3. Numerische Lösung der Halbleiter-Gleichungen

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1 3. Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen 3. Dskretserung der Posson-Glecung De Dskretserung von (3.) dv (ε grad ψ) st en Standardproblem der numerscen Matematk. Für rectwnklge d-gtter kann en Fünf-Punkte-Stern angewandt werden, der zu ser scnellen Algortmen sowol bem Aufstellen als auc bem Lösen der Glecungen fürt. Im allgemeneren Fall nct-rectwnklger Dreecksgtter werden Fnte-Element-Metoden (FEM) engesetzt. Da es sc um enen streng monotonen Operator andelt st de Jacob-Matr symmetrsc postv defnt und de Konvergenz der numerscen Verfaren st damt enfacer zu bewesen. Spezfsc st de numersce Integraton des Ladungsdctenterms. De Matrelemente aben de Form ~ ' mj= ( ρ, g j ) = ( ρ g, g j ) mt ρ := ~ ~' ρ = ρ g ψ wobe ~ ρ ene Appromaton von ψ durc ρ baserend auf den (b-)lnearen FEM-Bassfunktonen st. Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete / 0

2 Wält man de Quadraturpunkte n den Ecken der Rect- oder Dreecke so ergbt sc mj= 0 für j und (3.) ~ ' m = ρ ( ) ω sup( q ) ω st dmensonsabängg: ω = 0,5 / 0,5 / 0,5 für / / 3 Raumdmensonen 3. Räumlce Dskretserung der endmensonalen Kontnutätsglecungen Der snguläre Störungscarakter der Kontnutätsglecungen erfordert besondere Tecnken be der Dskretserung. Standarddskretserungen füren zu oszllatorscen Effekten auf grobmascgen Gttern. Dese Stabltätsprobleme können an folgendem Modellbespel analysert werden: (3.3) d d d d + a p = R mt dψ a = d In gewssen Berecen reduzert sc der Dfferentaloperator auf de Dfferentalglecung. Ordnung: d a d Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete / 0

3 Be der Dskretserung mt symmetrscen Dfferenzenquotenten ergbt sc für große a : (3.4) δ a m mt und m δ ( ) ( f = f + ) f ( ) = ( f ( + ) + f ( )) f ( ) De Wurzeln der assozerten carakterstscen Glecung snd n desem Fall ak und a Letztere st zwscen und, falls de Gtterwete gewsse Bedngungen n Abänggket von a erfüllt. k+ Somt st (3.4) ken stabler Integrator. Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 3 / 0

4 Der enfacste Fall enes stablen Integrators st das mplzte Euler-Verfaren: Wr betracten ene Famle von Dfferenzenverfaren, de für ser große Werte von a gegen das mplzte Eulerverfaren konvergert. Beacte: Damt snd dese Verfaren von a abängg! Unter Verwendung des Durcscnttsoperators mt enem Dskretserungsverfaren der Form (3.5) δ [ δ + a M ( a) ] p = R bzw. unter Verwendung von M ( a) m + = s( a) δ : s( a) δ + a + a m p = δ R Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 4 / 0

5 eralten wr n den Grenzfällen das mplzte Euler-Verfaren. Nac obger Defnton muss für s(a) gelten: (3.6) lm s( a) =, s(0) = 0, lm s( a) = a a De enfacste Wal für s(a) st (3.7) s(a)= sgn(a) Dese Wal fürt auf de sog. Gegenstrom-Dfferenzen-Metode (upwnd dfferences). Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 5 / 0

6 Gbt es Varanten von s(a), de auf stable und genaue Appromatonen füren? En Ansatz dafür st ene Wal, be der de Basslösungen des omogenen kontnuerlcen und des omogenen dskreten Problems überenstmmen. Für konstante Koeffzenten snd und e -a Basslösungen der kontnuerlcen Glecungen. a Durc de Wal (3.8) s( a) = cot a snd des auc Basslösungen der dskreten Glecungen. Des entsprct dem Dfferenzenverfaren a (3.9) δ γ δ + a m p = R mt γ(z) = z cot z Damt erzelt man deutlc genauere Appromatonen unseres Testproblems. Man kann bewesen, dass deser Ansatz optmale Felerscranken lefert, d.. de Felerscätzer snd nsb. unabängg von Abletungen der Koeffzenten. Z.B. st mt p( k ) als Lösung des kontnuerlcen Problems und p k Lösung der Standard-Dfferenzenglecungen am Punkt k folgende Abscätzung möglc: (3.0 ) p p ) C sup a C ( sup a k ( k ) Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 6 / 0

