T T V 2 mit r kt 2 2 n 2 4 r 1 p Die mittlere freie Weglänge ist umgekehrt proportional abhängig vom Druck p. Gas (µm)bei 1 mbar/0 C T S (K) Wasserstoff 79,4 76 Stickstoff 45,9 112

13 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 13 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Sauerstoff 51,7 132 Wasserdampf 71,4 600 Helium Neon 8,42 56 Argon 52,6 169 Krypton Mittlere freie Weglänge für ein Gasgemisch Gasteilchen der Sorte 1 sind in einem Gas der Sorte 2 verdünnt gelöst: Hierbei ergibt sich eine mittlere freie Weglänge 2 2 1, M M 1 2 1/ 2 Beispiel: Helium wird in Luft gelöst. 1 mittlere freie Weglänge von He bei 1 Torr 14,5 µm 2 mittlere freie Weglänge von Luft bei 1 Torr 50 µm mittlere freie Weglänge von He bei 1 Torr Luft 1,2 2 d.h. He hat eine doppelt so hohe mittlere freie Weglänge wie 1,2, 1 2 die Luftmoleküle. He diffundiert stark. Ausnutzung bei der Lecksuche. Mittlere frei Weglänge von Elektronen Elektronen werden auch durch Gasmoleküle behindert. Ihre mittlere freie Weglänge im Gas lautet: 1, Bei Ionen erhält man 1,2 2 2 l-p-wert Meist wird experimentell der l-p-wert bestimmt. Kennt man den l-p-wert bei einem bestimmten Druck, so kann man die mittlere freie Weglänge einfach auf den aktuellen Druck umrechnen. Der l-p-wert ist das Produkt aus mittlerer freien Weglänge l und Druck P. Der l-p-wert ist temperaturabhängig.

14 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 14 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Der Druck bestimmt die Strömungsart und wird mit Hilfe der Knudsen Zahl Strömungsarten Knudsen Zahl angegeben: K mittlere freie Weglänge D= charakteristische Länge z. B. Durchmesser eines Rohres D K D Strömungsart > 0,5 Molekularströmung 10-2 < K <0,5 Knudsen Strömung (Übergangsgebiet) < reibungsfreie Strömung - viskose Strömung laminar oder turbulent Abhängig von der Höhe der Reynolds Zahl R e, ist die Strömung laminar oder turbulent l v R e = Dichte, l = charakteristische Länge v = Strömungsgeschwindigkeit, = dynamische Viskosität Re < 2300 Strömung stabil laminar Re = laminar/turbulent instabil Re > 4000 Strömung stabil turbulent Diffusion I n 1 A II n 2 Betrachtet man zwei Gebiete mit unterschiedlicher Teilchenkonzentration derselben Teilchensorte, dann erhält man einem endlichen Effusionsstrom (Differenzteilchenstromdichte). Das Prinzip kann auf ein beliebiges Konzentrationsprofil angewendet werden.

15 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 15 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 j diff n n x0 v n x0 4 x0 n x0 4 v 4 v Dies kann für kleine als Gradient geschrieben werden. j diff n D mit der Diffusionskonstante x D 3 v Mit der Teilchestromrate j diff dn 1 folgt: A dt 1 A dn dt n D x 1. Ficksches Gesetz 3-dimensional gilt: j diff D grad(n) Man kann leicht zeigen, dass hieraus folgt: n t 2 n D 2 x 2. Ficksches Gesetz Random Walk Gasteilchen führen einen durch zufällige Streuungen bestimmten Weg zurück (Random Walk). Obwohl die Wahrscheinlichkeit für jede Streurichtung gleich groß ist, bewegen sich die Teilchen im Mittel immer weiter vom Ursprungszentrum weg. Die mittlere Entfernung vom Ursprung hängt von der Diffusionskonstanten und der Zeitdauer des Random Walks ab. Eine Abschätzung zeigt, dass diese Entfernung genähert werden kann als: L 2 Dt L = Entfernung, Diffusionslänge (=Entfernung vom Ursprung) t = Diffusionszeit

16 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 16 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Viskosität, laminare Strömungen Bei höheren Drücken ist die Teilchendichte so groß, dass ihr Reibungskräfte auftreten. In diesem Falle spricht man von laminarer Strömung. Man beschreibt die laminare Strömung am einfachsten an dem Verhalten einer Flüssigkeit. Flüssigkeiten und Gase verhalten sich strömungstechnisch ähnlich. Daher reicht es zunächst die Verhältnisse an einer auf einem Flüssigkeitsfilm gleitenden Platte zu betrachten. Die Kraft, die man benötigt um eine Platte auf einem Flüssigkeitsfilm zu ziehen lautet: v F A mit der Geschwindigkeit v, der Dicke des Flüssigkeitsfilms z, z und der Auflagefläche A bei einer Viskosität ; z Platte Unterlage Flüssigkeitsfilm F In diesem Modell geht man davon aus, dass die einzelnen Flüssigkeitsschichten gegeneinander reiben. Die erste Schicht haftet fest an der Unterlage und bewegt sich nicht, Das gilt auch für die Schicht, die an der bewegten Platte klebt. Hieraus ergibt sich bei einer infinitesimal dünnen Schicht ein lineares Geschwindigkeitsprofil. Platte v 0 z z v Flüssigkeitsfilm v 0 Unterlage extrem dünnen Flüssigkeitsfilms. Geschwindigkeitsprofil eines Die Geschwindigkeitsverteilung einer strömenden Flüssigkeit zwischen zwei Platten ist parabelförmig. Die maximale Geschwindigkeit wird zwischen den Platten gemessen. Auch bei der Strömung durch ein Rohr erhält man eine parabelförmige Geschwindigkeitsverteilung:

17 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 17 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 2R v P 1 l P 2 2x x z 2 x v v0 1 Strömungsgeschwindigkeit durch ein Rohr mit Radius R R. Mit der maximalen Geschwindigkeit in der Rohrmitte: ( P1 P2 ) 2 v0 R, hierbei ist P 1 der Druck vor dem Rohr und P 2 der Druck 4 l hinter dem Rohr, l ist die Länge des Rohres und die Viskosität des Fluids. Hieraus ergibt sich der gesamte Volumenfluss: V dv 4 P1 P2 Zu: V 8 l Poiseulle). R R 0 2 rv( r) dr = Volumenfluss des Fluids, (Gesetz von Hagen Viskosität einiger Stoffe Stoff /(10 ) Luft 20 C 0,018 Wasser 20 C 1,00 Glyzerin 20 C 1410 Blut 37 C 4,0 Wasserstoff 1 bar 0,0086 Unterschiede Flüssigkeiten/ Gase Der wesentliche Unterschied zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas besteht in der Inkompressibilität der meisten Flüssigkeiten. Dies bedeutet, dass die transportierte Masse bis auf einen Faktor identisch ist mit dem transportierten Volumen.

