Aussagenlogik. Syntax und Semantik Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle

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1 Aussagenlogik Syntax und Semantik Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 23 Einführendes Beispiel Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. Wer lügt, und wer sagt die Wahrheit?

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 24 Syntax der Aussagenlogik Wir setzen eine Menge V = {A, B, C,...} von Aussagenvariablen voraus. Formeln der Aussagenlogik (über V) sind induktiv definiert durch: Jeder Aussagenvariable A ist eine Formel. Die Konstanten tt und ff sind Formeln. Sind ϕ und ψ Formeln, so sind auch (ϕ ψ) (ϕ ψ) ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) Formeln. ( und ) ( oder ) ( nicht ) ( wenn-dann ) ( genau-dann-wenn )

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 25 Präzedenzregeln zur besseren Lesbarkeit lassen wir auch Klammern weg (z.b. ganz außen) Bindungskraft der Operatoren (auch Junktoren genannt) in absteigender Reihenfolge:,,,, soll heissen: ((A (B C)) (C A)) schreiben wir auch als A (B C) C A

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 26 Interpretationen Def.: Sei B = {0, 1} Menge der Booleschen Werte falsch und wahr. Def.: Eine Interpretation (Variablenbelegung) ist eine Abbildung I : V B. Interpretationen können Modelle einer Formel sein; diese Beziehung ist induktiv definiert: I = tt, I = ff und I = A gdw. I(A) = 1 I = ϕ ψ gdw. I = ϕ und I = ψ I = ϕ ψ gdw. I = ϕ oder I = ψ I = ϕ gdw. I = ϕ I = ϕ ψ gdw. wenn I = ϕ dann I = ψ I = ϕ ψ gdw. I = ϕ genau dann, wenn I = ψ Beachte Unterscheidung zwischen Formeln ff, tt (Syntax) und zugeordneten Werten 0, 1 (Semantik)

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 27 Beispiele Bsp.: I = {A 1, B 0, C 1, D 0} Ist I jeweils Modell der folgenden Formeln? (A B) (C D) ( A B) ( C D) A B A B A B A B (A B) (C D) ( D ff)

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 28 Beispiel Logik über anonymen Aussagenvariablen für Theorie der Wahrheit beliebiger Aussagen Formeln lassen sich natürlich mit konkreten Aussagen instanziieren Bsp. (weitergef.): Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. Lösung erfordert Formalisierung; drei Variablen B, M, N mit intendierter Bedeutung: Bahareh sagt die Wahrheit (B),... obiger Sachverhalt wird beschrieben durch welche Formel(n)? (N M) (M B) (B (M N)) jedes Modell dieser Formel beschreibt Lösung des Rätsels

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 29 Formeln und Boolesche Funktionen eine Formel ϕ mit n vorkommenden Aussagenvariablen A 1,...,A n stellt eine Funktion vom Typ B n B dar es gibt nur 2 n viele Interpretationen, die sich in A 1,...,A n unterscheiden; also gibt es nur 2 n viele verschiedene Eingaben an ϕ Funktionswert 1 besagt, dass die durch Argumente gegebene Interpretation ein Modell ist Funktionen mit endlichem Domain können durch Tabellierung aller Argumente repräsentiert werden

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 30 Wahrheitstafeln...für die Junktoren und Konstanten der Aussagenlogik ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ tt 1 ff 0

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 31 Wahrheitstafeln...für komplexere Formeln A B C A B A B ff B B C (A B ff) ( B C)

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 32 Beispiel (weiterg.) Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. formalisiert als (N M) (M B) (B (M N)) M N B ϕ einzige mögliche Lösung: Norbert und Marcel lügen, Bahareh sagt die Wahrheit

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 33 Äquivalenzen Def.: ϕ und ψ heissen äquivalent, geschrieben ϕ ψ, gdw. für alle Interpretationen I gilt: I = ϕ gdw. I = ψ Äquivalenzen können z.b. ausgenutzt werden, um kleinere Formeln, die dasselbe ausdrücken, zu erhalten Bsp.: B (A B) A B Beweis z.b. durch Wahrheitstafeln A B B (A B) A B

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 34 Wenige Formeln Warum ist die folgende Aussagen falsch? Es gibt 17 paarweise nicht-äquivalente Formel ϕ 1,...,ϕ 17,dienurdieVariablenA und B verwenden. Thm.: Für jedes n N gibt es genau 2 2n viele verschiedene, paarweise nicht-äquivalente Formeln der Aussagenlogik. Beweis: ϕ ψ genau dann, wenn ihre Wahrheitstafeln übereinstimmen. Es gibt aber genau nur 2 2n viele verschiedene Wahrheitstafeln mit n Argumenten. Übung: Finde alle 16 paarweise nicht-äquivalenten Formeln über 2 Variablen.

