Umgang mit Räumen hoher Dimension in der Bildsuche
|
|
|
- Artur Heidrich
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Umgang mt Räumen hoher Dmenson n der Bldsuche Vorlesung Bldverarbetung, Tel 5 Wntersemester 00/00 Ullrch Köthe, FB Informatk, Un Hamburg Course of Dmensonalty -dmensonale Räume ( p verhalten sch anders als erwartet, z.b.: -dmensonale Verallgemenerungen von schnellen Suchverfahren snd langsamer als enfache lneare Suche -dmensonale Vertelungen haben überraschende Egenschaften ächste-achbar Suche wrd nstabl, d.h. ene klene Verschebung des Anfrageobjekts kann zu völlg anderen Ergebnssen führen studeren enge Egenschaften -dmensonaler Vertelungen Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.
2 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel ( =: Intervall [-,] Wahrschenlchket für Abstand vom Ursprung : dr dp= Pr ( dr = Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung: dr r Er [ ] = r dp= r = = Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel ( =: Kresfläche mt Radus Wahrschenlchket für Abstand von Ursprung: dp= P( r [ r, r+ dr] 0 = π ( r+ dr πr πrdr Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung: 3 r Er [ ] = rdp= r πrdr = = R= r r+dr Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4
![3 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel ( =: Kresfläche mt Radus Wahrschenlchket für Abstand von Ursprung: dp= P( r [ r, r+ dr] 0 = π ( r+ dr πr](/docs-images/49/19977643/images/page_2.jpg "πrdr Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung: 3 r Er [ ] = rdp= r πrdr = = 3 3 0 0 0 R= r r+dr Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte")
3 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (3 Glechvertelung n der Kugel für belebge Wahrschenlchket für Abstand von Ursprung: dp= P( r [ r, r+ dr] 0 V ( r+ dr Vr = V r dr Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung:, V Volumen der -dmensonalen Enhetskugel r Er [ ] = rdp= r dr= = + + fast alle Punkte snd auf der Schale der -dmensonalen Kugel Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (4 fast alle Punkte auf der Schale der -dmensonalen Kugel möglche Instabltät der -Bestmmung: klene Verschebung des Anfragepunktes führt zu vollkommener Änderung der Regon der nächsten achbarn Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 3
![..Volumen der -dmensonalen Enhetskugel r Er [ ] = rdp= r dr= = + + fast alle Punkte snd auf der Schale der -dmensonalen Kugel Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n](/docs-images/49/19977643/images/page_3.jpg "Blddatenbanken 5.")
4 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (5 Abschätzung für nächsten-nachbar Abstand von m Punkten n -d: Durchmesser der Voronoregonen V mv V k k+ k π k! π k =, Vk+ = k ε = k+, k! (k+! k+ k k k! π π (k+ = m ε ( k+! k! ε k ( k+ k+ k -k (! π k kk e πk = = k -k m( k! m 4 πk ( k e m Approxmaton: Voronoregonen snd (--dmensonale Kugeln, de de Oberfläche vollständg bedecken Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (6 Bespel: =00, m=0 6 : Schale mmer noch dünn besetzt empty space problem d k πk = ε.8 m d mean =.8 d max = Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 4
5 -dmensonale Gaußvertelung: p( x = -dmensonale Gaußvertelung ( ( πσ x e σ Wahrschenlchket für den Abstand vom Ursprung: ( πσ R V < = 0 p( r R σ r e dr r = = =00 r = ~0 r = ~0 r = ~0 r = ~0 r = 8 ~ ~ 0.00 r = ~ ~ r = 6 ~ ~ ~ Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 -dmensonale Gaußvertelung ( Erwartungswert für das Abstandquadrat zweer Gaußvertelter Zufallszahlen (D: Dpolmoment Varanz: r + r E d( r, r E ( r r ( r r e drdr πσ σ = = r + r = σ 4 Varanz d( r, r = E ( r r E ( r r = ( r r e drdr 4 = 8 πσ 4 σ 4 4 σ σ Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.0 5
6 -dmensonale Gaußvertelung (3 betrachte Vektoren von Gaußvertelten Zahlen: Erwartungswert der Abstände: E d ( r, r = E ( r r = E ( r r = σ Varanz der Abstände: Var d = Var ( r r = Var ( r r = 8 σ 4 Verhältns Standardabwechung zu Erwartungswert: Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. Var d 0 ( σ = = σ = = E d 4% ( 00 Verallgemenerung für belebge -dmensonale Vertelungen ( Satz von Beyer et al.: falls p Var d lm 0 ( p 0 p = > E d folgt: max( d mn( d lmp ε ( ε 0 = > mn( d max( d mn( d bzw. P 0 mn( d Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. 6
