Die Algebra der Modulformen

Transkript

1 De Alebra der Moduloren

2 Inaltsübersct 1 Der Vetorrau der anzen Moduloren vo ewct : Enürun und Bestun von Denson und Bass deses Vetorraus Strutursat S 3 De Alebra der Moduloren: Enürun und rnteoretsce Forulerun des Strutursatzes S 1

3 1 Der Vetorrau der anzen Moduloren vo ewct Ernnerun: anze Modulor vo ewct Ζ eßt ene Funton : Η wobe H de obere Halbebene I z > st ür de lt: 1 st analytsc a b M cz d M Γ SL Ζ c d 3 st n Berecen der Art I > c > bescränt d es bt ene Konstante c > so dass n de Berec I >c bescränt st Außerde lt: - Ene anze Modulor verscwndet dentsc alls ür r ewct lt: st unerade < oder - Für den Fall st onstant - De Esenstenreen Ν snd anze Moduloren vo ewct De anzen Moduloren blden nun ür edes ewct Ζ enen -Vetorrau Desen Γ Dass des tatsäclc en Vetorrau st soll nun ezet werden: bezecnen wr t [ ] Seen und Moduloren vo ewct Ζ Dann st t und auc analytsc und au I > c > bescränt Zude lt: M M M cz d cz d cz d a b ür alle M Γ c d Also st auc weder ene Modulor vo ewct Se ene Modulor vo ewct und λ Dann st ebenalls λ analytsc und erüllt de Bescräntetseenscat und des Weteren lt: a b λ M λ M λ cz d cz d λ M Γ c d Also st auc λ ür edes λ ene Modulor vo ewct De übren Eenscaten we Assozatvtät Koutatvtät und Dstrbutvesetze olen unttelbar aus den Recenreeln ür Funtonen Dat st [ Γ ] nsesat en -Vetorrau Beerun und Kurzscrebwese: l I z exstert [ Γ ] Ζ und st unabän von z oder enauer: von Re I Folenden werden wr desen renzwert t bezecnen also: : l I z Γ [ ] Man erennt nct soort dass deser Les er exsteren uss und zude unabän von z st Stattdessen st en lener Uwe nöt u obe Beerun enzuseen: Man betracte dazu de Funton : * Bld t q : q πz : e 3

4 Es stellt sc zunäcst de Frae ob dese Denton Snn act denn es πz π z 1 πz π z lt a e e z und dat uss dann auc e e 1 z elten bzw nac Denton von : z 1 z Da aber ene Modulor war st obe lecun erüllt denn es lt: 1 1 z 1 z z 1 z 1 Also st so woldenert De Funton bestzt zude ene er ür uns wcte Eenscaten: Se st ene analytsce und bescränte Funton da als Modulor auc analytsc st und de üblce Bescräntetseenscat erüllt au ener punterten Kresscebe u Null Man ann also den Reannscen Hebbaretssatz anwenden aus de dann olt wobe [ Γ ] dass n Null stet ortsetzbar sen uss D also dass lq q exsteren und natürlc auc endeut sen uss Wenn an aber z : x y setzt set an dass q ür y I een Null πz π x y πx πy onverert: q e e e e x Re R y Also ann an t der Folerun aus de Reannscen Hebbaretssatz scleßen dass li z { q li z exsteren und unabän von Re sen uss nac De Wr aben also ezet dass obe Beerun tatsäclc zutrt Dat önnen wr nun au [ ] Γ ene neue Denton enüren Denton: Sptzenor vo ewct eßt ene anze Modulor [ Γ ] t : l I z Man sat auc: verscwndet n der Sptze Es lt nun dass de Sptzenoren vo ewct enen Unterrau von [ ] Unterrau bezecnen wr t [ Γ ] Dass [ ] < [ Γ ] Γ blden Desen Γ lt zet an lect: Seen und Sptzenoren vo ewct Dann st ene Modulor vo ewct und es lt: Also st auc ene Sptzenor vo ewct Se ene Sptzenor vo ewct und λ Dann st λ ene Modulor vo ewct t λ λ λ Also st λ ebenalls ene Sptzenor vo ewct ür alle λ Dat st [ Γ ] Unterrau von [ Γ ] Es olen ene Beerunen: Beerunen: 1 [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] Das Produt ener Sptzenor t ener beleben anzen Modulor st weder ene Sptzenor Γ ene Nctsptzenor so lt: [ ] [ Γ ] 3 Ist [ ] Γ Bewes: 1: Es st 1 analytsc und erüllt de Bescräntetseenscat Außerde lt:

