Technische Thermodynamik

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1 Skrit zur orlesung ehnishe herodynaik Dr.-Ing. Peter R. Hakenesh ersion

2 ehnishe herodynaik ii Inhaltserzeihnis I Noenklatur... i II Abbildungserzeihnis... xi III abellenerzeihnis... xiii EINFÜHRUNG.... Inhalt und Bedeutung der herodynaik.... Historisher Rükblik... GRUNDBEGRIFFE.... Physikalishe Größen.... Systee Allgeeines Syste Foren on Energieübertragung Untersheidungserkale on Systeen Gleihgewihtssatz Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen... 7 SYSEMBESCHREIBUNG Stoff und Menge oluen Stoffenge Mengenströe.... Druk, eeratur und Energie Druk eeratur Energie ZUSANDSGLEICHUNGEN Zustandsflähen Festkörer herishe Längendehnung herishe Flähendehnung herishe oluendehnung Flüssigkeiten Ideale Gase Gesetz on Gay-Lussa Gesetz on Boyle-Mariotte herishe Zustandsgleihung des idealen Gases Gesetz on Aogadro Mishung idealer Gase Reale Gase... 5

3 ehnishe herodynaik iii 4.6 Däfe Dafarten Dafdrukkuren Grenzkuren herishe Zustandsgleihung on Daf KINEISCHE GASHEORIE Druk als Ergebnis on Stoßorgängen eeratur als Maß der kinetishen Energie DER ERSE HAUPSAZ DER HERMODYNAMIK Der erste Hautsatz für geshlossene Systee Inhalt des ersten Hautsatzes Mehanishe Arbeit und ehanishe Energie oluenänderungsarbeit Wellenarbeit Dissiationsenergie Innere Energie Wäre Der erste Hautsatz für ruhende geshlossene Systee Der erste Hautsatz für bewegte geshlossene Systee Der erste Hautsatz für stationäre Fließrozesse ehnishe Arbeit Enthalie Instationäre Prozesse in offenen Systeen KALORISCHE ZUSANDSGLEICHUNGEN Kalorishe Zustandsgleihungen der inneren Energie Kalorishe Zustandsgleihungen der Enthalie Innere Energie und Enthalie fester und flüssiger Phasen Innere Energie und Enthalie idealer Gase Innere Energie und Enthalie on Däfen Sezifishe Wärekaazitäten Wahre sezifishe Wärekaazitäten Mittlere sezifishe Wärekaazitäten... 78

4 ehnishe herodynaik i 8 DER ZWEIE HAUPSAZ DER HERMODYNAMIK Inhalt des zweiten Hautsatzes Entroie Entroie und Wahrsheinlihkeit Entroie als Zustandsgröße Eigenshaften der Entroie Entroie reersibler Prozesse Entroie irreersibler Prozesse Entroie fester und flüssiger Phasen Entroie idealer Gase Entroie der Däfe ZUSANDSÄNDERUNGEN Wäre und Arbeit bei reersiblen Zustandsänderungen idealer Gase Isohore Zustandsänderung Isobare Zustandsänderung Isothere Zustandsänderung Adiabate Zustandsänderung Wäre und Arbeit bei olytroer Zustandsänderung Wäre- und Arbeit in Entroiediagraen ,s-Diagrae idealer Gase Isohore Zustandsänderung idealer Gase Isobare Zustandsänderung idealer Gase Isothere Zustandsänderung idealer Gase Isentroe Zustandsänderung idealer Gase Adiabate Zustandsänderung idealer Gase ,s-Diagra realer Gase h,s-diagrae Zusaenfassung der Zustandsänderungen... 0 REERSIBLE KREISPROZESSE Allgeeine Kennzeihen eines Kreisrozesses Kreisrozesse geshlossener Systee Kreisrozesse in offenen Systeen Bewertungskennzahlen für Kreisrozesse herisher Wirkungsgrad (rehtsdrehende Prozesse) Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse)...

5 ehnishe herodynaik KREISPROZESSE HERMISCHER MASCHINEN.... ergleihsrozesse für Kolbenashinen..... Otto-Prozeß..... Diesel-Prozeß Seiliger-Prozeß Stirling-Prozeß ergleihsrozesse für urboashinen Joule-Prozeß Erison-Prozeß Clausius-Rankine-Prozeß Carnot-Prozeß Isentroer Wirkungsgrad adiabater Mashinen Prozeßotiierung Wärerükgewinnung Zwishenkühlung Zwishenerhitzung Kobinierte Zwishenkühlung und Zwishenerhitzung Abgasturbolader KÄLEANLAGEN Allgeeiner Kälteashinenrozeß Daf-Koressions-Kälteanlage Absortionserfahren Lufterflüssigung (Lindeerfahren) LIERAURERZEICHNIS ANHANG... 78

6 ehnishe herodynaik i I Noenklatur A [ ] Quershnittsflähe s J kg K Geshwindigkeit sezifishe isobare Wärekaazität J kg K d [ ] E [] J F [ N] g s h [ ] h J kg H [] J I I [ A] I! kg s kg s L [ ] [ kg]! kg s [ kg] M kg kol M [ N ] n in n [ ol] sezifishe isohore Wärekaazität Durhesser Energie Kraft Erdbeshleunigung Höhe sezifishe Enthalie Enthalie Iuls Stro Massestrodihte Länge Masse Massestro eilhenasse Molasse Drehoent Drehzahl Stoffenge

7 ehnishe herodynaik ii n [ ] N A ol [ ] [ Pa] P [ W ] q J kg Q [] J W q! Q! [ W ] r [ ] R [ Ω ] Polytroenexonent Aogadro-Konstante (Lohshidtshe Zahl) Wahrsheinlihkeit Druk Leistung sezifishe Wäre Wäre Wärestrodihte Wärestro oluenerhältnis Widerstand R J kg K stoffsezifishe Gaskonstante R s [ ] J K kol unierselle Gaskonstante Streke, Entfernung s J kg K sezifishe Entroie S J K t [] s [ K] u J kg U [] J U [ ] kg [ ] Entroie Zeit therodynaishe eeratur sezifishe innere Energie innere Energie Sannung sezifishes oluen oluen

8 ehnishe herodynaik iii! s oluenstro n kol Mololuen w D J kg sezifishe Dissiationsarbeit w D, ds w J kg W [] J W [ ] x [ ] sezifishe oluenänderungsarbeit Arbeit Wahrsheinlihkeit Dafgehalt w, d y J kg sezifishe Ströungsarbeit y d x,y,z [ ] Ortskoordinaten x!, y,z!! s Geshwindigkeiten! x,!! y,z! s z [ ] Z [ ] Beshleunigungen Höhe Realgasfaktor Griehishe Sybole α [ rad] α K ε [ ] Winkel Längenausdehnungskoffizient (Feststoffe) erdihtungserhältnis γ K oluenausdehnungskoeffizient (Flüssigkeiten) γ K η [ ] eeraturgradient der Noratoshäre Wirkungsgrad

9 ehnishe herodynaik ix ϕ [ rad] ϕ [ ] [ ] Ψ [ ] µ [ ] π [ ] Drehwinkel oluenerhältnis, Einsritzerhältnis Isentroenexonent Drukerhältnis Massenerhältnis erdihter-drukerhältnis ρ kg Dihte σ J kg ϑ [ C] eeratur τ [] s Zeit sezifishe Shelzwäre τ ω N rad s Shubsannung Drehrate Indies, Zustände ab abgeführt A axial D Dissiation D Daf el elektrish g gesat, total G Gewiht H Hubrau k Kreisrozeß kin kinetish K erdihtungsrau eh ehanish N Nutz(arbeit) irr irreersibel

10 ehnishe herodynaik x ot re s t t th U W zu isobar otentiell reersibel Sättigung tehnish tangential therish eilhen urbine Ugebung isohor oluenänderung erdihter Welle zugeführt

11 ehnishe herodynaik xi II Abbildungserzeihnis Abb..: Allgeeines therodynaishes Syste... 4 Abb..: Geshlossenes Syste - starre Grenze... 5 Abb..: Geshlossenes Syste - ariable Grenze... 5 Abb..4: Offenes Syste, Zylinder... 5 Abb..5: Offenes Syste, Kraftwerk... 5 Abb..6: Adiabates geshlossenes Syste... 6 Abb..7: Adiabates offenes Syste... 6 Abb..8: Zweihasensyste... 6 Abb..9: Dreihasensyste... 6 Abb..0: Kolben it isotherer Koression... 8 Abb..: Isobare Erwärung... 8 Abb..: Isothere Koression... 8 Abb..: Zustandsänderung on zu in eine - s - Diagra... 9 Abb..: Offenes Syste it Mengenstro... Abb..: Stationär durhströtes Syste... Abb..: Mit Wasser durhströtes konishes Rohr... Abb..4: Druk in eine ruhenden Fluid... 4 Abb. 4.: Zustandsflähe eines reinen Stoffes... 8 Abb. 4.: Shnitt durh die Zustandsflähe bei onst.]... 9 Abb. 4.: Shnitt durh die Zustandsflähe bei onst Abb. 4.4: Gasoluen in Abhängigkeit on der eeratur... 6 Abb. 4.5: Druk in Abhängigkeit on bei untershiedlihen eeraturen... 7 Abb. 4.6: Mishung zweier Gase... Abb. 4.7: Realgasfaktor Z für Luft bei untershiedlihen Drüken... 6 Abb. 4.8: ershiedene Stadien des erdafungsrozesses... 6 Abb. 4.9: Zustandsänderungen on Wasser bei Erwären und erdafen... 7 Abb. 4.0: Dafdrukkuren ershiedener Stoffe i,-diagra... 8 Abb. 4.: Grenzkuren des Naßdafgebietes i,-diagra... 9 Abb. 5.: Elastisher Stoß... 4 Abb. 5.: Unelastisher Stoß... 4 Abb. 5.: Kontrolloluen... 4 Abb. 6.: Skalarrodukt zweier ektoren Abb. 6.: Bahnkure eines Masseunktes i Rau Abb. 6.: Kräfteerteilung an eine Masseunkt i Graitationsfeld Abb. 6.4: Beshleunigung eines Fahrzeuges Abb. 6.5: oluenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung... 5 Abb. 6.6: oluenänderungsarbeit i,-diagra bei einer Koression... 5 Abb. 6.7: oluenänderungsarbeit i,-diagra bei Ugebungsdruk... 5 Abb. 6.8: Zur Berehnung der Wellenarbeit Abb. 6.9: Zufuhr on Arbeit in ein geshlossenes adiabates Syste Abb. 6.0: Zustandsänderung on '' '' durh zwei untershiedlihe Prozesse Abb. 6.: Zufuhr on Wellenarbeit (a), Zufuhr on Wäre über diathere Wand (b) Abb. 6.: Gekühlter elektrisher Leiter Abb. 6.: Kontrollrau eines offenen Systes... 6 Abb. 6.4: Stationärer Fließrozeß, Wasserkraftwerk... 6 Abb. 6.5: Masseeleent eines ströenden Medius Abb. 6.6: Füllen einer Gasflashe it R Abb. 7.: Integrationsweg zur Bestiung der Enthaliedifferenz... 7 Abb. 7.: Sezifishe Wärekaazität on Kohlenstoff und Metallen Abb. 7.: Sezifishe isobare Wärekaazität on Gasen Abb. 7.4: Berehnung der ittleren sezifishen Wärekaazität Abb. 9.: Isohore Zustandsänderung i,-diagra Abb. 9.: Isobare Zustandsänderung i,-diagra... 9

12 ehnishe herodynaik xii Abb. 9.: Isothere Zustandsänderung i,-diagra: Koression, Exansion... 9 Abb. 9.4: Adiabate Zustandsänderung i,-diagra: Koression, Exansion Abb. 9.5: Polytroen i,-diagra Abb. 9.6: Darstellung der Wäre i,s-diagra bei reersiblen Prozessen Abb. 9.7: Wäre und Dissiation bei irreersiblen Prozessen: niht-adiabat, adiabat Abb. 9.8: Änderung der inneren Energie bzw. Enthalie a) isohor, b) isobar... 0 Abb. 9.9: Isohoren i,s-diagra... 0 Abb. 9.0: Isobaren i,s-diagra... 0 Abb. 9.: oluenänderungsarbeit w bei isobarer Zustandsänderung Abb. 9.: Isotheren i,s-diagra Abb. 9.: Isentroe i,s-diagra Abb. 9.4: Geshlossenes adiabates Syste: a) Exansion, b) Koression Abb. 9.5: Offen durhströtes adiabates Syste: a) Exansion, b) Koression Abb. 9.6:,s-Diagra für Wasserdaf Abb. 9.7: h,s-diagra Abb. 9.8: Mollier-Diagra on Wasserdaf... 0 Abb. 0.: Kreisrozeß eines geshlossenen Systes i,-diagra... Abb. 0.: ereinfahtes Shea einer Dafkraftanlage... Abb. 0.: Reersible Kreisrozesse i -Diagra... 5 Abb. 0.4: Kreisrozesse i,-diagra: a) Wärekraftashine b) Kälteashine.. 7 Abb. 0.5: Shea einer geshlossenen Gasturbinenanlage... 9 Abb..:,-Diagra eines Otto-iertaktotors... Abb..: Otto-ergleihsrozeß: a),-diagra, b),s-diagra... 4 Abb..: herisher Wirkungsgrad des Otto-ergleihsrozesses... 6 Abb..4: Diesel-ergleihsrozeß i a),-diagra b),s-diagra... 8 Abb..5: Seiliger-Prozeß i a),-diagra b),s-diagra... Abb..6: Arbeitsrinzi des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagra... 5 Abb..7: Stirling-Prozeß i a),-diagra b),s-diagra... 5 Abb..8: Shea einer einfahen Gasturbinenanlage... 8 Abb..9. Einfahe Gasturbinenanlage als geshlossenes Syste... 9 Abb..0: Joule-Prozeß der Gasturbine i a),-diagra b) h,s-diagra Abb..: Geshlossene Gasturbinenanlage nah de Erison-erfahren... 4 Abb..: Erison-Prozeß der Gasturbine i a),-diagra b) h,s-diagra... 4 Abb..: Dafturbinenanlage a) Aufbau und b),-diagra Abb..4: Clausius-Rankine-Prozeß i a),s-diagra b) h,s-diagra Abb..5: Carnot-Prozeß i a),-diagra b) h,s-diagra Abb..6: Carnot-Prozeß und realer Prozeß Abb..7: Wärekraftashine (Carnot-Prozeß) Abb..8: Zustandsänderungen des reersiblen Carnot-Prozesses Abb..9: Isentroe und erlustbehaftete Zustandsänderung i h,s-diagra Abb..0: Joule-Prozeß it Wärerükgewinnung Abb..: Einfluß der Wärerükgewinnung auf den therishen Wirkungsgrad Abb..: Einfluß der Zwishenkühlung i,s-diagra Abb..: herisher Wirkungsgrad bei Zwishenkühlung Abb..4: Mehrstufiger erdihter it Zwishenkühlung Abb..5: Einfluß der Zwishenerhitzung i,s-diagra... 6 Abb..6: herisher Wirkungsgrad bei Zwishenerhitzung... 6 Abb..7: Mehrstufige urbine it Zwishenerhitzung... 6 Abb..8: Kobinierte Zwishenkühlung und -erhitzung i,s-diagra Abb..9: herisher Wirkungsgrad bei kobinierter Zwishenkühlung, -erhitzung.. 65 Abb..0: Shaltbild eines Abgasturboladers Abb..:,- und,s-diagra eines Kolbenorors it Abgasturbolader Abb..: Allgeeiner Kälteashinenrozeß (Carnot) Abb..: Entroieeränderung bei Kühlung Abb..: Koensationswäre Q bei Kälteleistung Q

13 ehnishe herodynaik xiii Abb..4: Daf-Koressions-Kühlkreislauf... 7 Abb..5: Realer Daf-Koressions-Kühlkreislauf... 7 Abb..6: Aoniak Absortionskühlkreislauf Abb..7: Lufterflüssigungsanlage nah Linde Abb..8:,s-Diagra des Linde-erfahrens III abellenerzeihnis ab..: Basiseinheiten des SI-Systes... ab..: Abgeleitete Größen des SI-Systes... ab..: Zustandsänderungen it einer konstanten Zustandsgröße... 9 ab..: Stoffe und deren Molassen (Beisiele)... 0 ab..: eeraturskalen... 6 ab. 4.: Shelzwären und Shelzteeraturen bei 0 5 [Pa]... 0 ab. 4.: erdafungsenthalie, Siedeteeratur und kritishe Punkte... 0 ab. 4.: Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe... ab. 4.4: oluenausdehnungskoeffizienten γ on Flüssigkeiten... 4 ab. 4.5: Gaskonstanten und Dihten on Gasen bei.0 bar und 0 C... 8 ab..: Defintionen der SI-Basiseinheiten ab..: Physikalishe Konstante ab..: Stoffdaten on Gasen bei 0 C ab..4: Sättigungsdaftafel für Wasser (Druktafel) ab..5: Sättigungsdaftafel für Wasser (eeraturtafel)... 8 ab..6: Sättigungsdaftafel Aoniak ab..7: Mittlere sezifishe isobare Wärekaazität idealer Gase ab..8: Stoffwerte on Feststoffen ab..9: Stoffwerte on Flüssigkeiten ab..0: Stoffwerte on Gasen... 9

14 ehnishe herodynaik Einführung Einführung. Inhalt und Bedeutung der herodynaik Hautaufgabengebiet der herodynaik ist die Untersuhung und Beshreibung on Energieuwandlungsrozessen durh eine Analyse der untershiedlihen Ersheinungsforen on Energie und deren erknüfungen in Energiebilanzgleihungen. Dies bildet die Grundlage zur Konzetion, Planung und Auslegung on Anlagen zur Energieuwandlung. Anlagen zur Energieuwandlung begegnen uns in ielfältiger Weise: on der klassishen Dafashine, über erbrennungsotoren in Kraftfahrzeugen und Luftfahrzeugen bis hin zu Kraftwerken auf Wind-, Wasser- oder Kernkraftbasis. Weitere Anwendungsgebiete sind z.b. die Kliatehnik, Lüftungs- oder auh die Kältetehik. Die Basis der herodynaik wird beshrieben durh die sogenannten Hautsätze der herodynaik. Sie lassen sih niht aus bereits bewiesenen hysikalishen Gesetzen ableiten sondern stellen lediglih auf allgeeinen Erfahrung basierenden Postulate dar, die als brauhbare Arbeitshyothesen erwendet werden können und bis heute noh niht widerlegt werden konnten. Der erste Hautsatz oder auh der Energieerhaltungssatz besagt, daß Energie weder erzeugt noh ernihtet werden kann; sie kann lediglih zwishen ershiedenen Ersheinungsforen ugewandelt werde. Der zweite Hautsatz foruliert die Grenzen der Energieuwandlung und beshreibt welhe Uwandlungsrozesse überhaut öglih sind. Der dritte Hautsatz beshreibt die Nihterreihbarkeit des absoluten therishen Nullunktes und der nullte Hautsatz definiert das therishe Gleihgewiht. Die herodynaik nah de heutigen erständnis ist eine allgeeine Energielehre, die sih in die statistishe und hänoenologishe herodynaik gliedern läßt. Die statistishe bzw. olekularstatistishe herodynaik geht on der olekularen Struktur der Materie aus und berehnet die Wehselwirkung zwishen den Molekülen und ihrer Ugebung unter Anwendung atheatish-statistisher Methoden (kinetishe Gastheorie). Die klassishe oder auh hänoenologishe herodynaik stützt sih auf die Beobahtung therodynaisher Prozesse aus deren Ablauf eirishe Gesetze abgeleitet werden. Dieser letztere Ansatz wird in der folgenden orlesung weiter erfolgt werden.

15 ehnishe herodynaik Einführung. Historisher Rükblik Die frühere Bezeihnung für herodynaik war Wärelehre. Dies erklärt sih aus der historishen Entwiklung der Erforshung on Wäreersheinungen. Bis Mitte des 9. Jahrhunderts ordnete an Wäre eine hyothetishen unzerstörbaren Stoff (aloriu) zu. Dies entsriht zwar in groben Zügen de Prinzi des ersten Hautsatzes, d.h. de Satz on der Energieerhaltung, die orstellung der stofflihen Eigenshaft war jedoh unzutreffend. Erste Zweifel an der Stofftheorie wurden it de Aufkoen der ersten Wärekraftashinen, d.h. Dafashinen laut.: D. Pain (647-7) und. Newoen (66-79) bzw. J. Watt (76-89). Die Idee, daß es eine Äquialenz zwishen Wäre und Arbeit geben üsse, wurde on Lord Ruford (75-84) durh die beobahtete Aufheizung bei Aufbohren on Kanonenrohren entwikelt. Diese Idee wurde on J.P. Joule (88-889) weiterentwikelt, der auf exerientelle Weg das sogenannte ehanishe Wäreäquialent bestite. Als Mitbegründer der odernen herodynaik gilt N.L.S. Carnot (796-8), der ebenfalls die heorie ertrat, daß Wäre und Arbeit äquialente Energieforen seien, dies jedoh niht ehr eröffentlihte. Unabhängig on den Arbeiten on Joule und Carnot wurde diese heorie 84 on J.R. Mayer (84-878) eröffentliht. Mit der säter erfolgten eröffentlihung des ersten Hautsatzes wurde die Stofftheorie als Gedankenodell endgültig ad ata gelegt. Auf der Basis der Arbeiten on Carnot, Mayer und Joule erstellte R. Clausius (8-888) i Jahre 850 die erste quantitatie Forulierung des ersten Hautsatzes durh Gleihungen zwishen den Größen Wäre, Arbeit und innere Energie. Zur Definition des zweiten Hautsatzes führte er eine neue Größe ein, die er zuerst als Äquialenzwert einer erwandlung und säter (865) als Entroie bezeihnete. Unabhängig on Clausius gelangte fast zeitgleih der britishe Physiker W. hoson (84-907) zu anderen Forulierungen des zweiten Hautsatzes. Er führte den Gedanken on der Zerstreuung der Energie (dissiation of energy) ein, d.h., daß sih bei real orkoenden Prozessen der orrat an uwandelbarer bzw. arbeitsfähiger Energie erringert. Aus seinen Überlegungen zu zweiten Hautsatz shloß hoson (seit 89 Lord Kelin) auf die Existenz einer uniersellen eeraturskala. Diese unierselle, on den sezifishen Eigenshaften on heroetern unabhängigen Skala, wurde ih zu Ehren Kelin-Skala genannt. Durh den on Clausius definierten Entroiebegriff war es nun öglih, aus den therodynaishen Hautsätzen allgeeingültige Gesetze für das erhalten der Materie in ihren untershiedlihen Aggregatzuständen und in heishe Reaktionen herzuleiten. Daraus entwikelte sih gegen Ende des 9. Jahrhunderts eine neue Diszilin, die sogenannte hysikalishe Cheie, deren Grundlagen on J.W.Gibbs (89-90) durh die Definition der Phasenregel, it entwikelt wurden.

16 ehnishe herodynaik Grundbegriffe Grundbegriffe. Physikalishe Größen Als hysikalishe Größen werden harakteristishe Eigenshaften on Objekten, wie z.b. Gewiht und Abessungen eines Körers oder eeratur und Leistung eines Motors bezeihnet. Die Wahl geeigneter Einheiten und Definitionen hysikalisher Größen ist selbsterständlih in beliebiger Art und Weise öglih. In den tehnishen Naturwissenshaften wird jedoh seit einigen Jahrzehnten das international ereinbarte Systèe International d Unité oder auh SI-Syste, angewendet. Der Begriff international ist jedoh it gewissen Einshränkungen zu sehen, da insbesondere i angelsähsishen Rau und in der Luftfahrt das englishe und aerikanishe Maßsyste bzw. eine Mishung aus beiden noh üblih sind. Obwohl in Deutshland it der erabshiedung des Gesetzes über die Einheiten i Meßwesen o i geshäftlihen und atlihen erkehr orgeshrieben, hat sih diese Erkenntnis offensihtlih noh niht bis zu Luftfahrt- Bundesat (LBA) durhgesetzt. Das i weiteren erlauf zu erwendende SI-Syste hat den orteil, daß ausgehend on sieben Basiseinheiten, sih alle weiteren hysikalishen Größen durh eine Kobination dieser Basiseinheiten darstellen, bzw. ineinander überführen lassen. ab..: Basiseinheiten des SI-Systes Größe Einheit Zeihen Definition Länge Meter siehe ab. 4. Masse Kilogra kg Zeit Sekunde s Elektrishe Strostärke Aère A eeratur Kelin K Lihtstärke Candela d Stoffenge Mol ol ab..: Abgeleitete Größen des SI-Systes Größe Einheit Zeihen Definition Kraft Newton N N kg/s² Leistung Watt W W N/s Energie, Arbeit Joule J J N Druk Pasal Pa Pa N/²

17 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 4. Systee Zur Beshreibung on Prozeßabläufen und Mashinen oder eilen on Mashinen werden therodynaishe Systee festgelegt, die durh die ehr oder weniger willkürlihe Definition on Systegrenzen beshrieben werden. Diese Syste- oder auh Kontrollgrenzen dienen der Erfassung des Energie- und Masseaustaushs des Systes it seiner Uwelt. Die Festlegung on Systegrenzen orientiert sih zwekäßigerweise an der konkreten Problestellung, z.b. der inneren oder äußeren Urandung einer Brennkaer oder eines Dafkessels, kann aber auh beliebiger abstrakter Natur sein. Wesentlihes Merkal einer Systegrenze ist die Möglihkeit die über die Systegrenzen hinweg stattfindenden Energie- und Masseströe sinnoll erfassen zu können. orzeihendefinition für Energie- und Massenströe: - Positi für Ströe, die in das Syste hineinfließen, - negati für Ströe, die das Syste erlassen.. Allgeeines Syste Energiezufuhr Massezufuhr Syste Energieentzug Masseentzug Systegrenze Abb..: Allgeeines therodynaishes Syste.. Foren on Energieübertragung - Mehanishe Arbeit: Kolbenbewegung in eine Zylinder durh Exansion des Gases i Kontrollrau - herishe Energie: Aufheizung des Kontrollolues durh erbrennung oder Koression des Kontrollraus - Stoffgebundene Energieübertragung: Massefluß zu oder aus de Kontrollrau - Wärestrahlung: Erwärung durh Sonneneinstrahlung, Heizstrahler

18 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 5.. Untersheidungserkale on Systeen Geshlossene Systee Merkal: Materieundurhlässig, d.h. es findet kein Masseaustaush über die Systegrenze hinweg it der Ugebung statt Abb..: Geshlossenes Syste - starre Grenze Abb..: Geshlossenes Syste - ariable Grenze Offene Systee Merkal: Stoffübertragung über die Systegrenze ist öglih Zufluß Abfluß Abb..4: Offenes Syste, Zylinder ehanishe Arbeit Abb..5: Offenes Syste, Kraftwerk

19 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 6 Adiabate Systee Merkal: Es erfolgt keine Wäreübertragung über die Systegrenzen hinweg, d.h. ideal isolierte Wände ideale Isolierung Abb..6: Adiabates geshlossenes Syste Abb..7: Adiabates offenes Syste Einhasensystee Untersheidung des Systes nah der inneren Struktur, d.h. nah fester, flüssiger oder gasföriger Ersheinungsfor. Das Einhasensyste besteht denah aus einer hoogenen Substanzenge, deren heishe und hysikalishe Eigenshaften örtlih konstant sind. Mehrhasensystee Systee, in de indestens zwei untershiedlihe Phasen orliegen, z.b. flüssiges Wasser zusaen it Wasserdaf. Wasserdaf Wasserdaf Eis Wasser Wasser Abb..8: Zweihasensyste Abb..9: Dreihasensyste

20 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 7..4 Gleihgewihtssatz Allgeein: Jedes sih selbst überlassene geshlossene Syste strebt eine Gleihgewihtszustand zu, in de es so lange erharrt, so lange keine äußeren Einflüsse auf das Syste einwirken. - herishes Gleihgewiht: onst. - Mehanishes Gleihgewiht: onst. - Cheishes Gleihgewiht: M onst. Bei gleihzeitige orliegen aller drei Gleihgewihtszustände, sriht an auh on eine herodynaishen Gleihgewiht Nullter Hautsatz der herodynaik: Zwei geshlossene Systee befinden sih i therishen Gleihgewiht, wenn beide Systee die gleihe eeratur besitzen. Bs.: Berührungstheroeter. Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen Zur ollständigen Beshreibung eines therodynaishen Systes ist neben der Definition der Systegrenzen auh eine Beshreibung seiner hysikalishen und heishen Systeeigenshaften erforderlih. Diese Systeeigenshaften werden durh die Zustandsgrößen beshrieben, welhe ariable darstellen. Der Zustand eines einfahen, hoogene Systes läßt sih durh die ier Zustandsgrößen Stoffenge, oluen, Druk und eeratur eindeutig beshreiben. Einteilung on Zustandsgrößen: - Äußerer Zustand: Ortskoordinaten, Geshwindigkeit, Beshleunigung z.b. - Innerer Zustand: oluen, Druk, eeratur, Masse z.b.,,, x, x,!! x - Intensie Zustandsgrößen: Unabhängig on der Systeasse, sie bleiben bei einer Aufteilung des Systes in Subsystee unerändert, z.b., - Extensie Zustandsgrößen: I Gegensatz zu den intensien Zustandsgrößen sind die extensien Zustandsgrößen abhängig on der Systeasse, z.b. - Sezifishe Zustandsgrößen: Auf die Systeasse bezogene Zustandsgrößen, z.b. Die Abhängigkeit der einzelnen Zustandsgrößen on einander läßt sih durh sog. Zustandsgleihungen beshreiben

21 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 8 Bs.: Zustandsgleihung des idealen Gases: ρr f ( ρ, ) it der stoffabhängigen Gaskonstanten R Zustandsänderungen Zustandsgrößen sind wegunabhängig, d.h. der Weg auf de ein Zustand erreiht wird, ist ohne Bedeutung. Bs.: Überführung einer Gasenge on eine Anfangszustand in einen Endzustand. Der Anfangszustand, gekennzeihnet durh den Druk und das sezifishe, d.h. auf die Masse bezogene oluen läßt sih auf ehrere Möglihkeiten in den Zustand, gekennzeihnet durh und, überführen. A) durh erdihtung in eine Kolben ohne Wärezufuhr, s onst. s onst. Abb..0: Kolben it isotherer Koression B) durh Wärezufuhr bei konstante Druk und anshließender Koression auf bei konstanter eeratur durh konstante Rükkühlung Q zu onst. Q ab onst. Abb..: Isobare Erwärung Abb..: Isothere Koression

22 ehnishe herodynaik Grundbegriffe 9 Darstellung in eine - s Diagra Isothere B ' A Isentroe B Isobare s Abb..: Zustandsänderung on zu in eine - s - Diagra Zustandsänderungen bei denen eine bestite Zustandsgröße konstant gehalten wird werden besonders gekennzeihnet: ab..: Zustandsänderungen it einer konstanten Zustandsgröße oluen onst. d 0 Isohore Druk onst. d 0 Isobare eeratur onst. d 0 Isothere Entroie s onst. ds 0 Isentroe Enthalie h onst. dh 0 Isenthale Prozeß Die Beshreibung der Zustandsänderung eines Systes wird als Prozeß bezeihnet. Untershiedlihe Prozesse können die gleihe Zustandsänderung herorrufen.

