UNIVARIATE DATENANALYSE STATISTISCHE MASSZAHLEN MODUL 7 PROSEMINAR ANALYSE UND DARSTELLUNG VON DATEN I (DESKRIPTIVE STATISTIK)

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1 INSTITUT FÜR ERZIEHUNGSWISSENSCHAFT - UNIVERSITÄT SALZBURG PROSEMINAR ANALYSE UND DARSTELLUNG VON DATEN I (DESKRIPTIVE STATISTIK) GÜNTER HAIDER WS 1997/98 MODUL 7 UNIVARIATE DATENANALYSE STATISTISCHE MASSZAHLEN Erziehungswissenschat/Haider 1

2 Wie in den einührenden Modulen beschrieben, ist es Augabe der deskriptiven Statistik, Beragungs- oder Beobachtungsergebnisse in übersichtlicher Form darzustellen und zusammenzuassen. Im Modul 4 wurden dazu Häuigkeitstabellen vorgestellt, die über die Gesamtheit der Verteilung der Werte in einer Variablen Auskunt geben. Im Modul 5 wurden graische Darstellungen (Diagramme) benutzt, die ebenalls die Funktion haben, den Überblick über die Verteilung der Meßwerte zu ermöglichen. Die Augabe der Zusammenassung oder Verdichtung der Inormationen, die in einer Werte- Verteilung stecken, erüllen am besten die statistischen Maßzahlen (synonym spricht man auch von statistischen Kennwerten). Beispiele ür solche Maßzahlen sind Mittelwert oder Standardabweichung. Maßzahlen, die aus Stichproben gewonnen werden (=empirische Verteilungen) werden im allgemeinen Statistiken genannt. Maßzahlen, die die Verteilung in Populationen beschreiben sollen (deren wahre Verteilung man meist nicht kennt, sondern nur schätzt, daher => theoretische Verteilungen) heißen Parameter (Parameter werden durch griechische Buchstaben bezeichnet, z.b. s oder m ). Beispiel: Der Mittelwert von 6,27 der Variable IQTEST aus einer Stichprobenuntersuchung von 651 Salzburger Schülern würde als Statistik bezeichnet - würden wir daraus au den Mittelwert aller Salzburger Schüler derselben Altersgruppe schließen (= die Population), so würde man diesen geschätzten Wert Parameter nennen. Bei dem Bemühen, eine Gesamtheit von Werten (Beobachtungen) prägnant zu charakterisieren, verwendet man zwei Gruppen von Maßzahlen: einerseits Maße der zentralen Tendenz ( Mittelwerte ), die die Lage der Verteilung au der Abszissenachse (x) kennzeichnen und andererseits Maße ür die Streuung der Werte in einer Verteilung ( Streuungswerte ), z.b. die Breite der Verteilung. Mittelwerte und Streuungswerte dienen der numerisch-zusammenassenden Beschreibung von Häuigkeitsverteilungen. Sie können allerdings den Einblick in die originale Datenmatrix und eine Häuigkeitstabelle (tabellarisch oder graisch) nicht völlig ersetzen, denn mit einer Verdichtung von Daten - ausgehend von der originalen Datenmatrix - zu Häuigkeitstabellen und weiter zu Maßzahlen ist stets auch ein gewisser Inormationsverlust verbunden. Die wichtigsten Maßzahlen in der deskriptiven Statistik sind: Maße der zentralen Tendenz (Mittelwerte, means, averages) Maße ür die Streuung (Streuungsmaße, measures o variability) 1.Das arithmetische Mittel (Mittelwert) x 1.Varianz und Standardabweichung s 2,s (Mittel, Durchschnitt, arithmetic mean, average) (variance, standard deviation) 2.Der Median Q 2 2.Der Quartilabstand (die Quartile) Q 1 -Q 4 (mittlerer Wert, Zentralwert, median) (quartiles, interquartile range) 3.Der Modalwert Mode 3.Der Range Range (häuigster Wert, mode) (die Spannweite, range) Für die Erläuterung der Maßzahlen werden bestimmte mathematische Kurzbezeichnungen bzw. Abkürzungen verwendet werden (siehe Tabelle). Weitere wichtige Abkürzungen sind: x i (x 1, x 2,..) ortlauende Bezeichnung der beobachteten Meßwerte (i = Index) x 1, x n der erste und der letzte ( n-te ) Meßwert einer Variable n S Anzahl der Datensätze (untersuchte Personen, Fälle) Summenzeichen Beispiel: ( S x i ) heißt: Summe aller beobachteten Meßwerte entspricht also (x 1 + x 2 + x 3 + x x n ) 2 Skriptum Deskriptive Statistik