5 Mz Mz Mz cz d 1 cz d cz d 1 z a b ür alle M Γ c d Also st Modulor vo ewct 1 1 : Se 1 Sptzenor anze Modulor Nac 1 st 1 ene Modulor Zude lt: 1 1 l I z z 3: Se [ ] ene Nctsptzenor [ Γ ] 5 Dat st 1 ene Sptzenor Γ beleb Man betracte de Funton : 13 Es lt: [ Γ ] da [ ] : c bescränt au I z> c> Γ Vetorrau st und außerde st: Also st [ Γ ] Wenn an nun obe lecun uort erält an: { [ ] Γ { c { [ ] Da [ Γ ] beleb ewält war ann an also edes [ Γ ] ene Sue darstellen und dat olt: Γ [ ] [ ] t [ Γ ] Γ Wr wollen nun versucen Bass und Denson von [ ] wr allerdns noc zwe Sätze: Satz 1: Es exstert ene anze Modulor [ Γ 1] Γ durc solc Nctsptzenor Γ zu besten Dazu benöten t z Η wobe H de obere Halbebene I z > st und wobe de Nullstelle von n notwenderwese de Ordnun 1 bestzt st also ene Sptzenor vo ewct 1 und st außerde bs au enen onstanten Fator endeut bestt Ene ölce Darstellun von st de Dsrnante: 3 71 Bewes: Wr wssen berets aus den voren Vorträen dass de Dsrnante ene Modulor vo ewct 1 st de de Satz eorderten Eenscaten bezülc rer Nullstellen bestzt Es blebt also nur de Endeutet bs au enen onstanten Fator zu zeen: Dazu betracte an zwe Moduloren ' [ Γ1] we Satz Dann lt: : [ Γ] { ' au Η denn es st analytsc und au "I>c>" bescränt da ' n nur ene Nullstelle erster Ordnun bestzt und dort ebenalls ene Nullstelle bestzt Dat st dann reulär n und aus de Reannscen Hebbaretssatz olt dann dass n ener Uebun von bescränt sen uss Zude lt:

6 1 M cz d a b M cz d M Γ 1 ' M cz d ' ' c d st also ene Modulor vo ewct Null Da dese aber alle onstant snd olt: : c ' Also lt c ' c d st endeut bs au enen onstanten Fator ϕ : Γ 1 Γ st en Vetorrau-Isoorpsus a Insbesondere st ede Sptzenor [ Γ ] darstellbar als das Produt ener Modulor vo ewct 1 t der Dsrnante : Γ 1 Satz : De Abbldun [ ] [ ] t [ ] Bewes: Aus den Beerunen 1 und olt dass ene Sptzenor vo ewct 1 1 st Man recnet ser lect nac dass de Abbldun ϕ -lnear st Zude lt: ϕ Also st Kern ϕ {} und dat st ϕ netv au H Zu Bewes der Suretvtät betracte an [ ] : [ Γ 1] { au H Γ Dann lt: denn es st analytsc und reulär n da dort nur ene Nullstelle erster Ordnun at und als Sptzenor dort ebenalls ene Nullstelle bestzt Aus de Reannscen Hebbaretssatz olt dann dass au "I>c>" bescränt sen uss Außerde lt: M cz d 1 a b M cz d M Γ 1 M cz d c d Dat st Modulor vo ewct 1 Also exstert zu eder Sptzenor [ Γ ] ene Modulor [ Γ 1] nälc : t De Abbldun ϕ st also auc suretv und dat nsesat en Vetorrau-Isoorpsus Wr oen nun zu unsere anestrebten Strutursatz der ene Bass von [ ] Forel ür de Denson deses Vetorraues leert: TeoreStrutursat: De Mene X { α β Ν α β } Zusatz: [ ] Γ und ene bldet ene -Bass von [ Γ ] Ν erade Jedes [ Γ ] endeut darstellbar als Lnearobnaton t α β α β Γ st endlc-densonal und es lt: st also