18 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 18 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Dies ist bei einem Gas anders, es besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen einem transportierten Gasvolumen und der transportierten Gasmasse. Beim Gastransport entspricht die der Masse proportionale Größe dem Druck-Volumenstrom (bzw. dem Gasstrom). Beispiel: Sie transporieren1 m 3 Wasser pro Sekunde. Dann ist klar, dass sie eine Tonne Wasser pro Sekunde transportieren. Transportieren Sie 1 m 3 Luft pro Sekunde, dann wissen Sie nicht, wie viel Luft transportiert wurde. Ist die Luft auf Normaldruck, haben Sie etwa 1,29 kg Luft pro Sekunde transportier, ist die Luft bei einem Druck von 1E-11 mbar, habe sie so gut wie nichts transportiert. Die Größe I PV macht erst deutlich, was Sie gepumpt haben. Daher definiert man folgende Größen: a) Flüssigkeiten V C P C = Strömungsleitfähigkeit der Flüssigkeit R = 1/C =Strömungswiderstand der Flüssigkeit b) Gase Gasstrom I PV C P C = Strömungsleitfähigkeit des Gases R = 1/C =Strömungswiderstand des Gases Strömungswiderstand einer laminaren Flüssigkeitsströmung Strömungswiderstand und Leitwert einer laminaren Gasströmung durch ein Rohr Ein Vergleich mit der Definition der Leitfähigkeit und dem Gesetz von Hagen Poiseulle folgt: 4 R 1 8 l C Fl bzw. RFl für die Leitfähigkeit C und den 8 4 l CFl R Strömungswiderstand R Aus dem Hagen Poiseulle Gesetz erhält man den Gasstrom: 4 R P1 P2 I ( P1 P2 ) 8 l 2 Hieraus folgt durch einen Vergleich mit der Definition der Leitfähigkeit: 4 R l C Gas P bzw. R 8 l 1 C 8 1 Gas 4 Gas R für die Leitfähigkeit C und den P P Strömungswiderstand R, mit 1 P P 2 2

19 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 19 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Laminare Gasströmung, Leitwert Für den Gasstrom ergibt Für ein Rohr mit einem Durchmesser D lautet die Leitfähigkeit: C Rohr 2, D P l Für Luft bei 20 C gilt: C Rohr l / s bzw. 1, D cm l cm P Pa C Rohr l / s D cm 3,27 l Pas cm 4 P Torr Adsorption/ Desorption Begriffe: adsorbieren: Teilchen, die sich über einen Bindungszustand an eine Oberfläche anlagern Adsorptiv: Teilchen, die sich auf eine Oberfläche zu bewegen, und anschließend adsorbieren Adsorbens: Stoff, der adsorbierte Teilchen aufnimmt Adsorbat: adsorbierte Teilchen Haftwahrscheinlichkeit H: Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen beim Kontakt mit der Oberfläche haften bleibt. Reflektionswahrscheinlichkeit R: R = 1-H Physisorption: Durch Ladunsgsfluktuationen entstehen spontane Dipole, die andere Moleküle polarisieren können, es kommt auf diese Weise zu einer leichten Bindung der Moleküle an die Oberfläche Chemisorption: starke Bindung der Moleküle an die Oberflächenatome. Meist Übergang von zunächst Physisorption, dann Chemisorption. Bedeckungsgrad : n Der Bedeckungsgrad ist das Verhältnis ~ ~ nmono aus der Flächendichte ~ n der adsorbierten Moleküle zu der Flächendichte n ~ einer Monolage mono. Eine Monolage ist die maximale Flächendichte bei einer dichten Atomlage. Beispiel: Der Radius von Stickstoffmolekülen ist r = 0,16 nm, hieraus folgt eine Monolagenbedeckung entspricht ~ 15 2 nmono 10 cm

20 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 20 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Adsorbieren Atome auf einer vollständig bedeckten Oberfläche, so ist die Wechselwirkung zwischen den Atomen untereinander von Bedeutung. Liegt eine vollständig bedeckte Oberfläche vor, kondensieren die restlichen Moleküle auf den adsorbierten. Die Energie, die benötigt wird um diese Atome oder Moleküle zu lösen entspricht der Verdampfungswärme Q V des Materials z. B. 45 kj/mol bei Wasser (das entspricht einer Bindungsenergie von 0,45 ev). Haftkoeffizient nach Langmuir: Viele Moleküle werden nur von den Oberflächenatomen des Adsorbens gebunden, aufgrund des hohen Dampfdruckes bleibt eine Kondensation an Molekülen bereits adsorbierter Moleküle der gleichen Sorte aus. Hieraus folgt, dass der Haftkoeffizient von der Bedeckung der Oberfläche abhängig ist. H H0(1 ), mit H 0 = Haftkoeffizient einer leeren Oberfläche H = Haftkoeffizient, = Bedeckungsgrad der Oberfläche Adsorptinsstromdichte: Für die Adsorptionsstromdichte gilt: j j 1 mit der Teilchenstromdichte j N. Desorption: ads N H 0, Die Desorption der Moleküle ist thermisch aktiviert und hängt von der Desorptionsenergie E des ab. Nach Boltzmann ist die Zahl der Teilchen, deren Energie größer ist als die Desorptionsenergie: ~ ~ n ne E des / RT Hieraus folgt für die Desorptionsrate: j des ~ d n n 0ne dt t ~ Edes / RT 0 1/ 0 ist hierbei eine Teilchen/Adsorbens spezifische Konstante, die als eine Schwingfrequenz des Moleküls im Bindungspotential angesehen werden kann. In diesem Model stellt der Boltzmann-Term die Wahrscheinlichkeit dar, die Potentialbarriere zu überwinden, und v 0 die Frequenz mit der das Atom immer wieder gegen diese Potentialbarriere anläuft. Die gesamte Verweilzeit des Moleküls auf der Oberfläche lautet:

21 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 21 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 RT e E des / 0 Für die Flächenbedeckung ~ n der Oberfläche gilt bei der Desorption: ~ ~ n n 0 e t / In Analogie zum Radioaktiven Zerfall folgt für die Verweilzeit des Moleküls auf der Oberfläche: 1 n t ln mit der Flächenbedeckung f, ~ f n0 zurzeit t = 0. ~ ~ n = Flächenbedeckung 0 Beispiel: Für Stickstoffmoleküle gilt: E des = 170 kj/mol 0 = Stickstoff auf Stahl: s Eine Monoschicht zur Zeit t = 0: n 0 =10 15 cm -2 Frage: Wie lange dauert es, bis 99% der Stickstoffmoleküle von der Oberfläche bei T=300K (Raumtemperatur) und bei T=600 K (300 C) desorbiert sind? Die Flächenbedeckung lautet, wenn 99% desorbiert sind 1%: 0.01n f n 0 t ln(1/ s e 1,89 10 f ) e 17 0 E des / RT /(8,31300) s 5, ln(100) a ln(1/ f ) Die Desorption dauert 5,8 Milliarden Jahre! Bei T=600 K folgt: t ln(1/ f ) e s e 295s 5min E des / RT /(8,31600) ln(1/ f ) ln(100) UHV Kammern werden bei 200 C bis 300 C ausgeheizt. Hierbei werden die andsorbierten Moleküle dersorbiert und abgepumpt. Langmuirsche Isotherme: Für die Adsorptionsstromdichte j ads und die Desorptionsstromdichte j des gilt:

22 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 22 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 n v j ads H ~ ~ d n n ~ Edes / RT jdes 0 n e dt t Aus j ads = j des folgt mit n=p/kt (Teilchendichte) die Langmuirisotherme: mit ~ n ~ n 0 P CL 1 P C L C L N ~ n A H e mono 0 0 Edes / RT 2 RTM M==Molmasse Beispiel für die Adsorption von Stickstoff mit folgenden Werten: Na=Avogardro Zahl 6,0E23 Edes=170kJ/mol R=Gaskonstante R=8,31 M=Molmasse M=28E-3kg, H0=1 Haftkoeffizient 1 600K 650K 700K 750K 800K 1 P/Pa Langmuirisotherme für Stickstoff auf Stahl für unterschiedliche Temperaturen bei einem Haftkoeffizienten von 1.