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 35 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ Def.: eine Formel ϕ heißt allgemeingültig (oder Tautologie), wenn für alle I gilt: I = ϕ Übung: erkläre Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit anhand von Wahrheitstafeln Lemma: ϕ ist erfüllbar gdw. ϕ nicht allgemeingültig ist Beweis: Sei ϕ erfüllbar. Dann ex. I mit I = ϕ und daher I = ϕ. Somit ist ϕ nicht allgemeingültig. Genauso. beachte: ϕ unerfüllbar gdw. ϕ allgemeingültig

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 36 Beispiele die folgenden Formeln sind erfüllbar A, A, A B, (A B) ( A B) (A B) die folgenden Formeln sind unerfüllbar A A, (A B) ( A B) (A B) ( A B) die folgenden Formeln sind Tautologien A A, (A B) (B C) (A C), A A beachte: ist nicht assoziativ; Konvention: rechts geklammert

16 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 37 Zusammenhänge Theorem 1 a) ϕ ψ ist allgemeingültig gdw. ϕ und ψ allgemeingültig sind b) ϕ ψ ist erfüllbar gdw. ϕ oder ψ erfüllbar ist c) ϕ ψ gdw. ϕ ψ allgemeingültig d) ϕ allgemeingültig gdw. ϕ tt e) ϕ unerfüllbar gdw. ϕ ff Beweis: (Übung)

17 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 38 Fallstricke Vorsicht! Folgendes gilt nicht: ϕ ψ allgemeingültig gdw. ϕ oder ψ allgemeingültig ϕ ψ erfüllbar gdw. ϕ und ψ erfüllbar Gegenbeispiele? aber es gelten jeweils eine der beiden Richtungen, welche?

18 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 39 Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und Negation Übung: Was ist jeweils möglich bzw. unmöglich? a) ϕ und ϕ beide erfüllbar b) ϕ und ϕ beide allgemeingültig c) ϕ und ϕ beide unerfüllbar d) ϕ erfüllbar und ϕ unerfüllbar e) das Gegenteil von (d)

19 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 40 Anwendungen von Erfüllbarkeit Def.: Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist das folgende: Geg. ϕ, entscheide, ob ϕ erfüllbar ist oder nicht. Lösung des Rätsels über das Lügen ist Erfüllbarkeitstest Zusammenhang zu Allgemeingültigkeit bedeutet: über Erfüllbarkeit lässt sich herausfinden, welche aussagenlogischen Zusammenhänge gelten allgemein: Erfüllbarkeitstest ist Auffinden von Lösungen...

20 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 41 Bsp.: Sudoko via Aussagenlogik verwende Variablen X k i,j mit 1 i, j 9 und 0 k 3 für binäre Kodierung der Lösung intuitive Bedeutung das k-te Bit der Zahl im Feld (i, j) ist gesetzt betrachte Konjunktion über die folgenden Aussagen an jeder Stelle steht eine Zahl zwischen 1 und 9 in jeder Zeile / Spalte / Block kommt keine Zahl doppelt vor Vorbelegungen, z.b. in Feld (2, 7) steht die 5

21 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 42 Ein naiver Erfüllbarkeitstest Theorem 2 SAT ist in Zeit O( ϕ 2 Vars(ϕ) ) entscheidbar. ( ϕ =Länge von ϕ, Vars(ϕ) = Menge der Variablen in ϕ) Beweis: Beachte: in Zeit O( ϕ ) lässt sich für gegebenes I entscheiden, ob I = ϕ gilt oder nicht (Übung). es reicht aus, nur Interpretationen vom Typ I : Vars(ϕ) {0, 1} zu betrachten; davon gibt es nur 2 Vars(ϕ) viele Aufzählung aller relevanten Interpretationen und sukzessives Testen

22 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 43 Def.: Normalformen Ein Literal ist eine Variable A oder ihre Negation A. Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen, n i=1 i. Ein Minterm ist eine Konjunktion von Literalen, n i=1 i. Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Klauseln ist, n mi i=1 j=1 i,j. Eine Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Mintermen ist, n mi i=1 j=1 i,j. Bsp. (A B) (B C A) ist in KNF wir schreiben Formeln in KNF (oder DNF) wegen Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz auch als Mengen von Mengen von Literalen

23 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Substitutionen Def.: ϕ[ψ/a] bezeichne die simultane Ersetzung von jedem Vorkommen der Variablen A in ϕ durch ψ Theorem 3 Aussagenlogische Äquivalenz ist eine Kongruenzrelation: Wenn ψ θ dann ϕ[ψ/a] ϕ[θ/a]. Beweis (durch Induktion über den Aufbau von ϕ) Frage: macht es einen Unterschied, wenn man nicht simultan ersetzt?

24 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 45 Existenz von Normalformen Theorem 4 Für jedes ϕ existiert ein ψ in KNF / DNF, so dass ϕ ψ. Beweis: Durch schrittweises Umbauen von ϕ: 1 Elimination von, mittels ϕ 1 ϕ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) (ϕ 2 ϕ 1 ), ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 2 Anwenden der de Morgan-Gesetze und θ θ liefert Formel, die nur aus Literalen mit, gebaut ist. 3 Anwenden der Distributivgesetze liefert KNF oder DNF. Alle Schritte sind äquivalenzerhaltend laut Thm. 3.

25 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 46 Das Erfüllbarkeitsproblem für DNF Theorem 5 DNF-SAT (SAT für Formeln in DNF) lässt sich in Zeit O( ϕ log ϕ ) entscheiden. Beweis: Ein Minterm n i=1 l i ist erfüllbar gdw. es keine A, i, j gibt, so dass l i = A und l j = A für 1 i, j n. Eine Disjunktion n i=1 ϕ i ist erfüllbar gdw. es ein i gibt, so dass ϕ i erfüllbar ist. Somit kann Erfüllbarkeit einer DNF in einem Durchlauf (nach Sortierung) durch die Formel entschieden werden. Warum dann nicht Erfüllbarkeitstest für allgemeine Formel ϕ so: Wandle ϕ in äquivalente DNF ψ um. Teste Erfüllbarkeit von ψ.

