Mathematik für das Ingenieurstudium 3. Auflage Lösungen der Aufgaben

Transkript

1 Mathematik für das Ingenieurstudium. Auflage Lösungen der Aufgaben Jürgen Koch Martin Stämpfle. März 5

2

3 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5 Lineare Gleichungsssteme 9 Vektoren 7 4 Matrizen 5 Funktionen 9 6 Elementare Funktionen 5 7 Folgen, Grenzwert und Stetigkeit 65 8 Differenzialrechnung 75 9 Integralrechnung 95 Potenzreihen Kurven 5 Funktionen mit mehreren Variablen 7 Komplee Zahlen und Funktionen 45 4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 57 5 Differenzengleichungen 8 6 Fourier-Reihen 8 7 Verallgemeinerte Funktionen 9 8 Fourier-Transformation 97 9 Laplace-Transformation 5 z-transformation 5 Elementare Zahlentheorie

4

5 5 Grundlagen Lösung. a) Alle angegebenen Zahlen sind reelle Zahlen:,,.85,, 5 7, 47 b) Alle angegebenen Zahlen, außer, sind rationale Zahlen:,,.85, 5 7, 47 c) Da sich der Bruch 5 5 = kürzen lässt, stellt er auch eine ganze Zahl dar:,, 7 7 = d) Unter den angegebenen Zahlen ist 5 = die einzige natürliche Zahl. 7 Lösung. 9 = = 7 = = = =.... = = = = 45 = = = 47 = = Lösung. Der Trick besteht darin, alle Brüche auf denselben Nenner zu erweitern 4 5 = 68 < 7 = 69 < = 7 < 5 = 7 < 5 4 = 75 < = 77. Lösung.4 Der Wurzelausdruck ist definiert, falls a b nicht negativ ist und er wird niemals negativ. a) falsch! b) falsch! c) falsch! d) falsch! e) falsch! f) richtig! Lösung.5 Die Wurzelgleichung hat die beiden Lösungen = und =, deshalb gilt: a) falsch! b) falsch! c) richtig! d) falsch! e) falsch! f) richtig!

6 6 Lösung.6 Die Gerade geht durch die Punkte P ( 9) und P ( ). Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis der Differenzen der -Werte und der -Werte: m = 9 = ( ) =. Lösung.7 Entscheidend für die betragsfreie Darstellung sind die Lösungen der Gleichung Damit gilt: =, = ± = { für 6 sonst =,. Lösung.8 a) Alle Lösungen erhält man aus den beiden Fällen und = = 5 = 5 5 < > 5 = 5 = 5 =. 5 Unter Berücksichtigung der Fallbedingungen lautet die Lösungsmenge { 5, }. b) Durch Fallunterscheidung ergibt sich und + + = 4 = = + < < + = = = 5. Unter Berücksichtigung der Fallbedingungen lautet die Lösungsmenge {}. c) Auflösen des Betrags ergibt und 4 4 = 5 = 9 = ± 4 < < 4 = 5 =. Die letzte Gleichung hat keine reellen Lösungen. Unter Berücksichtigung der Fallbedingungen lautet die Lösungsmenge {±}.

7 7 Lösung.9 a) b) c) d) 5 k= k = = = 55. k = = k= = 4. ( ) k k= k + = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = 7. (k + ) = k= k = = 5 6. Lösung. Rges = R R, Rges = R + R + Ω = 6 5 Ω. Lösung. T = T + R R αr Lösung. Wenn der hintere Fahrer mit Nein antwortet, muss eines der beiden vorderen Fahrzeuge eine schwarze Heckklappe haben. Ansonsten wären die beiden vorderen Heckklappen silber und der hintere Fahrer könnte mit Ja antworten. Wenn der mittlere Fahrer mit Nein antwortet, muss das vordere Fahrzeug eine schwarze Heckklappe haben. Ansonsten wäre die vordere Heckklappe silber und der mittlere Fahrer könnte mit Ja antworten. Die Antwort lautet also: schwarz. Lösung. Es sei d = d + d. Mittels des Satzes von Pthagoras erhält man a + d = a, a + d = a und daraus durch Gleichsetzen mit d = d d die Beziehung a d = a d + dd d.

8 8 Somit ist d = a a + d d und daraus folgen wegen a = a d und aus Smmetriegründen die beiden Darstellungen des Abstands a = a (a a + d ) = a 4d (a a + d ). 4d Lösung.4 Das Reduzierstück hat die Form eines Kegelstumpfes. a) Es gilt r = r + a, a = h + ( d d ), a = Der Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Radius ist gegeben durch πd = ϕr, πd = ϕr. Daraus folgt r = d d r. Durch Einsetzen erhält man r = ad = 5 ad 5.54, r = = 5.6. d d d d Für den Winkel des Kreisringsegments gilt ϕ = πd π(d d) = = π.8 6. r a 5 b) Für den Steigungswinkel α gilt α = arctan h d d = arctan. 6. c) Soll speziell ϕ = π gelten, so folgt wegen d d = a α = arccos d d a d) Für die Oberfläche gilt A = ϕ(r r ) = arccos = π = 6. = 5 5π 878.

9 9 Lineare Gleichungsssteme Lösung. Mit dem Rechenschema ergibt sich ( ) 7, und daraus die Lösung =, =. Für die grafische Lösung löst man die Gleichungen nach auf = + = 7 und bestimmt den Schnittpunkt der beiden Geraden. Lösung. a) Mit dem Rechenschema ergibt sich 6 () 4 4, 6 ( )( ) , 6 9 () und weiter 6 ( ) 99, 6 und daraus, daß das Gleichungssstem keine Lösung besitzt. Für die grafische Bestimmung der Lösungsmenge lösen wir die Gleichungen nach auf: = + = = 4 Die drei Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 4 5 b) Mit der Schreibweise als Rechenschema liefert der Gauß-Algorithmus , 4 ( )( ) 9 5 5, 4 7 ( ) 7

10 und weiter 4 7 Die dritte Gleichung ist redundant und wir erhalten die Lösung =, =. 7 7 Für die grafische Berechnung der Lösung lösen wir die Gleichungen nach auf: = + = = + 5 Die drei Geraden haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt. 4 5 Lösung. Mit dem Gauß-Algorithmus ergibt sich 9 6 b () 6 4, 6 4 () 8 b, 6 4 b + 6 Für b = gibt es unendlich viele Lösungen = t und = t. Lösung.4 a) Durch Anwenden des Gauß-Algorithmus erhalten wir ( )( ) und damit ( )( ), ( )( ) Daraus läßt sich durch Rückwärtseinsetzen die eindeutige Lösung = 5 4, = 4, = bestimmen. b) Das Eliminationsverfahren von Gauß führt auf 4 5 und weiter auf 5 8 (5), ( )( ) 4 5, 5 ( 8) 4 5 5

11 und schließlich auf 5 ( 8) 7 Durch Rückwärtseinsetzen folgt die eindeutige Lösung =, = 5, =. 7 7 Lösung.5 a) Für p = lautet das Gleichungssstem, und ist damit eindeutig lösbar. Für p liefert die Vorwärtselimination p ( p) p 4 p und weiter, p p p + 4 p p p p ( p + ) p p p + 4 p, p p p + 4p + p + Der Ausdruck p + 4p + wird null, falls p =, und der Ausdruck p + wird null, falls p = ±. Somit gibt es unendlich viele Lösungen, falls p = und genau eine Lösung, falls p =. Zusammen mit dem Fall p = lautet das Endergebnis: Es gibt eine eindeutige Lösung für p und unendlich viele Lösungen für p =. b) Für den Spezialfall p = lautet das Gleichungssstem,, und ist damit eindeutig lösbar. Für p liefert die Vorwärtselimination, p ( )( p) p p p p p p p p () p p p p und weiter p p p p p p + p Der Ausdruck p p + wird null, falls p = oder p =, und der Ausdruck p wird null, falls p = ±. Somit gibt es eine eindeutige Lösung, falls p =, und unendlich viele Lösungen, falls p =. Im Fall p = gibt es keine Lösung. Zusammen mit dem Spezialfall p = ergibt sich folgende Endsituation: Es gibt eine eindeutige Lösung für p und p und unendlich viele Lösungen für p =. Für p = ist das Gleichungssstem unlösbar.