7 Verallgemenerung für belebge -dmensonale Vertelungen ( Voraussetzung des Satzes von Beyer et al. glt für vele Vertelungen, z.b. stets dann, wenn de Koordnaten unabhängg snd und dentsche Vertelungen haben (we -dmensonaler Gauß typsche Vertelung der Abstände vom Anfragepunkt (für große : Instabltät der -Suche st n -D sehr verbretet (praktsch: ab ca. 0D Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Wann st -Suche stabl und snnvoll? ( Verwendung anderer Abstände? alle L p -Dstanzen leden unter dem Problem Verhalten der earth mover dstance unbekannt Daten bestzen günstge Vertelung Daten blden Cluster, und Anfrageobjekt legt n enem Cluster beachte: abgesehen von der Bestmmung der Clusterzugehörgket kann -Abstand mmer noch ohne Bedeutung sen Objekte m selben Cluster übrge Objekte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4 7
8 Wann st -Suche stabl und snnvoll? ( alle Achsen snd unabhängg und haben de gleche Vertelung, aber Egenwerte der Kovaranzmatrx nehmen schnell genug ab Bespel: Gaußvertelungen mt σ σ = λ 4 Var d 8σ λ = 0 ( C( λ d = = E d C ( σ λ λ> = λ π π λ= :, ln, C( d ~ = = 6 3 ln ( = 00 : 4 π π λ= :,, C( d (89% = 4 = = % Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (3 Vertelungen, deren ntrnssche Dmenson n^, z.b.: enge Achsen snd rrelevant (enthalten nur Rauschen Achsen snd korrelert, z.b. alle Daten legen auf ener n-dmensonalen Hyperebene oder Hyperfläche Modfkaton des Merkmalsraums entsprechend der Aufgabenstellung Bedeutung enes Bldes bzw. sener Merkmale hängt vom Kontext ab Gewchtung der Achsen nchtlneare Verformung des Merkmalsraumes aufgrund der Lage des Anfragebldes oder enes Referenzbldes Modfkaton der Ähnlchketsfunkton abgesehen von Relevanz-Feedback wetgehend unerforscht Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 8
9 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (4 nchtlneare Verzerrung der Merkmalsraums aufgrund der Lage des Anfrage-/Referenzbldes Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (5 bedes (Cluster und gerngere ntrnssche Dmenson kann glechzetg der Fall sen Vertelung der Clusterzentren mt n 0 Frehetsgraden Vertelung n jedem Cluster mt n Frehetsgraden herarchsche Clusterung möglch Bespel Fahrzeug-Klassfkaton Cluster Ebene : PKW, LKW, Motorrad etc. Cluster Ebene : Motor, Kosten, Größe, Ausstattung,... mt utzer-abhängger Gewchtung unterschedlche Dmensonen n jedem Cluster (Motor: Lestung, Verbrauch, Geschwndgket,...; Ausstattung:... Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 9
10 Dmensonsredukton Cluster-erhaltende Redukton von - auf n-d notwendg lneare Verfahren: Hauptkomponentenanalyse (PCA Maxmerung der Varanz Fsher s Lnear Dscrmnant (FLD Maxmerung der Unterschedbarket der Cluster Relevant Component Analyss (RCA Approxmaton von FDA ohne vollständge Klassfkaton Projecton Pursut Maxmerung anderer Clusterungsmaße ncht-lneare Verfahren (Auswahl: Mult-dmensonal Scalng: Dstanzerhaltende Transformaton FastMap-Algorthmus (Approxmaton von MDS euronale etze (z.b. Kohonen s selbstorganserende Karte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 Lneare Dmensonsredukton ( Suche de -dmensonale Projekton der Daten mt maxmaler Varanz: suche a, so daß Var(x = Var(a T x maxmal Rekurson: wederhole des n-mal n den Unterräumen, de orthogonal zu den berets festgelegten Projektonen snd Äquvalent zur Hauptkomponentenanalyse: maxmere de Determnante der transformerten Kovaranzmatrx verwende de zu den n größten Egenwerten gehörenden EV m T S = ( x µ ( x µ Kovaranzmatrx A opt = T = arg max A SA = [ a a... a ] Egenvektormatrx A Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.0 m 0
11 Lneare Dmensonsredukton ( PCA berückschtgt de Cluster ncht Fsher s lnear dscrmnant maxmert Varanz zwschen m den Clustern und mnmert Varanz n den Clustern Größe Cluster m= m Gesamtzahl der Punkte µ = xk Zentrum Cluster xk C m µ = xk Schwerpunkt der Daten k m FLD: Achse größter Cluster- Separerung PCA: Achse größter Varanz Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. Lneare Dmensonsredukton (3 Beschrebe Varabltät nnerhalb der Klassen und zwschen den Klassen C T S = m ( µ µ ( µ µ between-class Kovaranz C = C T S = ( x µ ( x µ Summe n-class Kovaranzen W = x m k k k maxmere de Dskrmnaton: A opt C T A SCA = arg max = [ aa ac ] mt A T A S A S a = λs a W W verallgemenertes Egenwertproblem maxmal (c verschedene Egenwerte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.
