Umgang mit Räumen hoher Dimension in der Bildsuche
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- Artur Heidrich
- vor 8 Jahren
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1 Umgang mt Räumen hoher Dmenson n der Bldsuche Vorlesung Bldverarbetung, Tel 5 Wntersemester 00/00 Ullrch Köthe, FB Informatk, Un Hamburg Course of Dmensonalty -dmensonale Räume ( p verhalten sch anders als erwartet, z.b.: -dmensonale Verallgemenerungen von schnellen Suchverfahren snd langsamer als enfache lneare Suche -dmensonale Vertelungen haben überraschende Egenschaften ächste-achbar Suche wrd nstabl, d.h. ene klene Verschebung des Anfrageobjekts kann zu völlg anderen Ergebnssen führen studeren enge Egenschaften -dmensonaler Vertelungen Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.
2 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel ( =: Intervall [-,] Wahrschenlchket für Abstand vom Ursprung : dr dp= Pr ( dr = Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung: dr r Er [ ] = r dp= r = = Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel ( =: Kresfläche mt Radus Wahrschenlchket für Abstand von Ursprung: dp= P( r [ r, r+ dr] 0 = π ( r+ dr πr πrdr Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung: 3 r Er [ ] = rdp= r πrdr = = R= r r+dr Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4
3 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (3 Glechvertelung n der Kugel für belebge Wahrschenlchket für Abstand von Ursprung: dp= P( r [ r, r+ dr] 0 V ( r+ dr Vr = V r dr Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung:, V Volumen der -dmensonalen Enhetskugel r Er [ ] = rdp= r dr= = + + fast alle Punkte snd auf der Schale der -dmensonalen Kugel Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (4 fast alle Punkte auf der Schale der -dmensonalen Kugel möglche Instabltät der -Bestmmung: klene Verschebung des Anfragepunktes führt zu vollkommener Änderung der Regon der nächsten achbarn Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 3
4 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (5 Abschätzung für nächsten-nachbar Abstand von m Punkten n -d: Durchmesser der Voronoregonen V mv V k k+ k π k! π k =, Vk+ = k ε = k+, k! (k+! k+ k k k! π π (k+ = m ε ( k+! k! ε k ( k+ k+ k -k (! π k kk e πk = = k -k m( k! m 4 πk ( k e m Approxmaton: Voronoregonen snd (--dmensonale Kugeln, de de Oberfläche vollständg bedecken Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7 Glechvertelung n der -dmensonalen Kugel (6 Bespel: =00, m=0 6 : Schale mmer noch dünn besetzt empty space problem d k πk = ε.8 m d mean =.8 d max = Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 4
5 -dmensonale Gaußvertelung: p( x = -dmensonale Gaußvertelung ( ( πσ x e σ Wahrschenlchket für den Abstand vom Ursprung: ( πσ R V < = 0 p( r R σ r e dr r = = =00 r = ~0 r = ~0 r = ~0 r = ~0 r = 8 ~ ~ 0.00 r = ~ ~ r = 6 ~ ~ ~ Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 -dmensonale Gaußvertelung ( Erwartungswert für das Abstandquadrat zweer Gaußvertelter Zufallszahlen (D: Dpolmoment Varanz: r + r E d( r, r E ( r r ( r r e drdr πσ σ = = r + r = σ 4 Varanz d( r, r = E ( r r E ( r r = ( r r e drdr 4 = 8 πσ 4 σ 4 4 σ σ Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.0 5
6 -dmensonale Gaußvertelung (3 betrachte Vektoren von Gaußvertelten Zahlen: Erwartungswert der Abstände: E d ( r, r = E ( r r = E ( r r = σ Varanz der Abstände: Var d = Var ( r r = Var ( r r = 8 σ 4 Verhältns Standardabwechung zu Erwartungswert: Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. Var d 0 ( σ = = σ = = E d 4% ( 00 Verallgemenerung für belebge -dmensonale Vertelungen ( Satz von Beyer et al.: falls p Var d lm 0 ( p 0 p = > E d folgt: max( d mn( d lmp ε ( ε 0 = > mn( d max( d mn( d bzw. P 0 mn( d Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. 6
