Algebraische Beschreibung paralleler Prozesse

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1 Algebraische Beschreibung paralleler Prozesse Prof. Dr. W. Vogler Universität Augsburg WS 2011/2012

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Parallele Systeme und Kommunikation Erste Beispiele Puffer Puffer Puffer mit Ack(nowledgment) Zahlenverarbeitung Fließband Zusammenfügen der Komponenten mit Parallelkomposition Semaphore Basis-Definitionen Aktionen CCS Transitionssysteme als operationale Semantik Sorten Reduktion des voll(ständig)en CCS auf Basis-CCS Gleichungsgesetze Dynamische Gesetze Statische Gesetze Expansion Starke Bisimulationen und starke Äquivalenz Starke Bisimulation Gesetze für Kongruenzeigenschaften Schwache Bisimulation und Beobachtungsäquivalenz Schwache Bisimulation Anwendung - ein einfacher Scheduler 38 7 Beobachtungskongruenz Definition und erste Eigenschaften Gesetze für = Axiome für endliche Prozesse Eine Schneller-als-Relation 47

3 1 EINFÜHRUNG 3 1 Einführung Dieses Vorlesungsskript beruht in erster Linie auf [1] sowie einer LATEX-Mitschrift von Hörern dieser Vorlesung im WS 03/04, denen ich sehr dankbar bin. Formale Systemmodelle bieten eine klare Implementationsgrundlage für die Softwareentwicklung. Mit ihrer Hilfe lässt sich bereits eine Simulation wie auch ein Model-Checking noch vor Beginn der Implementierungsphase durchführen. Damit lässt sich prüfen, ob sich das endgültige Produkt spezifikationskonform verhält; hierbei ist eine Spezifikation eine Sammlung erwünschter Eigenschaften. In dieser Vorlesung werden formale Modelle paralleler (nebenläufiger) Systeme anhand der Prozess-Algebra CCS beschrieben; die Terme einer Prozess-Algebra kann man sich als erweiterte rationale bzw. reguläre Ausdrücke vorstellen. Systemmodelle können abstrakter oder implementierungsnäher sein; letztere können z.b. die Aufteilung in parallele Komponenten beschreiben. In diesem Sinn kann CCS als Spezifikationsund als einfache Programmiersprache verstanden werden. 1.1 Parallele Systeme und Kommunikation Zunächst gehen wir davon aus, dass prinzipiell kein Unterschied zwischen einem System und einem Teilsystem besteht. Man wählt sich für die Betrachtung einfach eine für die aktuelle Zielsetzung geeignete Detailebene. So interessieren bei der Analyse von Prozessen in einem Unternehmen beispielsweise nicht die Organe der einzelnen Mitarbeiter. Das Verhalten der (Teil-)Systeme (Prozesse) besteht aus ihren Aktionen: Nachrichten (Der Benutzer eines Computers teilt diesem mit, dass er den C-Compiler starten soll; vgl. [1], Seite 13f.) autonom (Der Computer berechnet x := 1.) Dies kann oft als Kommunikation von Teilsystemen verstanden werden. (Im Beispiel: zwischen dem Prozessor und dem Hauptspeicher) Kommunikation: (i) FIFO-Kanal (First in - first out): Der Sender schreibt Nachrichten in einen Puffer, aus dem diese dann an den Empfänger weitergeleitet werden. (ii) Shared Memory: Sender und Empfänger teilen sich einen gemeinsamen Speicherbereich. Der Empfänger kann die Nachrichten mehrfach aus dem Speicher auslesen.

4 1 EINFÜHRUNG 4 (iii) Die Algebra CCS (CALCULUS OF COMMUNICATING SYSTEMS) verwendet Kommunikation per Handschlag (Rendezvous), eine gemeinsame Aktion zweier Prozesse. Während in (i) und (ii) aktive und passive Prozesse unterschieden werden, werden hier grundsätzlich alle Prozesse als aktiv betrachtet. In (i) sendet der aktive Sender an den passiven Puffer; ob der Puffer gegenüber dem Empfänger aktiv oder passiv ist, ist Geschmackssache. In (ii) sind Sender und Empfänger aktiv gegenüber dem passiven Speicher. Modellierung von (i) und (ii) in CCS: je 3 Prozesse: 1. send(5): gemeinsame Aktion von Sender und Puffer 2. write 5 into x: gemeinsame Aktion von Sender und Speicher 1.2 Erste Beispiele Wir führen zunächst eine Variante mit Variablen und Werten ein; später behandeln wir fast ausschließlich eine abstraktere Variante Puffer Ein Puffer bietet zwei Kommunikationsmöglichkeiten (Ports). Seine Beschreibung stützt sich auf zwei Prozessnamen C und C. Prozessnamen können auch als Prozedurnamen verstanden werden; genau wie letztere können sie Parameter haben. C in(x).c (x) C (x) out(x).c Das Verhalten eines Prozessnamens wird mit definiert. Auf der rechten Seite des Definitionspfeils steht ein Prozess, der dem Rumpf einer Prozedur/Methode entspricht. Hierbei tauchen noch einige unbekannte Symbole auf:

5 1 EINFÜHRUNG 5 in(x): Rendezvous, bei dem der Wertxam Portin empfangen wird out(x): Rendezvous, bei dem der Wert x am Port out gesendet wird; der Querbalken wird für Ausgaben verwendet. in(x).c (x): Rendezvous ausführen, dann sich wiec (x) verhalten. Der Punkt. ist das Symbol für Prefixing, eine einfache Form der Hintereinanderausführung. in(x).c (x) ist ein CCS-Term. Ein Ablauf des Systems ist z.b.: C in(42) C (42) out(42) C Dies bedeutet, dass der Port in mit dem Wert 42 angesprochen und damit der Pufferprozess C mit diesem Wert aufgerufen wird, der dann 42 ausgibt und wieder zum Prozess C wird. Also:C beschreibt den leeren Puffer,C (x) denxspeichernden Puffer. Wir betrachten also dasselbe System in verschiedenen Zuständen als verschiedene Prozesse, die ja auch unterschiedliches Verhalten zeigen. Bemerkung. Wir haben bereits den Parameter x in obigem Beispiel verwendet. Wie in Programmiersprachen auch besitzen Variablen in CCS verschiedene Bindungsbereiche (= scope): in(x).p : x ist hierbei eine Variable in P (mit Bindungsbereich P ). C (x)...:xist eine Variable der rechten Seite und dort gebunden. out(x).p : In diesem Fall ist x nicht gebunden und damit eine freie Variable. Der Wert von x ergibt sich erst durch eine Bindung weiter außen. Alternativ ließe sich der 1-Puffer auch mit folgender Definition beschreiben, in der kein weiterer (Unter-)Prozess mehr aufgerufen wird Puffer C in(x).out(x).c Als nächstes betrachten wir einen Puffer der Kapazität 2: Buff 2 in(x).buff 2 (x) Buff 2 (x) in(y).buff 2 (x,y)+out(x).buff 2 ( ) Buff 2 (x,y) out(x).buff 2 (y) ( ) In diesem System taucht zum ersten Mal das Symbol + auf, das einer nicht-deterministischen Auswahl (einem logischen oder) entspricht. Welche Option ausgewählt wird, wird erst zum Zeitpunkt der ersten Aktion entschieden, welche eventuell von der Umgebung beeinflußt wird. Prefixing. bindet stärker als +. Beachte: in( ): scope von x ist rechte Seite scope von y ist Buff 2 (x,y) in( ): Buff 2 (y) ist Aufruf von Buff 2 (x): formaler Parameter x, Wert y bei Aufruf.

6 1 EINFÜHRUNG 6 Buff 2 kann als Spezifikation eines Zwei-Puffers gesehen werden, der sich durch eine Verkettung C C von zwei 1-Puffern C implementieren läßt (vgl. obigen Flussgraphen). Das Symbol beschreibt eine Verkettung, welche die Ports out und in verbindet. Zusätzlich werden diese Ports internalisiert, so daß von außerhalb des Systems kein weiterer Zugriff auf diese Ports erfolgen kann (s.u.). Der Korrektheitsbeweis zeigt C C = Buff 2, wobei die Terme syntaktische ungleich ( ) sind Puffer mit Ack(nowledgment) In einigen Fällen ist eine weitere Form der Kommunikation zwischen Prozessen erforderlich, bei der keine Parameterübergabe stattfindet. Ein Prozess möchte beispielsweise eine Bestätigung für eine Datenübergabe erhalten. Dies ließe sich folgendermaßen formalisieren: D in(x).out(x).ackout.ackin.d Bemerkung. Die beiden Bestätigungsaktionen ackin und ackout besitzen dabei keine Parameter, sind reine Synchronisation der Prozesse. Daher besitzen sie eigentlich keine Richtung. Bei der Verknüpfung D D zweier Prozesse D müssen out mit in und ackout mit ackin verbunden werden. Die Verknüpfung D D hat ein Problem: sie kann Ändert man die Definition leicht ab in D so ist die neue Prozesskette D D in der Lage,