23 ehnishe herodynaik Systebeshreibung 0 Systebeshreibung. Stoff und Menge.. oluen Die räulihe Ausdehnung eines Systes, beshrieben durh die Systegrenzen definiert sein oluen (extensie Zustandsgröße). Gebräuhlih ist jedoh insbesondere das auf die Systeasse bezogene sezifishe oluen. kg bzw. die Dihte ρ als Kehrwert des sezifishen oluens ρ kg.. Stoffenge Die Stoffenge eines Systes läßt sih entweder durh Angabe seiner Masse [kg] definieren oder durh die Anzahl seiner Mole, d.h. seine Molzahl n. Wobei ein Mol eines Stoffes der Anzahl der eilhen, die in 0.0 kg des Kohlenstoff-Isotos C enthalten sind entsriht, d.h eilhen. Diese Zahl wird auh als Aogadro-Konstante, bzw. Loshidtshe Zahl bezeihnet. N A [/ol] Die Molasse M eines Stoffes, ist ähnlih seiner Dihte ρ eine harakteristishe Stoffeigenshaft, die in hysikalishen abellen aufgelistet sind. Multiliziert an die eilhenasse it der Aogadro-Konstante N A, so ergibt sih die Molasse des Stoffes zu: M N A [kg/kol] ab..: Stoffe und deren Molassen (Beisiele) Stoff Cheishes Sybol Molasse M [kg/kol] Wasserstoff H.0594 Heliu He Kohlenstoff C.05 Stikstoff N 8.04 Sauerstoff O.9988 Fluor F Chlor Cl Shwefel S.066 Shwefeldioxid SO Stikstoffdioxid NO Lahgas N O Kohlenonoxid CO 8.00 Kohlendioxid CO Methan CH Ethan C H Luft (troken) Das Mololuen eines Stoffes ergibt aus de oluen und der Stoffenge (Molzahl) n zu

24 ehnishe herodynaik Systebeshreibung /n M [ /kol] Der Zusaenhang zwishen der Masse, der Molzahl n, der eilhenasse sowie der Molasse M ergibt sih aus nn A nm [kg] Systee, in denen heishe Reaktionen ablaufen, z.b. bei der Untersuhung on erbrennungsorgängen, werden zwekäßigerweise durh die Angabe der Molzahl beshrieben, während Systee ohne heishe Reaktionen durh die Angabe der Masse in [kg] beshrieben werden können. Beisiele Ü.: Bestiung der Masse on n 0.56 kol Lahgas Molasse on Lahgas (N O) aus ab.. : M (NO) nm kg/kol kg Ü.: Bestiung der Molasse M on Wasser Zur Synthese on kol Wasser werden kol Wasserstoff und 0.5 kol Sauerstoff benötigt. Mit den Molassen aus ab.. ergibt sih: M (HO) M (H) 0.5M (O) kg/kol Ü.: Bestiung des sezifishen oluens, der Dihte ρ, des Mololuens und der Stoffenge n eines it 000 kg Ethan gefüllten Drukbehälters, der ein oluen 5 aufweist. Molasse Ethan (C H 6 ) M (CH6) kg/kol sezifishes oluen / /kg Dihte ρ / 00 kg/ Mololuen M 0.5 /kol Stoffenge n /M. kol

25 ehnishe herodynaik Systebeshreibung.. Mengenströe Zur Charakterisierung offener Systee ist die Beshreibung der Mengenströe erforderlih. Systegrenze Massestro, der die Systegrenze übershreitet Quershnitt A Wegstreke s Abb..: Offenes Syste it Mengenstro Ein Stoff fließt it der Geshwindigkeit über die Systegrenze (Rohr it Quershnitt A). In der Zeitsanne τ legen die Stoffteilhen den Weg s τ zurük. Dadurh ergeben sih folgende Ströe: - oluenstro: s A A τ τ s - Massestro:! τ ρ τ ρ! ρ A kg s - Massestrodihte: ρ! I!! A A kg ρ s Für stationär durhströte Systee gilt:! onst.!! Abb..: Stationär durhströtes Syste

26 ehnishe herodynaik Systebeshreibung Aufgrund der Massenerhaltung folgt soit:! ρ A ρ A! Ü.4: Mit Wasser durhströtes konishes Rohr Mittlere Eintrittsgeshwindigkeit: Eintrittsquershnitt: Austrittsquershnitt: 0.06 /s d 48.4 d. Welher Massestro, welhe Massestrodihte und welhe Geshwindigkeit ergeben sih i Austrittsquershnitt? A A ρ '' '' ρ Abb..: Mit Wasser durhströtes konishes Rohr [ ] π A d kg ρ ρ ρ( H O) 0 kg! ρ A 0.6 s kg!! 0.6 s 0.6 kg I!!! A π d s 4! ρ A s

27 ehnishe herodynaik Systebeshreibung 4. Druk, eeratur und Energie.. Druk Der Druk wird definiert als Quotient aus der Drukkraft F und der Flähe A auf die diese wirkt, wobei die Drukkraft senkreht auf die Flähe A wirkt. F A Pa N Bs.: Druk in eine ruhenden Fluid (hydrostatisher Druk) Abb..4: Druk in eine ruhenden Fluid g A h g g F A F A F ρ ρ Kräftebilanz a Fluideleent: h g h A A h g A h A F A r r r G ρ ρ ) ( 0 ) ( 0 h A r A r F G

28 ehnishe herodynaik Systebeshreibung 5 Ü.5: Drukänderung in Wasser on h 0 auf h -5 ( h 5) ( h 0) ρ 0 g h kg s 4 [ ] [ Pa] 0.5[ bar] Ü.6: Drukänderung in der Atoshäre on h 0 auf h 5000 Baroetrishe Höhenforel: g γ Rγ h ( ) ( ) h 5000 ( h 0 ) h 0 it den Größen für die Noratoshäre: (h0) (h0) γ g 05 [Pa] 88.5 [K] [K/] 9.8 [/s²] und der Gaskonstanten für Luft R 87. [J/kgK] ergibt sih der Druk in der Höhe h 5000 zu ( h 5000 ) ( h 5000 ) 5404 [ Pa] 0.54 [ bar ] I Gegensatz zu Flüssigkeiten kann bei Gasen in geshlossenen Behältern die Dihtänderung über die Höhe ernahlässigt werden.

29 ehnishe herodynaik Systebeshreibung 6.. eeratur Ein Syste, für welhes durh eine bestite orshrift eine eeraturfunktion ϑ festgelegt wird, bezeihnet an als heroeter. Aufgrund der willkürlihen Festlegung dieser orshrift wird ϑ auh als eirishe eeratur bezeihnet. Die eeraturessung eines Systes beruht darauf, das heroeter und das Syste in ein therishes Gleihgewiht zu bringen. Wobei jedoh die eeratur des zu essenden Systes unerändert bleiben soll und sih lediglih die eeratur des heroeters ändert. Insbesondere bei der eeraturessung kleiner Massen wird diese Anforderung nur näherungsweise erfüllt. Ein Ausweihöglihkeit stellen berührungsfreie Meßerfahren dar, wie z.b. die Infrarot-herograhie Zur eeraturessung lassen sih Systee erwenden, die eine eindeutige teeraturabhängige hysikalishe Eigenshaft aufweisen, die sih leiht essen läßt. Z.b die oluenänderung on Flüssigkeiten (Fiebertheroeter) oder die Änderung des elektrishen Widerstands it der eeratur (Widerstandstheroeter). Zur Definition der eeratur sind untershiedlihe Skalen üblih. - Celsius-Skala [ C] - Fahrenheit-Skala [ F] - Rankine-Skala [ R] - herodynaishe bzw. absolute eeratur in Kelin [K] ab..: eeraturskalen Skala Wassereis Siedendes Wasser Celsius-Skala [ C] 0.00 C C Fahrenheit-Skala [ F].00 F.00 F Rankine-Skala [ R] R R herodynaishe eeratur, Kelin-Skala [K] 7.5 K 7.5 K Urehnungsforeln - Celsius in Kelin: K tc7. 5 K - Fahrenheit in Celsius: 5 tc ( tf ) 9 - Kelin in Rankine 9 [ R ] t [ K ] 5

30 ehnishe herodynaik Systebeshreibung 7.. Energie I folgenden werden die wihtigsten it der Energie in Zusaenhang stehenden Einheiten dargestellt. - Arbeit (Energie) Kraft x Weg kg kg Joule J N Ws s s - Energiestro Leistung Arbeit/Zeit J kg Watt W s s - Sezifishe Energie Energie/Masse J W s kg kg s - Sezifisher Energiestro Energiestro/Masse W kg s

31 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 8 4 Zustandsgleihungen 4. Zustandsflähen Bei Systeen, in denen lediglih eine einzige Phase orliegt (Einhasensysteen) wird der therodynaishe Zustand durh die Angabe der ariablen Druk, eeratur und sezifishes oluen eindeutig festgelegt. Die erknüfung dieser ariablen erfolgt durh eine sogenannte Zustandsfunktion oder auh Zustandsgleihung F(,,) 0 oder in exliziter Shreibweise für die einzelnen Zustandsariablen: (,) (,) (,) Je zwei der Zustandsgrößen sind also unabhängige ariable während die dritte Größe die abhängige ariable darstellt. Die Zustandsgleihungen sind abhängig on de jeweils betrahteten Stoff und werden in aller Regel eirish erittelt. Die exerientell erittelten Wertetriel on,, lassen sih in eine entsrehenden,, Koordinatensyste in For einer Flähe darstellen. Diese Flähe wird auh als Zustandsflähe bezeihnet und ist für einen reinen Stoff in Abb. 4. skizziert. Abb. 4.: Zustandsflähe eines reinen Stoffes

32 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 9 Shneidet an diese Zustandsflähe it einer Ebene bei onst. so erhält an als Shnittkuren Isobaren, d.h. Linien gleihen Druks. Shnitte bei onst. liefern Isotheren als Shnittkuren und Shnitte bei onst. ergeben Isohoren, d.h. Linien gleihen sezifishen oluens. Abb. 4.: Shnitt durh die Zustandsflähe bei onst.] Abb. 4.: Shnitt durh die Zustandsflähe bei onst. In Abb. 4. ist eine Isobare, die Linie A-B-C-D-E-F, herorgehoben. Diese Linie entsriht de Prozeß, den ein Stoff infolge on Wärezufuhr bei konstante Druk on der festen Phase über die flüssige Phase in die gasförige Phase durhläuft. Auf der Zustandsflähe lassen sih einige ausgewählte Bereihe untersheiden: Einhasengebiete Die Einhasengebiete ufassen die Bereihe in denen der Stoff in genau einer Phase orliegt, d.h. als Festkörer, als Flüssigkeit oder als Gas. Shelzgebiet Der Abshnitt der Linie B-C liegt in de Bereih des Shelzgebietes. Bei Übergang des Stoffes on der festen zur flüssigen Phase bleibt die eeratur auf der Isobaren so lange konstant, bis der Stoff ollständig on der festen in die flüssige Phase übergegangen, d.h. gesholzen ist. Dabei erfährt der Stoff eine deutlihe oluenänderung, sein sezifishes oluen wird erheblih ergrößert. Das Shelzgebiet stellt ein sogenanntes Zweihasengebiet dar. Es liegen gleihzeitig die feste und flüssige Phase or, die sih bei konstante Druk und konstanter eeratur i therodynaishen Gleihgewiht befinden. Dieses Shelzgebiet wird zur festen Phase on der Shelzlinie und zur flüssigen Phase on der Erstarrungslinie begrenzt. Shelzlinie Zu Übershreiten der Shelzlinie on der festen zur flüssigen Phase ist de Stoff eine Phasenänderungsenergie oder auh Shelzwäre bzw. Shelzenthalie zuzuführen. Die erforderlihe Shelzenthalie und die Shelzteeratur sind drukabhängig. In ab. 4. sind für einige ausgewählte Stoffe die Shelzwären bei eine Druk on 0 5 [Pa] angegeben.

33 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 0 ab. 4.: Shelzwären und Shelzteeraturen bei 0 5 [Pa] Stoff sezifishe Shelzwäre σ [KJ/kg] Shelzteeratur ϑ [ C] Aluiniu Al Blei Pb.9 7. Eisen (rein) Fe Stahl Fe 0.%C a. 09 a. 500 Grauguß Fe.0%C a. 96 a. 00 Kufer Cu Aoniak NH Äthylalkohol C H 5 OH Shwefeldioxid SO Queksilber Hg Wasser (Eis) H O.5 0 Erstarrungslinie Durh Wäreentzug des Stoffes in der flüssigen Phase wird die Rihtung des eilrozesses C-D ugekehrt und der Stoff geht bei Übershreiten der Erstarrungslinie wieder in die feste Phase über. Siedelinie Die flüssige und gasförige Phase sind durh zwei i Punkt K zusaenlaufende Kuren oneinander getrennt. Die linke Kure wird als Siedelinie bezeihnet. Bei zunehender Wärezufuhr bleibt die eeratur auf der Isobaren konstant, während das sezifishe oluen stark zunit (Linie D-E). aulinie Der Siedeorgang ist it Erreihen der aulinie abgeshlossen und der Stoff ist bei Übershreiten der aulinie ollständig on der flüssigen Phase in die Gashase übergegangen. Analog zur Shelzenthalie ist auh in diese Fall eine drukabhängige Phasenänderungsenergie für diesen Phasenwehsel erforderlih, die sogenannte erdafungswäre oder auh erdafungsenthalie h D. Nah Übershreiten der aulinie steigt bei zunehender Wärezufuhr die eeratur in der Gashase wieder an (Linie E-F). Die Bezeihnung aulinie ergibt sih aus der Ukehrung des Prozesses, d.h. wenn der Prozeß in der Rihtung F-E-D durhlaufen wird und de Stoff Wäre entzogen wird, beginnt der Stoff bei Übershreiten der aulinie zu kondensieren und es bilden sih erste Flüssigkeitströfhen. Für einige ausgewählte Stoffe ist in ab. 4. die erdafungswäre und Siedeteeratur bei eine Druk on 0 5 [Pa] angegeben. ab. 4.: Stoff erdafungsenthalie, Siedeteeratur und kritishe Punkte erdafungsenthalie h D [KJ/kg] Siedeteeratur Kritisher Druk kr [bar] Kritishe eeratur ϑ kr [ C] ϑ S [ C] Aoniak NH Äthylalkohol C H 5 OH Shwefeldioxid SO Queksilber Hg Wasser H O

34 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Naßdafgebiet Das Naßdafgebiet wird on der Siedelinie und der aulinie begrenzt. Es stellt ein Zweihasengebiet dar, in de die flüssige und gasförige Phase gleihzeitig nebeneinander existieren bei gleihe Druk und gleiher eeratur sih i therodynaishen Gleihgewiht befinden. Kritisher Punkt Der Berührungsunkt on Siedelinie und aulinie wird als sogenannter kritisher Punkt K bezeihnet. erläuft der Prozeß auf einer Isobaren oberhalb des kritishen Punktes K so ist ein direkter Phasenübergang on der flüssigen zur gasförigen Phase öglih ohne das Naßdafgebiet zu durhlaufen. Subliationsgebiet I Bereih on niedrigen Drüken und eeraturen liegt das Subliationsgebiet. Unter Subliation ist der direkte Übergang on der festen in die gasförige Phase bzw. auh ugekehrt zu erstehen (Prozeß G-H-I). Ähnlih de Naßdafgebiet ist das Subliationsgebiet ein Zweihasengebiet, in de der Stoff in einer heterogenen Mishung aus fester und gasföriger Phase orliegt. Die für den Wehsel on der festen in die flüssige Phase erforderlihe Wäreenge wird als Subliationswäre bezeihnet und entsriht der Sue aus Shelz- und erdafungswäre. Das Subliationsgebiet wird zur festen und gasförigen Phase durh die Subliationslinie und Desubliationslinie begrenzt. riellinie Die Abgrenzung des Subliationsgebietes zu Naßdafgebiet wird durh die riellinie beshrieben, die durh den rielunkt erläuft. Durh Projektion der,,-zustandsflähe auf die,-ebene erhält an das in Abb. 4. dargestellte,-diagra. Hier fallen das Shelzgebiet in die Shelzdrukkure, das Naßdafgebiet in die Dafdrukkure und das Subliationsgebiet in die Subliationsdrukkure zusaen. Die Dafdrukkure endet i kritishen Punkt K bei de Zusaentreffen on Siede- und aulinie. Bei höheren eeraturen als der kritishen eeratur existiert keine sharfe Grenze ehr zwishen der Gashase und der flüssigen Phase. Flüssigkeiten und Gase werden daher auh unter der geeinsaen Bezeihnung Fluide zusaengefaßt. I,-Diagra treffen sih die Shelzdrukkure, die Dafdrukkure und die Subliationsdrukkure i sogenannten rielunkt. Dies ist der einzige Punkt, in de sih alle drei Phasen in eine therodynaishen Gleihgewiht befinden. Der rielunkt des Wassers liegt bei r [bar] und bei ϑ r 0.0 [ C] 7.6 [K].

35 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 4. Festkörer In Festkörern wirken sehr starke Bindungskräfte zwishen den einzelnen Atoen und Molekülen. Diese können daher nur sehr kleine Shwingungen u ihre Gitterlätze in der Kristallstruktur ausführen. Auh bei höheren Drüken ändert sih das oluen kau. Die allgeeine Zustandsgleihung F(,,) 0 läßt sih also ereinfahen zu F(,) 0 Die Abhängigkeit des Festköreroluens on der eeratur uß jedoh insbesondere bei der Konzetion on Bauteilen und Bauwerken, die therishen Änderungen unterworfen sind, z.b. Brüken, beahtet werden. 4.. herishe Längendehnung Bei der Betrahtung shlanker Körer, bei denen der Quershnitt i erhältnis zur Gesatlänge klein ist, genügt es lediglih die therishe Längendehnung zu berüksihtigen. Die Längenänderung in Abhängigkeit on der eeratur läßt sih für begrenzte eeraturinteralle linearisieren. Exerientell läßt sih ein Wäredehnungskoeffizient α bestien: dl α L0 dϑ0 it der Bezugsteeratur ϑ K (0 C) ergibt sih die teeraturabhängige Länge L ϑ L 0 ( α ϑ) ab. 4.: Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe Stoff α [K - ] eeraturbereih in K Aluiniu Blei Chro Eisen Gold Kufer Magnesiu Platin Silber Zink Quarzglas Fensterglas

36 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Ü 4.: Längendehnung einer Autobahnbrüke Bei 0 C beträgt die Länge einer Autobahnbrüke 650. Die eeraturshwankung beträgt -0 C i Winter bis zu 45 C i Soer. Der Wäredehnungskoeffizient des bei der Brükenkonstruktion erwendeten Stahls beträgt α 0-6 / C. Welher Bewegungssielrau ist für die beweglihen Auflager der Brüke zu berüksihtigen? L ϑ L 0 L L 45 C ( α ϑ) L 0 C L / C ( 45 C ( 0 C ) L herishe Flähendehnung Die teeraturabhängige Flähendehnung ergibt sih analog zur Längendehnung. Für ein Rehtek it den Abessungen a 0 und b 0 und zu ernahlässigender Dike d (z.b. dünne Folien) ergibt sih die Gesatflähe bei der eeratur ϑ 0 zu A 0 a0 b0 Die eränderung der Seitenlängen bei einer eeraturänderung u ϑ beträgt bzw. a b ϑ ϑ a 0 b 0 ( α ϑ) ( α ϑ) Die Gesatflähe ergibt sih dait zu A ϑ a b A ϑ ϑ ( α ϑ α ϑ ) 0 bei ernahlässigung der quadratishen (kleinen) ere (z.b. α Stahl.0-0 ) gilt A ϑ A 0 ( α ϑ) Ü 4.: Flähendehnung einer Zinklatte Eine Zinklatte (α Zink 90-6 / C) on.7 ² wird on 0 C auf 0 C erwärt. Wie groß ist die Flähenänderung? A A 0 0 A.7 ( α ϑ) A A α ϑ 0.% on A A 0 0 C 0.00 C

37 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen herishe oluendehnung Entsrehend de Ansatz für die therishe Flähendehnung läßt sih auh die therishe oluenänderung on Festkörern bestien. Ein Quader it den Abessungen a 0, b 0, 0 hat bei der eeratur ϑ 0 0 C ein oluen on 0 a0 b0 0 Mit eränderung der eeratur on 0 C auf ϑ ändert sih das oluen entsrehend ϑ ( α ϑ α ϑ α ϑ ) 0 bzw. nah ernahlässigung der Glieder zweiter und dritter Ordnung ϑ 0 ( α ϑ) Ü 4.: herishe Dehnung eines Zylinderkofes Ein aus Aluiniu gegossener Zylinderkof hat bei 0 C ein oluen on.56 ltr. Wie groß ist die relatie oluenzunahe bei einer eeraturerhöhung auf 98 C? α Al.70-6 / C (aus ab. 4.) 98 C 0 C 0 C ( 98 C 0 C) α α 0 C Die relatie oluenzunahe beträgt 0.554% 4. Flüssigkeiten Flüssigkeitsteilhen lassen sih i Gegensatz zu Festkörern relati leiht gegeneinander ershieben. Das oluen ändert sih jedoh auh bei hohen Drüken nur unwesentlih. U das oluen on Wasser z.b. u nur % zu erringern ist eine Drukerhöhung on 00 bar erforderlih. Drukunabhängige Fluide werden daher als inkoressibel bezeihnet. Die oluenänderung infolge on eeraturänderung ist jedoh wesentlih stärker ausgerägt als bei Gasen d.h. u den Faktor 0 bis 0. ab. 4.4: oluenausdehnungskoeffizienten γ on Flüssigkeiten Stoff γ bei 0 C Benzin Benzol.40-6 Ethanol.00-6 Glyerin Glykol Methanol.00-6 Petroleu Queksilber.80-6 erentinöl Wasser 0.7

38 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 5 Die oluenänderung on Flüssigkeiten in Abhängigkeit on der eeratur läßt sih analog der oluenänderung on Festkörern bestien: ϑ 0 ( γ ϑ) Ü 4.4: oluenänderung on Benzin In den leeren ank eines Fahrzeuges, der ein oluen on 60 ltr. hat, wird Benzin eingefüllt, das eine eeratur on 0 C hat. I Laufe des ages wird ein eeraturanstieg auf 4 C erwartet. U welhe Menge Benzin uß die Füllenge unter de axialen ankoluen bleiben, wenn nihts infolge der eeraturerhöhung aufließen soll? 4 C 4 C 0 C 0 C 0 C γ ϑ ( γ ϑ) it γ Benzin (aus ab. 4.4) ergibt sih 0 C γ ϑ γ ϑ γ ϑ.07ltr.

39 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Ideale Gase Die Zustandsgleihung des idealen Gases läßt sih aus zwei exerientell erittelten Gasgesetzen ableiten: Den Gesetzen on Gay-Lussa und Boyle-Marriotte Gesetz on Gay-Lussa Bei konstante Druk wähst das oluen eines Gases ro Grad Erwärung u /7.5 des oluens 0, das es bei einer eeratur on 0 C hatte. 0 [ C] ϑ 7.5 Abb. 4.4: Gasoluen in Abhängigkeit on der eeratur bei untershiedlihen Drüken Extraoliert an die Geraden über den geessenen eeraturbereih hinaus, so shneiden sie sih alle 7.5 C, d.h. de absoluten Nullunkt. Ersetzt an die eeratur ϑ [ C] durh die therodynaishe eeratur [K], d.h. so ergibt sih ϑ -7.5 C 0 bzw. 0 0 ( onst.) 4.4. Gesetz on Boyle-Mariotte Das Produkt aus de Druk und de oluen eines idealen Gases ist bei gleihbleibender eeratur konstant. oder onst. bzw. ( ) ( onst.)

40 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 7 rägt an die Kuren der Zustandsfunktion () in eine,-diagra für ershiedene eeraturen auf, so erhält an die in Abb. 4.5 skizzierte Hyerbelshar. Abb. 4.5: Druk in Abhängigkeit on bei untershiedlihen eeraturen 4.4. herishe Zustandsgleihung des idealen Gases Für ideale Gase läßt sih die Zustandsgleihung aus der erknüfung der Gesetze on Gay- Lussa und Boyle-Mariotte herleiten. Zur erdeutlihung soll ein Prozeß betrahtet werden, bei de ausgehend on eine Ausgangszustand, gekennzeihnet durh den Druk und die eeratur, ein Endzustand, gekennzeihnet durh den Druk und die eeratur, erreiht werden soll. Dies läßt sih durh die erkettung on zwei eilrozessen erreihen. I ersten Shritt erfolgt eine Drukerhöhung on auf bei Beibehaltung der eeratur. Nah de Gesetz on Boyle-Mariotte ergibt sih das oluen nah der Drukerhöhung on auf zu it onst. (, ) ( ), I zweiten Shritt wird nun die eeratur on auf erhöht, wobei der bereits i ersten Shritt erreihte Druk konstant gehalten wird. Entsrehend de Gesetz on Gay- Lussa gilt dann it folgt bzw. (, ) (, ) ( ), ( ),,

41 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 8 it de Einsetzen des sezifishen oluens / ergibt sih bzw. oder onst. R J kg K bzw. R Dies stellt die sogenannte therishen Zustandsgleihung des idealen Gases dar. Die Konstante R wird hierbei als Gaskonstante bezeihnet. Gase, die diese Gesetz entsrehen werden als ideale Gase bezeihnet. Die eisten Gase, die in tehnishen Anwendungen zu Einsatz koen, erhalten sih bei niedrigen Drüken und Dihten näherungsweise wie ideale Gase. Da der Geltungsbereih der therishen Zustandsgleihung des idealen Gases bei tehnishen Prozessen nur selten übershritten wird, stellt sie in der tehnishen herodynaik in den eisten Fällen eine ausreihend genaue Näherung dar. ab. 4.5: Gaskonstanten und Dihten on Gasen bei.0 bar und 0 C Gas Dihte ρ [kg/³] Gaskonstante R [J/kgK] Heliu He Wasserstoff H Stikstoff N Sauerstoff O Luft Kohlenonoxid CO Kohlendioxid CO Shwefeldioxid SO Methan CH Ü 4.5: Berehnung der Gaskonstanten on Luft Eine Luftasse on.6 kg nit bei eine Druk on,0 bar eine eeratur on 9 K ein oluen.89 ³ ein. Gesuht ist die Gaskonstante R..89.6kg kg Pa kg J R 87. 9K kg K

42 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 9 Ersetzt an in der Zustandsgleihung des idealen Gases das sezifishe oluen durh den Quotienten aus oluen und Masse so erhält an R R Mit ersetzen der Masse [kg] durh das Produkt aus Stoffenge n [/kol] und Molasse M [kg/kol] n M läßt sih nun die Zustandsgleihung des idealen Gases in der For n M R bzw. it de Mololuen [³/kol] n folgt M R Das Produkt aus Molasse M und Gaskonstante R läßt sih auh zusaenfassen zu R M R J kol K und wird auh als allgeeine, olare oder auh unierselle Gaskonstante bezeihnet und die neue Shreibweise der Zustandsgleihung des idealen Gases lautet nun R Ü 4.6: Isohore Erwärung on Stikstoff Ein Stahltank enthält 7.84 ³ Stikstoff bei eine Druk.7 bar und einer eeratur on ϑ 9.5 C. Infolge on Shweißarbeiten an der Außenhaut steigt die eeratur auf ϑ 48 C. Gesuht sind die - Stikstoffasse N, - Molzahl n, - Druk nah der Erwärung Die Gaskonstante on Stikstoff R 96.8 [J/kgK] kann aus ab. 4.5, die Molasse on Stikstoff M N 8.04 [kg/kol] aus ab.. entnoen werden. Die Stikstoffasse N ergibt sih aus der Zustandsgleihung des idealen Gases:

43 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Pa kg R J 96.8 ( ) K kg K Die Molzahl n berehnet sih aus de Quotienten on Masse zu Molasse M 55.46kg n. 98kol M kg 8.04 kol Das oluen des Stahltanks kann als konstant angenoen werden, d.h. es liegt bei der Erwärung eine isohore (d0) Zustandsänderung or, also gilt Aus der Zustandsgleihung für ideale Gase folgt bzw. R R Pa ( ) ( ) K.96 0 K 5 Pa.96bar Ü 4.7: Isobare Erwärung on Heliu Heliu wird isobar (d.h. d0) on ϑ -5 C auf ϑ 84 C erwärt. Gesuht ist die rozentuale oluenzunahe. Für onst. ergibt sih aus der Zustandsgleihung für ideale Gase: it ergibt sih die oluenänderung zu 00% ( ) ( 5 7.5) K K 00%.9%

44 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Ü 4.8: Isothere Koression on ideale Gas Ein Luftoluen on 0.47 ³ wird isother (d 0) on.06 bar auf 8.7 bar koriiert. Gesuht ist das oluen nah der Koression. Bei isotheren Zustandsänderungen ergibt sih aus der Zustandsgleihung für ideale Gase Pa Pa Gesetz on Aogadro Gleihe oluen on idealen Gasen enthalten bei gleiher eeratur und gleihe Druk die gleihe Anzahl on Molekülen. Daraus läßt sih die Definition des Mololuens ableiten, d.h. der Raubedarf für n ol einer beliebigen Substanz. Die Anzahl der Atoe bzw. Moleküle ro ol beträgt N A /ol Diese Zahl wird auh als Aogadro-Konstante oder Loshidtshe Zahl bezeihnet Mishung idealer Gase Häufig werden in der ehnik keine reinen Gase erwendet, sondern Mishungen aus untershiedlihen heishe einheitlihen Gasen. Luft stellt z.b. ein Geish aus Stikstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid, sowie einige Edelgase wie Argon und Neon dar. Zur Bestiung der therodynaishen Größen wie z.b. der Gaskonstanten der Mishung ist die Kenntnis der Zusaensetzung der Mishung sowie die Kenntnis der Gaskonstanten der Einzelkoonenten erforderlih. Die Zusaensetzung der Mishung läßt sih durh Angabe der Massenanteile oder oluenanteile beshreiben: Massenanteile Mit,,..., n ergibt sih die Gesatasse der Mishung zu... n i n i wobei n i µ i µ i i den auf die Gesatasse bezogenen Masseanteil der i-ten Koonente darstellt.