12 Lösung.6 Zunächst schreibt man mittels des Rechenschemas und weiter p q 4 r, 4 r ( )() p q und schließlich 4 r 9 p r () 6 r + q 4 r 6 r + q p + q r, 4 r 6 r + q () 8 6 p 4r Somit ist das Gleichungssstem lösbar falls p + q r =. Lösung.7 Der Gauß-Algorithmus erzeugt die Schemata und weiter ( )( )(), ( )( )() () 4 5 und in einem letzten Schritt, 5 () 4 5 (4) 4, Die eindeutige Lösung lautet =, = 7, = 7, 4 = 4. Lösung.8 Mit dem Eliminationsverfahren folgt , 4 5 ( )( 4)( 6)

13 und weiter und somit (7) (7), ( )( 7) und schließlich () , ( 4) Hieraus folgt die eindeutige Lösung =, =, =, 4 =. Lösung.9 a) Durch Vorwärtselimination ergibt sich ( ) und damit, () Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen = t, = t, = t. b) Wiederum durch Vorwärtselimination ergibt sich ( ) und damit ( ),, () Das Gleichungssstem besitzt nur die triviale Lösung =, =, =, 4 =.

14 4 c) Eine erneute Vorwärtselimination liefert ( ) und damit ( ) und schließlich,, () () Hieraus ergeben sich unendlich viele Lösungen = t, = t, = t, 4 = t, 5 = t. Lösung. Durch Einsetzen der Punkte P, P und P in die Parabel = a +b +c erhält man das lineare Gleichungssstem a b + c = a + b + c = 4a + b + c = Mit dem Gauß-Algorithmus folgt ( )( 4) 4 und damit 4 Zunächst folgt c =, daraus dann b = und schließlich a =. Die gesuchte Parabel ist also =., 4 ( ) 6 9 Aus der Skizze ist ablesbar, dass P der Scheitelpunkt der Parabel ist.

15 5 Lösung. Es bezeichne das Alter des Vaters und das Alter des Sohnes. Dann lauten die beiden Beziehungen zwischen und + = 6 ( 6) = 4( 6) Als Rechenschema erhält man 6 ( ) 4 8, 6 ( ) 5 8 Hieraus folgt = 6 als Alter des Sohnes und daraus = 46 als Alter des Vaters. Lösung. Wir bezeichnen mit T den inneren Punkt oben links, mit T den inneren Punkt oben rechts, mit T den inneren Punkt unten links und mit T 4 den inneren Punkt unten rechts. Die Bedingung über den Mittelwert der Temperaturwerte ergibt das Gleichungssstem 4T = + + T + T 4T = + + T + T 4 4T = + + T + T 4 4T 4 = + + T + T Wir bringen alle Terme mit T k auf die linke Seite und die Absolutwerte auf die rechte Seite. Dann ergibt das Eliminationsverfahren und danach und zuletzt ,, 4 (4)( ) ( 4)(5) () 6 56, Hieraus folgt die Lösung T = T =.5 C und T = T 4 = 7.5 C. Erwartungsgemäß sind die beiden Werte T und T und auch die beiden Werte T und T 4 jeweils gleich.

16

17 7 Vektoren Lösung. Der Vektor d = a + b c b c ist in der Skizze dargestellt. Ebenfalls mit einer Skizze lassen sich die Faktoren a+b c λ = 4, λ = 8 a 4 b 8 c bestimmen. a Lösung. Mit = und = lässt sich der Betrag des Vektors a folgendermaßen darstellen: 7 = a = + + z = z. Durch Quadrieren folgt eine Bedingung für z: 49 = + z. Daraus ergeben sich die beiden Lösungen z = ±6. Lösung. Da a b ein Vektor ist, kann man zunächst (a b) + (a b) = (a b) + a b schreiben. Mit der Definition des Skalar- und Vektorprodukts erhält man (a b) + a b = ( a b cos (a, b)) + ( a b sin (a, b)) und damit schließlich (a b) + (a b) = a b ( sin (a, b) + cos (a, b)) = a b. Lösung.4 a) Wenn beide Vektoren a und b ungleich dem Nullvektor wären, dann bedeutet die Bedingung a b =, dass die beiden Vektoren parallel oder antiparallel sind, und die Bedingung a b =, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist ein Widerspruch. Es folgt also a = oder b =. b) Es ist a b = a b a b sin (a, b) = a b cos (a, b). Hieraus folgt a = oder b = oder (a, b) = 45.

18 8 c) Es ist zunächst (a b) = ( a b cos (a, b)) = a b cos (a, b). Damit lautet die Bedingung (a b) = a b a b cos (a, b) = a b. Daraus folgt a = oder b = oder aber cos (a, b) = (a, b) =, 8. Im dritten Fall sind die Vektoren a und b also parallel oder antiparallel. Lösung.5 Für das Volumen gilt nach Definition ˆV = b (b b ). Das Vektorprodukt kann man zunächst folgendermaßen schreiben: b b = (a a + a ) (a + a a ). Mithilfe der Rechenregeln für das Vektorprodukt können wir den rechten Ausdruck ausmultiplizieren. Berücksichtigen wir, dass das Vertauschen der Faktoren beim Vektorprodukt das Vorzeichen umkehrt und dass das Vektorprodukt zweier gleicher Vektoren null ergibt, so erhalten wir zusammengefasst b b = (a a ) (a a ) + (a a ). Damit bekommen wir ˆV = ( a + a + a ) ((a a ) (a a ) + (a a )). Wiederum durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen unter Berücksichtigung der Rechenregeln für das Skalar- und Spatprodukt erhalten wir schließlich ˆV = ( )a (a a ) =. Lösung.6 a) Wenn die beiden Ebenen E und E parallel sind, bedeutet das, dass auch die beiden Normalenvektoren parallel oder antiparallel sind. Es ist also parallel oder antiparallel zu n. Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung n ( ) =. b) Die beiden Ebenen E und E sind identisch, wenn sie parallel sind und mindestens einen Punkt gemeinsam haben. Zur Bedingung n ( ) = kommt also noch die Bedingung, dass es Parameter λ und µ gibt mit p = λ + µ. Dabei bezeichnet p den Ortsvektor des Punktes P. Diese zweite Bedingung lässt sich parameterfrei formulieren in der Form [p,, ] =.

19 9 c) Sollen die beiden Ebenen E und E senkrecht zueinander stehen, so liegt n in der von und aufgespannten Ebene. Dies bedeutet [n,, ] =. Lösung.7 Für die Vektoren a und b gilt a = r + s, b = r s. Mit den Rechenregeln für das Skalarprodukt gilt a b = (r + s) (r s) = r s = r s =. Die Null ergibt sich, denn die Vektoren r und r sind gleich lang. Ihre Länge ist nämlich gerade der Radius des Kreises. Lösung.8 a) Für die Längen erhalten wir a = () + () =, b = (5) + (4) = 4, c = () + ( ) =. b) Den Winkel zwischen a und b bestimmen wir mithilfe des Skalarprodukts zu (a, b) = arccos a b a b = arccos 5 7.6, den Winkel zwischen a und c zu (a, c) = arccos a c a c = arccos 74.7, und den Winkel zwischen b und c zu (b, c) = arccos b c b c = arccos c) Für die Winkel zwischen a und den Achsen erhalten wir α = arccos a a = arccos 56., α = arccos a a = arccos.7, für die Winkel zwischen b und den Achsen erhalten wir β = arccos b b = arccos , und für die Winkel zwischen c und den Achsen erhalten wir γ = arccos c c = arccos 8.4, β = arccos b b = arccos , γ = arccos c = arccos 8.4. c Der Vektor c bildet mit der negativen -Achse einen Winkel von = 7.6.