7 1 EINFÜHRUNG Zahlenverarbeitung Ein CCS-Prozess ist jedoch nicht nur in der Lage, Nachrichten zu übertragen, er kann intern auch Berechnungen durchführen, beispielsweise eine Eingabe verdoppeln: Doppeln in(x).out(2 x).doppeln Fließband Wir betrachten zwei Arbeiter, die Objekte mit einem kleinen Hammer K oder einem großen Hammer H bearbeiten. Es ist leicht einzusehen, dass ein Wettbewerb um die Hämmer entsteht. Dieser führt zu einem nicht-deterministischen Prozess. H geth.busyh K getk.busyk BusyH puth.h BusyK putk.k (Erster Buchstabe groß: Prozess, klein: eine Aktion.) Offenbar sind diese Definitionen sehr ähnlich. Jobber in(job).start(job) Start(job) if hard(job) then U seh(job) else U set ool(job) {hard(job) : boolean} UseTool(job) UseH(job)+UseK(job) U seh(job) geth.puth.f inish(job) U sek(job) getk.putk.f inish(job) F inish(job) out(done(job)).jobber {done: Funktion auf Objekten; done(job) = fertiges Objekt} Eine Sorte von P ist eine Menge von Aktionen, die alle Aktionen von P umfasst. Beispiele. H : {geth, puth} (H hat Sorte {geth, puth}) K : {getk,putk} Jobber : {in,out,getk,geth,putk,puth}

8 1 EINFÜHRUNG Zusammenfügen der Komponenten mit Parallelkomposition Zunächst betrachten wir das Teilsystem Jobber H. Dies bedeutet, dass Jobber und H parallel agieren, wobei komplementäre Aktionen (z.b. geth, geth) gemeinsam ausgeführt werden können, jedoch nicht müssen: geth ist auch ohnegeth möglich, da ein zweiter Jobber vorhanden sein könnte, der auch H nehmen will. Für die Sorten von Prozessen, die parallel ausgeführt werden (P Q), gilt: P Q : L M, wenn P : L und Q : M. Wir bringen nun eine zweite Instanz eines Jobbers ins Spiel. Dadurch verändert sich das Teilsystem zu (Jobber H) Jobber. Der Flussgraph legt nahe, dass die Parallelkomposition kommutativ und assoziativ ist, also z.b. H Jobber = Jobber H ist. Dies können wir erst zeigen, wenn = (im Sinne von gleichem Verhalten) definiert ist. Die Terme an sich sind verschieden ( ). Ebenso sollte + kommutativ und assoziativ sein. Die Aktionen für geth und geth beispielsweise können auch von anderen Prozessen aufgerufen werden; das war gerade sehr nützlich, soll aber im weiteren vermieden werden. Dazu werden die Aktionen internalisiert, so dass sie von außen nicht mehr zugreifbar sind. ((Jobber H) Jobber) \ {geth,puth} Der Restriktions-Operator \ bewirkt, dass die angegebenen Aktionen und deren Komplemente mit keinem weiteren Port verbunden werden können. Einzeln können diese Aktionen nicht mehr ausgeführt werden, wohl aber geth, geth zusammen (siehe weiter unten, τ). Restriktion verkleinert die Sorte des Prozesses genau wie der identisch geschriebene Mengenoperator. Die nachfolgenden Rümpfe von Fließband sind gleich: Fließband (((Jobber H) Jobber)\{getH,putH} K)\{getK,putK} = (Jobber Jobber H K)\{getH,putH,getK,putK} In CCS lassen sich Terme mit Hilfe algebraischer Gesetze umformen. 1.4 Semaphore Ein nützliches Konzept aus der Programmierung ist die Verwendung von Semaphoren. Definition 1.1. Ein Semaphor bestimmt sich durch Sem get.put.sem. Ein Semaphor ist offenbar ähnlich zu den Prozessen H und K. Zur Beschreibung der Ähnlichkeit dient eine Umbenennungsfunktion, die Aktionen auf Aktionen abbildet, wobeif(a) = b f(a) = b. Dabei seia = a, so daß auch f(in) = out möglich ist. ( f(in) = out) Wir schreiben a 1 / b1,, an / bn fürf mitf(b i ) = a i,f(b i ) = a i und f(a) = a sonst. Beispiel. get geth get geth. Eine Beschreibung von H und K mittels Umbenennung (Relabelling) würde so aussehen: H = Sem[ geth / get, puth / put ] K = Sem[ getk / get, putk / put ]

9 1 EINFÜHRUNG 9 Der Operator läßt sich damit so beschreiben: C C (C[ m / out ] C[ m / in ])\{m}