26 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 47 Erfüllbarkeitsäquivalenz neben dem starken Äquivalenzbegriff führen wir noch einen schwächeren ein Def.: ϕ und ψ sind erfüllbarkeitsäquivalent, ϕ sat ψ, falls gilt: ϕ erfüllbar gdw. ψ erfüllbar beachte: sat ist Äquivalenzrelation mit nur zwei Äquivalenzklassen; kanonische Vertreter sind tt, ff Wofür kann das dann überhaupt gut sein? Ist man (nur) an Erfüllbarkeit von ϕ interessiert, so reicht es aus, Erfüllbarkeit von ψ zu testen, falls ϕ sat ψ (aber evtl. nicht ϕ ψ).

27 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 48 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Theorem 6 Für jedes ϕ gibt es ein ψ in KNF, sodassϕ sat ψ und ψ = O( ϕ ). Beweis: Für jede nicht-atomare Subformel θ von ϕ führen wir eine Variable X θ ein. Dann wird ϕ sukzessive nach folgender Vorschrift von unten nach oben umgebaut. Solange es noch eine nicht-atomare Subformel θ gibt, ersetze diese durch X θ und definiere eine KNF ψ θ je nach Junktor in θ, z.b. Falls θ = Y Z, dann ψ θ := ( X θ Y ) ( X θ Z) (X θ Y Z) Definiere schlussendlich ψ := X ϕ {ψ θ θ Subformel von ϕ}

28 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 49 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Beachte: Es gilt in obiger Konstruktion nicht nur ϕ sat ψ, sondern noch etwas stärkeres: Vars(ϕ) Vars(ψ) Ist I = ψ, so auch I = ϕ (aber nicht unbedingt umgekehrt). Soll heißen: ψ ist nicht nur erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ, sondern jeder erfüllende Variablenbelegung für ψ ist auch eine für ϕ. Beachte: Erfüllbarkeitstest in O(n log n) war für DNF, nicht KNF! Umwandlung in erfüllbarkeitsäquivalente DNF ist wohl nicht mit nur polynomiellem Aufwand möglich.

29 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 50 Beispiel Gesucht ist Formel ExactlyOne(V ) für endliche Variablenmenge V, so dass I = ExactlyOne(V ) gdw. I(A) =1für genau ein A V Einfache Lösung: ExactlyOne(V ) := A V(A B V B=A B) beachte: dies hat Größe O(n 2 ) Geht es auch mit Formel der Größe O(n)?

30 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 51 Genau eins mit linearem Aufwand angenommen V = {A 1,...,A n }. spendiere zusätzliche Variablen B i, i =1,...,n, diejeweils ausdrücken sollen eine der A 1,...,A i ist wahr ExactlyOne(V ):=ϕ 1 ϕ 2, wobei ϕ 1 := n A i i=1 ϕ 2 := (A 1 B 1 ) n (( B i 1 A i ) B i ) (B i 1 A i ) i=2

31 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 52 Horn-Formeln Def.: Eine Horn-Formel ist ein ϕ in KNF, sodassinjederklausel höchstens ein positives Literal vorkommt. Beachte: A 1... A n B A 1... A n B A 1... A n A 1... A n ff Theorem 7 HORN-SAT (Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln) ist in Zeit O( ϕ 2 ) lösbar. Beweis: (Übung) Beachte: mit etwas Cleverness lässt es sich sogar in O( ϕ ) lösen

32 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 53 SAT-Solver Ein SAT-Solver ist eine Implementierung eines Algorithmus für das SAT-Problem. Obwohl dies i.a. exponentielle (in Vars(ϕ) ) Laufzeit braucht, gibt es mittlerweile einige SAT-Solver, die in der Praxis erstaunlich gut funktionieren. Minisat Picosat Berkmin RSat zchaff siehe auch SATLive-Webseite

33 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 54 Das DIMACS-Format SAT-Solver verlangen typischerweise eine Eingabe in KNF. Standardisiertes Format: DIMACS Variablen sind natürliche Zahlen 1 Literale werden durch Integer bezeichnet, z.b. A 7 = 7, A 4 = -4 Klausel ist Liste von Integern, 0 markiert Klauselende KNF ist Liste von Klauseln Kommentare im Header (c...) spezielle Headerzeile (p cnf...) gibt Anzahl verwendeter Klauseln und Variablen an

34 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 55 Beispiel Die KNF ( A B C) (B C) D (A D) ( B C D) kann im DIMACS-Format so repräsentiert werden: c Beispielformel aus der Vorlesung c Autor: Martin Lange p cnf

35 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 56 SAT-Solver im Einsatz Clevere Heuristiken und jahrelanges Tuning haben dazu geführt, dass moderne SAT-Solver typischerweise Instanzen der Größenordnung 10 5 Variablen 10 6 Klauseln lösen können. Vorsicht! Es gibt natürlich auch (im Vergleich dazu) sehr kleine Instanzen, an denen sie sich die Zähne ausbeissen. typischer Einsatz von SAT-Solvern (nicht annähernd vollständig): Hardware-Verifikation Planungsprobleme in der KI Constraint-Solving...