7 alls od1 1 d [ Γ ] wobe Ν erade 1 sonst 1 De Fälle Ζ t < oder unerade snd Strutursatz nct aueürt da Moduloren von dese ewct dentsc verscwnden wot dann [ Γ ] enac nur der Nullrau wäre Es olt nun der Bewes des Strutursatzes: Bewes: Wr zeen zunäcst durc vollstände Induton nac dass - Erzeuendensyste ür [ ] X en Γ st: IA: Falls st lt da Moduloren vo ewct Null onstant snd [ Γ ] und X { } {} 1 Also st X Se nun [ Γ ] beleb t > und Da ür das ewct lec Null st uss nur noc der Fall erade betractet werden: Es st edes solce darstellbar als α β t α β Ν Dese Beauptun st nälc äquvalent dazu dass edes Ν darstellbar st als α 3β t α β Ν Und alls nun erade st bestzt de Darstellun α t α Ν Sätlce uneraden Zalen snd von der For 1 t erade Da edes solce darstellbar war als α erält an ür edes der 1 ene Darstellun 1 α 1 3 Also lt obe Beauptun und dat st X ür erade χ δ Man betracte nun : c t c χ δ χ δ 13 χ δ Es st [ Γ ] da [ ] Γ darstellbar als: : c Nun de Indutonsannae: Es se χ! δ da Nctsptzenor und Nac Satz st nun X en -Erzeuendensyste ür [ ] t [ Γ 1] Γ alls < st Es soll nun ezet werden dass dann X en -Erzeuendensyste ür [ Γ ] st Aus der Indutonsannae olt dass das aus ober lecun Erzeuns von X 1 let Also st darstellbar als -Lnearobnaton von Eleenten aus X 1 : α β α β 1 Setzt an des n en und ort dann nac u so erält an: χ δ c α β α β 1 3 χ δ [ 71 ] c De von α β α β 1 7

8 3 α 3 β 71 χ δ c α β α β 1 α β 1 [ ] α β Γ [ Γ ] [ Γ ] Also st darstellbar als -Lnearobnaton von Eleenten aus X Da [ Γ ] beleb ewält war olt dann [ Γ ] X was zu zeen war Wr snd also t de ersten Tel unseres Beweses ert Als näcstes soll ezet werden dass de Mäctet von X lec der Zusatz aneebenen Zal ür de Denson st Wenn wr dann nälc noc de Rctet der Densonsorel bewesen aben wr autoatsc auc ezet dass Γ st X lnear unabän und dat ene Bass von [ ] Also zz: alls od1 1 X 1 sonst 1 t X { α β Ν α β } { α β Ν α β } de Anzal der Lösunen α β Ν von α β Wr untersceden Fälle: 1 Fall: od1 d 1n n Ν Für n und n 1 recnet an lect nac dass oben de lecet lt Se α β de! Lösun von ür : 1 Dann st ür n Ν n > 1: 1n 1 1 n 1 α β 1 n 1 α β 1 n 1 1 α 3 n β 1 α 3 n β 1 1 n 1n De lecun 1n α β bestzt also enau n 1 Lösunen α β Ν Sot lt de lecet n ober Forel ür den Fall od1 Fall: od1 t { 81} d 1n n Ν Für { 81} recnet an lect nac dass oben de lecet lt wot es dann ewels enau ene Lösun α β ür bt Des Weteren st ür n Ν n > 1: 1 n α β 1n α β 1 n 1 α 3 n β α 3 n β 1 n De lecunen 1 n α β { 81} bestzen also ewels 1n enau n Lösunen α β Ν Sot lt auc ür od1 t { 81} de lecet n ober Forel und dat also ür eden Fall Nun blebt als letztes nur noc de Rctet der Densonsorel zu zeen dann wären wr t de Bewes des Strutursatzes ert 8

9 Wr wenden dazu vollstände Induton an und untersceden weder Fälle: 1 Fall: od1 IA: Dann st [ Γ ] der Nullrau also lt: d [ Γ ] 1 IS: 1 De Densonsorel elte ür 1 Da we wr berets ezet aben de Mene X { α β Ν α β } en Erzeuendensyste von [ Γ ] st wobe und Nctsptzenoren snd exstert auc ene Nctsptzenor vo ewct zb : t α β Nac Beerun 3 lt nun: [ Γ ] [ Γ ] Nac Satz st [ Γ ] [ Γ 1] Also lt nsesat: [ Γ ] [ Γ 1] Heraus erbt sc ene Densonsorel ür [ Γ ] : d [ Γ ] d [ Γ 1] d d [ Γ 1] Aus der Indutonsannae olt dann t deser Forel: 1 d [ Γ ] und des war zu zeen Fall: od1 t { 81} IA: Dann st [ Γ ] also lt: d [ Γ ] Dann st [ Γ ] { } also lt: d [ Γ ] Dann st [ Γ ] { } also lt: d [ Γ ] Dann st [ Γ ] { } also lt: d [ Γ ] Dann st [ Γ ] { } d Γ 1 1 IS: 1 De Aussae elte ür 1 Zusaen t der Densonsorel von oben erbt sc dann: 1 d [ Γ ] d [ Γ 1] also lt: [ ] 1 Dat st der Bewes des Strutursatzes beendet Als näcstes werden wr uns t der Alebra der Moduloren bescäten 9