10 2 BASIS-DEFINITIONEN 10 2 Basis-Definitionen 2.1 Aktionen In (Basis)-CCS existieren keine Aktionen mit Parametern, sondern nur einfache Synchronisationen wie z.b.geth, was jedoch keine Einschränkung darstellt. Definition 2.1. A: Menge von Aktionsnamen a,b,c Ā: Menge der Co-Aktionen a,b,c; es seia = a L = A A: Menge der (Port-)Beschriftungen l, m, n (L steht für label.) Die Idee der Verhaltensbeschreibung ist, dass Prozesse Aktionen ausführen und dabei in einen anderen Zustand übergehen, also ein anderer Prozess werden: Beispiel. H geth BusyH, BusyH puth H Sei nun A a.a, A c.a, B c.b, B b.b. FürA B erhalten wir: es gilt A a A, also A B a A B; ferner A c A, also A B c A B. Rendezvous: A und B führen c und c zusammen aus. Dabei verschmelzen c und c zu einer internen, unbeobachtbaren Aktion (hidden action); es genügt eine interne Aktion τ. Bsp.:A c A,B c B, also A B τ A B. Definition 2.2 (Act). Die Menge der Aktionen α,β,γ... ist Act = L {τ} (disjunkte Vereinigung). Die Restriktion \ c verbietet c, erlaubt aber dennoch weiterhin τ. Damit ergeben sich folgende Transitionen für (A B)\c: Also erzwingt \ c eine Synchronisation über c. Wir sehen : (A B)\c = a.τ.c mit C b.a.τ.c +a.b.τ.c Dabei wurde die Parallelkomposition eliminiert. Mit dem Gesetz α.τ.p = α.p ergibt sich (A B)\c = a.d mitd b.a.d +a.b.d. Gilt auch einfach τ.p = P? Beispiel. Vergleiche die beiden Terme A a.a + τ.b.a und B a.b + b.b MitP = τ.p würde A = B folgen, aber: Durch τ kann sich A autonom in A verwandeln. Wenn jetzt die Umgebung a verlangt, tritt eine Verklemmung ein. Dies kann mit B nicht geschehen. Also ist A B und i.a. P τ.p! (Widerspruch zu endlichen Automaten).

11 2 BASIS-DEFINITIONEN CCS Definition 2.3. Gegeben sei eine Menge K von Prozessnamen A, B,... und eine Menge X von Prozessvariablen X, Y,... (nur technisch) Ein CCS-Term ist ein Prozessname, eine Variable, oder 1. α.e,α Act (Präfix) 2. i I E i (Auswahl) 3. E 1 E 2 (Parallelkomposition) 4. E\L,L L (Restriktion) 5. E[f] (Umbenennung, Relabelling), f ist eine Umbenennungsfunktion: f : L L; f(l) = l f(l) = l ; f(τ) = τ wobei E,E i (i I), E 1 und E 2 CCS-Terme sind. E ist die Menge aller CCS-TermeE,F,... Bei 2) handelt es sich um ein verallgemeinertes +. Für I = {1,2} schreiben wir auch E 1 +E 2. I kann unendlich oder auch sein; dann ist i E i =: 0 =: Nil (Nil ist der inaktive Prozess). Basisprozesse, die syntaktisch keine anderen Prozesse enthalten, sind also N il, Prozeßnamen und Variablen. Bindungsstärke: regelt das Weglassen und Wiederergänzen von Klammern 4. und 5. binden stärker als 1; 1. bindet stärker als 3; 3. bindet stärker als 2. Für 4. und 5. ist keine Unterscheidung nötig: E[f]\L kann nur (E[f])\L sein und ist E\L[f]. Beispiel. R+a.P b.q\l (b.q)\{b} b.(q\{b}) Definition 2.4. Ein Prozess ist ein CCS-Term ohne (freie) Variablen (hier: alle Variablen frei). P ist die Menge der ProzesseP,Q,... Wir nehmen an, dass für jeden Prozessnamen eine Definition der FormA P gegeben ist. Diese kann auch rekursiv (A a.a) oder verschränkt rekursiv sein (A a.a, A b.a) Definition 2.5. Für (E i ) i I schreiben wir eventuell auch kurz Ẽ. Ist (X i) i I eine Menge von Variablen, so bezeichnet { E i / Xi : i I} bzw. Ẽ/ X die simultane syntaktische Substitution der (freien) X i durch E i für alle i I. Beispiel. (a.x +b.y c.y){ (a.y) / X, Nil / Y } Die Zeichenkette (a.x +b.y c.y){ (a.y) / X, Nil / Y } ist kein Prozessterm, sie beschreibt aber einen daher.

12 2 BASIS-DEFINITIONEN Transitionssysteme als operationale Semantik Die operationale Semantik gibt zu jedem Zustand ( E) an, welche Aktionen möglich sind und welche Zustände sich bei einer Aktion ergeben können. Definition 2.6. Ein (beschriftetes) Transitionssystem (S,B,{ b b B}) besteht aus einer Menge S von Zuständen, einer Menge B von Transitionsbeschriftungen und einer Transitionsrelation b S S für jedes b B. Alternativen: äquivalent ist: eine Transitionsrelation S B S Eventuell gibt es einen Startzustand s 0 S Hier: S = E und B = Act. Ziel: Definition von α Vorgehen: Das Verhalten eines Terms, z.b.e F, lässt sich aus dem Verhalten der Komponenten, hier E und F, ableiten. WennE α E (ein Übergang ist), dann auch E F α E F. (Structured Operational Semantics, Plotkin). Schreibweise: E α E E F α E F Dabei ist oben die Voraussetzung, unten die Folgerung angegeben. (SOS-Regeln; Herleitungsregeln wie in der Logik). ( ) α α Act ist die Familie kleinster Relationen, die die folgenden Regeln erfüllen: Act α.e α E Com 1 Com 2 E α E E F α E F F α F E F α E F (keine Voraussetzung, Axiom) E l E,F l F Com 3 E F τ (l τ, z.b.l = a,l = a und E führt Co-Aktion aus) E F Sum j Res Rel E j i I E α i E j E j α E α E E\L α E \L E α E E[f] f(α) E [f] (j I) (Nebenbedingung) (α L L) Name P α P A α P (A P)

