Vorkurs zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Vorkurs zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Univ. Prof. Dr. W. Krumbholz Univ. Prof. Dr. W. Seidel Dr. R. Eichwede Dr. R. Hinst Herbsttrimester unveränderte Auflage

2 Fakultät für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Fächergruppe Mathematik/Statistik Helmut-Schmidt-Universität Universität der Bundeswehr Hamburg Holstenhofweg Hamburg Telefon: 040/ (Dr. Martin Schäfer) oder -6 (Dipl.-Math. Miriam Seifert) BwKz: oder -6 WWW: Danksagung: Wir möchten uns herzlich bei Yvonne Schmitz (Köllner), Petra Maaß und Hana Ševčíková für das Schreiben des Manuskriptes und das Erstellen der Graphiken bedanken.

3 Inhaltsverzeichnis Grundlagen der Mengenlehre. Der Begriff der Menge und ihre Darstellungsformen Grundlegende Mengenoperationen Die Zahlenmengen 7. Die natürlichen Zahlen IN Die ganzen Zahlen Z Die rationalen Zahlen QI Die reellen Zahlen IR Bruchrechnung 4 Rechnen mit reellen Zahlen 5 4. Grundlegende Rechenregeln Abgeleitete Rechenregeln Die Faktorzerlegung einer Summe Lineare Gleichungen 6 Lineare Ungleichungen und Beträge 9 6. Ungleichungen Das Lösen von Ungleichungen Beträge Quadratische Gleichungen und Ungleichungen 4 7. Das Quadrieren und die Quadratwurzel Die reinquadratischen Gleichungen und Ungleichungen Die gemischtquadratische Gleichungen Der Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Lösungen Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Biquadratische Gleichungen Quadratische Ungleichungen Lösungsweg: Lösung mit Hilfe der Linearfaktoren Lösungsweg: Lösung mit Hilfe von Beträgen Lösungsweg: Graphische Lösung i

4 Inhaltsverzeichnis 8 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die n-te Wurzel Potenzen mit rationalen Exponenten Das Lösen von Potenzgleichungen Das Logarithmische Rechnen Der Logarithmus Rechenregeln für Logarithmen Das Lösen von Exponentialgleichungen Summen- und Produktzeichen 7 0. Das Summenzeichen Doppelsummen Das Produktzeichen Die Fakultät Funktionen 8. Grundbegriffe Graphische Darstellung von Funktionen Elementare Funktionen und ihre Graphen Polynome oder ganz-rationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Weitere elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Nullstellen Beschränktheit und Monotonie Differentialrechnung Der Begriff und die Bedeutung der Ableitung Die Berechnung der Ableitung Lösungen 5 Index 6 Literatur 7 ii

5 Inhaltsverzeichnis iii

6 Grundlagen der Mengenlehre Das Kapitel wird bewusst sehr kurz gehalten, da die Mengenlehre nur Mittel zum Zweck ist. Sie sollen am Ende die wesentlichen Mengenoperationen kennen und diese anwenden können. Dazu sind jedoch einige Definitionen notwendig.. Der Begriff der Menge und ihre Darstellungsformen Mit Hilfe der Mengenlehre können umfangreiche und komplizierte Problemstellungen und deren Lösungen kompakt und übersichtlich dargestellt werden. Die Definitionen gehen auf den deutschen Mathematiker Georg Cantor ( 845, 98) zurück. Was ist eine Menge? Definition. Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung von bestimmten unterscheidbaren Objekten (Dingen). Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststellbar sein, ob es zur entsprechenden Menge gehört oder nicht. Die einzelnen Objekte, aus denen sich eine Menge zusammensetzt, heißen Elemente dieser Menge. Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet : z.b. A, B, C,..., X, Y, Z, A, A,... Elemente werden i.a. mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet : z.b. a, b, c,..., x, y, z, a, a,... Ist ein Element a in einer Menge A enthalten, so schreiben wir: a A. Ist a jedoch nicht in A, so schreiben wir: a A.

7 Grundlagen der Mengenlehre Wie stellen wir Mengen dar?. Beschreibende Darstellung: Beispiel. (Beispiel für beschreibende Mengendarstellungen) A = Menge, der am an der UniBwH immatrikulierten Studenten. B = Menge aller LKW mit Hamburger Kennzeichen.. Aufzählende Darstellung: Beispiel. (Beispiel für aufzählende Mengendarstellungen) G = {, 4, 6} U = {,, 5, 7,...} (Menge aller geraden Zahlen eines Würfels.) (Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen.). Angabe einer charakterisierenden Eigenschaft: siehe Abschnitt, Aufgabe. 4. VENN Diagramme: A A = {,, 6, 7, 9, 0} B = {,, } Abbildung.: Beispiel für VENN Diagramm. B Zwei Spezialfälle gilt es noch zu nennen, die leere Menge und die Grundmenge: Definition. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit Ø oder { } bezeichnet. Die Grundmenge G enthält alle betrachteten Elemente. Beispiel. A sei die Menge der Zahlen kleiner als 0.. In der Grundmenge der natürlichen Zahlen IN ist A = {,,..., 9}.. In der Grundmenge der ganzen Zahlen Z ist A = {..., 4,,,, 0,,,..., 9}. Obacht: {Ø} bezeichnet eine Menge, die die leere Menge enthält. Diese Menge ist also nicht leer!

8 . Grundlegende Mengenoperationen. Grundlegende Mengenoperationen In diesem Kapitel sollen grundlegende Mengenoperationen dargestellt werden: Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen A und B sind gleich, falls beide Mengen aus genau denselben Elementen bestehen, wenn also jedes Element von A auch in B und jedes Element von B auch in A enthalten ist: A = B (a A a B) (b B b A). Bemerkung.: Das mathematische Zeichen ist eine Abkürzung des lat. vel und steht für das logische oder. Äquivalent dazu bedeutet das Zeichen das logische und. Beispiel.4 Hier gilt A = B: 9 0 A Abbildung.: Beispiel für die Gleichheit von Mengen. B Teilmengen: A heißt Teilmenge von B (A B), wenn A in B enthalten ist, d. h., falls jedes Element der Menge A auch in der Menge B ist: A B (a A a B). Beispiel.5 Sei X = Menge aller Städte in Bayern, Y = Menge aller Städte in Europa, Z = Menge aller Städte in Frankreich. Es gilt: X Y, Z Y, X Z. Durchschnitt: Der Durchschnitt (Schnittmenge) A B (lies: A geschnitten B) ist die Menge derjenigen Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind: A B = {x (x A) (x B)}. (lies: {alle x, für die gilt: x in A und x in B}.)

9 Grundlagen der Mengenlehre A B A B A B A B = {} A und B disjunkt oder elementfremd Abbildung.: Beispiele für den Durchschnitt von Mengen. Vereinigung: Die Vereinigung A B (lies: A vereinigt B) der Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die zumindest einer der beiden Mengen angehören, also den Elementen, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören: A B = {x (x A) (x B)}. (lies: {alle x, für die gilt: x in A oder x in B}.) A B A A B A B B Abbildung.4: Beispiele für die Vereinigung von Mengen. Differenzmenge: Die Differenzmenge B \ A (lies: B ohne A) besteht aus denjenigen Elementen, die zu B aber nicht zu A gehören: B \ A = {x (x B) (x A)}. (lies: {alle x, für die gilt: x in B und x nicht in A}.) A B A B A = B \ A B \ A Abbildung.5: Beispiele für die Differenzmenge. Komplementärmenge: Falls A eine Teilmenge von B ist, besteht die Komplementärmenge/das Komplement A von A bezüglich B aus denjenigen Elementen, die zu B aber nicht zu A gehören. 4