36 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 57 Ersetzung von Literalen Def.: Sei C Klauselmenge (= Menge von Mengen von Literalen). Mit C[A 1] bezeichnen wir die Menge von Klauseln, die dadurch entsteht, dass man 1 jede Klausel, die das Literal A enthält, aus C entfernt, und 2 das Literal A aus jeder Klausel in C entfernt. Für C[A 0] gilt das entsprechend duale. Bsp.: C = {{A, B}, { A, B}, { A, B}} C[A 1] = {{ B}, {B}} C[B 0] = {{ A}} Lemma: Sei C Klauselmenge (als KNF aufgefasst), A Variable. C erfüllbar gdw. C[A 1] oder C[A 0] erfüllbar. Beweis: (Übung)

37 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 58 Unit-Propagation Lemma: Sei C Klauselmenge, A Variable, so dass {A} C. Dann ist C erfüllbar gdw. C[A 1] erfüllbar ist. Beweis: folgt sofort aus Lemma davor. Sei C erfüllbar. Wegen Lemma davor müssen wir lediglich zeigen, dass C[A 0] unerfüllbar ist. Dies ist der Fall, denn da {A} Cgilt C[A 0], und wegen KNF steht für ff,und ff ϕ ff,wasunerfüllbar ist. entsprechendes Lemma für Fall { A} C Algorithmus Unit-Propagation(C) führt sukzessive diese Ersetzungsschritte durch, solange noch Singleton-Klauseln in C vorhanden sind.

38 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik SAT-Solver 59 Der DPLL-Algorithmus Alle modernen SAT-Solver basieren auf dem DPLL-Algorithmus (nach Davis, Putnam, Logemann, Loveland). DPLL(C) = Unit-Propagation(C) if C = then return erfüllbar if Cthen return unerfüllbar wähle Variable A, dienochinc vorkommt if DPLL(C[A 1]) = erfüllbar then return erfüllbar return DPLL(C[A 0]) Bem.: Algorithmus DPLL terminiert immer, ist korrekt (wenn er erfüllbar sagt, dann war die Eingabe auch erfüllbar) und vollständig (wenn die Eingabe erfüllbar ist, dann sagt er auch erfüllbar ), aber wieso?

39 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 60 Erfüllbarkeit und endliche Konsistenz Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt erfüllbar, wenneseine Interpretation I gibt, so dass I = ϕ für alle ϕ Φ gilt. Notation: I =Φ. Für Φ < ist also Menge Φ erfüllbar gdw. Formel Φ erfüllbar ist. Def. beinhaltet aber auch Fall unendlicher Mengen! Bsp.: {A i A i+1 i N} ist erfüllbar Im folgenden nehmen wir an, dass V nur abzählbar unendlich viele Variablen enthält, also o.b.d.a. V = {A 0, A 1,...}. Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt endlich konsistent, wenn für alle Ψ Φ mit Ψ < gilt: Ψ ist erfüllbar.

40 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 61 Der Kompaktheitssatz Theorem 8 Für alle Mengen Φ von Formeln gilt: Φ erfüllbar gdw. Φ endlich konsistent. Anders gesagt: Ist jede endliche Teilmenge einer Menge Φ erfüllbar, so ist auch Φ erfüllbar. Eigentlich nur für Φ = interessant. Wieso? Notation: Ψ fin Φ gdw. Ψ Φ und Ψ < Beweis von : SeiI =Φ, also gilt I = ϕ für alle ϕ Φ. Damit ist dann auch I = Ψ für alle Ψ Φ, insbesondere falls Ψ fin Φ.

41 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 62 ist schwieriger Beachte: Bei endlich konsistentem Φ kann jedes Ψ fin Φ verschiedenes Modell haben! Bsp. Φ={ϕ n,m 0 n m} mit ϕ n,m = m A i i=n Sei Ψ fin Φ und I Ψ definiert durch 1, falls min{n ϕ n,m Ψ} k max{m ϕ n,m Φ} I Ψ (A k )= 0, sonst Beachte: Für alle Ψ fin Φ gilt I Ψ =Ψ,aberI Ψ = Φ. Es gibt unendliche viele Ψ mit paarweise verschiedenen I Ψ.

42 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 63 Lemma 1 für die Kompaktheit Lemma 1: Sei ϕ Formel, I, I Interpretationen, so dass I(A) =I (A) für alle A Var(ϕ). Dann gilt I = ϕ gdw. I = ϕ. Beweis Per Induktion über Aufbau von ϕ. Induktionsanfang: Für ϕ = tt, ff gilt die Aussage sicherlich. Sei ϕ = A. Offensichtlich gilt dann A Vars(ϕ) und damit dann auch die Aussage. Induktionsschritt: Sei ϕ = ψ und die Aussage für ψ bereits beweisen. Dann gilt I = ϕ gdw. I = ψ gdw. I = ψ gdw. I = ϕ Fälle ϕ = ψ 1 ψ 2,ψ 1 ψ 2 genauso.

43 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 64 Lemma 2 für die Kompaktheit Lemma 2: Ist Φ endlich konsistent, so ist Φ {A} oder Φ { A} endlich konsistent. Beweis: Durch Widerspruch. Angenommen, Φ ist endlich konsistent, aber sowohl Φ {A} als auch Φ { A} sind nicht endlich konsistent. Dann ex. unerfüllbare Ψ fin Φ {A} und Ψ fin Φ { A}. Somit ist auch Θ:=Ψ Ψ unerfüllbar, und damit auch Θ {A} und Θ { A}. Dann muss aber bereits Θ \ {{A}, { A}} unerfüllbar sein. Da Θ \ {{A}, { A}} fin Φ,istΦ also dann nicht endlich konsistent.

