Grundlagen der Investitionsrechnung Grundlagen der Investitionsrechnung

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1 Grundlagen der Investitionsrechnung 27 2 Investition 2.1 Grundlagen der Investitionsrechnung Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: DiegrundsätzlichenAufgabenderInvestitionsrechnung UnterschiedlicheVerfahrenderInvestitionsrechnung Investitionsbegriffe und -arten WennesauchnichtdenbetriebswirtschaftlichenInvestitionsbegriff,sonderneineVielzahl unterschiedlicherdefinitionenhierzugibt,sosolldochzunächstdiefrageuntersuchtwer den,wasüberhauptuntereinerinvestitionzuverstehenist.handeltessichumeineinves tition, wenn ein Unternehmen Schulungsmaßnahmen zur Erhöhung der Fähigkeiten und KenntnisseseinerMitarbeiterdurchführt?GiltdasGleiche,wennUnternehmensressourcen in eine Umstrukturierung oder finanzielle Mittel in die Werbung investiert werden? OderhandeltessichnurdannumeineInvestition,wennVermögensgegenständeerworben werden,dieimlaufedernutzungsdauerabgeschriebenwerdenkönnen? Unterschiedliche Investitionsbegriffe führen zu unterschiedlichen Antworten auf diese Fragen.FolgtmandemBilanzorientiertenInvestitionsbegriff(vgl.hierzuMensch2002, S.2), so ist eine Investition eine Kapitalverwendungsentscheidung, die sich als Vermö genspostenaufderaktivseitederbilanzwiderspiegelt,währendsichfinanzierungsent scheidungeninersterliniealsdispositionderkapitalstruktur,alsoalsfragederkapi talherkunftaufderpassivseitederbilanzzeigen(vgl.abbildung2.1). Abbildung 2.1 Investition und Finanzierung in der Bilanz Aktiva Passiva Vermögensstruktur Kapitalstruktur = Kapitalverwendung = Kapitalherkunft = Investition = Finanzierung Quelle:eigeneDarstellung U. Ermschel et al., Investition und Finanzierung, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013

2 28 Investition SoführengemäßdiesemBegriffInvestitionenimmerzuVeränderungenderBilanz:Ein Aktivtausch ergibt sich bei Vermögensumschichtungen, wenn also Investitionen mit bereitsvorhandenenmittelndurchgeführtwerden,undeineaktivzeitpassivmehrung ist dann gegeben, wenn für Investitionen solche Finanzierungsmaßnahmen ergriffen werden,diezumzuflussneuerfinanziellermittelführen.ausdiesersichtwärenschu lungsmaßnahmen, Werbung oder Umstrukturierungen nicht als Investition, sondern lediglichalskostenzuinterpretieren. ZueinemanderenErgebnisgelangtman,wennmandenZahlungsorientiertenInvestitions begriffzugrundelegt:investitionenlassensichimmeralsreihevonzahlungendarstellen,die inderregelmiteinerauszahlungbeginnt(vgl.götze2008,s.5)undüberdieinvestitions dauerzueinzahlungsüberschüssenführt(vgl.abbildung2.2).untereinzahlungwirdgemäß kostenrechnerischerdefinitiondabeiderzugangliquidermittelverstanden. Abbildung 2.2 Investition als Zahlungsreihe in der Zeit Zeit -500 Quelle:eigeneDarstellung Finanzierungen hingegen lassen sich als genau gegensätzliche Zahlungsreihe darstellen (vgl. Abbildung 2.3). Hier beginnt die Zahlenreihe mit einer Einzahlung und es folgen während der Finanzierungsdauer entsprechende Auszahlungen, wobei unter Auszahlun gendemgemäßabgängeliquidermittelzuverstehensind. Abbildung 2.3 Finanzierung als Zahlungsreihe in der Zeit Zeit Quelle:eigeneDarstellung

3 Grundlagen der Investitionsrechnung 29 DerzahlungsorientierteInvestitionsbegriffistsomitweitergefasstalsderbilanzorientierte Begriff.AuchInvestitioneninWerbung,UmstrukturierungenoderSchulungsmaßnahmen führen zu Auszahlungen und werden deshalb getätigt, um zusätzliche Erlöse oder Ver minderungenderkostenzuerzielen,diesichanentsprechendeneinzahlungsüberschüssen messenlassen. Verwendet man den weiteren zahlungsorientierten Investitionsbegriff, so lässt sich eine VielzahlunterschiedlicherTypologienderInvestitionsartenaufstellen.EineÜbersichtzeigt Abbildung2.4. Abbildung 2.4 Übersicht der Investitionsarten Quelle:eigeneDarstellungnachGrob2006,S.4undZimmermann2003,S.12 BeiOlfertundReichel(2009a)findetmanfolgendeUnterscheidungskriterien(vgl.Abbil dung2.5):

4 30 Investition Abbildung 2.5 Grundstruktur der Investitionsarten Quelle:eigeneDarstellungnachOlfertundReichel2009a,S.29 DieseInvestitionsartenlassensichnunweiteraufgliedern:WährendmanunterdenBegriff derobjektbezogeneninvestitionenfinanzundsachinvestitionenfassenkann,fallenunter nicht bilanzierbare, immaterielle Investitionen solche in Werbung, Ausbildung oder For schungundentwicklung.sonstigeinvestitionenlassensichz.b.nachzeitlicherreichweite inoperative,taktischeoderstrategischeinvestitionendifferenzieren.diewirkungsbezoge neninvestitionenlassensichentsprechendabbildung2.6systematisieren. IndieserDarstellungerkenntman,dassdieGesamtheitderInvestitionen(=Bruttoinvestiti onen) sich in solche aufteilen lässt, die zur Erhaltung des Kapitalstocks notwendig sind, undsolche,diezueinererhöhungdessenführen(=nettoinvestitionen). Abbildung 2.6 Wirkungsbezogene Investitionen Nettoinvestitionen Wirkungsbezogene Investitionen Bruttoinvestitionen Ersatzinvestitionen Gründungsinvestitionen Erweiterungsinvestitionen Ersatzinvestitionen Rationalisierungsinvestitionen Umstellungsinvestitionen Diversifikationsinvestitionen Quelle:vgl.OlfertundReichel2009a,S.31

5 Grundlagen der Investitionsrechnung Investition als Entscheidungsproblem Sicherheitbedeutet,dasskeinZweifelamEintreteneinesbestimmtenEreignissesbesteht. InvestitionsentscheidungensindjedochinderRegelmitdemRisikobehaftet,dassdieange strebtenzielsetzungennichterreichtwerden.soherrschtunsicherheitbezüglichwesentlicher Faktoren wie der tatsächlichen Höhe der Einzahlungen, der Auszahlungen, der Nutzungs dauerundderentwicklungdeszinssatzes,dereinenentscheidendeneinflussaufdieprofi tabilität einer Investition hat (vgl. hierzu Däumler, Grabe 2007, S. 167). Insbesondere die PrognosedesUmsatzes,alsoderEinzahlungsseite,istschwierigundhängtdamitzusammen, inwieweiteinbetriebstypdenerwartungenseinesabnehmerkreisesgerechtwird(vgl.lieb mannetal.2008,s.438).allgemeingilt:jegrößerdieanzahlderalternativenumweltzustän de,destounkalkulierbareristdieunsicherheit(vgl.:liebmannetal.2008,s.438).diesezu ständederunsicherheitlassensichnunweiterdifferenzieren(vgl.abbildung2.7). Abbildung 2.7 Übersicht der Entscheidungssituationen Quelle:eigeneDarstellungnachOlfertundReichel2009a,S.29 SosprichtmanvonUnwissen,wenndiezukünftigenEreignisseunbekanntsind,vonUn gewissheit,wennmanzwarkenntnisüberdiemöglichenereignissehat,ihrewahrschein lichkeitenaberunbekanntsind,undvonrisiko,wennmanmöglicheereignisseundderen Wahrscheinlichkeitkennt(vgl.Thomas2005,S.29). NunwirdandenmeistangewandtenVerfahrenderInvestitionsrechnung,beidenenunter AnnahmesichererErwartungenkalkuliertwird,häufigkritisiert,dassdieangenommenen Kalküleohnehinnichtvorhersehbarsind,undhierausgefolgert,dassmansichdaherzu mindest größeren Rechenaufwand sparen kann. Dem könnte man entgegen halten, dass durchdeneinsatzderinvestitionsrechenverfahrenzumindestdiejenigeninvestitionsalter nativenausgeschlossenwerdenkönnen,dieunterderannahmedeseintretensdervoraus sagenimhinblickaufdiezielsetzungaufjedenfallineffektivundineffizientsind.diesist gegenüber den in der betrieblichen Praxis mitunter vorzufindenden Bauchentscheidun gen alsreduzierungvonunsicherheitzusehen.

6 32 Investition Die Bewertung der Investitionsalternativen und damit der Einsatz unterschiedlicher Re chenverfahrenistabhängigvomentscheidungsproblemundderquantitativenzielsetzung desunternehmensbzw.derinvestoren(vgl.olfertundpischulti2011,s.193).zweiarten voninvestitionsentscheidungenkönnensichstellen(vgl.walzundgramlich2004,s.24): 1. diebeurteilungisoliertereinzelprojekte(wahleinzelentscheidungen) 2. unddievonkombinationenunterschiedlicherinvestitionsundfinanzierungspro jektezueinemgesamtprogramm.(wahlprogrammentscheidungen) HierbeiergebensichfolgendekonkreteFragestellungen: 1. IsteineInvestitionvorteilhaft? DieVorteilhaftigkeitlässtsichentsprechendderInvestitionszieleunterschiedlichdefinieren (vgl.olfertundreichel2009a,s.72): Rentabilität: ZielderInvestorenisthiereinemöglichsthoheVerzinsungdeseingesetztenKapitals. Vermögen: DerInvestorstrebtnachReichtum.ImGegensatzzurRentabilitätliegtderFokushier aufgeldeinheiteninformvoncash. Gewinn: HierbeikannderabsoluteGesamtgewinnoderderdurchschnittlichePeriodengewinn alskriteriumherangezogenwerden. Kosten: SindeinerInvestitionkeineEinzahlungenzuzuordnen,sosinddiemitihrverbundenen KosteneinmöglichesKriteriumderBeurteilung. Amortisationsdauer: GemäßSicherheitsstrebenderInvestorenistdieAlternativevorzuziehen,diedenRück flussderverauslagtenmittelamschnellstensicherstellt. DieaufgeführtenZielestehenzumTeilimWiderspruchzueinander:Renditestreben(Rentabi lität,vermögen,gewinn)undgleichzeitiggroßesicherheit(schnelleundsichereamortisati ondeseingesetztenkapitals)gepaartmitmöglichsthoherliquidität(jederzeitigeverfügbar keitdeseingesetztenkapitals)lassensichnichtohneweiteresmiteinanderverknüpfen.siche re Investitionen sind oft unrentabel, rentable Investitionen dagegen oft langfristig und mit erhöhtem Risiko verbunden Gemäß des magischen Dreiecks, das dieses Spannungsfeld zwischen Rendite, Sicherheit und Liquidität symbolisieren soll (vgl. Abbildung 2.8), muss sichderinvestorgemäßseinerpersönlicheneinstellungpositionieren.

7 Grundlagen der Investitionsrechnung 33 Abbildung 2.8 Magisches Dreieck der Investitionsziele Quelle:eigeneDarstellung 2. WelcheNutzungsdaueristdievorteilhafteste? BeiderBeurteilungverschiedenerInvestitionsalternativenmussimVorfeldaucheineEnt scheidungüberderennutzungsdauergetroffenwerden(exante).sowohleinzelneinvesti tionen als auch Investitionsketten aus identischen oder verschiedenen Folgeinvestitionen können je nach Nutzungsdauer unterschiedlich profitabel sein, denn sobald die noch zu erwartendeneinzahlungsüberschüsseeinerinvestitiongeringersindalsdermitderwei ternutzungverbundenewertverlust,soisteineweiternutzungnichtsinnvoll. 3. WannsolleinebereitsgetätigteInvestitionersetztwerden? Diese als Ersatzproblem bekannte Fragestellung basiert auf den gleichen Zusammenhän gen,unterscheidetsichaberdarin,dasswährenddernutzungsdauerimmerwiederüber prüftwerdenmuss,obeinvorzeitigerersatzsinnvollist. Eine Übersicht über die Verfahren der Investitionsrechnung gibt Abbildung 2.9. Im Fol genden soll zur Vereinfachung nur auf die klassischen Partialmodelle im Rahmen von Einzelinvestitioneneingegangenwerden.