12 Lneare Dmensonsredukton (4 Clusterzugehörgket st oft ncht bekannt, schwer / mühsam zu bekommen, ncht allgemen zu defneren aber partelle Equvalenz st oft vorhanden, z.b. zusammengehörende Blder ener Sere / enes Shots chunklets nutze chunklets, um rrelevante Achsen zu elmneren / relevante zu fnden relevant components analyss Approxmaton der Dskrmnantenanalyse ohne vollständge Klassfkaton Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Lneare Dmensonsredukton (5 Kovaranzmatrzen we FLD (chunklets statt Cluster. bestmme effektven Rang r (Anzahl der EW g 0 von S C. führe PCA mt S W durch und reduzere Daten auf r Dmensonen 3. berechne S C m reduzerten (r-dmensonalen Raum und berechne Hauptkomponenten von S C-r 4. reduzere Dmenson weter entsprechend der Hauptkomponenten von S C-r gute Approxmaton von FLD, falls de Mttelwerte der chunklets de Mttelwerte der entsprechenden Cluster approxmeren Test mt ener Geschtsdatenbank: deutlch bessere Ergebnsse als Egenfaces, fast so gut we Fsherfaces Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4
13 Lneare Dmensonsredukton (6 falls kene Cluster oder chunklets verfügbar: suche Projekton, de (anstelle der Varanz Maß für de Clusterung der Vertelung maxmert projecton pursut -Methode geegnete Maße: z.b. aus Kumulanten der Vertelung: k k = µ 3µµ + µ Skewness (Asymmetre der Vertelung = µ 4µ µ 3µ + µ µ 6 µ Kurtoss (Exzentrztät mt berechne [ ] µ = E x Momente der Vertelung k / k oder k / k oder k + k (=0 ohne Cluster Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Lneare Dmensonsredukton (7 projecton pursut -Algorthmus:. bestmme a (erste Hauptkompenentenrchtung. projzere auf a und bestmme Maß der Clusterung 3. verbessere a durch Gradentenabsteg (kene geschlossene Lösung bekannt und gehe zu. bs sch nchts mehr ändert 4. wederhole den Algorthmus rekursv m zu a senkrechten Raum Elmnaton von Ausreßern notwendg Bewertung: noch kene Verwendung be der Bldsuche bekannt Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 3
14 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng ( Cluster bleben automatsch erhalten, wenn be der Dmensonsredukton de Dstanzmatrx erhalten blebt δ = δ ( x, x x, x : Datenpunkte j j j ( kann belebge Abstandsfunkton sen; de Punkte müssen ncht n enem Vektorraum legen defnere Maß der Veränderung der Abstände durch Projekton x p cr n : multdmensonal scalng ( p p δ mnmere Stress( d, δ = j j nchtlneare Projekton hat oft gerngeren Stress( Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7, j chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng ( Mnmerung von Stress( st komplzert: Verenfachung mnmere SStress( d, δ = p p δ, j( j j d δ =, ( p j pj τ δj ( mnmere Stran(, ( mt τ ( δj = δj δ. δ. j+ δ.. Zentrerungstransf. Stran( hat geschlossene Lösung (EV von ( j, de als Startlösung für teratve Lösung von Stress( oder SStress( benutzt werden kann Lösung: Gradentenabsteg, ewton, neuronale etze Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 4
15 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng (3 Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng (4 aufwendges Verfahren sehr gute Ergebnsse, wenn nur Dstanzen bekannt snd (z.b. Cheme, Psychologe n lecht modfzerter Form auch anwendbar wenn nur Rankngs bekannt für de Bldsuche unbrauchbar, da es kene effzente Möglchket gbt, de n-dmensonale Koordnate des Anfragebldes zu bestmmen Wederholung der Optmerung nötg äherungsalgorthmen haben mmer noch lneare Komplextät (Verglech mt jedem Datenbankbld Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken
16 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren ( wähle n Pvotpunkte (Clusterzentren! und verwende Vektor der Abstände als Punktkoordnate für alle Pvots glt: d(x, x m d(x,p - d(x,p schnelle Abschätzung des Abstandes d(x, x Verbesserung: Lpschtz-Enbettung, SparseMap-Algorthmus FastMap-Algorthmus (Faloutsos & Ln 95: rekursve Auswahl von Pvots sehr schnell, aber relatv ungenau für Bldrepräsentaton ncht geegnet, aber für Optmerung der Ergebnspräsentaton ener Suche (star feld dsplay, sehe später Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren ( FastMap-Algorthmus:. Auswahl enes Paars von Pvot-Punkten wähle belebgen Punkt x und fnde den fernsten Punkt x wederhole dasselbe für x, und dann noch 3-mal das letzte Paar bldet das Pvot-Paar (p a, p b. projzere alle übrgen Punkte x auf de Achse (p a, p b Koordnate p bzgl. erster Achse d( x, p a p = d( x, p b ( d( p, p p a b x p d( x, p = a + d( p a, p b d( x, p d( p, p a b b p a p p b Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 6
17 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren (3 FastMap-Algorthmus (Fortsetzung: 3. berechne den Restabstand nach Abzug von p ( p p d ( x, x = d( x, x j j j 4. Wederhole das Verfahren mt d ( und neuen Pvots (p a, p b um de zwete Koordnate p zu bestmmen usw. bs p n Verfahren st exakt, wenn d( de Eukldsche Dstanz (m orgnalen -dmensonalen Vektorraum st für andere Dstanzen auch anwendbar, aber ncht so gute Resultate; Versagen, falls d k ( negatv wrd gut für schnelle Dmensonsredukton für D Anzege Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.33 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren (4 p a =Mam, p b =Seattle; p a =LA, p b =Boston Boston Y DC Chcago SF LA Denver p p 0 Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken
wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:
Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab
-70- Anhang: -Lineare Regression-
-70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de
Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e
Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de
Übersicht der Vorlesung
Überscht der Vorlesung. Enführung. Blderarbetung. orphologsche Operatonen 4. Bldsegmenterung 5. erkmale on Objekten 6. Klassfkaton 7. Dredmensonale Bldnterpretaton 8. Bewegungsanalyse aus Bldfolgen 9.
Rückblick Regression II: Anpassung an Polynome
Rückblck Regresson II: Anpassung an Polynome T. Keßlng: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Fehlerrechnung und Korrelaton 0.06.08 Vorlesung 0- Temperaturmessung mt Thermospannung Wr erhalten
Definition des linearen Korrelationskoeffizienten
Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1.
Kapitel 8: Kernel-Methoden. Maschinelles Lernen und Neural Computation
Kaptel 8: Kernel-Methoden SS 009 Maschnelles Lernen und Neural Computaton 50 Ausgangsbass: Perceptron Learnng Rule Δw y = Kf = 0Ksonst K"target" = Kf Rosenblatt (96) Input wrd dazugezählt (abgezogen),
Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz
Prof. Dr. P. Kschka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wrtschafts- und Sozalstatstk Klausur Statstsche Inferenz 15.02.2013 Name: Matrkelnummer: Studengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40
Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;
Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):
Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.