44 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 65 Beweis des Kompaktheitssatzes Beweis von ( Φ endlich konsistent Φ erfüllbar ). Seien A 0, A 1, A 2,... Variablen in Φ. Def. simultan Φ 0 := Φ, Φ i+1 := Φ i { i } und A i, falls Φ i {A i } endlich konsistent i := A i, sonst Mit Lemma 2 und Induktion sind alle Φ i endlich konsistent. Definiere I über 1, falls i = A i I(A i ) := 0, falls i = A i Behauptung: I = ϕ für alle ϕ Φ

45 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 66 Beweis des Kompaktheitssatzes Sei ϕ Φ. Wähle k := max{i A i Var(ϕ)}. Da Φ=Φ 0 Φ 1... gilt also ϕ Φ k+1 und somit Ψ:={ϕ, 0,..., k } fin Φ k+1 Wegen endlicher Konsistenz von Φ k+1 ist Ψ erfüllbar. Also ex. I, so dass I =Ψ. Beachte: I(A) =I (A) für alle A Var(ϕ) und außerdem I = ϕ. Wegen Lemma 1 gilt dann I = ϕ.

46 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 67 Erste Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 9 (Königs Lemma) Jeder endlich-verzweigende Baum, in dem Pfade beliebiger Länge existieren, hat einen unendlichen Ast. Beweis: Sei t Baum mit abzählbarer Knotenmenge N und Wurzel 0, so dass es Pfade beliebiger Länge gibt. Wir schreiben succ(i) für die unmittelbaren Nachfolger von i. Betrachte ϕ i := X i ExactlyOne(succ(i)) X i X j und Φ:={X 0 } {ϕ i i N}. j succ(i) alle Ψ fin Φ sind erfüllbar wegen Pfaden beliebiger Länge nach Kompaktheit ist dann auch Φ erfüllbar Modell von Φ liefert unendlichen Pfad in t

47 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 68 Zweite Anwendung des Kompaktheitssatzes Kacheln sind Einheitsquadrate mit gefärbten Kanten: Sei K eine endliche Menge von Kacheln. Dies induziert zwei Relationen H und V, die besagen, ob zwei Kacheln horizontal bzw. vertikal aneinanderpassen. Eine K-Kachelung der n n-ebene ist eine Funktion κ : {0,...,n 1} 2 K, sodassfür alle i =0,...,n 2, j =0,...,n 1 gilt: (κ(i, j), κ(i + 1, j)) H horizontal passt alles (κ(j, i),κ(j, i + 1)) V vertikal passt alles analog K-Kachelung der unendlichen N N-Ebene definiert

48 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 69 Beispiel Bsp.: K = K-Kachelung der 3 3-Ebene:

49 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 70 Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 10 Sei K endliche Menge von Kacheln. Wenn jede n n-ebene K-kachelbar ist, so ist auch die N N-Ebene K-kachelbar. Beweis: Benutze Aussagenvariablen A t i,j, i, j N, t K mit Bedeutung das Feld (i, j) istmitkachelt belegt drücke K-Kachelbarkeit der n n-ebene aus: ϕ n := n 1 i=0 n 2 i=0 n 1 j=0 n 1 j=0 ExactlyOne({A t i,j t T }) (t,t ) H (A t i,j A t i+1,j) (t,t ) V (A t j,i A t j,i+1)

50 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik Kompaktheit 71 Anwendung des Kompaktheitssatzes Beachte: Erfüllende Belegung für ϕ n liefert Kachelung der n n-ebene. Wenn m n, dannistϕ n ϕ m allgemeingültig. Intuitiv: n n-kachelung liefert auch immer eine m m-kachelung. Sei Φ:={ϕ n n N}. Jede n n-ebene ist K-kachelbar bedeutet: Für alle n N ist ϕ n erfüllbar. Sei Ψ fin Φ.DannistΨ={ϕ i1,...,ϕ ik } für ein k N und i 1 < i 2 <...<i k.daϕ ik erfüllbar ist, ist mit obiger Bemerkung auch Ψ erfüllbar. Aus dem Kompaktheitssatz folgt, dass auch Φ erfüllbar ist; erfüllende Belegung induziert Kachelung der N N-Ebene mit K.

51 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 72 Beweiskalküle DPLL-Algorithmus in gewisser Weise semantisches Verfahren zum Erkennen von Erfüllbarkeit. (Konstruiert Modell für Formel) Im folgenden zwei syntaktische Verfahren zum Erkennen von (Un-)Erfüllbarkeit / Allgemeingültigkeit. 1 Resolution (für Unerfüllbarkeit) 2 Sequenzenkalkül (für Folgerungsbeziehung und damit insbesondere Allgemeingültigkeit) Beachte Zusammenhang zwischen Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit (und auch Folgerungsbeziehung, wie wir noch sehen werden): diese Verfahren sind somit auch in der Lage, die jeweils anderen Fragestellungen zu lösen.

52 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 73 Resolventen Wir erweitern den Begriff der Äquivalenz auf Klauselmengen. Sei C Klausel, K, K Klauselmengen: I = C gdw. I = C I = K gdw. für alle C K: I = C K K gdw. für alle I : I = K gdw. I = K Def.: Sei Literal. := A, falls = A, A, falls = A Def.: Seien C 1, C 2 Klauseln, Literal, so dass C 1, C 2. Dann heisst C := (C 1 \{}) (C 2 \{ }) Resolvente von C 1 und C 2.

53 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 74 Das Resolutionslemma Lemma: Sei K Klauselmenge, C 1, C 2 K, C Resolvente von C 1 und C 2. Dann gilt: K K {C}. Beweis: = Sei I = K {C}. DaK K {C}, gilt dann auch I = K. = SeiI = K. Es reicht aus zu zeigen, dass I = C gilt. Da C 1, C 2 Kgilt also insbesondere I = C 1 und I = C 2.D.h.es gibt Literale 1 C 1, 2 C 2,sodassI = 1 und I = 2. Somit gilt 1 = 2.DaC =(C 1 \{}) (C 2 \{ }) für ein C 1 muss 1 C oder 2 C sein. Dann gilt aber I = C. Def. Sei K Klauselmenge, Res(K) ist Menge aller Resolventen von Klauseln in K.