8 34 Investition Abbildung 2.9 Investitionsrechenmodelle unter Annahme sicherer Erwartungen Quelle:eigeneDarstellungnachWalzundGramlich2004,S.30

9 Statische Verfahren der Investitionsrechnung Statische Verfahren der Investitionsrechnung Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: GrundannahmenundVorgehenderstatischenVerfahren VorteileundSchwächenderstatischenVerfahren Grundlagen der statischen Verfahren DiestatischenVerfahrenerfreuensichtrotzgravierenderSchwächeninderPraxisnochimmer großerbeliebtheit(vgl.wöheunddöring2010,s.595).diesliegtzumgroßenteildaran,dass dieseverfahrenmitgeringemrechenaufwandverbundensindunddasseszurdurchführung wenigmathematischerkenntnissebedarf.zumanderenisteshistorischbedingt,dasichdie statischeninvestitionsrechenverfahrenausdemrechnungswesenherausentwickelthaben. ZudenStatischenVerfahrenzählendiefolgendenMethoden: Kostenvergleichsrechnung Gewinnvergleichsrechnung Rentabilitätsrechnung StatischeAmortisationsrechnung. AllengemeinsamsinddiefolgendenGrundannahmen: 1. AlsfürdieBeurteilungeinerInvestitionrelevanteDatenwerdenErgebnisgrößenwie KostenundLeistungenbetrachtet. 2. HierbeiwirdnichtdieSummedergesamtenKostenoderLeistungenüberdieNutzungs dauerbetrachtet,sonderndiesichausdenjeweiligensummenergebendendurch schnittsgrößenproperiode.dasbedeutet,dassdiesedurchschnittsperiodealsrepräsenta tivfürallezukünftigenperiodenangesehenwird(vgl.:ziegenbein1989,s.292). DerzeitlicheAnfalldermitderInvestitionanfallendenZahlungenspieltdabeikeineRolle. So ist es gemäß der statischen Verfahren gleichgültig, wann die anfallenden Kosten und Leistungen innerhalb der Investitionsdauer realisiert werden. Die beiden in Tabelle 2.1 dargestellteninvestitionsalternativenwerdensomitalsgleichwertigbetrachtet: Tabelle 2.1 Zeitlicher Anfall von Zahlungen zweier Investitionen Quelle:eigeneDarstellung

10 36 Investition AuseinfachenökonomischenÜberlegungenherausliegtesaufderHand,dasspotenziellen InvestorenAlternativeAlieberwäre:BeiAlternativeAsinddurchdiehöhereRückzahlung in t = 1 geringere Finanzierungskosten zu leisten oder ein höherer Zinsertrag in t = 2 zu erwartendergrundfürdievorteilhaftigkeitvonalternativealiegtinderfinanzmathe matik bzw. der Zinsrechnung. Dies lässt sich aber im Rahmen der statischen Verfahren nichtabbilden,wasauchschoneinenkritikpunktandiesenverfahrenvorwegnimmt Kostenvergleichsrechnung Vorgehensweise bei der Kostenvergleichsrechnung DieKostenvergleichsrechnungkanndannzurAnwendungkommen,wennesumdieBeur teilungsolcherinvestitionengeht,denenentwederkeineerlösezugeordnetwerdenkönnen oderderenerlösegleichsind.sowürdezumbeispieldieanschaffungeinerreinigungs maschinefürdieproduktionshalleneinesindustriebetriebeskeineammarktverwertbaren Leistungenerbringen.Voraussetzungdabeisollteabersein,dassdieQualitätderdurchdie InvestitionsalternativenermöglichtenLeistungenidentischist. GrundaussagedesKostenvergleichsist,dassInvestitionAderInvestitionBdannvorzu ziehenist,wenngilt(vgl.hierzuundim FolgendenOlfertundReichel(2009a,S.150ff.), sowierautenberg(1993,s.93ff.)): KA KB (2.1) mit: K A=DurchschnittlicheGesamtkostenproPeriodedurchInvestitionA K B =DurchschnittlicheGesamtkostenproPeriodedurchInvestitionB DieseKostenlassensichweiterinfixeundvariableBestandteileaufgliedern: K f v f v A K A K B K B (2.2) mit: f K A und f KB als fixe Kostenbestandteile und deralternativenaundb. v K A und v KB als variable Kostenbestandteile BeiderErrechnungderfixenundvariablenBestandteilesindfolgendeGrößenzuerfassen: AlsvariableKosteneinerInvestitionsalternativesinddiespezifischfürsieanfallenden AufwendungenfürLöhne,MaterialoderEnergieverbrauchzuerfassen.Siewerdenim Folgendenmit Kv bezeichnetundbeziehensichimmeraufdiedurchschnittsperiode. AlsfixeKostensinddiemitderInvestitionverbundenenspezifischenFixkostenwie z.b.solche,diesichdurchwartungsverträgeo.ä.ergeben,sowiediefüralleinvestiti onenanfallendenkalkulatorischenzinskostenundabschreibungenzuerfassen.

11 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 37 Erfassung der Abschreibungen: Grundsätzlich wird von linearer, kalkulatorischer Ab schreibungausgegangen.dieanschaffungskostenwerdendamitgleichmäßigaufdieein zelnenjahredernutzungverteilt(vgl.weberundweißenberger2006,s.415),wobeidie dabei zu Grunde gelegte Nutzungsdauer nicht technisch, sondern wirtschaftlich bedingt festgelegtwird. SoergibtsichalsAbschreibungderPeriode(AfA): I L AfA= (2.3) n mit: I=Anschaffungswert,L=Restwert,n=Nutzungsdauer ErfassungderZinsen:BasisderErrechnungder(kalkulatorischen)ZinseneinerInvestition istdasdurchschnittlichproperiodegebundenekapital(vgl.abbildung2.10). Abbildung 2.10 Durchschnittlich gebundenes Kapital durch eine Investition Quelle:eigeneDarstellung SomiterhältmanhierfürfolgendenAusdruck: I+L Durchschnittskapital = (2.4) 2 HierausergebensichalsZinskosten: I+L Zinskosten = i (2.5) 2

12 38 Investition Fasst man nun die spezifischen Kosten einer Investition und die Zinsen und Abschrei bungen zusammen, so sind die Durchschnittskosten K durch folgenden Ausdruck dar stellbar: IL I L K=Kf ikv (2.6) n 2 DasBeispielausTabelle2.2verdeutlichtdasVorgehen. Tabelle 2.2 Kostenvergleich zweier Anlagen Quelle:eigeneDarstellung DerVergleichzweierInvestitionenmitunterschiedlicherNutzungsdauerstelltkeinProb lemdar,wennmandavonausgeht,dassnachabschlussderinvestitionmitderkürzeren NutzungsdauereinezumindestgleichwertigeAnschlussinvestitiongetätigtwerdenkann, diedannmindestenszugleichniedrigenkostenverläuft.daherkannmanbeimvergleich derinvestitionenvondurchschnittlichenkostenproperiodeausgehen.

13 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 39 Kostenvergleich beim Ersatzproblem EinehäufigeAnwendungssituationderKostenvergleichsrechnungstelltdasErsatzprob lemdar.hieristdiefragezuklären,obeinebereitsdurchgeführteinvestitioneinewei tereperiodefortgeführtoderobeineersatzinvestitiongetätigtwerdensollte.zieldieses Investitionscontrolling ist die Revision der Zielerreichung über die Restnutzungsdauer durch Anpassungsentscheidungen zur Gegensteuerung (vgl. Heyd 2000, S.76). So ver gleicht man die Kosten einer neuen Investitionsalternative (neue Anlage), die auf die bereitsgezeigtearterfasstwerden,mitdenendervorhandeneninvestition(alteanlage), wobeidieseausdenspezifischenfixenundvariablenkosten,denfürdienächsteperiode anfallendenzinsendesgebundenenkapitalsunddemimlaufdernächstenperiodezu erwartenden Wertverlust bestehen. Existiert zum Zeitpunkt der Prüfung kein Restwert für die alte Anlage mehr, so ist zu klären, ob gilt (vgl. im Folgenden Rautenberg 1993, S.109ff.): N N N N I L I L K K K i+k n 2 A A N N f v f v mit: =spezifischefixkostenderaltenanlage K A f A Kv =spezifischevariablekostenderaltenanlage N K f N Kv N I =spezifischefixkostenderneuenanlage =spezifischevariablekostenderneuenanlage =AnschaffungswertderneuenAnlage N L =RestwertderneuenAnlage (2.7) IstdiesderFall,soistdiebisherigeInvestitionfortzuführen. Existiert zum Zeitpunkt der Prüfung jedoch bei der alten Anlage ein Restwert, so ergibt sichfolgenderzusammenhangzurklärung: A A A A A Lo L1 A K f ( Lo L1) ikv 2 N N N N N I L I L K f ik n 2 N v (2.8) mit: L =RestwertderaltenAnlagezumaktuellenZeitpunkt A 0 A L1 =RestwertderaltenAnlagezumEndedernächstenPeriode

14 40 Investition IstdiesderFall,soistauchhierdiebisherigeInvestitionfortzuführen.Dasnachfolgende Beispiel (vgl. Tabelle 2.3) soll das Vorgehen des Kostenvergleichs beim Ersatzproblem verdeutlichen. Tabelle 2.3 Kostenvergleich beim Ersatzproblem Quelle:eigeneDarstellung ImBeispielistdieBeibehaltungderaltenAnlagefüreinweiteresJahrkostengünstiger. Unterschiedliche Kostenstruktur BeimVergleichalternativerAnlagenspieltdiegeplanteKapazitätsausnutzungeinewichti ge Rolle. Unterscheiden sich zwei Investitionen in ihrer Kostenstruktur, so lässt sich für jedeinvestitioneinnutzungsbereichangeben,innerhalbdessensiediegünstigerealterna tiveist.folgendesbeispielveranschaulichtdies(vgl.hierzurautenberg1993,s.93ff):

15 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 41 SeiendieKostenfunktionenderInvestitionen1und2durchfolgendeAusdrückegegeben: K 1= ,39X und K 2= ,50 X Manerkennt,dassmitInvestition1imVergleichzuInvestition2zwargeringereFixkosten, dafüraberhöherevariablestückkostenverbundensind. Abbildung 2.11 Ermittlung der kritischen Menge Quelle:eigeneDarstellung SounterscheidensichbeideKostenfunktioneninAchsenabschnittundSteigungundhaben damiteinenschnittpunkt.setztmanbeidefunktionengleich,soerhältmandiesenpunkt gleicher Kosten (kritische Menge) für die Ausbringungsmenge X=7.944 (vgl. Abbildung 2.11).DerInvestormussalsoplanen,welcheKapazitäteraufDauernutzenwird,ument scheidenzukönnen,welcheinvestitionfürihngünstigerist Gewinnvergleichsrechnung Nurdann,wenn beialleninvestitionsalternativenderzurechenbarenettoerlösprostück gleich ist, sowie die Produktions und Absatzmenge ebenfalls nicht von der Alterna tivenwahlabhängt,stimmenkostengünstigsteundgewinngünstigstealternativeüberein (Troßmann1998,S.95).FürdenFall,dassdieseBedingungennichterfülltsind,istdieKos tenvergleichsrechnungalsonichtanwendbar.hiersetztdiegewinnvergleichsrechnungan, diedieerweiterungderkostenvergleichsrechnungumdieerfolgsseitedarstellt.quantita tiveundqualitativeunterschiedevoninvestitionsalternativen,diesichinunterschiedlichen Erlösenwiderspiegeln,werdendurchdiesesVerfahrenerfasst.