16. Vorlesung Sommersemester
16. Vorlesung Sommersemester 1 Das Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (1) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector,
4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **
Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,
Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen
Kapitel 4: Unsicherheit in der Modellierung Modellierung von Unsicherheit. Machine Learning in der Medizin 104
Kaptel 4: Unscherhet n der Modellerung Modellerung von Unscherhet Machne Learnng n der Medzn 104 Regresson Modellerung des Datengenerators: Dchteschätzung der gesamten Vertelung, t pt p p Lkelhood: L n
1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
22. Vorlesung Sommersemester
22 Vorlesung Sommersemester 1 Bespel 2: Würfel mt festgehaltener Ecke In desem Fall wählt man den Koordnatenursprung n der Ecke und der Würfel st durch den Berech x = 0 a, y = 0 a und z = 0 a bestmmt De
5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013
O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)
Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung
Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten
Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2
ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung
Statistik Exponentialfunktion
! " Statstk " Eponentalfunkton # $ % & ' $ ( )&* +, - +. / $ 00, 1 +, + ) Ensemble von radoaktven Atomkernen Zerfallskonstante λ [1/s] Lebensdauer τ 1/λ [s] Anzahl der pro Zetenhet zerfallenden Kerne:
Numerische Methoden II
umersche Methoden II Tm Hoffmann 23. Januar 27 umersche Bespele umersche Methoden zur Approxmaton von Dervatpresen: - Trnomsche Gttermethode - Implzte Fnte Dfferenzen - Explzte Fnte Dfferenzen - Crank-colson
Multivariate Analysemethoden
Multvarate Analysemethoden q-q-plot Methode zur Prüfung der Multvaraten Normalvertelung Günter Menhardt Johannes Gutenberg Unverstät Manz Prüfung der NV-Annahme Vertelungsanpassung/Prüfung Prüfung der
Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n
Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade
Spiele und Codes. Rafael Mechtel
Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,
6. Modelle mit binären abhängigen Variablen
6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch
2πσ. e ax2 dx = x exp. 2πσ. 2σ 2. Die Varianz ergibt sich mit Hilfe eines weiteren bestimmten Integrals: x 2 e ax2 dx = 1 π.
2.5. NORMALVERTEILUNG 27 2.5 Normalvertelung De n der Statstk am häufgsten benutzte Vertelung st de Gauss- oder Normalvertelung. Wr haben berets gesehen, dass dese Vertelung aus den Bnomal- und Posson-Vertelungen
Lineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung 5. Vorlesung Dr. Jochen Köhler.03.0 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wchtg!!! Vorlesung Do 4.03.0 HCI G3 Übung 5 D 9.03.0 Fnk
8 Logistische Regressionsanalyse
wwwstatstkpaketde 8 Logstsche Regressonsanalyse De logstsche Regressonsanalyse dent der Untersuchung des Enflusses ener quanttatven Varable auf ene qualtatve (n unserem Fall dchotomen Varable Wr gehen
Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel
ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore
Eine kurze Einführung in die Dichtefunktionaltheorie (DFT)
Ene kurze Enführung n de Dchtefunktonaltheore (DFT) Mchael Martns Lteratur: W. Koch, M.C. Holthausen A Chemst s Gude to Densty Functonal Theory Wley-VCH 2001 Dchtefunktonaltheore p.1 Enletung Im Falle
Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
Elemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s
Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).
Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de
Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.
Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve
18. Vorlesung Sommersemester
8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend
Grundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
Resultate / "states of nature" / mögliche Zustände / möglicheentwicklungen
Pay-off-Matrzen und Entschedung unter Rsko Es stehen verschedene Alternatven (Strategen) zur Wahl. Jede Stratege führt zu bestmmten Resultaten (outcomes). Man schätzt dese Resultate für jede Stratege und
Kurs Mikroökonometrie Rudolf Winter-Ebmer Thema 3: Binary Choice Models Probit & Logit. Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit
BINARY CHOICE MODELS 1 mt Pr( Y = 1) = P Y = 0 mt Pr( Y = 0) = 1 P Bespele: Wahlentschedung Kauf langlebger Konsumgüter Arbetslosgket Schätzung mt OLS? Y = X β + ε Probleme: Nonsense Predctons ( < 0, >
5 Gemischte Verallgemeinerte Lineare Modelle
5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle Wr betrachten zunächst enge allgemene Aussagen für Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle. Se y der beobachtbare Zufallsvektor und u der Vektor der ncht-beobachtbaren
An dem Ergebnis eines Zufallsexperiments interessiert oft nur eine spezielle Größe, meistens ein Messwert.
SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 1 Zufallsgrößen An dem Ergebns enes Zufallsexperments nteressert oft nur ene spezelle Größe, mestens en Messwert. Bespel 1. Zufällge Auswahl enes Studenten,
Standardnormalverteilung / z-transformation
Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
Dynamisches Programmieren
Marco Thomas - IOI 99 -. Treffen n Bonn - Dynamsches Programmeren - Unverstät Potsdam - 8.02.999 Dynamsches Programmeren 957 R. Bellmann: Dynamc Programmng für math. Optmerungsprobleme Methode für Probleme,.
Die mathematischen Grundlagen der Wellenmechanik
De mathematschen Grundlagen der Wellenmechank Zustände und deren Darstellung En physkalsches System wrd durch enen Zustand u charaktersert, ndem es durch ene bestmmte expermentelle Präparaton gebracht
Das zum dualen Problem (10.2) gehörige Barriere-Problem lautet analog
60 Kaptel 2. Lneare Optmerung 10 Innere-Punkte-Verfahren Lteratur: Geger, Kanzow, 2002, Kaptel 4.1 Innere-Punkte-Verfahren (IP-Verfahren) oder nteror pont methods bewegen sch m Gegensatz zum Smplex-Verfahren
n y j l j (x) È n. j=0 n (x x j ). f(x) = a y n+1 p n (x n+1 ) (x n+1 x 0 )...(x n+1 x n ).
5 Interpolaton 5.1 De Lagrangesche Interpolatonsaufgabe Mt È n bezechnen wr den Raum der reellen Polynome vom Grad n. Gegeben seen n+1 verschedene Stützstellen x j Ê, j = 0,...,n, und n + 1 ncht notwendg
Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung
Näherungsverfahren. Wiederhole den Algorithmusbegriff. Erläutere die Begriffe: Klasse der NP-Probleme. Probleme. Probleme. Approximative Algorithmen
Näherungsverfahren Wederhole den Algorthmusbegrff. Erläutere de Begrffe: Klasse der P-ProblemeP Probleme Klasse der NP-Probleme Probleme Approxmatve Algorthmen Stochastsche Algorthmen ALGORITHMEN Def.:
Lösungen zum 3. Aufgabenblock
Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass
(Theoretische) Konfidenzintervalle für die beobachteten Werte: Die Standardabweichung des Messfehlers wird Standardmessfehler genannt:
(Theoretsche Konfdenzntervalle für de beobachteten Werte: De Standardabwechung des Messfehlers wrd Standardmessfehler genannt: ( ε ( 1- REL( Mt Hlfe der Tschebyscheff schen Unglechung lassen sch be bekanntem
Rotation (2. Versuch)
Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen
Grundlagen sportwissenschaftlicher Forschung Deskriptive Statistik
Grundlagen sportwssenschaftlcher Forschung Deskrptve Statstk Dr. Jan-Peter Brückner jpbrueckner@emal.un-kel.de R.6 Tel. 880 77 Deskrptve Statstk - Zele Beschreben der Daten Zusammenfassen der Daten Überblck
INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB. Mathematische Grundlagen
INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Mathematsche Grundlagen Überblck Lneare Algebra: Vektoren, Matrzen, Analyss & Optmerung: Dstanzen, konvexe Funktonen, Lagrange-Ansatz, Stochastk: Wahrschenlchketstheore,
Grundlagen der numerischen Strömungsmechanik, WS 2011/12
Lehrstuhl für Aerodynamk und Strömungsmechank Prof H-J Kaltenbach Assstenz: E Lauer Grundlagen der numerschen Strömungsmechank, WS / Lösung zu Übung 5 Aufgabe : Fnte-Elemente-Verfahren De Dfferentalglechung
Informatik II. Minimalpolynome und Implikanten. Minimalpolynome. Minimalpolynome. Rainer Schrader. 27. Oktober Was bisher geschah: Definition
Informatk II Raner Schrader und Implkanten Zentrum für Angewandte Informatk Köln 27. Oktober 2005 1 / 28 2 / 28 Was bsher geschah: jede Boolesche Funkton kann durch enfache Grundfunktonen dargestellt werden