45 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen oluenanteile Mit,,..., n werden die oluen der einzelnen Gase or de Zusaenishen bezeihnet. Der Mishorgang wird aus Abb. 4.6 deutlih. Druk und eeratur bleiben bei de Mishungsorgang unerändert. Abb. 4.6: Mishung zweier Gase Analog zu den Massenanteilen lassen sih auh sih auh die oluenanteile on Gasen zusaenfassen n i n i... Der oluenanteil r i der i-ten Koonente wird als das auf das Gesatoluen bezogene eiloluen i definiert. n i i i i r r Gaskonstante der Mishung Unter der Annahe, daß alle n Koonenten einer Mishung den gleihen Druk und die gleihe eeratur haben, lassen sih auh n Zustandsgleihungen aufstellen. R R R n n n " Die Aufsuierung über alle n Gleihungen ergibt R n i i i n i i it i i µ folgt R Gaskonstante der Mishung n i i i n i i #$ #% & µ

46 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen Die Gaskonstante der Gesatishung entsriht der Sue der Produkte der Massenanteile µ i und der Gaskonstanten R i der Koonenten. n i i R i R µ Sind für die einzelnen Koonenten der Mishung anstelle der einzelnen Gaskonstanten R i die Molassen M i bekannt, so läßt sih die Gaskonstante der Mishung it Hilfe der uniersellen Gaskonstante R berehnen. n i i i i i M R R M R R µ Molasse der Mishung Die Molasse der Mishung, bzw. der Mittelwert der Molassen M ergibt sih aus n i r i M i M Dihte der Mishung n i i r i ρ ρ Beziehung zwishen Massenanteilen und Rauanteilen i i i i i i i i R R r M M r M n M n µ Partialdrüke heoretishes Konstrukt: Während des Mishungsorganges exandiert jede eilkoonente on seine Anfangsoluen i auf das größere oluen und sein Druk sinkt dait on i auf. Der Druk der Koonente in der Mishung wird als eildruk oder auh als Partialdruk bezeihnet. Dieser Partialdruk läßt sih lediglih rehnerish eritteln, niht jedoh eßtehnish bestien. Die Berehnung on Partialdrüken basiert auf de Gesetz on Dalton: In einer idealen Gasishung erhält sih jede Koonente so als wäre sie allein orhanden. Die Zustandsgleihungen der idealen Gase nah der Mishung lauten soit R R R n n n " wobei,,..., n die Partialdrüke der Einzelgase in der Mishung bezeihnen.

47 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 4 Die Addition der einzelnen Zustandsgleihungen liefert n i n i Ri i i i n µ i Ri Der Gesatdruk in der Mishung entsriht der Sue der Partialdrüke... n n i i Die Bestiung des Partialdruks i einer Koonente i in einer Gasishung erfolgt aus de oluenanteil und de Gesatdruk der Mishung r i i Ü 4.9: Luft Die Zusaensetzung on Luft unter Noralbedingungen besteht aus a. -Stikstoff: 78 % (oluen) - Sauerstoff: % - Argon: % Gesuht sind - Molasse M Luft - Gaskonstante R Luft - Dihte i Norzustand ρ n - Partialdrüke der Koonenten i Molassen der Koonenten: M(N ) 8.04 M(O ).9988 M(Ar) kg/kol kg/kol kg/kol Molasse der Mishung: M M Luft Luft r N M N r O Physikalisher Norzustand M O kg kol r Ar M Ar kg kol kg kol kg kol n n 7.5 K.05 bar Pa Standardatoshäre 0 0 ρ K (5 C).05 bar Pa.5 kg/³

48 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 5 Die Gaskonstante der Mishung ergibt sih aus der Molasse M und der uniersellen Gaskonstanten R : J 84.5 R kol K J RLuft 87. M kg Luft kg K kol Die Dihte i Norzustand berehnet sih aus der Zustandsgleihung des idealen Gases J K R n kg K n n.05 0 Pa kg kg ρ n.9 n Partialdrüke der Koonenten: Stikstoff: r bar bar Sauerstoff: r bar bar Argon: r bar 0.005bar 4.5 Reale Gase Exerientelle Untersuhungen bezüglih der Genauigkeit it der reale Gase durh die Zustandsgleihung für ideale Gase aroxiiert werden, zeigen, daß reale Gase sih it abnehenden Druk de Grenzwert li 0 R annähern. Dies bedeutet, daß reale Gase sih bei kleinen Drüken näherungsweise wie ideale Gase erhalten. Bei höheren Drüken und dait auh größeren Abweihungen o erhalten eines idealen Gases, kann die Zustandsgleihung durh Einführung eines Korrekturfaktors erweitert werden. Dieser Korrekturfaktor wird auh als Realgasfaktor Z bezeihnet. Die Zustandsgleihung für reale Gase lautet soit: R Z Z R Der Realgasfaktor Z ist eine Funktion, die on de jeweiligen Stoff, der eeratur und de Druk abhängt. Die Bestiung on Z erfolgt exerientell. In Abb. 4.7 ist der erlauf des Realgasfaktors on Luft in Abhängigkeit on der eeratur für untershiedlihe Drüke dargestellt. Es wird deutlih, daß sih Luft bis zu Drüken on a. 0 bar, in de eeraturbereih on 70 K bis 000 K, ohne größeren Fehler als Realgas aroxiieren läßt.

49 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 6 Abb. 4.7: Realgasfaktor Z für Luft bei untershiedlihen Drüken 4.6 Däfe Däfe untersheiden sih in ihren hysikalishen Eigenshaften niht on Gasen. Allerdings bilden sie, sofern sie sih i therodynaishen Gleihgewiht befinden, ein Zweihasensyste Dafarten Der Phasenübergang on der flüssigen in die gasförige Phase erfordert die Zufuhr on Wäre. Die untershiedlihen Arten on Daf, die bei de Prozeß einer isobaren Erwärung (d.h. d 0)durhlaufen werden, sollen anhand on Abb. 4.8 und Abb. 4.9 näher erläutert werden: Abb. 4.8: ershiedene Stadien des erdafungsrozesses

50 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 7 Abb. 4.9: Zustandsänderungen on Wasser bei Erwären und erdafen bei onst. Bei Ugebungsteeratur befindet sih das Wasser in der flüssigen Phase und hat ein sezifishes oluen (Zustand ). Bei Erwärung auf die eeratur 99.6 C ergrößert sih sein sezifishes oluen auf (Zustand ). Dies entsriht der Siedeteeratur on Wasser bei bar. Bei weiterer Wärezufuhr bildet sih ehr Daf und das sezifishe oluen ergrößert sih auf (Zustand ). Bei weiterer Wärezufuhr bleibt die eeratur solange konstant, bis das Wasser ollständig in die Gashase übergegangen ist (Zustand 4). Der Bereih des Prozesses on Zustand bis Zustand 4 wird als Naßdaf bezeihnet und stellt ein Zweihasengeish dar. Aufgrund der Shwerkraft bildet sih eine deutlihe rennflähe zwishen der flüssigen und der gasförigen Phase ( gesättigter Daf) aus. Ist der letzte Rest Wasser on der flüssigen Phase in die Gashase übergegangen, so steigt bei weiterer Wärezufuhr auh wieder die eeratur und auh sein sezifishes oluen an (Zustand 5). das Wasser, das sih nun ollständig in der Gashase befindet, wird auh als überhitzter Daf bezeihnet. Dieser isobare erdafungsrozeß läßt sih für untershiedlihe Drüke wiederholen, solange der Druk zwishen de Druk des rielunktes und de Druk des kritishen Punktes liegt. Bei Drüken oberhalb des kritishen Punktes lassen sih bei de erdafungsrozeß niht ehr gleihzeitig zwei deutlih untersheidbare Phasen ehr beobahten. Flüssigkeits- und Gasgebiet gehen kontinuierlih ineinander über. Ein sinnolle Grenze zwishen Flüssigkeit und Gas existiert niht ehr Dafdrukkuren Bei erdafung unter konstante Druk bleibt auh die eeratur konstant. Zu jede Druk gehört auh eine bestite Siedeteeratur und ugekehrt gehört auh zu jeder eeratur ein bestiter Druk, bei de die Flüssigkeit erdaft. Kaffeewasser koht z.b. in großer Höhe i Gebirge ( geringerer Druk) bereits bei einer sürbar geringeren eeratur als in Meereshöhe. Dieser Druk wird auh als Dafdruk oder Sättigungsdruk einer Flüssigkeit bezeihnet. Die Dafdrukkure ( )

51 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 8 ersheint i,-diagra als Projektion des Naßdafgebietes und erläuft o rielunkt zu kritishen Punkt. Die Dafdrukkure ist eine stoffsezifishe Größe und uß für jeden Stoff exerientell erittelt werden. Abb. 4.0: Dafdrukkuren ershiedener Stoffe i,-diagra 4.6. Grenzkuren Die therishen Daten on Däfen, wie sie in tehnishen Anwendungen erwendung finden, sind in sogenannten Sättigungsdaftafeln aufgelistet. Sie enthalten für den entsrehenden Stoff u.a. die Dafdrukkure, also die Werteaare des Sättigungsdruks s und der Sättigungsteeratur s sowie die sezifishen oluen des Stoffes auf der Siedelinie ' und auf der aulinie ''. rägt an die Sättigungsdrüke und die dazugehörigen sezifishen oluina ' und '' über de sezifishen oluen auf, so entsteht eine Grenzkure, die das Naßdafgebiet ushließt, Abb. 4.. Der Ast links on de kritishen Punkt wird als untere Grenzkure bezeihnet und entsriht der Siedelinie. Der rehte Ast der Grenzkure wird als obere Grenzkure bezeihnet und entsriht der aulinie. Mit zunehende Sättigungsdruk erringert sih die bei de Übergang on der flüssigen in die gasförige Phase zu erzeihnenden oluenzunahe u i kritishen Punkt, bei de kritishen Druk kr und der kritishen eeratur kr ollständig zu ershwinden.

52 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 9 Abb. 4.: Grenzkuren des Naßdafgebietes i,-diagra herishe Zustandsgleihung on Daf Das Naßdafgebiet stellt ein Zweihasengebiet dar, in de i Zustand des therodynaishen Gleihgewihts die flüssige und die gasförige Phase den gleihen Druk und die gleihe eeratur haben. Druk und eeratur sind niht oneinander unabhängig, sondern sind über die Dafdrukkure iteinander erknüft. Zur ollständigen Beshreibung des Zustands ist niht nur die Angabe on Druk und eeratur erforderlih, sondern auh eine Angabe über das Mengenerhältnis der beiden Phasen. Das Mengenerhältnis wird auh als Dafgehalt x bezeihnet, wobei ' die Masse der flüssigen Phase und '' die Masse der gasförigen Phase kennzeihnet. x Für alle Punkte, die auf der linken Grenzkure (Siedelinie) liegen, gilt wegen '' 0 auh x 0. Entsrehend gilt für alle Punkte, die auf der rehten Grenzkure (aulinie) liegen, gilt wegen ' 0 auh x. der Dafgehalt x kann also nur zwishen den Grenzen 0 und ariieren. Der er x beshreibt den Flüssigkeitsanteil des Naßdafes, der noh niht in die gasförige Phase übergegangen ist und wird als Nässe oder auh Restfeuhte bezeihnet. Die therishe Zustandsgleihung on Naßdaf ergibt sih aus der oluenbilanz bzw.

53 ehnishe herodynaik Zustandsgleihungen 40 Mit der Definition der Restfeuhte folgt ( x) x x ( ) Dait läßt sih der Naßdafzustand auf jeder Isobare durh die sezifishen oluina in Abhängigkeit o Dafgehalt beshreiben. Bei Kenntnis der sezifishen oluina ' und '' ergibt sih der Dafgehalt x zu: x Der therishe Zustand des Naßdafes läßt sih also beshreiben durh die Funktion ( ( ) x), Ü 4.0: Für eine Sättigungsteeratur on 5 C sind für Wasser folgende Größen zu bestien: - Sättigungsdruk s - Sezifishe oluina auf der Siede- und aulinie ' und '' - Sezifishes oluen für einen Dafgehalt on x 7% Die Daftafel on Wasser liefert für ϑ 5 C die Werte: - Sättigungsdruk: s(5 C) bar - Sezifishe oluina auf der Siede- und aulinie: ' ³/kg '' 4.40 /kg Das sezifishe oluen ergibt sih aus der Definition des Dafgehalts x ( ) ( ) kg

54 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 4 5 Kinetishe Gastheorie 5. Druk als Ergebnis on Stoßorgängen I Gegensatz zur klassishen herodynaik, deren Erkenntnisse auf der exerientellen Untersuhung therodynaisher Prozesse beruhen, betrahtet die kinetishe Gastheorie, als eil der statistishen herodynaik, die ikroskoishe Struktur der gasförigen Materie. Die Beshreibung der Stoffeigenshaften und Gesetzäßigkeiten erfolgt hier rein theoretish auf der Basis der klassishen Mehanik und der Statistik. Dabei geht die kinetishe Gastheorie on der ereinfahenden Annahe aus, daß die Atoe und Moleküle durh Masseunkte, bzw. kleinen Kugeln, reräsentiert werden, die sih in einer eranenten, ungeordneten Bewegung befinden. Die Masseunkte bewegen sih dabei auf geradlinigen Bahnen it einer gleihförigen Geshwindigkeit. Stoßorgänge zwishen einzelnen eilhen oder it einer Wand, entsrehen elastishen Stößen. Aufgrund der (angenoenen) geringen Dihte sind Anziehungskräfte zwishen den eilhen ernahlässigbar. Ausgehend on diesen Annahen, lassen sih so bei Kenntnis der ikroskoishen Daten eines Systes, wie der Anzahl der i oluen enthaltenen eilhen, ihrer Masse und Geshwindigkeit die akroskoishen Größen eines Systes, wie z.b. Druk, oluen und eeratur berehnen. Iuls und Stoß Elastisher Stoß Bei eine elastishen Stoß bewegen sih die Körer während einer kurzen Berührungshase it einer geeinsaen Geshwindigkeit, dann stoßen sie sih wieder ab und bewegen sih it untershiedlihen Geshwindigkeiten weiter. ' ' Abb. 5.: Elastisher Stoß

55 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 4 Iulssatz Energiesatz Uforen und Einsetzen in den Iulssatz ergibt die Geshwindigkeiten nah de elastishen Stoß ( ) ( ) Die beiden Körer erfahren keine bleibenden erforungen, die Sue der Bewegungsenergie or und nah de elastishen Stoß bleibt gleih d.h. E kin E kin '. Unelastisher Stoß Sind die an de Stoßorgang beteiligten Körer unelastish, so erforen sie sih an den Berührungsstellen und bewegen sih dann it geeinsaer Geshwindigkeit weiter. Abb. 5.: Unelastisher Stoß Geshwindigkeit nah de Stoß folgt aus Iuls- und Energiesatz: ( )

56 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 4 Die geleistete erforungsarbeit W ergibt sih aus der Differenz der Bewegungsenergien W und W or und nah de Stoß: ( ) ( ) ( ) W W W W W Abb. 5.: Kontrolloluen Innerhalb des in Abb. 5. skizzierten Quaders befinden sih N Gasteilhen it der Masse. Aus der Gesatenge soll ein eilhen i, i N betrahtet werden: der Iuls I dieses eilhens beträgt I Bei elastishen Aufrall auf die Wand ändert sih die y-koonente des Iulses ( ) i y i y,, d.h. ( ) () ( ) i y i y i y i y i y i y t I t t I I,,,,,, Mit der Differenzierung des Iulses nah der Zeit ergibt sih die Kraft auf die Wand: i y i y i t t I F t I F,,, Der Betrag der gesaten auf die rehte Wand übertragenen Kraft F ergibt sih aus der Suation der Iulsänderungen aller Gasteilhen N, die i Zeitinterall t auf die rehte Wand auftreffen. N i i y N i i t F F,

57 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 44 Mit der ittleren Geshwindigkeit der eilhen in y-rihtung ergibt sih für die Kraft F: y t N F Die Anzahl N der eihen, die in de Zeitinterall t auf die rehte Wand treffen, berehnet sih wie folgt: Es können nur diejenigen eilhen auftreffen, die sih i Abstand t y y on der Wand befinden, also in der oluensheibe A t A y y Anzahl der eilhen N in der oluensheibe : A t N N N y I statistishen Mittel bewegen sih gleihzeitig genauso iele eilhen nah rehts wie nah links, d.h. die Anzahl der eilhen, die sih i Zeitinterall t auf die rehte Wand zubewegt entsriht der Hälfte der eilhen, die sih in der oluensheibe befinden, also A t N N N y Eingesetzen on N in die Gleihung für die Drukkraft ergibt A N F t N F y y bzw. für den Druk auf die Wandflähe A: y N A F Da die Bewegung der eilhen beliebig it gleiher Wahrsheinlihkeit in alle Rihtungen erfolgt, gilt: z y x z y x läßt sih eine ittlere Geshwindigkeit, die sogenannte ittlere therishe Geshwindigkeit definieren: z y x it

58 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 45 y läßt sih der Druk soit shreiben als N 5. eeratur als Maß der kinetishen Energie Die Gleihung für den Druk läßt sih auh shreiben als N N it der ittleren kinetishen Energie eines eilhen E folgt E N Der ergleih it der therishen Zustandsgleihung des idealen Gases R N R zeigt, daß die ittlere kinetishe Energie eines Gasteilhens roortional der therodynaishen eeratur des Gases ist: R E Die gesate kinetishe Energie aller N eilhen, die sih i oluen befinden ergibt sih it N zu R E N i Die absolute eeratur stellt soit ein Maß für die innere Energie der Gasasse dar. Ersetzt an die Masse durh das Produkt aus eilhenanzahl n und Molasse M M n und die stoffsezifishe Gaskonstante R durh die unierselle Gaskonstante R,

59 ehnishe herodynaik Kinetishe Gastheorie 46 R R M dann erhält an für die gesate kinetishe Energie des Systes N E i n R Dies zeigt, daß die gesate kinetishe Energie lediglih on der eeratur und der Anzahl der eilhen abhängt, niht jedoh on der eilhenasse. Ü 5.: Mittlere therishe Geshwindigkeit eines Luftoleküls R Luft 88.5 [K] (5 C) 87. [J/kgK] Kinetishe Energie eines eilhens: E R R J k K kg K s h

60 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 47 6 Der erste Hautsatz der herodynaik 6. Der erste Hautsatz für geshlossene Systee 6.. Inhalt des ersten Hautsatzes Der erste Hautsatz der herodynaik foruliert das Prinzi on der Erhaltung der Energie. Dies erfordert eine Beshreibung der Größen Arbeit, Energie und Wäre. Bei der Forulierung des ersten Hautsatzes ist zu untersheiden zwishen der in eine Syste geseiherten Energie und der Energie, die während eines Prozesses die Systegrenze übershreitet. Die in eine Syste geseiherte Energie, sein Energieinhalt, besteht aus kinetisher, otentieller und innerer Energie und stellt eine Zustandsgröße des Systes dar. Die Energie, die während eines Prozesses die Systegrenze übershreitet, stellt dabei keine Zustandsgröße dar. Diese Energie wird in Arbeit und Wäre aufgeteilt. Das errihten on Arbeit und das Übertragen on Wäre stellen zwei untershiedlihe hysikalishe erfahrensweisen dar u Energie über die Systegrenzen zu transortieren. Das Prinzi on der Erhaltung der Energie führt shließlih zu einer Energiebilanz, die die Änderung der i Syste geseiherten Energie it der Energie erknüft, die in For on Wäre oder Arbeit über die Systegrenzen transortiert wurde. 6.. Mehanishe Arbeit und ehanishe Energie Allgeein: Eine Kraft errihtet Arbeit, wenn unter ihre Einfluß ein Körer bewegt oder erfort wird. Arbeit als Skalarrodukt zweier ektoren: Bei ershiebung des Angriffsunktes einer konstanten Kraft F ' u die Streke s ' wird die Arbeit W errihtet. ' ' ' ' W F s F s osα F s osα, α 0 80 Abb. 6.: Skalarrodukt zweier ektoren Bewegung eine unktförigen Masse Zur erdeutlihung der Energieübertragung soll die Bewegung einer unktförigen Masse i Rau betrahtet werden. Unter de Einfluß einer Kraft bewegt sih dieser Masseunkt entlang einer räulihen Bahn, die durh den Ortsektor r ' () t beshrieben wird. ' ' Die Kraft selbst ist abhängig on der Bahnkure, F F() r.

61 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 48 Abb. 6.: Bahnkure eines Masseunktes i Rau Mit der auf der Bahnkure zurükgelegten Streke Punkten auf der Bahnkure geleistete Arbeit: ' ' ds dr ergibt sih die zwishen zwei W r r ' ' F dr Mit der Newton'shen Definition für Kraft, d.h. Kraft gleih Masse al Beshleunigung ' ' ' d F a dt ergibt sih für die Arbeit W r ' ' d ' dr ' dr d d dt dt ' r Die beiden letzten ere entsrehen der kinetishen Energie des Masseunktes in den Punkten und, d.h. die Arbeit, die on der Kraft F ' durh ershiebung des Masseunktes auf der Bahnkure geleistet wurde, ist gleih der Änderung der kinetishen Energie. W E kin E, kin, Bewegung eines Masseunktes i Shwerefeld der Erde I Shwerefeld der Erde erfährt jeder Körer eine zu Erdittelunkt gerihtete Gewihtskraft F G. Dait erweitert sih die in Abb. 6. dargestellt Kräfteerteilung auf den Masseunkt, der auf einer Bahnkure bewegt wird entsrehend.

62 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 49 Abb. 6.: Kräfteerteilung an eine Masseunkt i Graitationsfeld Mit ' ' ' F F G F A ergibt sih die on der Kraft F ' an de Masseunkt zu errihtende Arbeit zu W W G, W ' F r r ' A, G dr r r ' F Unter der Annahe einer konstanten Erdbeshleunigung g onst., ergibt sih für die Gewihtskraft F G : ' F g G e z und soit für die Arbeit W G, : W G, r z A ' dr r z ' ' FG dr g dz g it der Definition für die otentielle Energie ( z z ) erhält an E ot W g z ( E E ) G, ot, ot, Die gesate zwishen den beiden Punkten errihtete Arbeit ist soit oder ( E, E, ) W, W E E E kin, kin, ot ot A E W E E kin, ot, A, kin, ot, Die ehanishe Gesatenergie des Systes ergibt sih zu E E E eh kin ot

63 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 50 Arbeit und ehanishe Energie sind Größen gleiher Art. Der Energiesatz der Mehanik lautet soit W E E A, eh, eh, Der Anteil W A, stellt dabei den Anteil der Arbeit dar, der niht aus eine konseratien Kraftfeld abgeleitet werde kann. Konseratie Kraftfelder, wie z.b. das Graitationsfeld der Erde, sind dadurh gekennzeihnet, daß die Arbeit infolge dieser Kräfte wegunabhängig ist. Ü 6.: Beshleunigung eines Fahrzeugs Ein Fahrzeug it einer Masse 750 kg wird t 6.9 s lang it a 0.8 g beshleunigt. Der Rollwiderstand wird it µ 0.04 abgeshätzt. Welhe Arbeit wird on der Antriebskraft in de Zeitinterall t 6.9 s geleistet? F a F A F R µ 0.5F G F G g F R µ 0.5F G Abb. 6.4: Beshleunigung eines Fahrzeuges Gewihtskraft F G des Fahrzeugs F g G 750 kg N s Antriebskraft F A aus der Kräftebilanz in Fahrtrihtung FA a µ FG 750kg N 6764N s I Zeitinterall t zurükgelegte Streke s a t s s errihtete Arbeit WA FA s 6764N N kWh

64 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen oluenänderungsarbeit Arbeit läßt sih auf ein ruhendes Syste nur durh Bewegung der Systegrenzen oder zuindest eilen der Systegrenzen übertragen. Ändert sih infolge der Deforation der Systegrenzen auh das Systeoluen, so sriht an on oluenänderungsarbeit. Als Beisiel soll die in eine Kolben eingeshlossene Gasasse betrahtet werden. Abb. 6.5: oluenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung Die bei einer ershiebung ds des Kolbens geleistete oluenänderungsarbeit dw entsriht dw A ds Die Änderung des Systeoluens beträgt hierbei d A ds Es wird ereinbart, daß zugeführte Energie oder Arbeit ein osities orzeihen und abgeführte Energie oder Arbeit ein negaties orzeihen erhält. Dait ergibt sih für die oluenänderungsarbeit dw dw d bei einer Koression it d < 0 ein ositier Wert, d.h. de Syste wird Arbeit zugeführt. Bei einer Exansion it d > 0, nit die oluenänderungsarbeit einen negatien Wert an, d.h. das Syste gibt Arbeit ab. Die oluenänderungsarbeit für die oluenänderung on auf ergibt sih zu W d Bezieht an das oluen auf die Systeasse, so erhält an it de sezifishen oluen die sezifishe oluenänderungsarbeit. w d

65 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 5 Bei einer quasistatishen Zustandsänderung ist der Druk in de oluen konstant und läßt sih über die therishe Zustandsgleihung (,) berehnen. Der Übergang o Zustand zu eine Zustand erläuft auf einer rozeßabhängigen Kure, z.b. einer Isothere (d 0). Die Flähe unter dieser Kure entsriht der bei diese Prozeß zu- bzw. abgeführten oluenänderungsarbeit. Abb. 6.6: oluenänderungsarbeit i,-diagra bei einer Koression erläuft dieser Prozeß unter eine Ugebungsdruk, so wird während der Kolbenbewegung auh Arbeit an die Ugebung abgegeben, bzw. on ihr geleistet. Die Kolbenstangenkraft beträgt nun F N ( ) A Die erbleibende Nutzarbeit berehnet sih zu U ( ) U ( ) W F ds A ds W N N N W U Abb. 6.7: oluenänderungsarbeit i,-diagra bei Ugebungsdruk

66 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 5 Ü 6.: Isothere Koression on Luft Ein reibungsfrei gleitender Kolben it eine Durhesser on d 00 erdihtet Luft isother o oluen 0.8 ³ auf 0.0 ³. Der Anfangsdruk beträgt 40 hpa. Der Ugebungsdruk beträgt u 980hPa. Gesuht sind die erforderlihe Kolbenkraft F N und die errihtete Nutzarbeit W N. W ( ) N W U Die oluenänderungsarbeit ergibt sih zu W d it der Zustandsgleihung des idealen Gases bei isotheren (d.h. d 0) Prozessen folgt W R R d d ln [ ln( ) ( )] ln und die Nutzarbeit W N zu WN ln U ( ) 0.0 W N 4000 Pa 0.8 ln Pa Die Kolbenkraft F N : F 4000 Pa ( ) A N U Pa 0. F N π 5545 ( Pa Pa) N ( ) J

67 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Wellenarbeit Zur Definition der Wellenarbeit soll eine Welle, die in das Syste hinein ragt, z.b. die Antriebswelle eines Rührwerks, betrahtet werden. Die Systegrenze durhshneidet die Welle und bildet als rotierende Kreisflähe einen beweglihen eil der Systegrenze, Abb In dieser Shnittflähe greifen, die durh die orsionswirkung des Drehoents erursahten Shubsannungen τ an. Abb. 6.8: Zur Berehnung der Wellenarbeit Mit der auf ein Fläheneleent da wirkenden angentialkraft F τ F τ ( r) da τ ( r) r d dr τ α ergibt sih das auf den Flähenittelunkt bezogen Moent infolge dieser angentialkraft zu dm τ F r τ () r r dα dr τ Die Arbeit aller i Zeitinterall t angreifenden angentialkräfte F τ berehnet sih aus der Integration über den Wellenquershnitt dw dwτ ( A) ( A) dm τ dϕ M τ dϕ Das on der Shubsannung erzeugte Drehoent M τ ist gleih de on der Welle übertragenen Drehoent M W also M M W τ dw M W dϕ Mit der Winkelgeshwindigkeit dϕ ω dt

68 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 55 ergibt sih die Wellenleistung zu ( t) M ( t) ( t) P W ω Die in de Zeitinterall t t - t übertragene Wellenarbeit ergibt sih zu W W t ( t) dt W ( t) ω t) dt P t bzw. bei konstanter Drehzahl und konstante Drehoent W W t t W M ω t P t W Ü 6.: Berehnung on Wellenleistung und Wellenarbeit Ein Motor überträgt bei einer Drehzahl on n 700 in - M W 9 N. ein Drehoent on Wellenleistung P : P M W ω M π n 700 in P 9 N π 60 W 085W 0.85kW Geleistete Wellenarbeit nah t 0 Minuten Betrieb it konstanter Drehzahl W W W W P t 085W 800 s Ws J 55.4kWh 6..5 Dissiationsenergie Durh die Zufuhr on Wellenarbeit in ein geshlossenes Syste, z.b. durh ein Rührwerk, entstehen zwishen de Fluid und der Oberflähe des Rührwerks Reibungskräfte, wodurh das Fluid selbst in Bewegung ersetzt wird und sih Wirbel ausbilden. Diese Wirbel lösen sih nah einiger Zeit infolge der inneren Reibung des Fluids wieder auf und die kinetishe Energie geht in die haotishe Molekülbewegung über. Die innere Energie des Systes wird soit erhöht. Dieser Uwandlungsrozeß on Wellenarbeit in innere Energie wird als Dissiation bezeihnet. Die dissiierte Arbeit wird als Dissiationsenergie i Innern des Systes geseihert. Bei der Uwandlung on Wellenarbeit in innere Energie handelt es sih u einen irreersiblen Prozeß, da ein geshlossenes Syste niht in der Lage ist, innere Energie wieder in Wellenarbeit zurük zu erwandeln. Dissiationsenergie ist also stets ositi, da sie de Syste nur zugeführt werden kann. Die dazu erforderlihe Arbeit wird als Dissiationsarbeit W d bezeihnet.