20 d) Zunächst bilden wir den Vektor a b + c = ( 6 4 ). Zueinander senkrechte Vektoren haben ein Skalarprodukt gleich null. Für die beiden Vektoren senkrecht zu a b + c erhalten wir also n = ( 4 6 ), n e = n = ( ), 4 n = ( 6 ), n e = n = ( ). e) Aus einer Skizze können alle Ergebnisse abgelesen werden. Auch die Bestimmung von a b + c ist zeichnerisch möglich. Aus der Skizze wird auch klar, dass es zu einem Vektor stets zwei dazu senkrechte Einheitsvektoren gibt. Diese beiden Einheitsvektoren sind antiparallel zueinander. b e e a c c b 4 6 a b+c Lösung.9 a) Zunächst gelten für die Winkel α = (b, c), β = (c, a), γ = (a, b) a γ d b d die Werte cos α =, cos β =, cos γ =. Das von a und b aufgespannte Parallelogramm ist in der Skizze dargestellt. Unter Verwendung der Formel u = u u erhält man d = a + b = (a + b) (a + b) = a + a b + b = a + b + a b cos γ. Setzt man die gegebenen Zahlenwerte ein, so folgt d = 9. Ganz analog ist d = a b = (a b) (a b) = a a b + b = a + b a b cos γ. Hieraus folgt d = 7. b) Es bezeichne ϕ den Winkel zwischen d und c. Dann gilt für die Diagonale d = a + b + c d = d + c = (d + c) (d + c) = d + d c + c = d + c + d c cos ϕ.

21 Den Kosinuswert können wir mit dem Skalarprodukt berechnen und dabei anschließend d = a+b berücksichtigen: d = d + c + d c d c d c = d + c + (a c + b c). a c ϕ d d b Durch Einsetzen der Definition des Skalarprodukts erhalten wir eine schöne, smmetrische Formel für die Länge der Raumdiagonale: d = a + b + c + a b cos γ + b c cos α + c a cos β =. c) Für den Kosinus des Winkels zwischen a und d gilt cos δ a = a d a (a + b + c) a + b cos γ + c cos β = = = a d a d d 6. Daraus ergibt sich ein Winkel von δ a Analog gilt für den Kosinus des Winkels zwischen b und d cos δ b = b d b (a + b + c) b + a cos γ + c cos α = = = b d b d d. Daraus ergibt sich ein Winkel von δ b =. Und schließlich gilt für den Kosinus des Winkels zwischen c und d cos δ c = c d c (a + b + c) c + a cos β + b cos α = = =. c d c d d Daraus ergibt sich ein Winkel von δ c d) Für die Projektionen gilt d a = d cos δ a a a = 6 a, d b b = d cos δ b b = 9 b, dc = d cos c δc c = c. Lösung. a) Das Skalarprodukt von a + λb mit c muss null ergeben: a + λb = 6 + λ λ (a + λb) c = + ( + λ) + 5( λ) = 4λ 4 =. Hieraus folgt λ =. b) Die Bedingung lautet (a + λb) c = a c + λb c = λ = a c b c.

22 Mit den Vektoren aus Aufgabenteil a) ergibt sich λ = = 4 4 =. Das Problem ist nicht lösbar, falls b c =, falls also b senkrecht auf c steht. Lösung. a) Die Antwort kann ohne Rechnung gegeben werden: Drei geeignet ausgewählte Flächendiagonalen bilden aus Smmetriegründen ein gleichseitiges Dreieck. Deshalb beträgt der Winkel ϕ = 6. Möchte man den Winkel tatsächlich berechnen, so kann man für zwei benachbarte Flächendiagonalen d = a, d = a das Skalarprodukt ansetzen: cos ϕ = d d d d = a (a )(a ) =. Auch hieraus folgt der Winkel ϕ = 6. d ϕ d d b) Man setzt zwei beliebige Raumdiagonalen an d 4 = a, d 5 = a und verwendet das Skalarprodukt: cos ψ = d4 d5 d 4 d = a 5 (a )(a ) =. Hieraus folgt der Winkel ψ 7.5. Aus Smmetriegründen ist dieser Winkel für je zwei beliebige Raumdiagonalen stets gleich. ψ d 4 d 5 Lösung. a) Der Einheitsvektor in Richtung b ist e b = b b =

23 b) Für die Komponente von a parallel zu b gilt a b = a b b b = = und für die Komponente normal zu b a n = a a b = c) Der Vektor a hat die Winkel = α = arccos.8, α = arccos 9.5, α = arccos 48. mit den Koordinatenachsen und der Vektor b die Winkel β = arccos , β = arccos , β = arccos Lösung. Die Mittelpunkte sind gerade die arithmetischen Mittelwerte der Eckpunkte: M AB ( ), M AC ( ), M BC ( ). Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist A = (B A) (C A) = =. Der Flächeninhalt des Dreiecks M AB M AC M BC ist ein Viertel davon, also A M =. Dieses Ergebnis erhält man auch durch direkte Rechnung: A M = (M AC M AB ) (M BC M AB ) = =. Lösung.4 Die Oberfläche besteht aus den vier Dreiecksflächen und ist damit A = a b =, A = a c = A = A + A + A + A 4 =., A = b c = Das Volumen kann mit dem Spatprodukt bestimmt werden: V = 6 a (b c) = 6 =., A4 = (b a) (c a) =

24 4 Lösung.5 Es ist a = a. Damit sind die beiden Vektoren antiparallel und somit linear abhängig. Das Spatprodukt der drei Vektoren b, b und b ist [b, b, b ] = b (b b ) = =. Deshalb sind die drei Vektoren ebenfalls linear abhängig. Lösung.6 a) Eine mögliche Parameterform der Geraden g lautet g = 7 + λ 4 4. b) Die Koordinaten des Mittelpunktes von P und P sind die arithmetischen Mittelwerte der Punktkoordinaten. Wir erhalten M = ( 7 5). c) Mit der Formel für den Abstand erhalten wir d = und durch Vereinfachung d = ( 4) + () + ( 4) 574 = d) Für die Winkel im Dreieck definiert man zunächst die Vektoren a = P P = 4 4, b = P P = 7 8 Der Winkel an der Ecke P ist dann gegeben durch, c = P P = (P, P, P ) = arccos a b a b = arccos , der Winkel an der Ecke P durch (P, P, P ) = arccos ( a) c a c = arccos und der Winkel an der Ecke P durch (P, P, P ) = arccos ( b) ( c) b c = arccos Die Summe der drei Winkel ergibt gerade

25 5 e) Der Flächeninhalt lässt sich über das Vektorprodukt berechnen: A = a b = = f) Eine mögliche Parameterform der Ebene E lautet E = 7 + λ µ 7 8. g) Für die Richtung der Geraden bestimmen wir einen Normalenvektor: n = a b = Die Koordinaten des Schwerpunkts sind gerade die arithmetischen Mittelwerte der Koordinaten der Ecken. Wir erhalten S ( ). Die Gerade h lautet also h = + λ Lösung.7 Zunächst bilden wir die Vektoren b = AB = 4 4 8, c = AC = 5 9, d = AD = Da b kein Vielfaches von c ist, liegen die Punkte A, B und C nicht auf einer Geraden. Da das Spatprodukt b (c d) = = ungleich null ist, liegen die Punkte A, B, C und D nicht in einer Ebene. Lösung.8 a) Durch Einsetzen der -Komponenten der Geraden in die Ebenengleichung erhalten wir ( + λ) + 4( λ) ( + λ) = 4 6 8λ = und daraus den Parameterwert λ =. Eingesetzt in g ergibt sich der Schnittpunkt S(6 ).