10 1 De Alebra der Moduloren Es lt dass de drete Sue der Vetorräue [ ] Γ ene -Alebra bldet de Alebra der Moduloren Dese bezecnen wr t Γ Α Also: [ ] : Γ Α Γ De Eleente von Γ Α snd Folen Ν t [ ] Γ Addton und Salarultplaton snd au Γ Α n üblcer Wese denert: : Ν Ν : Ν Ν λ λ ür λ De Multplaton von zwe Eleenten aus Γ Α set daeen etwas oplzerter aus: : Man ultplzert dabe ede Koponente der ersten Fole t eder Koponente der zweten wobe sc edes Mal de ewcte adderen Anscleßend suert an ür edes Ν de Telprodute t de lecen ewct au und wält dese Sue als -te Koponente des Endproduts ZB st 3 1 Es soll nun bewesen werden dass Γ Α tatsäclc ene -Alebra st: Γ Α st als drete Sue von -Vetorräuen weder en -Vetorrau Zude erüllt de Multplaton n Γ Α das Assozatvesetz: n n n n n n und es elten auc Dstrbutvesetze:

11 Also st Α Γ en Rn Folende Verträlcetseenscat recnet an lect nac: λ λ λ Dat st Α Γ ene -Alebra λ Wr wollen nun we ersten Tel ür de Vetorräue [ ] Γ auc ür Α Γ enen Strutursatz oruleren In dese Fall estaltet sc das edoc als wesentlc enacer: Teore: De Abbldun X a Polynorns über n Unbestten Y a nduzert enen -Alebrensoorpsus des [ X Y ] A φ : Γ X Y au de Alebra der Moduloren: Bevor wr desen Satz bewesen wollen wr uns zunäcst de Abbldun φ etwas enauer anseen: Da φ auc ooorp sen soll uss autoatsc ür das Abbldunsveralten von φ bzl enes Polynos X Y [ X Y ] elten: α β φ X Y φ X φ Y α β α β α β Der recte Ausdruc set nun edoc ar nct aus we en Eleent von Α Γ Wenn an n allerdns en wen uort erennt an dass er enau des st:! A Γ denn des α β α β α β α β snd Prnzp ncts anderes als verscedene Screbwesen ür de Eleente von Α Γ Dese snd also nct nur als Folen sondern auc als Suen we lns oben darstellbar Zude önnen wr ür das Abbldunsveralten von φ estalten: φ Nun zu Bewes des Strutursatzes: Bewes: φ st ooorp denn: Seen [ X Y ] Dann st φ φ φ und φ φ φ und ür λ st φ λ λ λ λ φ φ st netv denn: Se X Y [ X Y ] Dann lt: α β 11

12 φ α β α β α α β 1 α β : Γ β 3 [ ] Man nee nun an es ebe Ν t Dann lt: 1 z z und aurund des Transoratonsveraltens von Moduloren: cz d cz d z c d Ζ 1 n cz d Ν cz d z c d Ζ Wderspruc zur Annae Daer uss also elten: α β α β : Ν Strutursatz aus Tel 1 X ln unab und dat st Kern φ {} φ st suretv denn: Se A Γ Ν α β α β α β Ν t T c d { 1 1} t T c d { 11 } Nac de Strutursatz aus Tel 1 st dann edes [ Γ ] α β darstellbar als -Lnearobnaton von Monoen t α β Also st: Wenn an desen Ausdruc n de α β α β entsprecende Suenscrebwese uwandelt erbt sc: X Y φ α β α β 1 3 [ X Y ] Sot st Bldφ AΓ Also st φ en -Alebrensoorpsus De Aussae deses Satzes st dass wr anstatt Α Γ zu untersucen ebenso ut enac nur X Y betracten önnen welce uns berets beannt st Denn de Struturen de Alebra [ ] 1

13 deser beden Alebren snd dentsc und so önnen wr aus den Eenscaten von [ X Y ] au de Eenscaten von Α Γ scleßen Deentsprecend olt dass Α Γ unendlc-densonal st und als ölce Bass erbt β sc zb: { Ν } α X 13