23 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 23 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Permeationsleitfähigkeit von Stoffen Viele Stoffe besitzen eine hohe Permetaionsleitfähigkeit. Erhitz man das Metall Palladium, so lässt es Wasserstoff in hohen Mengen durch. Aus den nachfolgenden Abbildungen können die Leckraten direkt abgelesen werden. Aus der Abbildung entnimmt man, dass bei einem Druck von 1 bar bei einer Temperatur von 400 C und einer Palladiumdicke von 1mm ein Fläche von einem Quadratmeter eine Leckrate von ca. 10 mbar l/s hat. Permeationsfähigkeit von Metallen

24 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 24 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Permeationsfähigkeit von Gläsern: Permeationsfähigkeit von Kunststoffen

25 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 25 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Druckmessungen Bourdon Rohr: Ein gebogenes Rohr hat eine größere außen liegened Fläch im Vergleich zur iunnen liegenden Fläche. Dies führt zu einer innendruckabhängigen Verbiegung des Rohreres. Die Verbiegung wird mechanisch auf einen Zeiger übertragen. Druckbereich 1000 Pa bis 1 bar. geringe Genauigkeit Druckanzeige unabhängig von der Gasart Abb.: Röhrenvakuummeter Membranmanometer Anstelle eines gebogenen Rohres wird eine Membran auf der einen Seite ans Vakuum angeschlossen und die andere Seite dem Normaldruck ausgesetzt. Hierdurch verbiegt sich die membran. Die Verbiegung wird entweder mechanisch auf einen zeiger übertragen, oder aufwendiger mit einem Laser-Interferometer ausgewertet. Eine weitere Methode ist die Kapazitive Messung. Eine Gegenelektrode bildet zusammen mit der sich verbiegenden Membran eine druckabhängige Kapazität. Abb.: Prinzip Membranmanometer

26 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 26 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 U-Rohr-Manometer: Abb.: Membranvakuummeter Abb.: U-Rohr Gemessen wird die Höhe der Flüssigkeitssäule (meist aus Quecksielber). Es gilt: gh P ist. Druckanzeige Gasunabhängig Druckbereich 1 bar (10E5 Pa) bis 150 Pa

27 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 27 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 verwendet Abb.: U-Rohr-Manometer, werden oft bei Lüftungsanlagen Kompressionsvakuummeter (siehe auch Praktikumsanleituung) McLeod Das Messprinzip beruht auf der Kompression eines bekannten Volumens. Das Anfangsvolumen V hat als Startwert den zu messenden Druck bei z. B. Raumtemperatur. Dann wird eine Quecksielbersäule hoch gefahren und verschleißt deas Volumen (abkopplung zum Rezipienten. Das Gas wird solange komprimiert bis die Flüssigkeitssäule eine Null- Marke erreicht. In diesem Fall entsteht eine Quecksielbersäule, die wie beim U-Rohr-Manometer den Differenzdruck angiebt. Hieraus errechnet sich: Start: P R V nkt Nach der Komprimierung auf das Volumen V gilt: PV ' nkt, wobei P den jetzt herschenden Druck im Volumen V beschreibt. Idealgasgestz: P R V PV ' Da die Druckdifferenz der Höhe der Quecksielbersäule entspricht, folgt: PR V ( PR gh) V' ( PR gh) Ah mit der Fläche der Röhrchens A und der Dichte von Quecksielber, ( gh) Ah P R Hieraus folgt: V V ', das bekannte Volumen V ist sehr viel größer als das Volumen V und kann vernachlässigt werden: Somit ist der Rezipientendruck abhängig vom Quadrat der Höher der Flüssigkeitssäule: gah V P R 2

28 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 28 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Abb.: McLeod Kompressionsmanometer mit Anzeigeskala Druckbereich von 100 Pa bis 10-4 Pa, man kann somit mit einer recht einfachen Methode recht geringe Drücke messen. Messgenauigkeit 1mm Hg Säule entspricht etwa 50% bis 100% Wärmeleitungsmanometer Wärmeleitungsmanometer beruhen auf dem physikalischen Effekt, dass die Wärmeleitung bei sehr geringem Drück abhängig vom Druck ist. Dies ist grundsätzlich nicht trivial, weil Gase in der Regel viskose Eigenschaften besitzen und eine druckunabhängige Wärmeleitung zeigen. Wenn die mittlere freie Weglänge der Gase in der Größenordnung des Drahtdurchmessers des Drahtes ist, so leitet der Draht die Wärme im Molekularflußgebiet ab. Dann ist der Energietransport abhängig von der Stoßrate und somit vom Druck. Damit bestimmt der Drahtdurchmesser den Messbereich der Röhre. Man unterscheidet zwei verschieden Methoden der Messung: a) Die Temperatur eines dünnen Drahtes wird konstant gehalten und die hierzu notwendige Heizleistung gemessen. b) Die Heizleistung wird konstant gehalten und die Temperatur eines dünnen Drahtes wird meist indirekt gemessen, z. B. über die Temperaturabhängigkeit des Drahtes. Eine entsprechende Kalibrierung liefert eine dem Draht angepasste Druckskala.

29 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 29 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Abb.: Prinzip eines Wärmeleitungsmanometers (einige 10 µm dünner Draht) Abb.: Wärmeleistung, im Draht mit konstanter Temperatur als Funktion des Druckes. Man erkennt, das schwere Moleküle erst bei geringen Drücken eine Druckabhängigkeit zeigen. Abb.: Skalen von Wärmeleitungsmanometern mit unterschiedlichen Drahtdurchmessern, dünner Draht: hohe Empfindlichkeit, geringer Enddruck; dickerer Draht: geringere Empfindlichkeit, höherer Enddruck.