13 2 BASIS-DEFINITIONEN 13 Bemerkung. Sum für I = {1, 2} auch: Für Nil i E i gibt es keine anwendbare Regel, also Beispiel. ((a.e +b.nil) a.f)\a τ (E F)\a Zum Beweis ein Herleitungsbaum: Act a.e a E Sum 1 a (a.e +b.nil) E a.f a F Act Com 3 (a.e +b.nil) a.f τ E F Res τ (τ {a,a}) ((a.e +b.nil) a.f)\a (E F)\a Welche Übergänge gibt es überhaupt? Versuch, den Herleitungsbaum zu konstruieren: Res, α a,a und G G \a und ((a.e +b.0) a.f)\a α G (a.e +b.0) a.f α G Com 1,Com 2 oder (s.o.)com 3 ;Com 2 nicht möglich Com 1 : a.e +b.0 α...α a,a, also α = b, a.e +b.0 b 0 G 0 a.f ((a.e +b.0) a.f)\a b (0 a.f)\ a einziger weiterer Übergang! Beispiel. Ein Zufallsgenerator für natürliche Zahlen: Random Satz 2.7. Die E α E gemäß obiger Definition sind genau die Übergänge mit (endlichem) Herleitungsbaum. Die Familie ist also eindeutig definiert.

14 2 BASIS-DEFINITIONEN 14 Aussagen A für alle E α E kann man mit Transitionsinduktion (Induktion über die Tiefe des Herleitungsbaums bzw. über die Länge der Herleitung) beweisen. Es gibt einen Fall für jede Regel. Verankerung entspricht dem (oder einem) Axiom. Für α zeigt man A direkt. E E Beispiel. Ind.schritt für den Fall Rel: Sei E[f] f(α) E [f] wegen E α E, und die Aussage A(E α E ) gilt nach Induktion. Zeige damit A(E[f] α E [f]). Restbaum E α E E[f] f(α) E [f] Hier noch ein, etwas abschreckendes, Beispiel für Herleitungen: Beispiel. A a 0.0 A[f] mitf : a i a i+1. CCS entspricht einem Transitionssystem; zu jedem E ist aber nur der von E erreichbare Teil interessant. Hier: Transitionssystem ist Grundlage aller Verhaltensbegriffe keine explizite Parallelität im Verhalten. Herleitung einer Transition eventuell langwierig Arbeiten mit CCS auch ohne eine Herleitung ( Gesetze / Axiome für = ). FallsE α E, dann heißt (α,e ) direkte Folge von E α eine Aktion von E E ein α-folgeterm von E Analog definiert man für E α 1 α n E (α 1 α n,e ) eine Folge von E α 1 α n eine Aktionsfolge von E E ein (α 1 α n -)Folgeterm von E Wir schreiben auch E α 1 α n E in diesem Fall; ferner E α 1 α n, falls E : E α 1 α n E ; Speziell: n=0, also E λ E, und λ ist eine Aktionsfolge, E ein Folgeterm von E für alle E. Wir erwarten: Haben E 1 und E 2 dieselben direkten Folgen (und damit im wesentlichen dieselben Folgen), so sind sie sicher verhaltensgleich (bisher undefiniert). τ ist intern (unbeobachtbar), daher ist interessant: Aus s Act entsteht ŝ L durch Entfernen aller τ s. Speziell: τ τ = λ.

15 2 BASIS-DEFINITIONEN 15 Für s = α 1 α n Act ist E = s E, falls E( ) τ α 1 τ ( ) (α i = τ möglich) E = s wie oben. α n ( τ ) E, Falls s Act und E ŝ = E (!), dann ist E ein s-nachkomme von E. (Beispielsweise haben P und τ.p speziell P als τ-nachkommen.) ŝ Uns interessiert vor allem =. Für s L ist s = ŝ und E = ŝ E dasselbe wie E = s E s. = mit s Act \L ist eher technisch. Beispiel. E ab = E bedeutet E τm aτ n bτ p E E = λ E bedeutet E = τa E bedeutet 2.4 Sorten Definition 2.8. E hat (semantische) Sorte L L, falls alle Aktionen von E und seinen Folgetermen in L {τ} liegen; E : L. Folgerung. L ist Sorte von E für alle E α E gilt: α L {τ} und L ist Sorte von E. Eigentlich hätten wir gerne die kleinste Sorte von E. Es ist aber generell unentscheidbar, ob ein ProzessP je die Aktionlausführen kann. (vergleiche hierzu Turingmaschinen und den Satz von Rice aus der Theoretischen Informatik) Syntaktische Sortenzuweisung: Definition 2.9. Gegeben seien Sorten L(A) L, A K (Konstanten) und L(X) L, X X. Dann ist die syntaktische Sorte L(E), E E, definiert durch: L(l.E) = {l} L(E), L(τ.E) = L(E) L( i I E i) = i I L(E i), ( L(Nil) = L(E F) = L(E\L) = L(E[f]) = Dabei sei vorausgesetzt, dass für alle A P gilt: L(P) L(A) Beispiel. L(a.b.0) = {a, b}, L((a.b.0)\a) Für A a.b.a ist L(A) = {a} unmöglich, denn dann wäre L(a.b.A) = {a, b} {a}. L(A) = {a, b, c} ist ok. (L(A) = L ist immer zulässig, aber wenig hilfreich!) Idee: Rate als syntaktische Sorte und korrigiere iterativ gemäß L(P). In diesem Beispiel funktioniert das; im abschreckenden Beispiel von oben terminiert es nicht. Lemma SeiE α E. Dann gilt:

16 2 BASIS-DEFINITIONEN 16 (i) α L(E) {τ} (ii) L(E ) L(E) Beweis. durch Transitionsinduktion (Transitionen sind induktiv definiert) Betrachte die letzte Regel im Herleitungsbaum von E α E. 1. Act : E α.e (Blatt im Herleitungsbaum Induktionsanfang) Nach Definition ist L(E) = {α} L(E ) für α τ, L(E) = L(E ) für α = τ (jeweils (i) und (ii) prüfen!) 2. Sum j : E i E i und E j α E (mit einem niedrigeren Herleitungsbaum) Nach Induktionsvoraussetzung ist α L(E j ) {τ} und L(E ) L(E j ). Nach Definition sehen wir, dass L(E j ) L(E). 3. Com 1 : E E 1 E 2, E E 1 E 2 und E 1 α E 1 Nach Induktionsvoraussetzung istα L(E 1 ) {τ} und L(E 1 ) L(E 1); mitl(e) = L(E 1 ) L(E 2 ) und L(E ) = L(E 1 ) L(E 2) L(E 1 ) L(E 2 ) = L(E). 4. Com 2, Com 3, Res, Rel: ähnlich 5. Name : E A mita P und A α E wegen P α E. Nach Induktionsvoraussetzung ist α L(P) {τ} und L(E ) L(P). DaL(P) L(A), ist L(E ) L(A). Satz Für alle E E gilt: E : L(E). Beweis. Seiαeine Aktion eines Folgeterms F von E. Wegen Lemma 2.10 (i) gilt α L(F) {τ}. Die wiederholte Anwendung von Lemma 2.10 (ii) ergibt L(F) L(E). FallsE keine Variablen, Namen oder Umbenennungen enthält, ist die syntaktische Sorte von E einfach die Menge der freien (nicht durch Restriktionen gebundenen) Portbeschriftungen. Wir kürzen oft α.n il durch α ab. Beispiel. P ((a+b.c)\c) ((b+c.d)\d) L(P) =

17 2 BASIS-DEFINITIONEN Reduktion des voll(ständig)en CCS auf Basis-CCS volles CCS: Aktionen und Namen mit Parameter gut für Anwendungen und Beispiele schwierig für Beweise Annahme: Alle Parameter-Werte liegen in V. Definition 2.12 (Volle CCS-Terme E + ). Jeder Prozessname A K habe eine Stelligkeit (# Parameter). Es seien Ausdrücke e (expression) und boolesche Ausdrücke b aus Daten-Variablen x,y,... und Konstanten über V und geeigneten Operationssymbolen gegeben. E + enthält alle X X, alle A(e 1,...,e n ), wobei A Stelligkeit n hat, und zue, E i E + : 1. a(x).e, a(e).e, τ.e (a A) 2. i I E i 3. E 1 E 2 4. E\L (L L) 5. E[f] (f eine Umbenennungsfunktion) 6. if b then E {if b thene else E ˆ= if b then E + if b thene } Zu jedem A K mit Stelligkeit n gibt es eine DefinitionA(x 1,...,x n ) E, wobei diex i verschieden sind und E keine Prozess-Variablen und keine freien Daten-Variablen außer x 1,...,x n enthält. (Bindung durch a(x). ; also keine globalen Datenvariablen, die außerhalb der Prozedur A definiert sind) Beispiele. 1. C in(x).c (x) und C (x) out(x).c (x frei inc (x), aber nicht inin(x).c (x);xfrei inout(x).c) Der Name C mit Parameter x wird zur Familie (C v ) v V. Analog wird out zu einer Familie(out v ) v V von Aktionen. Aus der einen (symbolischen) Definition von C wird eine Familie von Definitionen: C v out v.c (v V) C stellt eine Auswahl dar: C v V in v.c v 2. Even(x) if x gerade then out(x).0 wird zu Even 2n und Even 2n+1 (Kennen wir den Wert von x, so auch den Wert von x gerade.) Übersetzung: F E + ˆF E Zul im vollen CCS gibt es eine Familie(l v ) v V von eigenen Portbeschriftungen; zu A K : (Aṽ)ṽ V n Wir betrachten F E + mit freien Daten-Variablen x i bzw. x nur, wennf Teilterm von E