16 42 Investition Vorteilhaftigkeitskriterium ist somit der durchschnittliche Periodengewinn der Alternati ven.ererrechnetsichwiefolgt(vgl.hierzuundimfolgendenrautenberg1993,s.101ff.): G EK (2.9) mit G=Periodengewinn,E=Periodenerlös undk=durchschnittlicheperiodengesamtkosten Dieslässtsichdetailliertdarstellen,indemmanvomErlös(=PreisMenge)dieausder KostenvergleichsrechnungbekanntenKostensubtrahiert: IL I L G=PXKf ikv (2.10) n 2 mit P=PreisundX=Menge Tabelle 2.4 Gewinnvergleich zweier Investitionen

17 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 43 Quelle:eigeneDarstellung DasinTabelle2.4dargestellteBeispielsolldasVorgehenveranschaulichen.Manerkennt, dass die Kostennachteile, die mit Anlage 1 verbunden sind, durch die erheblich höheren Erlöse mehr als kompensiert werden und man sich nach Gewinnvergleichsrechnung für dieseinvestitionentscheidenwird Rentabilitätsvergleichsrechnung Vorgehensweise bei der Rentabilitätsvergleichsrechnung Steht nicht mehr die absolute Höhe der durchschnittlichen Periodengewinne im Vorder grund,sondernsolleinemöglichsthoheverzinsungdeseingesetztenkapitalserzieltwer den,sobietetsichalsmethodezurfeststellungdervorteilhaftigkeitvoninvestitionsalter nativen die Rentabilitätsrechnung an (vgl. hierzu im Folgenden Rautenberg 1993, S ). In dem der zu erzielende Gewinn ins Verhältnis zum investierten Kapital gesetzt wird,dererfolgalsoinrelationzumeinsatzbewertetwird,berücksichtigtdiesesverfah ren,dasskapitalnichtunbeschränktverfügbarist. Vorteilhaftigkeitskriterium:DieimRahmenderRentabilitätsrechnungermittelteVerzin sung(r)deseingesetztenkapitalseinerinvestitionwirdbeiverwendungvoneigenkapital mit der Verzinsung verglichen, die sich durch im Risiko vergleichbare Anlage auf dem Kapitalmarkt ergeben würde. Findet Fremdkapital zur Finanzierung der Investition An wendung, so wird mit dem hierfür zu zahlenden Fremdkapitalzinssatz verglichen. Wird durcheigenundfremdkapitalfinanziert,musseinentsprechendermitteltermischzinssatz aus Eigenkapitalzinssatz und Fremdkapitalzinssatz als Vergleich herangezogen werden (ÜblicherZinssatzisthierbeidersog.WACC(WeightedAverageCostofCapital).Verglei chehierzugroll(2003,s.40ff.)). SomitergebensichfolgendeEntscheidungsregeln: 1. GiltfürdieermittelteRentabilitätr: rvergleichszinssatz,soisteineinvestitionvorteilhaft. 2. LiegenmehrereAlternativenvor,soistdiemitderhöchstenRentabilitätzuwählen, sofernfürsiedieunter1.genanntebedingungerfülltist.

18 44 Investition Errechnung der Rentabilität: Als Gewinngröße dient der aus der Gewinnvergleichsrech nungbekannte Ausdruck. Da abermit den jeweiligen Kapitalkosten verglichen wird, die vonunternehmenzuunternehmenjenachkapitalstrukturunterschiedlichhochseinkön nen, dürfen diese Kapitalkosten in der Gewinnermittlung nicht bereits abgezogen sein. Fallsdoch,mussderentsprechendeGewinnumdieZinskostenwiedererhöhtwerden(= GewinnvorZinsen). Tabelle 2.5 Rentabilitätsvergleich zweier Investitionen Quelle:eigeneDarstellung

19 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 45 Als Kapitalgröße kommt gemäß Durchschnittsprinzip der statischen Verfahren nur das durchschnittlichgebundenekapitalinfrage.soergibtsichzurerrechnungderrentabili tätrfolgenderausdruck: I L P X K f K r= n I L 2 v (2.11) bzw.andersdargestellt: r I L n (2.12) I L 2 P X K f Kv DasBeispielinTabelle2.5zeigtdieSystematik. Ergänzungsinvestitionen bei unterschiedlichen Anschaffungswerten In Tabelle 2.5 fällt auf, dass die beiden miteinander verglichenen Investitionen in ihren Anschaffungswertenstarkdifferieren.SolleinVergleichaussagekräftigsein,somuss(zu mindestbeieinsatzvoneigenkapital)beierrechnungderrentabilitätenbeachtetwerden, mitwelchemzinssatzderdifferenzbetragderanschaffungswerte(hier )angelegt werdenkann.wasnutztesschließlich,wenneinteildeszurverfügungstehendenkapi tals zwar über die Investition rentabel verzinst wird, der übrige Teil des Kapitals aber brachliegt?esmusssomiteineergänzungsinvestitionüberdendifferenzbetraginskal kül einbezogen werden (vgl. Tabelle 2.6). Eine denkbare Variante ist beispielsweise die AnlageamGeldbzw.Kapitalmarkt. Tabelle 2.6 Rentabilitätsvergleich mit Ergänzungsinvestition

20 46 Investition Quelle:eigeneDarstellung Statische Amortisationsrechnung Steht für den Investor aufgrund von Sicherheitsstreben die Frage im Vordergrund, wie langeesdauert,bisdiedurcheineinvestitionverauslagtenmittelwiederüberdenerlös prozessinsunternehmenzurückfließen,lässtsichalsmessinstrumentdieamortisations daueranwenden(vgl.hierzurautenberg1993,s ).HierbeisindverschiedeneAn sätzemöglich: Betrachtet man die erwarteten Periodengewinne in ihrer absoluten Höhe im zeitlichen Ablauf, so kann man die Amortisationsdauer durch Gegenüberstellung der kumulierten Durchschnittsgewinne (vor Abschreibungen) mit der Anschaffungsauszahlung ermitteln (vgl.abbildung2.12).

21 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 47 Abbildung 2.12 Ermittlung der Amortisationsdauer durch Kumulation der Periodengewinne Quelle:eigeneDarstellung Manerkennt,dassdieAmortisationsdauerimBeispiel3Jahreund6Monatebeträgt. Als einzigesderpraktikerverfahrenschautdieamortisationsrechnung auchpayoffmethode genannt über den Tellerrand einer repräsentativen Einzelperiode hinaus (Wöhe und Döring 2010, S.598). Die gilt allerdings nicht uneingeschränkt, wenn die Amortisations dauer(wieinformel2.13bzw.2.14dargestellt)dadurchermitteltwird,dassdieanschaf fungsauszahlunginsverhältniszumdurchschnittlichenperiodengewinngesetztwird. I t* Amortisationsdauer = (2.13) G+AfA I L G=PXKvKf i (2.14) 2 DieAbschreibungenwerdenauchindieserVariantedemGewinnwiederhinzugerechnet, dasienichtzuauszahlungenführen.isteineinvestitionnurdurcheigenkapitalfinanziert, so dass es zu keinen Auszahlungen für Zinsen kommt, oder möchte man nur die reine

22 48 Investition operative Ertragskraft der Investition über die Amortisationszeit messen, so kann als Er tragsgrößeauchdergewinnvorzinsenverwendetwerden.tabelle2.7zeigtdasverfah renambereitsbekanntenbeispiel. Tabelle 2.7 Amortisationsrechnung zweier Investitionen Quelle:eigeneDarstellung DiemaximaleAmortisationsdauerist(imZusammenhangmitdemgewähltenVerfahren) durchdiediesbezüglichenvorstellungenderinvestorenfestgelegt.istdie Amortisations dauerjedochlängeralsdienutzungsdauer,soreichtdiesenichtaus,umdieverauslagten MittelwiederinsUnternehmenzurückfließenzulassen.DieInvestitionistdannmitVer lustverbunden.

23 Dynamische Investitionsrechenverfahren 49 In beiden oben dargestellten Varianten wurde den Periodengewinnen die Anschaffungs auszahlunggegenübergestellt.manfindetaberauchhäufigdenansatz,dieanschaffungs auszahlungbeiderberechnungderamortisationsdauerumdennachablaufderinvestiti onsdauer zu erwartenden Restwert zu reduzieren. Hierfür spricht, dass die Realisation dieses Restwertes i. d. R. nicht vom Investitionserfolg abhängig und daher mit weniger Risikobelastetist.Dagegensprichtallerdings,dassauchdieserRestwertzumgebundenen KapitalzähltunderalsEinzahlungsüberschussinterpretierbarist,dererstzumEndeder Investitionsdauererfolgt. 2.3 Dynamische Investitionsrechenverfahren Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: dieübertragungdesbarwertprinzipsaufdieinvestitionsrechnung dassdieunterschiedlichenverfahrenverschiedenenzielsetzungenderinvestorenent sprechen dassinvestitionsdauerentscheidungeneinflussaufdieprofitabilitätvoneinzelinvesti tionenundinvestitionskettenhaben deneinflussvonsteuernaufdievorteilhaftigkeitvoninvestitionen Einführung in die dynamische Investitionsrechnung DassogenannteBarwertprinzip(vgl.hierzuKap.1)istdiezentraleBasisdermehrperiodi scheninstrumentederwirtschaftlichkeitsrechnung.essolldaherimfolgendennochmals kurzthematisiertwerden(vgl.hierzuauchzimmermann2003,s.43ff.). UnterscheidensichzweiInvestitionen,diejeauseinerAuszahlungundeinerEinzahlung bestehen, nur durch die Reihenfolge dieser Zahlungen, so führt dies durch die Durch schnittsbildungindenstatischeninvestitionsrechenverfahrennichtzueinerunterschiedli chenbewertungderalternativen,obwohlesaufderhandliegt,dasseininvestordiein vestitiontätigenwird,diemiteinereinzahlungbeginnt(spezialfall:kaufeinesnutzfahr zeugsbeispätererzahlung).esistdahernotwendig,denzeitpunktderzahlungenindie Berechnung einzubeziehen. Die Quantifizierung der zeitlichen Unterschiede von Zahlun gengeschiehtdurchverzinsung.verleihtmanz.b.einengeldbetrag,so: verzichtetmanaufliquidität, kannindieserzeitkeinengewinnmitdemgelderwirtschaften undhatüberdiesdasrisiko,denverliehenenbetragnichtzurückzuerhalten. DerPreisfürdieseNachteileistderZins,wobeidieVerzinsungnormalerweiseumsogrö ßerist,jelängermanaufeineZahlungwartet.EinemBetragK0(dieNullstehtfürdenjetzi

24 50 Investition genzeitpunkt)entsprichtalsoeindurchverzinsunghöhererbetragk1(dieeinsstehtz.b. fürdenzeitpunktnacheinemjahrodereinerperiode)oderumgekehrtbetrachtetistder BetragK1aufdenjetzigenZeitpunktbezogengenauK0wert(s.Abbildung2.13).Damitist K0derBarwertderZahlungK1. Abbildung 2.13 Indifferenz zweier Zahlungen zu zwei Zeitpunkten Quelle:eigeneDarstellung Definition: DerBarwerteinerinZukunftliegendenZahlungistderBetrag,derdieserzukünftigenZahlung heuteentspricht. EntschließtsicheinUnternehmen,GeldfüreineInvestitionzuverwenden,sostehti.d.R. amanfang(t=0)eininvestitionsbetrag(i 0 ),demüberdielaufzeitderinvestitionentspre chendeeinzahlungsüberschüsse(z t )folgen. EineÜbertragungdesBarwertprinzipsaufdieInvestitionsrechnungbedeutetnun,dassdie unterschiedlichen Zeitpunkte der Zahlungen zu unterschiedlicher Bewertung dieser füh ren.umdievorteilhaftigkeiteinerinvestitionbeurteilenzukönnen,müssendeshalballe mitihrverbundenenzahlungenaufeinenzeitpunktbezogenwerden.diehiermiterreichte AussagekraftderVerfahrenistmiterheblichgrößeremRechenaufwandverbundenalsdie Durchführung der Statischen Verfahren. Als Einwand gegen die dynamischen Verfahren wird deshalb häufig angeführt, dass diese aufgrund ihrer Komplexität in der Unterneh menspraxiseherseltenanwendungfinden.diesemeinwandmussaberentgegengehalten werden, dass die Qualität eines Messinstrumentes nicht dadurch schlechter wird, dass