30 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 30 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Ionisationsvakuummeter Das Messprinzip: Mit einem konstanten Elektronenstrom werden die Restgasmoleküle ionisiert, Hierbei ist der gasabhängige Wirkungsquerschnitt abhängig von der Molekülsorte. Der Ionenstrom lautet somit: I I s l, hierbei ist I+ der Strom der Ionen, I- der Elektronenstrom, s die spezifische Ionisierung und l die Ionisationsstrecke der Elektronen. n s s Für die spezifische Ionisierung s gilt: 0 n0 Für den Ionenstrom gilt somit: Mit der Vakuumkonstante : I I p Abb.: Ionisation Abb.: Vakuumkonstante

31 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 31 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Wärmeleitung von Gasen Dampfdruck P S, Gas PS = Sättigungsdampfdruck fest, flüssig Der Übergang zwischen den unterschiedlichen Phasen wird durch die Clausius-Clapeyronsche Gleichung beschrieben. dp S H dt T V H Verdampfungsenthalpieänderung T = Temperatur PS = Sättigungsdampfdruck V = Volumenänderung (Differenz der Molvolumina) Aus den Annahmen: Vm Dampf >> Vm Flüssig, Dampf = Idealgas, H = temperaturunabhängig folgt der Sättigungsdampfdruck PS: P S P e 0 H / RT Aus der Gleichgewichtsbedingung: adsorbierte Teilchenrate = desorbierte Teilchenrate folgt Die Effusionsrate (Teilchenstromdichte qn/a) lautet:

32 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 32 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 1 dn 1 av P * P A dt 2 mkt Hertz-Knudsen Gleichung a v = Haftkoeffizient (Hertz-Knudsen Faktor), dieser Faktor ist bei extrem reinen Materialien =1. D. h. die maximale Teilchenstromdichte, die aus der Oberfläche emittiert wird, ist gleich der Teilchenstromdichte (Wandstromdichte) bei einem Druck, der dem Sättigungsdampfdruck der Substanz entspricht. Dampfdruck von Silizium: Silizium verdampft nicht nur monoatomar, sondern auch di- und triatomar. Man erkennt hier deutlich die Äderung in der Verdampfungsenthalpie beim Übergang von Fest zu Flüssig bei Tm. Abb.: Dampfdruck von Silizium Dampfdruckkurven:

33 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 33 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil Knudsen Zelle Knudsen erfand 1909 eine Zelle, die einen definierten Effusionsstrom generierte. Die Zelle ist so aufgebaut, dass die Zellöffnung wie eine ideal sauberes Effuionsmaterial mit einem Haftkoeffizienten von 1 wirkt. Abb. Konstruktion einer Knudsen Zelle. Eigentlich Zelle und Umgebung sind im Thermischen Gleichgewicht. Massenverdampfungsrate : m * a v P P 2 kt dn m m qn A dt / M T 3 r * max av 4,38 10 P (zugeschnittete Größengleichung) max = Massenrate [kg/sm2] M r = Massenzahl der Verdampfungsmoleküle [AMU] a v = Haftkoeffizient, bei Knudsenzelle a v =1 P* = Damfdruck in der Zelle (Sättigungsdampfdruck) P = äußerer Gegendruck

34 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 34 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Typische Größenordnung der Verdampfungsraten für Materialien bei P*=10-2 Torr: ~1g/sm 2 Winkelverteilung des Verdampfungsmaterials wie bei der Lochblende: Für die Teilchenrate, die in den Raumwinkel d verdampft wird gilt: d 3 N da dt e e 1 d P cos( ) 2 k T m Für die Massenrate gilt. d 3 M da dt e e m d P cos( ) 2 k T Für die gesamte emittierte Masse gilt: d dm e Me cos( ) Kosinusgesetz der Emission Kondensation: Für die Kondensation gilt: dm da c c Me cos( ) cos( ) 2 r

35 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 35 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Anwendung: homogene Bedampfung einer Kugelinnenfläche Die gesamte abgedampfte Masse verteilt sich homogen auf die Kugelinnenfläche. dm da c c Me 4 r 0 2 Homogenität der Aufdampfung: dr = Aufdampfdicke am Rand dm = Aufdampfdicke in der Mitte d d R M 1 rw 1 0 r 2 2

36 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 36 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Effusionszellen in MBE Anlagen Querschnitt durch eine Effusionszelle Arsenic valved cracker cell: Bei der Valved Cracker Zelle wird der Dampfdruck mit einem Nadelventil gesteuert. Hierdurch sind sehr schnelle Druckunterschiede realisierbar.

37 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 37 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1 Effusionszelle für Ga, Al, In PBN Tiegel

38 Halbleitertechnik und Nanostrukturen Seite 38 von 38 Kurzfassung Teil 1, Grundlagen zur Vakuumtechnik Arno Förster, Kurzfassung HTNS WS2011 Teil 1

39 Halbleitertechnik und Nanostrukturen WS2013/2014 für Physikingenieurwesen 1 Prof. Dr. rer. nat. Arno Förster 2014/ überarbeitete Version vom

40 2

41 Inhaltsverzeichnis 1 Kristallstrukturen Das Kristallgitter Fundamentale Gitterarten (Bravais Gitter) Netzebenen Das reziproke Gitter Halbleiterphysik Die Halbleiter-Bandstruktur Kronig-Penney-Modell und Block-Theorem Die 3-D-Bandstruktur im k-raum Halbleiter, Metalle und Isolatoren Bandstruktur und chemische Bindung Die Effektive Masse Freies Elektronengas Zustandsdichten Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion Ladungsträger in intrinsischen Halbleitern Dotierte Halbleiter Bindungsenergie Entartete Halbleiter Störstellenstatistik Ladungsträger in dotierten Halbleitern Effektive Elektronen- und Löchermasse Effektive Masse für die Leitfähigkeit Elektrische Leitfähigkeit Heterostrukturen und Schottky-Kontakt Metall-Metall-Kontakt Metall-Halbleiter-Übergang I-V Kennlinie eines Schottky-Kontaktes Reale Schottky-Diode und Branching Point Halbleiter-Heterostrukturen Idealer Metall-Halbleiter-Übergang für n- und-p- Halbleiter Ohmsche Kontakte

42 4 INHALTSVERZEICHNIS Der Ohmsche Metall-Halbleiter-Kontakt Legierungskontakte Ohmsche Kontakte mit Halbleiter-Zwischenschichten Bestimmung des Kontaktwiderstandes: Transmissions-Line- Methode Der Feldeffekt-Transistor Metal Semiconductor Field Effect Transistor (MESFET) Stromfluss durch Source-Drain-Kontakt Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie Die Steilheit g m High-Electron-Mobility-Transistor (HEMT) Der Metall-Oxyd-Halbleiter-Kontakt Der MOSFET MOSFET-Anwendungen p-n-übergang Einsteinbeziehung und Diffusionsspannung Schottky-Näherung der Raumladungszone Sperrschichtkapazität Diffusion und Rekombination Der vorgespannte p-n-übergang Diskussion des Gleichstromverhaltens einer p-n-diode Wechselstromverhalten einer p-n-diode Der Bipolartransistor Arbeitsprinzip Charakteristische Größen: Transportfaktor, Gehaltsfaktor und Stromverstärkung DC-Ausgangskennlinienfelder Hetero-p-n-Übergang