69 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Innere Energie Wird eine ruhenden geshlossenen Syste Arbeit zugeführt, Abb. 6.9, z.b. in For on elektrisher Arbeit über einen elektrishen Widerstand (a), durh die Zufuhr on Wellenarbeit über ein Rührwerk (b) oder durh das errihten on oluenänderungsarbeit infolge einer Koression (), so kann entsrehend de Energieerhaltungssatz diese Energie niht ershwinden, sondern uß i Syste geseihert werden. Bei ruhenden Systeen kann sie jedoh niht in For on otentieller oder kinetisher Energie geseihert werden, da sih das Syste entsrehend der Annahe in Ruhe befindet. In geshlossenen adiabaten, d.h. wäreundurhlässigen Systeen kann Energie nur in For on Arbeit über die Systegrenze transortiert werden. Adiabates Syste: Ein Syste wird als adiabat bezeihnet, wenn sih sein Gleihgewihtszustand nur dadurh erändern läßt, wenn de Syste Arbeit zugeführt wird oder on de Syste Arbeit errihtet wird. Abb. 6.9: Zufuhr on Arbeit in ein geshlossenes adiabates Syste Diese i Inneren des Systes geseiherte Energie wird als innere Energie bezeihnet. Die innere Energie eines Systes läßt sih auf untershiedlihen Wegen on eine Zustand in einen Zustand überführen. In Abb. 6.0 sind zwei untershiedlihe Prozesse (a) und (b) skizziert. Prozeß (a): Zufuhr on Wellenarbeit, isohor (d.h. d 0) Prozeß (b): Koression, Zufuhr on Wellenarbeit, anshließende Exansion Abb. 6.0: Zustandsänderung on '' '' durh zwei untershiedlihe Prozesse Die Arbeit ist i allgeeinen eine Funktion on der Prozeßführung. Bei geshlossenen adiabaten Systeen jedoh hängt die Arbeit lediglih on der Wahl des Anfangs- und Endzustands und niht on de gewählten Weg, d.h. de gewählten Prozeß ab. Die eine geshlossenen adiabaten Syste zugeführte Arbeit dient der Erhöhung seiner inneren

70 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 57 Energie, die on eine geshlossenen adiabaten Syste geleistete (abgeführte) Arbeit führt zu einer erringerung seiner inneren Energie. Die innere Energie U stellt soit eine Zustandsgröße des Systes dar und läßt sih über die a bzw. o Syste geleistete Arbeit definieren. U W (Definition der inneren Energie) U,adiabat Die de adiabaten Syste zugeführte Arbeit erhöht die ittlere Geshwindigkeit der Molekularbewegung und erändert den ittleren Abstand der Moleküle, so daß gegen die Anziehungs- und Abstoßungskräfte der Moleküle Arbeit errihtet wird Wäre Zur Definition des Begriffs Wäre, sollen an eine Syste zwei Prozesse durhgeführt werden, die das Syste jeweils on eine Zustand (, ) in einen Zustand (, ) überführen. Bei ersten Prozeß soll das Syste adiabat o Zustand in den Zustand gebraht werden. Als Beisiel diene das in Abb. 6.(a) skizzierte Syste it ideal isolierten Wänden. Durh die Zufuhr on Wellenarbeit wird die innere Energie und die eeratur des Systes erhöht. Die Änderung der inneren Energie läßt sih über die geleistet Wellenarbeit essen. W W, adiabat W U U Bei de zweiten Prozeß, Abb. 6.(b) läßt sih dieser gleihe Zustand auh ohne die Zufuhr on Wellenarbeit erreihen. Die ideale Isolierung des Systes wird durh eine diathere Wand ersetzt. Das Syste wird nun it eine zweiten Syste it eine großen Wäreinhalt und der Systeteeratur * in Kontakt gebraht. Bei beiden Systeen stellt sih ein therishes Gleihgewiht ein und dieser Gleihgewihtszustand (, ) entsriht genau de Zustand, der sih i ersten Prozeß durh die Zufuhr on Wellenarbeit erreiht wurde. Auh die Änderung der inneren Energie U - U ist gleih groß. W W Abb. 6.: Zufuhr on Wellenarbeit (a), Zufuhr on Wäre über diathere Wand (b) Bei niht-adiabaten Systeen läßt sih die Änderung der inneren Energie in der Regel niht allein aus der zugeführten Arbeit erklären sondern es ist ein weitere Energieanteil notwendig, d.h. die Wäre. Die Energie, die als Wäre die Systegrenze übershreitet läßt sih definieren als Q U U (Definition der Wäre) W Die bei eine beliebigen Prozeß als Wäre übertragene Energie ist gleih der Änderung der inneren Energie des Systes, erindert u die als Arbeit übertragene Energie.

71 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 58 Bei der Betrahtung der Energie, welhe die Systegrenzen übershreitet, sind zwei Foren on Energie zu untersheiden und zwar Energie, die als Arbeit und Energie, die als Wäre die Systegrenze übershreitet. Für adiabate Systee gilt also: Über die Grenzen eines adiabaten Systes kann Wäre weder zu- noh abgeführt werden. Energie kann nur in For on Arbeit zu- bzw. abgeführt werden. Wäre ist also Energie, die an der Grenze zwishen zwei Systeen ershiedener eeraturen auftritt und die allein aufgrund des eeraturuntershiedes zwishen den Systeen übertragen wird, wenn diese über eine diathere Wand iteinander in Wehselwirkung stehen. Ü 6.4: Kühlung eines elektrishen Leiters Ein elektrisher Leiter wird on eine zeitlih konstanten Gleihstro durhflossen. Der elektrishe Leiter, der zwishen zwei Punkten it de Potentialuntershied U el 5.5 liegt, hat einen elektrishen Widerstand on R el.5 Ω. Durh eine entsrehende Kühlung wird die eeratur des Leiters konstant gehalten. Wieiel Energie uß innerhalb on t h in For on Wäre abgeführt werden? Abb. 6.: Gekühlter elektrisher Leiter Definition für die Wäre Q U U W Da sih der Zustand, d.h. die eeratur und soit die innere Energie des Leiters niht ändert, gilt: U U 0 ( onst.!) Die zugeführte Arbeit entsriht der zugeführten elektrishen Arbeit it folgt W el W U I el R Q Q el el W U el el I Ω el U R el el t t 600 s 40. kj 0. 7 kw

72 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Der erste Hautsatz für ruhende geshlossene Systee Die bis jetzt orgestellten Überlegungen lag ier das allgeeine Prinzi on der Erhaltung der Energie zugrunde, d.h. Energie kann weder entstehen noh ernihtet werden. Zusaen it de Begriff der Arbeit, die bei adiabaten Prozessen niht o erlauf der Zustandsänderung abhängt, sondern lediglih on de Anfangs- und Endzustand, sowie der Definition der inneren Energie und der Energiefor Wäre, läßt sih auh bei nihtadiabaten Systeen der Energieerhaltungssatz quantitati forulieren. Jedes geshlossene Syste besitzt eine Zustandsgröße, die innere Energie U, die folgende Eigenshaften aufweist:. Bei adiabaten Prozessen ist Zunahe der inneren Energie gleih der de Syste zugeführten Arbeit, W, adiabat U U (Definition der inneren Energie). Bei nihtadiabaten Prozessen ist die de Syste als Wäre Q und als Arbeit W zugeführte Energie gleih der Zunahe seiner inneren Energie, Q W U U (Definition der Wäre) Der erste Hautsatz beshreibt also den quantitatien Zusaenhang zwishen den drei Energieforen Wäre, Arbeit und innerer Energie. Wäre und Arbeit sind die beiden Energieforen, die die Systegrenzen übershreiten können, während die innere Energie eine Eigenshaft (d.h. eine Zustandsgröße) des Systes darstellt. Der Zwek des ersten Hautsatzes besteht nun darin, die de Syste als Wäre oder Arbeit zugeführte oder entzogene Energie durh die Änderung einer Systeeigenshaft, nälih durh die Änderung der Zustandsgröße innere Energie, zu erfassen. Werden die Wäre Q, die Arbeit W und die innere Energie U auf die Masse des Systes bezogen, so lautet der erste Hautsatz für geshlossene Systee: q w u u (. Hautsatz für ruhende geshlossene Systee) Für reersible Prozesse gilt, daß de geshlossenen Syste Arbeit nur in For on oluenänderungsarbeit w re,. d zugeführt oder entzogen werden kann. Eingesetzt in den ersten Hautsatz ergibt dies für die Wäre q : q,. u u d re Die Größen Wäre, Arbeit und innere Energie sind on grundlegender Bedeutung für den ersten Hautsatz. Nah de Übershreiten der Systegrenzen, sind die de Syste zugeführte Wäre und Arbeit zu innerer Energie des Systes geworden. Wärezufuhr und das errihten on Arbeiten dienen dazu, die innere Energie eines Systes zu erändern. Es ist niht öglih, die innere Energie in einen ehanishen Arbeits- und einen therishen Wäreanteil aufzusalten.

73 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Der erste Hautsatz für bewegte geshlossene Systee Der erste Hautsatz der herodynaik für ruhende geshlossene Systee läßt sih erweitern auf bewegte geshlossene Systee (z.b. ein bewegtes Fluideleent). Die auf die Masse bezogene geseiherte Energie eines bewegten Systes setzt sih zusaen aus - seiner inneren Energie u, - seiner kinetishen Energie - und seiner otentiellen Energie gz. Der gesate Energieinhalt, d.h. die i Syste geseiherte Energie E beträgt denah E u g z Geäß de ersten Hautsatz ist die Änderung des Energieinhalts gleih der Sue der Energien, die als Wäre oder als Arbeit über die Systegrenzen übertragen werden. Der erste Hautsatz für bewegte geshlossene Systee lautet soit: Q W E E U U ( ) g ( z z ) 6.4 Der erste Hautsatz für stationäre Fließrozesse 6.4. ehnishe Arbeit Mashinen und Aarate, die on eine zeitlih konstanten Stoffstro, d.h. stationär durhflossen werden, lassen sih ebenfalls durh eine besondere For des ersten Hautsatzes beshreiben. Diese For des ersten Hautsatzes läßt sih über eine Energiebilanz für einen Kontrollrau, also ein offenes Syste herleiten. Dies ist niht it der Bilanz an eine bewegten geshlossenen Syste (gl. 6.), also der Bilanz an eine bewegten Fluideleent zu erwehseln. Der orteil dieser For des ersten Hautsatzes besteht darin, daß die Prozesse und orgänge, die i Inneren der Anlagen ablaufen niht bekannt sein üssen. In der Energiebilanz treten lediglih Größen auf, die an der Grenze des Kontrollraus bestibar sind. Zu diesen Größen zählt die tehnishe Arbeit W t, wie sie z.b. in For on Wellenarbeit einer urbine über die Kontrollgrenzen des offenen Systes abgegeben werden kann. Entsrehend zählt auh elektrishe Arbeit, die de Kontrollrau zu- bzw. abgeführt wird als tehnishe Arbeit.

74 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 6 Die in eine Zeitinterall τ geleistete Arbeit wird als ehanishe oder auh elektrishe Leistung bezeihnet: P W t, τ Die tehnishe Arbeit kann auh auf die Masse des Fluids bezogen werden und wird als sezifishe tehnishe Arbeit bezeihnet. w t, Wt, Mit de zeitlih konstanten Massestro! ergibt sih dann die Leistung P zu: P! w t, Die Berehnung der tehnishen Arbeit soll anhand des in Abb. 6. skizzierten Kontrollraus erdeutliht werden. Abb. 6.: Kontrollrau eines offenen Systes Die Zustandsgrößen des Systes werden a Eintritt it de Index und a Austritt it de Index gekennzeihnet. Mit W t, wird die tehnishe Arbeit bezeihnet, die de Syste über eine Welle zugeführt wird, z.b. über den Antrieb eines erdihters. Mit Q wird die de Syste zugeführte Wäre bezeihnet. Der Prozeß wird über ein Zeitinterall τ betrahtet, in dessen erlauf das Syste on eine Fluid der Masse durhströt wird. Da die Bewegung des ströenden Fluids für das offene Syste on Bedeutung ist, sind in diese Fall die kinetishe und otentielle Energien zu berüksihtigten. Die Energiebilanz für das Syste lautet: bzw. Q W E E

75 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 6 z g u z g u W Q Der er Q bezeihnet die Wäre, die de Syste zugeführt wird und der er W bezeihnet die Arbeit, die de Syste zugeführt wird. Die Arbeit wiederu setzt sih zusaen aus der tehnishen Arbeit W t, und der oluenänderungsarbeit a Eintrittsquershnitt sowie a Austrittsquershnitt -, d.h. W W t, bzw. ( ), W W t Der er wird auh als sezifishe ershiebearbeit bezeihnet. Die Energiebilanz lautet nun ( ), z g u z g u W Q t Sofern es sih u einen stationären Prozeß handelt, gilt die Gleihung auh für beliebig große Zeitinteralle τ und die Gleihung kann durh τ diidiert werden. ( ) z g u z g u P Q!!!! bzw. z g u z g u P Q!!! 6.4. Enthalie Die Sue aus innerer Energie U und de Produkt läßt sih zu einer neuen Zustandsgröße des Systes zusaenfassen, der Enthalie H. U H bzw. die sezifishe Enthalie h u H h Dait ergibt sih der erste Hautsatz für stationäre Fließrozesse zu ( ) ( ) z z g h h P Q!!

76 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 6 bzw. bezogen auf die Masse des ströenden Medius, d.h. den Massestro! ( ) g ( z z ) q wt, h h Da in der Gleihung für stationäre Fließrozesse nur Größen enthalten sind, die i Eintrittsund Austrittsquershnitt geessen werden können, kann sie auh auf Systee angewendet werden, in deren Innere auh niht-stationäre Prozesse ablaufen. Die Forderung nah stationäre erlauf bezieht sih lediglih auf die Größen i Eintritts- und Austrittsquershnitt. Ü 6.5: Stationärer Fließrozeß a Beisiel eines Wasserkraftwerks Die Grenzen des Kontrollraus werden so gewählt, daß die Ströungsgeshwindigkeit des Wassers ernahlässigbar klein wird, d.h. 0. Der Luftdruk ist zu ernahlässigen und Zu- und Ablauf liegen in der gleihen iefe unter de Oberwasser- bzw. Unterwassersiegels, d.h.. Der Kontrollrau ist adiabat, d.h. q 0. Wasser kann als inkoressibel angenoen werden, d.h. seine Dihte ρ bzw. sezifishes oluen ist konstant. Gesuht ist die abgegebene urbinenarbeit w t. Abb. 6.4: Stationärer Fließrozeß, Wasserkraftwerk Der erste Hautsatz für stationäre Fließrozesse ereinfaht sih soit zu ( ) g ( z z ) q wt, h h bzw. ( z ) w t, h h g z ( ) g ( z ) w t, u u z &#%#$ 0

77 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 64 also w u u g ( z z ) u u g zgeodätish t, &%$ &#% innere Energie otentielle Energie Die abgegebene urbinenarbeit setzt sih also zusaen aus der Änderung der inneren Energie sowie aus der Abnahe der otentiellen Energie des Wassers i Shwerefeld der Erde. Für einen reersiblen Prozeß gilt u u, d.h. die innere Energie i Syste bleibt unerändert und die abgegebene Arbeit hängt lediglih on der Änderung der otentiellen Energie ab. w g t, re ( z z ) g z geodätish Dies stellt den theoretish axial erzielbaren Grenzwert für die abzugebende urbinenarbeit dar. In der Natur koen jedoh lediglih erlustbehaftete Prozesse or, d.h. es gilt wegen der Reibungserluste u > u. Diese erluste führen zu einer erringerung der abgegebenen urbinenarbeit und einer Erhöhung der inneren Energie des Wassers, d.h. zu einer eeraturerhöhung des Wassers. Der Wirkungsgrad des Kraftwerks läßt sih ausdrüken durh das erhältnis η w w t t, re Der Zusaenhang der Wasserteeratur it seiner inneren Energie wird beshrieben durh u u ( ) Mit z geodätish z und der Definition des Wirkungsgrades η folgt wt η w t, re g z u u g z g z g z ( ) berehnet sih die eeraturerhöhung des Wassers aus ( ) η g z g z g z η Bei eine angenoenen Wirkungsgrad on η 0.9 und eine Höhenuntershied on z 00 ergibt sih it der sezifishen Wärekaazität on Wasser 490 J/kgK eine Erwärung des Wassers on s 0. 0K J 490 kg K

78 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Instationäre Prozesse in offenen Systeen Ausgehend on der Energiebilanz eines offenen Systes soll der erste Hautsatz auf nihtstationäre Prozesse erweitert werden. In allgeeiner For lautet die Energiebilanz für den Kontrollrau eines offenen Systes: Die Sue der Energien, die als Wäre und Arbeit it de ströenden Mediu über die Systegrenze zu- oder abgeführt werden ist gleih der Änderung des Energieinhalts des offenen Systes. Abb. 6.5: Masseeleent eines ströenden Medius bei Überqueren der Systegrenze Zur Berehnung der Energie, die it de Ströungsediu über die Systegrenze transortiert wird, betrahten wir ein Masseeleent, das die Systegrenze B assiert, Abb Die innerhalb des Zeitinteralls τ orbeifließende Energie läßt sih aus de Energieinhalt des Masseeleents bestien: u g z Die ershiebearbeit, die on de Ströungsediu errihtet werden uß u das Masseeleent u die Streke τ zu bewegen, berehnet sih it de Quershnitt A zu: ()( A τ ) Die gesate Energie, die während des Zeitinteralls τ orbeifließt beträgt soit: u g z Dies bedeutet, daß durh den Eintritt eines ströenden Medius in ein offenes Syste, sih die Energie des Systes niht nur u die innere Energie, kinetishe Energie und die otentielle Energie erhöht sondern auh u einen Betrag. Der er wird auh als sezifishe Ströungsenergie bezeihnet.

79 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 66 ritt durh einen Eintrittsquershnitt eine Masse d in das Syste ein, so transortiert das Masseeleent die Energie d z g h d z g u A Austrittsquershnitt fließt it der Masse d die Energie d z g h ab. Werden de Syste die Wäre dq und die tehnishe Arbeit dw t zugeführt, dann gilt für die Energiebilanz de d z g h d z g h dw dq t Wobei de die zeitlihe Änderung des Energieinhalts des offenen Systes darstellt. der gesate Energieinhalt E des Systes ergibt sih aus der Integration über die i Syste enthaltene Masse. Systes offenen des Masse d z g u E erläuft ein Prozeß über das Zeitinterall t a bis t b, so ergibt sih der erste Hautsatz für instationäre Fließrozesse in offenen Systeen a b b t a t b t a t ab t ab E E d z g h d z g h W Q ) ( ) ( ) ( ) (, Für stationäre Fließrozesse gilt d d d de 0 und it d dq q sowie d dw w t t, ereinfaht sih die Bilanz wieder zur Gleihung des ersten Hautsatzes für stationäre Fließrozesse. ( ) ( ), z z g h h w q t

80 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 67 Ü 6.6: Abfüllen eines Kühlittels R in eine Gasflashe In einer Gasflashe it de oluen 0.00 ³ befindet sih das Kälteittel R (CF Cl ). Zu Anfang steht das gasförige R bei a 0 C unter eine Druk on a.005 bar. Das zu a und a gehörige sezifishe oluen a beträgt a ³/kg und die sezifishe Enthalie h a 0.76 kj/kg. Zu Auffüllen wird die Gasflashe an eine Leitung it gasförige R angeshlossen it 6.54 bar, 50 C, h 5.94 kj/kg. Auszug aus der Daftafel on R für s 0 C s [ C] s [bar] ' [ /kg] '' [ /kg] h' [kj/kg] h'' [kj/kg] Die Flashe wird so aufgefüllt, daß bei 0 C gerade 80% des oluens on siedende R und das restlihe oluen on gesättigte Daf eingenoen wird. Welhe Menge an R sind einzufüllen und wieiel Wäre uß während des Füllorgangs über eine Kühlung abgeführt werden? Abb. 6.6: Füllen einer Gasflashe it R Die Masse a des gasförigen R zu Beginn des Füllorgangs berehnet sih zu a ρa kg a kg Die Masse b a Ende des Füllorgangs läßt sih aus den Massen der siedenden Flüssigkeit ' und des gesättigten Dafes '' bestien b b b kg Die einzufüllende Menge beträgt soit b a.8kg 0.00 kg. 8kg

81 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 68 Da nur ein Stoffstro die Systegrenze überquert, d.h. d 0, gilt: dq dwt h g z d de Die kinetishe und otentielle Energien können ernahlässigt werden. Während de Füllorgang wird de Syste keine Arbeit zugeführt, d.h. dw t 0. Die Änderung der Energie de entsriht der Änderung der inneren Energie du des R, das sih in der Gasflashe befindet. Die Energiebilanz ereinfaht sih soit zu dq h d du dq h d du Die Integration b b dq h d a a b a du ergibt wegen des zeitlih konstanten Zustands des einströenden Kühlittels R Q h ab ( b a ) U b U a Die innere Energie des gasförigen R or de Füllen beträgt U U a a a u a 0.00kg 0.76 a ( h ) a a kj kg a Pa A Ende des Füllorgangs beträgt die innere Energie des Naßdafes.897 kj it folgt U U b b u b b b u h h b b b b b s b ( h s ) b ( h s ) ( ) b b &##%## $ kg.5kg kg 0.0kg kj kj 5 U b.5kg kg Pa kj kg kg

82 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 69 Die während de Füllorgang abzuführende Wäre ergibt sih zu kj Q ab K (.8kg 0.00kg) 9.4 kj.897 kj 45. kj Das bedeutet, daß die Gasflashe während de Füllorgang gekühlt werden uß, u eine konstante eeratur on 0 C aufreht zu erhalten und das eingefüllte Gas kondensiert.

83 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 70 7 Kalorishe Zustandsgleihungen Die innere Energie U und Enthalie H beshreiben den inneren energetishen Zustand eines Systes. Zur Untersheidung on den therishen Zustandsgrößen,,, werden sie als kalorishe Zustandsgrößen bezeihnet. 7. Kalorishe Zustandsgleihungen der inneren Energie Bei einfahen Systeen läßt sih der Gleihgewihtszustand durh zwei Zustandsgrößen eindeutig beshreiben. Die sezifishe innere Energie u läßt sih also als Funktion on eeratur und sezifishe oluen in Analogie zur therishen Zustandsgleihung darstellen als (, ) u u(, ) (therishen Zustandsgleihung) (kalorishe Zustandsgleihung) Das ollständige Differential der sezifishen inneren Energie lautet: u du u d d Der erste artielle Differentialquotient wird auh als sezifishe Wärekaazität bei konstante oluen bezeihnet. u ( ), Bei gleiher eeraturänderung kann ein Körer u so ehr Wäre aufnehen, desto größer seine Wärekaazität ist. 7. Kalorishe Zustandsgleihungen der Enthalie Die sezifishe Enthalie h wird allgeein als Funktion on und angegeben: ( ) h h, Diese For gilt lediglih für Einhasensystee, da nur hier Druk und eeratur oneinander unabhängig sind. Das ollständige Differential der sezifishen Enthalie h lautet: h dh h d d

84 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 7 Der erste artielle Differentialquotient wird auh als sezifishe Wärekaazität bei konstante Druk bezeihnet. h ( ), Zustandsgrößen sind unabhängig on de erlauf der Zustandsänderungen. Dies hat den orteil, daß bei der Berehnung der Integrale der Integrationsweg niht it de erlauf der Zustandsänderung übereinstien uß, sondern es kann ein rehentehnish einfaherer Weg gewählt werden. Lediglih die Anfangs- und Endunkte üssen übereinstien. 7. Innere Energie und Enthalie fester und flüssiger Phasen Aufgrund des inkoressiblen erhaltens on Festkörern und Flüssigkeiten gilt und soit onst. d 0 Dadurh hängen die innere Energie und die sezifishe isohore Wärekaazität nur noh on der eeratur ab. du d ( ) Das Differential der inneren Energie ereinfaht sih zu du du d d ( ) d Die Änderung der inneren Energie infolge einer eeraturänderung on auf berehnet sih zu ( ) u( ) ( ) d du u Die Enthaliedifferenz zwishen zwei Zuständen (, ) und (, ) dh h ( ) h(, ) (, ) h(, ) h, d d läßt sih aufgrund der Wegunabhängigkeit des Integrationsweges der Zustandsgrößen entsrehend des in Abb. 7. skizzierten Wegs berehnen.

85 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 7 Abb. 7.: Integrationsweg zur Bestiung der Enthaliedifferenz. Shritt: Isobare Zustandsänderung it onst, also d 0 ( ) ( ) d d h,,. Shritt: Isothere Zustandsänderung it onst, also d 0 ( ) ( ) ( ),,, h h d h it der Definition der Enthalie u h folgt ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ), u u d h Aufsuieren der eilergebnisse ergibt die Enthaliedifferenz zwishen den Zuständen und ( ) ( ) ( ) ( ),,, d h h Bei isobaren Zustandsänderungen gilt und soit für die Enthaliedifferenz:

86 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 7 h (, ) h(, ) ( ) d u( ) u() (), Für Festkörer und ideale Flüssigkeiten gilt soit (, ) d ( ) d d d.h. die sezifishe isobare und isohore Wärekaazitäten stien überein. ( ) ( ) ( ) Bei kleinen eeraturdifferenzen kann die eeraturabhängigkeit der Wärekaazität ernahlässigt werden und die Differenz der sezifishen inneren Energie berehnet sih aus u u ( ) ( ) ( ) Die sezifishe Enthaliedifferenz für Festkörer und ideale Flüssigkeiten ergibt sih zu h (, ) h(, ) ( ) ( ) 7.4 Innere Energie und Enthalie idealer Gase Bei idealen Gasen ist die sezifishe Wärekaazität eine reine eeraturfunktion, d.h. es gilt: ( ) Dait kann die sezifishe innere Energie idealer Gase beshrieben werden durh ( ) ( ) d u0 u u 0 wobei die Konstante u 0 die sezifishen innere Energie bei der eeratur 0 bedeutet. Für Gase, deren Wärekaazität über einen gewissen eeraturbereih als konstant angenoen werden kann, ereinfaht sih die Berehnung der sezifishen inneren Energie zu ( 0 ) u0 u Die sezifishe Enthalie idealer Gase ist ebenfalls eine reine eeraturfunktion. Zusaen it der therishen Zustandsgleihung R

87 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 74 ergibt sih für die sezifishe Enthalie h ( ) u( ) u( ) R Differenzierung nah der eeratur ergibt Mit und folgt dh d du d du d dh d R ( ) ( ) ( ) ( ) R Bei idealen Gasen sind die sezifishen Wärekaazitäten zwar teeraturabhängig, ihre Differenz ist jedoh konstant und entsriht der sezifishen Gaskonstante. Ü 7.: Adiabate Koression on Luft Luft wird in eine adiabaten Zylinder on. bar, 5 C solange erdihtet bis eine Endteeratur on 00 C erreiht wird. Gesuht sind die zur erdihtung erforderlihe Arbeit w und der Enddruk, der höhstens erreiht werden kann. Erster Hautsatz für geshlossene Systee q w u u wegen adiabater Koression, d.h. kein Wäreaustaush it der Ugebung, gilt: und soit q 0 w u u In erster Näherung wird Luft als ideales Gas angenoen, d.h. die sezifishe innere Energie u hängt nur on der eeratur ab. Innerhalb des eeraturbereihs on 5 C bis 00 C kann die sezifishe Wärekaazität ebenfalls als konstant angenoen werden. J ( Luft) 77 kg K Die zur erdihtung erforderlihe Arbeit w ergibt sih zu

88 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 75 J w u u ( ) 77 ( 00 5) K 5775 kg K Der Druk, der bei einer Koression axial erreiht werden kann, entsriht de der reersiblen erdihtung. Für die reersible Arbeit gilt: w, re. d ( ) Für die quasistatishe Zustandsänderung bei diese reersiblen adiabaten Prozeß gilt J kg dw re d d Differenzieren der Zustandsgleihung für ideale Gase R nah de sezifishen oluen ergibt d ( ) d( R ) d d d d d d R d d d R d d Mit ergibt sih R d d R d R d d R d R d d Integration on Zustand zu Zustand ergibt bzw. d ln R R d R ln R R R

89 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 76 Diese Gleihung beshreibt den Zusaenhang on Druk und eeratur des idealen Gases bei eine reersiblen adiabaten Prozeß Für Luft it einer sezifishen Gaskonstante on R 87. J/kgK ergibt sih soit der axial öglihe Endruk der infolge der Koression erreiht werden kann, zu R R bar J 87. kgk J 87. kgk J kg K 98.5.bar bar 7.5 Innere Energie und Enthalie on Däfen Daf i Naßdafgebiet stellt ein Zweihasensyste dar, in de Druk und eeratur niht oneinander unabhängig sind, sondern über die Dafdrukkure iteinander gekoelt sind. In Daftafeln sind die Werte auf der Siedelinie (') und der aulinie ('') für die sezifishen oluina ' und '', sezifishe Enthalie h' und h'' und die sezifishe Entroie s' und s'' in abellenfor für die Sättigungsteeratur bzw. den Sättigungsdruk aufgelistet. Bei bekannte Dafgehalt x berehnet sih die sezifishe Enthalie h zu ( h h ) h h x Die Differenz der sezifishen Enthalien der flüssigen und gasförigen Phase ergibt die erdafungsenthalie h D h D h h Das sezifishe oluen des Zweihasensystes ergibt sih analog zur sezifishen Enthalie ( ) x Die sezifishe innere Energie u berehnet sih zusaen it de Sättigungsdruk s zu u h s

90 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen Sezifishe Wärekaazitäten 7.6. Wahre sezifishe Wärekaazitäten In der kinetishen Gastheorie wurden Gase als einatoige Moleküle angenoen und die sezifishe innere Energie it u R berehnet. Die Differentiation nah ergibt die sezifishe isohore Wärekaazität it du d R R ergibt sih die sezifishe isobare Wärekaazität zu 5 R Die sezifishen Wärekaazitäten einatoiger Gase, wie z.b. Edelgase (Heliu, Argon) sind soit teeraturunabhängig. Kolizierter gestaltet sih die Bestiung der Wärekaazitäten on ehratoigen Gasen, Festkörern und Flüssigkeiten. Hier liegt in der Regel eine Abhängigkeit on Druk und eeratur or. In Abb. 7. und Abb. 7. sind für Kohlenstoff und einige ausgewählte Metalle sowie für einige Gase der erlauf der sezifishen Wärekaazitäten über der eeratur skizziert. Abb. 7.: Sezifishe Wärekaazität on Kohlenstoff und Metallen

91 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 78 Abb. 7.: Sezifishe isobare Wärekaazität on Gasen 7.6. Mittlere sezifishe Wärekaazitäten Die Berehnung der ittleren sezifishen isobaren und isohoren Wärekaazitäten und erfolgt über die Berehnung der Mittelwerte über das entsrehende eeraturinterall. bzw. ( ) ( ) d d Abb. 7.4: Berehnung der ittleren sezifishen Wärekaazität

92 ehnishe herodynaik Kalorishe Zustandsgleihungen 79 In der Regel ist jedoh eine lineare Interolation zwishen den beiden eeraturen und ausreihend. Wasser läßt sih z.b. bis zu einer Sättigungsteeratur on s 70 C it einer konstanten sezifishen Wärekaazität on 486 [J/kgK] berehnen. Der Fehler liegt dabei unter eine Prozent.