25 Dynamische Investitionsrechenverfahren 51 seine Anwendung Entscheidungsträgern zu aufwendig erscheint. Insofern sollte denjeni gen,diediefragestellen,werdenninderpraxissorechnet,entgegnetwerden,dassdies zumindestdiebesserinformiertensind.inzeitenschwierigermarktbedingungenistesim Interesse der Unternehmen, im Sinne einer entscheidungsorientiertenbetriebswirtschafts lehreinstrumentezurverfügungzuhaben,diezueinerverminderungdesunternehmens risikosdurchqualitativbessereinformationenbeitragen.soistesnichtverwunderlich,dass in den vergangenen Jahrzehnten ein verstärkter Einsatz der dynamischen Verfahren zu vermerkenist(vgl.blohmetal.2006,s.44) Kapitalwertmethode Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und jährlicher Verzinsung DerGrundgedankederKapitalwertmethodeist,dassalleEinzahlungenundalleAuszah lungen,diedurcheineinvestitionverursachtsind,aufdenzeitpunkt0mitdemkalkulati onszinssatz des Investors abgezinst werden. Ist die Differenz der so erhaltenen Barwerte derzahlungengrößeralsnull,soistdieinvestitionfürdeninvestorvorteilhaft(vgl.hierzu imfolgendenzimmermann2003,s.77ff.). DieDurchführungeinerInvestitionbeginntinallerRegelmiteinerAnschaffungsauszah lungzumzeitpunkt0(i 0 ).ImLaufederNutzungsdauer(n)entstehenwährendderPerio den (t) Einzahlungen (e t ) und Auszahlungen (a t ), die sich zu Einzahlungsüberschüssen (z t =e t a t )zusammenfassenlassen.amendedernutzungsdauernkanneinrestwertder Investition(L n )vorhandensein,derwieeinezusätzlicheeinzahlungzubetrachtenist.bil det man nun die Differenz der Barwerte aller Ein und Auszahlungen, so lässt sich der KapitalwerteinerInvestitionsodarstellen: t C0 I0 ztq Lnq t =1 mitq=1+i n n (2.15) SomitbringtderKapitalwertdiezuerwartendeErhöhungoderVerminderungdesGeld vermögensbeigegebenemverzinsungsanspruchinhöhedeskalkulationszinssatzesiund wertmäßigaufdenbeginndesinvestitionszeitraumsbezogenzumausdruck(vgl.blohm etal.2006,s.51).diesummederabgezinsteneinzahlungsüberschüsse(inklusiverestwert) wirdauchalsertragswertebezeichnet,wobeidieserbegriffirreführendist,daessichhier nichtumabgezinstegewinne,sondernumabgezinstecashflowshandelt.graphischlässt sich dieser Sachverhalt folgendermaßen darstellen (Abbildung 2.14). Somit ergeben sich fürdenkapitalwertdreimöglichefälle:

26 52 Investition Abbildung 2.14 Ertragswert einer Investition Quelle:eigeneDarstellung SomitergebensichfürdenKapitalwertdreimöglicheFälle: 1. DerErtragswertEderInvestitionistgrößeralsdieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.15): EI0 C0 0 DieInvestitionistalsovorteilhaft 2. DerErtragswertEderInvestitionistkleineralsdieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.16): EI0 C0 0 DieInvestitionistalsonichtvorteilhaft. 3. DerErtragswertEderInvestitionistgenausogroßwiedieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.17) EI0 C0 0 FinanzanlageundSachinvestitionsindgleichwertig.

27 Dynamische Investitionsrechenverfahren 53 Abbildung 2.15 Positiver Kapitalwert Quelle:eigeneDarstellung Abbildung 2.16 Negativer Kapitalwert Quelle:eigeneDarstellung

28 54 Investition Abbildung 2.17 Kapitalwert in Höhe Null Quelle:eigeneDarstellung FürdenFallkonstanterEinzahlungsüberschüsse(zt=z=konstant)lässtsichderAusdruck für den Kapitalwert unter Zuhilfenahme des nachschüssigen Rentenbarwertfaktors (s.kap.1)wiefolgtvereinfachen(formel(2.16))(vgl.hierzuzimmermann2003,s.93): n q 1 C0 I0 z L n n q q i n (2.16) Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und unterjährlicher Verzinsung AuchhierkannaufKap.1verwiesenwerden(vgl.hierzuundimFolgendenauchPeters 2009,S.82ff.).ErfolgtdieVerzinsungaufeinJahrsogiltAusdruck(1.3),beinJahrengilt Ausdruck(1.6). BeiderÜbertragungdiesesZusammenhangesaufdieErrechnungdesKapitalwertesmuss mannundavonausgehen,dassdiejährlicheneinzahlungsüberschüssenachihremeingang unterjährlich verzinst werden, bzw. bei der Ermittlung des Barwertes des Ertragswertes muss auch unterjährlich abgezinst werden. Somit ergibt sich hier für den Kapitalwert (Formel(2.17)): n i i C0 I0 z t 1 L n 1 m m t =1 mt mn (2.17)

29 Dynamische Investitionsrechenverfahren 55 Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und stetiger Verzinsung FürdiestetigeVerzinsung.giltgleicheswiefürdieunterjährigeVerzinsung.DieBerech nungerfolgteinkap.1nachausdruck(1.11)(vgl.hierzuundimfolgendenauchpeters 2009,S.89). Bei der Übertragung dieses Zusammenhanges auf die Errechnung des Kapitalwertes muss nun davon ausgegangen werden, dass die jährlichen Einzahlungsüberschüsse nach ihrem Eingang stetig verzinst werden, bzw. bei der Ermittlung des Barwertes des Ertragswertes mussauchstetigabgezinstwerden.somitergibtsichhierfürdenkapitalwert(formel(2.18)): n it it C0 I0 zt e L ne t =1 (2.18) Kapitalwert bei stetiger Zahlung und stetiger Verzinsung Bisher wurde vereinfachend angenommen, dass die Einzahlungsüberschüsse einmal im Jahr, und zwar am Ende des Jahres erfolgen. Diese Annahme ist jedoch realitätsfremd. Vielmehristdavonauszugehen,dasssichsowohlEinalsauchAuszahlungenmehroder wenigergleichmäßigüberdasjahrverteilen.dieverzinsungdereinzahlungsüberschüsse muss diesem kontinuierlichen Zahlungsstrom angepasst werden. Dies kann über die Be trachtungdeskapitalwertesbeistetigerzahlungundverzinsungmethodischerfasstwer den(vgl.hierzuauchrödderetal.1997,s.173). Abbildung 2.18 Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei jährlicher Zahlung z*e t i*t Quelle:eigeneDarstellung Schließlichistanzunehmen,dassz.B.einHandelsbetrieb,derineineKühlthekeinvestiert, dasganzejahrübermitrückflüssenausdemverkaufseinerkühlwarerechnenkann.will

30 56 Investition man diesen stetigen Zufluss der Einzahlungsüberschüsse in das Modell integrieren und geht man dabei von stetiger Verzinsung aus, so kann man den Wert des Kapitalwertes durchfolgendenzusammenhangherleiten: DieBarwertedereinzelnenjährlicherfolgtenEinzahlungsüberschüssebeistetigerVerzin sungsindinabbildung2.18veranschaulicht. D. h. der Wert z.b. des zweiten Einzahlungsüberschusses ist durch den Ausdruck (2.19) gegeben: Barwert z e (2.19) i2 2 1 TeiltmandenzweitenEinzahlungsüberschussin2gleichgroßeTeilzahlungenzudenZeit punktent=1,5undt=2auf,soändertdasdiedarstellungwiefolgt(abbildung2.19): Abbildung 2.19 Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei zwei gleichen Teilzahlungen z*e t i*t Quelle:eigeneDarstellung D. h. der Wert des zweiten Einzahlungsüberschusses ist jetzt durch den Ausdruck (2.20) gegeben: Barwert z e 0,5 z e 0,5 (2.20) i1,5 i2 2 2 VerkürztmandieIntervallezwischendenTeilzahlungen,alsoteiltmanz2in(infinitesimal kleine) viele Teilzahlungen, so erkennt man, dass jetzt der Barwert des zweiten Einzah lungsüberschussesdurchdieflächeunterderkurvegegebenist(abbildung2.20):

31 Dynamische Investitionsrechenverfahren 57 Abbildung 2.20 Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei vielen kleinen gleichen Teilzahlungen d t e r* t * Quelle:eigeneDarstellung D. h. der Wert des zweiten Einzahlungsüberschusses ist jetzt durch den Ausdruck (2.21) gegeben: 2 it 2 (2.21) t1 Barwert z e dt Bei der Übertragung dieses Zusammenhanges auf die Errechnung des Kapitalwertes muss manalsonundavonausgehen,dassdiestetigeingehendenteilzahlungendereinzahlungs überschüssenachihremeingangstetigverzinstwerden,bzw.beiderermittlungdesbarwer tesdesertragswertesderteilzahlungenmussauchstetigabgezinstwerden.somitergibtsich hierfürdenkapitalwert(formel(2.22)(vgl.hierzuauchzimmermann2003,s.379): n C0 I0 it in zt e dtlne (2.22) t0 Für die Annahme konstanter Einzahlungsüberschüsse (zt = z) lässt sich Ausdruck (2.22) wesentlichvereinfachen: Die Stammfunktion von man: n it in C0 I0 z e dtln e t 0 it e ist i 1 e it (2.23). Setzt man dies in Ausdruck (2.23) ein, so erhält 1 it n in C0 I0 z( i e ) L 0 n e (2.24)

32 58 Investition SetztmandieobereGrenzenunddieuntereGrenze0indieStammfunktionein,solässt sichausdruck(2.24)durcheinigeumformungeninausdruck(2.25)überleiten: in e 1 C0 I0 z L in n e i e in (2.25) Sonderfall Ewige Rente EinensehreinfachenFallstelltdieErrechnungdesKapitalwertesunterderAnnahmeder unbegrenztennutzungsdauerdar(vgl.zimmermann2003,s.92 94).DieserFallwirdnun wieder mittels der vereinfachenden Annahme jährlicher Zahlung und Verzinsung darge stellt.folgendesbeispielsolldiesverdeutlichen: EinInvestorerwägtdenKaufeinesGrundstücksfür ,daserfürunbegrenzteDau erverpachtenkann.alspachtwerdenprojahr erwartet.derzinssatzbeianlage der aufdemkapitalmarktbeträgt5,64%.errechnetunserinvestordenkapital wertseinerinvestition(beijährlicherzahlungundjährlicherverzinsung),sogehtervon der bekannten Formel für den Kapitalwert bei konstanten Einzahlungsüberschüssen aus (s.ausdruck(2.26)): q 1 C0 I0 z L n n q q i n n (2.26) DieslässtsichumformeninAusdruck(2.27): n q q n q 0 0 n n 1 C I z L n q i q n (2.27) Herauskürzenvonq n ergibt(ausdruck(2.28)): 1 n 1 q 1 C0 I0 z Ln (2.28) i n q Da man von unbegrenzter Nutzungsdauer ausgeht, wird n unendlich groß. Damit wird auchq n unendlichgroß,daqgrößerals1ist,undsomitnimmtdergrenzwertvon1/q n den Wert0an.DamitvereinfachtsichAusdruck(2.28)undderKapitalwertbei EwigerRente istwiefolgtgegeben(ausdruck(2.29)): z C0 I0 (2.29) i ImobigenBeispielbeträgtderKapitalwertsomitca KonsumierteinInvestoralso nur die Zinsen, die er aus seiner Investition kontinuierlich erhält, so hält die Investition theoretisch ewig.