43 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Halbleitertechnik und Nanostrukturen soll als eine Hilfe zur Vorlesung dienen. Es gibt eine kleine Einführung in den Themenbereich der Halbleiterphysik. Es handelt sich derzeit um eine β-version. Daher möchte ich mich im Vorfeld bereits für mögliche Fehler entschuldigen. Ich bin jedem dankbar, der mich auf Fehler in diesem Skript hinweist. Ich möchte mich besonders bei Herrn Norbert Boost bedanken, der für mich eine ganze Menge an Formeln editiert und Zeichnungen erstellt hat. Arno Förster 5

44 6 INHALTSVERZEICHNIS

45 Kapitel 1 Kristallstrukturen 1.1 Das Kristallgitter Ein Kristallgitter besteht im Idealfall aus unendlich vielen regelmäßig angeordneten Gitterpunkten. Die Spitze des Translationsvektors T zeigt hierbei vom Ursprung aus zu einem der Gitterpunkte mit den Koordinaten n 1, n 2, n 3. Hierbei bezieht sich der Translationsvektor auf die Basisvektoren a, b, c: T = n 1 a + n 2 b + n 3 c (1.1) Jeder Gitterpunkt lässt sich durch einen Vektor darstellen, mit ganzzahligen Koordinaten n 1, n 2, n 3. Die Basisvektoren spannen die flächenmäßig kleinste Zelle auf. Es gibt im Allgemeinen verschiedene Basisvektorsysteme, die zu denselben Gitterpunkten führen. Entsprechend gibt es auch verschieden primitive Zellen. In Abbildung 1.1 sind drei unterschiedliche Basisvektoren des zweidimensionalen Gitters gezeigt. Die mit 1, 2 und 3 gekennzeichneten Flächen sind gleich groß. Alle primitiven Zellen besitzen somit denselben Flächeninhalt. 7

46 8 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN b 1 b b 3 3 a 1 a 2 b 4 T 4 a 3 Abbildung 1.1: Zweidimensionale Basisvektoren und primitive Zellen a 4 Das gesamte Gitter lässt sich auch als eine lückenlose Verschachtelung von primitiven Zellen (Einheitszellen) darstellen. In Abbildung 1.2 ist ein kubisches Kristallgitter gezeigt, dass aus primitiven Einheitszellen zusammen gesetzt ist. Die Basisvektoren a, b, c spannen die primitive Zelle auf. c b a Abbildung 1.2: Gitter zusammen gesetzt aus primitiven Einheitszellen Das Volumen der primitiven Zelle berechnet sich aus dem Skalarprodukt: V = a ( b c ) (1.2)

47 1.2. FUNDAMENTALE GITTERARTEN (BRAVAIS GITTER) 9 Schreibt man die Vektoren als Matrix a x b x c x M = a y b y c y (1.3) a z b z c z so erhält man das Volumen der Einheitszelle als Determinante von M: V = det M (1.4) Es gibt eine Zelle mit gleichgroßem Inhalt, wie die primitive Zelle, mit der das gesamte Gitter durch lückenlose Verschachtelung zusammen gesetzt werden kann. Es ist die Wigner-Seitz-Zelle, die in Abbildung 1.3 dargestellt ist. Geometrische Konstruktion der Wigner-Seitz-Zelle: Man definiert einen Gitterpunkt als Zentrum der Wigner-Seitz-Zelle. Dann zeichnet man sämtliche Verbindungsgeraden zu den nächsten und übernächsten, (...) Nach-baratomen und zeichnet jeweils die Mittelsenkrechten ein. Die kleinste auf diese Weise berandete Fläche ist die primitive Wigner-Seitz-Zelle. Abbildung 1.3: Wigner-Seitz-Zelle 1.2 Fundamentale Gitterarten (Bravais Gitter) Symmetrien: Kristallgitter können durch bestimmte Symmetrieoperationen in sich selbst überführt werden. Als Symmetrieoperationen gelten: 1. Translation 2. Drehung um ein Achse

48 10 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN 3. Spiegelung an einer Ebene 4. Inversion bezüglich eines Inversionszentrums Beliebige Linearkombinationen einer Symmetrieoperation überführen hierbei auch wieder den Kristall in sich selbst. Bei der Drehung gibt es nur Drehungen mit ein-, zwei-, drei-, vier- oder sechszähliger Drehachse. Diese entsprechend den Drehwin- 2π keln 2π,, 2π, 2π und 2π. Fünfzählige Symmetrien kommen nicht vor. Eine Wigner-Seitz-Zelle mit einer fünfzähligen Symmetrie ließe sich nie lückenlos zu einem regelmäßigen Kristallgitter zusammensetzten. Die möglichen Basisgittertypen können aufgrund von Symmetrieoperatonen mathematisch in Gruppen unterteilt werden. Die möglichen Basisgitter nennt man Bravais Gitter. Zweidimensionale Gitter: Für zweidimensionale Gitter unterscheidet man folgende Grundgittertypen (siehe Abbildung 1.4): b b a φ a φ b a a a φ b b φ Abbildung 1.4: Zweidimensionale Gittertypen

49 1.2. FUNDAMENTALE GITTERARTEN (BRAVAIS GITTER) 11 Es werden auch zentrierte Gitter definiert mit einer rechtwinkligen Basis. Hierbei definiert die Basis keine primitiven Zellen. Man muss bei zentrierten Gittern stets beachten, dass sich im Zentrum der von den Basisvektoren aufgespannten Fläche noch ein weiterer zentraler Gitterpunkt befindet. Bei dreidimensionalen Gittern unterscheidet man entsprechend kubisch raumzentrierte und kubisch flächenzentrierte Gitter. Dreidimensionale Gitter: Im Dreidimensionalen kennt man sieben verschiedene Kristallklassen (Abbildung 1.5). Zusammen mit den zentrierten Gittern ergeben sich 14 verschiedene Bravais Grundgitter (siehe Abbildung 1.6). Hexagonal Tetragonal Orthorhombisch c c c β c α a γ b a a a b a γ b a = b c a = b c a b c α = β = 90, γ = 120 α = β = γ = 90 α = β = γ = 90 Trigonal Monoklin Triklin Kubisch a α a α α a β ± 90 a c α γ b a β c α γ b a a a a = b = c a b c α = β = γ 90 α = γ = 90 β Abbildung 1.5: Die 7 Kristallklassen a b c a = b = c α β γ 90 α = β = γ = 90