10 A. Grundlegende Mengenoperationen A B A = B \ A A = G \ A Abbildung.6: Beispiele für die Komplementärmenge. G Die De Morganschen Regeln: Gegeben sei eine Grundmenge G sowie zwei Mengen A, B mit A G, B G. Es sei A bzw. B Komplement von A bzw. B bezüglich G. Dann gilt: A B = A B A B = A B De Morgansche Regeln Die folgenden Graphiken dienen zur Illustration der De Morganschen Gesetze. A B A B G A B A B G Abbildung.7: Zur Veranschaulichung von A B = A B. A B A B G A B A B G Abbildung.8: Zur Veranschaulichung von A B = A B. 5

11 Grundlagen der Mengenlehre Aufgaben zu Abschnitt. Durch welche charakteristischen Eigenschaften können die folgenden Mengen beschrieben werden? a.) A = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6,...} b.) B = {, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64,...} c.) C = {, 4, 8, 6,, 64, 8,...}. Gegeben sind die folgenden Mengen: A = { 4 ; 5 ; 8; 9 4 ; 4 } B = { ; 8 6 ; 5; 8 6 ;, 75} C = { 9 4 ; 5 56 ; 50 7 } D = { x x und y sind natürliche Zahlen } y Prüfen Sie, ob folgende Aussagen stimmen: a.) A = B b.) C D c.) A D. Gegeben sind die Mengen: A = {,, 5, a, q} B = {, 4, 6, b, p} C = {5, 6, a, b, q, p} Geben Sie die folgenden Mengen an: a.) A B d.) A \ C g.) C \ B b.) A B e.) B \ C h.) C \ (A B) c.) A \ B f.) C \ A i.) C \ (A B) 4. Gegeben seien die Grundmenge G G = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, sowie die Mengen A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, B = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0}, C = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Bestimmen Sie die folgenden Mengen: a.) A B c.) C \ A B e.) A ( B ) b.) A B d.) A B f.) C \ A B 6

12 Die Zahlenmengen In diesem Abschnitt werden verschiedene Zahlenbereiche behandelt. Ausgangspunkt sind die natürlichen Zahlen. Diese Menge weiten wir sukzessive aus, bis wir zu den reellen Zahlen gelangen.. Die natürlichen Zahlen IN Welche Zahlen werden beim Zählen von irgendwelchen Dingen benutzt? Wie heißen diese Zahlen? Zum Zählen irgendwelcher Dinge benutzen wir die natürlichen Zahlen IN, mit IN = {,,, 4,...}. Die natürlichen Zahlen bilden die Grundlage der gesamten Zahlenlehre. Beim Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen ergeben sich stets wieder natürliche Zahlen. Beim Subtrahieren natürlicher Zahlen ergibt sich nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Sind Minuend und Subtrahend gleich, so ist das Ergebnis Null: a a = 0 IN. - IN hat unendlich viele Elemente. - IN ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation, d.h. die Summe bzw. das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl Abbildung.: Veranschaulichung von IN auf dem Zahlenstrahl.. Die ganzen Zahlen ZZ Beispiel. (Negative Zahlen) Ein Geschäftsmann besitzt bei der Bank ein Guthaben von 400 DM. Er nimmt ein Darlehen von 6000 DM auf. Wie ist jetzt seine Vermögenslage bei der Bank? 7

13 Die Zahlenmengen In diesem Fall ist eine Subtraktion auszuführen, bei der der Subtrahend größer als der Minuend ist. Die Zahlen, von denen wir ausgehen und die Zahl, zu der wir gelangen, unterscheiden sich durch die zusätzliche Bezeichnung vor dem Resultat:,,, 4,.... Dies führt auf die ganzen Zahlen Z = {0, ±, ±, ±,...}. - Z hat unendlich viele Elemente. - Z ist abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation und Subtraktion. - IN Z. 0 4 Abbildung.: Veranschaulichung von Z auf dem Zahlenstrahl.. Die rationalen Zahlen QI Beim Dividieren zweier ganzer Zahlen ergibt sich nur dann wieder eine ganze Zahl, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Andernfalls erhalten wir eine rationale Zahl. Rationale Zahlen können mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden, bei denen im Zähler und im Nenner je eine ganze Zahl steht. Besteht der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur aus Produkten der Primfaktoren und 5, so ergibt sich eine endliche Dezimalzahl: 4 = 0, 75; 4 5 = 0, 8; 7 0 =, 5. Andernfalls erhalten wir eine sogenannte unendliche periodische Dezimalzahl: = 0, = 0, 6; 7 8 = 0, 8; 5 7 =, Umgekehrt lassen sich endliche und unendliche periodische Dezimalzahlen in Brüche verwandeln. - QI hat unendlich viele Elemente. - QI ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division. - IN Z QI..4 Die reellen Zahlen IR Die reellen Zahlen IR erweitern die rationalen Zahlen durch unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Solche Zahlen sind z.b., 5, π. Alle auf der Zahlengerade darstellbaren Zahlen heißen reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit IR. Eine reelle Zahl, welche nicht rational ist, d.h. eine Zahl, die sich nicht als Bruch ausdrücken lässt, heißt irrational. 8

14 .4 Die reellen Zahlen IR Beispiel. (Beweis, daß eine irrationale Zahl ist) Wir zeigen die Behauptung ( IR, QI ) mit Hilfe eines indirekten Beweises: Annahme: QI Es gibt zwei natürliche Zahlen p, q, welche teilerfremd sind, mit = p q quadrieren = p q q q = p p ist eine gerade Zahl und damit muss auch p gerade sein! Es gibt also ein r IN mit p = r. Quadrieren ergibt p = 4 r. Hieraus erhalten wir mit p = q : q = 4r q = r. Damit ist auch q eine gerade Zahl und der Bruch p q kann durch gekürzt werden. Dies ist nach Voraussetzung nicht möglich. Durch diesen Widerspruch muss die Annahme QI falsch sein! IR\QI. Bemerkung.: Wir vereinbaren, dass die Menge IR + alle reellen Zahlen enthält, die echt größer als Null sind, d.h. IR + = {x IR x > 0}. IR definieren wir als: IR = {x IR x < 0}. Als Fazit diese Abschnittes halten wir fest: - IR hat unendlich viele Elemente. - IR ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division. Betrachten wir nun alle vorgestellten Zahlenmengen, so ist zu folgern, daß die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen sind. Diese sind ihrerseits wiederum eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Letztere ergeben vereinigt mit den irrationalen Zahlen die reellen Zahlen. Das nachfolgende Bild veranschaulicht diesen Zusammenhang: 9

15 Die Zahlenmengen π e e 7 5 QI 0-7 IN 0 ZZ IR Abbildung.: Veranschaulichung der Zahlenmengen mit einigen Zahlenbeispielen. Wie sollten Sie weiter vorgehen? Im folgenden soll es darum gehen, verlorengegangene und/oder nicht erlernte Fähigkeiten aufzufrischen bzw. nachzuarbeiten. Wir beginnen dabei mit der Bruchrechnung und dem Rechnen mit reellen Zahlen, was natürlich sehr leicht ist, aber sicher beherrscht werden sollte, um die folgenden Kapitel bearbeiten zu können. Rechnen Sie daher einige der Aufgaben zu den drei nachfolgenden Abschnitten (am besten die drei bis vier letzten von jedem Aufgabentyp) und prüfen Sie sich selbst. Wenn Sie sehr unsicher waren oder mehrere Fehler gemacht haben, dann arbeiten Sie die entsprechenden Passagen nach. Wenn nicht dann geht es danach weiter mit Kapitel 6. 0

16 Bruchrechnung Der allgemeine Bruch a b, wenn a und b beliebige reelle Zahlen sind (b 0), ist eine andere Schreibweise des allgemeinen Quotienten a : b. Dabei bezeichnen wir a als Zähler bzw. Dividend und b als Nenner bzw. Divisor. Folgende Regeln der Bruchrechnung sind seit Adam Ries (ca 6. Jhd.) bekannt: Erweitern und Kürzen Beispiel. (Kürzen) 56 = = 8 ; a b a b = a b b a b a = b a ; ax + bx a + b (a + b)x = (a + b) = x ; ab + ac a(b + c) = ad + ae a(d + e) = b + c d + e. Einen Bruch zu kürzen, bedeutet, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Brüche können aber nur dann gekürzt werden, wenn:. Zähler und Nenner sich je in ein Produkt verwandeln lassen!. Diese Produkte gemeinsame Faktoren haben! Obacht: Falls im Zähler und im Nenner Summen stehen, können gemeinsame Faktoren ausgeklammert werden, durch die dann gekürzt wird (siehe Beispiel., 4. Gleichung). Denn: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Beispiel. (Erweitern) 5 = 5 = 6 5 ; 7 6 = = Einen Bruch zu erweitern, bedeutet, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.