3 Die olgenden Graiken zeigen einige Beispiele ür die Formen, die Meßwerteverteilungen einer Variablen annehmen können. Für eine adäquate numerische Beschreibung solcher Verteilungen sind stets sowohl Mittelwerte (= Lage der Kurve au der x-achse) als auch Streuungswerte (= Breite/Form der Kurve) notwendig. symmetrisch (glockenörmig) symmetrisch (U-örmig) asymmetrisch linksschie (rechtssteil) asymmetrisch rechtsschie (linkssteil) J-Verteilung linkssteil J-Verteilung rechtssteil symmetrisch (bimodal) schmalgipelig lach Erziehungswissenschat/Haider 3

4 à Maße der zentralen Tendenz (Mittelwerte) 1. Das arithmetische Mittel (der Mittelwert) Deinition: Der Mittelwert einer Anzahl von Meßwerten einer Variablen ist deren Summe, dividiert durch die Anzahl der Meßwerte. Wir bezeichnen den Mittelwert abgekürzt als x (gesprochen x quer). Voraussetzung zur Berechnung: mindestens intervallskalierte Meßwerte - Voraussetzung zur sinnvollen Interpretation: möglichst eine eingipelige Verteilung, nicht zu stark asymmetrisch Formel: Der Mittelwert wird dadurch bestimmt, daß alle ür die Berechnung relevanten Meßwerte (beobachteten Werte) addiert werden und die so erhaltene Summe durch den Umang der Stichprobe (Anzahl der Meßwerte) n dividiert wird: x... Mittelwert x= S S... Summenzeichen x i x n i... alle Meßwerte n... Anzahl der Meßwerte Eigenschaten des Mittelwerts: a) Die Summe der Dierenzen aller Meßwerte von ihrem Mittelwert ist null => S (x i - x) = 0. b) Addiert oder subtrahiert man zu/von jedem Meßwert einer Stichprobe eine Konstante, so vergrößert/verkleinert sich der Mittelwert genau um diese Konstante. c) Die Summe der Quadrate der Dierenzen aller Meßwerte vom Mittelwert (=Abweichungsquadrate) ist kleiner als die Summe der Quadrate aller Dierenzen aller Meßwerte zu irgendeinem anderen Wert (d.h. die Summe der Abweichungsquadrate ist beim Mittelwert ein Minimum). Beispiel ür die Berechnung: Bei der Messung der Variable Körpergröße der 17 Schüler einer 4. Klasse traten die olgenden Meßwerte au: Im ersten Schritt wird die Summe alle Meßwerte berechnet: Im zweiten Schritt wird diese Summe durch die Anzahl der Meßwerte dividiert: S x i = 2465 cm x = 2465 cm / 17 = 145 cm. Der Mittelwert (das arithmetische Mittel) der 17 Meßwerte der Variable Körpergröße beträgt 145 cm. Valid Missing 0 keine Frequency Bei großen Stichproben - wie in der links dargestellten mit der Geschwisterzahl von 651 bzw. 637 Schülern - kann man den Mittelwert auch aus einer gegebenen Häuigkeitstabelle berechnen: 1. Schritt: Man multipliziert jeden Meßwert mit seiner Häuigkeit. 2. Schritt: Man addiert alle so entstandenen Teilsummen zur Gesamtsumme. 3. Schritt: Man dividiert die Gesamtsumme durch die Anzahl der Meßwerte. In unserem Beispiel würde das Ergebnis lauten: Gesamtsumme = (0*77)+(1*231)+(2*172)+(3*84)+(4*27)+(5*20)+ (6*11)+(7*10)+(8*1)+(9*2)+(10*1)+(14*1) = 1221 Geschwister x = 1221 / 637 Schüler = 1,92 4 Skriptum Deskriptive Statistik

