Übungen zur Einführung in die Geometrie. SS /28. Mai / Exkursionswoche Blatt 6

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1 Übunen zur Enfürun n de Geometre 00 7./8. Ma / Eursonswoce Blatt 6 De Aufaben 1 und sollten auc mt EUKLID bearbetet werden. 1. Hnterenanderausfüren on Geradenspeelunen De Geraden f, und berenzen a) en rectwnl-lecscenles Dreec ABC; f b) en lecsetes Dreec ABC. Ene Fur F soll an desen Geraden espeelt werden. Konstrueren e jewels dejene Abbldun, welce das Hnterenanderausfüren der Geradenspeelunen f ersetzt.. De Dreece ABC und A 1 B 1 C 1 snd zuenander onruent. a) Beründen e des mt Hlfe on Konruenzsätzen aus der Mttelstufeneometre. b) Dreec ABC ann durc mamal Acsenspeelunen auf Dreec A 1 B 1 C 1 abebldet werden. Warum st des mölc? Konstrueren e solce Acsenspeelunen. C A B B1 C1 A1. Ene Fur wrd um (0,0) um 60 edret und anscleßend um Eneten n - Rctun und Eneten n -Rctun erscoben. Ersetzen e deses Hnterenanderausfüren on Abbldunen durc ene enze Konruenzabbldun. Bestmmen e anscleßend recnersc de Daten für dese Abbldun. 4. a) we peel sollen unter 90 aufenander stoßen. Was seen e, wenn e auf de toßante blcen? b) we peel snd nterenander und zuenander parallel aufestellt. Was seen e, wenn e sc zwscen de beden peel stellen? c) we peel snd nterenander und benae parallel zuenander aufestellt. Was seen e nun, wenn e sc zwscen de beden peel stellen? Hnwes: Im KG III, 1. OG snd m Flur or den Räumen der Ps erscedene peel aufebaut!

2 5. cubspeelun Ene Fur wrd an der Geraden espeelt und anscleßend um erscoben. (see Abb.) (a) Ist de Reenfole zuerst speeln, dann ersceben ertauscbar? (b) Konstrueren e ene Gerade und ene Verscebun w so, dass ο V = ο V w und w st. 6. Verettun zweer Dreunen (a) Es se 1 (0,0), = 0 (6,0), β = 60. een e, dass D 1, o D, β ene Dreun D, γ st. Konstrueren e und γ. Beründen e, dass γ=90 st. (b) Berecnen e für (a) de Koordnaten on mt Hlfe on Wnelfuntonen. 1 (c) Es se 1 (0,0), = 0 (6,0), β = 70. een e, dass D 1, o D, β ene Dreun D, γ st. Konstrueren e und γ. Beründen e, dass γ=00 st. Erlären e, warum man auc mt β=-90 und γ=-60 recnen önnte. (d) Es se 1 (0,0), = 60 (6,0), β = 00. (ur enfaceren Veranscaulcun ann man erwenden D, -60 = D, 00.) Konstrueren e wederum de Abbldun D 1, o D, β und berecnen e de Daten der Abbldun. 7. Verettun on Acsenspeelun und Dreun se ene Gerade,, D, ene Dreun um mt Wnel. een e, dass (a) o D, =,wobe und, = ½, (b) D, o =,wobe und, = ½. 8. cubspeelun (a) e c, ene cubspeelun mt der peelacse und dem zu parallelen Verscebunsetor. e P en beleber Punt, P sen Bldpunt. een e, dass de Acse de trece PP ' albert. (b) Konstrueren e für de abebldeten Dreece ABC und A*B*C* de peelacse und den Verscebunsetor, mt Hlfe on (a). C B* B C* A A*

3 Ene Lösunen zu Blatt 6 Aufabe Konstruton der Abbldun: (s.nebensteendes Bld) Darstellun der Dreun durc peelun an den Acsen f, mt Wnel 0, der Verscebun durc peelun an den Acsen, mt entsprecendem Abstand, so dass und zusammenfallen. Es erbt sc ene Dreun um den cnttpunt M der Acsen f und um 60 (da f, = 0 st, Wecselwnel an Parallelen). Berecnun: 5 M f -4 Der Drewnel st 60. Es st M zu berecnen. Dazu stellen wr de Glecunen der Geraden f und auf und berecnen deren cnttpunt (Abturwssen!) teun on, und : Glecun on ( Punt-teunsform ) : Berecne : m = 1.5 = 1, 1 = + 6 tan(, = tan 1,69 1 teun on f: m = tan( + 0 tan(tan ( ) + 0 ). 0 Glecun on f: =. 0 cnttpunt on f und : 1.0 = +, elöst 1. 60, 6.0 ( 1.60). M(-1.60/.) Eate Lösun (one Rundunen) 1 6 M = 1 tan(tan ( ) + 0 ) 1 M = ( ) + 0 ) M tan(tan

4 Aufabe 5 b 1.We (enfac, benutzt atz.1 über de Verettun on zwe Verscebunen, Gesetz der Vetoraddton, trcrec?) Wr stellen de Verscebun durc ene Verscebun w mt Verscebunsetor parallel zu und ene Verscebun mt Verscebunsetor 1 senrect zu dar. De Verscebun mt dem Vetor 1 ann durc peelun an den parallelen Acsen und darestellt werden, wobe mt zusammenfällt. 1 w Es erbt sc ο V = ο ο ο V w == ο V w (s.abbldun).we (etwas omplzerter aber nct trcrec, ollzet fast wörtlc de Überleunen zum Bewes des atzes.8 über de Verettun on dre Acsenspeelunen nocmals nac.) T ' ' T ' ' ' '' ο V = o o Darstellun der Verscebun durc Acsenspeelunen = o o Dreun on (,) um, {} =,, = o o Dreun on (,) um T, {T} =,. o defnert ene Verscebun mt Verscebunsetor w parallel zu, st de esucte peelacse. o o = V w ο = ο V w (Vertauscun mölc, da w ). Der Fall, dass st, also nct estert, st tral (warum?).

5 Aufabe 6 (a)(b) 1 = 6 TAN(0 ) /( TAN(15 ) + TAN(0 )= = = TAN(15 ) = Koordnaten (,): tan(15 tan(0 6 tan(15 (6-) tan(0 ) 6(c) 1 15 = 6 TAN(45 )/( TAN(45 ) - TAN(15 )) = = TAN(15 ) = f Koordnaten (,): tan(15 tan(45 6 tan(15 (-6) tan(45 ) 15 6(d) /1 = sn(0 0,5 = = 6 γ = 90-0 =60 1 γ f

6 Aufabe 7 (a) o D, = o ( o ( o ) o ½ 7(b) D, o = ( o ) o = o ( o ½ Brauct man bem Bewes enes atzes über de mmetreacsen und Decdreunen ener bescränten Fur. Aufabe 8 (a) a=a =a = = recte Wnel PR onruent RTP PR = RP ' P a 90 a' R ' a'' 90 T P' P* 8(b) C B* MB B MC C* A MA A*