18 2 BASIS-DEFINITIONEN 18 ist. 1. in einer Definition A( x) E bzw. 2. in a(x).e 1. wird zu FamilieAṽ E{ṽ/ x },ṽ V n ; die x i sind nicht mehr frei ine{ṽ/ x }. 2. wird zu v V a v. E{ v / x },xnicht frei in E{ v / x }. Konsequenz: Wir übersetzen also nur F E + ohne freie Daten-Variablen: Ist F a(e).e oder A(e 1,...,e n ) oder if b then E, so kann man e, e i, b auswerten zu e, e i V bzw. b {T,F}. Übersetzungen: F X X a(x).e v V av.ê{v / x } a(e).e a e.ê { e V} τ.e τ.ê i I E i i I Êi E 1 E 2 Ê 1 Ê2 E\L Ê\{l v : l L, v V} E[f] ifbthene Ê[ f], mit f(l v ) = { f(l) v {Ê T, falls b = 0 F A(e 1,...,e n ) A e1,..., e n Beispiel. V = N, F in(x).if x < 3 then out(x).0 F Konsequenz: Wir arbeiten nach Wunsch mit (vollem) CCS oder Basis-CCS. Wir betrachten hier volles CCS nur als intuitive abkürzende Schreibweise für CCS; die Übersetzung gibt den Prozessen des vollen CCS eine Semantik. Alternative: Semantik direkt definieren; dann kann/sollte man beweisen, dass die Übersetzung korrekt ist, weile und Ê dieselbe Semantik haben. Basis-CCS: keine Daten-Variablen/-Ausdrücke, also keine Substitution, keine Auswertung von Ausdrücken, kein if a und a sind völlig symmetrisch

19 3 GLEICHUNGSGESETZE 19 3 Gleichungsgesetze Ziel: Angabe und Anwendungen von Gleichungen (rein syntaktisch) (Obwohl (verhaltens-) gleich bisher undefiniert!) Gesetze für: statisch: statische Operationen dynamische Operationen Kombinationen aus statischen und dynamischen Operationen Komposition, Restriktion, Umbenennung SOS-Regeln haben die Form: α E 1 i1 E α i1,...,e m im E im α op(e 1,...,E n ) op(e 1,...,E n) wobei op ein Operationssymbol; i 1,...,i m {1,...,n} und E i E i für alle anderen i Grobe Termstruktur bleibt erhalten dynamisch: Präfix, Auswahl, Namen (0-stellige Operationen) verschwinden beim Ausführen einer Aktion 3.1 Dynamische Gesetze Satz 3.1 (Monoid-Gesetze). ( P rozesse P, Q, R) (i) P +Q = Q+P (ii) (P +Q)+R = P +(Q+R) (iii) P +P = P (Idempotenz) (iv) P +Nil = P (neutrales Element) Beweisidee. gleiche direkte Folgen Wegen i), ii) und iv) istσ-summe sinnvoll. Satz 3.2 (τ-gesetze). (i) α.τ.p = α.p (ii) P +τ.p = τ.p (iii) α.(p +τ.q)+α.q = α.(p +τ.q) Korollar 3.3. P +τ.(p +Q) = τ.(p +Q) Beweis. Einschub. Was ist ein Beweis für P = Q? Genaugenommen sindp,q,... inp +Q = Q+P,... Variable. Eine Gleichung ist also ein Paar (E 1,E 2 ) E E.

20 3 GLEICHUNGSGESETZE 20 Definition 3.4. Gegeben sei eine Menge G von Gleichungen. Dann ist ein Beweis von F 1 = F 2 eine Herleitung mit folgenden Regeln: E = E reflexiv E = E E = E symmetrisch 3. E = E, E = E E = E transitiv E 1 = E 1,...,E n = E n op(e 1,...,E n ) = op(e 1 (op: Operationssymbol),...,E n ) Substitution Ein Term darf in jedem Kontext durch einen gleichen ersetzt werden. E = E E{Ẽ/ X} = E {Ẽ/ X} ({Ẽ/ X} eine Substitution) E = E falls (E,E ) G Instantiierung von Variablen Beachte: {Ẽ/ X} ist kein CCS-Operator. 4. läßt die Grobstruktur gleich; 5. verändert sie. Beispiel. P +τ.p = τ.p (6) τ.p = P +τ.p (2) (1) (5) P = P τ.(p +Q) = (P +Q)+τ.(P +Q) P +τ.(p +Q) = P +((P +Q)+τ.(P +Q)) (4) Folgerung. Wegen muss = eine Äquivalenzrelation sein. Wegen 4. sogar eine Kongruenz; vgl. z.b. Satz Im allgemeinen ist τ.p P, s.o. α.(p +Q)? = α.p +α.q (Entscheidung zwischen P und Q fällt bereits bei α) Dann wäre z.b. a.b 3.1(iv) = a.(b.0+0) = a.b.0+a.0 a.b und a.b+a haben dieselben Aktionsfolgen, abera.b+a a Also im Allgemeinem. 0 verklemmt, a.b a b nicht. Nun zua P. Oft trittainp auf, d.h.p E{ A / X }, wobeie genau die VariableX enthält. Wir erwarten: Da A E{ A / X }, gilt A = E{ A / X }, d.h. A löst die Gleichung X = E. Ferner wäre es gut, wenn A die einzige Lösung wäre, d.h. Q = E{ Q / X } A = Q. Beides soll auch bei verschränkter Rekursion gelten, d.h. für Gleichungssysteme X = Ẽ. Dabei ist P eine Lösung, wenn P = Ẽ{ P/ X}, d.h.