17 Bruchrechnung Addition und Subtraktion von Brüchen Zwei oder mehrere Brüche heißen gleichnamig, wenn diese den gleichen Nenner besitzen. Beispiel. (Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen) = = 9 ; a 5 b 5 + c 5 = a b + c ; 5 a d b d + c d = a b + c. d Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, in dem wir ihre Zähler addieren bzw. subtrahieren und dem Ergebnis den gemeinsamen Nenner geben. Betrachten wir in einem nächsten Schritt ungleichnamige Brüche, d.h. Brüche, die unterschiedliche Nenner besitzen: Beispiel.4 (Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen) = = = 9 6 = ; p q = q p q p q p = q p q p. Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig gemacht. Dazu erweitern wir diese auf den gemeinsamen Hauptnenner. Dieser ist das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Nenner. Beispiel.5 (Hauptnenner) = = + 0 =.. a + b + a b (a b) (a + b) = + (a + b)(a b) (a b)(a + b) (a b) + (a + b) = (a b)(a + b) = a (a + b)(a b). Multiplikation und Division von Brüchen Beispiel.6 (Multiplikation von mehreren Brüchen) = = 5 8 ; x y u v = x u y v ; = 60 5 = = 4 5.

18 Brüche werden multipliziert, indem wir das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividieren (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner). Beispiel.7 (Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl) 4 5 = 4 5 = 5 4 ; a b c = a c b. Brüche werden mit einer Zahl bzw. einer Unbekannten multipliziert, indem der Zähler mit dieser Zahl bzw. Unbekannten multipliziert wird. Beispiel.8 (Division von Brüchen).. : 4 5 = 4 5 x y : u x v = y u v = 5 4 = 0 = 5 6 = 5 6 ; = x y v u = x v y u. Statt durch einen Bruch zu dividieren, wird mit seinem Kehrwert (hier: Kehrwert von 4 5 bzw. u v lautet 5 4 bzw. v u ) multipliziert. Aus dem. Teil von Beispiel.8 lassen sich auch zwei Sonderfälle ableiten: Für y = erhalten wir: x : u v = ( x u v ) = x v u = x v ( x ) x Für v = erhalten wir: y : u = y u = x y u = x u. y u. Aufgaben zu Abschnitt. Kürzen Sie möglichst vollständig: a.) 4 64 f.) b.) c.) d.) e.) 76a 57b g.) s 5 h.) py qy ry+ty l.) (g+)(g+5) x g+5 q.) +x 6 7 x 6ax 4ay a 0v 9bx 6by m.) r.) 45uv a +a 8 5v u g h h g n.) y 4y y +y s.) py qy+ry pz+rz qz 5ac p 5bc i.) pq u o.) +7u+ 6m+6n q pq u+ t.) 9m+9n 60xy 6m 5n k k.) 78x 0n 4m p.) k 0k m u.) rs 5 k +5k 85n s t 4

19 Bruchrechnung. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und kürzen Sie vollständig: a.) f.) a a 5 l.) 5x 6g + 5x 6 9g b.) 0 x + 8 x + 5 x g.) a b a b 5a 4b a b m.) a b + z + b a c.) d.) e.) x+y + x y a h.) a 8a b n.) a+b 5a+9b a+b + 0a+5b a+b e+f e f i.) a+b + a b 4 o.) a a b c c d b a+b d x c d k.) 5 x 6 x 0 + x c 0 p.) 5 ab 9abc + b 8ac. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: 7 a.) 9 7 x 8 f.) 6xy yz l.) 6y z 55x r : r b.) 5 9 g.) x yz y xz m.) 9a 8b : a c.) d.) e.) x y w s v h.) 8p 0qr 7ps 6s 4p r a 5r 9qs n.) b b c c a r s s x y x+y y x y+x 8 t i.) 5 : r o.) ( ) ( ) k.) a b : x y : b y a x p.) s : s t a c ( x : a y 4. Vereinfachen Sie (das Ergebnis sollte ein Bruch sein): ( ) ( ) ) a.) a 4x b x + c 4x x a 4b+8c c.) a + b a (b a b ( ) ( ) ( ) b.) 5ax by + 6bx 8x ay : y d.) x yz + y xz z xy z : x y z + 7a b c ) 4

20 4 Rechnen mit reellen Zahlen 4. Grundlegende Rechenregeln 4 Beispiel 4. (Umstellen) Vergleichen Sie die Summen + 7 und 7 + bzw. die Produkte und. Die beiden Summen bzw. die beiden Produkte ergeben jeweils dasselbe Resultat. Es ist also gleich, in welcher Reihenfolge wir die Summanden einer Summe addieren bzw. die Faktoren eines Produktes miteinander multiplizieren. Für eine Summe gilt: a + b = b + a. Für ein Produkt gilt: a b = b a. Diese Regel heißt Kommutativgesetz. Das Kommutativgesetz kann auch auf Summen bzw. Produkte mit mehr als zwei Summanden bzw. Faktoren angewendet werden. Dabei dürfen die Summanden bzw. Faktoren beliebig umgestellt werden. Beispiel 4. (Vertauschen von Klammern) Berechnen Sie + (5 + 8) und ( + 5) + 8 bzw. (5 7) und ( 5) 7. Die Klammern geben an, welcher Ausdruck zuerst berechnet werden sollte. Es macht hier jedoch keinen Unterschied, welcher Ausdruck zunächst berechnet wird. Daher: Für eine Summe gilt: Für ein Produkt gilt: (a + b) + c = a + (b + c). (a b) c = a (b c). Diese Regel heißt Assoziativgesetz, und sie besagt, dass in einer Summe bzw. einem Produkt die Summanden bzw. Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden dürfen. 5

21 4 Rechnen mit reellen Zahlen Beispiel 4. (Zusammenfassen von Summanden) Um die Summe möglichst leicht zu berechnen, stellen wir sie um: (4 + 8) }{{} + (4 + 9) }{{} + (6 + 4) }{{} = = = 88. Beispiel 4.4 (Multiplizieren einer Summe mit einem Faktor) Berechnen Sie: (5 + 9) und ( 5) + 9. Die beiden Ergebnisse sind nicht identisch, die Klammern dürfen hier also nicht vertauscht werden. Sie zeigen in diesem Beispiel an, daß die Summe vor der Multiplikation zu berechnen ist. (5 + 9) = 4 = 7. Es geht aber auch anders. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir: (5 + 9) = = = 7. Die hier angewandte Regel heißt Distributivgesetz und kann allgemein geschrieben werden als: (a + b) c = (a c) + (b c). Beispiel 4.5 (Verallgemeinerung des Distributivgesetzes) (a + a a n ) k =(a k) + (a k) (a n k). Die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung können auch weggelassen werden, da Punktrechnung vor Strichrechnung geht. Alle Regeln wurden nur für Addition und Multiplikation eingeführt. Dies genügt auch, da die Subtraktion als Addition eines negativen Wertes und die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert aufgefasst werden kann: Beispiel 4.6 (Erweiterung der Regeln) a b = a + ( b) = ( b) + a. a : b = a b = b a. (b 0) (a b) : c = (a + ( b)) c = a c + c ( b) = a : c b : c. (c 0) 6