26 6 b) Wir definieren zunächst den Richtungsvektor a von g und einen Normalenvektor n von E: a =, n = 4. Zur Bestimmung des Winkels verwenden wir das Skalarprodukt aus a und n: ϕ = arcsin a n a n = arcsin c) Eine Parameterdarstellung der Geraden senkrecht zu E durch S ist h = 6 + λ 4. d) Für eine Parameterdarstellung von E benötigen wir zwei Richtungsvektoren von E. Dazu machen wir einen möglichst einfachen Ansatz zweier Punkte P und P mit den zugehörigen Vektoren p und p in der Ebene: p = =, p = z z =. Die gesuchten Richtungsvektoren sind SP und SP und wir erhalten E = 6 + λ µ 6. Lösung.9 a) Die Gerade g setzen wir in Punktrichtungsform an: g = λ. b) Zunächst setzen wir die parameterfreie Ebenengleichung an: E + + z = d. Durch Einsetzen des Punktes P in die Ebenengleichung erhalten wir d =. Nun werden die Komponenten der Geradendarstellung in die Ebenengleichung eingesetzt: (6 + λ) + (5 + λ) + ( + λ) =. Hieraus folgt λ = 9 46 und damit der Durchstoßpunkt S ( 9 )

27 7 c) Wir normieren n und erhalten n e = 4. Der Abstand lässt sich nun durch Einsetzen von Q in die Hessesche Normalform berechnen: d = = d) Die -Achse schneidet die Ebene E unter der Bedingung λ + + = λ = 5 S (5 ). Analog schneidet die -Achse die Ebene E unter der Bedingung + λ + = λ = S ( ) und die z-achse die Ebene E unter der Bedingung + + λ = λ = S z ( ). e) Aus Aufgabenteil d) folgt unmittelbar eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden in der --Ebene: g = 5 + λ 5. Ganz analog erhalten wir eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden in der -z-ebene: g z = 5 + λ 5. Eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden in der -z-ebene lautet: g z = + λ. Lösung. a) Wir berechnen Normalenvektoren für die beiden Ebenen: n =, n =. Die beiden Vektoren n und n sind parallel, also sind es auch die beiden Ebenen E und E.

28 8 b) Eine Parameterdarstellung der gesuchten Geraden g ist g = + ν. c) Die Ebenen können parameterfrei geschrieben werden: E + + = 6, E =. Durch Einsetzen der Geradenkomponenten erhalten wir 9ν = 6 ν =, ν = ν = und daraus die Schnittpunkte S ( ) und S ( ). d) Für die Ebene E ist ein normierter Normalenvektor n e =. In die parameterfreie Darstellung von E können wir den Punkt P ( ) aus E einsetzen: d = =.577. Alternativer Weg: Der Abstand der Ebenen ist gerade der Abstand der beiden Schnittpunkte aus Aufgabenteil c). Lösung. Die vier Kräfte F, F, F und F 4 wirken in die vier Richtungen α =, α = 8, α =, α 4 = 7. Ein Kraftvektor besteht aus dem Kosinusanteil und dem Sinusanteil: F k = ( F k cos α k F k sin α k ). Wir erhalten also näherungsweise F ( 8 ), F ( ), F ( 8 ), F 4 ( 44 ) und damit näherungsweise für die resultierende Kraft F = F + F + F + F 4 ( ), F 4 N, α arctan

29 9 Lösung. Wir bezeichnen den Winkel mit α = und die maimale Belastung des Seils mit b = N. Mit den Kräften F G = ( mg ), gilt das Kräftegleichgewicht = F G + F + F. Aus der zweiten Komponente folgt m = b sin α g F = ( b cos α b sin α ), als maimale Masse für die Lampe. Lösung. kg = 8.7 kg b cos α F = ( b sin α ) a) Die resultierende Kraft F setzt sich zusammen aus F = 5 ( ), F = ( ). Damit ist also F = F + F ( ), F 795 N, α arctan b) Da der Gegenstand in Richtung d bewegt werden soll, gilt der Ansatz F = F + F + F = ( b ). Die zweite Komponente dieses Gleichungssstems lautet 5 + sin α =. Aufgelöst nach α ergibt sich 5 α = arcsin.5. Lösung.4 a) Wir bezeichnen mit d = m die Flussbreite, mit v F die Strömungsgeschwindigkeit und mit v H die Eigengeschwindigkeit des Hundes. Die Überquerungszeit t und der Abtrieb a betragen damit t = d v H = 66.7 s, a = v F t = 66.7 m. vh v v F

30 b) Wir bezeichnen die neue Eigengeschwindigkeit des Hundes mit v H. Für die resultierende Geschwindigkeit v = v F + v H gilt v = (.4 ) +.6 ( cos α sin α ) = ( b ). vh v v F Aus der ersten Komponente folgt cos α = α = arccos ( ).8. Die entspricht einem Winkel von.8 9 = 4.8 gegen die Senkrechte zur Strömung. Für die zweite Komponente und damit für die neue Überquerungszeit ergibt sich durch Einsetzen von α b = v H sin α.447 m s t = d b.6 s. Lösung.5 Für die Kräfte setzen wir F = λ ( s ), s F = λ ( s ), F = F ( sin α cos α ) mit zunächst unbekannten Faktoren λ und λ an. Das Kräftegleichgewicht F + F + F = ist ein lineares Gleichungssstem in λ und λ : s λ + s λ = F sin α sλ = F cos α Die Lösung lautet λ = F cos α s 464, λ = Damit ist F eine Zugkraft und F eine Druckkraft: F ( 77 ), F ( 77 7 ). F sin α s λ s 474.

31 4 Matrizen Lösung 4. Ob eine Matri regulär ist oder nicht, lässt sich an ihrer Determinante ablesen: A = ab = ab. Die Matri A ist genau dann regulär, wenn sowohl a als auch b ungleich null ist. Die Aussage ist also wahr. Lösung 4. a) Die Aussage ist falsch, denn die triviale Lösung = ist immer eine Lösung eines homogenen linearen Gleichungssstems. b) Auch diese Aussage ist falsch. Immer wenn die Determinante einer Matri gleich null ist, hat das zugehörige Gleichungssstem keine eindeutige Lösung, also entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Ist das Gleichungssstem homogen, eistiert stets die triviale Lösung. Es muss also unendlich viele Lösungen geben. Als Gegenbeispiel können wir das homogene Gleichungssstem A = ( ) = = ( t ), t R betrachten. Die Determinante der Matri A ist null, es gibt unendlich viele Lösungen. c) Diese Aussage ist wahr. Sie ist sogar unabhängig von der Determinanten, denn jedes homogene lineare Gleichungssstem besitzt mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung. Lösung 4. Damit zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können, muss die Spaltenanzahl der ersten Matri mit der Zeilenanzahl der zweiten Matri übereinstimmen. Es ergeben sich also die 6 Produkte und ab =, ad = ( 6 6 ), CD = ( ) ba = , Cb = ( 8 9 ), Db = 5. Lösung 4.4 Wir erhalten zunächst A = a a a a a a = a a a a a.

32 Damit lässt sich A berechnen: A = a a a a a a a a = Durch nochmalige Multiplikation mit A erhalten wir A 4 = a a a a a a a a a Ganz allgemein erhalten wir für beliebiges n A n = a n n n(n ) na a n a n na n a n. = a a a a a a a 4 4a 6a a 4 4a a 4.. Lösung 4.5 Wir berechnen zunächst A A T = ( a ) ( a ) = ( 5 a a a + 4 ). Das Produkt ist eine Diagonalmatri genau dann, wenn a = ist, also wenn a = ist. Lösung 4.6 Mit den Bezeichnungen C = ( ), C = ( ) können wir ein Matrigleichungssstem schreiben: A B = C 4A + B = C Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Faktor und anschließender Addition der beiden Gleichungen erhalten wir und daraus 5B = C + C B = 5 ( C + C) = ( 6 4 ) A = (B + C) = ( 5 6 ). Lösung 4.7 Wir verwenden folgende Bezeichnungen X = ( ), Y = ( 5 7 ).