5 à Nachteil des Mittelwertes * Starke Beeinlußbarkeit durch extreme Meßwerte ( Ausreißer ) Vorteile des Mittelwertes * Zuällige Stichprobeneinlüsse sind gering, d.h. heißt: Zieht man hintereinander mehrere Zuallsstichproben aus der gleichen Population und berechnet den Mittelwert, so sind die Abweichungen dieser Mittelwerte augrund von Stichprobeneinlüssen nur relativ gering - geringer jedenalls als beim Median, der im nächsten Abschnitt dargestellt wird. * Weil der Mittelwert ein Maß au Intervallskalenniveau ist, können alle algebraischen Grundoperationen durchgeührt werden. Ein Beispiel ür die letztgenannte Eigenschat ist das gewogene arithmetische Mittel von Mittelwerten aus mehreren Stichproben. Werden Mittelwerte unterschiedlich großer Stichproben zusammengeaßt, müssen sie mit ihrem Stichprobenumang (n) gewichtet werden. Formel: ( n*x x k... Mittelwerte der Stichproben 1 - k k k x n k... Anzahl der Meßwerte in Stichprobe 1 - k gew = S S n k ( Nehmen wir an, in drei 4. Klassen 4A (n 1 =17 Schüler), 4B (n 2 =21 Schüler) und 4C (n 3 =29 Schüler) wären die olgenden Körpergrößen gemessen worden: x 1 (4A) = 145 cm; x 2 (4B) = 148 cm; x 3 (4C) = 142 cm; Um nun den Gesamtmittelwert aller drei vierten Klassen zu berechnen (ohne die Einzelwerte zu kennen), multipliziert man jeden Mittelwert mit dem dazugehörigen n, addiert die drei Teilsummen und dividiert sie durch die Gesamtanzahl (n 1 +n 2 +n 3 ). In unserem Beispiel lautet die Lösung: x gew = (145*17) + (148*21) + (142*29) = ( ) / ( ) = 9691 / 67 = 144,6 cm 2. Der Median Deinition: Der Median ( mittlere Wert) ist derjenige Punkt der Meßwertskala, unterhalb und oberhalb dessen jeweils die Hälte der Meßwerte liegen. Wir bezeichnen den Median abgekürzt als Q 2, weil er dem Wert des 2. Quartils entspricht (siehe Streuungswerte). Voraussetzung zur Berechnung: mindestens ordinalskalierte Meßwerte Formel: Voraussetzung: Eine nach der Größe der Meßwerte austeigend geordnete Stichprobe. 1. Ist der Stichprobenumang n ungeradzahlig (n = 2k+1), so ist der Median der (k+1)te Wert in der geordneten Meßwertreihe. 2. Ist der Stichprobenumang n geradzahlig (n = 2k), so ist der Median der Mittelwert aus dem (k)ten und dem (k+1)tem Meßwert. Beispiel (verwendet das nebenstehende Beispiel vom Mittelwert Körpergröße, n=17) Dieselben Zahlen lauten nach der Größe geordnet: Da es sich um eine Stichprobe mit ungeradzahligem n handelt (n=17), k daher 8 und (k+1) = 9 beträgt, so ist der Median der 9.Wert in dieser Reihe (von links zu zählen anangen): 146 Erziehungswissenschat/Haider 5

6 Bei großen Stichproben kann der Median auch sehr rasch mithile einer geordneten Häuigkeitstabelle geunden werden. Im nächsten Beispiel wird die Häuigkeitstabelle dere Notenverteilung einer 1. Klasse Hauptschule in Deutsch gezeigt: Valid Missing Valid Cumulative Frequency Percent Percent Percent 37 5,7 6,0 6, ,2 26,5 32, ,8 43,9 76, ,4 22,4 98,7 8 1,2 1,3 100, ,2 100,0 31 4,8 31 4, ,0 Man betrachtet bei der Suche nach dem Median die Spalte mit den kumulierten Häuigkeiten (cumulative Percent). Da der Median der mittlere Wert einer Meßwertreihe ist, entspricht ihm der kumulierte Prozentwert 50%. Es gilt nun den Wert zu inden, der den 50%-Wert beinhaltet. In unserem Beispiel ist dies die Note 3 (sie enthält ja die Meßwerte von 32,5 bis 76,3%). Nach herkömmlicher Formel berechnet, würde der Median dieser Verteilung lauten: Nachdem es sich um eine Stichprobe mit geradzahligem n handelt (n=620, k=310), so ist der Median der Mittelwert zwischen dem 320. und dem 321. Meßwert. Da in der geordneten Meßwertreihe vom 202. bis zum 473. Meßwert die Noten 3 vorkommen, so ist sowohl der 320. als auch der 321. Meßwert eine 3 und (3+3)/2 ist ebenalls 3. à Vorteil des Medians * Wird durch einzelne extreme Meßwerte ( Ausreißer ) nicht so stark beeinlußt wie der Mittelwert. * Kann auch bei extrem asymmetrischen Verteilungen sinnvoll eingesetzt werden. * Er kann auch ür ordinalskalierte Variablen ermittelt werden ( und übernimmt dort die Rolle des Mittelwerts) 3. Der Modalwert Deinition: Der Modalwert ist der in einer Verteilung am häuigsten vorkommende Meßwert. Wir bezeichnen den Modalwert abgekürzt ot mit seinem englischen Name als mode. Voraussetzung zur Berechnung: keine Ermittlung: In einer Häuigkeitstabelle den am häuigsten vorkommenden Wert suchen (bei dem die absolute Häuigkeit am größten ist) - haben zwei oder mehrere Meßwerte die gleiche Häuigkeit, so gibt es zwei oder mehrere Modalwerte, d.h. die Verteilung ist zwei- oder mehrgipelig, bzw. bi- oder multimodal (nebeneinanderliegende Modalwerte düren nicht wie ein Median gemittelt werden - zwei nebeneinanderliegende Modalwerte entsprechen aber einer unimodalen Verteilung.). Beispiel (Körpergröße, n=17; wie in den vorhergehenden Abschnitten) Der am häuigsten vorkommende Meßwert und damit der Modalwert ist 146 (er kommt insgesamt dreimal vor). Vorteil des Modalwerts * Kann sehr einach und schnell ermittelt werden * Kann ür Variablen aller Skalenniveaus bestimmt werden Nachteil des Modalwerts * starke Abhängigkeit von zuälligen Stichprobeneinlüssen (zuällige, lokale Meßwerthäuungen) 6 Skriptum Deskriptive Statistik