7 Verallgemenerung für belebge -dmensonale Vertelungen ( Voraussetzung des Satzes von Beyer et al. glt für vele Vertelungen, z.b. stets dann, wenn de Koordnaten unabhängg snd und dentsche Vertelungen haben (we -dmensonaler Gauß typsche Vertelung der Abstände vom Anfragepunkt (für große : Instabltät der -Suche st n -D sehr verbretet (praktsch: ab ca. 0D Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Wann st -Suche stabl und snnvoll? ( Verwendung anderer Abstände? alle L p -Dstanzen leden unter dem Problem Verhalten der earth mover dstance unbekannt Daten bestzen günstge Vertelung Daten blden Cluster, und Anfrageobjekt legt n enem Cluster beachte: abgesehen von der Bestmmung der Clusterzugehörgket kann -Abstand mmer noch ohne Bedeutung sen Objekte m selben Cluster übrge Objekte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4 7
8 Wann st -Suche stabl und snnvoll? ( alle Achsen snd unabhängg und haben de gleche Vertelung, aber Egenwerte der Kovaranzmatrx nehmen schnell genug ab Bespel: Gaußvertelungen mt σ σ = λ 4 Var d 8σ λ = 0 ( C( λ d = = E d C ( σ λ λ> = λ π π λ= :, ln, C( d ~ = = 6 3 ln ( = 00 : 4 π π λ= :,, C( d (89% = 4 = = % Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (3 Vertelungen, deren ntrnssche Dmenson n^, z.b.: enge Achsen snd rrelevant (enthalten nur Rauschen Achsen snd korrelert, z.b. alle Daten legen auf ener n-dmensonalen Hyperebene oder Hyperfläche Modfkaton des Merkmalsraums entsprechend der Aufgabenstellung Bedeutung enes Bldes bzw. sener Merkmale hängt vom Kontext ab Gewchtung der Achsen nchtlneare Verformung des Merkmalsraumes aufgrund der Lage des Anfragebldes oder enes Referenzbldes Modfkaton der Ähnlchketsfunkton abgesehen von Relevanz-Feedback wetgehend unerforscht Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 8
9 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (4 nchtlneare Verzerrung der Merkmalsraums aufgrund der Lage des Anfrage-/Referenzbldes Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7 Wann st -Suche stabl und snnvoll? (5 bedes (Cluster und gerngere ntrnssche Dmenson kann glechzetg der Fall sen Vertelung der Clusterzentren mt n 0 Frehetsgraden Vertelung n jedem Cluster mt n Frehetsgraden herarchsche Clusterung möglch Bespel Fahrzeug-Klassfkaton Cluster Ebene : PKW, LKW, Motorrad etc. Cluster Ebene : Motor, Kosten, Größe, Ausstattung,... mt utzer-abhängger Gewchtung unterschedlche Dmensonen n jedem Cluster (Motor: Lestung, Verbrauch, Geschwndgket,...; Ausstattung:... Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 9
10 Dmensonsredukton Cluster-erhaltende Redukton von - auf n-d notwendg lneare Verfahren: Hauptkomponentenanalyse (PCA Maxmerung der Varanz Fsher s Lnear Dscrmnant (FLD Maxmerung der Unterschedbarket der Cluster Relevant Component Analyss (RCA Approxmaton von FDA ohne vollständge Klassfkaton Projecton Pursut Maxmerung anderer Clusterungsmaße ncht-lneare Verfahren (Auswahl: Mult-dmensonal Scalng: Dstanzerhaltende Transformaton FastMap-Algorthmus (Approxmaton von MDS euronale etze (z.b. Kohonen s selbstorganserende Karte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 Lneare Dmensonsredukton ( Suche de -dmensonale Projekton der Daten mt maxmaler Varanz: suche a, so daß Var(x = Var(a T x maxmal Rekurson: wederhole des n-mal n den Unterräumen, de orthogonal zu den berets festgelegten Projektonen snd Äquvalent zur Hauptkomponentenanalyse: maxmere de Determnante der transformerten Kovaranzmatrx verwende de zu den n größten Egenwerten gehörenden EV m T S = ( x µ ( x µ Kovaranzmatrx A opt = T = arg max A SA = [ a a... a ] Egenvektormatrx A Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.0 m 0
11 Lneare Dmensonsredukton ( PCA berückschtgt de Cluster ncht Fsher s lnear dscrmnant maxmert Varanz zwschen m den Clustern und mnmert Varanz n den Clustern Größe Cluster m= m Gesamtzahl der Punkte µ = xk Zentrum Cluster xk C m µ = xk Schwerpunkt der Daten k m FLD: Achse größter Cluster- Separerung PCA: Achse größter Varanz Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5. Lneare Dmensonsredukton (3 Beschrebe Varabltät nnerhalb der Klassen und zwschen den Klassen C T S = m ( µ µ ( µ µ between-class Kovaranz C = C T S = ( x µ ( x µ Summe n-class Kovaranzen W = x m k k k maxmere de Dskrmnaton: A opt C T A SCA = arg max = [ aa ac ] mt A T A S A S a = λs a W W verallgemenertes Egenwertproblem maxmal (c verschedene Egenwerte Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.