22 4. Abgeleitete Rechenregeln 4. Abgeleitete Rechenregeln Zunächst erfolgt ein kleiner Exkurs, mit dessen Hilfe danach Spezialfälle des Distributivgesetzes erläutert werden: Vorzeichenregeln: Ein Produkt a b ist positiv, wenn a und b positiv oder a und b negativ sind. Das Produkt ist negativ, wenn genau einer der beiden Faktoren negativ ist, also entweder a negativ und b positiv oder a positiv und b negativ. Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Für das Distributivgesetz folgt somit beispielsweise: 4 Beispiel 4.7 (Vorzeichen ()) v (a + b c) = v a + v b v c Sei v = : a + b c = a + b c. Sei v = ( ) : ( ) a + ( ) b ( ) c = a b+c. Beispiel 4.8 (Vorzeichen ()). 6 + ( + 8) = 6 + { + 8 = = 5. 4 (6) =.. 4 ( ) = =. Besteht also ein Summand aus einer Klammer, vor der ein + steht, so kann die Klammer ohne Vorzeichenänderung weggelassen werden. Lassen wir die Klammer nach einem -Zeichen weg, so müssen alle Vorzeichen in der Klammer vertauscht werden. Entsprechendes ist auch, beim Setzen von Klammern zu beachten: Beispiel 4.9 (Setzen von Klammern) = ( ) ( + + 6) = 0 = = (8 + ) ( ) = 00 = 79. Natürlich kann der Faktor vor der Klammer auch ungleich sein: 7

23 4 Rechnen mit reellen Zahlen Beispiel 4.0 (Distributivgesetz) 5(a + b + c) = 5a + 5b + 5c. ( 4)(a b c) = 4a + 4b + 8c. Eine beliebige Zahl wird also mit einer in einer Klammer stehenden Summe multipliziert, in dem diese Zahl unter Beachtung der Vorzeichenregeln mit jedem Summanden multipliziert wird und die entsprechenden Produkte mit den resultierenden Vorzeichen aufaddiert werden. Der umgekehrte Vorgang heißt Ausklammern. Dabei werden in einer Summe von Produkten gleiche Faktoren zusammengefasst und vor die Klammer geschrieben: Beispiel 4. (Ausklammern ()) a + 4a + 9a + 5a = a( ) = 0a. 6xyz + 8axy fxy = xy(z + 4a 6f). Mit Hilfe des Distributivgesetzes ergibt sich auch das Produkt zweier Summen, indem wir die erste Summe als Zahl auffassen und diese dann, wie bisher, mit der zweiten Summe multiplizieren (siehe Beispiel 4. ( )). Danach muß das Distributivgesetz allerdings noch einmal angewandt werden (siehe Beispiel 4. ( )): Beispiel 4. (Ausmultiplizieren ()) (a + 4)(b + ) ( ) = (a + 4)b + (a + 4) ( ) = ab + 4b + a + 8. Wir multiplizieren also zwei Summen miteinander, indem wir jedes Glied der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe multiplizieren (Achtung Vorzeichen!) und die entstehenden Teilprodukte addieren: Beispiel 4. (Ausmultiplizieren ()) { }} { { }} { ( a + b)(c d) = ac + a ( d) + bc + b ( d) = ac ad + bc bd. (g h)(h +) }{{} = g h + g + ( h) h h = h h + g h + g. }{{ } 4 (a + b)(c + d)(e + f) = (ac + ad + bc + bd)(e + f) = ace + ade + bce + bde + acf + adf + bcf + bdf. 8

24 4. Abgeleitete Rechenregeln Auch hier ist in vielen Rechnungen die umgekehrte Richtung von Interesse. Dabei werden Terme, die identisch sind, ausgeklammert: Beispiel 4.4 (Ausklammern ()) (Terme, die ausgeklammert werden, sind unterstrichen.). ac + ad bc bd = a(c + d) b(c + d) = (a b)(c + d).. 0xu + 6xw 5yu 9yw = x(5u + w) y(5u + w) = (x y)(5u + w).. i + ik + k = i + ik + ik + k = i(i + k) + k(i + k) = (i + k)(i + k). Das letzte Beispiel leitet über zu wichtigen Spezialfällen. Sind nämlich die beiden Klammerausdrücke, die multipliziert werden sollen, identisch, dann ergeben sich die. und die. Binomische Formel: 4 (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + b.. Binomische Formel (a b) = (a b)(a b) = a ab + b.. Binomische Formel Die. Binomische Formel bezieht sich auf einen etwas anderen Fall: (a + b)(a b) = a + ab ab b = a b.. Binomische Formel Beispiel 4.5 (Anwendung der Binomischen Formeln). (u + 5) = u + u = u + 0u (j ) = j j + = j j +.. ( z)( + z) = 9 z. Zum Abschluß dieses Abschnitts soll noch auf Ausdrücke eingegangen werden, die von mehreren Klammern umgeben sind: Beispiel 4.6 (Ausdrücke mit mehreren Klammern). c (x (c + d)) = c (x c d) = c x + c + d = 4c x + d.. 4( (5x ) + 5x) = 4 4 (5x ) + 4 5x = 5 5x + + 0x = 76 40x.. 5a [(4a + b) (b a) 8a] = 5a [4a + b b + a 8a] = 5a [b a] = 6a b. 9

25 4 Rechnen mit reellen Zahlen An den Beispielen erkennen wir, dass zwei Strategien möglich sind: Von Innen nach Außen : Zunächst lösen wir die inneren Klammern auf, dann die nachfolgenden Äußeren. Von Außen nach Innen : Hier gehen wir genau entgegengesetzt vor: Wir fangen mit den äußeren Klammern an und arbeiten uns nach Innen vor. Obacht: Lösen Sie nur Klammern auf, die auch tatsächlich zusammengehören, d. h. zur Klammer, die als letztes aufgeht, gehört diejenige, die als erstes schließt. 4. Die Faktorzerlegung einer Summe Häufig ist es günstiger, eine Summe in ein Produkt zu zerlegen (z.b. bei der Bestimmung von Nullstellen). Diesen Vorgang nennen wir Faktorzerlegung. Dabei unterscheiden wir folgende Fälle:. Fall: Sämtliche Summanden der zu zerlegenden Summe enthalten einen gemein samen Faktor. Beispiel: 5abx 9b y + bz = b(5ax by + 4z).. Fall: Durch Zusammenfassen geeigneter Summanden lässt sich das Ausklammern gemeinsamer Faktoren mehrfach nacheinander wiederholen. Beispiel: pq qr p + r = q(p r) (p r) = (p r)(q ). (Siehe auch Beispiel 4.4).. Fall: Die Zerlegung ist mit Hilfe der drei Binomischen Formeln möglich. Beispiel: 6a + 4ab + 9b = (4a + b). 4. Fall: Treffen alle bisherigen Fälle nicht zu, so ist die Faktorzerlegung etwas umständlicher mit der Polynomdivision durchzuführen (siehe S. 95). Aufgaben zu Abschnitt 4. Multiplizieren Sie die folgenden Ausdrücke aus: a.) (8x + y)(x + 7y) k.) (, 6ax +, x)(, bx + 0, 8x) b.) (p + 5q)(x + 4y) l.) ( )(m + n)(m + n) c.) (g + )(6h + 5) m.) (x + )(x + )(x + ) d.) (4a + a)(5a + 4) n.) (p q)(p + 4q)(x y) e.) (c + 6f )(7c + f ) o.) ( 5)(a + b)(x y)(x + y) f.) (0, g + 0, )(0, 6k + 0, ) p.) (f o)(t h) + f(t + h) g.) (f + v)(f v)f q.) (8a 5b)(u + v) + (a 4b)(u + v) h.) ( a)(a )(a + ) r.) (9a 4b)(c d) (a 5b)(c d) i.) 4(c )(c + ) s.) (8m + 8n)(s + r) m(s + r) 4n(s + r) 0