7 à Der Vergleich zwischen den drei Maßen der zentralen Tendenz Wann ist welches Maß zu empehlen : Modalwert Median Mittelwert ür alle Skalenniveaus, besonders ür mehrgipelige Verteilungen, enthält wenig Inormation ür ordinal- und intervallskalierte Variablen, besonders ür asymmetrische eingipelige Verteilungen, bei kleiner Beobachtungszahl besser als Mittelwert ür mindestens intervallskalierte Variablen, ür symmetrische eingipelige Verteilungen, eindeutig zu berechnen, lieert zuverlässige Parameterschätzung, enthält die meiste Inormation (weil alle Meßwerte darin eingehen) Je nach Art bzw. Form der Verteilung der Meßwerte einer Variable ist auch das Verhältnis der drei Mittelwerte zueinander unterschiedlich - drei Beispiele sollen das verdeutlichen: Bei symmetrischen eingipeligen Verteilungen gilt die Regel, daß Mittelwert, Median und Modalwert zusammenallen, d.h. etwa denselben Wert haben. x = Q 2 = Mode Bei asymmetrischen linkssteilen (rechtsschieen) Verteilungen gilt die Regel: Modalwert < Median < Mittelwert Mode Q 2 x Bei asymmetrischen rechtssteilen (linksschieen) Verteilungen gilt die Regel: Modalwert > Median > Mittelwert x Q 2 Mode Zur Charakterisierung einer Verteilung als lach oder schmalgipelig reicht die Bestimmung eines Mittelwertes (oder Medians) nicht aus => dazu sind auch Maßzahlen ür die Streuung notwendig! x = Q 2 = Mode Erziehungswissenschat/Haider 7

8 à Maße ür die Streuung (Streuungsmaße) 1. Die Varianz und die Standardabweichung Deinition: Die Varianz ist die Summe aller Abweichungsquadrate (SAQ) der Meßwerte einer Verteilung von ihrem arithmetischen Mittel, dividiert durch (n - 1). Wir bezeichnen die Varianz abgekürzt als s 2 (gesprochen s quadrat). Die Standardabweichung (s) ist die Quadratwurzel aus der Varianz. Voraussetzung zur Berechnung: mindestens intervallskalierte Meßwerte, Einsatz wie Mittelwert Formel: Die Varianz wird dadurch bestimmt, daß zuerst alle Abweichungen zwischen den Meßwerten und dem Mittelwert ermittelt werden - diese Abweichungen werden quadriert (wodurch große Abweichungen ein noch stärkeres Gewicht erhalten) und addiert. Die SAQ wird durch (n - 1) dividiert, dies macht Varianz/Standardabweichung zu erwartungstreuen Schätzern ür die Parameter s= S 2 (x - ) i x n-1 2 x... Mittelwert S... Summenzeichen x i... alle Meßwerte n... Anzahl der Meßwerte Die Standardabweichung ist dann s = s 2. Beispiel zur Varianz/Standardabweichung (dasselbe Beispiel wie in den vorigen Abschnitten) Nr. x i x i -x (x i -x) 2 Mittelwert = Varianz (s 2 ) = 616 / = 38, Stdabw (s) = 6,20 cm Σ = 616 Zur händischen Berechnung der Standardabweichung s ist es am günstigsten, sich eine Tabelle anzuertigen wie die nebenstehende. Hier werden von links nach rechts die notwendigen Operationen durchgeührt (in der dritten Spalte die Abweichungen, in der letzten Spalte die quadrierten Abweichungen) - die Summe aus der letzten Spalte ergibt die SAQ (Summe aller Abweichungsquadrate), die dann nur noch durch n - 1 (Anzahl der Meßwerte minus 1) dividiert werden muß, um die Varianz zu erhalten. Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung. 8 Skriptum Deskriptive Statistik