33 Dynamische Investitionsrechenverfahren 59 Kapitalwert und Steuern das Steuerparadoxon SteuernaufdasEinkommenunddenErtragminderndenTeildesGewinns,derdenInves torenübrigbleibt.nunscheintesaufderhandzuliegen,dasseineberücksichtigungder SteuerneinedenKapitalwertminderndeWirkunghat.Diesmussabernichtsosein.Das folgende(starkvereinfachende)beispielsollveranschaulichen,dassdurchdieeinrechnung vonsteuerneinbishernegativerkapitalwertpositivwerdenkann,dassdurchdeneinfluss dersteuernalsoeinebisheralsnichtvorteilhafteinvestitionalsvorteilhafteingestuftwer denkann(vgl.götze(2008,s.134),sowiehutzschenreuter(2009,s )). Beispiel:FüreineInvestitionsindfolgendeDatengegeben: I i = 12% z = n = 4 L4 0 (a)errechnungdeskapitalwertesohnedieberücksichtigungvonsteuern: 4 1,12 1 C ,93 4 1,12 0,12 DieInvestitionistsomitnachdemKriteriumdesKapitalwertesnichtvorteilhaft. (b)errechnungdeskapitalwertesunterberücksichtigungvonsteuern: Durch die Berücksichtigung von Steuern sind weitere Daten notwendig. Zunächst der Steuersatzselber:ErseiimBeispiels=0,5(also50%).BasisderzuentrichtendenSteuern istabernichtdervolleeinzahlungsüberschussvon3.670,sondernderumdieabzugsfähi gen Abschreibungen geminderte Einzahlungsüberschuss. Die (lineare) Abschreibung pro Jahrerrechnetsich,indemmandieAnschaffungsauszahlungI0durchdieLaufzeitteilt: Abschreibung DerKapitalwertergibtsichnundurchfolgendenAusdruck(2.30): n I q 1 n n q i 0 C0 I0 z z s (2.30) AlsoimBeispiel: 4 1, 06 1 C ( ) 0,5 36,83 4 1,06 0,06 Steuern zna chsteuern

34 60 Investition ZinsenfürFremdkapitalsindhinsichtlichderEinkommensteuerabzugsfähigbzw.Zinsen fürerträgesinddersteuerzuunterziehen.dieswirdbeiderobigenberechnungdeskapi talwertesdurchreduzierungdeszinssatzesauf i i1 sberücksichtigt.imbei spielmussdaherderzinssatzauf6% ( 0,06 i nach Steuern nach Steuern nach Steuern q 1, 06) reduziertwer den. Dies hat zur Folge, dass die um die Steuern verminderten Einzahlungsüberschüsse vielschwächerabgezinstwerdenundderkapitalwertpositivwird.somitistdieehedem alsnichtvorteilhafteingestufteinvestitiondurchdieberücksichtigungdersteuernvorteil haftzusehen(vgl.götze2008,s.134).dieobigebeschreibungdessachverhaltesstelltaber einestarkevereinfachungdar,diepräziseberücksichtigungvonsteueraspekteniminvesti tionskalkülgestaltetsichinderpraxisrechtaufwendig.(vgl.trautmann2007,s.70). Bewertung der Kapitalwertmethode DieKapitalwertmethodestelltdieBasisderdynamischenVerfahrendarundisteininThe orieundpraxisverbreitetesverfahren(vgl.wöheunddöring2010,s.605).wendetman diesesaberaufsolchealternativeninvestitionenan,diesichinihrernutzungsdaueroder in ihrer Anschaffungsauszahlung unterscheiden, so ist eine differenzierte Betrachtung vonnöten. KapitalwertmethodebeiunterschiedlicherNutzungsdauer: DasfolgendeBeispielverdeutlichtdieProblematik(Tabelle2.8): Tabelle 2.8 Kapitalwerte bei unterschiedlicher Nutzungsdauer Quelle:eigeneDarstellung

35 Dynamische Investitionsrechenverfahren 61 Manerkennt,dassnachKapitalwertverfahrenInvestitionAvorteilhaftererscheint,obwohl die jährlichen Einzahlungsüberschüsse der Investition B zu Anfang deutlich höher sind undbereitsnach3periodengeflossensind.nunmussmanaberunterstellen,dasseinin vestor, der sich für Alternative B entscheidet, nach Ablauf der Nutzungsdauer von drei JahrenwiederumeineAnschlussinvestitiontätigenkann. Gehtmandavonaus,dassdieAnschlussinvestitioneineFinanzinvestitionaufdemKapi talmarktist,sonimmtderkapitalwertdieseranschlussinvestitionbeiannahmedesvoll kommenenkapitalmarktes 1 denwertnullan.indiesemfallistinvestitionadievorteil hafterealternative. Lässt man aber zu, dass bei Investition B nach dem dritten Jahr eine identische Nachfol ge(sach)investitionmöglichist(esistschließlichnichtdavonauszugehen,dassderunter nehmer,derz.b.ineineproduktionsanlageinvestierthat,nachablaufdernutzungsdauer der Anlage seine Produktionstätigkeit einstellt), so muss man zur Vergleichbarkeit den Kapitalwert zweier nacheinander erfolgender Investitionen vom Typ B betrachten (vgl. hierzuauchjung2010,s.854).dieslässtsichdurchführen,indemmandenkapitalwertder Folgeinvestition(deralszusätzlicheZahlungzumEndederdrittenPeriodeberücksichtigt wird)aufdenzeitpunkt0diskontiert.alssogenannterkettenkapitalwertergibtsichsomit diesummeausbeidenkapitalwerten: C K , ,41 1, ,15 Dasbedeutet,dassderInvestorbesserzweimalinFolgeInvestitionBdurchführensollteals einmalinvestitiona. KapitalwertmethodebeiunterschiedlicherAnschaffungsauszahlung: UnterscheidensichzweiInvestitionsalternativenAundBinderHöheihrerAnschaffungs auszahlung(wobeii 0 (A)<I 0 (B)),somuss umvergleichbarkeitherzustellen beiderin vestitionaeineergänzungsinvestitioncinhöhederdifferenzzuranschaffungsauszah lungderinvestitionbberücksichtigtwerden. Aberauchhiermusswiederunterschiedenwerden,obdieseErgänzungsinvestitionCeine FinanzinvestitionaufdemKapitalmarktistoderobmaneineweitereSachinvestitionmit einemkapitalwert,dergrößeralsnullist,alsergänzungzulässt.gehtmanvoneinerfi nanzinvestitionaus,sokannmansichbeivergleichvonaundbwiederdiebetrachtung derergänzungsinvestitioncsparen,daderkapitalwertdieserohnehinnullist.gehtman abervoneinersachinvestitioncaus,somusseigentlichdiesummederkapitalwertevon AundCmitdemvonBverglichenwerden. 1 Alle Marktteilnehmer treffen ihre individuellen Entscheidungen aufgrund der gleichen, allgemein bekanntenerwartungenüberdiezukunft.derpreisfürjedenzahlungsstromistdabeigleich,unab hängigdavon,obdiewirtschaftssubjektealskäuferoderverkäuferauftreten.dahersindsollund Habenzinssätzeidentisch.KreditesteheninunbegrenzterHöhezurVerfügung.Transaktionskosten werdennichtberücksichtigt(vgl.hierzuz.b.wöheunddöring(2010)).

36 62 Investition Annuitätenmethode Die Annuität als dynamisches Pendant des durchschnittlichen Gewinns DieAnnuitätenmethodeisteinVerfahren,dasausderKapitalwertmethodeabgleitetwird (vgl.hierzuimfolgendenzimmermann2003,s.122f.).derkapitalwerteinerinvestition wirdhierbeiineineannuitätumgewandelt.somitwirderaufdielaufzeiteinerinvestition verteilt. RechnerischermitteltmandieAnnuität z durchmultiplikationdeskapitalwertesmitdem Wiedergewinnungsbzw.Annuitätenfaktor(Ausdruck(2.31)): n q i z C0 (2.31) q n 1 AlsVorteilhaftigkeitskriteriumistfestzuhalten,dassdieInvestitionzuwählenist,diedie höchsteannuitätaufweist,wobeifolgenderzusammenhanggegebenist: WennC 0 z > 0 Investitionist vorteihaft, 0 WennC 0 z = 0 indifferent zur Finanzinvestition, 0 WennC 0 z < 0 Investitionist nicht vorteilhaft. 0 Beim Vergleich verschiedener Investitionen ist die mit der höchsten Annuität zu wählen (relativevorteilhaftigkeit). LiegenbeieinerInvestitionkonstanteEinzahlungsüberschüssevorundexistiertnachAb laufdernutzungsdauerkeinrestwertmehr,solässtsichdieannuitätohneden Umweg derermittlungdeskapitalwerteserrechnen: q i DasichdieAnnuitätgemäßAusdruck(2.31)durch z C n q 1 FallderKapitalwertdurchAusdruck(2.32)gegebenist, n 0 errechnetundindiesem n q 1 C 0 = I0 z (2.32) n q i ergibtsichhierdurchmultiplikationmitdemwiedergewinnungsfaktorausdruck(2.33): n q i z= I0 z (2.33) n q 1 AnnuitätenmethodeundKapitalwertverfahrenführenimmerdannzumgleichenErgebnis hinsichtlichderbeurteilungvoninvestitionsalternativen,wenndieseindernutzungsdau erübereinstimmen.

37 Dynamische Investitionsrechenverfahren 63 LiegenjedochAlternativenmitunterschiedlicherNutzungsdauervor,soisteinedifferen ziertebetrachtungvonnöten. VeranschaulichensolldiesdasBeispielausTabelle2.8:ErrechnetmanhierdieAnnuitäten fürdiebeideninvestitionsalternativen,soerhältman: 6 1,1 0,1 6 1,1 1 z( A) = , ,36 mit z (A)=AnnuitätderInvestitionAund 3 1,1 0,1 3 1,1 1 z( B) = , ,38 mit z (B)=AnnuitätderInvestitionB Dagilt,dass z (B)> z (A),erscheintnachdemKriteriumderAnnuitätAlternativeBgüns tiger,obwohlderenkapitalwertniedrigerist. Um zwei Investitionsalternativen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer vergleichbar zu machen,habenwirbeiderkapitalwertmethodeabereineanschlussinvestitioninskalkül gezogen.überträgtmandiesesvorgehenaufdieannuitätenmethode,somussmanbeider ErrechnungderAnnuitätderInvestitionmitderkürzerenLaufzeitvomKettenkapitalwert ausgehen, wobei als Betrachtungszeitraum die Summe der Laufzeiten der aufeinander folgendeninvestitionengewähltwird. Geht man nun bei der Anschlussinvestition von einer identischen Sachinvestition aus, so ergibtsichimbeispielalsannuität: q i 3 1,1 0,1 z= ( C0 + C0q ) = (12.492, ,411,1 ) 5.023, q 1 1,1 1 Dies ist derselbe Wert wie bei Betrachtung nur der ersten Investition des Typs B allein. Darauslässtsicheinerseitsfolgern,dassunterdengewähltenAnnahmendieAnnuitäten methode ein adäquates und wenig aufwendiges Verfahren zur Beurteilung von Investiti onsalternativen mit unterschiedlicher Laufzeit darstellt (vgl. hierzu Röhrich 2007, S.79), wobeidieberücksichtigungvonkettenkapitalwertennichtnotwendigist.zumanderenist feststellen, dass man so zu einem anderen Ergebnis hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit der AlternativenkommtalsbeiderKapitalwertmethode. AnderssiehtderFalljedochaus,wennmanalsAnschlussinvestitionnureineFinanzinves tition,alsodieanlagedesidentischenbetragesaufdemkapitalmarktzulässt.dahierder KapitalwertderFolgeinvestitiondenWertNullhat,erhältmanalsAnnuitätfürAlternative BbeieinemBetrachtungszeitraumvon6Jahren: q i 3 1,1 0,1 z= ( C0 + 0 q ) = (12.492,41+ 01,1 ) 2.868, q 1 1,1 1

38 64 Investition Man erkennt, dass unter diesen Annahmen Kapitalwert und Annuitätenmethode zum gleichenergebnisführen,imbeispielalsoinvestitionaalsvorteilhafterzubewertenist Die Methode des internen Zinsfußes Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des internen Zins Als interner Zinsfuß oder interner Zins ist der Zinssatz zu verstehen, mit dem sich die Sachinvestition bei gegebenen Einzahlungsüberschüssen verzinst. Somit kann der interne ZinssatzalseinkritischerZinssatzfürdieabsoluteVorteilhaftigkeiteinerInvestitionsalter nativeangesehenwerden(vgl.götze2008,s.100). DieDarstellungamEinperiodenfallsolldiesveranschaulichen(s.Abbildung2.21). Abbildung 2.21 Interner Zinsfuß im Einperiodenfall Quelle:eigeneDarstellung GehtmanbeispielsweisevoneineminvestiertenKapitalvon (=I0)ausunderhält man(inklusiverestwert)nacheinerperiodeeinenrückflussvon (=z 1 ),soergibt dieseineverzinsungvon7.000,also10%.bildetmandenbarwertdeseinzahlungsüber schusses von durch Diskontierung mit diesem Zinssatz 10%, so erhält man als Ergebniswieder70.000,alsoI0.DamitergibtsichimBeispielalsKapitalwert: 1 1 C0I0 z1q ,1 0

39 Dynamische Investitionsrechenverfahren 65 Somitistder InterneZinsfuß derzinssatzi*,beidemderkapitalwerteinerinvestition Nullist. Erzielt (oder bezahlt) man beispielsweise auf dem Kapitalmarkt einen Zinssatz von 8% (gemäßunterstellungdesvollkommenenkapitalmarktesgilti=sollzins=habenzins),so mussman,umdenkapitalwertzuerrechnen,z1mitdiesemkapitalmarktzinsdiskontieren: C I z q , ,30 0 SomitistdieVerzinsungdurchdieSachinvestition(10%)besseralsdieFinanzinvestition (8%)bzw.dieRückflüsseausderSachinvestitionübersteigendieKapitalkosten.Liegtaber derkapitalmarktzinssatzbei12%,soerhältmanalskapitalwertderinvestition: 1 1 C I z q , IndiesemFallistdieSachinvestitionabzulehnen,dadieRückflüssedieKapitalkostennicht abdecken bzw. man auf dem Kapitalmarkt höhere Rückflüsse erhalten würde. Hieraus kannmandasvorteilhaftigkeitskriteriumdermethodedesinternenzinsfußesableiten. IstderinterneZinsfußhöher(niedriger)alsderKapitalmarktzinssatz,soistdieSachinvesti tionvorteilhaft(nichtvorteilhaft).abbildung2.22verdeutlichtdiesenzusammenhang. Abbildung 2.22 Zinssatz und Kapitalwert Quelle:eigeneDarstellung