26 4. Die Faktorzerlegung einer Summe. Klammern Sie weitestmöglich aus: a.) ap + bp aq bq b.) x 0y + 5a y a x c.) 90mv 40mw + 5uv 60uw d.) 9c e 4c 9d e + 4d e.) 8a 5 4a b + 5a 4 b 0a b f.) bx by cx + y c g.) 0gw 80g 6hw + 48h h.) a a b + 7b 5 + 8a b i.) 6m x + 7m y 64x 8y k.) 75w l 4o l 500w lf + 96o lf l.) w l w y 4ilw + 4yiw 4yi + 4i l m.) 9u p 4u pq + 9m p 6u q + 4m pq + 6m q n.) 00a b + b c + 00b 5 + a c 60a bc 60b 4 c o.) 4p s 6p rs + 6q s + 6q r 4q rs + 9p r. Vereinfachen Sie: a.) b.) 4x [(a 4x) + (y + 7a) (98x + y)] [(6u 9v) u] [(u 8w) (u + 9v 7w)] c.) (9a a) + 4x [(4ax + x a) + 8a (ax x)] 9 d.) r [ 0 m ( r m)] [ 5 r + ( 6 m r)] e.) 65x 49y {z [8y (9z 5x)] + (5 y)} f.) 7, 5a + {, 4x [, b + (8, 5a, 7x) ( 5 4 a 6 5 x)]} g.) 5(u + (u v (u v)) + 4(u v) u) h.) (i 4(j i + (i j) + 5) k) 4

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28 5 Lineare Gleichungen Beispiel 5. (Lineare Gleichung ()) Gesucht ist die Lösung der Gleichung a) 5x 5 = b) p + 6 = 5 6 (Unbekannte isolieren) 5x = p = 5 6 (Zusammenfassen) 5x = 0 : 5 p = : (Division) x = 4. p = 6. 5 Gleichung a) wird also von x = 4 und Gleichung b) von p = 6 erfüllt. Um eine Gleichung zu lösen, wird solange umgeformt, bis die Unbekannte allein auf einer Seite steht. Dabei sind folgende Umformungen erlaubt:. Addition: In einer Gleichung dürfen zu beiden Seiten gleiche Zahlen/Terme addiert werden: Wenn a = a, dann gilt a + b = a + b. (Siehe Schritt Unbekannte isolieren in Beispiel 5. a).). Subtraktion: In einer Gleichung darf von beiden Seiten die gleiche Zahl abgezogen werden: Wenn a = a, dann gilt a b = a b. (Siehe Schritt Unbekannte isolieren in Beispiel 5. b).). Multiplikation: In einer Gleichung dürfen beide Seiten mit gleichen Termen (ungleich Null) multipliziert werden: Wenn a = a, dann gilt a b = a b. (Siehe Schritt Division in Beispiel 5. b).) 4. Division: In einer Gleichung dürfen beide Seiten durch gleiche Zahlen (ungleich Null) dividiert werden: Wenn a = a, dann gilt a : b = a : b. (Siehe Schritt Division in Beispiel 5. a).)

29 5 Lineare Gleichungen Beispiel 5. (Lineare Gleichung ()) 5 6 x + 5 ( 5 9 x = ) x = x = x = = Hier muss zunächst die Unbekannte zusammengefasst werden, um dann durch Multiplikation mit dem Kehrwert die Unbekannte auf der einen Seite der Gleichung zu isolieren. Beispiel 5. (Gleichung ohne Lösung) ( ) 4 x = (x + 4) (Auflösen der Klammer) 4x 6 = 4x x = 4x +. Diese Gleichung kann kein x erfüllen. Durch Subtraktion von 4x kann diese Gleichung in den Widerspruch 0 = überführt werden. Die Ausgangsgleichung hat also keine Lösung! Beispiel 5.4 (Gleichung mit unendlich vielen Lösungen) (x + ) + = 4 (x + ) (x 6) x = 4x + x + 6 x + 8 = x x = x x 0 = 0. Die Gleichungen * und ** sind identisch und für jedes beliebige x erfüllt. Somit ist jedes beliebige x IR eine Lösung der Ausgangsgleichung. Sie besitzt unendlich viele Lösungen. Beispiel 5.5 (Bruchgleichung ()) x 5 + = 7 x 5 (x 5) (Hauptnenner : x 5) + (x 5)=7 (Auflösen der Klammer) + x 0=7 + 7 (Isolieren) x=4 : (Herstellen der Form x =...) x=7. 4

30 Lineare Gleichungen können auch beim Lösen von Bruchgleichungen entstehen. Bei Bruchgleichungen machen wir in einem ersten Schritt zunächst den Nenner gleichnamig, d.h. wir suchen den gemeinsamen Hauptnenner und erweitern die einzelnen Brüche entsprechend. Danach gehen wir wie gehabt vor: Kochrezept:. Falls x im Nenner auftritt, wird die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.. Auflösen der Klammern.. Zusammenfassen gleichartiger Glieder. 4. Isolieren der Unbekannten auf der einen Seite der Gleichung, d.h. allgemeine Form : a x = b. 5. Division durch a ergibt : x = b a (a 0)! Es können folgende Fälle unterschieden werden:. Fall a 0, b beliebig Die Gleichung hat eine eindeutige Lösung!. Fall a = 0, b 0 Die Gleichung besitzt keine Lösung!. Fall a = 0, b = 0 Die Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen! 5 Obacht: In einer Bruchgleichung muss zum Abschluss geprüft werden, ob die Lösung überhaupt definiert ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn durch die Lösung keiner der Nenner Null wird. Dies führt zum Begriff des Definitionsbereiches (ID). Der Definitionsbereich ist die Menge, in der die Gleichung zulässig ist. Im Beispiel 5.5 ergibt sich für x = 5 im Nenner Null, somit muss x 5 für die Lösung der Gleichung sichergestellt werden. Der Definitionsbereich ergibt sich somit zu: ID = IR \ {5}. Beispiel 5.6 (Bruchgleichung ()) x + x+ = 6 x+ (x )(x+) + x (x+)(x ) = 6 x 9 (Hauptnenner : x 9) x 9 (x 9) x + + x = 6 x = 6 : x = 8 Der Definitionsbereich ist hier der Zahlenbereich, für den der Nenner ungleich Null ist, d.h. es müssen alle x ausgeschlossen werden, die im Nenner eine Null erzeugen: x 9 = (x )(x + ) = 0 x = x =. In diesem Fall erzeugen ± je eine Null, somit lautet der Definitionsbereich: ID = IR \ { ; +}. Da 8 ID ist, lautet die Lösung: IL = {8}. 5

31 5 Lineare Gleichungen Beispiel 5.7 (Bruchgleichung ()) Gesucht ist die Lösung der Gleichung 7 x 4 x 9 = x+ x(x 9)(x + ) Der Hauptnenner lautet x(x 9)(x + ). Daher wird hier mit ihm multipliziert: 7(x 9)(x + ) x (x + ) = 4x(x 9) 7x + x 756 x 6x = 4x 6x Nach dem Ausmultiplizieren und dem erneuten Zusammenfassen muss jetzt die Unbekannte auf einer Seite isoliert werden: 4x 5x 756 = 4x 6x 4x + 6x x = 756 : (Dividieren) x = 6 Bestimmung des Definitionsbereiches: Der Hauptnenner ist das Produkt x(x 9)(x + ). Dieses ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, also:. x = 0.. x 9 = 0 x = 9.. x + = 0 x =. Somit gilt: ID = IR \ { ; 0; 9}. Da 6 ID ist, ist dies eine Lösung der Gleichung! Zum Abschluss der Aufgabe empfiehlt es sich immer, eine Probe zu machen. Durch Einsetzen der Lösung ergibt sich hier: = = = 6 =. Das Ergebnis ist also richtig. 6