9 Je stärker die beobachteten Meßwerte von ihrem Mittelwert abweichen, desto größer ist die Standardabweichung (desto lacher ist die Verteilung). Je mehr sich die Meßwerte eng um den Mittelwert gruppieren (schmalgipelige Verteilung), desto kleiner werden s und s 2. Standardabweichung und Varianz sind prinzipiell als gleichwertig inormative Streuungsmaße anzusehen, denn wenn s 2 groß (klein) ist, ist auch s groß (klein). Für deskriptive Zwecke ziehen wir jedoch die Standardabweichung s vor, weil sie ein Maß ist, das in den Einheiten der zugrundeliegenden Meßwerte skaliert ist (in unserem Beispiel also cm). Vorteile von Varianz/Standardabweichung * Sie werden von zuälligen Extremwerten der Stichprobe nur wenig beeinlußt. * Sie hängen von allen Meßwerten der Verteilung ab (und nicht von extremen wie beim Range). * Sie sind zuverlässige ( erwartungstreue ) Schätzwerte ür die Streuung s in der Grundgesamtheit Nachteile von Varianz/Standardabweichung * Sie werden durch die Größe der gewählten/verwendeten Maßeinheiten stark bestimmt - man kann also nicht soort sagen, daß s = 6,2 eine große oder eine kleine Streuung darstellt. Will man Streuungen aus unterschiedlichen Stichproben vergleichen, so geht das z.b. über den Variabilitätskoeizienten von PEARSON: V = 100s / x. In unserem Beispiel wäre V= 620/145= 4,28. INTERPRETATION: Ist eine Verteilung einigermaßen symmetrisch/glockenörmig und eingipelig (eine Normalverteilung /Gauß-Kurve), so kann die Standardabweichung olgendermaßen gedeutet werden: -2s -s 95% 68% x +s +2s Normalverteilung, Gauß-Kurve Wenn sehr viele Meßwerte vorliegen (mind. 120) und deren Verteilung der Normalverteilung ausreichend angenähert ist, so beinden sich in einem Intervall von +s bis -s links und rechts vom Mittelwert rund 68% aller Meßwerte. In einem Intervall von +2s und - 2s um den Mittelwerte sind rund 95% aller Meßwerte anzutreen. Im (nicht dargestellten) Intervall von insgesamt +- 3s um den Mittelwert liegen dann 99% der Meßwerte. à 2. Der Quartilabstand (die Quartile) Deinition: Das 1. Quartil (Q1) ist derjenige Punkt der Meßwertskala, unterhalb dessen 25% der Meßwerte liegen. Das 2. Quartil (Q2, Median) ist derjenige Punkt der Meßwertskala, unterhalb und oberhalb dessen 50% der Meßwerte liegen. Das 3. Quartil (Q3) ist derjenige Punkt der Meßwertskala, unterhalb dessen 75% der Meßwerte liegen. Der Quartilabstand (QA, Interquartilabstand IQA) ist das Intervall au der Merkmalsachse, das durch das Q1/das erste Quartil und Q3/das dritte Quartil begrenzt wird (QA = Q3 - Q1). Der QA oder auch der halbe QA sind Streuungsmaße, die zur Charakterisierung der Breite einer Verteilung verwendet werden. Berechnung Im wesentlichen wird dieselbe Berechnungsart wie beim Median gewählt (siehe S.5). Erziehungswissenschat/Haider 9