40 66 Investition Berechnung des internen Zinsfußes DieErmittlungdesinternenZinsfußesi*erfolgtdurchNullsetzendesKapitalwertesC 0 und anschließendesauflösendergleichungnachi*.dadiekapitalwertfunktioneinpolynomn tengradesdarstellt,lässtsichfüreinenutzungsdauergrößerzweikeineanalytischelö sungmehrfinden,sodasshiereinenäherungslösungz.b.durchlineareinterpolationoder über das Newton Verfahren gefunden werden muss (vgl. Wöhe und Döring 2010, S.609 bzw.kruschwitz2009,s.112f.).beiderlineareninterpolationgeschiehtdieannäherung dadurch, dass man beliebig zwei Zinssätze auswählt, die zum einen (i 2 ) einen schwach negativen(c 02 )undzumandern(i 1 )einenschwachpositivenwert(c 01 )fürdenkapitalwert liefernmüssen.einsetzeninausdruck(2.34)ergibteinenäherungslösungfüri*(vgl.olfert undreichel2009a,s.221f.undnüchter2003,s.871). C i* i +.( i i ) (2.34) C01 C02 mit i 1 i 2 und C01 0 und C02 0 EineanalytischeLösunglässtsichindenfolgendenFällenermitteln(vgl.hierzuauchWol ke2010,s.66ff.,sowiebitzetal.2002,s.121ff.): 1.Fall:NureinEinzahlungsüberschussint=1.HieristderKapitalwertdurchfolgenden Ausdruckgegeben: Beispiel2.1 C I i (2.35) 1 0= 0 + z 1 (1 + *) = 0 z I i* = I 1 0 (2.36) 0 EineGärtnereiinvestiertin2.560SetzlingeeinereinjährigenPflanze.ProSetzlingmuss 1,86 investiertwerden.manrechnetmiteinemerlöspropflanzenacheinemjahrvon 2,15.DerKapitalmarktzinssatzsei6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: * , ,86 i 0, ,86 DieserWertisterheblichgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatzes. DieInvestitionistalsovorteilhaft.

41 Dynamische Investitionsrechenverfahren 67 2.Fall:EinEinzahlungsüberschussint=n.HieristderKapitalwertdurchfolgendenAus druckgegeben: Beispiel2.2 * 0 0 n (1 ) n (2.37) C I z i * zn i n 1 (2.38) I 0 EineSchnapsbrennereiinvestiertindieHerstellungvon70.000leinesqualitativhochwerti gen Weinbrandes. Hierfür fallen pro Liter 16,50 an Produktionskosten an Außerdem müssenlagereinrichtungenfür beschafftwerden.derweinbrandmusszehnjahre lagern,dannerwartetman,ihnproliterfür32 indenhandelverkaufenzukönnen.der Kapitalmarktzinssatzseiwieder6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: i* % , DieserWertistauchgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatz. AuchdieseInvestitionistalsovorteilhaft! 3.Fall:ZweiEinzahlungsüberschüsseint=1undt=2.HieristderKapitalwertdurchfol gendenausdruckgegeben: C = I + z (1+ i*) + z (1+ i*) = 0 (2.39) Beispiel2.3 z z z i 1 (2.40) 2 * I0 4I0 2I0 UnsereGärtnereiinvestiertjetztin3.650SetzlingeeinerPflanze.ProSetzlingmuss1,86 investiertwerden.manrechnetdamit,1.650pflanzennacheinemjahrzueinemstück preisvon2,25 unddieanderen2.000für2,45 prostückverkaufenzukönnen.der Kapitalmarktzinssatzseiwieder6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: 2 * , , , 25 i 116,6% , , ,86 DieserWertistdeutlichgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatz. AuchdieseInvestitionistalsovorteilhaft!

42 68 Investition 4.Fall:InternerZinsfußbeiewigerRente.HieristderKapitalwertdurchfolgendenAus druckgegeben: z C= I i* (2.41) Beispiel2.4 z (2.42) * i= I 0 EinUnternehmererwirbteinGrundstückfür undverpachtetdiesesaufunbe fristete Dauer für jährlich Als Kapitalmarktzinssatz wird wieder 6,5% ange nommenwelcheninternenzinsfußerrechnetman? Lösung: i * 8,2% DieserWertistgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatzes. DieInvestitionistvorteilhaft. DieMethodedesinternenZinsfußesistinderLiteraturausökonomischenwiemathemati schengründennichtunproblematisch(vgl.kruschwitz2009,s.106ff.).geradeamdritten Fallisterkennbar,dassdiesesVerfahrenmathematischnichteindeutigist.Sokannmanin Ausdruck(2.40)diepositiveoderdienegativeWurzelziehen,waszuvölligunterschiedli chenergebnissenführt(vgl.swoboda1977,s.69ff.).darüberhinauskönneninvestitionen je nach Gestalt der Kapitalwertfunktion mehrere interne Zinssätze (Fall der Mehrdeutig keit)odergarkeineninternenzinssatzaufweisen(falldernichtexistenz)(vgl.kruschwitz 2009,S.111).Möchtemansicherstellen,dassgenaueinpositiverinternerZinssatzexistiert, so muss man zunächst prüfen, ob es sich bei der betrachteten Investition um eine so ge nannte Normalinvestition handelt (Fall der Eindeutigkeit). Eine Normalinvestition muss dreikriterienerfüllen(vgl.bussevoncolbeundlaßmann1990,s.110f.): DieInvestitionfängtmiteinerAuszahlungan. DieZahlungsreihederInvestitionhatgenaueinenVorzeichenwechsel(nachdenAus zahlungenfolgennurnocheinzahlungsüberschüsse). DieSummeallerEinzahlungsüberschüsseistohneBerücksichtigungvonZinsund ZinseszinsabsolutbetrachtetgrößeralsdieSummeallerAuszahlungen. Beispiel2.5 EineInvestitionweistfolgendeZahlungsreihe(110,35,50,45)auf.PrüfenSie,obessich hierumeinenormalinvestitionhandelt.

43 Dynamische Investitionsrechenverfahren 69 Lösung: ZahlungsreihebeginntmiteinerAuszahlung EinmaligerVorzeichenwechsel ErfüllungdesDeckungskriteriums(SummeallerEinzahlungen=130>SummeAus zahlungen=110) EshandeltsichumeineNormalinvestition! Aberauchökonomischbetrachtet,kannesbeimVorteilhaftigkeitsvergleichzwischenmeh rereninvestitionsalternativenmithilfedesinternenzinsfußeszuwidersprüchlichenergeb nissenimvergleichzurkapitalwertmethodekommen.dergrundliegtinderunterschied lichen Annahme, wie die notwendigen Ergänzungsmaßnahmen wegen unterschiedlicher Nutzungsdauern, Einzahlungsüberschüsse oder auch Investitionsauszahlungen erfolgen sollen.beiderkapitalwertmethodewerdenunterderannahmedesvollkommenenkapi talmarktesalleergänzungsmaßnahmenzueinemeinheitlichenzinssatzvorgenommen.im GegensatzdazuwirdbeiderMethodedesinternenZinsfußesvonderimplizitenWieder anlageprämisseausgegangen(vgl.bussevoncolbeundlaßmann1990,s.115).dasbedeu tet,dassalleergänzungsmaßnahmenzuminternenzinsderjeweiligeninvestitionsalterna tivedurchgeführtwerden,alsozuganzunterschiedlichenzinssätzen.derkapitalwertist somit gleich Null, so dass die Ergänzungsmaßnahmen wie bei der Kapitalwertmethode keineneinflussaufdieentscheidungnehmen.dieseannahmeistjedochökonomischge sehen nicht plausibel, da nicht einzusehen ist, warum unterschiedlich hohe Einzahlungs überschüsse der Alternativen zu unterschiedlich hohen Zinssätzen anzulegen sind bzw. eine Ergänzungsmaßnahme zwangsweise in die betrachtete Investition erfolgen muss. Plausibelwärehingegen,dassdieErgänzungsmaßnahmenunabhängigvondenbetrachte teninvestitionenvorzunehmensind.ersetztmandieseimpliziteprämissederwiederanla ge zum internen Zinssatz durch die explizite Prämisse, dass alle erforderlichen Ergän zungsmaßnahmen bis zum Ende des Planungszeitraums zur durchschnittlichen Unter nehmensrentabilität (einheitlicher Kalkulationszinssatz) angelegt werden, so lassen sich auch wieder relative Vorteilhaftigkeiten durch den Vergleich der modifizierten Zinssätze durchführen.diesemethodewirdinderliteraturalsbaldwinbzw.modifizierteinterne ZinsfußMethodebezeichnet(vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.118f.). BelässtmaneshingegenbeiderimplizitenWiederanlageprämisse,soführendieKapital wertmethode und die Methode des internen Zinsfußes im Fall zwei sich ausschließender AlternativennurdannzumgleichenErgebnis,wennaufdieBerechnungderinternenZins füße der beiden Investitionsalternativen verzichtet wird und stattdessen der interne Zins dersogenanntendifferenzinvestitionbestimmtwird.diedifferenzinvestitionergibtsich aus der Differenz der beiden Zahlungsreihen, wobei diejenige Zahlungsreihe mit der ge ringerenauszahlungvonderandereninvestitionabgezogenwird.handeltessichbeider DifferenzinvestitionumeineNormalinvestition,soistdasErgebnisfürdeninternenZins eindeutig.istderinternezinsderdifferenzinvestitiongrößeralsdievorgegebeneverzin sungdesinvestors,soistdieinvestitionmitderhöherenkapitalbindungderanderenvor zuziehen(vgl.bussevoncolbeundlaßmann1990,s.115).

44 70 Investition Methode der dynamischen Amortisationsdauer EininderPraxishäufigherangezogenes(zusätzliches)KriteriumzurBeurteilungvonIn vestitionsprojekten ist die Errechnung der Amortisationsdauer (PayOffPeriode) (vgl. Zimmermann2003,S.173).HierfragtsichderInvestor,inwelcherZeitsicheineInvestition amortisierthat,alsowanndasverauslagtekapitalüberdierückflüsseunterbeachtungder Zinsrechnung (dynamisches Verfahren) zurückgeflossen ist. In der PayOffPeriode errei chen die bis dahin erzielten, abgezinsten Einzahlungsüberschüsse genau den Wert der Anschaffungsauszahlung.FürdiesenZeitpunktt*giltalso: * t t C0 I0 zt q 0 (2.43) t 1 In dem in Tabelle 2.9 dargestellten, sehr speziellen Beispiel wird zur Veranschaulichung genau mit Ablauf der vierten Periode ein Kapitalwert von 0 erreicht. Normalerweise ge schieht dies aber innerhalb einer Periode. Dann kann der genaue, unterjährige Zeitpunkt deramortisationggf.mithilfederlineareninterpolationbestimmtwerden,wennvonkon tinuierlichenrückflüssenderinvestitionenausgegangenwird. Tabelle 2.9 Dynamische Amortisationsdauer Quelle:eigeneDarstellung FürdenFallkonstanterEinzahlungsüberschüsselässtsichdieDynamischeAmortisations dauerauchallgemeinerrechnen: * t q 1 C0 I0 z * 0 (2.44) t q i

45 Dynamische Investitionsrechenverfahren 71 LöstmanAusdruck(2.44)mitHilfederLogarithmusrechnungnacht*auf,soresultiert: z ln * zi0 i t (2.45) ln q Beispiel2.6 EineInvestitionmiteinerLaufzeitvon17JahrenführtzueinerAnschaffungsauszahlung von undjährlichenkonstanteneinzahlungsüberschüssenvon derka pitalmarktzinssatz ist im Beispiel 7,3%. Nach wie viel Jahren ist die Investition dyna mischamortisiert? Lösung: ln * ,073 t 7,14 ln1, Endwertmethode und vollständige Finanzpläne BisherwurdendieZahlungsreihenderInvestitionenimmeraufdenZeitpunktt=0bezo gen,alsoderbarwerterrechnet.diesmussabernichtsein.derwertderzahlungsreihen lässt sich auch durch Aufzinsen aller Zahlungen für den Zeitpunkt zum Ende der Nut zungsdauerberechnen. DerhierbeiresultierendeEndwertstelltdenGeldvermögenszuwachsdar,derbezogenauf den letzten Zeitpunkt des Planungszeitraums durch ein Investitionsobjekt bewirkt wird (vgl.götze2008,s.110).dieabsolutevorteilhaftigkeitistbeiannahmeeinesvollkomme nenkapitalmarktesgegeben,wennderendwertgrößeralsnullist,bzw.eininvestitions objektistrelativvorteilhaft,wennseinvermögenswertgrößeristalsanderezurauswahl stehendealternativen. DerEndwertlässtsichwiefolgtdarstellen: n n n t Cn I0q zt q Ln (2.46) t 1 Man erkennt, dass jeder Einzahlungsüberschuss über die Restnutzungsdauer n t aufgezinst wird. Alternativ kann der Endwert auch dadurch ermittelt werden, dass der KapitalwertC0aufgezinstwird: n t n n Cn I0 zt q Lnq q (2.47) t 1 Hierauskannmanableiten,dassEndwertmethodeundKapitalwertmethodebezüglichder BeurteilungderVorteilhaftigkeiteinerInvestitionletztlichzumgleichenErgebniskommen.