Klausur zur Vorlesung Lineare Modelle SS 2006 Diplom, Klausur A
Lneare Modelle m SS 2006, Prof. Dr. W. Zucchn 1 Klausur zur Vorlesung Lneare Modelle SS 2006 Dplom, Klausur A Aufgabe 1 (18 Punkte) a) Welcher grundsätzlche Untersched besteht n der Interpretaton von festen
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs
Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression
Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5
Sequential minimal optimization: A fast Algorithm for Training Support Vector machines
Sequental mnmal optmzaton: A fast Algorthm for Tranng Support Vector machnes By John C. Platt (998) Referat von Joerg Ntschke Fall der ncht-trennbaren Tranngs-Daten (/) In der Realtät kommen lnear ncht-trennbare
FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)
Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen
Zweck. Radiometrische Kalibrierung. Traditioneller Ansatz. Kalibrierung ohne Kalibrierkörper
Raometrsche Kalbrerung Tratoneller Ansatz Kalbrerung aus mehreren Blern Behanlung von übersteuerten Blern Zweck Das Antwortverhalten es Systems Kamera Framegrabber st ncht mmer lnear Grauwerte sn ncht
Fähigkeitsuntersuchungen beim Lotpastendruck
Fakultät Elektrotechnk und Informatonstechnk Insttut für Aufbau- und Verbndungstechnk der Elektronk Fähgketsuntersuchungen bem Lotpastendruck Dr.-Ing. H. Wohlrabe Ottobrunn, 2. Februar 2009 Qualtätsmerkmale
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alternatve Darstellung des -Stchprobentests für Antele DCF CF Total n= 111 11 3 Response 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Response No Response Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154
WS 2016/17 Prof. Dr. Horst Peters , Seite 1 von 9
WS 2016/17 Prof. Dr. Horst Peters 06.12.2016, Sete 1 von 9 Lehrveranstaltung Statstk m Modul Quanttatve Methoden des Studengangs Internatonal Management (Korrelaton, Regresson) 1. Überprüfen Se durch Bestmmung
nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen
arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree
Man unterscheidet zwischen gewichteten und ungewichteten Faktorwerten.
Faktorwerte Da es das Zel der Faktorenanalyse st, de Zahl der Kennwerte zu reduzeren (aus velen Items sollen deutlch wenger Faktoren resulteren, st es nötg, Kennwerte für de Ausprägungen der Personen n
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2
Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n
Strategien zur Effizienzsteigerung Robustheitsbasierter Optimierungen
Prof. Dr.-Ing. habl. Deter Bestle Engneerng Mechancs and Vehcle Dynamcs Strategen zur Effzenzstegerung Robusthetsbaserter Otmerungen Motvaton Redukton des Suchraumes aufgrund von Otmerungsnebenbedngungen
Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -
Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole
Gitterbasierte Kryptosysteme (Ajtai-Dwork, Regev) Sebastian Pape
Gtterbaserte Kryptosysteme (Ajta-Dwork, Regev) Sebastan Pape Überblck Motvaton Gtter SVP, usvp, Gtterbassredukton Kryptosysteme Ajta-Dwork Regev (2003), Regev (2005) Zusammenfassung Gtterbaserte Kryptosysteme
Der starre Körper. 1 Grundlagen. Dominik Fauser. 1.1 Denition. 1.2 Freiheitsgrade
Der starre Körper Domnk Fauser 1 Grundlagen 1.1 Denton Als enen starren Körper bezechnet man en System von Massepunkten m, deren Abstände zuenander konstant snd: r j = r r j. Mest betrachtet man ene sehr
Nernstscher Verteilungssatz
Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.