10 Quartilabstand 50% Eigenschaten des Quartilabstands: Er repräsentiert den mittleren 50%-Abstand zwischen dem 1. und dem letzten Viertel einer Verteilung. Der QA kann auch bei ordinalskalierten Variablen bestimmt werden und ist besonders bei asymmetrischen Verteilungen günstig und besser interpretierbar als die Standardabweichung. Q1 Q2 Q3 Beispiel ür die Berechnung: Nr. des Schülers Größe in cm Reihenolge => Q1 Da es sich um ein ungeradzahliges n (n=17) handelt, geht man olgendermaßen vor: 1. Bestimmung des Q2 (Medians) => (k+1)te Wert => 9.Wert = 146 cm. (siehe S. 5) 2. Bestimmung von Q1: Ein Viertel der Verteilung wären 4,25 Meßwerte (n = 17) - Bruchteile von Meßwerten gibt es aber nicht, so wird - analog zur Medianberechnung - auch hier ein gewichteter Wert der nebeneinanderliegenden Meßwerte 4 (139cm) und 5 (141cm) herangezogen => 140 cm. 3. Bestimmung von Q3 analog zu Q1: gewichteter Wert zwischen 13.Wert (149) und 14.Wert (151) ergibt 150 cm. 4. Der Quartilabstand QA beträgt also: 150cm - 140cm = 10 cm. Es gibt in der Literatur einige unterschiedlich komplizierte (Schätz-)ormeln ür Quartile, wer händisch unbedingt die genauen Werte unter Einberechnung exakter Klassengrenzen berechnen will, wird au ZÖFEL 1985, S. 54. verwiesen. Der Abstand zwischen Q2 - Q1 im Vergleich zum Abstand Q3 - Q2 sagt etwas über die Schiee der Verteilung aus: Ist Q2 - Q1 größer als Q3 - Q2 so handelt es sich um eine linksschiee (rechtssteile) Verteilung. Bei extremer Ausprägung spricht man von ceiling eect loor eect einem Decken-Eekt (ceiling eect) der Untersuchung, d.h. zum Beispiel bei einem Test => ein Großteil der Schüler hat ast alle Punkte erreicht. Das Gegenteil ist der Boden-Eekt (loor eect) - hier ist Q3-Q2 deutlich größer als Q2-Q1 - der Test war zu schwierig ür Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q3 die meisten Schüler. Q2 Q3 10 Skriptum Deskriptive Statistik

11 à 3. Der Range (die Spannweite) Deinition: Der Range entspricht der Dierenz zwischen dem größten und dem kleinsten vorkommenden Meßwert (x max - x min ). Berechnung Suchen Sie in der geordneten Meßwertreihe (oder in der Häuigkeitstabelle) den größten und den kleinsten vorkommenden Meßwert und subtrahieren Sie x min von x max. Beispiel: In unserem Körpergröße-Beispiel ist der kleinste Wert 133cm und der größte 157cm. Der Range beträgt also = 24 cm. Vorteile des Range: * Er ist einach zu berechnen, leicht verständlich und kann ab Ordinalniveau der Daten auch interpretiert werden. * Repräsentiert die Extremwerte der Verteilung (günstige Inormation, wenn man z.b. Klassen bestimmen will) Nachteile des Range: * Äußerst sensibel au extreme Werte (Range ungünstig, wenn man wissen will, wo die meisten Werte liegen) * wenig stabil gegenüber Zuallseinlüssen der Stichprobe gegenüber (hängt ziemlich von der Stichprobengröße ab und lieert unzuverlässige, weil meist zu niedrige Schätzwerte ür die Streuung in der Grundgesamtheit). Standardwerte (z-transormierte Werte) als Anwendung von x und s Eine wichtige Anwendung des Mittelwerts und der Standardabweichung besteht darin, daß mit ihrer Hile jede (mindestens intervallskalierte und symmetrisch eingipelige) Meßwerteverteilung in Standardwerte bzw. z-werte umgerechnet werden kann (= Standardnormalverteilung). Die Formel ür die Umrechnung lautet: z i... ein Standardwert/z-Wert Beispiel: i x z= x- i s x i... ein Meßwert x... Standardabweichung s... Standardabweichung Nr. des Schülers Größeincm z-wert => -1,94-0,32 1,13-0,16-0,65-1,29 1,94-1,13 0,16 0,32 0,65 1,13 0,16-0,97 0,16 0,97-0,16 Jeder alte Wert der Variablen Körpergröße wird durch die z-transormation in einen neuen Standardwert umgeormt. Diese neu entstandene Standardnormalverteilung (z-verteilung) der Variablen hat die olgenden (günstigen) Eigenschaten: * Der Mittelwert ist stets 0 (null) und die Standardabweichung der neuen z-verteilung ist stets 1. * Die Form der Verteilung ändert sich durch die z-transormation nicht. * Aus dem z-wert ist daher soort ersichtlich, ob ein Wert größer (+) oder kleiner (-) als der Mittelwert ist und um wieviel s-einheiten er oberhalb oder unterhalb des Mittelwerts liegt (z.b. +0,32 entspricht einem Wert, der etwa ein Drittel einer Standardabweichung oberhalb des Mittels liegt) Erziehungswissenschat/Haider 11