54 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 75 Resolution Def.: Ein Resolutionsbeweis für (Unerfüllbarkeit von) K ist ein endlicher, binär verzweigender Baum, dessen Knoten mit Klauseln beschriftet sind und für den gilt: Die Wurzel ist mit beschriftet. An den Blättern stehen nur Klauseln aus K. Die Beschriftung eines inneren Knoten ist Resolvente der Beschriftungen seiner beiden Söhne. Bsp.: Gibt es Resolutionsbeweise jeweils für K = {{A, B}, {A, B}, { A, B}, { A, B}}, A, B A, B B A, B A, B B K = {{A, B}, {A, B}, { A, B}}?

55 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 76 Korrektheit der Resolution Theorem 11 Sei K Klauselmenge. K ist unerfüllbar gdw. es einen Resolutionsbeweis für K gibt. Beweis: = Angenommen, es existiert Resolutionsbeweis T der Höhe h für K. Definiere Klauselmengen wie folgt. Beachte: K 0 := {C C Blatt in T } K i+1 := K i Res(K i ) K h+1,alsok h+1 unerfüllbar. K 0... K h+1 nach Resolutionslemma, also K 0 unerfüllbar. K 0 K,alsoK unerfüllbar.

56 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 77 Vollständigkeit der Resolution andere Richtung schwieriger: konstruiere Resolutionsbeweis für unerfüllbare Klauselmenge = Angenommen K ist unerfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatz existiert K 0 fin K,welchesbereitsunerfüllbar ist. Offensichtlich gilt: Ein Resolutionsbeweis für K 0 ist auch einer für K. SeiVar(K 0 )={A 1,...,A n }. Wir zeigen die Existenz eines Resolutionsbeweises für K 0 durch Induktion über n. Induktionsanfang, n =0.DannistVar(K 0 )=. Es gibt nur zwei Klauselmengen über der leeren Variablenmenge: und { }. Da aber trivialerweise erfüllbar ist, muss K 0 = { } gelten. Offensichtlich lässt sich dafür ein Resolutionsbeweis bauen.

57 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 78 Vollständigkeit der Resolution Induktionsschritt, n > 0. Die Induktionshypothese besagt, dass es für unerfüllbare Klauselmengen über den Variablen A 1,...,A n 1 Resolutionsbeweise gibt. Konstruiere nun K + 0 := {C \ { A n } C K 0 und A n C} K 0 := {C \{A n } C K 0 und A n C} Beachte: sowohl K 0 + als auch K 0 sind unerfüllbar (Übung) und enthalten höchstens die Variablen A 1,...,A n 1. Die Induktionshypothese liefert nun also zwei Resolutionsbeweise T + und T.DurchEinfügen von A n in jede Klausel in T + und A n in jede Klausel in T entstehen Bäume mit Wurzeln in K 0, deren innere Knoten jeweils Resolventen ihrer Söhne sind. Durch Resolution nach den Literalen A und A entsteht aus diesen ein Resolutionsbeweis für K 0.

58 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Resolution 79 Resolution verwenden Unerfüllbarkeit ist eine universelle Eigenschaft: alle Interpretationen sind kein Modell. Resolution charakterisiert dies existentiell: statt alle Interpretationen für eine Formel zu testen, reicht es aus, einen Resolutionsbeweis anzugeben. Aber: Resolutionsbeweise können exponentielle Größe haben (Übung). Im Vergleich: Zeugen für Erfüllbarkeit (Modelle) haben höchstens lineare Größe. Beweissuche im Resolutionskalkül für Klauselmenge K: K 0 := K K n+1 := K n Res(K n ) Iteration bis als Resolvente auftritt oder K n+1 = K n für ein n gilt.

59 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 80 Sequenzen Zum Abschluss des Kapitels über Aussagenlogik behandeln wir noch Gentzens Sequenzenkalkül. Def.: Eine Sequenz ist ein Paar Γ= von Formel(multi)mengen. Γ heißt Antezedens, Sukzedens. Vereinfachte Schreibweise ohne Mengenklammern, etc.: ϕ 1,...,ϕ n = ψ 1,...,ψ m Def.: Γ= ist gültig, fallsfür alle I gilt: wenn I = ϕ für alle ϕ Γ dann I = ψ für ein ψ

60 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 81 Beispiele Bsp.: welche der folgenden Sequenzen sind gültig? 1 A, A B = B 2 A, B = A, B 3 A, A B = 4 A, A = B 5 A B, B C, A = C 6 A B C, A = B C

61 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 82 Folgerung und Allgemeingültigkeit etc. Gültigkeit von Sequenzen kann bekannte Konzepte wie Allgemeingültigkeit etc. ausdrücken, z.b. Lemma: ϕ ist allgemeingültig gdw. die Sequenz = ϕ gültig ist. Beweis: Übung. Was bedeutet die Gültigkeit der Sequenz ϕ =? Kann umgekehrt z.b. Gültigkeit von Sequenzen auf Allgemeingültigkeit von Formeln zurückgeführt werden? Bei endlichen Sequenzen ist dies der Fall: Γ= gültig gdw. ( Γ) ( ) allgemeingültig