93 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 80 8 Der zweite Hautsatz der herodynaik 8. Inhalt des zweiten Hautsatzes Der erste Hautsatz der herodynaik beshreibt das Prinzi der Erhaltung der Energie bei der Uwandlung in untershiedlihen Ersheinungsforen. Es wird jedoh keine Aussage über die Möglihkeit bzw. Unöglihkeit dieser Uwandlung getroffen. In der Natur ist es keineswegs selbsterständlih, daß Prozesse, die nah de Energieerhaltungssatz öglih wären auh wirklih orkoen. Mit de ersten Hautsatz der herodynaik wäre es z.b. roblelos zu ereinbaren, daß der o Dah gefallene Ziegel sih unter Ausnutzung seiner durh den Aufrall erfolgten Aufwärung, wieder on alleine in die Luft erhebt und wieder auf de Dah liegt. Dies wurde noh niht beobahtet und ersheint auh niht ganz lausibel. Offensihtlih gibt es in der Natur orgänge, die on alleine nur in eine bestite Rihtung ablaufen. Wäre fließt 'on alleine' o wäreren zu kälteren Körer, aber nie in on de kälteren zu de wäreren Körer. Nah de Herausziehen einer rennwand erishen sih zwei untershiedlihe Gase gleiher Dihte ollständig (Diffusion). Eine Entishung ist jedoh ebenfalls noh nie beobahtet worden. Der zweite Hautsatz der herodynaik ist ebenso wie der erste Hautsatz lediglih ein Erfahrungssatz, der auf allgeeinen Beobahtungen beruht und bis jetzt noh niht widerlegt wurde. Ü 8.: Freier Fall Ein Stük Aluiniu fällt aus einer Höhe on z 000 auf den Erdboden (z 0). Die Luftreibung wird ernahlässigt und es findet auh kein Energieaustaush it der Ugebung statt. Bei Aufrall dringt der Körer in das Erdreih ein und erwärt sih infolge der dabei entstehenden Reibung. Geäß de ersten Hautsatz wird die otentielle Energie dabei ollständig in innere Energie des Aluiniustükes ugewandelt. it U Al ( ) E E g ( z ) U ot ot z J 90 kg K ergibt sih die eeraturerhöhung zu g ( z z ) s 0.7 K J Al 90 kg K Die Ukehrung dieses Prozesses würde bedeuten, daß ein Körer sih o Erdboden nah oben bewegt und sih dabei abkühlt. In de in Ü 8. ausgeführten Beisiel würde sih das Aluiniu entsrehend u 0.7 K abkühlen. Dies würde zwar de i ersten Hautsatz forulierten Prinzis der Energieerhaltung entsrehen, niht jedoh der

94 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 8 allgeeinen Erfahrung, daß Körer eben niht ohne äußere Einwirkung sih i Shwerefeld bewegen. Die Rüktransforation der inneren Energie in otentielle Energie gelingt offensihtlih niht. Potentielle und kinetishe Energie sowie Arbeit lassen sih zwar gegenseitig ineinander überführen und alle drei lassen sih auh in innere Energie überführen, die Ukehrung gelingt jedoh niht, d.h. es handelt sih u einen niht ukehrbaren, also irreersiblen organg. Der zweite Hautsatz der herodynaik beshreibt also die Grenzen der Uwandlung on Energie und die Ukehrbarkeit on therodynaishen Prozessen. Forulierung nah Clausius (850): Wäre kann nie on selbst on eine Syste niederer eeratur auf ein Syste höherer eeratur übertragen werden. Forulierung nah Max Plank ( ): Es ist unöglih eine eriodish funktionierende Mashine zu konstruieren, die weiter nihts bewirkt, als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärereseroirs. (Unöglihkeit des eretuu obile. Art) oder Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt sind niht ukehrbar. Forulierung nah H.D. Baehr (98): Alle natürlihen Prozesse sind niht ukehrbar. 8. Entroie Diese allgeeinen Aussagen lassen sih durh die Einführung des Begriffes der Entroie näher erläutern. Die Entroie (aus de Griehishen: 'erwandelte') ist ein Maß für die Irreersibilität therodynaisher Prozesse und ein Kriteriu zur orhersage der Rihtung ihrer Abläufe. 8.. Entroie und Wahrsheinlihkeit Die Durhishung on Gasen gleihen Druks und gleiher Dihte ist offensihtlih irreersibel und erfolgt on selbst, obwohl es keine akroskoishen Kräfte gibt (bei gleihe Druk!), die die Gase aus ihren ursrünglihen oluina ertreiben. Es uß hierfür also eine andere Ursahe orliegen. Bei der Betrahtung einer Shahtel, deren untere Hälfte it shwarze Sand und deren obere Hälfte it weiße Sand gefüllt ist, wird shnell deutlih, was sih ergibt, wenn die

95 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 8 Shahtel geshüttelt wird: Grauer Sand. Ebenso deutlih wird aber auh, daß sih der ursrünglihe Ordnungszustand der gleihäßigen Shihtung auh nah sehr lange Shütteln aller oraussiht nie wieder einstellen wird. Der Übergang on Ordnung zu Unordnung infolge des Mishens stellt einen tyishen irreersiblen Prozeß dar. Irreersibel deshalb, weil der ungeordnete Zustand sehr iel wahrsheinliher ist als der geordnete. Als Beisiel soll die isothere Ausdehnung eines Luftoluens ins akuu betrahtet werden, z.b. unter erdoelung seines ursrünglihen oluens. Ebenso könnte an nah der Wahrsheinlihkeit fragen, it der sih alle Luftoleküle in genau einer Zierhälfte befindet, während sih in der anderen Zierhälfte ein akuu einstellt. Dieser Zustand würde ja de Ausgangszustand der isotheren Exansion entsrehen. Die Aufrehterhaltung dieses Zustandes würde i realen Leben das orhandensein einer festen Wand erfordern. Ohne diese Wand beträgt die Wahrsheinlihkeit, daß sih ein Molekül in der einen oder anderen Zierhälfte befindet genau Die Wahrsheinlihkeit, daß sih zwei Moleküle in der gleihen Zierhälfte befinden beträgt und entsrehend für N Moleküle N Ü 8.: Berehnung der Anzahl der Luftoleküle in eine Zier oluen: 50 ³ Dihte: ρ.5 kg/ Molasse M kg/kol Aogadro-Konstante: N A 6.00 /ol kg ρ kg 6. 5kg n. 5kol M kg kol 7 N n N A 5ol ol Bei eine Zieroluen on z.b. 50 ³ wären das a. N.70 7 Moleküle und die Wahrsheinlihkeit für diesen Zustand wäre, zu Glük für die in der anderen Hälfte des Raues sih aufhaltenden Personen, entsrehend gering: 7 (. 70 ) Die Aussage, daß ein organg dann on alleine abläuft, wenn dabei ein Zustand it einer höheren Entroie erreiht wird, läßt sih also ersetzen, durh die Aussage, daß ein organg dann on alleine abläuft, wenn ein Zustand höherer Wahrsheinlihkeit erreiht wird.

96 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 8 Der quantitatie Zusaenhang zwishen Entroie S und Wahrsheinlihkeit W wird durh die Boltzann-Plank-Beziehung beshrieben ( ) S k ln W wobei J k. 8 0 K die Boltzann-Konstante darstellt. Da in der Regel lediglih Entroieänderungen on eine Zustand it der Wahrsheinlihkeit W zu eine Zustand it der Wahrsheinlihkeit W betrahtet werden, läßt sih shreiben: S S S W k ln W 8.. Entroie als Zustandsgröße Der Zwek der Entroie besteht darin, die Irreersibilität eines Prozesses zu beshreiben, bzw. ein Maß für die Wahrsheinlihkeit zu finden, it der ein organg in eine bestite Rihtung abläuft. Es soll also eine wegunabhängige Zustandsgröße definiert werden. Alle an eine Prozeß beteiligten niht ukehrbaren Energien, d.h. die dissiierte Arbeit W D, werden it der zu- bzw. abgeführten Wäre Q zusaengefaßt und als Q re bezeihnet. Für ein geshlossenes Syste it E E 0 gilt: Q W d U U &#%#$ D Q re kin ot Die Größe Q re selbst ist keine Zustandsgröße. Es läßt sih jedoh zeigen, daß der Quotient dq re eine Zustandsgröße des Systes ist. Jede Syste kann also eine extensie Zustandsgröße, die sogenannte Entroie S zugeordnet werden. Sie wird definiert durh das Differential bzw. dq ds : S S re dq re

97 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 84 Definition nah Clausius: Die Entroie ist das erhältnis on reersibel zugeführter Wäreenge und der absoluten eeratur an der Stelle des Wäreübergangs 8.. Eigenshaften der Entroie Die Entroie ist eine Größe on der Diension Energie bezogen auf die eeratur: S [J/K]. Wird die Entroie auf die Masse des Systes bezogen so erhält an die sezifishe Entroie s. S s J kg K Die Entroie eines aus den eilsysteen A, B, C,... zusaengesetzten Systes ergibt sih zu S S S S... A B C Für adiabate Systee gilt: Die Entroie eines adiabaten Systes kann niht abnehen. Bei irreersiblen Prozessen in adiabaten Systeen nit die Entroie zu, bei reersiblen Prozessen in adiabaten Systeen bleibt die Entroie konstant. Eine Entroieabnahe ist nur bei offenen, niht-adiabaten Systeen öglih. Da die absolute eeratur stets ositi ist, wird das orzeihen des Entroiedifferentials ds durh das orzeihen der Wäreenge dq bestit. Wärezufuhr in ein Syste, d.h. dq > 0 bewirkt also eine Zunahe der Entroie des Systes, d.h. ds > 0. Entsrehend bewirkt ein Wäreentzug it dq < 0 eine Entroieabnahe des Systes, also ds < Entroie reersibler Prozesse Für reersible Prozesse gilt dw D 0, d.h. es wird keine Dissiationsarbeit W D geleistet. Entsrehend de ersten Hautsatz gilt für die reersibel zugeführte Wäreenge dq dq du d Einsetzen der Definition für die Entroie dq ds in die zugeführte Wäreenge dq ergibt bzw. ds du d ds du d

98 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 85 Die Entroieänderung zwishen zwei Zuständen und ergibt sih durh Integration on de Zustand zu de Zustand. oder S S S S dq du d Mit der Definition der Enthalie H H U bzw. de Differential der Enthalie dh dh du d d dh d du d erhält an für die Entroieänderung S S dh d 8..5 Entroie irreersibler Prozesse Irreersible Prozesse sind dadurh gekennzeihnet, daß Dissiationsarbeit W D geleistet wird, d.h. es gilt dw D > 0. Analog zu der orgehensweise bei reersiblen Prozessen wird die reersibel zugeführte Wäreenge dq u die Dissiationsarbeit dw D erweitert. dq dwd du d Mit der Definition für die Entroie folgt dq dwd dq dwd ds it dw D > 0 Das Entroiedifferential ds setzt sih bei irreersiblen Prozessen aus zwei Anteilen zusaen: ds ds Q ds irr Der erste er dq ds Q beshreibt den Zusaenhang on Entroie und Wäretransort. Der zweite er

99 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik 86 dwd dsirr stellt die Entroieänderung des Systes infolge on Dissiation dar. Dissiation ist die Uwandlung on de Syste zugeführter ehanisher Arbeit in innere Energie und ist ier ositi. Dissiationsarbeit führt also ier zu einer Erhöhung der Entroie, also einer Entroieroduktion. Die Berehnung der sezifishen Entroiedifferenzen ergibt sih aus ds du d ds dh d und wird in der Regel in der For ds du d ds dh d betrahtet. Diese Gleihungen werden auh als Gibbs'shen Fundaentalgleihungen bezeihnet Entroie fester und flüssiger Phasen In erster Näherung kann an feste Körer und Flüssigkeiten als inkoressibel annehen, d.h. es gilt d 0 Die Bestiungsgleihung der sezifishen Entroie ereinfaht sih dadurh zu ds du Die Berehnung der Entroiedifferenz zwishen zwei Zuständen und ergibt sih aus s ( ) s( ) ( ) s s d Unter der Annahe, daß die sezifishe Wärekaazität über die betrahtete eeraturänderung konstant ist, bzw. entsrehend interoliert wird, lautet die Entroieänderung on nah s s ln

100 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik Entroie idealer Gase Die therishe Zustandsgleihung idealer Gase lautet R R Für ideale Gase gilt weiter ( ) ( ) d du d du Eingesetzt in die Bestiungsgleihung für die Entroie ergibt dies ( ) ( d R d ds du &#%#$ Unter der Annahe, daß die sezifishe Wärekaazität über die betrahtete eeraturänderung konstant ist, bzw. entsrehend interoliert wird, lautet die Entroieänderung on nah ln R ln s s Da weiterhin für ideale Gase gilt läßt sih die Entroiedifferenz auh shreiben als ln R ln s s oder auh in der For ln R ln s s

101 ehnishe herodynaik Der zweite Hautsatz der herodynaik Entroie der Däfe Die Berehnung der sezifishen Entroie s in de Naßdafgebiet gestaltet sih analog zu der Berehnung des sezifishen oluens bzw. der sezifishen Enthalie h i Naßdafgebiet. Bei orgegebene Dafgehalt x ergibt sih aus den Werten der Daftafel für die Entroie der Dafhase (') und der flüssigen Phase (''), bei der entsrehenden Sättigungsteeratur s bzw. den Sättigungsdruk s die sezifishe Entroie s zu ( s s ) s s x Die erdafungsentroie (s''-s') ist it der erdafungsenthalie h D erknüft durh die Sättigungsteeratur s. Für die Isobaren i Naßdafgebiet gilt: bzw. ds dh d ( s s ) hd h h s Entroiewerte, die in Daftafeln angegeben sind stellen keine absoluten Entroiewerte dar; sie sind auf den Siedeunkt der siedenden Flüssigkeit i rielunkt bezogen. Da jedoh bei der Berehnung therodynaisher Prozesse lediglih Entroiedifferenzen on Belang sind, sielt dies keine Rolle.

102 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 89 9 Zustandsänderungen Aufgrund ihrer Releanz bei tehnishen Anwendungen, sollen i Folgenden einige sezielle Zustandsänderungen näher behandelt werden. 9. Wäre und Arbeit bei reersiblen Zustandsänderungen idealer Gase 9.. Isohore Zustandsänderung Aus der Zustandsgleihung für ideale Gase R läßt sih für eine isohore Zustandsänderung (d.h. onst., bzw. d 0) die Beziehung ableiten. Da dabei keine oluenänderungsarbeit geleistet wird, ist W 0. Sofern nur reersible Prozesse betrahtet werden sollen, ist die Dissiationsarbeit W D ebenfalls Null. Die Zustandsänderung wird also lediglih durh den Wäretransfer Q Q U U bedingt und bewirkt eine Änderung der inneren Energie U. Eine isohore Zustandsänderung wird i,-diagra stets als senkrehte Linie dargestellt. Abb. 9.: Isohore Zustandsänderung i,-diagra

103 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 90 Ü 9.: Aufheizung eines Pressluftflashe Eine Pressluftflashe, in der sih noh.84 kg Luft bei eine Druk on.74 bar und einer eeratur on 0 C befinden, heizt sih durh Sonneneinstrahlung auf 98 C auf. Gesuht sind die zugeführte Wäreenge Q, der Druk, das oluen der Flashe und die Änderung der inneren Energie U - U Der über den eeraturbereih 0 C bis 98 C geittelte Wert für die sezifishe Wärekaazität bei konstante Druk beträgt J/(kgK) Die zugeführte Wäreenge bei isohorer Zustandsänderung berehnet sih aus it U U Q R ( ) d ( ) ergibt sih die ittlere sezifishe Wärekaazität bei konstante oluen zu J kg K Die zugeführte Wäreenge bzw. die Änderung der inneren Energie beträgt also J Q U U. 84 kg kg K Der Druk a Ende der Aufheizung beträgt. 8bar Das oluen der Flashe ergibt sih aus der Gasgleihung zu R ( 98 C 0 C) 6. kj

104 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Isobare Zustandsänderung Für isobare Änderungen (d.h. onst.) ereinfaht sih die ideale Gasgleihung zu Dies entsriht de Gesetz on Gay-Lussa. Die während der Zustandsänderung geleistete oluenänderungsarbeit berehnet sih zu: W d ( ) Eingesetzt in den ersten Hautsatz ergibt sih für eine isobare Zustandsänderung die zuoder abgeführte Wäre zu Q ( ) U ( U ) H U U H Die isobare Zustandsänderung wird i,-diagra stets als waagerehte Linie dargestellt. Die Flähe unter dieser Linie entsriht der oluenänderungsarbeit W. Abb. 9.: Isobare Zustandsänderung i,-diagra

105 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 9 Ü 9.: Isobare Exansion Luft exandiert bei konstante Druk.74 bar infolge on Wärezufuhr o oluen.74 ³ und der eeratur C auf 8.8 ³. Die Gaskonstante der Luft beträgt R 87. J/kgK Gesuht sind - die Masse der Luft, - die eeratur, - die zugeführte Wäreenge Q, - die oluenänderungsarbeit W, a) Aus der Gasgleihung folgt. 48kg R b) Für eine isobare Exansion gilt ) Zugeführte Wäreenge 674. K C it ergibt sih ( ) Q Q C J C kg K J d) oluenänderungsarbeit ( ). 89 J 6 W 0

106 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Isothere Zustandsänderung Die therishe Zustandsgleihung für ideale Gase liefert it der Bedingung onst. (Gesetz on Boyle-Mariotte) Wegen liefert der erste Hautsatz it U - U 0 für den reersiblen Prozeß Q W Die oluenänderungsarbeit W berehnet sih zu 0 W ln Die isothere Zustandsänderung ersheint i,-diagra also ier als Hyerbel. Die Flähe unter der Hyerbel entsriht der oluenänderungsarbeit W. Das orzeihen der oluenänderungsarbeit ist ositi bei einer Koression und negati bei einer Exansion Abb. 9.: Isothere Zustandsänderung i,-diagra: a) Koression, b) Exansion

107 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 94 Ü 9.: Isothere Koression on Luft Luft soll bei einer konstanten eeratur on 5 C o oluen 0.8 ³ und de Anfangsdruk.0 bar auf das Endoluen 0.4 ³ isother koriiert werden. Gesuht sind - die Masse der Luft, - der Druk, - die oluenänderungsarbeit W, - die abgeführte Wäreenge Q, - die Änderung der inneren Energie U - U a) Aus der Gasgleihung folgt. 9kg R b) Für isothere Zustandsänderungen gilt 5. 97bar ) oluenänderungsarbeit W ln kj d) Abgeführte Wäreenge Q W kj e) Änderung der inneren Energie: Für isothere Zustandsänderungen gilt: U 0

108 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Adiabate Zustandsänderung Die Grenzen adiabater Systee sind wäreundurhlässig. Energie kann denah nur in For on ehanisher Arbeit it der Ugebung ausgetausht werden. Generell ist bei adiabaten Systeen für die Wäre ier Q 0 zu setzen. Weiterhin gilt für reersible Prozesse, daß kein Dissiationsarbeit geleistet wird (d.h. erlustfrei), also W D 0. Der erste Hautsatz ereinfaht sih soit zu U U d W Gesuht ist nun die zur Berehnung des Integrals erforderlihe Funktion des Druks in Abhängigkeit o oluen, d.h. ( ) Anstelle der Bezeihnung reersible Adiabate wird in der Regel die Bezeihnung Isentroe erwendet, da bei reersibel adiabaten Zustandsänderungen die Entroie konstant bleibt. Druk und oluen sind bei adiabaten und reersiblen Zustandsänderungen über das erhältnis der sezifishen Wären und iteinander erknüft. Dieses erhältnis wird auh als Isentroenexonent bezeihnet. Es gilt also (Isentroengleihung) Durh Kobination der Isentroengleihung it der Gasgleihung die oluenänderungsarbeit berehnen zu R läßt sih W d bzw. bzw. W W W

109 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 96 Abb. 9.4: Adiabate Zustandsänderung i,-diagra: a) Koression, b) Exansion Ü 9.4: Adiabate Koression on Luft Mit den Angaben aus Ü 9. soll eine adiabate Koression berehnet werden, Luft.4 - der Druk, - die eeratur, - die oluenänderungsarbeit W, - die abgeführte Wäreenge Q, - die Änderung der inneren Energie U - U a) Die Adiabatengleihung ergibt 7. 84bar b) eeratur 9. 5 K ) oluenänderungsarbeit W, W J d) Änderung der inneren Energie U - U U U W J

110 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Wäre und Arbeit bei olytroer Zustandsänderung In Abb. 9.5 sind die bisher beshriebenen Zustandskuren des idealen Gases skizziert. Abb. 9.5: Polytroen i,-diagra Diese Kurenshar läßt sih durh die Potenzfunktion n C onst. beshreiben. In der herodynaik wird sie als Polytroengleihung bezeihnet (gr. olytroe die ielgestaltige). Der Exonent n wird als Polytroenexonent bezeihnet. Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sih aus der Polytroengleihung ableiten: Isohore Zustandsänderung ( onst.): n Isobare Zustandsänderung ( onst.): n 0 Isothere Zustandsänderung ( onst.): n Reersibel adiabate isentroe Zustandsänderung (S onst.): n Koressions- und Exansionsorgänge erlaufen in tehnishen Aaraten überwiegend i Bereih zwishen Adiabate und Isothere. Die reersible adiabate bzw. isentroe (n ) und die isothere Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sih tehnish niht realisieren lassen. Die tatsählihe Zustandsänderung erläuft auf einer Polytroen it eine Polytroenexonent, für den gilt: < n <. Der genaue Wert on n ist in der Regel niht bekannt, läßt sih aber bei Kenntnis des Anfangs- und Endzustandes aus der Polytroengleihung berehnen. n n

111 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 98 ln ln n Polytroe oluenänderungsarbeit W bei n : n n W bzw. n n n W bzw. n W Übertragene Wäre bei olytroer Zustandsänderung Q für n : n n Q bzw. n n n Q bzw. n n n n Q

112 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Wäre- und Arbeit in Entroiediagraen Bei reersiblen Prozessen bei denen keine Dissiationsarbeit geleistet wird, wurde die Änderung der sezifishe Entroie s definiert als eine Größe, die der zu- bzw. abgeführten Wäre dq roortional ist und die absolute eeratur den Proortionalitätsfaktor darstellt. bzw. dq ds q ds Bei irreersiblen Prozessen ist die sezifishe Entroie roortional der Sue der sezifishen Wäre q und der sezifishen dissiierten Arbeit w D. bzw. dq dwd ds q w D ds rägt an für eine Zustandsänderung den erlauf der eeratur (s) als Funktion der Entroie s auf, so ergeben sih bei einer reersiblen Prozeßführung die in Abb. 9.6 skizzierten erläufe für a) Wärezufuhr und b) Wäreabfuhr aus de Syste. S S Abb. 9.6: Darstellung der Wäre i,s-diagra bei reersiblen Prozessen Bei Zustandsänderungen werden nur Entroiedifferenzen betrahtet, d.h. daß der Nullunkt der Entroie willkürlih festgelegt werden kann. So wird z.b. der Nullunkt für die Entroiewerte, wie sie in Daftafeln on Wasser angegeben sind, in der Regel auf den rielunkt bezogen. Der tatsählihe Nullunkt der Entroie liegt jedoh bei de absoluten Nullunkt, d.h. bei 0 K. Dritter Hautsatzes der herodynaik: Die Entroie eines jeden reinen Stoffes nit i absoluten Nullunkt der eeratur den Wert Null an (Nernst'shes Wäretheore).

113 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 00 Da bei irreersiblen Prozessen sih die Flähe unter der Zustandskure aus zwei Anteilen zusaensetzt, nälih der übertragen Wäre q und der dissiierten Arbeit w D, ist der erlauf der Zustandskure nur bei Wärezufuhr eindeutig. In diese Fall haben beide Anteile ein osities orzeihen. Bei Wärezufuhr wähst die Entroie und die Zustandsänderung erläuft on links nah rehts i,s-diagra (Abb. 9.7a). Wird hingegen de Syste Wäre entzogen, so hängt die Rihtung der Zustandsänderung on de erhältnis der abgeführten Wäre zu der dissiierten Energie ab. Überwiegt die Dissiation, so erläuft trotz Wäreentzug die Zustandsänderung i,s-diagra on links nah rehts, d.h. die Entroie nit zu (Abb. 9.7a). Wird jedoh ehr Wäre abgeführt als ehanishe Arbeit dissiiert wird, so erläuft die Zustandskure on rehts nah links, d.h. die Entroie wird erringert (Abb. 9.6b). Eindeutig wird die Situation wieder bei adiabaten Systeen, d.h. es gilt q 0 und die Flähe unter der Kure entsriht ausshließlih der dissiierten Energie w D. dw w D dw D w D Abb. 9.7: Wäre und Dissiation bei irreersiblen Prozessen, a) niht-adiabat, b) adiabat Mit den bereits bekannten Gleihungen für die sezifishe Entroie läßt sih die Zustandskure i,s-diagra it zwei therishen Zustandsgrößen als unabhängige ariable beshreiben. Der beliebige Bezugsunkt ist durh den Index gekennzeihnet. s s (,) ln R ln s(, ) (, ) ln R ln s(, ) Für die sezifishe Wärekaazitäten wird die Annahe getroffen, daß sie über den betrahteten eeraturbereih konstant sind.