32 Aufgaben zu Abschnitt 5. Berechnen Sie den Wert der Variablen in folgenden Gleichungen: a.) 7(8e 5) = b.) (7 x) = (x + ) c.) 5(a + 7) = 9(a 5) d.) 8z + (z ) = 5z + 7 e.) 5 (6 8x) = (5x 6) f.) 6(5z ) 5(6z 5) = 4(9 z) + g.) 7(4f ) (6f ) = 9(f + ) 4(4f + ) h.) 0, 4(x, 5) + 0, (5x 8) =, 04 0, 5(4, 6 x) i.) (5q ) 5 (q + ) = (q + 8 ) 5 (q ) k.) (v + )(v + ) = (v )(v + 9) l.) 4(l + )(l ) + 0 = (l )(5l + ) (l 5)(l + ) m.) (5j + )(j 4) 9j( j) = (j + 6)(0 j) n.) (m + )(6m + ) ( m)(m ) = (4m 5)(m + ) o.) ( u )( u + 4 ) ( 6 u 4 )(u 9) + 4 = 0 5. Lösen Sie die Gleichungen unter Verwendung der Binomischen Formeln: a.) (e + 5) = (7 e) + 4 b.) (x ) + (x + ) = x c.) (a + 9) (a 5) = 8 d.) (z ) = (z 5 )(z + 5 ) (z + ) e.) (b + 8) (b 7)(b + 7) = (00 + b)(b ) + ( b) + f.) (g 4) 8g(g 4) = (g + 4) g.) (k + 6)(k 6) = (k ) h.) (c + 5) + (c ) = (c 7) + (c + 4) i.) (y 5) (y + )( y) = y(7y ) (y + 6) k.) (5r + 4)(5r 4) ( r) (r 8)(8r ) + 4 = 0 l.) (s + 4) + (s 6)(6 + s) = (46 + 7s)(s ) (7 s) m.) 5(6x + ) 4(7x 5) = (x 5)(70 8x) n.) ( x)(x + ) (x 5) = ( x + 4)(8x ) o.) (h + 4) = h

33 5 Lineare Gleichungen. Geben Sie ein Ergebnis für die jeweiligen Gleichungen an: a.) b.) 5(p 0,4) 5 = 9 h.) 0, 7(7p, 9) = (p 0,) 0, f 5 6 = 7+f i.) (v + 5) (4v 5) + 8 v = 0 c c 4 c.) 5+k 7 = 9 k 4 k.) 8r + 9r + r + 4r 7 = 0 d.) n n 5 4 = n n 9 l.) 4t t = t + 4 4t e.) f.) g.) (x+) 5 + x x 7 = 5 m.) w 0 w y+ y+ 4 = 4 y+ 4 q+ q = q+ 4 7q 5 o.) x 5 n.) 5 = x+5 5x = 0 w w + 6x 0,7,5z 4z,5,5z = 8, 7 4. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie den Definitionsbereich an: a.) 5 u+4 = l.),5x+, =,5x 0,8 b.) z+7 = 4 z+ m.) y+ + y 5 = y c.) t = 0 n.) 7 p 4 p+ p 9 = 0 d.) a+4 a 5 = 5 o.) o+ o = o (o+) e.) 5 c+ 0 c = 0 p.) 5 q 4 q+ = 5 q 4 f.) g g+ = 0 q.) e 9 e 0e+9 = 5 e 7 e 7 g.) h.) i.) k.) h 5h 4h +h+8 = 6i+7 4 r.) i+ 8i 5 i 4 = i 5i+77 6i +i w 7w+5 8w w+9 = 9 s.) x x 4x = 8 x +x v v = 0 t.) ( ) l +) ( +l) 4 5 f = 4 5 f+ u.) ( l ( l) + 6 = 0 (+ m) ( m) ( ) m ( +) = m Wie sollten Sie weiter vorgehen? Alle folgenden Kapitel dienen dazu, die in den vorangegangenen Abschnitten erlangten Kenntnisse an mehr oder weniger einfachen Problemen anzuwenden. Auch hier gilt, lösen Sie einige der zugehörigen Aufgaben und entscheiden Sie selbst, ob Sie das zugehörige Kapitel lesen müssen. Die nächsten beiden Abschnitte über Ungleichungen und Beträge sowie über quadratische Gleichungen und Ungleichungen sollten Sie aber unbedingt lesen und möglichst vollständig bearbeiten, da die Klausurergebnisse immer wieder zeigen, dass Sie hier größte Defizite haben. 8

34 6 Lineare Ungleichungen und Beträge Dieses Kapitel ist zweigeteilt. Zunächst befassen wir uns mit Ungleichungen. Dabei sollen vor allem die Rechenregeln für Ungleichungen erläutert werden. Danach wird erklärt, was ein Betrag ist und welche Eigenschaften dieser besitzt! 6. Ungleichungen Wenn a und b nicht gleich sind, schreiben wir a b. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder ist a größer als b (a > b), oder a ist kleiner als b (a < b). 6 Eine Verknüpfung von Zahlen oder Rechenausdrücken durch die Zeichen > oder < heißt Ungleichung. Es ist klar, dass a > a oder a < a unmöglich ist. Ebenso evident ist der folgende Grundsatz: Wenn a > b, ist b < a! Bemerkung 6.:. a > 0 bedeutet, dass a rechts von der Null auf dem Zahlenstrahl liegt. a heißt dann positiv. Im Fall von a < 0 heißt a negativ.. Für jedes a IR gilt genau eine der folgenden Beziehungen: a > 0 oder a = 0 oder a < 0! { }. Wenn a > 0 und b > 0 ist a + b > 0, d.h. die Summe bzw. das Produkt zweier positiver Zahlen ist wieder positiv. 4. Wenn a > b folgt a b > 0! 5. Die Beziehungen a b (a ist größer oder gleich b) besagt, dass a entweder größer als b oder gleich b ist. Also ist a nicht kleiner als b! Von den beiden Beziehungen a > b oder a = b kann höchstens eine richtig sein. Entsprechendes gilt für a b (a kleiner gleich b). Auch Verknüpfungen von Rechenausdrücken mit oder heißen Ungleichungen. Für den Umgang mit Ungleichungen gelten die folgenden, zum Teil aus Kapitel 5 bekannten Rechenregeln: 9

35 6 Lineare Ungleichungen und Beträge Rechenregeln für Ungleichungen:. Aus a < b b < c folgt: a < c.. Aus a < b folgt: a + c < b + c für beliebiges c.. Aus a < b folgt: a c < b c für beliebiges c > 0. a c > b c für beliebiges c < Aus 0 < a < b folgt: 0 < b < a. Aus 0 < a b folgt: 0 < b a. 5. Aus a 0 folgt: a a = a > 0, d.h. Quadrate sind stets größer oder gleich Null, aber nicht negativ. 6. Aus a > b und c > d folgt: a + c > b + d. (Statt < ist auch >, oder möglich.) Obacht: Auf die besondere Bedeutung der Regel muß noch einmal hingewiesen werden: Die Multiplikation mit negativen Zahlen dreht das Ungleichheitszeichen um. Beispiel 6. (Rechenregel) Aus < 5 und 5 < 9 folgt : < 9. Aus < 5 folgt : + 4 < < 9. Aus < 5 folgt : < 5 6 < 0. ( ) > 5 ( ) 6 > 0. Aus < 5 folgt : 5 < Abbildung 6.: Veranschaulichung von < a < 5 auf dem Zahlenstrahl. Mit < a < 5 sind alle Elemente des schwarzmarkierten Bereiches gemeint. Die Endpunkte bzw. 5 jedoch nicht! Wir schreiben daher auch: < a < 5 entspricht a (; 5). Die letzte Schreibweise heißt Intervallschreibweise. Die runden Klammern stehen für ein offenes Intervall. Dieses enthält die Endpunkte nicht. Im Gegensatz dazu beinhaltet ein abgeschlossenes Intervall die Endpunkte. Ein Intervall heißt: abgeschlossen: [a; b] = {x a x b}. offen: (a; b) = {x a < x < b}. halboffen: a.)rechtsseitig [a; b) = {x a x < b}. b.)linksseitig (a; b] = {x a < x b}. 0