33 Die erste Gleichung können wir mit der Inversen von Y nach A auflösen Y A = X A = Y X. Die Inversen der Matri Y bestimmen wir mit der Formel Y = Somit erhalten wir 7 5 ( 7 5 ). A = Y X = ( 7 5 ) ( ) = ( 7 9 ). Die zweite Gleichung können wir mit der Inversen von Y nach B auflösen B Y = X B = X Y. Somit erhalten wir B = X Y = ( ) ( 7 5 ) = ( 9 ). Ein alternativer Lösungsansatz besteht darin, die Einträge der Matrizen durch Lösen eines linearen Gleichungssstems zu bestimmen. Die beiden Spalten von A können unabhängig voneinander bestimmt werden. Deshalb schreiben wir das Gleichungssstem als Rechenschema und führen den Gauß-Algorithmus durch: Im Gegensatz zum gewöhnlichen Algorithmus für lineare Gleichungsssteme steht hier auf der rechten Seite ebenfalls eine Matri. Daraus lassen sich nun die Matrieinträge von A bestimmen: Es ist also a = A = ( =, a = ). = 7, a = =, a = + 55 = 9. Ganz analog können die beiden Zeilen von B unabhängig voneinander bestimmt werden: Deshalb transponieren wir das Gleichungssstem, schreiben es als Rechenschema und führen den Gauß- Algorithmus durch: Hieraus lassen sich die Matrieinträge von B T bestimmen: b = =, b = Die gesuchte Matri lautet also B = ( 9 ). =, b = 9 = 9, b = 9 =.

34 4 Lösung 4.8 a) Die Determinante berechnen wir folgendermaßen: 4 9 b) Für die Matri gilt = ( 4)( ) ()( 9) = = 7. sin α cos α cos α sin α = sin α + cos α =. c) Wir bestimmen die Determinante durch a + b a b a b a + b = (a + b) (a b) = 4ab. Lösung 4.9 a) Mit der Regel von Sarrus ergibt sich = ( ) ( ) = 44. b) Ebenfalls mit der Regel von Sarrus erhalten wir = ( ) ( ) = 7. c) Durch Entwickeln nach der vierten Spalte ergibt sich und damit = = (4)( 4) + (5)( 8) ()(7) =

35 5 Lösung 4. In Matriform lautet das lineare Gleichungssstem p p p =. Für die Determinante gilt nach der Regel von Sarrus p p p Wir setzen die Determinante gleich null: = (p + + 4p) ( p ) = p + 4p +. p + 4p + = p, =. Das Gleichungssstem ist also eindeutig lösbar genau dann, wenn p ist. Lösung 4. a) Die Inverse einer (, )-Matri lässt sich mittels Formel berechnen: A = ( 9 4 ) = ( 9 4 ). b) Auch auf die Matri B lässt sich die Formel anwenden: B = ( 4 ) = ( 4 ). c) Ganz analog erhalten wir C = cos α + sin α ( cos α sin α sin α cos α ) = ( cos α sin α sin α cos α ). Lösung 4. Mit der Formel für die Inverse erhalten wir Weiter ist A = ( ), B = ( AX = B X = A B = ( und ganz entsprechend ). ) ( ) = ( ) Y B = A Y = AB = ( ) ( ) = ( ).

36 6 Lösung 4. Der Nachweis der Inversen von A gelingt durch AB = = Hieraus folgt also A = B. Da bei Matrizen die linksinverse Matri stets gleich der rechtsinversen Matri ist, folgt B = A. Die Determinante der Matri A muss ungleich null sein: = ( ) ( + 8) =. Auch die Determinante der Matri B muss ungleich null sein: = 8 (( + + ) ( + 6)) =. Hieraus folgt, dass die Lösungen der beiden linearen Gleichungsssteme eindeutig sind. Das erste Gleichungssstem besitzt die Lösung = A b = und das zweite die Lösung = A b = = = Lösung 4.4 a) Die Beziehungen zwischen den Rohstoffen, den Zwischenprodukten und den Endprodukten lassen sich folgendermaßen darstellen: R R R R 4 = Z Z Z, ( 5 ) Z Z Z = ( P P ). b) Setzt man beide Matrizen zu einem Gesamtproduktionsprozess zusammen, so ergibt sich ( 5 ) R R R R 4 = ( ) R R R R 4 = ( P P ).

37 7 Für 5 Endprodukte P und 5 Endprodukte P benötigt man folgende Rohstoffe: ( 5 5 ) ( ) R R R R 4 = ( 5 5 ) ( P P ). Die Gesamtmenge der einzelnen Rohstoffe erhält man durch Ausmultiplizieren: 595 R + 5 R + 49 R + R 4 = 5 P + 5 P. Lösung 4.5 a) Eine Rotation ist um die Winkel ϕ = 45 + k 9 mit ganzzahligem k möglich. Deshalb ist die Rotationsmatri R nicht eindeutig. Für ϕ = 45 in mathematisch positiver Richtung erhalten wir R = ( cos π 4 sin π 4 sin π 4 cos π 4 ) = ( ). Die Streckungsmatri ist eindeutig. Sie muss die alte Kantenlänge 8 in die neue Kantenlänge transformieren: S = ( 8 8 ) = 4 ( ). b) Der Kantenmittelpunkt ( ) wird durch Rotation um ϕ = 45 auf den Punkt ( 8) und durch anschließende Streckung auf den Punkt ( ) abgebildet. Dieser Punkt soll nach der Transformation auf dem Punkt ( ) liegen. Die Transformation erfolgt also mit A = SR = ( ), b = ( ). Lösung 4.6 a) Die gesuchte Matri lautet A = b) Die Matri A ist smmetrisch, sie besteht nur aus Nullen und Einsen. c) Man könnte die Entfernung von S i nach S j in die Matri aufnehmen. Die Smmetrie geht dadurch nicht verloren. Verzichtet man auf die Smmetrie, so könnte man im oberen Dreieck die Entfernung stehen lassen und in das untere Dreieck die Güte der Verkehrsverbindung aufnehmen.

38

39 9 5 Funktionen Lösung 5. Es ist R = {(, ), (, ), (, )}. Lösung 5. a) Diese Relation ist keine Funktion, da das Element zwei Zuordnungen besitzt. b) Diese Relation ist keine Funktion, da das Element 4 keine Zuordnung besitzt. c) Diese Relation ist eine Funktion. Die Funktion ist nicht injektiv, da das Element b zweimal zugewiesen wird und nicht surjektiv, da das Element d gar nicht zugewiesen wird. d) Diese Relation ist eine bijektive Funktion. Jedem Element aus M wird genau ein Element aus M zugeordnet und umgekehrt. Lösung 5. a) Die Funktion f R R mit f() = ist nicht injektiv und nicht surjektiv. Alle negativen Zahlen werden durch f, also durch Quadrieren, nicht erzeugt. Alle positiven Zahlen hingegen werden doppelt erzeugt, denn es ist f() = f( ) =. b) Die Funktion f R [, ) mit f() = ist nicht injektiv, aber surjektiv. Jeder Wert des Intervalls [, ) wird von der Funktion f erzeugt, abgesehen von der null sogar jeweils doppelt. c) Die Funktion f [, ) R mit f() = ist injektiv, aber nicht surjektiv. Negative Werte nimmt f nicht an. d) Die Funktion f [, ) [, ) mit f() = schließlich ist injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv. Lösung 5.4

40 4 Die Funktionenschar f() = a ( )+ besteht aus allen Geraden, die durch den Punkt ( ) gehen. Die senkrechte Gerade durch ( ) ist nicht als Funktion darstellbar und fehlt deshalb Lösung 5.5 Entscheidend für die Anzahl der Lösungen ist das Vorzeichen der sogenannten Diskriminate D = 4ω 4. Für ω > oder ω < gibt es zwei verschiedene Lösungen, für ω = ± gibt es genau eine Lösung und für < ω < gibt es keine Lösung. Lösung 5.6 Der Scheitel der Parabel = + 4 liegt mittig zwischen den beiden Nullstellen = 4 und = also bei S( 4). Die gespiegelte Parabel hat den Scheitel S ( 4), sie wird durch = ( ) + 4 ( ) = 4 dargestellt. Lösung 5.7 f() = ( + ) + Lösung 5.8 Durch quadratisches Ergänzen erkennt man, dass die Parabelschar f() = a + a = ( a) + a aus Parabeln mit Scheitelpunkten (a a ) besteht. Die Kurve der Scheitelpunkte hat also die Funktionsgleichung g() = Lösung 5.9 a) Die Funktion f() = 4 + ist für alle reellen Zahlen definiert. Der Schnittpunkt mit der -Achse ist ( ). Die Schnittpunkte mit der -Achse findet man mit der Gleichung 4 + = = + + =.