114 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 0 Isohore Zustandsänderung (d 0) Die Flähe unter der Kure in Abb. 9.8a reräsentiert niht nur die Sue aus übertragener Wäre q und dissiierter Arbeit w D sondern entsriht auh der Änderung der inneren Energie u - u. Isobare Zustandsänderung (d 0) Bei isobarer Zustandsänderung (Abb. 9.8b) entsriht die Flähe unter der Kure einerseits der Sue aus übertragener Wäre q und dissiierter Arbeit w D und andererseits der Differenz der sezifishen Enthalie h - h. Abb. 9.8: Änderung der inneren Energie bzw. Enthalie a) isohor, b) isobar

115 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 0 9.4,s-Diagrae idealer Gase 9.4. Isohore Zustandsänderung idealer Gase Für isohore Zustandsänderungen ereinfaht sih wegen d 0 die Gleihung für die sezifishe Entroie s zu s Besondere Eigenshaften: (,) ln s(, ) Wegen s bildet die sezifishe Wärekaazität eine angente an die Isohore. Der Abstand zweier Isohoren it onst. und onst. beträgt s (, ) s(, ) R ln I,s-Diagra bilden Isohoren eine Kurenshar, die sih durh ershiebung entlang der Entroieahse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sih für die eeraturdifferenz - für jede Isohore die gleihe Differenz der inneren Energie u - u ergibt. Abb. 9.9: Isohoren i,s-diagra

116 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Isobare Zustandsänderung idealer Gase Bei isobarer Zustandsänderung ereinfaht sih wegen d 0 die Berehnung der sezifishen Entroie zu s Besondere Eigenshaften: (, ) ln s(, ) Wegen s bildet die sezifishe Wärekaazität eine angente an die Isobare. Der Abstand zweier Isobaren it onst. und onst. beträgt s (, ) s(, ) R ln I,s-Diagra bilden Isobaren eine Kurenshar, die sih durh ershiebung entlang der Entroieahse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sih für die eeraturdifferenz - für jede Isobare die gleihe Differenz der Enthalie h - h ergibt. Abb. 9.0: Isobaren i,s-diagra Die oluenänderungsarbeit bei isobarer Zustandsänderung ergibt sih aus de ersten Hautsatz zu: w u u ( h h )

117 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 04 Abb. 9.: oluenänderungsarbeit w bei isobarer Zustandsänderung 9.4. Isothere Zustandsänderung idealer Gase Da bei idealen Gasen die innere Energie eine reine eeraturfunktion ist, bilden Isotheren i,s-diagra eine Shar abszissenaralleler Geraden. du d 0 Darüber hinaus sind sie identish it den Kuren konstanter Enthalie (Isenthalen): dh d 0 Bei reersiblen Prozessen entsriht die Flähe unter der Isothere der über die Systegrenze transortierten Wäre q und bei irreersiblen Prozessen der Sue aus übertragener Wäre q und dissiierter Energie w D. Abb. 9.: Isotheren i,s-diagra

118 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen Isentroe Zustandsänderung idealer Gase Die isentroe Zustandsänderung (sonst.) ersheint i,s-diagra als senkrehte Linie Abb. 9.: Isentroe i,s-diagra Adiabate Zustandsänderung idealer Gase Da adiabate Systee it ihrer Ugebung keine Energie in For on Wäre austaushen, d.h. es gilt q 0, stellt bei geshlossenen adiabaten Systeen die Flähe unter der Kure der Zustandsänderung nur die Dissiationsenergie w D dar. Bei adiabat-reersiblen Zustandsänderungen (isentro) ershwindet diese Flähe, da keine Dissiationsarbeit geleistet wird und die Kure der Zustandsänderung wird zur senkrehten Linie (Abb. 9.). Da Wäreübertragungsrozesse Zeit benötigen, kann aufgrund der hohen Ströungsgeshwindigkeit innerhalb on Ströungsashinen die übertragene Wäre on de Arbeitsediu (Gas, Daf) an das Syste ernahlässigt werden. In erster Näherung können daher Kolben- und urboashinen als adiabate Systee betrahtet werden. Geshlossene Systee In Abb. 9.4 ist für ein geshlossenes Syste die Zustandsänderung für eine adiabate Exansion und adiabate Koression skizziert. Bei der Koression on auf ändert sih die sezifishe innere Energie u entsrehend de. Hautsatz für geshlossene Systee u den Betrag der sezifishen oluenänderungsarbeit w, und die dissiierte Arbeit w D,. u u w, w D, d &%$, w w ds &%$ D,

119 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 06 Bei irreersibler adiabater erdihtung gilt soit für die sezifishe oluenänderungsarbeit w, (w, > 0, de Syste wird Arbeit zugeführt!) w u u w, D, und bei irreersibler adiabater Exansion gilt entsrehend (w, < 0, de Syste wird Arbeit entzogen!) w ( u u ) w, D, Die einzelnen Anteile on sezifisher innerer Energie, oluenänderungsarbeit und Dissiationsarbeit sind als Flähen in Abb. 9.4a,b dargestellt: Geshlossenes adiabates Exansion Koression Syste Innere Energie u -u a-b--d-a u -u a---d-a Flähe unter der Isohore Dissiationsenergie w D, b----b w D, b----b Flähe unter der Adiabate oluenänderungsarbeit -w, a----d-a w, a-b---d-a Abb. 9.4: Geshlossenes adiabates Syste: a) Exansion, b) Koression Offene Systee Bei offenen, adiabat durhströten Systeen, z.b. Ströungsashinen (erdihter und urbinen), läßt sih unter der Annahe konstanter ehanisher Energie, d.h. keine Änderung der kinetishen und otentiellen Energie, der. Hautsatz für stationäre Fließrozesse ereinfahen zu &#%#$ q ( ) ( ) ( wt, h h g z z 0 adiabat w t, h h 0 kinetisheenergie &#%#$ 0 otentielle Energie

120 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 07 Mit der Definition für die sezifishe Ströungsarbeit y, (Arbeit a bewegten Fluideleent) y d läßt sih die sezifishe tehnishe Arbeit w t, auh darstellen als die Sue aus sezifisher Ströungsarbeit y und dissiierter Arbeit w D, w y w t, D, Analog zu de geshlossenen Syste sind in Abb. 9.5 für ein offenes adiabates Syste die sezifishe Enthalieänderung, dissiierte Arbeit und Ströungsarbeit als Flähen dargestellt, die on den folgenden Kurenzügen ushlossen werden. Offenes adiabates Syste Exansion Koression Enthalie h -h a-b--d-a h -h a---d-a Flähe unter der Isobare Dissiationsenergie w D, b----b w D, b----b Flähe unter der Adiabate Ströungsarbeit -y a----d-a y a-b---d-a Abb. 9.5: Offen durhströtes adiabates Syste: a) Exansion, b) Koression

121 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen ,s-Diagra realer Gase Als Beisiel für ein,s-diagra realer Gase ist das,s-diagra für Wasserdaf angegeben. In de on der Siedelinie (x 0) und der aulinie (x ) begrenzten Naßdafgebiet fallen die Isobaren it den Isotheren zusaen und bilden eine horizontale Geradenshar. I Bereih der flüssigen Phase links neben der Siedelinie liegen die Isobaren relati diht nebeneinander und sind fast niht oneinander zu untersheiden. I Gebiet des trokenen überhitzten Dafes erlaufen Isotheren und Isobaren getrennt. I Naßdafgebiet sind auh Kuren gleihen Dafgehalts eingezeihnet, die sog. Isoaoren. Abb. 9.6:,s-Diagra für Wasserdaf

122 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen h,s-diagrae Das sog. h,s-diagra (Mollier-Diagra) geht auf den Physiker H. Mollier (86-95) zurük. Während i,s-diagra die Größen Wäre, Arbeit, innere Energie und Enthalie durh Flähen dargestellt werden, ersheinen diese Größen i Enthalie-Entroie- Diagra als Streken. Zustandsänderungen werden i h,s-diagra als Kurenzüge dargestellt. Als Beisiel ist in Abb. 9.7 ein stationär durhströtes Syste skizziert. -: Adiabate (q 0) erdihtung eines Fluids on auf, die Enthaliedifferenz entsriht der zugeführten tehnishen Arbeit w t. w t h h -: Auf der Isobaren wird de Syste reersibel Wäre zugeführt und keine tehnishe Arbeit geleistet (w t 0). q h h -4: Innerhalb des adiabaten Kontrollraus exandiert das Fluid on 4 auf.die Enthaliedifferenz entsriht der o Syste abgegebenen tehnishen Arbeit. w t4. w t 4 h 4 h Abb. 9.7: h,s-diagra Ideale Gase: Bei idealen Gasen ergibt sih das h,s-diagra direkt aus de,s-diagra, in de an die eeratur it der sezifishen Wärekaazität ultiliziert und erhält bis auf eine unbestite Konstante die Enthalie. Da bei Zustandsänderungen jedoh lediglih Enthaliedifferenzen on Interesse sind, ist dies ohne raktishe Bedeutung.

123 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 0 Reale Gase: Als Beisiel für die Darstellung bei realen Gasen ist in Abb. 9.8 ein Ausshnitt des h,s- Diagras für Wasserdaf skizziert. Isenthalen (h onst) und Isentroen (s onst) sind Sharen horizontaler bzw. ertikaler Geraden. Die Isotheren ( onst) fallen i Naßdafgebiet it den Isobaren ( onst) zusaen. Die Steigung der Isotheren nit i Gebiet der Gashase stetig ab und erlaufen it wahsender Entroie zunehend waagereht. In diese Bereih nähert sih das erhalten des Wasserdafes de erhalten des idealen Gases; Isothere und Isenthale fallen zusaen. Abb. 9.8: Mollier-Diagra on Wasserdaf

124 ehnishe herodynaik Zustandsänderungen 9.7 Zusaenfassung der Zustandsänderungen Zustandsänderung isohor isobar isother adiabatish olytro Bedingung d 0 0 d 0 0 d 0 0 dq 0 Q 0. Hautsatz dq du Q U dq du dw Q U W dq dw Q W 0 du dw 0 U W 0 du dw 0 U W Beziehungen zwishen,, onst. onst. onst. onst. onst. onst. onst. onst. onst. n n n n n n n n Wäreenergie dq d Q ( - ) dq d Q ( - ) W Q dw dq 0 0 Q dq ( ) n n Q d n n dq Arbeit dw 0 W 0 dw d ( ) ( ) R W W ln W ln W ln W ln W ln R W ln R W d dw ( ) ( ) R W W U W d dw du dw ( ) n R W d n R dw Änderung der inneren Energie du d U ( - ) du d U ( - ) 0 0 U du ( ) ( ) R U W U U dw d du ( ) U d du Änderung der Entroie ln S ln S d ds d ds ln S ln S d ds d ds ln R S ln R S d R ds d R ds 0 0 S ds ln n n S d n n ds,-diagra

125 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 0 Reersible Kreisrozesse 0. Allgeeine Kennzeihen eines Kreisrozesses Die Zufuhr on Wäre in ein therodynaishes Syste führt zu einer eränderung seiner inneren Energie und das Syste kann Arbeit errihten. Das erhältnis on zugeführter Wäre und errihteter Arbeit hängt on der bei der Wärezufuhr durhlaufenen Zustandsänderung ab. Ein Syste, welhes kontinuierlih Arbeit leisten soll uß also regeläßig wieder in seinen Ausgangszustand zurükgebraht werden. Dies ist jedoh niht dadurh zu erreihen, daß an einfah den Prozeß der Wärezufuhr ukehrt. In diese Fall wäre der Arbeitsgewinn gleih Null. Die Rükkehr zu Ausgangszustand uß also über andere Zustandsänderungen geführt werden. Da die untershiedlihen Zustandsänderungen in einer geshlossen Folge hintereinander durhlaufen werden, wird dieser organg als Kreisrozeß bezeihnet. Abb. 0.: Kreisrozeß eines geshlossenen Systes i,-diagra Prozesse, die ein Syste wieder in seinen Anfangszustand zurükersetzen, werden als Kreisrozesse bezeihnet Nah de ollständigen Durhlaufen des Kreisrozesses nehen die Zustandsgrößen des Systes, wie z.b. Druk, eeratur, sezifishes oluen, sezifishe innere Energie und Enthalie wieder die Werte des Anfangszustandes an. Quasistatishe Zustandsänderungen bei Kreisrozessen lassen sih als geshlossene Kure i -Diagra darstellen. Als Beisiel für ein stationär ulaufendes Fluid soll die in Abb. 0. skizzierte Dafkraftanlage betrahtet werden.

126 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse Abb. 0.: ereinfahtes Shea einer Dafkraftanlage Das Wasser wird i Daferzeuger erdaft, entsannt in der urbine, wird de Kondensator zugeführt u dort wieder zu erflüssigen und wird anshließend on der Seisewasserue wieder zu erdafer gefördert. Diese ier Koonenten der Dafkraftanlage können als naheinander geshaltete offene Systee betrahtet werden, die on de Fluid durhströt werden. Die eilrozesse, die in diesen einzelnen offenen Systeen ablaufen, lassen sih durh den ersten Hautsatz für stationäre Fließrozesse beshreiben. ( ) g ( z z ) q wt, h h, q wt, h h ( ) g ( z z ), " " qn wt, n h hn ( n ) g ( z zn ). Da die Zustandsgrößen, die auf der rehten Seite des Gleihungssystes stehen sih in der Sue aufheben, ergibt die Addition der Gleihungen der eilrozesse für den gesaten Kreisrozeß q ik w t,ik 0 Die sezifishe Nutzarbeit bzw. die Gesatarbeit des Kreisrozesses wird definiert als also w t w t, ik w t q ik Die abgegebene, daher definitionsgeäß negatie Nutzarbeit (-w t ) eines Kreisrozesses ist gleih de Übershuß der als Wäre aufgenoenen Energie über die als Wäre abgegebene Energie. Oder:

127 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 4 Bei eine Kreisrozeß wird die de ulaufenden Fluid als Wäre zugeführte Energie zu eil in Nutzarbeit ugewandelt und zu eil wieder als Wäre abgegeben. Aus de orzeihen der Wärebilanz ergibt sih, ob der Kreisrozeß in einer Wärekraftashine oder auh Wärekraftanlage it q ik > 0 oder in einer Wäreue oder Kälteanlage it q < 0 abläuft. ik Ein Beisiel für eine Wärekraftanlage wäre z.b. die einfahe Dafkraftanlage, deren Zwek darin besteht, tehnishe Nutzarbeit abzugeben. Dazu uß de Syste Wäre zugeführt werden. Ist die Wärebilanz negati, so wird ehr Wäre abgegeben als aufgenoen, d.h. es wird de Syste tehnishe Nutzarbeit zugeführt u de Syste Wäre entziehen zu können, z.b. bei einer Kälteanlage. Die Nutzleistung P des Kreisrozesses ergibt sih durh Multilikation der tehnishen Nutzarbeit (-w t ) it de Massestro! des ulaufenden Fluids. wobei ( wt ) Pik P! Q! dq Q!! q dt d q dt ik den Wärestro und der Index ik den einzelnen eilrozeß bezeihnet. Da es sih geäß der Annahe u einen stationären Prozeß handelt, bleibt der Energieinhalt des Kontrollraus zeitlih konstant, d.h. die Sue aller Energieströe über die Systegrenzen ergibt Null. Q! P 0 ik ik Bei reersiblen, d.h. erlustfreien Kreisrozessen berehnet sih die tehnishe Arbeit für jeden eilrozeß ik geäß k ( wt, ik ) d ( k i ) g ( z k z i ) re i Die abgegebene Nutzarbeit des gesaten Kreisrozesses ergibt sih durh Aufsuieren der eilrozesse also ( w ) d d... ( q ) t re ( w ) d ( q ) t re ik re ik re

128 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 5 In eine -Diagra (Abb. 0.) ersheint der reersible Kreisrozeß als geshlossener Kurenzug. Die on de Prozeß aufgenoene bzw. abgegebene Nutzarbeit entsriht grahish der on de Kurenzug urandeten Flähe. Da das orzeihen des Fläheninhalts o Integrationsweg des Linienintegrals abhängt, ergibt ein rehtsdrehender Prozeß eine ositie Flähe und entsrehend ergibt ein linksdrehender Prozeß eine negatie Flähe. Abb. 0.: Reersible Kreisrozesse i -Diagra Ein rehtsdrehender Prozeß it ( w t ) re < 0 liefert soit Nutzarbeit und nit dafür Wäre auf, Abb. 0.(a). In Wärekraftashinen ollführt daher das Arbeitsediu ier einen rehtsläufigen Kreisrozeß. Ein linksdrehender Prozeß it ( w t ) re > 0 liefert soit Wäre und erfordert dafür die Zufuhr on Nutzarbeit, Abb. 0.(b). In Kälteanlagen ollführt das Arbeitsediu entsrehend einen linksläufigen Kreisrozeß.

129 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 6 Ü 0.: Beisiel Linienintegral ' ' ' und eine Raukure geg.: ektorfeld ( x, y, z) ( X ( x, y, z), Y( x, y, z), Z( x, y, z ) ' ' ' C : r r() t it a < t < b i Definitionsbereih on. Das Linienintegral on ' längs der Kure C ist das bestite Integral Mit C ' ' dr b a ' r, ' ' ( x( t), y( t) z( t) ) ( r() t ) r() t dt!' gilt i ektorfeld ' : ( t), y y( t) z z( t) x x, Berehnung des Linienintegrals durh Integration des inneren Produkts aus ' und r ' on t a bis t b Ü 0.: Beisiel für Paraetershreibweise Das Parabelstük y x it 7 ' x, shreibt sih in Paraeterfor: r ( t, t,0), t 7, Ü 0. Berehnung eines Linienintegrals ' ' ' x, y, z y, xz, yz x geg.: ektorfeld ( ) ( ) Man berehne das Linienintegral I ektorfeld ist zu setzen: C ' dr ' C r ' t t t t längs der Kure : (,, ), 0 r() t it folgt x ' t, y t, z t ' 5 4 ( ) ( t, t, t t ) ' dr r!' dt ' ( 4t,,t ) ( r ' () t ) r!' ( 8t t t t 6t ) C ' dr ' b a ' t ( r ' () t ) r '!() t dt ( 8t t t t 6t ) t 0 6 dt

130 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 7 0. Kreisrozesse geshlossener Systee Die Energiebilanz für ein geshlossenes Syste, das einen Prozeß it N Zustandsänderungen durhläuft ergibt sih aus de ersten Hautsatz für jede einzelne Zustandsänderung u u u u N u u " u u N N q q q q N, w w " N,N w w N, N,N Die Addition der einzelnen Gleihungen ergibt N i N 0 q w it j i ij i ij Die Arbeit des Kreisrozesses w k ist die Sue aller oluenänderungsarbeiten w,ij w k N i w ij N i q ij Das bedeutet, daß die Arbeit des Kreisrozesses gleih der Sue der übertragenen Wäreenge ist. w k ( q q ) ( q q ) zu ab zu ab Die Rihtung, it der der Kreisrozeß durhlaufen wird, liefert sofort eine Aussage darüber, ob der Prozeß eine Wärekraftashine oder eine Kälteanlage beshreibt. In Abb. 0.4 sind exelarish die Kreisrozesse für beide Arten on Mashinen skizziert: Abb. 0.4: Kreisrozesse i,-diagra: a) Wärekraftashine b) Kälteashine

131 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 8 a) Wärekraftashine (rehtsdrehender Prozeß): Das Syste gibt infolge der Exansion on - oluenänderungsarbeit ab. w d < 0 Das Syste nit bei der erdihtung on - Arbeit auf. w d > 0 Da die Flähe unter der Exansionskure größer ist, als die unter der Koressionskure wird de Syste also ehr Arbeit entzogen als zugeführt. Es gilt also: w k w w < 0 Eine Wärekraftashine gibt Arbeit an die Uwelt ab, d.h. die Arbeit des Kreisrozesses, bzw. die Nutzarbeit des Prozesses w k hat ein negaties orzeihen. Entsrehend uß die Wärebilanz ein osities orzeihen aufweisen, d.h. de Syste wird Wäre zugeführt. b) Kälteashine (linksdrehender Prozeß) Die Betrahtungen für den in Abb. 0.4b skizzierten Prozeß sind analog. In diese Fall wird de Syste ehr Wäre entzogen als zugeführt. Entsrehend uß auh ehr Arbeit zugeführt werden als abgeführt wird. Die Zustandskure wird also gegen den Uhrzeigersinn durhlaufen.

132 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 9 0. Kreisrozesse in offenen Systeen Die in Abb. 0.5 skizzierte geshlossene Gasturbinenanlage, bestehend aus erdihter, Wäretausher W, urbine, Kühler K und Welle W, stellt in seiner Gesatheit ein geshlossenes Syste dar. Durh die entsrehende Wahl on Kontrollgrenzen läßt sih das geshlossene Syste jedoh wieder in einzelne eilsystee aufteilen. Diese eilsystee wiederu stellen offene Systee dar. Abb. 0.5: Shea einer geshlossenen Gasturbinenanlage Da der gesate Kreisrozeß geshlossen ist, kann kein Stoffstro die Systegrenze des Gesatrozesses überqueren. Energie kann lediglih in For on Wellenleistung und Wäre über die Systegrenzen transortiert werden. Die Leistungsbilanz des skizzierten Kreisrozesses lautet soit: Q! P 0 Der er Q! entsriht der Sue der bei allen eilrozessen übertragenen Wäre und der er P stellt die über die urbinenwelle an die Uwelt abgegebene Wellenleistung dar. Für den Fall, daß die Anlage Nutzleistung liefern soll, d.h. P < 0, uß die Wärestrobilanz ositi sein. Es uß ehr Wäre zu- als abgeführt werden. P N Q Q! Q! ij zu Q! ab Für das in Abb. 0.5 skizzierte Beisiel der Gasturbinenanlage lautet die Wärebilanz P Q! Q! Q! zu Q! ab 4 Zur Erstellung der Leistungbilanz des gesaten Kreisrozesses werden die Bilanzen der eilrozesse betrahtet. Dabei können der erdihter und die urbine als adiabate Systee

133 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 0 angenoen werden, da aufgrund der shnellen Zustandsänderungen der Wäreaustaush ernahlässigt werden kann. Die Sue aus sezifisher Enthalie, kinetisher Energie und otentieller Energie wird auh als otal- oder Gesatenthalie h g bezeihnet. h g h g z Mit dieser Zusaenfassung der einzelnen Energieanteile lautet die Leistungsbilanz der einzelnen Koonenten der Gasturbinenanlage: erdihter: P H g H g Wäretausher: Q! H g H g urbine: P P H g H 4 Kühler: Q! 4 H g H g4 Welle: P P 0 4 g 4 Die Addition der Bilanzen der eilkoonenten ergibt P Q! P P Q! P P Unter der Annahe, daß die Welle die Leistung erlustfrei überträgt, gilt P - P 4 und soit P Q! Q! 4 Die on der urbine abgegebene Leistung -P wird u die für den Antrieb des erdihters benötigte Leistung P - P 4 erringert. Die Gesatleistung der urbine beträgt also P P4 P Die on de Kreisrozeß geleistete tehnishe Arbeit w t ergibt sih durh Diision der Nutzleistung P durh den Massestro! : 0 w t N P w t i, j N Q q i, j q zu q ab

134 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse 0.4 Bewertungskennzahlen für Kreisrozesse 0.4. herisher Wirkungsgrad (rehtsdrehende Prozesse) Wirkungsgrade beshreiben das erhältnis on Nutzen zu Aufwand. Wärekraftashinen wandeln in eine rehtsdrehenden Prozeß Wäre in Arbeit u, der Rest geht als Abwäre erloren. Den Nutzen bei diese Prozeß stellt die abgegebene Arbeit w k dar, der Aufwand besteht in der zugeführten Wäreenge q zu. Der therishe Wirkungsgrad läßt sih für geshlossene Systee shreiben als η th wk q zu q q ab zu 0.4. Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) Die Ukehrung der Durhlaufrihtung des Prozesses der Wärekraftashine ergibt einen linksläufigen Kreisrozeß, den der Wäreue bzw. den der Kälteashine. Wäreue Eine Wäreue entzieht der Ugebung Wäre und liefert wieder eine, u den Betrag der zugeführten Arbeit, ergrößerte Wäreenge ab (Heizung). Der Nutzen der Wäreue liegt also in der abgegebenen Wäreenge, der Aufwand in der in den Kreißrozeß inestierten Arbeit. Das erhältnis on Nutzen zu Aufwand wird als Leistungsziffer ε bezeihnet. bzw. ε ε ε q w q q w zu ab k ab t q ab q ab (geshlossenes Syste) (offenes Syste) (allgeein gültig)

135 ehnishe herodynaik Reersible Kreisrozesse Kälteashine Die Aufgabe einer Kälteashine besteht in der Kühlung eines Kontrollraus. Die Leistungsziffer ε wird in diese Fall definiert als bzw. ε ε ε q w q w k t zu zu q ( q q ) zu zu ab (geshlossenes Syste) (offenes Syste) (allgeein gültig)

136 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen Kreisrozesse therisher Mashinen Zur übershlägigen Auslegung und Abshätzung des Leistungserögens on erbrennungskraftashinen können die dabei ablaufenden therodynaishen Prozesse in erster Näherung durh reersible Prozesse aroxiiert werden. Das in der Realität erwendete Luft-Brennstoff-Geish wird durh ein ideales Gas als Arbeitsediu ersetzt und die heishen orgänge während des erbrennungsorgangs werden durh eine Wärezufuhr ersetzt.. ergleihsrozesse für Kolbenashinen.. Otto-Prozeß Der iertakt-ottootor geht auf die Entwiklungsarbeiten on Niolaus August Otto (8-89) in de Jahr 876 zurük. Die ier akte wiederholen sih nah jeweils zwei Udrehungen der Kurbelwelle: -. akt: Ansaugen eines Luft-Benzin-Geishs -. akt: erdihtung des Geishs -. akt: erbrennung und Exansion der erbrennungsgase - 4. akt: Herausshieben der erbrennungsgase Bezeihnungen: H Hubrau, oluen zwishen untere und obere otunkt H K Gesatrau K erdihtungsrau H K ε erdihtungserhältnis K Der Ottootor stellt ein offenes, instationär, d.h. ulsierend durhströtes Syste dar. In Abb.. ist der Prozeßerlauf i,-diagra skizziert, wie er z.b. bei laufende Motor auf eine Prüfstand aufgenoen wird. 0 - : Ansauglinie - : erdihtungslinie - : erbrennungslinie - 4: Exansion 4-0: Ausshublinie Abb..:,-Diagra eines Otto-iertaktotors

137 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4 Die untere Flähe i,-diagra, die durh die Ansauglinie und on eilen der erdihtungs- und Ausshublinie begrenzt wird, beshreibt die für den Ladungswehsel des Zylinders erforderlihe Arbeit. Die Flähe wird linksdrehend ulaufen, d.h. es wird Arbeit aufgewendet. Die obere Flähe wird rehtsdrehend ulaufen, d.h. das Syste gibt Arbeit ab. Die Nutzarbeit des Kreisrozesses entsriht der Differenz der beiden Flähen. Der reersible ergleihsrozeß geht on eine geshlossenen Syste aus, das aus de i Zylinder eingeshlossenen Gas besteht. Der Arbeitsaufwand für den Ladungswehsel, d.h. die untere Flähe entfällt. Weitere Annahen: - Das Luft-Brennstoff-Geish ist ein ideales Gas. - erdihtung und Exansion werden als adiabate Prozesse angenoen. Da es sih geäß der Annahe auh u einen reersiblen Prozeß handelt, sind diese Zustandsänderung isentro ( reersibel adiabat) - Die erbrennung wird durh eine isohore Zustandsänderung it gleihzeitiger Wärezufuhr angenähert. - Die Exansion der erbrennungsgase it anshließende Ausströen wird durh eine isohore Wäreabfuhr ersetzt. Mit diesen Annahen kann der in Abb.. skizzierte Otto-ergleihsrozeß definiert werden: - - : Isentroe Koression - - : Isohore Wärezufuhr - - 4: Isentroe Exansion : Isohore Wäreabfuhr Abb..: Otto-ergleihsrozeß: a),-diagra, b),s-diagra Bei reersiblen Kreisrozessen ergibt sih die sezifishe Nutzarbeit w k zu w q q k 4 q zu q ab q zu q ab Die isohor zugeführte Wäreenge q beträgt q ( ) > 0 q zu

138 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 5 Entsrehend berehnet sih die isohor abgeführte Wäreenge q 4 zu ( ) < q q ab Dait ergibt sih die sezifishe Nutzarbeit w k ( ) ( ) q q w k Bei ernahlässigung der eeraturabhängigkeit der sezifishen Wärekaazitäten ereinfaht sih die Beziehung zu ( ) 4 w k Die eeraturen und 4 ergeben sih aus der Isentroengleihung: 4 4 bzw. it de erdihtungserhältnis ε ε 4 ε Einsetzen der eeraturen liefert: ε ε w k Mit der Beziehung für die sezifishe Wärekaazität R ergibt sih für sezifishe Nutzarbeit des Otto-ergleihsrozesses ε ε R w k

139 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 6 herisher Wirkungsgrad η th : η th q q ab zu 4 ( 4 ) ( ) Bei ernahlässigung der eeraturabhängigkeit der sezifishen Wärekaazitäten gilt bzw. η th η th ( 4 ) ( ) ε Der therishe Wirkungsgrad η th des Otto-ergelihsrozesses in Abhängigkeit on de erdihtungserhältnis ε ist in Abb.. dargestellt. Abb..: herisher Wirkungsgrad des Otto-ergleihsrozesses Das erdihtungserhältis läßt sih bei Benzinotoren jedoh niht beliebig steigern, da it zunehender erdihtung auh die erdihtungsendteeratur ansteigt. Wird die zur Selbstzündung des Luft-Benzingeishs erforderlihe eeratur erreiht, so findet eine unkontrollierte erbrennung it hohen Druksitzen statt (Klofen). Die Klofgrenze oderner Ottootoren wird bei eine erdihtungserhältnis on ε 0 erreiht, d.h. η th 0.6. Aufgrund der ishoren Wärezufuhr ( - ) wird der Ottorozeß auh als Gleihraurozeß bezeihnet.