36 6. Das Lösen von Ungleichungen Zweiseitig begrenzte Intervalle werden durch doppelte Ungleichungen beschrieben, einseitig begrenzte Intervalle dagegen nur durch eine einzige Ungleichung. Beispiel 6. (Intervallschreibweisen) {x x < a} = ( ; a), {x x a} = ( ; a], {x x a} = [a; + ), {x x > a} = (a; + ). 6. Das Lösen von Ungleichungen Für das Lösen von Ungleichungen stellen wir zwei Verfahren vor: Ein graphisch anschauliches und ein rechnerisches Verfahren. Beide sind äquivalent, dennoch ist der Zugang mit Hilfe der anschaulichen Vorgehensweise wohl intuitiver. Dazu benötigen wir an dieser Stelle jedoch schon den Funktionsbegriff, der Ihnen aber sicherlich aus der Schule bekannt ist. Sollten Sie damit Probleme haben, lesen Sie kurz die Abschnitte. und.. 6 Beispiel 6. (Lineare Ungleichung ()) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von: 5x 9 < x 5 x x 9 < x < 4 x < Das Ergebnis lautet also < x < und damit : IL = {x IR x < } = ( ; ). Die zweite Lösungsmöglichkeit ergibt sich, in dem wir beide Seiten der Ungleichung getrennt betrachten und als Funktionen auffassen. Diese können wir uns als Geraden in der x-y-ebene veranschaulichen (s. dazu auch Abschnitt.).

37 6 Lineare Ungleichungen und Beträge y 4 f f y s 6 0 Abbildung 6.: Graph der Funktion f (x) = 5x 9 und f (x) = x 5. x s S x Die zwei Gerade schneiden sich im Punkt S. Gesucht sind alle Werte x, für die die Gerade y = 5x 9 kleiner ist als die Gerade y = x 5. Diese Werte liegen links von der x-koordinate des Schnittpunktes. Wir müssen also nur die Schnittpunkte der Geraden berechnen und ein Intervall konstruieren, das alle x-werte links von x s erfaßt: 5x 9 = x 5 x = 4 x = Die x-koordinate des Schnittpunktes ist also x s =, somit lautet die Lösungsmenge: IL = {x IR x < } = ( ; ). Beispiel 6.4 (Lineare Ungleichung ()) ( ) x > (x ) ID = IR \ {}. Bei der Multiplikation mit (x ) ist zu beachten, dass dieser Ausdruck auch negative Werte annehmen kann, wenn x nur klein genug ist. Daher ist eine Fallunterscheidung nötig:. Fall: (x ) < 0 x <. In diesem Fall dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Es gilt also: ( ) < (x ) < x + < x x > Die Lösung lautet somit x >. Voraussetzung dieses Falles ist aber x <. Es wird also eine Zahl gesucht, die sowohl kleiner als als auch größer als ist. Eine derartige Zahl, die beide Bedingungen erfüllt, existiert nicht, also IL = {}.. Fall: (x ) > 0 x >. Hier gilt: ( ) > (x ) + > x x < In diesem Fall sind zwei Bedingungen zu beachten; nämlich x > und x <, 5:

38 6. Das Lösen von Ungleichungen 0 Abbildung 6.: Veranschaulichung von < x <, 5 auf dem Zahlenstrahl. Dort, wo sich beide Pfeile überschneiden, liegt die Lösungsmenge IL für diesen Fall: IL = {x IR < x <, 5} = (;, 5). Für die Ungleichung x > ergibt sich somit die Gesamtlösungsmenge zu: IL ges = IL IL = {} {x ID < x <, 5} = {x ID < x <, 5}. f y Abbildung 6.4: Graph der Funktionen f (x) = und f (x) = x. S x s f f x Zeichnen der Funktion y = x und der konstanten Gerade y = liefert nebenstehendes Bild. Gesucht sind alle x-werte, für die die Hyperbel oberhalb der waagerechten Gerade liegt. Dies sind alle Werte zwischen (ergibt sich aus dem Definitionsbereich) und x s. Berechnung des Schnittpunktes: x = = x x =. Somit ergibt sich als Lösungsmenge: IL = {x ID < x < } = (; ). 6 Beispiel 6.5 (Lineare Ungleichung ()) ( ) 4x + 4 x 5 ( x) ID = IR \ {} Auch hier ist eine Fallunterscheidung nötig, da je nach Wahl von x, der Faktor ( x) größer oder kleiner Null sein kann:. Fall: ( x) < 0 x > : ( ) 4x + 4 5( x) 4x x + 5x 9x x 9 : 9 x Die beiden Forderungen x > und x sind miteinander nicht vereinbar. Somit gilt: IL = {}.

39 6 Lineare Ungleichungen und Beträge. Fall: ( x) > 0 > x x < : ( ) 4x + 4 5( x) + 5x 4 9x 9 : 9 x Die Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl liefert: x < [ ( 0 4 x Abbildung 6.5: Veranschaulichung der Intervalle ( ; ) und [ ; ) auf dem Zahlenstrahl. Somit lautet die Lösungsmenge: IL = {x ID x < } = [ ; ). Und die Gesamtlösungsmenge: IL ges = IL IL = [ ; ). y 8 4 S 0 x s Abbildung 6.6: Graph der Funktionen f (x) = 4x + 4 und f (x) = 5 5x. f f Um Rechenaufwand zu sparen, zeichnen wir hier die Geraden, die sich nach der Fallunterscheidung ergeben:. Fall: Gesucht sind x-werte x >, für die die Gerade y = 4x + 4 unterhalb von der Geraden y = 5 5x verläuft. Solche Werte gibt es aber eindeutig nicht! IL =.. Fall: Gesucht sind x-werte x <, für die die Gerade y = 4x + 4 oberhalb von der anderen liegt. Solche Werte liegen genau zwischen der x-koordinate des Schnittpunktes und der. x Schnittpunktberechnung: 4x + 4 = 5 5x 9x = 9 x =. Somit ergibt sich IL = {x ID x < }. Gesamt: IL = IL IL = [ ; ). Fazit: Lineare Ungleichungen lösen wir prinzipiell wie lineare Gleichungen. Es sind jedoch die speziellen Eigenschaften zu beachten, besonders die Umkehrung des Ungleichheitszeichens 4