12 Die Berechnung der sechs Maße mit SPSS a) Berechnung aller Mittelwerte und Streuungsmaße mit FREQUENCIES Die einachste Berechnung aller gewünschten Maße der zentralen Tendenz sowie der Streuungsmaße erolgt über das Auswahleld Statistics in der Prozedur FREQUENCIES. Nach Anwahl von Statistics önet sich ein Menü, das alle besprochenen Maße (und noch einige mehr) zur Auswahl bereithält. Klicken Sie einach jene Maße an, die Sie berechnet haben wollen. Das Ergebnis könnte z.b. ür die Variable GROESSE im Übungsdatensatz SL.SAV so aussehen: Statistics GROESSE/K rpergr e in cm am Ende der GRUNDSCHULE Valid N Missing Mean Median Mode Std. Percentiles Deviation Variance Range ,78 140, ,27 39, ,00 140,00 144,00 Zur Erklärung muß hinzugeügt werden, daß die Quartile 1 bis 3 dem 25., 50. und 75. Percentil entsprechen (Percentile teilen die Stichprobe in hundert gleich breite Bereiche). b) Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung mit DESCRIPTIVES Ein Teil der gewünschten Maßzahlen und die z-standardisierten Werte (!) lassen sich auch rasch über die Prozedur Descriptives (Untermenü Options ) berechnen. Um eine neue Variable mit den z-werten zu berechnen, muß die Option Save standardized values as variables ausgewählt werden. SPSS berechnet dann eine neue Variable mithile der z-transormation und benennt sie mit z +alter Name, also z.b. zgroesse. Mit der Prozedur Descriptives lassen sich keine Quartile, also auch kein Median, berechnen. 12 Skriptum Deskriptive Statistik

13 c) Berechnung von Maßzahlen ür Teilgruppen mit MEANS Es kommt relativ häuig vor, daß man neben dem Gesamtmittelwert einer Gruppe auch an den Mittelwerten von Teilgruppen interessiert ist. Ein Beispiel in unserem Datensatz SL.SAV wäre die Frage, welche Mittelwerte die Mädchen und die Buben im Schulleistungstest (SLTEST) erzielen. Die Mittelwerte und Standardabweichungen solcher Teilgruppen lassen sich mit der Prozedur MEANS berechnen (Sie erreichen MEANS über Statistics - Compare Means - Means. Als dependent variable muß nun die interessierende (intervallskalierte) Variable SLTEST ausgewählt werden - und als independent variable wählen Sie die gruppierende Variable, in unserem Fall also das Geschlecht (GESCHL). Klickt man das Auswahleld Options an, so kann man aus einer Liste verschiedenster Maßzahlen auswählen, welche man ür jede Teilgruppe berechnet haben will. Man erhält dann olgenden Ausdruck von SPSS: Report SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test 1 M NNLICH 2 WEIBLICH Mean N Std. Deviation Mean N Std. Deviation Mean N Std. Deviation 49, ,90 49, ,85 49, ,87 In dieser Tabelle inden Sie nun: <== Mittelwert und Standardabweichung der 337 Buben in der Stichprobe. <== Mittelwert und Standardabweichung der 293 Mädchen in der Stichprobe. <== Mittelwert und Standardabweichung der 630 Schülerinnen und Schüler in der gesamten Stichprobe. Weitere Berechnungsmöglichkeiten und Tabellen mit Maßzahlen können Sie über die Report -Prozeduren von Statistics - Summarize - Report summaries in Rows/Columns anordern. Diese Prozeduren ermöglichen Ihnen viele verschiedene Variationen von übersichtlichen Maßzahl-Tabellen - experimentieren Sie auch mit diesen Prozeduren, bis Siemit ihren Leistungen vertraut sind. Erziehungswissenschat/Haider 13