140 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 7 Ü.: Nahrehnung eines Otto-ergleihsrozesses Annahen: Arbeitsediu ist Luft, die sezifishen Wärekaazitäten sind konstant Anfangsteeratur 88 K Anfangsdruk.0 bar Maxialteeratur 7 K Isentroenexonent on Luft.4 erdihtungserhältnis ε 0 - Isentroe Koression. 4 ε. 0bar K K - Isohore Wärezufuhr 7 K 5. 45bar bar 7. 4 K - 4 Isentroe Exansion 5. 45bar bar 4 ε 0 herisher Wirkungsgrad η K 4 ε 0 ε. 0 th bar K

141 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 8.. Diesel-Prozeß Der Dieselrozeß geht auf das on Rudolf Diesel (858-9) entwikelte erfahren zurük. Der Dieselotor saugt i ersten akt Luft an und erdihtet sie bis zu Ende des ersten akts. Infolge der relati hohen erdihtung werden dabei hohe Drüke und auh hohe eeraturen erreiht. Durh eine Einsritzdüse wird Kraftstoff eingesritzt, der it der heißen, hoherdihteten Luft ein zündfähiges Geish bildet und sih selbst entzündet. Da die erbrennung bei nahezu konstante Druk erfolgt, wird der Dieselrozeß auh als Gleihdrukrozeß bezeihnet. I Anshluß an den erbrennungsorgang erfolgt eine Exansion und das Ausshieben der erbrennungsgase. I ergleih zu Ottootor liegt bei Dieselotor, aufgrund der höheren Zündteeratur des Kraftstoffs, das erdihtungserhältnis wesentlih höher. Diesel-ergleihsrozeß: - : Isentroe Koression - : Isobare Wärezufuhr - 4: Isentroe Exansion 4 - : isohore Wäreabfuhr Abb..4: Diesel-ergleihsrozeß i a),-diagra b),s-diagra Das oluenerhältnis ϕ wird als Einsritzerhältnis oder auh olldrukerhältnis bezeihnet. Die sezifishe Nutzarbeit w k des Diesel-ergleihsrozesses ergibt sih aus der Wärebilanz w q q k zu ab

142 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 9 Isobare Wärezufuhr ( - ): q zu q ( ) Isohore Wäreabfuhr (4 - ): q ab q 4 4 Nutzarbeit w k des Prozesses: w k q q ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 Bei ernahlässigung der eeraturabhängigkeit der sezifishen Wärekaazitäten, d.h. und 4 onst. onst. R sowie der Beziehung für isentroe Zustandsänderungen (hier: - Isentroe Koression) ε und der Definition für das Einsritzerhältnis ϕ, ergibt sih die sezifishe Nutzarbeit w k des Diesel-ergleihsrozesses zu: w k R [( ϕ ) ε ( ϕ ) ] 4 Der therishe Wirkungsgrad für Wäreekraftashinen ist definiert durh qab ηth qzu d.h. für den Diesel-ergleihsrozeß η th 4 ( 4 ) ( ) Für konstante sezifishe Wärekaazitäten ereinfaht sih die Beziehung zu: bzw. η th ( ) ( ) 4 ( 4 ) ( )

143 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 0 η th ε ϕ ϕ Der therishe Wirkungsgrad des Dieselotors hängt also ab on de erdihtungserhältnis ε, de Einsritzerhältnis ϕ und de erhältnis der sezifishen Wärekaazitäten. Bei gleihe erdihtungserhältnis ist der therishe Wirkungsgrad des Dieselotors kleiner als der des Ottootors. Der orteil des Dieselotors liegt jedoh, neben konstruktien orteilen, d.h. keine Zündanlage, darin, daß wegen der höheren Klofestigkeit des Dieselkraftstoffs ein wesentlih höheres erdihtungserhältnis gewählt werden kann als bei Ottootor. Dies führt zu einer höheren Wirtshaftlihkeit des Dieselotors gegenüber de Ottootor. Ü.: Nahrehnung eines Diesel-ergleihsrozesses Mit Luft (ideales Gas) als Arbeitsediu sollen a) die Drüke und eeraturen in den Endzeitunkten der Zustandsänderugen berehnet werden b) Einsritzerhältnis ϕ ) herisher Wirkungsgrad η th Anfangsteeratur: 88 K Anfangsdruk:.05 bar Maxialteeratur: 7 K erhältnis der sezifishen Wären:.4 erdihtungserhältnis: ε Isentroe erdihtung - :. 4 ε. 05bar. 4 ε 88 K Isobare Wärezufuhr -: 7 K 7. 9bar 7. 9bar K (ideale Gasgleihung für isobare Zustandsänderung)

144 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen Isentroe Exansion - 4: ε 7 K 7. 9bar K. bar Einsritzerhältnis. 4 4 ε 7 K 7 K K k ϕ. 5 herishe Wirkungsgrad ϕ. 5 ηth ε ϕ Seiliger-Prozeß Die erbrennungsorgänge, des Otto- und Diesel-Prozesses werden nur näherungsweise durh die in den Kaiteln.. und.. besrohenen ergleihsrozesse wiedergegeben. Die Annahen der isohoren erbrennung i Otto-Motor bzw. der isobaren erbrennung i Dieselotor entsrehen den real ablaufenden orgängen nur bedingt. Der i Jahre 9 on Seiliger orgeshlagene ergleihsrozeß stellt eine Mishung aus de Otto- und de Diesel-Prozeß (geishter ergleihsrozeß) dar. Die Wärezufuhr wird in einen isohoren und isobaren eilrozeß aufgeteilt und es wird dait eine bessere Annäherung an die tatsählih ablaufenden Prozesse erreiht. Zustandsänderungen des Seiliger-Prozesses: - : Isentroe Koression - : Isohore Wärezufuhr - 4: Isobare Wärezufuhr 4-5: Isentroe Exansion 5 - : isohore Wäreabfuhr Neben den bereits bekannten Kennzahlen ε (erdihtungserhältnis)

145 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen ϕ 4 (Einsritzerhältnis wird als zusätzliher Paraeter Ψ (Drukerhältnis, isohore Zustandsänderung bei ideale Gas) eingeführt. Abb..5: Seiliger-Prozeß i a),-diagra b),s-diagra Nutzarbeit Die sezifishe Nutzarbeit w k des Kreisrozesses ergibt sih wieder aus der Wärebilanz bzw. wk qzu qab 5 w k q ( q q ( 4 ( isohore Wärezufuhr isobare Wärezufuhr isohore Wäreabfuhr ( ) ( ) ( ) Unter der Anahe konstanter sezifisher Wären gilt w k [ ( ) ] 4 5 Die Bestiung der eeraturen ergibt sih aus den Gleihungen für die Zustandsänderungen idealer Gase. - : Isentroe Koression - : Isohore Wärezufuhr - 4: Isobare Wärezufuhr 4 ε 4 Ψ ϕ Ψ ε ϕ Ψ ε

146 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4-5: Isentroe Exansion Ψ ϕ Mit R läßt sih die sezifishe Nutzarbeit w k des Seiliger-Prozesses shreiben als ( ) ( ) [ ] { } ϕ Ψ ϕ Ψ ε R w k herisher Wirkungsgrad 4 5 q q q q q zu ab th η ( ) ( ) ( ) ( ) th η ( ) ϕ Ψ Ψ Ψ ϕ ε η th

147 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4..4 Stirling-Prozeß Auf der Suhe nah eine Ersatz für die zu dieser Zeit noh reht gefährlihen Dafashinen, welhe als Antrieb für Lenzuen in Bergwerken eingesetzt wurden, entwikelte der shottishen Geistlihen R. Stirling ( ), ohne tiefere therodynaishe Kenntnisse(!) einen Heißluftotor, der i Jahre 86 unter seine Naen als Stirling-Motor atentiert wurde. Der Stirling-Prozeß erwendet ebenso wie der Erison-Prozeß einen Wäretausher zur Erhöhung des Wirkungsgrades. In eine Zylinder befinden sih zwei, über ein Rhobengetriebe gekoelte Kolben, einen erdrängerkolben und einen Arbeitskolben. Aufgabe des erdrängerkolbens ist es, das Arbeitsgas zwishen eine Rau it konstant niedriger eeratur (Exansionsrau: in onst.) und eine Rau it konstant hoher eeratur (Koressionsrau: ax onst.) hin- und herzushieben. Der zwishen de Arbeits- und erdrängerkolben, bzw. Koressions- und Exansionskolben, befindlihe Wäretausher oder auh Regenerator hat die Funktion eines therodynaishen Reseroirs, das alternierend Wäre aufnit und wieder abgibt. ehnish realisiert wird dies in For on etallishen Shwäen, die aus Matrixstrukturen aus feinen Drähten oder Streifen bestehen Die einzelnen Arbeitstakte sind in Abb..6 skizziert:. Zu Beginn des Zyklus befindet sih der Koressionskolben a äußeren otunkt und der Exansionskolben a inneren otunkt. Das gesate Arbeitsediu befindet sih i kalten Koressionsrau. Da das oluen axial ist, nehen Druk und eeratur iniale Werte an ().. Der Koressionskolben bewegt sih in Rihtung seines inneren otunkts während der Exansionskolben noh an seine inneren otunkt erharrt, d.h. isothere Koression -. Der Druk steigt auf den Wert (). Die eeratur bleibt konstant bei in, da während der Koression Wäre an die Ugebung abgeführt wird.. Bei der isohoren Koression ( - ) bewegen sih beide Kolben siultan; der Koressonskolben zu seine inneren otunkt und der Exansionskolben an seinen äußeren otunkt. Das oluen zwishen beiden Kolben bleibt daher konstant (isohor). Das Arbeistediu wird durh die oröse Metallatrix des Regenerators geshoben und dabei on in auf ax aufgeheizt und erläßt it ax den Regenerator. Die eeraturerhöhung on in auf ax bei konstante oluen bewirkt eine Erhöhung des Druks (). 4. Bei der isotheren Exansion it ax bewegt sih der Exansionskolben weiter zu seine äußeren otunkt, während der Koressionskolben stationär an seine inneren otunkt erharrt. Durh die Exansion infolge der oluenergrößerung bei ax sinkt der Druk auf den Wert (4). 5. U den Zyklus abzushließen bewegen sih der Exansions- und der Koressionskolben synhron, d.h. bei konstante oluen; der Exansionskolben zu seine inneren und der Koressionskolben zu seine äußeren otunkt. Das Arbeitsediu wird dabei wieder durh den Regenerator geshoben und gibt seine Wäre an den Regenerator ab.

148 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 5 Wäretausher (Regenerator) Exansionsrau Koressionsrau ershiebung Zeit Abb..6: Arbeitsrinzi des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagra Abb..7: Stirling-Prozeß i a),-diagra b),s-diagra

149 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 6 Zustandsänderungen des Stirling-Prozesses - : Isothere Koression on auf : Isothere Wäreabfuhr i Kühler bei in onst. - : Isohore Wärezufuhr on auf : Wäreübertragung on de Wäretausher an das Arbeitsediu - 4: Isothere Exansion on auf 4 : Wärezufuhr durh externe Heizquelle an das Arbeitsediu bei ax onst. 4 - : Isohore Wäreabfuhr on 4 auf : Wäreübertragung on de Arbeitsediu an den Wäretausher Nutzarbeit des Stirling-Prozesses: Die sezifishe Nutzarbeit w t ergibt sih aus der Wärebilanz zu wt q zu qab Idealer Wäretausher: q q4 w t q 4 q q q q q &#%#$ 4 &#%#$ 4 q zu q ab - : Isothere Koression on auf bei onst. q R ln ln < - : Isohore Koression on auf bei onst. 0 q ( ) 0 > - 4: Isothere Exansion on auf 4 bei 4 onst. q 4 4 R ln ln > : Isohore Exansion on 4 auf bei 4 onst. q ( ) < Ergibt die sezifishe Nutzarbeit 0 bzw.: w t R ln R ln w t R ln 4

150 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 7 herisher Wirkungsgrad η th q q ab zu q q 4 η th R R ln ln 4 ln ln 4 Mit den Beziehungen für isothere Zustandsänderungen und wegen den isohoren Zustandsänderungen 4- und -, d.h. 4 und gilt also η th 4 ln ln 4 in ax Dies bedeutet, daß der axiale therishe Wirkungsgrad, unter der Annahe eines idealen Wäretaushers (bzw. Regenerators) lediglih on de eeraturuntershied zwishen ware und kalte Rau abhängt und soit de Carnot-Wirkungsgrad entsriht. orteile des Stirling-Motors: - Keine entile, entilantrieb und -steuerung - Keine innere erbrennung, externe erbrennung kann it Sauerstoffübershuß durhgeführt werden, soit geringere Shadstoffeission als bei exlosionsartiger, innerer erbrennung - ielstoffotor, da die Art der externen Wärequelle unerheblih für den Betrieb des Motors ist - Keine Druksitzen, Drukwehsel erfolgen fließend: Nahezu lautloser und ibrationsfreier Lauf - Konstantes Drehoent, günstiger Betrieb auh i eillastbereih - Bei Ukehrung des Prozesses ohne konstruktie Änderungen auh als Kälteashine nutzbar Problebereihe: - Dihtungsroblee zwishen Arbeitskolben und erdrängungskolben - ehnishe Realisierung eines idealen Wäretaushers

151 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 8. ergleihsrozesse für urboashinen Die hohen ehanishen und therishen Belastungen, bedingt durh hohe Drüke und Shwingungsroblee, denen Kolbenashinen ausgesetzt, sind führen zu entsrehend hohen Anforderungen an die Strukturfestigkeit. Die Gewährleistung dieser Strukturfestigkeit bedingt in aller Regel ein relati hohes Baugewiht. Ausnahen bilden hier lediglih Wärekraftashinen, die nur auf kurze Lebensdauer ausgelegt sind und an auf die Dauerfestigkeit erzihten kann. Bei Kolbenotoren wären dies z.b. riebwerke, wie sie i Rennsort eingesetzt werden und dabei lediglih das a. einstündige Rennen überstehen üssen. Bei Strahltriebwerken käen hier Marsh- oder Lenkflugkörer in Betraht, deren axiale Betriebsdauer i Minutenbereih liegen. Lebensdauerotiierung wird or alle bei rägerraketen für den Satellitentransort betrieben. Aufgrund der extre hohen Kosten des Nutzlasttransorts in eine Ulaufbahn wird hier die Lebensdauer i Sekundenbereih otiiert. Dadurh lassen sih jedoh Leistungen erzielen, die u iele Größenordnungen über denen on stationär arbeitenden Mashinen liegen. ergleihszahlen einer Saturn -Rakete: Startgewiht: Startshub: Nutzlast in geostationären Orbit:. Stufe Gesatstrahlleistung der 5 F-riebwerke, a.: Leistung der urbo-puen, a.: reibstofferbrauh, a.: Brenndauer noinal: 000 t 400 t t PS PS.5 t/s 50 s Die letzte Genration der i Flugzeugbau erwendeten Kolbenotoren erreihte Leistungen on a. 000 kw (a PS), Shiffsdiesel liegen in der Größenordnung on a kw (a PS). Leistungen i Kraftwerksbereih liegen jedoh heute i Gigawatt- Bereih. Mit Kolbenotoren sind solhe Leistungen niht ehr zu erzielen, hier werden ausshließlih urboashinen eingesetzt. In ihrer einfahsten For besteht eine Gasturbinenanlage aus den Koonenten erdihter, Brennkaer und urbine, Abb..8. Abb..8: Shea einer einfahen Gasturbinenanlage

152 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 9 Luft wird angesaugt und i erdihter koriiert. In der Brennkaer wird der erdihteten Luft Brennstoff zugeisht (z.b. Diesel, Kerosin oder Petroleu). Aufgrund des hohen Druks zündet das Geish selbständig und erbrennt bei näherungsweise konstante Druk. Die heißen Abgase exandieren in der urbine und geben dabei Arbeit ab und ströen anshließend ins Freie. Die einfahe Gasturbinenanlage stellt soit ein offenes, stationär durhströtes Syste dar. Die Aufgabe der urbine besteht zu einen darin, über eine Welle den erdihter anzutreiben. Der danah erbleibende Leistungsübershuß stellt die Nutzleistung der Anlage dar. Je nah erwendungszwek kann eine untershiedlihe Aufteilung der in der urbine gewonnenen Nutzleistung erfolgen. Bei stationären Gasturbinen (z.b. Kraftwerk) besteht die Hautaufgabe darin, die nah de Antrieb des erdihters noh erbleibende Arbeit zu Antrieb eines Strogenerators zu erwenden. Bei Shiffsturbinen kann it der übershüssigen Arbeit die Shiffsshraube angetrieben werden. Ähnlih erhält es sih bei Flugzeugturbinen, die it der übershüssigen Arbeit über eine Welle einen Proeller antreiben (urbo-pro-mashinen). Proellerantriebe erreihen jedoh bei Annäherung an die Shallgeshwindigkeit die Grenze ihrer Anwendung. Die Blattsitzen der Proeller laufen i Übershall und werden soit wirkungslos. Dies gilt übrigens unabhängig daon, ob die Proeller on Kolbenotoren oder urbinen angetrieben werden. Zu Übershreiten der Shallgeshwindigkeit sind soit Antriebe erforderlih, die auf de reinen Rükstoßrinzi beruhen, d.h. also entweder Raketenantriebe oder Strahltriebwerke. Bei Strahltriebwerken wird der nah de Antrieb des erdihters noh erbleibende Arbeitsanteil in der urbine dadurh genutzt, daß die heißen erbrennungsabgase durh eine Düse exandieren und den für den Antrieb erforderlihen Shub erzeugen... Joule-Prozeß I ergleihsrozeß der einfahen Gasturbinenanlage durhläuft das Arbeitsediu (ideales Gas) einen geshlossen Kreislauf. Die erbrennungsabgase werden direkt wieder de erdihter zugeführt, Abb..9. Abb..9. Einfahe Gasturbinenanlage als geshlossenes Syste

153 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 40 Die erbrennung wird als eine isobare Wärezufuhr angenoen. Der Energiestro, der in der realen Gasturbine it den heißen erbrennungsgasen das Syste erläßt, wird durh eine isobare Wäreabgabe in eine Wäretausher, der hinter der urbine angeordnet ist, siuliert. erdihter und urbine werden als adiabate Systee angenoen, da aufgrund der hohen Ströungsgeshwindigkeit in diesen Koonenten kein Wäreaustaush it der Ugebung stattfindet. Der Gasturbinen-ergleihsrozeß besteht soit aus zwei Isobaren für den Wäretaush und zwei Isentroen für erdihtung und Entsannung. Abb..0: Joule-Prozeß der Gasturbine i a),-diagra b) h,s-diagra Zustandsänderungen des Joule-Prozesses - : Isentroe Koression on auf - : Isobare Wärezufuhr bei Druk auf die Maxialteeratur - 4: Isentroe Exansion on auf 4 - : Isobare Wäreabfuhr bei Druk Nutzarbeit Unter der Annahe on konstanten sezifishen Wärekaazitäten ergibt sih die sezifishe Nutzarbeit w t aus der Wärebilanz zu w t N w t i, j N q q i, j q zu q ab w q q ( ) ( ) Mit de erdihter-drukerhältnis t π und der Isentroenbeziehung ergibt sih für die eeraturen und π

154 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4 π 4 Die Gleihung für die sezifishe Nutzarbeit lautet dait π π w t bzw. it R π π R w t Bei Joule-Prozeß hängt also die sezifishe Nutzarbeit w t on de Drukerhältnis i erdihter π und de eeraturerhältnis ab. herisher Wirkungsgrad ( ) ( ) q q q q zu ab th η bzw. π η th Der therishe Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ist also eine reine Funktion on de Drukerhältnis π. Er nit degressi it de Drukerhältnis zu. Hohe Wirkungsgrade erfordern bei diese Prozeß auh hohe Drukerhältnisse

155 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4.. Erison-Prozeß Dieser Prozeß geht auf einen orshlag des shwedishen Ingenieurs Erison (80-899) aus de Jahre 8 zurük. Realisiert wurde er erst über 00 Jahre säter on den shweizer Ingenieuren Akeret (898-98) und Keller (904- ). Der Prozeß bildet einen geshlossenen Kreislauf und kann daher auh aufwendigere Arbeitsedien, wie z.b. Edelgase erwenden. Der orteil bei der erwendung on Edelgasen liegt in den höheren Werten on und den dait erbundenen höheren therishen Wirkungsgraden. Abb..: Geshlossene Gasturbinenanlage nah de Erison-erfahren Zustandsänderungen des Erison-Prozesses - : Isothere Koression on auf it Kühlung - : Isobare Wärezufuhr bei Druk in eine zwishen erdihter und urbine geshalteten Wäretausher - 4: Isothere Exansion on auf in einer urbine it Wärezufuhr 4 - : Isobare Wäreabfuhr bei Druk i zwishengeshalteten Wäretausher Abb..: Erison-Prozeß der Gasturbine i a),-diagra b) h,s-diagra

156 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 4 Der Wäretausher ist dergestalt ausgelegt, daß zwishen urbine und erdihter die betragsäßigen gleihen Wäreengen ausgetausht werden, d.h. es gilt Nutzarbeit q q 4 Die sezifishe Nutzarbeit w t ergibt sih aus der Wärebilanz zu w t qzu qab q4 q4 q q q4 q Bei isotherer Koression on auf gilt q ln R ln Bei isotherer Exansion it und 4 gilt q 4 ln Mit de erdihter-drukerhältnis R ln π ergibt sih die sezifishe Nutzarbeit zu w t R ln π herisher Wirkungsgrad ( ) η th Der therishe Wirkungsgrad des Erison-Prozesses hängt also lediglih ab on der eeratur, bei der die Wäre zugeführt wird und der eeratur, bei der die Wäre abgeführt wird. Der therishe Wirkungsgrad des Erison-Prozesses stit it de des Carnot-Prozesses überein und wäre denah ein idealer Prozeß. Die raktishe Ausführung sheitert jedoh an der tehnishen Realisierung einer isotheren Koresson (erfordert Kühlung) und einer isotheren Exansion (erfordert Wärezufuhr). Näherungsweise läßt sih dies durh eine stufenweise erdihtung it Zwishenkühlung und einer stufenweisen Exansion it Zwishenerhitzung erreihen. Ugesetzt wurde dieser Gedanke in de sogenannten Isex-Gasturbinen-Prozeß durh eine Zwishenerbrennung zwishen den einzelnen urbinenstufen on K. Leist (90-960).

157 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 44.. Clausius-Rankine-Prozeß Dafkraftanlagen, wie sie in Kraftwerken zur Erzeugung on elektrishe Stro eingesetzt werden, bilden einen geshlossenen Prozeß (Dafturbinenrozeß) und bestehen i wesentlihen aus den in Abb..a skizzierten Koonenten. DE D K SP Daferzeuger urbine Kondensator Seisewasserue Abb..: Dafturbinenanlage a) Aufbau und b),-diagra Das Arbeitsediu ist Wasser, das die Anlage in eine geshlossenen Kreislauf durhströt und eriodish seinen Aggregatzustand wehselt. Die Seisewasserue fördert flüssiges Wasser on de Kondensator in den Daferzeuger ( - ) und erhöht den Druk auf den gewählten Sättigungsdruk. Der Antrieb der Seisewasserue erfolgt entweder über einen Elektrootor oder über die urbine. Der Daferzeuger ist zweigeteilt; i ersten eil (erdafer) wird durh isobare Wärezufuhr Sattdaf erzeugt ( - ). Anshließend wird durh weitere isobare Wärezufuhr i Überhitzer bei steigender eeratur der Sattdaf in Heißdaf ugewandelt ( - 4). Der Heißdaf exandiert in der urbine unter Arbeitsabgabe wieder bis in das Naßdafgebiet ( 4-5). on der urbine ströt der Naßfdaf zu de Kondensator, wo er unter isobare Wäreentzug wieder erflüssigt wird. Abb..4: Clausius-Rankine-Prozeß i a),s-diagra b) h,s-diagra Zustandsänderungen des Clausius-Rankine-Prozesses

158 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen : Isentroe Drukerhöhung des flüssigen Wassers o Kondensatordruk 0 5 auf den Sättigungsdruk S. Nahezu senkrehte Linie i,- Diagra. Die beiden Punkte fallen aufgrund der geringen eeraturzunahe (inkoressibles Arbeitsediu) i,s-diagra fast zusaen. - : Isobare Erwärung des flüssigen Wassers bis zu Punkt auf der Siedelinie auf die Siedeteeratur S - : Isobare erdafung (Punkt liegt auf der aulinie) - 4: Isobare Überhitzung 4-5: Isentroe Exansion in der urbine 5-0: Isobare erflüssigung des Dafes Nutzarbeit Berehnung der tehnishen Arbeit aus der Wärebilanz w q t zu q ab Da alle Wäreübertragungen bei isobaren Zustandsänderungen ablaufen, lassen sie sih auh als Enthaliedifferenzen shreiben q zu q ab q q q q4 h4 h 50 h0 h5 w t h0 h h4 h5 Das Arbeitsfluid wehselt während des Kreisrozesses seinen Aggregatzustand, soit üssen zur Berehnung der Enthaliedifferenzen die Wasserdaftafeln herangezogen werden. herisher Wirkungsgrad bzw. η th q q ab zu h5 ηth h 4 h 0 h

159 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 46 Ü.: Nahrehnung einer Dafturbinenanlage Eine Dafturbine erarbeitet ro Stunde 70t Frishdaf it einer eeratur on 50 C und eine Druk on 00 bar. Die Wasserteeratur or de Eintritt in die Seisewasserue beträgt 5 C. Gesuht werden die Leistung und der therishe Wirkungsgrad nah Clausius-Rankine. Für die Sättigungsteeratur 0 5 C liefert die Daftafel für Wasser: bar ' /kg h' kj/kg s' kj/(kg K) '' /kg s'' kj/(kg K) h'' kj/kg Für den Sättigungsdruk 00 bar liefert die Daftafel für Wasser: 0.96 C ' /kg h' 408 kj/kg h'' 78 kj/kg Aus de h,s-diagra für Wasserdaf (Abb. 9.8) liest an für den überhitzten Daf it 4 00 bar und 4 50 C ab: h 4 96 kj/kg s kj/(kg K) 0 - : Isentroe Drukerhöhung in der Seisewasserue Sezifishe Leistung der Seisewasserue kj w0 0 ( 0 ) 0. 0 kg Enthalie kj h h0 w kg Massestro der Seisewasserue t! h kg s Leistung der Seisewasserue kj P S! w kw s

160 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 47 - : Isobare Wärezufuhr ro Zeiteinheit i Daferzeuger ( h h ) Q!! : Isobar-isothere erdafung i Daferzeuger ( h h ) Q!! kj s kj s - 4: Isobare Überhitzung i Daferzeuger ( h h ) Q!! kj s 4-5: Isentroe Exansion in der urbine Berehnung des Dafgehalts aus der Entroieänderung, s 4 s kj/(kg K) s5 s0 x s s 5 0 Dafgehalt 0 < x <, d.h. die Exansion führt ins Naßdafgebiet. Enthalie: kj h5 ( x) h0 x h kg Gesatleisung der urbine: ( h h ) kw P! : Isobare Kondensation i Kondensator, abgegebene Wäre: kj Q! 50! [ x ( h5 h0 )] s Nutzleistung des Kreisrozesses bzw. P P P N S 6 kw ( Q! Q! Q! Q ) kw P N! 4 50 herisher Wirkungsgrad des Kreisrozesses η q h h h ab 5 0 th qzu 4 h

161 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 48. Carnot-Prozeß Der i Jahre 84 on de französishen Militäringenieur S. Carnot orgeshlagene Kreisrozeß stellt einen Ideal-Prozeß zu Aufzeigen des axial öglihen therishen Wirkungsgrades einer therishen Mashine dar und zwar unabhängig on deren eigentliher Bauart. Der Prozeß arbeitet it zwei Isentroen und zwei Isotheren. Die Wäreübertragung erfolgt bei konstanten eeraturen: Wärezufuhr bei der hohen eeratur, Wäreentzug bei der niedrigen eeratur Abb..5: Carnot-Prozeß i a),-diagra b) h,s-diagra Zustandsänderungen des Carnot-Prozesses - : isothere Koression it Wäreabgabe - : Isentroe Koression - 4: isothere Exansion it Wärezufuhr 4 - : Isentroe Exansion Nutzarbeit w k q zu q ab Bestiung der Wäreengen aus der Entroiefunktion q zu q ab q q ( s s ) ( s ) 4 4 s ( s ) s ()() s bzw. w k s wk q zu

162 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 49 herisher Wirkungsgrad bzw. η η th th w q zu k Da bei gleihen Grenzteeraturen, alle in der Realität ablaufenden Kreisrozesse innerhalb des durh den Carnot-Prozeß i,s-diagra beshriebenen Rehteks liegen, wird sein Wirkungsgrad auh als Carnotfaktor (größtögliher therisher Wirkungsgrad) bezeihnet. η C η th,ax Abb..6: Carnot-Prozeß und realer Prozeß

163 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 50 Ü.4: Kreisrozeß it stationär ulaufende Fluid (Carnot-Prozeß) Abb..7: Wärekraftashine (Carnot-Prozeß) Der Carnot-Prozeß besteht aus ier reersiblen eilrozessen, die i -Diagra in Abb..8 dargestellt sind: - Adiabate erdihtung - - Isothere Entsannung - - Adiabate Entsannung -4 - Isothere erdihtung 4- Abb..8: Zustandsänderungen des reersiblen Carnot-Prozesses

164 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 5 Mit Heliu als Arbeitsediu sollen die bei den ier eilrozessen als tehnishe Arbeit und als Wäre aufgenoenen oder abgeführten Energien sowie die sezifishe Nutzarbeit des Kreisrozesses berehnet werden. eeraturen: K 850 K Drukerhältnisse: ax 50 in Gaskonstante on Heliu R 077 J/kgK 4 Die sezifishe Wärekaazität wird teeraturunabhängig angenoen 0 J 59 kg K Änderungen on kinetisher und otentieller Energie sollen ernahlässigt werden. Für die adiabate erdihtung on - liefert der erste Hautsatz q t w, h h Da es sih u eine adiabaten eilrozeß handelt gilt q 0. Für die tehnishe Arbeit folgt soit 0 0 w h h ( ( ) ( ) t, ( Entsrehend berehnet sih die tehnishe Arbeit für die adiabate Entsannung on -4 wegen q 0 zu 4 w h h 0 ( ) ( ) 0 t, ( Die beiden Arbeiten heben sih gerade auf. Der adiabate erdihter und die adiabate urbine laufen sozusagen nutzlos gegeneinander. Die Nutzarbeit bei diese Kreisrozeß kann als nur aus der Differenz der tehnishen Arbeiten bei der isotheren erdihtung und der isotheren Entsannung staen. Bei idealen Gasen hängt die Enthalie nur on der eeratur ab. Bei der isotheren Entsannung - gilt also wegen 0 0 also q w h h t, q wt, d R ln 0

165 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 5 und entsrehend für die isothere erdihtung 4- wegen ,4 4 ln R d w q t Für das erhältnis on Druk und eeratur idealer Gase bei reersiblen adiabaten Prozessen gilt R R R 0 0 Für den Carnot-Prozeß gilt R R und R R daraus folgt 4 bzw. 4 Mit in ax 4 folgt R 0 0 in ax 4 bzw ax in 4 0 K kg kj K kg kj R K K und Für die isothere Entsannung - erhält an ( ) kg kj K K kg kj R w q t 0.7 ln ln,

166 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 5 und für die isothere erdihtung -4 4 kj kj q4 wt,4 R 0 ln K ln( 0.70) 85 kg K kg Die abgegebene Nutzarbeit des reersiblen Carnot-Prozesses beträgt also kj kj kj wt wt, wt,4 R ( 0 ) ln kg kg kg Der therishe Wirkungsgrad, d.h. das erhältnis on zugeführter Wäre zu abgegebener Nutzarbeit, beträgt η th q w t Der therishe Wirkungsgrad des reersiblen Carnot-Prozesses hängt also lediglih on der eeratur 0 bei der isotheren erdihtung und der eeratur bei der isotheren Entsannung ab. De orteil des relati hohen therishen Wirkungsgrades stehen die Nahteile hinsihtlih der tehnishen Realisierung einer isotheren erdihtung und einer isotheren Entsannung entgegen.