12 Lneare Dmensonsredukton (4 Clusterzugehörgket st oft ncht bekannt, schwer / mühsam zu bekommen, ncht allgemen zu defneren aber partelle Equvalenz st oft vorhanden, z.b. zusammengehörende Blder ener Sere / enes Shots chunklets nutze chunklets, um rrelevante Achsen zu elmneren / relevante zu fnden relevant components analyss Approxmaton der Dskrmnantenanalyse ohne vollständge Klassfkaton Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 Lneare Dmensonsredukton (5 Kovaranzmatrzen we FLD (chunklets statt Cluster. bestmme effektven Rang r (Anzahl der EW g 0 von S C. führe PCA mt S W durch und reduzere Daten auf r Dmensonen 3. berechne S C m reduzerten (r-dmensonalen Raum und berechne Hauptkomponenten von S C-r 4. reduzere Dmenson weter entsprechend der Hauptkomponenten von S C-r gute Approxmaton von FLD, falls de Mttelwerte der chunklets de Mttelwerte der entsprechenden Cluster approxmeren Test mt ener Geschtsdatenbank: deutlch bessere Ergebnsse als Egenfaces, fast so gut we Fsherfaces Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.4
13 Lneare Dmensonsredukton (6 falls kene Cluster oder chunklets verfügbar: suche Projekton, de (anstelle der Varanz Maß für de Clusterung der Vertelung maxmert projecton pursut -Methode geegnete Maße: z.b. aus Kumulanten der Vertelung: k k = µ 3µµ + µ Skewness (Asymmetre der Vertelung = µ 4µ µ 3µ + µ µ 6 µ Kurtoss (Exzentrztät mt berechne [ ] µ = E x Momente der Vertelung k / k oder k / k oder k + k (=0 ohne Cluster Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.5 Lneare Dmensonsredukton (7 projecton pursut -Algorthmus:. bestmme a (erste Hauptkompenentenrchtung. projzere auf a und bestmme Maß der Clusterung 3. verbessere a durch Gradentenabsteg (kene geschlossene Lösung bekannt und gehe zu. bs sch nchts mehr ändert 4. wederhole den Algorthmus rekursv m zu a senkrechten Raum Elmnaton von Ausreßern notwendg Bewertung: noch kene Verwendung be der Bldsuche bekannt Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.6 3
14 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng ( Cluster bleben automatsch erhalten, wenn be der Dmensonsredukton de Dstanzmatrx erhalten blebt δ = δ ( x, x x, x : Datenpunkte j j j ( kann belebge Abstandsfunkton sen; de Punkte müssen ncht n enem Vektorraum legen defnere Maß der Veränderung der Abstände durch Projekton x p cr n : multdmensonal scalng ( p p δ mnmere Stress( d, δ = j j nchtlneare Projekton hat oft gerngeren Stress( Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.7, j chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng ( Mnmerung von Stress( st komplzert: Verenfachung mnmere SStress( d, δ = p p δ, j( j j d δ =, ( p j pj τ δj ( mnmere Stran(, ( mt τ ( δj = δj δ. δ. j+ δ.. Zentrerungstransf. Stran( hat geschlossene Lösung (EV von ( j, de als Startlösung für teratve Lösung von Stress( oder SStress( benutzt werden kann Lösung: Gradentenabsteg, ewton, neuronale etze Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.8 4
15 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng (3 Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.9 chtlneare Dmensonsredukton: multdmensonal scalng (4 aufwendges Verfahren sehr gute Ergebnsse, wenn nur Dstanzen bekannt snd (z.b. Cheme, Psychologe n lecht modfzerter Form auch anwendbar wenn nur Rankngs bekannt für de Bldsuche unbrauchbar, da es kene effzente Möglchket gbt, de n-dmensonale Koordnate des Anfragebldes zu bestmmen Wederholung der Optmerung nötg äherungsalgorthmen haben mmer noch lneare Komplextät (Verglech mt jedem Datenbankbld Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken
16 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren ( wähle n Pvotpunkte (Clusterzentren! und verwende Vektor der Abstände als Punktkoordnate für alle Pvots glt: d(x, x m d(x,p - d(x,p schnelle Abschätzung des Abstandes d(x, x Verbesserung: Lpschtz-Enbettung, SparseMap-Algorthmus FastMap-Algorthmus (Faloutsos & Ln 95: rekursve Auswahl von Pvots sehr schnell, aber relatv ungenau für Bldrepräsentaton ncht geegnet, aber für Optmerung der Ergebnspräsentaton ener Suche (star feld dsplay, sehe später Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren ( FastMap-Algorthmus:. Auswahl enes Paars von Pvot-Punkten wähle belebgen Punkt x und fnde den fernsten Punkt x wederhole dasselbe für x, und dann noch 3-mal das letzte Paar bldet das Pvot-Paar (p a, p b. projzere alle übrgen Punkte x auf de Achse (p a, p b Koordnate p bzgl. erster Achse d( x, p a p = d( x, p b ( d( p, p p a b x p d( x, p = a + d( p a, p b d( x, p d( p, p a b b p a p p b Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.3 6
17 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren (3 FastMap-Algorthmus (Fortsetzung: 3. berechne den Restabstand nach Abzug von p ( p p d ( x, x = d( x, x j j j 4. Wederhole das Verfahren mt d ( und neuen Pvots (p a, p b um de zwete Koordnate p zu bestmmen usw. bs p n Verfahren st exakt, wenn d( de Eukldsche Dstanz (m orgnalen -dmensonalen Vektorraum st für andere Dstanzen auch anwendbar, aber ncht so gute Resultate; Versagen, falls d k ( negatv wrd gut für schnelle Dmensonsredukton für D Anzege Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken 5.33 chtlneare Dmensonsredukton: Pvot-baserte Verfahren (4 p a =Mam, p b =Seattle; p a =LA, p b =Boston Boston Y DC Chcago SF LA Denver p p 0 Wntersemester 0/0 Ullrch Köthe: Inhaltsorenterte Suche n Blddatenbanken
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