Inhaltsverzeichnis Einleitung Kryptografie Codierung

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Ziel dieses Buches Historisches zur Lehre von Mathematik Vorgehen in diesem Buch Die Kapitel Einige Bemerkungen Kryptografie Die alte und die neue Kryptografie Alphabetische Verschlüsselung Verschlüsseln mit dem One-Time-Pad Primzahlen Faktorensuchen ist schwer Die Menge der Primzahlen Restklassen modulo n Vorschau auf die kryptografischen Rechnungen Der Modul der Restklassen modulo n Allgemeines Rechnen modulo n Multiplizieren modulo n Potenzieren modulo n Inversenbestimmung modulo n Euklidischer Algorithmus und der ggt Inversenbestimmung mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Kryptografische Verfahren Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung RSA-Verschlüsselung Digitale Signatur Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel Rückblick auf die moderne Kryptografie Codierung Europäische Artikelnummer: EAN Prüfung der EAN und Berechnung der Prüfziffer Aufbau des Strichcodes Buchnummern ISBN-10 und ISBN Eigenschaften und Prüfung der alten ISBN Vor- und Nachteile der neuen ISBN IBAN, die internationale Bankkontonummer Aufbau der IBAN Bestimmung der IBAN-Prüfzahl Codierung mit 0 und 1 ist überall... 54

2 x Inhaltsverzeichnis Fehlerkorrigierende Codes QR-Code, das gescheckte Quadrat Aufbau des QR-Codes Für Sie erfunden: Zwerg-QR-Code Rückblick auf die Codierung Graphentheorie und Knotentheorie Allerlei Graphen Euler, Königsberg und Graphen Beschreibung von Graphen Aufspannende Bäume Minimale Spannbäume Spannbäume in ungewichteten Graphen Kürzeste Wege Kürzeste Wege in gewichteten Graphen Dijkstra-Algorithmus Färbungen Konfliktgraphen Landkartenfärbung Knotentheorie Definitionen der Knotentheorie Aufgabe der Knotentheorie Primknoten strukturieren die Knotentheorie Dreifärbbarkeit als Knoteninvariante Die p-etikettierbarkeit als Knoteninvariante Das Alexander-Polynom als Knoteninvariante Verschlingungen und Zöpfe Graphen- und Knotentheorie: Rückblick und Ausblick Fraktale, Chaos, Ordnung Idee von Rekursion und Iteration Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen Wachstumsvorgänge Feigenbaumdiagramm Fraktale und Dimension Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme Selbstähnlichkeit und Dimension Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS) Mandelbrot- und Julia-Mengen Das echte Apfelmännchen Julia-Mengen Muster der Natur Zelluläre Automaten Spiralen mit goldenem Winkel Spiralen mit Fibonacci-Zahlen...134

3 Inhaltsverzeichnis xi 6 Welt der Funktionen Funktionenfamilien Parabeln und elementare Variationen Geraden und Potenzfunktionen Polynome in ihrer Vielfalt Sinus, Kosinus und Musik Exponentialfunktionen Umkehrfunktionen Funktionenbauhof Summe von Funktionen Produkt von Funktionen Verkettung von Funktionen Blick auf den Punkt: Ableitung Ableitungsfunktion Die e-funktion, das Geheimnis wird gelüftet Blick auf das Ganze: das Integral Definition des Integrals Weitere Anwendungen des Integrals Großartiger Zusammenhang Teppich abrollen mit der Integralfunktion Funktionen in höheren Räumen Funktionen im 3D-Raum Mathematische 3D-Lösungen im Bauwesen Noch höher hinaus Optimierung als Ziel Extremwertaufgaben Gewinnoptimierung Lineare Optimierung Minimalflächen Methode der kleinsten Quadrate Optimierung ist überall Computer und Mathematik Binärsystem Zahlenhellseher Plus und Mal mit Binärzahlen Subtraktion mit Trick Binäre Kommazahlen Zahldarstellung im Computer Experimente mit Kommazahlen in Computern Maschinengenauigkeit Binäre Gleitkommazahlen in Computern Numerisch arbeitende Werkzeuge Software für numerische Aufgaben Numerik ist überall...222

4 xii Inhaltsverzeichnis Tabellenkalkulationen Dynamische Mathematik Dynamische-Geometrie-Systeme (DGS) Dynamische-3D-Geometrie Vom Taschenrechner zum Handheld-Computer Computer-Algebra-Systeme (CAS) Die Mächtigkeit der CAS Computer in nicht-numerischen Anwendungen Berechenbarkeit Berechenbar, aber nicht effektiv berechenbar Komplexität von Programmen Die Klasse der NP-vollständigen Probleme Nutzen der Computerbeschränkungen Computer in unserer Welt Numerik Numerische Verfahren der Analysis Heron-Verfahren für Wurzeln Nullstellensuche Numerische Integration Für alle Fälle: Polynome Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird Bézier-Splines: frei gestaltete Formen Fourier-Reihen Klangfarben Aufstellen der Fourier-Reihe für periodische Funktionen Differenzialgleichungen Ohne Numerik geht es nicht Stochastik Beschreibende Statistik Fehler in der beschreibenden Statistik Regression Wahrscheinlichkeitstheorie Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Axiome von Kolmogorow Mehrstufige Zufallsversuche Simulation der Gleichverteilung Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung Krüge für den Handwerkermarkt Kombinatorik Verteilungen Binomialverteilung Simulation von Bernoulli-Ketten...277

5 Inhaltsverzeichnis xiii Simulation der Binomialverteilung und Beispiele Kumulierte Verteilungsfunktionen Normalverteilung Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik: Schätzen Intervallschätzung im binomialen Fall Intervallschätzung im normalverteilten Fall Beurteilende Statistik: Testen Hypothesentest im binomialen Fall Allgemeine Vorgehensweise beim Signifikanztest Deutung der Unsicherheit beim Signifikanztest Hypothesentest mit den z-sigma-grenzen Trennschärfe eines Tests Hypothesentest bei Messreihen Stochastische Prozesse Markow-Ketten Warteschlangen Stochastik im Rückblick Geometrie Der goldene Schnitt Interaktive Erkundung des goldenen Schnittes Die Kegelschnitte Namensgeheimnis der Kegelschnitte Reflexion bei Parabeln Konstruktion der Reflexion Anwendungen der Parabelreflexion Die Parabel und ihre Leitgerade Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln Anwendungen der Ellipsenreflexion Ellipse, Hyperbel und ihr gemeinsamer Leitkreis Fadenkonstruktionen von Ellipse und Hyperbel Kaustiken und Katakaustiken Geometrie im Rückblick Selbstverständnis der Mathematik Mathematiker und Mathematikerinnen Algebra und Zahlaufbau Natürliche und ganze Zahlen Rationale und reelle Zahlen Komplexe Zahlen Mathematische Schönheit Beweisen Ein Beweis in der Geometrie Ein Beweis in der Analysis Die unlösbaren Probleme der Antike...350

6 xiv Inhaltsverzeichnis 12.6 Fazit Lösungen 353 Literaturverzeichnis 363 Sachverzeichnis 375

7