50 12 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN Kubisch P Kubisch I Kubisch F Tetragonal P Tetragonal I Ortho- Ortho- Ortho- Ortho- Rhombisch P Rhombisch C Rhombisch I Rhombisch F Rhombo- Hexaedrisch R gonal P Monoklin P Monoklin C Triklin Abbildung 1.6: 14 Bravais Gitter Erweiterung der Kristallklassen durch Hinzufügen weiterer Gitterpunkte Bravais-Gitter Die Diamant- und Zinkblendestruktur: Die Halbleiter Silizium und Germanium, aber auch Kohlenstoff in Form des Diamanten kristallisieren in der Diamantstruktur. Hierbei handelt es sich um ein Kristallgitter, dass zusammengesetzt ist aus zwei kubisch flächenzentrierten Raumgittern, die jeweils um eine Raumdiagonale ( 1, 1, 1 ) versetzt sind. Jedes Atom in dieser Kristallstruktur hat tetraedrische Nahordnung (aufgrund der sp3- Hybride der Atomorbitale) und somit vier nächste Nachbarn. Im Falle von III/V Halbleitern, die zusammengesetzt sind aus Halbleitern der Gruppe III des Periodensystems (z. B. Gallium (Ga), Indium (In)) und Elementen der Gruppe V des Periodensystems (z. B. Arsen (As), Antimon (Sb), Phosphor (P)) kristallisieren in der Zinkblende-Struktur. Hierbei entspricht die Kristallstruktur im Prinzip der Diamantstruktur, mit dem Unterschied, dass die zwei ineinander gesetzte kubisch raumzentrierte Gitter jeweils aus anderen Elementen zusammengesetzt sind. Im Falle von Galliumarsenid (GaAs) ist ein kubisch

51 1.2. FUNDAMENTALE GITTERARTEN (BRAVAIS GITTER) 13 Abbildung 1.7: Diamantstruktur flächenzentrierte Gallium-Gitter mit einem kubisch flächenzentrierten Arsen Gitter zusammengesetzt. Auf diese Weise entsteht ein Diamant Zinkblendegitter bei dem jedes Gallium Atom vier benachbarte Arsenatome und jedes Arsen Atom vier benachbarte Gallium Atome hat. Ga As Abbildung 1.8: Zinkblendestruktur (Kristallstruktur von GaAs und vielen III/V Halbleitern)

52 14 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN 1.3 Netzebenen Eine Netzebene ist gegeben durch die Achsenabschnitte m, n, p (bzw. m a 1, n a 2, p a 3 ). Die Koeffizienten m,n,p werden als Weißsche Koeffizienten bezeichnet. Im Folgenden wird deutlich werden, dass es für die Strukturanalyse sinnvoller ist, die Netzebenen mit den reziproken Werten zu kennzeichnen. Diese reziproken Werte nennt man Millersche Indizes, sie werden mit den Buchstaben h, k und l bezeichnet. 0,0,2 (121)-Fläche a 1 a 3 a 2 1,0,0 2,0,0 Abbildung 1.9: Zinkblendestruktur (Kristallstruktur von GaAs und vielen III/V Halbleitern) Für die Millerschen Indizes gelten: 1 m : 1 n : 1 p = h : k : l (1.5) Im Beispiel der Netzebene von Abbildung 1.9 sind die weißschen Koeffizienten m=2, n=1 und p=1. Die Kehrwerte lauten 1, 1 und 1. Als Millersche Indizes ver- 2 2 wendet man die kleinsten teilerfremden Zahlen, so dass die entsprechende Ebene mit (121)-Ebene bezeichnet wird. Ebenen, die parallel zu einer Achse verlaufen, schneiden die Achse im Unendlichen. Der Kehrwert für die Millerschen Indizes sind null. Als Beispiele sind einige typische Flächen in Abbildung 1.10 abgebildet.

53 1.3. NETZEBENEN 15 0,0,1 (001)-Fläche (100)-Fläche 0,0,1 0,0,0 0,1,0 0,0,0 0,1,0 1,0,0 (010)-Fläche 1,0,0 (111)-Fläche 0,0,1 0,0,1 0,0,0 0,1,0 0,0,0 0,1,0 1,0,0 1,0,0 0,0,1 (120)-Fläche 0,0,0 0,1,0 0,2,0 0,3,0 1,0,0 1,1,0 1,2,0 Abbildung 1.10: Typische Flächenbezeichnungen mit Millerschen Indizes

54 16 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN Bezeichnungen: 1. eckige Klammern bezeichnen Richtungen z.b. [100]-Richtung 2. runde Klammen bezeichnen Netzebene, z.b. (100)-Ebene 3. geschweifte Klammern bezeichnen Netzebenescharen, z.b. {100}-Netzebeneschar Die {100}-Netzebenenschar bezeichnet die Menge aller Netzebenen, die zur (hkl)- Ebene parallel liegen. 1. Die Richtung [hkl] steht senkrecht auf der Ebene (hkl) 2. Der Abstand der Netzebene (hkl) vom Koordinantenursprung lautet: d hkl = a h2 + k 2 + l 2 (1.6)

55 1.3. NETZEBENEN 17 Beispiel: Zwei verschiedene Netzebenen mit den zugehörigen Richtungsvektoren. x z y x z y In der Abbildung sind zwei Ebenen und die zugehörigen Normalenvektoren eingezeichnet. Aus den Achsenabschnitten entnimmt man die Weißschen Koeffizienten und hieraus berechnet man die Millerschen Indizes: linke Abb. rechte Abbildung Schnittpunkte der Ebene Kehrwerte Millersche Indizes Bezeichnung der Ebene (221) (010) Richtung des Normalenvektors [221] [010]

56 18 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN 1.4 Das reziproke Gitter Neben dem realen Gitter definiert man das reziproke Gitter. Wie später ersichtlich wird, kann man Beugungseffekte besonders einfach mit Hilfe des reziproken Gitters analysieren. Als Basisvektoren des reziproken Gitters definiert man: g 1 = 2 π a 2 a 3 a 1 ( a 2 a 3 ) g 2 = 2 π a 3 a 1 a 1 ( a 2 a 3 ) g 3 = 2 π a 1 a 2 a 1 ( a 2 a 3 ) (1.7) (mit den Basisvektoren des Ortsgitters a 1, a 2, a 3 ) Man definiert analog zum realen Gitter einen Translationsvektor im reziproken Gitter: G = m 1 g 1 + m 2 g 2 + m 3 g 3 (1.8) (mit m 1, m 2, m 3 als ganze Zahlen) Das reziproke Gitter wird analog zum realen Gitter durch alle Gitterpunkte definiert, die G erreicht werden können. Die in Formel 1.7 definierten Basisvektoren haben die Einheit 1. Im Nenner m steht jeweils das Spatprodukt der Basisvektoren des Ortsgitters, also das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Aus dieser Definition ergeben sich folgende Eigenschaften: Für das Skalarprodukt aus dem Orts-Translationsvektor und einem Translationsvektorvektor im reziproken Gitter gilt: T G = (n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) (m 1 g 1 + m 2 g 2 + m 3 g 3 ) = 2π (n 1 m 1 + n 2 m 2 + n 3 m 3 ) (1.9) T G = 2 π n mit n ganze Zahl Der Vektor G hkl = h g 1 + k g 2 + l g 3 steht senkrecht auf der Ebene (hkl) des Raumgitters

57 1.4. DAS REZIPROKE GITTER 19 Für die Basivektoren im reziproken Raum und im realen { Raum gilt: 0 i j g i a i = 2 π δ ij mit dem Kronecker Symbol δ ij = 1 i = j Die Wigner Seitz-Zelle des reziproken Gitters nennt man Brillouin Zone