62 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 83 Beweise im Sequenzenkalkül Ziel: Formalismus ( Sequenzenkalkül ), der genau die gültigen Sequenzen charakterisiert Def.: Ein Beweis im Sequenzenkalkül für eine Sequenz Γ= ist ein endlicher Baum, dessen Wurzel mit Γ= beschriftet ist, Blätter mit Axiomen beschriftet sind, innere Knoten mit ihren Söhnen Instanzen von Beweisregeln sind. Beweisregeln haben die Form Γ 1 = 1... Γ n = n Γ= (Name) Γ i = i heißen Prämissen, Γ= Konklusion Axiom = Beweisregel ohne Prämissen

63 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 84 Axiome und Regeln des Sequenzenkalküls Axiome: Γ, ff = (ff L) Γ=, tt (tt R) Γ,ϕ=,ϕ (Ax) Beweisregeln: Γ,ϕ,ψ = Γ,ϕ ψ = ( L) Γ=,ϕ Γ=,ψ Γ=,ϕ ψ ( R ) Γ,ϕ= Γ,ψ = Γ,ϕ ψ = ( L ) Γ=,ϕ,ψ Γ=,ϕ ψ ( R)

64 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 85 Beweisregeln des Sequenzenkalküls Γ=,ϕ Γ, ϕ = ( L) Γ,ϕ= Γ=, ϕ ( R) Γ=,ϕ Γ,ψ = Γ,ϕ ψ = ( L ) Γ,ϕ=,ψ Γ=,ϕ ψ ( R) Γ= Γ, tt = (tt L) Γ= Γ=, ff (ff R) Es fehlen noch 2 Regeln für (Übung)

65 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 86 Beispiel Formel ϕ := A (B C) (A B) (A C) ist allgemeingültig. Wie sieht Beweis für = ϕ aus? (Ax) B, C = A, B ( R ) B, C = A B (Ax) B, C = A, C ( R ) B, C = A C ( R ) B, C = (A B) (A C) ( L ) B C = (A B) (A C) (Ax) A = A, B ( R ) A = A B (Ax) A = A, C ( R ) A = A C ( R ) A = (A B) (A C) ( L ) A (B C) = (A B) (A C) ( R ) = A (B C) (A B) (A C)

66 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 87 Axiomen- und Ableitungslemma Ziel: zeige, dass im Sequenzenkalkül genau die gültigen Sequenzen beweisbar sind dazu brauchen wir zunächst zwei Lemmas Lemma: (Axiomenlemma I) Jede Sequenz Γ=, die ein Axiom ist, ist gültig. Beweis: Leicht zu sehen für Axiome (ff L )und(tt R ). Betrachte noch Axiom (Ax) mit Γ,ϕ=,ϕ. Sei I Interpretation. Zu zg.: Wenn I = Γ {ϕ} dann I = {ϕ}. Angenommen, I = Γ {ϕ}. Dann gilt insbesondere I = ϕ und somit auch I = ϕ bzw. I = {ϕ}. Lemma: (Ableitungslemma) Für alle Regeln des Sequenzenkalküls gilt: Die Konklusion ist gültig gdw. alle Prämissen gültig sind.

67 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 88 Beweis des Ableitungslemmas Beweis Wir zeigen dies exemplarisch für die Regeln ( L )und ( R ). Fall ( L ). Dies ist trivial, da Γ {ϕ ψ} Γ {ϕ, ψ}. Fall ( R ). Zur Erinnerung: Konklusion K =Γ=,ϕ ψ, Prämissen sind P 1 =Γ=,ϕ und P 2 =Γ=,ψ. Angenommen, eine der beiden Prämissen ist ungültig. Sei dies P 1.DerFallmitP 2 ist analog. Dann ex. I, sodassi = Γ und I = {ϕ}. Daraus folgt insbesondere, dass I = und I = ϕ. Somit gilt dann aber auch I = ϕ ψ. Zusammengefasst: I = Γ und I = {ϕ ψ}. AlsoistK nicht gültig. Angenommen, die Konklusion ist ungültig. Also gibt es I, so dass I = Γ und I = {ϕ ψ}. Insbesondere gilt I = ϕ ψ, alsoi = ϕ oder I = ψ. Dann gilt auch I = {ϕ} oder I = {ψ}. AlsoistentwederP 1 ungültig oder P 2 ungültig.

68 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 89 Korrektheit des Sequenzenkalküls Theorem 12 Jede im Sequenzenkalkül beweisbare Sequenz ist gültig. Beweis: Angenommen es ex. Beweis für Γ=. Wir zeigen per Induktion über die Höhe h des Beweisbaums, dass Γ= gültig ist. Induktionsanfang h =0.DannistΓ= ein Axiom und laut Axiomenlemma I gültig. Induktionsschritt. Sei h > 0. Dann gibt es eine Beweisregel mit Prämissen P 1,...,P n,zudenenγ= Konklusion ist. Beachte: Jedes P i ist beweisbar im Sequenzenkalkül mit einem Beweis der Höhe < h. Nach Induktionsvoraussetzung sind alle P i somit gültig. Mit dem Ableitungslemma folgt dann, dass auch Γ= gültig sein muss.

69 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 90 Vorbereitung auf die Vollständigkeit Lemma: (Axiomenlemma II) Angenommen Γ, V. Dann ist Γ= gültig gdw. Γ =. Beweis: Angenommen, Γ =. Wir zeigen, dass Γ= ungültig ist, indem wir eine falsifizierende Interpretation angeben. 1, falls A Γ I(A) := 0, sonst Aufgrund der Voraussetzung gilt I(B) = 0 für alle B. Also gilt I = Γ und I = und somit ist Γ= nicht gültig.