46 72 Investition EineausdemEndwertverfahrenabgeleiteteMethodeistdieErstellungeinesvollständigen Finanzplanes(VoFi).DieserbeinhaltetmehrereVorteile: SeineErstellungistohnegrößerenmathematischenAufwandmöglichund esisteinedifferenzierungdeszinssatzesinsollundhabenzinsmöglich(aufgabedes vollkommenenkapitalmarktes). DieSystematikdiesesVerfahrenslässtsichaneinemBeispielerläutern(vgl.hierzuundim FolgendenZimmermann2003,S.281ff): Beispiel2.7(s.Tabelle2.10) EineInvestitionseimiteinerAnschaffungsauszahlungvon verbunden.esste hen eigene Mittel in Höhe von zur Verfügung, der Rest muss fremdfinanziert werden,wobeidiesesmiteinemsollzinssatzvon10%verzinstwird.diejährlichenein zahlungsüberschüssewerdenimbeispielvollständigzurtilgungundzurbezahlungder Zinsenverwendet.VerbleibendeÜberschüssewerdenamFinanzmarktzueinemHaben zinssatzvon5%wiederangelegt(kontenausgleichgebot).derzahlungsverlaufundder darausresultierendeendwertlassensichausfolgendertabelleentnehmen: Tabelle 2.10 Vollständiger Finanzplan (VoFi) einer Investition Quelle:eigeneDarstellungnachZimmermann2003,S.281f. DerEndwertvon istderwertdesdurchdieinvestitionerreichteneigenkapitals nachablaufdernutzungsdauern=4.

47 Dynamische Investitionsrechenverfahren 73 Entscheidungskriterium ist also hier die Höhe des Endwertes alternativer Investitionen. WürdedasEigenkapitalimBeispielstattdessenzu5%angelegt,ergäbesichimVergleich zursachinvestitioneinendwertvon ,05 4 = Investitionsdauerentscheidungen mit Hilfe der Kapitalwertmethode Einmalige Investition InderbisherigenBetrachtungwardieNutzungsdauerbeieinerInvestitionimmervorge geben. Die Nutzungsdauer einer Investition kann aber durch unterschiedliche Faktoren determiniertsein(vgl.hierzuimfolgendenzimmermann2003,s.367ff.).sounterscheidet man(vgl.mensch2002,s.163): rechtlichenutzungsdauer(lizenzen,verträge,gesetzeetc.), technischenutzungsdauer(maximalelaufleistungeinesfahrzeugs) ökonomische(wirtschaftliche)nutzungsdauer DietechnischeundrechtlicheNutzungsdauersindalsRestriktionenzubetrachten,inner halbderendieökonomischenutzungsdauerzubestimmenist.eineprüfungderökonomi schen Nutzungsdauer kann sowohl vor Durchführung einer Investition (Nutzungsdauer bzw. ExanteProblem), als auch während der Laufzeit der Investition (Ersatz bzw. Ex postproblem)erfolgen,denneinebereitsgetätigteinvestitionkannnatürlichauchvorzei tigbeendetwerden,wenndiesökonomischsinnvollist. ZurAnalysedesErsatzproblemseignetsichbesondersdieAnnuitätenmethode(vgl.hierzu Jung2011,S.131).HierwirdbeimVergleicheinerbereitsgetätigtenInvestitionmiteinerzu erwägenden Ersatzinvestition der zum Zeitpunkt des Vergleichs existierende Restwert L 0 der alten Anlage als Anschaffungsauszahlung I 0 interpretiert, da dieser Wert das aktuell durchdiebestehendeanlagegebundenekapitaldarstellt,undnalsrestlaufzeitdefiniert. SomitergibtsichalsAnnuitäteineraltenAnlage: n n t n q i zalt L0 zt q Ln q n t 1 q 1 (2.48) Die Annuität der Ersatzinvestition errechnet man auf dem üblichen Weg gemäß Aus druck(2.31). DasfolgendeBeispiel(Tabelle2.11undTabelle2.12)solldiesesVorgehenveranschaulichen:

48 74 Investition Tabelle 2.11 Annuität der alten Alte Anlage Quelle:eigeneDarstellung Also: z alt 4 1,1 0, , ,91 1,1 1 ImVergleichhierzudieneueAnlage: Tabelle 2.12 Annuität der neuen Anlage Quelle:eigeneDarstellung

49 Dynamische Investitionsrechenverfahren 75 Also: z neu 6 1,1 0, , ,74 1,1 1 DaimBeispieldieAnnuitätderaltenAnlagehöheristalsdiederneuen,istesnichtsinn voll,diealteanlagezumaktuellenzeitpunktzuersetzen. WillmanhingegenexantedieoptimaleNutzungsdauereinereinmaligzutätigendenIn vestitionbestimmen,solässtsichdiesmithilfedeskapitalwertverfahrensleichtbewerk stelligen. Hierzu werden für eine Investition die Kapitalwerte bei unterschiedlichen Nut zungsdauernermitteltunddiedauergewählt,fürdiederkapitalwertamhöchstenist(vgl. Götze2008,S.242).AlsRestwertwirdderjeweiligeamEndeeinerPeriodenochvorhande nerestwertlteingerechnet.dasfolgende,intabelle2.13dargestelltebeispielveranschau lichtdiesesvorgehen: Tabelle 2.13 Optimale Nutzungsdauer einer einmaligen Investition Quelle:eigeneDarstellung Man erkennt, dass der zum Ablauf der Periode 3 erzielte Kapitalwert der höchste ist. Er errechnetsichdurch: C 3 0 = , ,1 = ,44 Zweimalige Investition Folgen mehrere Investitionen aufeinander, so können sie nicht mehr einzeln betrachtet werden, sondern sie müssen als Investitionsprogramm begriffen werden, für die ein ge meinsamerkumulierterkapitalwert,dersogenanntekettenkapitalwerterrechnetwerden kann(vgl.hierzuburchertundhering2002,s.247).hierbeistelltsichdiefrage,wielang dienutzungsdauerdererstenundderfolgeinvestitionseinsoll.mangehthierzuinzwei Schrittenvor:

50 76 Investition 1.Schritt:ZunächstermitteltmandieoptimaleNutzungsdauerderFolgeinvestition. 2.Schritt:BerechnungderoptimalenNutzungsdauerdererstenInvestitionunterBerücksich tigung des maximalen Kapitalwertes der zweiten Investition. Hierbei wird der Kapitalwert der Folgeinvestition als zusätzlicher Einzahlungsüberschuss zum Ende der Nutzungsdauer der ersten Investition betrachtet. Folglich muss er, damit ein gemeinsamer Kapitalwert für den Zeitpunkt t = 0 errechnet werden kann, entsprechend der Nutzungsdauer der ersten Investitionabgezinstwerden.Dieskannmanformalwiefolgtdarstellen(Ausdruck(2.49)): nopt t nopt n C0 K ( nopt. ) ( I0 zt q Ln q ) C opt 02max. q t1 C01 mit C 01 =KapitalwertdererstenInvestition C 02max.=maximalerKapitalwertderzweitenInvestition C 0K =Kettenkapitalwert n opt.=optimalenutzungsdauerderersteninvestition opt (2.49) DieseVorgehensweisesollfürzweiaufeinanderfolgendeidentischeInvestitionengezeigt werden.alsbeispieldienendiedatenaustabelle2.13.hierwurdebereitsermittelt,dass dieoptimalenutzungsdauerdreiperiodenbeträgtundmandabeieinenkapitalwertvon ,44 erzielen kann. Betrachtet man diesen Betrag wie beschrieben als zusätzliche ZahlungamEndederersten(identischen)Investition,soerrechnetmandieoptimaleNut zungsdauerderersteninvestitiongemäßausdruck(2.49).imbeispiel(tabelle2.14)erhält manwiederumalsoptimalenutzungsdauer3perioden. Tabelle 2.14 Optimale Nutzungsdauer zweimaliger identischer Investitionen Quelle:eigeneDarstellung

51 Dynamische Investitionsrechenverfahren 77 z 1 =EinzahlungsüberschussvonInvestition1int t q t =Abzinsungsfaktor L 1 =RestwertderInvestition1zumZeitpunktt t C 1 =KapitalwertderInvestition1beieinerLaufzeitvont t C 2 q t =tfachabgezinsterkapitalwertderinvestition2 k C 0 =Kettenkapitalwert Optimale Nutzungsdauer bei unendlicher Investitionskette WirdeineInvestitionnichtnureinmalidentischwiederholt,sondernmmal,solässtsich derkettenkapitalwertwiefolgtdarstellen(ausdruck(2.50)): C ( n) C C 1 C q q q 0k 0 0 n 0 2n mn (2.50) mitc0k(n)=kettenkapitalwertinabhängigkeitdernutzungsdauern. Dieskannumgeformtwerdenin: m m m n n n q q C q 0 C ( n) C C C 0k n n n n q q q q (2.51) 1 GehtmannunvoneinerunendlichenInvestitionsketteaus(m=),sogilt 0 n.des q halbvereinfachtsichderterm(2.51)zuausdruck(2.52)(vgl.hierzufischer2009,s.44 45): m C q (2.52) n q n 0 C0k ( n) C0 q n ErweitertmandasBeispielausTabelle2.14,indemmandieInvestitionjetztunendlich oftidentischwiederholt,lässtsichdieoptimalenutzungsdauerintabelle2.15ablesen:

52 78 Investition Tabelle 2.15 Optimale Nutzungsdauer bei unendlicher, identischer Investition Quelle:eigeneDarstellung Manerkennt,dassderhöchsteKettenkapitalwertimBeispielbeieinerNutzungsdauervon einerperiodefürdieeinzelneninvestitionenerreichtwird.

53 Investitionsrechnung unter Unsicherheit Investitionsrechnung unter Unsicherheit Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wiemanunsicherheitundrisikodefinierenkann welcheentscheidungsregelnbeiunsicherheitzutreffen wieriskanteinvestitionenbewertetwerdenkönnen Formen der Unsicherheit IndenvorherigenKapitelnsindwirannahmegemäßvoneinersicherenWeltausgegangen. Alle Inputgrößen, die in die Investitionsrechnung einfließen, haben wir bisher als feste, sicheregrößenangenommen.tatsächlichsinddieseinputgrößen,wiez.b.derprognosti zierte Cashflow (z), die geplante Nutzungsdauer (n) sowie der Kalkulationszinssatz (i) innerhalb der Kapitalwertmethode, als zukünftige, unsichere Daten anzusehen (vgl. Ab bildung2.23). Abbildung 2.23 Unsichere Inputgrößen am Beispiel der Kapitalwertmethode C n 0 1 t 0 z t i t Quelle:eigeneDarstellung Die Frage ist, wie in der Investitionsrechnung mit dieser Unsicherheit umzugehen ist. In derentscheidungstheoriewirdbeiunsicherheitüblicherweiseinungewissheitsundrisi kosituationenunterschieden(vgl.bambergetal.2008).vonunwissen(vgl.abbildung2.7) wirdindiesemkapitelabgesehen,dakeinerleiquantifizierungmöglichist.ungewissheits situationensindtypischerweisedadurchgekennzeichnet,dassderinvestorzwareineunge fähre Vorstellung darüber hat, welches Ausmaß z.b. die zukünftigen Cashflows haben könnten,eraberkeinerleivorstellungendarüberhat,mitwelcherwahrscheinlichkeitdie jeweiligen Cashflows eintreten könnten. Wenn er es könnte, so läge eine Risikosituation vor, und der Investor könnte für die unsicheren Inputgrößen eine Verteilungsfunktion angeben(vgl.abbildung2.24).dabeiistesfürdieweiterebewertungderunsicherenin vestitionenunerheblich,obdiesewahrscheinlichkeitenübereinestatistikermitteltwurden, sog. objektive Wahrscheinlichkeiten, oder mittels Erfahrung und Intuition des Investors, sog.subjektivewahrscheinlichkeit(vgl.perridonundsteiner2009,s.96).