58 20 KAPITEL 1. KRISTALLSTRUKTUREN

59 Kapitel 2 Halbleiterphysik In den vergangenen Jahrzehnten wurde die Mikroelektronik zum Motor der Industrie und die daraus hervor gegangenen innovativen Produkte bestimmen zunehmend unseren Alltag. Wir leben mitten im Computer-Zeitalter. Es ist für uns selbstverständlich, dass man mit sehr großen Datenübertragungsraten Informationen über das Internet schickt, dass man naturgetreue Animationen von Objekten und Lebewesen in 3-D Graphiken erzeugen kann. Wir sind es gewohnt, täglich von neuen und schnelleren Computern, Tablets, mobilen Datengeräten versorgt zu werden. Wir sehen PKWs mit sehr hellen Tagfahrlichtern, Displays mit LED Hintergrundbeleuchtung, Designerlampen, die ihre Farbe auf Kommando verändern und vieles Mehr. Bei all diesen Neuerungen sind Halbleiter diejenigen Festkörper, die offenbar alles möglich machen. Man kann Halbleiter extrem gut manipulieren und aus Ihnen sehr schnelle elektronische Bauelemente kreieren, sie aber auch als Lichtquellen oder als Licht-oder Ladungsdetektoren ausführen. Wie kann es sein, dass ein und derselbe Halbleiter all dies ermöglicht? Um diese Verwandelbarkeit der Halbleiter zu verstehen, muß man die Eigenschaften verstehen, die Elektronen in diesem Halbleiter einnehmen können, denn sie sind es, die all diese Vielfalt ermöglichen. In der Tat sind die Energiezustände der Elektronen im Halbleiter der Schlüssel zum Verständnis der vielfältigen Eigenschaften. Wir werden uns zunächst ein einfaches Bild der Energiezustände in Form der Bandstruktur des Halbleiters 21

60 22 KAPITEL 2. HALBLEITERPHYSIK machen. Wir werden im ersten Teil des Skriptes sehen, wie sich eine Bandstruktur einstellt und welche Information in der Bandstruktur versteckt sind. Hierzu bemühen wir zunächst ein einfaches eindimensionale Modell, das Kronig-Penney- Modell. 2.1 Die Halbleiter-Bandstruktur Wir betrachten zunächst ein einzelnes Elektron eines Kristallatoms. Es wird durch ein Coulomb-Potential gebunden und hat quantisierte Energieniveaus E 1 bis E n. In Abblidung 2.1 ist ein typisches Elektronenpotential eines gebunden Elektrons dargestellt. V/eV x/pm E 3 E 2 E 1 Atom Abbildung 2.1: Coulombpotential eines Elektrons im Feld einer positiven Ladung eines einzelnen isolierten Atoms In einem Festkörper überlagern sich die Potentiale der einzelnen Elektronen zu einem Kristallpotential und aufgrund der Kristallperiodizität erhält man ebenfalls ein periodisches Kristallpotential. Für eine eindimensionale periodische Kette von einzelnen Atomen ist ein Potential qualitativ in Abb. 2.2 dargestellt. Die Energiezustände der Elektronen sollten sich eigentlich ganz einfach quantenmechanisch berechnen lassen. Doch bei näherem Betrachten des Problems erkennt man, dass dies nicht ganz so einfach ist. Zum einen haben wir unendlich viele Potentiale und zum anderen führt das 1/r-abhängige Coulombpotential auf komplizierte Wellenfunktionen. Wir erinnern uns an die komplizierten Wellenfunktionen eines einzelnen Wasserstoffatoms aus der Atomphysik. Um dennoch

61 2.1. DIE HALBLEITER-BANDSTRUKTUR 23 V/eV = 0 x/pm Atom Atom Atom Atom Atom V/eV = 0 x/pm E 4 E 3 E 2 E 1 Atom Atom Atom Atom Atom Abbildung 2.2: Überlappende Potentialfunktionen von benachbarten Atomen (oben). Gesamt- Potenzial eines eindimensionalen einzelnen Kristalls (unten). an dieser Stelle nicht gleich zu kapitulieren, wählen wir analog zu Kronig und Penney eine einfachere Potentialstruktur für unseren eindimensionalen Kristall. Die Vereinfachung besteht darin, anstelle des Coulomb-Potentials, ein kastenförmiges Potential zu wählen. Man sollte mit diesem Potential das prinzipielle Verhalten der Elektronen ableiten können. In Abb. 2.3 ist das vereinfachte Potential eines eindimensionalen Kristalls dargestellt. V (x) U 0 II I II I II I (a + b) b 0 a a + b Abbildung 2.3: Eindimensionale periodische Potentialfunktion des Kronig-Penney- Modells x Kronig-Penney-Modell und Block-Theorem Die Regelmäßigkeit des Kristallgitters sollte sich auch in der Wellenfunktion wiederfinden. Nach Bloch wird eine Wellenfunktion angenommen, die einen kristallgitterperiodischen Anteil enthält, die sogenannten Bloch-Wellenfunktion u(x).

62 24 KAPITEL 2. HALBLEITERPHYSIK In diesem Modell wird die gesamte Wellenfunktion als Produkt aus einer gitterperiodischen Blochfunktion und einer ebenen Welle beschrieben: bzw. für die zeitabhängige Wellenfunktion: Ψ(x) = u(x) e ikx (2.1) mit der Energie Ψ(x,t) = Ψ(x)φ(t) = u(x)e ikx e iωt (2.2) folgt: E = ω (2.3) Ψ(x,t) = u(x)e i(kx E t) (2.4) Diese Wellenfunktion repräsentiert die Wellenfunktion eines Kristallelektrons. Wir versuchen nun die Energiezustände des Kastenpotentials aus Abb. 2.3 mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung zu berechnen. Die Schrödinger-Gleichung lautet: 2 Ψ(x) x 2 + 2m (E V (x))ψ(x) = 0 (2.5) 2 In Region I der Abb. 2.3 ist das Potential Null. Die Wellenfunktion bezeichnen wir mit Ψ 1 (x,t): Ψ 1 (x,t) = u 1 (x) e i (k x E t) (2.6) Setzt man die Wellenfunktion 2.4 in die Schrödinger-Gleichung 2.5 ein, erhält man eine Differentialgleichung für die Blochfunktion u 1 (x) im Gebiet I. u 1(x) + 2 i k u 1(x) (k 2 α 2 ) u 1 (x) = 0 (2.7)

63 2.1. DIE HALBLEITER-BANDSTRUKTUR 25 mit α 2 = 2 m E 2 (2.8) In der Region II gilt analog mit der Wellenfunktion Ψ 2 (x,t): Ψ 2 (x,t) = u 2 (x) e i (k x E t) (2.9) u 2(x) + 2 i k u 2(x) (k 2 α m V 0 2 ) u 2 (x) = 0 (2.10) und mit β 2 α 2 2 m V 0 2 (2.11) u 2(x) + 2 i k u 2(x) (k 2 β 2 ) u 2 (x) = 0 (2.12) E > U falls 0 E < U 0 β ist real β ist imaginär (2.13) Die Blochwellenfunktionen sind periodisch, wobei gilt: u(x) = u(x ± (a + b) bzw. u(a) = u( b). Somit können folgende Randbedingungen angenommen werden: u 1 (0) = u 2 (0) (2.14) u 1 (a) = u 2 ( b) u 1(0) = u 2(0) u 1(a) = u 2( b) Die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen 2.10 und 2.12 lauten: u 1 (x) = Ae i(α k)x + Be i(α+k)x (2.15) u 2 (x) = Ce i(β k)x + De i(β+k)x (2.16)