21 3 GLEICHUNGSGESETZE 21 Definition 3.5. Sei E E. X ist sequentiell in E, falls jeder Teilausdruck F von E, der X enthält, die Form F X oder F F 1 +F 2 oder F α.f hat. X ist bewacht (guarded) in E, wenn jedes Auftreten von X in E in einem Teilausdruck l.f, l L (also l τ), liegt. Beispiele. X inτ.x +a.(b+x)+b c X ina.x b X inτ.(a b+b.(c+τ.x)) Satz 3.6. (i) Wenn A P, dann gilt A = P. (ii) Falls die E i, i I, nur die Variablen X i, i I, enthalten und diese bewacht und sequentiell in allen E i sind, dann gilt: Wenn P = Ẽ{ P/ X} und Q = Ẽ{ Q/ X}, dann P = Q. (Wenn das Gleichungssystem X = Ẽ lösbar, dann eindeutig.) Beispiel. A a.a,b a.a.b Behauptung: A = B 3.2 Statische Gesetze Satz 3.7. (i) P Q = Q P (ii) P (Q R) = (P Q) R (iii) P 0 = P Satz 3.8. (i) P \L = P, falls L(P) (L L) = (wobei L(P) syntaktische Sorte von P ist) (ii) P \K \L = P \ (iii) P[f]\L = P \ [f] (iv) (P Q)\L = P \L Q\L, falls (sonst verlieren P, Q eventuell Kommunikationsmöglichkeiten)

22 3 GLEICHUNGSGESETZE 22 Satz 3.9. (i) P[id] = P (ii) P[f] = P[f ], falls f L(P) = f L(P) (iii) P[f][f ] = (iv) (P Q)[f] = P[f] Q[f], falls (sonst gewinnen P, Q eventuell Kommunikationsmöglichkeiten; kann z.b. P a und Q b ausführen, so können für f = a / b P[f] und Q[f] mittels a und a kommunizieren) Die Umbenennung ist meist injektiv. Speziell in P[ l 1 /l1,..., l n /ln ] sind meist alle l i, l i, l i, l i verschieden und l i, l i L(P). (D.h. f(l i) = l i = f(l i ) schadet nicht!). Dann ist 3.9 (iv) anwendbar und ( l 1 /l1,..., l n / ln ) = ( l n/ ln )... ( l 1 /l1 ), (Gleichheit von Funktionen, Funktionskomposition) d.h. P[ l 1 /l1,..., l n /ln ] = P[ l 1 /l1 ]...[ l n /ln ] nach Satz 3.9 (iii). Korollar Seien a,b,c L. (entgegen sonstiger Konvention, dass l L und a,b,c bzw. a,b,c Act; zur Erinnerung: τ L) (i) P[ b / a ] = P, falls a,a, L(P) (ii) P \a = P[ b / a ]\b, falls b,b L(P) (α-konversion: Umbenennung gebundener Größen) (iii) P \a[ b / c ] = P[ b / c ]\a, falls {b,c} {a,a} =. Beweis. (i) P[ b / a ] 3.9(ii) = P[id] 3.9(i) = P (ii) P[ b / a ]\b = P \{a,b} [ b / a ] (3.8 (iii) mitl = {b}, f = ( b / a )) = P \b\a [ b / a ] (3.8 (ii)) = P \a [ b / a ] (3.8 (i) mitl = {b}) = P \a (3.10 (i)) (iii) 3.8 (iii) mitl = {a}, f = ( b / c ). Beispiel. C C C C C := (C[ mid / out ] C[ mid / in ])\mid, wobei mid,mid L(C) Dies ist ein Beispiel für die Standard Concurrent Form (SCF) (P 1 [f 1 ]... P n [f n ])\L siehe auch Fließband (Abschnitt 1.2.5): (Jobber Jobber Sem[ puth / put, geth / get ]... )\{geth,puth,...}