41 4 Wie immer ist beim Lösen von Wurzelgleichungen die Probe zu machen: = 5 4 = 5 = +. Also ist ( ) der einzige Schnittpunkt mit der -Achse. b) Die Funktion g() = 5 ist nur für > 4 definiert. Es gibt somit keinen Schnittpunkt 4 mit der -Achse. Die Schnittpunkte mit der -Achse ergeben sich aus 5 = = 5 4 = =. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind, = 5 ± 65 4 =, 5. Zur Probe setzen wir die Werte in die Ausgangsgleichung ein 4 5 =, = und haben somit zwei Schnittpunkte mit der -Achse ( ) und (5 ). c) Die Funktion h() = + ist nur für definiert. Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der -Achse. Die Schnittpunkte mit der -Achse findet man aus der Bedingung + =. Für ist + immer größer gleich und wird deshalb niemals null. Folglich gibt es keine Schnittpunkte mit den Achsen. Lösung 5. a) Die Funktion f() = + stellt eine nach Oben geöffnete Normalparabel dar. Die Nullstellen sind bei = und =. Deshalb ist der Scheitel bei ( )

42 4 b) f() = + für ( + ) für < < + für 4 c) Wegen ( + ) = + ergibt sich dasselbe Schaubild wie in Aufgabenteil b) d) f() = { ( + ) für ( + ) für <

43 4 e) f() = { ( + ) ( ( + )) für für < f) f() = { ( + ) für ( + ) für < Lösung 5. a) f() = { = für > = für < An der Stelle = ist die Funktion nicht definiert

44 44 b) Die Funktion f() = + ist der Mittelwert aus g() = und h() =. 4 c) d) f() = { + = für = für < f() = für für < < für Lösung 5. a) Die Funktion f() = cos sin ist ungerade, denn das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ergibt eine ungerade Funktion. b) Die Funktion f() = sin ist gerade, denn f( ) = sin ( ) = sin = f(). c) Die Funktion f() = sin ist gerade, denn f( ) = (sin ( )) = ( sin ) = sin = f().

45 45 d) Die Funktion f() = ist ungerade, denn f( ) = ( ) = = f(). e) Die Funktion f() = 4 + ist ungerade, denn f( ) = ( )4 + = 4 + = f(). ( ) f) Die Funktion f() = + + und f( ) = =. ist weder gerade noch ungerade, denn beispielsweise ist f() = Lösung 5. Für -Werte zwischen und besteht das Schaubild aus der ersten Winkelhalbierenden. Dieses Geradenstück wiederholt sich mit der Periode. Lösung 5.4 Wir unterscheiden folgende Fälle: Für a > ist die Funktion bei beliebigem b immer beschränkt. Für a = ergibt sich eine Definitionslücke bei = und wir müssen drei Fälle für b unterscheiden: Bei a = und b = ist die Funktion identisch null und damit sicher beschränkt. Bei a = und positivem b sind alle Funktionswerte positiv und die Funktion ist durch nach unten beschränkt, aber nicht nach oben beschränkt. Bei a = und negativem b sind alle Funktionswerte negativ und die Funktion ist durch nach oben beschränkt, aber nicht nach unten beschränkt. Für a < ergeben sich zwei Definitionslücken bei = ± 4 a und wir müssen zwei Fälle für b unterscheiden: Bei a < und b = ist die Funktion identisch null und damit sicher beschränkt. Bei a < und b ist die Funktion weder nach oben noch nach unten beschränkt. Lösung 5.5

46 46 Die Umkehrfunktion f findet man durch Aulösen der Gleichung = nach und vertauschen von und f () =. Der Kehrwert der Funktion ist f() =. 4 Den Schnittpunkt bestimmt man aus der Gleichung = = = = Lösung 5.6 Das Schaubid der Funktion f() = ( ) 4 ähnelt einer Normalparabel, die um nach Rechts und um nach unten verschoben wird. Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, die Wertemenge ist [, ). Die Funktion ist auf [, ) streng monoton wachsend, also umkehrbar. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion lösen wir nach auf: = ( ) = = Durch Vertauschen von und ergibt sich die Umkehrfunktion f () = Das Schaubild entsteht durch Spiegeln an der ersten Winkelhalbierenden. Für Spezialisten: Man könnte die Umkehrfunktion auch für das Intervall (, ]) bestimmen. Dann ist die Umkehrfunktion f () = Lösung 5.7 Da man die beiden Nullstellen kennt, ist die Parabel von der Form f() = a ( ( + ))( ( )) = a ( 4 + ). Den Faktor a bestimmt man durch Punktprobe mit dem Punkt ( ): = a ( 4 + ) a =. Der Scheitel der Parabel liegt mittig zwischen den beiden Nullstellen, also bei ( ).

47 47 Lösung 5.8 Wir wenden die Smmetriebedingung f( ) = f( + ) auf unsere Funktion an und f( ) = (( ) ( ) + ( ) + ) = ( ) = f( + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) + = Wenn wir diese beiden Ausdrücke vergleichen erhalten wir + + = Durch Koeffizientenvergleich ( ) = ( ) ergibt sich = und daraus + = + +. Also muss = sein. Lösung 5.9 f() = für [; ] a( ) + 4 für (; 5] c für (5; 6] Man muss a so bestimmen, dass die Parabel an der Stelle = den Wert hat a( ) + 4 = a = Die Konstante c ergibt sich aus dem Funktionswert der Parabel an der Stelle = 5 c = (5 ) + 4 = 4. 4 Lösung 5. a) Der Ausdruck unter der Wurzel + hat keine Nullstelle, da die Diskriminante ist, und somit negativ. Dadurch ist f() = + für alle -Werte definiert. Für die Wertemenge ist es geschickt den Scheitel der Parabel durch quadratisches Ergänzen zu berechnen: + = ( ) + 4 S ( 4 ).