40 6. Beträge bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl! Falls in einer Ungleichung ein Bruch vorkommt, dessen Nenner die Variable x enthält, wird dieser Nenner dadurch beseitigt, dass die Ungleichung mit ihm multipliziert wird. Dies erfordert Fallunterscheidungen: Ist der Nenner in Abhängigkeit vom Argument x positiv, so bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, während es bei der Multiplikation mit einen negativen Nenner umgedreht werden muß! Außerdem ist bei Ungleichungen mit Bruchtermen immer der Definitionsbereich zu nennen und bei der Angabe der Lösungsmenge entsprechend zu beachten. 6. Beträge Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zum Nullpunkt der Zahlengeraden. Unter Abstand verstehen wir dabei die Differenz zweier Zahlen, wobei die größere von beiden der Minuend ist. Es resultiert immer eine positive Zahl. Daher haben sowohl a als auch a den gleichen Abstand zum Nullpunkt. Der Betrag a einer Zahl a ist definiert als: { a, a 0. a = a, a < 0. 6 Eigenschaften des Betrages:. Es ist stets a 0. Weiter ist ( a ) = a.. a b = b a. Dies ist der Abstand zwischen a und b.. a b = a b ; a b = a b (b 0). 4. a + b a + b (Dreiecksungleichung, auch für mehr als zwei Summanden gültig). 5. Alle reellen Zahlen, welche bei vorgegebenen x 0 die Ungleichung x x 0 d erfüllen, haben von x 0 höchstens den Abstand d. Die Lösungsmenge der Betragsgleichung lautet also: IL = [x 0 d; x 0 + d] = {x IR x 0 d x x 0 + d}! 5

41 6 Lineare Ungleichungen und Beträge Beispiel 6.6 Geben Sie die Lösungsmenge an: ( ) x <. Fall: x 0 x : Hier können die Betragsstriche ersatzlos wegfallen: ( ) x < + x < 5 Die Lösungsmenge lautet: IL = {x IR x < 5}.. Fall: x < 0 x < : ( ) ( )(x ) < x + < x < ( ) x > Die Lösungsmenge lautet: IL = {x IR < x < }. Somit ergibt sich gesamt: IL ges = IL IL = {x IR x ( ; 5)}. f S (x ) y (x ) f 5 S f x Auch hier besteht die Möglichkeit, das Problem graphisch zu lösen. Dazu müssen wir den Verlauf der Betragsfunktion darstellen. Dies gelingt am einfachsten, in dem wir zunächst die Gerade y = x zeichnen. Da der Betrag keine negativen Ergebnisse liefert, ist der gepunktete Teil unterhalb der x- Achse sicherlich falsch. Wir korrigieren den Fehler, indem wir diesen Teil an der x-achse spiegeln dies entspricht dem Zeichnen der Geraden y = (x )! Damit haben wir die typische -Form der reinen Betragsfunktion. Gesucht sind jetzt alle x-werte, für die Abbildung 6.7: Graph der Funktionen der Betrag von (x ) kleiner ist als. Dies f (x) = und sind alle Werte zwischen den x-koordinaten f (x) = x. der beiden (!) Schnittpunkte. Berechnung der Schnittpunkte: S : (x ) = x + = x =, S : (x ) = x = 5. Somit können alle x-werte zwischen und 5 als Lösungsmenge angegeben werden: IL = {x R < x < 5} = ( ; 5) Bemerkung 6.: 6

42 6. Beträge Gesucht waren alle reellen Zahlen, deren Abstand von kleiner als ist, so dass eine schnelle Lösung mit Hilfe der Betragseigenschaft (5.) möglich gewesen wäre! Beispiel 6.7 Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung: x + 4 > 6 Zur Lösung der Ungleichung müssen die Betragszeichen beseitigt werden. Dazu ist eine Fallunterscheidung nötig:. Fall: x x 4 x : Da (x + 4) > 0 in diesem Fall positiv ist, können die Betragsstriche weggelassen werden, es gilt also: x + 4 > 6 4 x > x >. Die Lösungsmenge ergibt sich somit aus: x und x >, also: IL = {x IR x > }. 6. Fall: x + 4 < 0 x < 4 x < : In diesem Fall ist das Argument negativ, der Betrag führt zu einem Vorzeichenwechsel. Dieser wird durch ein einseitiges Multiplizieren von ( ) an Stelle des Betrages dargestellt: ( ) (x + 4) > 6 x 4 > 6 6 x 0 > 0 + x 0 > x 5 > x. Die Lösungsmenge ergibt sich aus: x < 5 und x <, also IL = {x IR x < 5}. Für die Gesamtlösung gilt: IL ges = IL IL = {x IR (x < 5) (x > )} = IR \ [ 5; ]. 7

43 6 Lineare Ungleichungen und Beträge y f f S Auch hier besteht die Möglichkeit einer graphischen Lösung. Dazu veranschaulichen wir f 6 S uns zunächst die Betragsfunktion, indem wir 4 x + 4 (x + 4) die Gerade y = x + 4 in die x-y-ebene einzeichnen. Da die Betragsfunktion nicht negativ 5 sein darf, kann der gepunktete Teil der Gerade x unterhalb der x-achse so nicht stehenbleiben. Wir korrigieren den Fehler, indem wir die Gerade y = (x + 4) einzeichnen, oder indem wir den angesprochenen gepunkteten Teil an der x-achse spiegeln. Nach dem alten Rezept Abbildung 6.8: Graph der Funktionen f (x) = 6 und trag größer als 6 ist. sind jetzt alle x-werte gesucht, für die der Be- f (x) = x + 4. Dies sind aber Werte, die entweder links von der x-koordinate des Punktes S oder rechts von der x-koordinate des Punktes S liegen. Obacht: Aufgrund der -Form der Betragsfunktion gibt es jetzt zwei Schnittpunkte! Berechnung der Schnittpunkte: S : (x + 4) = 6 x = 0 x = 5, S : (x + 4) = 6 x = x =. Somit ergibt sich die Lösungsmenge als: IL = {x R (x < 5) (x > )} = IR \ [ 5; ]. Aufgaben zu Abschnitt 6. Stellen Sie die Intervalle mit Hilfe des Zahlenstrahls dar und bestimmen Sie dann die Schnittmenge: a.) x > und x < 4 d.) < x, 5 und, 5 x < 4, 5 b.) x < und x e.) < x < 5 und, 5 < x c.) < x < und, 5 < x < 8

44 6. Beträge. Bestimmen Sie die Lösungsmengen und geben Sie diese in Intervallschreibweise an: x a.) 4b 0 < 0 h.) < 4x b.) q > 0 i.) a x < b x, a, b IR x+ c.) p k.) x+ d.) 5r + 0 l.) 5 d > d + und d 7 < 4d e.) 4t < t + 8 m.) 5r > (r + ) und r + < 7 r f.) z + 9 > 7 4z n.) 5x + 7a a + x und 5x + 7a x + 5a, a IR g.) a 5 a 4 o.) 9a 7x 6b 4x und x a, (a, b > 0). Geben Sie die Lösungsmengen und den Definitionsbereich an: a.) x > e.) b+5 4 i.) (x + )(x + ) < (x )(x ) b.) y f.) 4x 8 7 6x+567 k.) 5 d 5 9 d+7 c.) v+ g.) 8c 5 > 7 l.) x+ 7 x d.) 5 4 a > h.) z + z > 0 m.) 8r + (r ) < 5r Geben Sie die folgenden Mengen zur Grundmenge IR an: a.) {x x 4 = } g.) {y y 6 7 y = } b.) {q q + q + = 4} h.) {a a + a = } c.) {r 4r + 5 = r } i.) {y y + a + y a = a}, a IR + d.) {p p + p = } k.) {l l + a + l a = 4a}, a IR + e.) {x 6x + 5 = } l.) {q q q q = a}, a IR + f.) {z 7 8z 9 = z 6 } 6 5. Bestimmen Sie die Lösungsmengen und geben Sie den Definitionsbereich an: a.) a < h.) 4 k > k + 0 p.) b.) p i.) x < x + x q.) c.) 5x 7 < k.) t+ > 4 t r.) d.) 4m + > l.) q q + + q < 0 s.) 5r+ r x 4 x+5 5g+ < +4r 5r + g 7 y+a >, a IR+ y a y+a y a e.) l 5 m.) z > a z, a fest in IR t.) >, a IR d+ f.) o + 5 n.) 4d 6 > u.) a+6 a 6 > a 6 g.) h 0 h o.) b 4b+5 > v.) f + f 0 9