Nomenklatur - Übersicht
Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen
Übersicht der Vorlesung
Überscht der Vorlesung. Enführung. Bldverarbetung 3. Morphologsche Operatonen 4. Bldsegmenterung 5. Merkmale von Objekten 6. Klassfkaton 7. Dredmensonale Bldnterpretaton 8. Bewegungsanalyse aus Bldfolgen
6 Rechnen mit Zahlen beliebig hoher Stellenzahl 7 Intervall-Arithmetik 8 Umsetzung in aktuellen Prozessoren
Inhalt 4 Realserung elementarer Funktonen Rehenentwcklung Konvergenzverfahren 5 Unkonventonelle Zahlenssteme redundante Zahlenssteme Restklassen-Zahlenssteme logarthmsche Zahlenssteme 6 Rechnen mt Zahlen
Lineare Regression - Mathematische Grundlagen
FKULTÄT FÜR MTHEMTIK U TURWISSESCHFTE ISTITUT FÜR PHYSIK FCHGEBIET EXPERIMETLPHYSIK I r. rer. nat. orbert Sten, pl.-ing (FH) Helmut Barth Lneare Regresson - Mathematsche Grundlagen. llgemene Gerade Wr
2 Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem
In der beschreibenden Statistik werden Daten erhoben, aufbereitet und analysiert. Beispiel einer Datenerhebung mit Begriffserklärungen (Vokabel)
Rudolf Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete.. Datenerhebung, Datenaufberetung und Darstellung. In der beschrebenden Statstk werden Daten erhoben, aufberetet und analysert. Bespel ener Datenerhebung mt Begrffserklärungen
Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis
. wp Wssenschatsorum, Wen,8. Aprl 04 Free Rdng n Jont Audts A Game-Theoretc Analyss Erch Pummerer (erch.pummerer@ubk.ac.at) Marcel Steller (marcel.steller@ubk.ac.at) Insttut ür Rechnungswesen, Steuerlehre
Übersicht der Vorlesung
Überscht der Vorlesun. nführun. Bldverarbetun 3. Morpholosche Operatonen 4. Bldsementerun 5. Merkmale von Obekten 6. Klassfkaton 7. Dredmensonale Bldnterpretaton 8. Beweunsanalyse aus Bldfolen 9. PCA Hauptkomponentenanalyse.ICA
e dt (Gaußsches Fehlerintegral)
Das Gaußsche Fehlerntegral Φ Ac 5-8 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ st denert als das Integral über der Standard-Normalvertelung j( ) = -,5 n den Grenzen bs, also F,5 t ( ) = - e dt (Gaußsches Fehlerntegral)
6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen QM)
6. Hlbertraum und lneare Operatoren (mathematsche Grundlagen QM) 6.1 Hlbertraum Raum = mathematsches Konstrukt: Vektorraum a) Der lneare komplexe Raum st de Menge von mathematschen Objekten mt folgenden
Kapitel 2: Klassifikation. Maschinelles Lernen und Neural Computation
Kaptel 2: Klassfkaton Maschnelles Lernen und Neural Computaton 28 En enfacher Fall En Feature, Hstogramme für bede Klassen (z.b. Glukosewert, Dabetes a/nen) Kene perfekte Trennung möglch Entschedung: Schwellwert
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).
44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften
Grundlagen der Technischen Informatik. 12. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
Grundlagen der Technschen Informatk 12. Übung Chrstan Knell Kene Garante für Korrekt-/Vollständgket 12. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Komparator Adderer/Subtraherer Mehr-Operanden-Adderer
Kapitel V. Parameter der Verteilungen
Kaptel V Parameter der Vertelungen D. 5.. (Erwartungswert) Als Erwartungswert ener Zufallsvarablen X bezechnet man: E( X ) : Dabe se vorausgesetzt: = = + p falls X dskret f d falls X stetg und = + p
Ordered Response Models (ORM)
Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Ordered Response Models (ORM) Ist de abhängge Varable ordnal skalert (d.h. hre Kategoren lassen sch n ene Rangrehenfolge brngen,
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik. Codierungstheorie und Kryptographie
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guercke-Unverstät Magdeburg Fakultät für Informatk Coderungstheore und Kryptographe Sommersemester 2005 1 2 Inhaltsverzechns 1 Defnton und Charakterserung von Codes 5 1.1
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse
Exkurs: Entropie in der Wahrscheinlichkeitstheorie
Exkurs: Entrope n der Wahrschenlchketstheore a) Physk/Thermodynamk: S = k B ln(w) mt W=Anzahl glech-wahrschenlcher Möglchketen (Mkrozustände) a) Informatonstheore: Shannon (1948) Entrope wobe p = f /N
Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Kapitel 4: Bedingte Entropie I(X;Y) H(X Y) H(Y) H(X) H(XY)
Bedngte Entrope Kaptel : Bedngte Entrope Das vorherge Theorem kann durch mehrfache Anwendung drekt verallgemenert werden H (... H ( = Ebenso kann de bedngt Entrope defnert werden Defnton: De bedngte Entrope
Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)
ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.
Computerunterstützte Gesichtserkennung = Eigenface - Methode = Thomas Weise Betreuer: PD Dr. Oliver Ernst
Matheatsches Senar 00 Nuerk Coputerunterstützte Geschtserkennung = Egenface - Methode = hoas Wese Betreuer: PD Dr. Olver Ernst Glederung:. Enletung/Allgeenes. HauptKoponentenAnalyse 3. Egenface Methode.
3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
Lineare Optimierung Dualität
Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen
6. Übung zur Linearen Algebra II
Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der