7 wongegen wr für de letzte Dfferenzenappromaton (3. ) p p( ) C k k 3 zegen können. C, C und C 3 snd Konstanten unabängg von den Koeffzenten und der Wal von. Obwol (3.0) ene Scranke n st kann sup a ser groß werden n Abänggket von a. Teoretsc st damt der Feler nct enscränkbar. Somt st de Abscätzung (3.) n desem Verglec, trotz reduzerter Ordnung n, das bessere Resultat. En alternatver Ansatz fürt ebenfalls auf de obge Dskretserung: Dazu betracten wr de Glecung für Φ = : (3.) u ( f u ) = q R p f st ene stark varerende Funkton, de klene und ser große Werte annmmt. (3.) st en selbstadjungerter Operator und en Stand-Dfferenzenverfaren fürt zu enem stablen Integrator für große Werte von f. Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 7 / 0

8 Allerdngs gbt es noc enen besseren Ansatz: Wr betracten den Fall mt verscwndender Generatons- /Rekombnatonsrate: (3.3) ( f u ) = 0 Somt st f u = const. = : C und wr eralten C u( + ) u( ) = + f ( t) dt Nun st en Dfferenzenverfaren der Form (3.4) fˆ u = u fˆ uk = u = q R k+ k k k+ k k k+ k k k + l + = l + l, ˆ (3.5) f f ( t) dt ( ), l = k k en Ansatz, der überenstmmende Lösungen mt den kontnuerlcen Glecungen für R = 0 bestzt. De Wal (3.6) fˆ f ( ) oder + = l+ l ˆ (3.7) f ( f ( ) + f ( ))/ = l+ l+ l mt fürt auf konventonelle Dfferenzenglecungen. (3.5) stellt en armonsces Mttel der Funkton f dar. Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 8 / 0

9 In ersten ngeneurmäßgen Ansätzen wurde de Wal pyskalsc begründet, da f enem Letwert und f - enem Wderstandswert entsprct. De Integraton für de Berecnung von (3.5) kann.a. nct eakt ausgefürt werden. Ene numersce Quadratur mt der Mttelpunktsregel fürt weder auf (3.6), de Anwendung der Trapezregel auf (3.7). Für enen eponentellen Integranden, f = e -a, gbt es bessere Formeln: l l+ at (3.8) e dt = ( ) l + l a( ) a( l ) e l+ e a( ) a( Ersetzt man das Integral n (3.5) durc dese Quadraturformel und wecselt de Varable entsprecend we m vorgen Abscntt, so erält man genau das m letzten Abscntt entwckelte Dfferenzen-Verfaren! l+ l ) Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 9 / 0

10 De obge Vorgeenswese at nteressante Aspekte: Wr aben zuerst das Integral über f - berecnet unter Berücksctgung der Egenscaften von f. En anderer Ansatz war de Verwendung enfacer Quadraturformeln mt velen Knotenpunkten. Für de Halbleter- Glecungen bedeutet des, dass das Gtter für de Posson- Glecung vel fener gewält wrd als für de Kontnutäts- Glecungen. De Integrale über e ψ und e -ψ können berecnet werden one de Anname, dass ψ lnear st auf dem Gtter der Kontnutäts-Glecungen [Slotboom, Dressen]. (3.4-8) können als Spezalfall der Generalzed Fnte Element Metod von Babuska und Osborn nterpretert werden. Damt st das Problem der Dskretserung der Kontnutäts- Glecungen n ener Raumdmenson praktsc gelöst. Leder st kene der obgen Vorgeenswese auf zwe- oder dredmensonale Dskretserungen erweterbar. Kap. 3.-: Numersce Lösung der Halbleter-Glecungen Sete 0 / 0