70 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 91 Maß einer Sequenz Ziel: Umkehrung von Thm. 12 (gültige Sequenzen sind beweisbar) schwierig, denn für alle Interpretationen... es gibt Beweis... Intuition: auf gültige Sequenzen lassen sich Beweisregeln sinnvoll anwenden, so dass am Ende ein Beweis entstanden ist Was heißt am Ende? Wir müssen irgendwie zeigen, dass dieser Prozess auch terminiert. Def.: (Maß) Γ := ϕ + ϕ Γ ϕ ϕ, wobei tt = ff := 1 A := 0 ϕ := 1 + ϕ ϕ ψ = ϕ ψ = ϕ ψ = ϕ ψ := 1 + ϕ + ψ

71 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 92 Vollständigkeit des Sequenzenkalküls Theorem 13 Jede gültige Sequenz ist im Sequenzenkalkül beweisbar. Beweis: Sei Γ= gültig. Wir zeigen, dass es auch beweisbar ist durch Induktion über j = Γ=. Induktionsanfang, j =0.DannbestehtΓ nur aus Variablen. Nach dem Axiomenlemma II gilt Γ =. DannistΓ= Instanz von (Ax) und somit beweisbar. Induktionsschritt, j > 0. AlsoexistiertnochmindestenseinJunktor oder eine Konstante in Γ. WirunterscheidenzweiFälle.

72 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 93 Vollständigkeit des Sequenzenkalküls 1 ff Γ oder tt. DannistΓ= Instanz von (ff L )oder (tt R ) und somit beweisbar. 2 Sonst. Da j > 0 muss mindestens eine Beweisregel anwendbar sein. Nach dem Ableitungslemma sind alle entstehenden Prämissen gültig. Außerdem ist deren Maß jeweils echt kleiner als j. Nach Induktionshypothese sind diese beweisbar. Durch Verknüpfung derer Beweisbäume erhält man einen Beweis für Γ=.

73 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 94 Beweissuche Der Sequenzenkalkül ermöglicht es, automatisch festzustellen, ob eine gegebene Formel allgemeingültig ist. Systematisch wendet man Regeln auf die Sequenz = ϕ an, um einen Beweisbaum zu konstruieren. Alle Pfade enden in Axiomen Beweis gefunden. Ein Pfad endet in Sequenz, die kein Axiom ist und auf die keine Regel angewandt werden kann kein Beweis möglich. Beachte: Die Regel selbst verlangen zwar keine Auswahl seitens des Benutzers; auf eine Sequenz können jedoch i.a. mehrere Regeln angewandt werden. Reihenfolge der Regelanwendungen unerheblich dafür, ob Beweis gefunden wird oder nicht. Sie kann aber die Größe des gefundenen Beweises beeinflussen.

74 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 95 Beispiel A = A, B, C B = A, B, C C = A, B, C ( L ) (B C) = A, B, C ( L ) A (B C) = A, B, C ( R ) A (B C) = A B, C ( R ) A (B C) = (A B) C A = A, B, C ( R ) A = A B, C ( R ) A = (A B) C B = A, B, C ( R ) B = A B, C ( R ) B = (A B) C A (B C) = (A B) C C = A, B, C ( R ) C = A B, C ( R ) C = (A B) C ( L ) B C = (A B) C ( L )

75 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 96 Andere Beweisregeln Hier vorgestellter Sequenzenkalkül ist ein System für aussagenlogische Beweise. Gibt es auch andere, vielleicht bessere? Einfachere Frage: Gibt es noch andere Beweisprinzipien ( Beweisregeln), mit denen man einfach Beweise führen kann? zwei Möglichkeiten, Sequenzenkalkül zu erweitern: herleitbare Regeln zulässige Regeln

76 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 97 Herleitbarkeit Def.: Eine Regel mit Prämissen P 1,...,P n und Konklusion K heißt herleitbar, wenneseinenbeweisfür K gibt, der P 1,...,P n als Axiome benutzt. Bsp.: Die folgenden Regeln sind z.b. im Sequenzenkalkül herleitbar. Γ=,ϕ 1... Γ=,ϕ n Γ=,ϕ 1... ϕ n ( R ) Γ,ϕ,ψ = Γ=, (ϕ ψ) (NAND R) Herleitbare Regeln können die Beweissuche vereinfachen. Außerdem sollte folgendes offensichtlich sein. Thm.: Eine Sequenz ist in einem Sequenzenkalkül mit zusätzlichen herleitbaren Regeln beweisbar, gdw. sie gültig ist.

77 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 98 Zulässigkeit Def.: Eine Regel heißt zulässig, wennsichimsequenzenkalkül mit dieser Regel dieselben Sequenzen beweisen lassen wie ohne diese Regel. Bsp.: Die folgenden Regeln sind z.b. zulässig aber nicht herleitbar! Γ= Γ,ϕ= (Weak L) Γ= Γ=,ϕ (Weak R) Bem.: Jede herleitbare Regel ist zulässig. Nicht jede zulässige Regel ist herleitbar. Thm.: Eine Sequenz ist in einem Sequenzenkalkül mit zusätzlichen zulässigen Regeln beweisbar, gdw. sie gültig ist.

78 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 99 Fallunterscheidung Fallunterscheidung ist wichtiges Beweisprinzip, welches Beweise vereinfachen kann. im Sequenzenkalkül: Γ, ϕ = Γ,ϕ= Γ= (CD) Bsp.: beweise = (A B) ( A B) (A B) ( A B) jeweils mit und ohne Regel (CD) Thm.: (CD) istnicht herleitbar aber zulässig.