48 48 Die Wertemenge ist somit [, ). Der Schnittpunkt mit der -Achse ist ( ), mit der -Achse gibt es keine Schnittpunkte. Die Funktion ist nach unten beschränkt, aber nicht nach oben und sie ist weder monoton fallend noch monoton wachsend. Die Funktion ist weder punktsmmetrisch zum Ursprung noch achsensmmetrisch zur -Achse. b) Die Funktion f() = + ist für alle definiert. Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der -Achse. Um die Wertemenge zu ermitteln lösen wir die Funktionsgleichung nach auf: = + + =, = ± 4. Damit unter der Wurzel keine negative Zahl steht, kommen keine -Werte aus dem Intervall (, ) in Frage. Für diese -Werte gibt es also keinen -Wert mit = f(). Für alle anderen -Werte gibt es einen entsprechenden -Wert. Somit ist die Wertemenge (, ] [, ). Die Schnittpunkte mit der -Achse berechnet man aus + = = =. Also gibt es auch keine Schnittpunkte mit der -Achse. Aufgrund von f( ) = = f() ist die Funktion punktsmmetrisch zum Ursprung. Für sehr kleine positive -Werte und für sehr große positive -Werte geht der Funktionswert gegen. Die Funktion ist deshalb nicht nach oben beschränkt. Auf Grund der Punktsmmetrie ist sie auch nicht nach unten beschränkt. Außerdem ist sie weder monoton fallend noch monoton wachsend. c) Die Funktion f() = + ist nur für positive -Werte definiert. Die restlichen Eigenschaften der Funktion ergeben sich aus den Eigenschaften des Ausdrucks unter der Wurzel, den wir in der letzten Teilaufgabe untersucht haben. Die Wertemenge ist [, ). Es gibt keine Achsenschnittpunkte. Die Funktion ist nach unten aber nicht nach oben beschränkt und weder monoton fallend noch monoton wachsend. Die Funktion ist weder punktsmmetrisch zum Ursprung noch achsensmmetrisch zur -Achse. d) Die Funktion f() = = ist nur für -Werte definiert, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist. Außerdem darf nicht null sein. Es ist.

49 Somit ist die Funktion für < definiert, die Wertemenge ist [, ). Es gibt einen Schnittpunkt mit der -Achse ( ) und keinen Schnittpunkt mit der -Achse. Die Funktion ist nach unten aber nicht nach oben beschränkt und streng monoton fallend. Die Funktion ist weder punktsmmetrisch zum Ursprung noch achsensmmetrisch zur -Achse. 49

50

51 5 6 Elementare Funktionen Lösung 6. f() = ( ) 5 + f() = ( + ) f() = ( ) 5 + f() = ( + ) Lösung 6. Es handelt sich um eine Schar von Polnomen mit den Funktionsgleichungen p() = a ( + )( + ) ( )( ), a R. Man muss diesen Ausdruck nicht ausmultiplizieren. Wenn man ihn trotzdem ausmultiplizieren möchte, dann geht das geschickt mithilfe der dritten binomischem Formel p() = a ( + )( ) ( + )( ) = a ( 4)( ) = a ( ). Lösung 6. Die Linearfaktorzerlegung ergibt sich aus 8 = ( 4) = ( )( + ).

52 5 Lösung 6.4 Ein mögliche Lösung ist durch die Funktionsgleichung p() = ( ) ( + ) = (( )( + )) = ( 4) = gegeben. Es gibt noch viel mehr Lösungen. Man kann das Polnom noch mit einem konstanten Faktor a R multiplizieren. Oder sogar noch mit beliebigen Polnomen, denn der Grad ist ja durch die Aufgabenstellung nicht vorgegeben. Lösung 6.5 Das Polnom enthält genau dann den Linearfaktor +, wenn = eine Nullstelle ist. Das ist für ungerades n der Fall, denn bei der Berechnung von p( ) kommen dann und gleich oft vor. Bei geradem n ist p( ) =. Lösung 6.6 Für ω = hat die Funktion die kleinste Periode π. sin(t) π t Für ω = hat die Funktion auch die Periode π. Die kleinste Periode ist aber π. sin( t) π t Für ω = hat die Funktion auch die Periode π. Die kleinste Periode ist aber π. sin(t) π t Lösung 6.7 a) Durch die Umformung f() = sin ( + π 8 ) = sin ( ( + π 4 )) erkennt man, dass die Funktion eine allgemeine Sinusfunktion mit der Amplitude, der Periode 4π und der Verschiebung um π nach Links ist. 4 Die Nullstellen liegen bei π + kπ. Die Etremwerte liegen jeweils zwischen zwei Nullstellen, die 4 Hochpunkte bei π + π + 4kπ und die Tiefpunkte 4 bei π π π π π 4π 4 + π + 4 k π.

53 5 b) Wir bringen die Funktion in die Form einer allgemeinen Kosinusfunktion. Dabei ist auch das negative Vorzeichen zu berücksichtigen f() = π cos ( π π ) = π cos ( + ) = π cos ( ( + π )). Die Amplitude beträgt π, die Periode ist π und eine Verschiebung um π nach links liegt auch vor. Die Nullstellen liegen bei π + π 4 + k π, die Hochpunkte bei π + k π und die Tiefpunkte bei π 6 + k π. π π π π 4π Lösung 6.8 Die -Werte von Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden sich um π. Somit hat die Funktion die Periode T = 6 π und es ist ω = π T =. Aus den -Werten des Hoch- und des Tiefpunktes ergibt t + ϕ). Wenn wir nun sich die Amplitude A = und m =. Somit haben wir f(t) = + cos ( die Koordinaten des Hochpunktes einsetzen = f(π) = + cos ( π + ϕ) ergibt sich ϕ = π. Lösung 6.9 Die Funktion f hat die doppelte Periode von tan, also Periode π. Außerdem liegt eine Verschiebung um π nach rechts vor. Die senkrechten Asmptoten sind bei π + k π für alle ganzen Zahlen k. Die Gleichung tan ( π ) = besitzt die Lösung 4 π 4 = arctan( ) = π. Alle Lösungen sind dann 4 = k π. π π π π π π π 4π π π Lösung 6. a) Die Funktion t sin t hat dieselben Nullstellen wie 4 die sin-funktion, also alle ganzzahligen Vielfachen von π. Die Multiplikation mit t bewirkt, dass die Amplitude proportional zu t anwächst. Ausserdem gilt f( t) = 4 ( t) sin( t) = t sin t = f(t), 4 π π folglich ist die Funktion achsensmmetrisch zur -Achse.

54 54 b) Die Funktion 4 t cos (4 t) hat ihre Nullstellen bei π 8 + k π 4. Die Multiplikation mit t bewirkt, dass die Amplitude proportional zu t anwächst und dass die Funktion bei t = auch eine Nullstelle hat. π π Lösung 6. a) Das Schaubild der Funktion f() = sin() + leitet man aus dem Schaubild der Funktion sin ab. Zuerst Verdoppeln der Amplitude, dann negative Werte an der -Achse spiegeln und zuletzt um nach oben verschieben. Die betragsfreie Darstellung lautet 4 π π π π f() = { b) Das Schaubild der Funktion f() = sin() + leitet man aus dem Schaubild der Funktion sin ab. Zuerst Verdoppeln der Amplitude, dann um nach oben verschieben und zuletzt negative Werte an der -Achse spiegeln. Für die betragsfreie Darstellung müssen wir herausfinden, wann sin() + null wird, also wann hat der Sinus den Wert. Das ist aber genau für die -Werte zwischen 7 π π und der Fall. Die betragsfreie 6 Darstellung lautet sin() + für..., [ 4π, π], [ π, π], [, π], [π, π],... sin() + sonst 4 6 π π π π f() = { sin() + sonst sin() für..., ( 7 π, π 6 6 ), ( 9 π 6, π 6 ),... Lösung 6. a) Eine Lösung der Gleichung cos = ist = arccos = π. Aufgrund der Smmetrie ist dann auch = π π eine Lösung. Wegen der Periodizität haben die Schnittpunkte die -Koordinaten = π + k π, = 5 π + k π.

55 55 b) Eine Lösung der Gleichung sin ( ) = ist = arcsin = π. Aufgrund der Smme- 8 trie ist dann auch = π 4 + π eine Lösung. Wegen der Periodizität haben die Schnittpunkte 8 die -Koordinaten = π 8 + k π, = π 8 + k π. c) Eine Lösung der Gleichung f() = tan ( ) = ist = arctan = π. Wegen der Periodizität haben die Schnittpunkte die -Koordinaten = π + k π. Lösung 6. Den Schnittpunkt berechnet man aus der Gleichung e + =. Logarithmieren ergibt + = ln ( ln ) = Die Lösung ist also = ln Lösung 6.4 Durch Punktprobe ergibt sich = c a, also c = und = c a, also a =. Lösung 6.5 Das Schaubild der Funktionen f() = e entsteht aus e durch Verschieben um in positiver -Richtung. a) Spiegeln an der -Achse bedeutet, dass f() zu f() wird, also e. b) Spiegeln an der -Achse bedeutet, dass durch ersetzt wird, also e. c) Spiegeln an der. Winkelhalbierenden erzeugt die Umkehrfunktion, also 4 = e ln = = ln + f () = ln +.