64 26 KAPITEL 2. HALBLEITERPHYSIK mit den Ableitungen u 1(x) = i(α k)ae i(α k)x i(α + k)be i(α+k)x (2.17) u 2(x) = i(β k)ce i(β k)x i(β + k)de i(β+k)x (2.18) Die Randbedingungen aus 2.14 führen auf: A + B = C + D (2.19) i(α k)a i(α + k)b Ae i(α k)a + Be i(α+k)a i(α k)ae i(α k)a i(α + k)be i(α+k)a = i(β k)c i(β + k)d = Ce i(β k)b + De i(β+k)b = i(β k)ce i(β k)b i(β + k)de i(β+k)b Wir schreiben die Randbedingungen 2.19 in Matrixform: A 0 B M C = 0 0 D 0 mit der Koeffizientenmatrix M: (2.20) A B C D e M = i(α k)a e i(α+k)a e i(β k)b e i(β+k)b i(α k) i(α + k) i(β k) i(β + k) i(α k)e i(α k)a i(α + k)e i(α+k)a i(β k)e i(β k)b i(β + k)e i(β+k)b (2.21) Diese Form hat dann nicht trivale Lösungen (triviale Lösung: A=0, B=0,C=0, und D=0) wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet. Man kann mit der berechneten Determinate der Koeffizientenmatrix die wesentlichen Effekte der Bandstruktur erkennen. Eine Möglichkeit besteht darin, sich mit Hilfe der Maple-Software eine eindimensionale Bandstruktur zu berechnen. Mit Hilfe des imlicitplot-befehls plotten wir die Energiewerte E(k) bei der der Realteil der

65 2.1. DIE HALBLEITER-BANDSTRUKTUR 27 Determinante der Koeffizintenmatrix 2.21 Null ist. Es werden folgende Werte für α, β, γ aus 2.8, 2.11 angenommen: α = 1.3 E β = iγ γ = 1.3 E V 0 ) V 0 = B k b 2 Die gewählten Werte gehen von einer effektiven Elektronenmasse des Halbleiters Galliumarsenid (GaAs) aus. Die Energiewerte sind in Elektronenvolt angegeben. Wir wählen die Potentialbarrierenweite b sehr klein. Ferner skalieren wir die Potentialhöhe V 0 so, dass die Potentialhöhe mit der Barrierenweite im Zusammenhang stehen. Hiermit wird eine Umskalierung vorgenommen, die in etwa ein Maß für die Tunnelwahrscheinichkeit durch die Barriere darstellt. Wir definieren B k = V 0 b 2. Jetzt ist B k eine Art Kopplungsparameter. Große B k -Werte bedeutet, dass die Tunnelwahrscheinlichkeit der Elektronen über die Barriere des Potentials des Gebietes II in den Nachbarbereiche gering ist, die Elektronen im Bereich I aus Abb. 2.3 sind von den Nachbarelektronen isoliert (stark gebundene Elektronen), kleine B k -Werte bedeutet, dass die Tunnelwahrscheinlichkeit in Nachbargebiete gering ist, es liegt eine starke Kopplung mit den Nachbarelektronen vor, d. h. die Elektronen sind bei B k = 0 frei und sehen gar keine Barriere. Das Ergebnis der Berechnung für freie Elektronen (B k = 0) liefert Energieparabeln, wie man sie auch für freie Elektronen erwarten würde (siehe Abb.2.4). Da wir gitterperiodische Blochfunktionen angenommen hatten, erhalten wir nun nicht nur eine Energieparabel um k = 0, sondern eine Serie von periodisch wiederkehrenden Energieparabeln. Wir erkennen auch, das in der E(k)-Darstellung offensichtlich alle Energiewerte bereits im Bereich zwischen π a und π a vorhanden sind. Dieser Bereich entspricht der ersten Brillouin-Zone des Kristalls. Die nächsten und übernächsten Energieparabeln ragen genau an den Rändern der

66 28 KAPITEL 2. HALBLEITERPHYSIK E(k) k Π a π a Abbildung 2.4: Eindimensionale periodische Bandstruktur für freie Elektronen im Kronig-Penney-Modell, (B k = 0, a = 1nm, b = 0.001nm) Brillouin-Zone wieder in diese hinein. Da es so aussieht, als würde man die Werte der Energieparabel um k = 0, die außerhalb der ersten Brillouin-Zone liegen, in die Brillouin-Zonen hinein falten, spricht man auch von gefalteten Zuständen. Offenbar gilt E(k) = E(k + ng) mit n = ±1, ±2,... und G = 2π. G entspricht a einem reziproken Gittervektor des Kristallgitters, a entspricht der Periodenlänge des Kristalls (beachte, dass a + b a, da b 0). Die Berechnung für eine stärkere Kopplung (B k = 0.002) ist in Abb. 2.5 dargestellt. Man erkennt, dass am Rand der Brilluoin-Zone, die Energieparabeln aufspalten und es eine verbotene Zone gibt, ein Bandgap. In diesem Fall liegt die Bandlücke zwischen ca. 6 und 9 ev. In diesem Bereich existieren keine besetzbaren Energiezustände für Elektronen.

67 2.1. DIE HALBLEITER-BANDSTRUKTUR 29 E(k) k Π a π a Abbildung 2.5: Eindimensionale periodische Bandstruktur für freie Elektronen im Kronig-Penney-Modell, (B k = 0.02, a = 1nm, b = 0.001nm) Die 3-D-Bandstruktur im k-raum Im Abschnitt wurden wesentliche Eigenschaften einer Bandstruktur gezeigt. Freie Elektronen, deren E(k)-Darstellung Energieparabeln sind, spalten an den Rändern der Brillouin-Zone in separate Bänder auf. Die erlaubten Energiewerte E(k) liegen alle in der sogenannten ersten Brillouin Zone. Die Brillouin-Zone ist die primitive Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Kristallgitters. Da wir in der Kronig-Penney-Berechnung eine vereinfachte Bandstruktur angenommen hatten, die meisten realen Kristalle aber dreidimensional sind, wird die Bandstruktur entsprechend kompliziert in der Berechnung und in der Darstellung, da die E(k)- Werte jetzt richtungsabhängig werden. Um diese Richtungen eindeutig zu benennen, gehen wir kurz auf die Brillouin-Zone ein. Das Zentrum der Brillouin-Zone (0,0,0) wird mit Γ bezeichnet. Betrachtet man von diesem Zentrum aus unterschiedliche Wellenausbreitungsrichtungen, so verlaufen diese Linien bis zum jeweiligen Rand der Brillouin-Zone. In (0,1,0)-Richtung, wird der Randpunkt mit