167 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 54.4 Isentroer Wirkungsgrad adiabater Mashinen Der isentroe Wirkungsgrad bezeihnet das erhältnis der bei isentroer ( erlustfreier) Zustandsänderung (theoretish) geleisteten Arbeit zu der tatsählih geleisteten Arbeit. Der isentroe Koressionswirkungsgrad (erdihter-wirkungsgrad) ist soit definiert als η is, ( w ) t, is w t, Der isentroe Exansionswirkungsgrad (urbinen-wirkungsgrad) ist definiert als η is, w t, ( wt, ) is Bei offenen, adiabat durhströten Systeen läßt sih unter der Annahe konstanter ehanisher Energie, d.h. keine Änderung der kinetishen und otentiellen Energie, der. Hautsatz für stationäre Fließrozesse ereinfahen zu &#%#$ q ( ) ( ) ( wt, h h g z z 0 adiabat w t, h h 0 kinetisheenergie &#%#$ 0 otentielle Energie Eingesetzt ergibt dies für den isentroen erdihter-wirkungsgrad h,is h, is η is, ηis, (gilt nur für ideales Gas, d.h. onst.!) h h und für den isentroen urbinen-wirkungsgrad,is h h η is, ηis, (gilt nur für ideales Gas, d.h. onst.!) h h,is In Abb..9 sind für eine a) Koression und eine b) Exansion sowohl die isentroe (erlustfreie) als auh die tatsählihe Zustandsänderung dargestellt. Dabei ist zu beahten, daß in beiden Fällen die Endunkte '' und ' is ' jeweils auf der gleihen isobaren liegen.

168 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 55 Isobare Isobare Abb..9: Isentroe und erlustbehaftete Zustandsänderung i h,s-diagra a) Koression, b) Exansion

169 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 56.5 Prozeßotiierung.5. Wärerükgewinnung Selbst bei einer hohen Effizienz der einzelnen Koonenten erfordern Gasturbinen ein hohes erdihterdrukerhältnis u einen guten therishen Wirkungsgrad zu erreihen, was zu eine entsrehend hohen Baugewiht aufgrund der Festigkeitsanforderungen führt. Eine Möglihkeit das erforderlihe erdihterdrukerhältnis zu erringern, besteht in der Aufheizung des koriierten Gases or de Brennkaereintritt durh die heißen urbinenabgase, deren eeratur a urbinenaustritt 4 in der Regel über der erdihter- Austrittsteeratur liegt. Dadurh läßt sih die erforderlihe Wäreenge q zu q, die in der Brennkaer de Prozeß zugeführt wird auf q zu ' q ' entsrehend erringern, da die eeratur durh die orheizung on auf ' erhöht wird. q zu,or q zu,bk ' ' 4 4 s Abb..0: Joule-Prozeß it Wärerükgewinnung Der therishe Wirkungsgrad it orheizung lautet nun η th ( 4 ) ( ) ( ) Der Grenzwert der orheizung wird erreiht, wenn die eeratur ' auf die urbinenaustrittsteeratur 4 erhöht wird. η th bzw. als Funktion des erdihterdrukerhältnisses 4 π η th π

170 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 57 In Abb.. ist der therishe Wirkungsgrad eines Joule-Prozesses it und ohne orheizung über de erdihterdrukerhältnis aufgetragen. Es zeigt sih, daß die orheizung nur bis zu eine bestiten Drukerhältnis einen orteil gegenüber de einfahen Joule-Prozeß bringt. Dieses Drukerhältnis läßt sih leiht durh Gleihsetzen der therishen Wirkungsgrade eritteln: π &#%#$ JoulePr ozeß π &#%#$ # JoulePr ozeß it Wärerükgewinnung π ( ) Joule-Prozeß it Wärerükgewinnung η th Joule-Prozeß ohne Wärerükgewinnung erdihter-drukerhältnis π Abb..: Einfluß der Wärerükgewinnung auf den therishen Wirkungsgrad (Joule-Prozeß:.4, Wirkungsgrad des Wäretaushers: 00%, 00 K, 760 K) Es zeigt sih also, daß die Wärerükgewinnung lediglih bei kleinen Drukerhältnissen eine erbesserung des therishen Wirkungsgrades bewirkt. Nahteilig wirkt sih auh die erhöhte Kolexität der Anlage durh die Integration des Wäretaushers aus. Einsatzöglihkeiten bieten sih jedoh trotzde bei Fahrzeuggasturbinen it geringen erdihterdrukerhältnissen..5. Zwishenkühlung Bei der Koression on Gas steigt it de Druk auh die eeratur. Aufgrund der zunehenden eeratur erhöht sih auh die für die erdihtung erforderlihe Arbeit. Wird hingegen die erdihtung in ehreren Stufen durhgeführt und das eeraturnieau zwishen den einzelnen erdihterstufen wieder abgesenkt (Zwishenkühlung), so kann dadurh die Koressionsarbeit reduziert werden. In erster Näherung läßt sih die Zwishenkühlung durh eine isobare Zustandsänderung beshreiben. In Abb.. ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwishenkühlung i,s-diagra dargestellt.

171 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 58 s Zwishenkühlung Abb..: Einfluß der Zwishenkühlung i,s-diagra Erfolgt die erdihtung isentro ohne Zwishenkühlung in einer einzigen Stufe so berehnet sih die erforderlihe erdihterarbeit it de Koressionserhältnis π zu ( ) π w, Für die zweistufige erdihtung (-a) it de Koressionserhältnis π und (b-) it de Koressionserhältnis π gilt: ( ) ( ) π π b b a,b a,, w w w Der Grenzwert für die Zwishenkühlung ist dann erreiht, wenn die eeratur b die eeratur erreiht hat. π π w, Aufgrund der als isentro angenoenen erdihtung gilt für die Stufenerdihtungserhältnisse π π π Für die Koressionsarbeit gilt soit π π π w, Die Drukerhältnisse, bei denen die erdihtungsarbeit inial wird, ergeben sih aus der Extretwertbedingung

172 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 59 0 dπ dw, also 0 π π π π π π Die Arbeitsersarnis der zweistufigen erdihtung it Zwishenkühlung gegenüber der einstufigen erdihtung ergibt sih zu π w Der therishe Wirkungsgrad berehnet sih zu ( ) ( ) ( ) ( ) π π π η 4 q w w a b zu th Für einen Joule-Prozeß it.4, 00 K, 760 K sind die therishen Wirkungsgrade in Abhängigkeit on de erdihterdrukerhältnis in Abb.. dargestellt. erdihter-drukerhältnis π η th Joule-Prozeß ohne Zwishenkühlung Joule-Prozeß it Zwishenkühlung Abb..: herisher Wirkungsgrad bei Zwishenkühlung Es zeigt sih, daß der orteil der Zwishenkühlung niht in eine erbesserten therishen Wirkungsgrad liegt, sondern, daß bei einer orgegebenen Mashinengröße, sih höhere

173 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 60 Leistungen erzielen lassen. Diese größere Leistungsdihte wird jedoh it eine shlehteren therishen Wirkungsgrad und einer höheren Kolexität der Anlage erkauft. Wird die erdihtung in ehreren erdihterstufen durhgeführt, so läßt sih das Prinzi der Zwishenkühlung zwishen jeder einzelnen erdihterstufe einsetzen. In Abb..4 ist das,- und,s-diagra für einen ehrstufigen erdihter skizziert. Kühlwasser Zwishenkühler Kühlwasser Zwishenkühler. erdihterstufe. erdihterstufe. erdihterstufe Abb..4: Mehrstufiger erdihter it Zwishenkühlung.5. Zwishenerhitzung Eine weitere Erhöhung der Leistungsdihte läßt sih bei Gasturbinen durh eine Zwishenerhitzung bei der Exansion erzielen. Dies ist entweder zwishen den einzelnen urbinen (erdihter-urbine und Nutzturbine) öglih oder zwishen den einzelnen urbinenstufen. Bei Flugtriebwerken kann hinter der erdihter-urbine und or der Shubdüse noh zusätzlih reibstoff erbrannt werden (Nahbrennerbetrieb). Die zusätzlihe Leistung bewirkt jedoh einen stark erhöhten reibstofferbrauh und einen erringerten therishen Wirkungsgrad. In Abb..5 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwishenerhitzung in eine,s- Diagra dargestellt.

174 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 6 s Zwishenerhitzung Abb..5: Einfluß der Zwishenerhitzung i,s-diagra Die Berehnung der durh Zwishenerhitzung öglihen Leistungssteigerung erfolgt in analoger Weise zu der orgehensweise bei der Zwishenkühlung. Unter der Annahe einer einstufigen isentroen Entsannung (-4) berehnet sih die on der urbine abgegebene Arbeit zu ( ) π 4 4 w, Für den Fall einer zweistufigen Entsannung (-d) und (e-4) gilt: ( ) ( ) π π 4 4 e e d, w Für den Grenzwert e ergibt sih für die Arbeit: π π 4 w, Die otialen Drukerhältnisse bei der Entsannung ergeben sih wieder aus der Extrewertbedingung 0 4 π π π π d dw, zu π π π Die infolge der Zwishenerhitzung zusätzlih bei der Entsannung abgegebene Arbeit beträgt

175 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 6 π w Die bei der Zwishenerhitzung zusätzlih zuzuführende Wäreenenergie stellt einen niht zu ernahlässigenden Aufwand und soit auh Kostenfaktor dar. ( ) π q q d e de zu Da das erhältnis on zusätzlih geleisteter Arbeit zu zusätzlih zuzuführender Wäreenergie π zu q w kleiner als eins ist, erringert sih der therishe Wirkungsgrad gegenüber de Kreisrozeß ohne Zwishenerhitzung. Für den therishen Wirkungsgrad it Zwishenerhitzung gilt in diese Fall: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π η 4 q w w d e e d zu th In Abb..6 ist der therishe Wirkungsgrad für einen Joule-Prozeß it und ohne Zwishenerhitzung und -kühlung dargestellt (.4, 00 K, 760 K).

176 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 6 Joule-Prozeß η th Joule -Prozeß it Zwishenerhitzung Joule-Prozeß it Zwishenkühlung erdihter-drukerhältnis π Abb..6: herisher Wirkungsgrad bei Zwishenerhitzung In diese Fall ershlehtert sih der therishe Wirkungsgrad noh stärker als bei der Leistungssteigerung infolge Zwishenkühlung. Ebenso wie die Zwishenkühlung läßt sih auh die Zwishenerhitzung durh die erwendung on zusätzlihen Brennern auh bei ehrstufigen urbinen zwishen den einzelnen urbinenstufen einsetzen. Brennstoff Brennstoff. urbinen- Stufe Brenner. urbinen- Stufe Brenner. urbinen- Stufe Abb..7: Mehrstufige urbine it Zwishenerhitzung

177 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen Kobinierte Zwishenkühlung und Zwishenerhitzung Zwishenkühlung und Zwishenerhitzung lassen sih selbsterständlih auh kobinieren, wobei die Kolexität der Anlage entsrehend zunit. s Zwishenkühlung Zwishenerhitzung Abb..8: Kobinierte Zwishenkühlung und -erhitzung i,s-diagra Für den Fall einer Anlage it eine zweistufigen erdihter und einer zweistufigen urbine ergibt sih für die Nutzarbeit ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 4 w a b e d N und für die zugeführte Wäre ( ) ( ) [ ] d e zu q Der therishe Wirkungsgrad ergibt sih zu π π π π η q w w zu th Für einen Joule-Prozeß (.4, 00 K, 760 K) it Zwishenühlung, -erhitzung und kobinierter Zwishenkühlung und -erhitzung ist in Abb..9 der Wirkungsgrad über de Drukerhältnis dargestellt.

178 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 65 η th Joule-Prozeß Joule-Prozeß it Zwishenkühlung Joule-Prozeß it Zwishenerhitzung Joule-Prozeß it kobinierter Zwishenkühlung und -erhitzung erdihter-drukerhältnis π Abb..9: herisher Wirkungsgrad bei kobinierter Zwishenkühlung und -erhitzung.5.5 Abgasturbolader Abgasturbolader werden zur Leistungssteigerung on Kolbenotoren eingesetzt. Das in Abb..0 skizzierte Shaltbild entsriht de eines Einwellentriebwerks bei de die Brennkaer durh einen Kolbenotor ersetzt wurde. Die Nutzleistung wird hier ausshließlih on de Kolbenotor erbraht, während die Leistung der Abgasturbine lediglih zu Antrieb des erdihters dient. Durh den orgeshalteten erdihter wird das Druknieau i Kolbenotor erhöht. Dieses höhere Druknieau bewirkt, daß ro Arbeitszyklus eine größere Luftasse und soit auh eine größere Energiezufuhr infolge der erhöhten Brennstoffenge i Motor durhgesetzt werden kann. Die Leistungssteigerung wird jedoh it einer erhöhten sezifishen Belastung des Kolbenotors erkauft, da infolge des höheren Druknieaus auh die Druk- und eeratursitzen i Zylinder ansteigen. Neben der ehanishen Festigkeitsgrenze bildet bei Otto-Motoren die Kloffestigkeit des erwendeten reibstoffs die Obergrenze der Aufladung. Abb..0: Shaltbild eines Abgasturboladers

179 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 66 In Abb.. ist der Arbeitsrozeß eines Kolbenotors it Abgaslader dargestellt. Der Prozeß des Kolbenotors wurde durh einen Seiliger-Prozeß (gl...) angenähert. I Punkt wird das Auslaßentil geöffnet und das Abgas ströt in eine Beruhigungskaer it de Druk III (or der urbine) u Druksitzen in der Ströung abzubauen. Bis zu urbineneintritt III kann in erster Näherung eine isothere Drosselung angenoen werden. In der urbine exandiert das Abgas (III-I) bis auf den Ugebungsdruk 0 und gibt dabei die sezifishe Arbeit w ab. I erdihter wird erbrennungsluft it de Zustand I (Ugebungsbedingungen) angesaugt und auf den Druk II erdihtet (I-II). Dazu ist die sezifishe Arbeit w erforderlih, die on der Abgasturbine zur erfügung gestellt wird. Zusätzlih sind on der urbine auh die ehanishen erluste des erdihters aufzubringen Abb..:,- und,s-diagra eines Kolbenorors it Abgasturbolader Mit de ehanishen Wirkungsgrad η eh gilt für das Leistungsgleihgewiht zwishen Abgasturbine und erdihter: bzw. P η eh P! w η! eh w Mit de isentroen erdihter- und urbinenwirkungsgrad η,is und η,is wird daraus

180 ehnishe herodynaik Kreisrozesse therisher Mashinen 67,is,is eh,is,is w w η η η!! Für die isentroe erdihterarbeit w,is gilt (Index L: Luft) L L I II I L L L,is R w und für die isentroe urbinenarbeit w,is gilt (Index G: Abgas) G G III I III G G G,is R w Für das Leistungsgleihgewiht zwishen Abgasturbine und erdihter läßt sih soit auh shreiben ( ) ( ) G G L L III I G L G I II L G L I III,is,is eh R R η η η!! wobei in erster Näherung!! gilt.

181 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 68 Kälteanlagen. Allgeeiner Kälteashinenrozeß Eine weit erbreitete Aufgabe on Kälteashinen besteht in der Aufrehterhaltung einer eeraturdifferenz auf eine konstanten eeraturnieau zwishen eine zu kühlenden Rau und der Ugebung on der wieder infolge unollständiger therisher Isolierung Wäre in diesen Rau zurükströt. Eine weitere Aufgabe besteht in der Abkühlung eines Stoffes on eine höheren zu eine niedrigeren eeraturnieau, z.b. bei der Lufterflüssigung. Die de zu kühlenden Stoff bzw. Rau entzogene Wäre uß bei einer höheren eeratur an die Ugebung abgegeben werden. Die rinziiellen Zusaenhänge sollen anhand eines linksdrehenden Carnot-Prozesses, der zwishen der höheren Ugebungsteeratur und der niedrigeren Kühlrauteeratur 0 betrieben wird, betrahtet werden (Abb..). Die Mashine wird it eine Kälteittel betrieben, de bei der tieferen eeratur 0 die Wäre Q 0 zugeführt wird und welhes die Wäre Q wieder an die Ugebung it der eeratur abgibt. Dazu uß in diese Beisiel die Arbeit W Q aufgebraht werden. Q 0 W Abb..: Allgeeiner Kälteashinenrozeß (Carnot) Entroieänderungen Durh den Wäreentzug Q 0 bei der eeratur 0 erringert sih die Entroie i Kühlrau u den Betrag Q0 S 0 0 Diese Wäre Q 0 uß an die Ugebung it der eeratur abgeführt werden. Dadurh ergrößert sih die Entroie der Ugebung u den Betrag Q S u 0 Da die Ugebungsteeratur über der Kühlrauteeratur 0 liegt gilt

182 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 69 S Q0 > S 0 u 0 und soit für die gesate Entroieänderung Q ( S ) 0 S u S 0 < d.h. die Entroie würde insgesat abnehen (Abb..). 0 Abb..: Entroieeränderung bei Kühlung Dies ist geäß de. Hautsatz niht öglih, da die Wäre niht on selbst on eine niedrigeren Nieau auf ein höheres Nieau übergehen kann. Die tehnishe Realisierung einer Kälteashine erfordert denah noh einen Zwishenrozeß, der die Entroieerinderung S koensiert. Entroieerhöhung läßt sih entweder durh beliebige reibungsbehaftete Prozesse erzeugen oder aber durh einen geeigneten Zusatzrozeß, der neben der Kälteleistung Q 0 noh die zusätzlihe Wäre Q an die Ugebung abgibt. Zeihnet an die Entroieerhältnisse aus Abb.. übereinander, so ergibt sih die erforderlihe zusätzlihe Wäre Q aus der Flähe 45ad (Abb..). Es uß also gelten: Q S 0 Abb..: Koensationswäre Q bei Kälteleistung Q 0

183 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 70 Prinziiell ist die Art der Erzeugung der zusätzlihen Wäre Q frei wählbar, tehnish releant sind jedoh in Kältetehnik folgende Prozesse: - Prozesse, bei denen ehanishe Arbeit in Wäre ugesetzt wird (Koressionskälteanlagen) - Prozesse, bei denen Heizwäre als Koensationsrozeß eingesetzt wird (Absortionserfahren) - heroelektrishe Prozesse, bei denen durh elektrishe Energie Wäre on der kalten Lötstelle zur waren transortiert wird (Peltier-Effekt) Arbeitsaufwand Aus de,s-diagra (Abb..) ergibt sih sofort die für die Erzeugung der Zusatzwäre Q S erforderlihe Arbeit W. Diese Zusatzwäre soll aus de linksdrehenden Kreisrozeß staen, der neben der Zusatzwäre Q auh die Kälteleistung Q 0 ittels eines Kälteittels an die Ugebung abführt. Da das Kälteittel sih a Ende des Kreisrozesses wieder in seine Ursrungszustand befindet beträgt die Änderung seiner inneren Energie U - U 0. Geäß de ersten Hautsatz uß dann die de Kälteittel zusätzlih entzogene Wäre Q gleih der aufgewendeten Arbeit W sein, also W Q S Unabhängig on der Art des gewählten Kälterozesses uß zu Anheben der Wäre Q 0 on de eeraturnieau 0 auf das eeraturnieau indestens die Arbeit W Q S aufgewendet werden. I,s-Diagra (Abb..) entsriht dies der Flähe 45ad oder auh der Flähe 5. Grundregel der Kältetehnik Aus Abb.. ist ersihtlih, daß für die gleihe Kälteleistung Q 0 u so ehr Arbeit W aufgewendet werden uß, je größer der zu überbrükende eeraturuntershied - 0 ist. Dadurh ergibt sih die Forderung, nie tiefer zu kühlen als unbedingt erforderlih und die Ugebungsteeratur nur so wenig wie öglih zu übershreiten. Als Maß der für den Kühlrozeß aufgewendeten Arbeit wird die Leistungsziffer ε definiert als das erhältnis der abgeführten Wäre Q 0 bezogen auf die aufgewendete Arbeit W. Q ε 0 W Für den Carnot-Prozeß ergibt sih für die Leistungsziffer ε Q0 W 0 0. Daf-Koressions-Kälteanlage

184 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 7 Der idealisierte Daf-Koressons-Kühlkreislauf (---4- in Abb..4) entsriht de Clausius-Rankine-Kreisrozeß (Dafturbinenrozeß), wobei lediglih die Durhlaufrihtung erändert wurde. Gesättigter Daf wird it niedrige Druk de Koressor zugeführt und adiabat-reersibel auf den Druk erdihtet (-). I Kondensator wird die Wäre Q H isobar abgeführt (-) und das Arbeitsediu erläßt in der flüssigen Phase den Kondensator (). Durh eine adiabate Drosselung (Drukinderung ohne Arbeitsabgabe) entsannt das Arbeitsediu on de Druk wieder auf den Druk. In de erdafer wird das Arbeitsediu isobar bei de Druk erdaft und nit dabei die Wäreenge Q L auf. Zusätzlih zu de idealisierten Daf-Koressions-Kühlkreislauf (---4-) ist in Abb..4 auh zu ergleih der Carnot-Prozeß ('-'--4'-') eingezeihnet. Die tehnishe Usetzung des günstigeren Carnot-Prozesses sheitert jedoh an de Proble, daß in diese Fall bei der Koression on ' auf ' ein Zweihasengeish bei konstante Dafgehalt x koriiert werden üßte. Die Koression eines ollständig erdaften Stoffes gestaltet sih tehnish wesentlih einfaher. Ebenso ist die irreersible Drukinderung durh ein Drosselentil leihter zu realisieren, als eine Exansion, bei der ein Stoff on der flüssigen Phase in ein Zweihasengeish isentro entsannt wird. Drosselentil Kondensator erdafer Koressor W Abb..4: Daf-Koressions-Kühlkreislauf

185 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 7 Ü. Daf-Koressions-Kühlkreislauf Nahrehnung des in Abb..4 skizzierten idealisierten Kühlkreislaufs geg.: Kühlittel Dihlordifluorethan (Freon-) eeratur des Kühlittels i erdafer: eeratur des Kühlittels i Kondensator: Massenstro: -0 C 40 C! 0.0 kg/s Stoffwerte für Freon- i Naßdafgebiet: s [ C] s [MPa] ' [³/kg] '' [³/kg] h' [kj/kg] h'' [kj/kg] s' [kj/kgk] s'' [kj/kgk] Stoffwerte für Freon- i überhitzten Zustand: [ C] [MPa] [³/kg] h [kj/kg] s [kj/kgk] MPa MPa MPa MPa ges: Kühlleistung Q L und Leistungsziffer ε - Koressor: Isentroe erdihtung on auf ( s 40 C) MPa h h'' h''( s -0 C) 78.6 kj/kg s s s( s -0 C) kj/kgk Bestiung on durh zweifahe lineare Interolation: Shritt : Berehnung on h und s für MPa bei 50 C und 60 C Shritt : Berehnung on und h für s s kj/kgk 50.8 C h.8 kj/kg w Koressor h h kj kg

186 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 7-4: Drosselentil. Isenthale Drukinderung h 4 h h '( 40 C, MPa) kj/kg 4-: Isobare erdafung kj kj kj q L h h kg kg kg Leistungsziffer ε ε abgeführte Wäre Koressorarbeit q w L Maxiale Kühlleistung Q L kj kg QL ql! kw kg s In der Realität (Abb..5) weiht der Daf-Koressions-Kühlkreislauf aufgrund on Drukerlusten und interner Wäreübertragung etwas on de in Abb..4 skizzierten idealisierten Prozeß ab. Der Daf könnte sih bei Eintritt in den Koressor () bereits i überhitzen Zustand befinden. Die Annahe der isentroen erdihtung läßt sih in der Realität niht erwirklihen, d.h. die Entroie wird in Abhängigkeit on der übertragenen Wäre on bzw. an das Kälteittel zunehen (' Wärezufuhr) oder abnehen ( Wäreabfuhr). Weiterhin ist es shwierig eine isobare Kondensation zu realisieren. In der Regel wird der Druk nah der Kondensation geringer sein als i überhitzten Zustand und die eeratur etwas unter der Sättigungsteeratur (4) liegen und kann anshließend in der Leitung zu Drosselentil noh etwas absinken (5). I erdafer kot es ebenfalls zu eine Drukerlust und die eeratur kann in der Leitung zu Koressor wieder etwas ansteigen. Kondensator erdafer Abb..5: Realer Daf-Koressions-Kühlkreislauf

187 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 74. Absortionserfahren Der in Abb..6 skizzierte Aoniak-Absortionskühlkreislauf untersheidet sih on de Daf-Koressionskühlkrieslauf i wesentlihen durh die Art it der die erdihtung des Kälteittels erreiht wird. In de Absortionskreislauf wird Aoniakdaf bei niedrige Druk in Wasser absorbiert und der Druk der Lösung durh eine Pue erhöht. Hohdruk Aoniak Daf Q H (zur Ugebung) Q H (starke Wärequelle) Generator shwahe Aoniaklösung Wäretausher Niederdruk Aoniak Kondensator flüssiges Aoniak starke Aoniaklösung Drosselentil Absorber erdafer Pue W Q L ' (zur Ugebung) Q L (Kühlrau) Abb..6: Aoniak Absortionskühlkreislauf Der Niederdruk-Aoniakdaf aus de erdafer wird i Absorber in der shwahen Aoniaklösung absorbiert. Dieser Prozeß läuft bei einer eeratur ab, die etwas über der Ugebungsteeratur liegt und die Wäre Q L an die Ugebung abgeführt werden uß. Die starke Aoniaklösung wird durh einen Wäretausher zu Generator geut, wodurh eine eeratur- und Drukerhöhung erreiht wird. Infolge der Wärezufuhr Q H ' i Generator durh eine externe Wärequelle erdaft Aoniak aus der Lösung. Dieser Hohdruk-Aoniakdaf ströt zu Kondensator, wo er analog zu Daf-Koressionskreislauf, wieder erflüssigt wird und weiter durh das Drosselentil zu erdafer exandiert. I erdafer wird aus de Kühlrau die Wäre Q L aufgenoen und der Niederdruk-Aoniakdaf wird, zusaen it der i Generator zurükbleibenden shwahen Aoniaklösung wieder de Absorber zugeführt. Der entsheidende Untershied zu Daf-Koressionskreislauf besteht darin, daß sih das Kühlittel bei der erdihtung niht in der dafförigen, sondern in der flüssigen Phase befindet. Durh das geringere sezifishe oluen ( höhere Dihte) der Flüssigkeit ist für die Drukerhöhung wesentlih weniger Arbeit aufzuwenden als bei der Koression on Daf: W Pue d

188 ehnishe herodynaik Kälteanlagen 75 Andererseits uß eine externe Wärequelle it relati hoher eeratur ( C) zur erfügung stehen. Der konstruktie Aufwand on Absortionssysteen ist deutlih höher als bei Daf-Koressions-Systeen. Der Aufwand ist jedoh dann gerehtfertigt, wenn günstige externe Wärequellen zur erfügung stehen, z.b. geotherishe oder solare Wärequellen. Ein weiterer orteil des Absortionssystes besteht in der relati geringen Geräushentwiklung..4 Lufterflüssigung (Lindeerfahren) Die Besonderheit des erfahrens nah C. Linde zur Lufterflüssigung besteht in der Realisierung der Drosselung in For eines Gegenströers, wodurh erst die tehnishe Anwendung in große Maßstab unter wirtshaftlihen Bedingungen öglih wurde. Der rinziielle Aufbau einer Lufterflüssigungsanlage ist in Abb..7 skizziert. Abb..7: Lufterflüssigungsanlage nah Linde Der gekühlte Koressor saugt die Luft unter Ugebungsbedingungen () an und erdihtet sie isother, d.h., o Ugebungsdruk ( bar) auf (50-00 bar). Die koriierte Luft tritt it de Zustand () in den Gegenströer ein und gelangt zu Drosselentil. Zur erdeutlihung des Anlagenbetriebs ist das erfahren i,s-diagra in Abb..8 dargestellt. Bei Anfahren der Anlage (d.h. Anlage ist noh war) wird die Drukluft i Drosselentil o Zustand () auf den Zustand (a) gedrosselt. Die eeratur a liegt nur geringfügig unter der Ugebungsteeratur. Die gesate Luft wird durh den Gegenstroaarat zurükgeführt, wobei die neu ankoende Drukluft o Zustand () auf (') abgekühlt wird. Durh Drosselung der orgekühlten Drukluft erreiht an bereits eine tiefere eeratur a '. Diese entsannt Luft kühlt die neu ankoende Luft auf den Zustand (''), wodurh sih nah der Drosselung die noh tiefere eeratur a '' einstellt. Mit zunehender Betriebsdauer wird soit hinter de Drosselentil eine ier tiefere eeratur erreiht. Nah einer gewissen Zeit stellt sih or de Drosselentil der Zustand