14 ÜBUNGSFRAGEN UND PRAKTISCHE ÜBUNGEN zu Modul 7 Univariate Statistik - Maßzahlen 1. Warum berechnet man statistische Maßzahlen? Mit welchen Mitteln lassen sich Verteilungen charakterisieren? 2. Wie unterscheiden sich Statistiken von Parametern? 3. Welche drei Maße der zentralen Tendenz sind am wichtigsten? Wie lauten ihre englischen Namen und ihre Abkürzungen? 4. Welche drei Maße der Streuung sind am wichtigsten? Wie lauten ihre englischen Namen und ihre Abkürzungen? 5. Was bedeuten die Abkürzungen/Zeichen: x i, x 1, x, n, S? 6. Zeichnen Sie verschiedene Verteilungsormen au, z.b. eine lache symmetrische Verteilung, eine rechtsschiee aber relativ schmalgipelige Verteilung, eine Verteilung, die dem ceiling-eect entspricht, usw. Tragen Sie in jede Verteilung ein, wo Ihrer Meinung nach Q2, Mode und Mittelwert liegen. 7. Berechnen Sie die drei Maßzahlen ür die zentrale Tendenz von der olgenden Verteilung (erzielte Testpunkte von 21 Schülerinnen und Schülern in einem Mathe-Test): a) Berechnen Sie die drei Maßzahlen ür die zentrale Tendenz aus der olgenden Häuigkeitstabelle. b) Was kann aus der Häuigkeitstabelle über die Form der Verteilung ausgesagt werden? Valid Frequency Percent , , ,1 52 8,0 18 2, ,6 Missing ,4 22 3, ,0 9. Welche Maße der zentralen Tendenz lassen sich jeweils ür nominal-, ordinal- und intervallskalierte Variablen berechnen? Begründen Sie diese Antwort. 10.Was sind Ausreißer und was bewirken sie bei den jeweiligen Mittel- und Streuungswerten? 11.Konstruieren Sie eine einache Häuigkeitsverteilung, ür die gilt: Mode = Median = Mittelwert. 12.Ein Persönlichkeitstest ist an einer Stichprobe von 36 Personen durchgeührt worden. Die Auswertung ergab: Mittelwert= 12; Median= 9; Mode =9. Welche Werte nehmen die drei Maßzahlen an, wenn jeder der 36 Meßwerte in der Urliste verdoppelt wird (bzw. mit 2 multipliziert wird)? 13.In einer Stichprobe von 24 Buben ergab sich ein Mittelwert bei einem Test von 107 Punkten - die 31 Mädchen erzielten bei demselben Test 112 Punkte. Wie lautet der Gesamtmittelwert der gesamten Gruppe? 14.Berechnen Sie die drei Maßzahlen der Streuung ür die 21 Werte von Augabe Schildern Sie die Vor- und Nachteile der verschiedenen Streuungsmaße. 16.Was ist der Unterschied zwischen s und s, und zwischen x und m? 17.Zeigen Sie an einem vollständigen Beispiel, daß der Satz: Die Summe aller Dierenzen aller Meßwerte von ihrem Mittelwert ist null korrekt ist. 14 Skriptum Deskriptive Statistik

15 18.Deinieren Sie ein neues Datenile mit den 21 Meßwerten der Augabe 7 und berechnen Sie die 6 Maßzahlen mithile von Frequencies - vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihren händisch errechneten Resultaten von 7 und Führen Sie die olgenden Berechnungen mit dem Übungsdatensatz SL.SAV durch und interpretieren Sie die Ergebnisse: a) Berechnen Sie die 6 Maßzahlen der Variablen GEWICHT und IQTEST. Welche Form haben die beiden Verteilungen? b) Wählen Sie in DESCRIPTIVES alle Noten aus (DEUGS1 RECHGS1 DEUGS4 RECHGS4 DEUNGS MA- THNGS ENGNGS DEULJ MATHLJ ENGLJ) - behandeln Sie die Werte wie intervallskalierte Daten und berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung. Lassen Sie sich die Ergebnisse nach der Größe der Mittelwerte sortiert ausgeben (Options - Display order - Ascending means). Was kann man daraus ersehen? c) Bestimmen Sie die Mittelwerte der Variablen SLTEST (Schulleistungstest) je nach der abgeschlossenen Schulbildung des Vaters (MEANS!). Fällt Ihnen dabei etwas au? d) Erzeugen Sie die z-standardisierten Werte der Variable SLTEST. Prüen Sie mit Descriptives, ob die Behauptung, diese Verteilung hätte einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 wirklich stimmt. 20.Erklären Sie aus dem Gedächtnis, au welche Weise die sechs Maßzahlen berechnet werden und welche Vor- und Nachteile jede Maßzahl hat. 21.Über eine Häuigkeitsverteilung werden die olgenden Behauptungen augestellt: a) Der Mode ist größer als der Mittelwert. b) s ist größer als der Mittelwert. c) Die Varianz beträgt -3,56. d) Die Standardabweichung ist größer als die Varianz. e) Das Merkmal ist stetig und ordinalskaliert. Welche der Aussagen sind mit Sicherheit alsch? Erziehungswissenschat/Haider 15