56 56 Lösung 6.6 Die Funktion f(t) schwingt wie sin(4 t π ) = cos(4 t) und die Amplitude verläuft im Trichter der beiden Eponentialfunktionen e t und e t. Die Achsenschnittpunkte sind bei π 8 + k π, dabei startet k bei 4 null und durchläuft dann alle natürlichen Zahlen. π π Lösung 6.7 Die Funktion ist smmetrisch zur -Achse und nur für > a definiert. Durch die Umformung ln a = ln( a)( + a) ln( a)( + a) = (ln( a) + ln( + a)) sieht man, dass f() der Mittelwert aus der um eins nach Links und der ums eins nach Rechts verschobenen Logarithmusfunktion ist. Die Schnittpunkte ergeben sich aus 4 a a = ln a a =, = ± + a und = ln a a = e,4 = ± e + a. Lösung 6.8 Das Polnom p() = ( ) k k k = = ( ) k= hat nur eine einzige Nullstelle bei =, denn die quadratische Gleichung = hat keine Lösung. Lösung 6.9 a) ( ) ( + + ) =

57 57 b) ( ) ( + + ) = Lösung 6. Die Nullstelle = des Polnoms kann man durch Raten finden. Durch Polnomdivision ergibt sich dann ( + + ) ( ) = +. Die restlichen Nullstellen findet man mit der Mitternachtsformel, = ± =, 5. Die Zerlegung in Linearfaktoren lautet also f() = + + = ( ) ( ) ( + 5). In dieser Form kann man die Verschiebungen einfach durchführen g() = ( 5 ) ( 5 ) ( 5 + 5) = ( 6) ( 7) = Lösung 6.

58 58 a) Das Polnom p(t) = t 6 + 6t 5 + 5t 4 = t 4 (t + 6t + 5) hat die vierfache Nullstelle t,,,4 = und die beiden Nullstellen t 5,6 = 6 ± 6 =, 5. Die Zerlegung in Linearfaktoren lautet deshalb p(t) = t 6 + 6t 5 + 5t 4 = t 4 (t + ) (t + 5). b) Verwendet man die Substitution u 4 = bei dem Polnom f(u) = u 8 5u 4 6 so ergibt sich 5 6 und die Nullstellen in sind, = 5 ± = 6,. Die Gleichung u 4 = 6 hat die beiden Lösungen u = und u = -. Die Gleichung u 4 = besitzt keine Lösung. Die Zerlegung in Linearfaktoren lautet deshalb f(u) = u 8 5u 4 6 = (u )(u + ) Rest. Den Rest kann man durch Polnomdivision (u 8 5u 4 6) (u 4) = u 6 + 4u 4 + u + 4 bestimmen. Lösung 6. a) Die Definitionsmenge ist D = R {, }. Die Nullstelle = kann man durch Raten finden und die weiteren Nullstellen = und = findet man durch Polnomdivision ( ) ( + ) = b) Die Definitionsmenge ist D = R {, }. Die Nullstelle des Zählers = kann man durch Raten finden und die weiteren Nullstellen findet man durch Polnomdivision ( + ) ( + ) = Wegen + = ( )( ) sind auch = und = Nullstellen des Zählers. Aber lediglich = ist eine Nullstelle der Funktion. Zähler und Nenner enthalten die gemeinsamen Linearfaktoren + und. Somit gilt f() =.

59 59 Lösung 6. a) b) ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = Lösung 6.4 a) Zunächst bestimmen wir die Nullstellen des Nenners =, = 7 ± =, 4. Für die beiden einfachen Nullstellen verwenden wir den Ansatz = A + + B + 4. Für den Koeffizientenvergleich fassen wir die rechte Seite mit dem Hauptnenner zusammen A( + 4) + B( + ) = ( + )( + 4) Dadurch erhalten wir das lineare Gleichungssstem s 4 A + B = s A + B = = A + 4 A + B + B mit der eindeutigen Lösung A = und B = 4. Die Partialbruchzerlegung lautet =

60 6 b) Der Nenner besitzt die doppelte Nullstelle, =, denn + = ( ). Dafür verwenden wir den Ansatz + = A + B ( ). Für den Koeffizientenvergleich fassen wir die rechte Seite mit dem Hauptnenner zusammen A( ) + B = = A A + B + ( ) +. Das lineare Gleichungssstem s A + B = s A = hat die eindeutige Lösung A = und B =. Die Partialbruchzerlegung lautet + = + ( ). c) Durch Ausklammern von + = ( + ) erkennt man, dass der Nenner nur eine einzige reelle Nullstelle hat, nämlich =. Entsprechend laute der Ansatz für die Partialbruchzerlegung Der Koeffizientenvergleich = A + B + C +. = A( + ) + (B + C) ( + ) ergibt das lineare Gleichungssstem s A = s C = s A + B = 5 = A + A + B + C + mit der eindeutigen Lösung A =, B = 4 und C =. Die Partialbruchzerlegung lautet = Lösung 6.5

61 6 a) Mit der Doppelwinkelformel cos = cos ergibt sich cos + cos =. Substitution u = cos u + u = u, = ± =,. Wir suchen also alle -Werte bei denen cos entweder oder ist. Für = π + kπ ist cos =. Innerhalb einer Periode nimmt cos an zwei Stellen den Wert an, nämlich bei = arccos = π und bei 5π. Insgesamt erhalten wir folgende Lösungen = π + kπ, = π + kπ, = 5π + kπ, dabei durchläuft k alle ganzen Zahlen. b) Wir suchen alle Lösungen der trigonometrischen Gleichung sin + cos =. Wegen sin + cos = kann man sin durch ± cos ersetzen. Die Gleichung lautet dann ± cos + cos =. Durch die Substitution u = cos wird die Gleichung einfacher ± u + u =. Diese Wurzelgleichung löst man durch separieren der Wurzel und Quadrieren: ± u = u u = ( u) u = u+u = u+u u =, u =. Die Probe zeigt, dass beide Werte die Ausgangsgleichung erfüllen. Wir müssen also alle -Werte finden, bei denen cos entweder oder ist. Für = π + kπ ist cos = und für = kπ ist cos =. Dabei durchläuft k alle ganzen Zahlen...,,,,,,.... Lösung 6.6 a) π π π π π 4π

62 6 b) π π π π π 4π Lösung 6.7 cosh sinh = ( e + e ) ( e e ) = 4 (e + + e e + e ) =. Lösung 6.8 a) Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, die Wertemenge ist (, ]. Wegen f( ) = + ( ) = 4 + = f() 4 ist die Funktion smmetrisch zur -Achse. Den größten Wert hat f() für =, mit wachsenden -Werten nehmen die Funktionswerte kontinuierlich ab. Auf [, ) ist f() somit streng monoton fallend, also umkehrbar. Die Umkehrfunktion berechnet man durch Auflösen nach : = + 4 = + 4 = 4 f () = 4 Für Spezialisten: Man könnte die Umkehrfunktion auch für das Intervall (, ]) bestimmen. Dann ist die Umkehrfunktion f () = 4. b) Die Funktion cos ist für alle reellen Zahlen definiert, die Wertemenge ist [, ]. Wegen f( ) = cos( ) = cos = f() ist die Funktion smmetrisch zur -Achse. Die Funktion ist nicht periodisch. Auf [, π] ist f() streng monoton fallend, denn ist streng monoton wachsend und cos streng monoton fallend. In diesem Intervall gibt es also eine Umkehrfunktion, die man durch Auflösen nach berechnet: = cos arccos = = arccos f () = arccos