54 80 Investition Abbildung 2.24 Formen der Unsicherheit Unsicherheit Ungewissheit Risiko Investor kann den Ereignisraum determinieren, diesem aber keine Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen Investor kann sowohl den Ereignisraum als auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten determinieren Quelle:eigeneDarstellung InderInvestitionstheoriegibteseineVielzahlanVerfahren,wiediealsunsicherangesehe nen Investitionen zu beurteilen sind. Je nachdem, ob die verschiedenen Verfahren Ein trittswahrscheinlichkeiten berücksichtigen oder nicht, wollen wir sie entweder der Unge wissheitsoderderrisikosituationzuordnen(vgl.abbildung2.24). Innerhalb der Ungewissheitssituation entstammen der klassischen Entscheidungstheorie folgendeverfahren,wobeidiegrundsätzlichelebenseinstellungdesinvestorsbzw.seine EinstellungzurUnsicherheiteinegroßeBedeutungerhält: MiniMaxRegel (absoluterpessimist) MaxiMaxRegel (absoluteroptimist) HurwiczRegel (FeinjustierungderLebenseinstellungüberOptimismusgrad) LaplaceRegel (neutralelebenseinstellung) SavageNiehansRegel (relativerpessimist) KrelleRegel (FeinjustierungderUngewissheitüberPräferenzfunktion)

55 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 81 Ohne im Detail auf jedes dieserverfahren unterungewissheit eingehen zuwollen, kann folgendesfestgehaltenwerden:alldiesenverfahrenistgemeinsam,dassderinvestorsich zunächst Gedanken über seine grundsätzliche Lebenseinstellung zu unsicheren Aktionen machenmuss.isterbeispielsweiseeinabsoluterpessimist(optimist),sowirdersichbei der Wahleinzelentscheidung an dem schlechtmöglichsten (bestmöglichen) Ausgang eines Investitionsprojekts orientieren, was der Vorgehensweise der MiniMaxRegel (MaxiMax Regel)entspricht.SetzterdasschlechtmöglichsteErgebnisjeUmweltzustandinRelationzu denanderenalternativenundwähltdarausjealternativedasjeweilsmaximaleheraus,so wird sich ein pessimistischer Investor für diejenige Alternative mit dem kleinsten dieser Werte entscheiden (SavageNiehansRegel). Die oben aufgeführten EntscheidungsRegeln konnten sich in der Investitionspraxis nicht durchsetzten, da es deminvestor regelmäßig schwerfällt,seinelebenseinstellungzuunsicherenereignissenzuquantifizieren.ausführ lichedarstellungenmitbeispielsrechnungenzudiesenverfahrenfindensichzurgenüge inderliteratur(vgl.schäfer2005,s.229ff.sowiebiegetal.2006,s.155ff.).etablierthaben sichinderinvestitionsrechnungunterungewissheitjedochdaskorrektursowiedassensi tivitätsverfahren trotz ihrer erheblichen Schwächen. Beide Verfahren eignen sich sowohl fürrealalsauchfürfinanzinvestitionen.siekommenregelmäßigbeiwahleinzelentschei dungen zum Einsatz. Auf diese wollen wir später genauer eingehen (vgl. Kap und2.4.3). ZumSchlussseiennochdieFuzzySetVerfahrenerwähnt,welchespezielleVerfahrenbei EntscheidungssituationenunterUnschärfedarstellen.Alsunscharfkanndabeisowohldie individuelle Einstellung zur Unsicherheit, als auch die gesamte Lebensplanung des Ent scheidersbishinzurzielsetzungangesehenwerden.umtrotzdiesererheblichenwidrig keiteneineentscheidungaufquantitativerbasisherbeizuführen,hatzadehdiefuzzyset Theorieentwickelt(vgl.Zadeh1965).WirwollendieseTheoriehiernichtweitervertiefen, da sie zum einen sehr speziell ist und zum anderen sich in der Investitionspraxis bisher nichtdurchzusetzenvermag.einengutenüberblicküberallgemeineentscheidungsverfah renbeiunschärfeerhältderinteressierteleserbeirommelfangerundeickemeier(2002). EineAnwendungderFuzzySetTheorieaufInvestitionsundFinanzentscheidungenfindet sichdagegenbeimöbius(1997). WendenwirunsderRisikosituationzu.DasPrinzip,dasPrinzipsowiedasBernoul liprinzipsindklassischeentscheidungsverfahren,dieuniversellauchindenunterschied lichstenbereichenderbetriebswirtschaftslehrezumeinsatzkommen.wieauchschonbei denvorgestelltenverfahrenunterungewissheit,mussderinvestorsichhinsichtlichseiner Lebenseinstellung zu unsicheren Ereignissen erklären. Der Unterschied besteht lediglich darin,dassjetztnichtmehrvonoptimismusbzw.pessimismusdesinvestorsdieredeist, sonderndiesmalseineeinstellungzumrisikoabgefragtwird.hierdifferenziertdielitera turgewöhnlichzwischenrisikofreude,risikoscheueundrisikoneutralität(vgl.trautmann 2007,S.239ff.). InderPraxisderInvestitionsbeurteilungfindendasErwartungswertprinzipunddas PrinzipgroßenAnklang,diewiederumGrundlagefürvieleweitereVerfahrenderInvesti tionsrechnungunterrisikodarstellen.insbesonderediebewertungeinerinvestitionnach

56 82 Investition Erwartungs und Risikogesichtspunkten finden sich sowohl bei Einzelfinanzinvestitions alsauchbeiprogrammfinanzinvestitionentscheidungen(portfolioselectiontheorie)wie der.deswegenwollenwirdiesebeidenverfahrenimanschlussvertiefen(vgl.kap und2.4.5). Die MonteCarloSimulation, als spezielles Verfahren innerhalb der Risikoanalyse, ist eine Weiterentwicklung der Szenarioanalyse, die innerhalb der Sensitivitätsverfahren zumeinsatzkommt.derinvestorerhältbeidiesemverfahrenkeineneindeutigenergeb nisvorschlag,sonderneinewahrscheinlichkeitsverteilungderoutputgröße,wiez.b.den KapitalwerteinerInvestitionbeiVermögensstreben.DiesessogenannteRisikoprofildes betrachteteninvestitionsprojektesgibtdeminvestordarüberauskunft,wiewahrschein lichesist,dassdieinvestitioneinflopwird(kapitalwert<0)odereinerfolgwird(kapi talwert>0).daherkannindiesemzusammenhangbeidermontecarlosimulationauch nichtvoneinementscheidungsverfahrenimengerensinne,sondernnurvoneinement scheidungshilfeverfahren die Rede sein. Die Entscheidung selber über das Investitions projekt muss der Investor in Abstimmung mit seiner persönlichen Risikoeinstellung treffen.dadiesesverfahreninderpraxissehrbeliebtist,sollesinkap.2.4.6näherbe schriebenwerden. DiekapitalmarktorientiertenAnsätze,wiedasCapitalAssetPricingModel(CAPM)oder das Adjusted Present ValueModell (APV), stellen gewissermaßen eine Weiterentwick lung des Korrekturverfahrens dar. Auch hier kommt es zu (Risiko)Aufschlägen beim Kalkulationszinsfuß, die jedoch im Gegensatz zum Korrekturverfahren nicht subjektiv, sondern aufgrund von Beobachtungen am Kapitalmarkt erfolgen. Diese Ansätze kom meninderpraxisinsbesondereinderunternehmensbewertungbzw.beiderfundamen talenaktienanalysezumeinsatz.wirwollenaufdieseverfahrenhiernichtweitereinge hen.derinteressierteleserseiandieentsprechendeliteraturverwiesen(vgl.z.b.götze 2008,S.353ff.;Kruschwitz2009,S.405ff.;Möbius/Pallenberg2011,S.139ff.). Die in Abbildung 2.25 aufgeführten Verfahren haben ihren Ursprung aus den unter schiedlichstentheorienundverwendungszwecken.diedortgenanntenverfahrensmög lichkeiten bei Unsicherheit haben wir nach der Unsicherheitssituation differenziert. Sie lassensichjedochauchnachanderenkriteriensystematisieren,wiez.b.nachderartder Investitionsentscheidung in Einzel und Programmentscheidungen (vgl. Blohm et al. 2006;Götze2008)odernachderArtderInvestitioninSachundFinanzinvestition.Be trachten wir abschließend die Einzel und Programmentscheidungen. Zur Erinnerung: beieinzelentscheidungenmusssichderinvestorauseinervielzahlverschiedenerhand lungsalternativenfüreineinzigesinvestitionsprojektentscheiden.liegtdieinvestitions dauer fest, so spricht man auch von Wahleinzelentscheidungen, ansonsten liegt eine Investitionsdauerentscheidung vor. Kann der Investor jedoch mehrere Investitionen gleichzeitigrealisieren,sohandeltessichumprogrammentscheidungen(vgl.kruschwitz 2009,S.6).

57 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 83 Abbildung 2.25 Entscheidungsverfahren bei Unsicherheit Unsicherheit Ungewissheit Risiko MiniMax-Regel MaxiMax-Regel Hurwicz-Regel Laplace-Regel Savage-Niehans-Regel Krelle-Regel Korrekturverfahren Sensitivitätsverfahren Fuzzy-Set-Verfahren -Prinzip --Prinzip Bernoulli-Prinzip Monte-Carlo-Simulation Entscheidungsbaumverfahren Progammierungsorientierte Ansätze Kapitalmarktorientierte Ansätze (z.b. CAPM) Optionspreistheoretische Anätze (z.b. Realoptionen) Portfolio Selection-Modell Quelle:eigeneDarstellung InnerhalbderEinzelentscheidungenwerdeninderLiteraturfolgendeVerfahrenaufgeführt: Korrekturverfahren Sensitivitätsanalyse Risikoanalyse(MonteCarloSimulation) Entscheidungsbaumverfahren(starrePlanung) KapitalmarktorientierteAnsätze(CAPM) OptionspreistheoretischeAnsätze(Realoptionen) InnerhalbderProgrammentscheidungenunterUnsicherheitfindensichdieVerfahren: Sensitivitätsanalyse ProgrammierungsorientierteAnsätze(ChanceConstrainedProgramming) PortfolioSelectionAnsatz Entscheidungsbaumverfahren(flexiblePlanung) FuzzySetModelle

58 84 Investition DawirhiernichtalleVerfahrenimEinzelnenbesprechenkönnen,wollenwirunsaufdiein derpraxisgängigstenmethodenkonzentrieren.dazuzählensicherlichdaskorrekturund SensitivitätsverfahrenimFallderUngewissheitsowiedasErwartungswert(Prinzip),das Prinzip und die MonteCarloSimulation im Fall der Risikosituation. Einzelinvestiti onsverfahrensollendabeiimvordergrundstehen Korrekturverfahren DasKorrekturverfahrengehtwiedieMiniMaxRegelvoneinempessimistischenMenschen aus.derpessimismuskommtdadurchzumtragen,dassfürdieunsichereninputgrößen jeweiligezubzw.abschlägevorgenommenwerden.sowirdbeispielsweisevomprognos tiziertencashflowund/odervonderkalkuliertennutzungsdauereinpauschalerabschlag und/oder beim Kalkulationszinssatz ein pauschaler Aufschlag in Form einer Risikoprä mie vorgenommen,umeinequasisicherheitzuerzeugen.mitdenveränderteninputgrö ßen können nun je nach Zielsetzung des Investors alle Verfahren unter Sicherheit zum Einsatz kommen. Die Auswirkungen davon sind unmittelbar einleuchtend: das Investiti onsprojektwirdschlechtbzw. tot gerechnet.folgendesbeispielsolldiesverdeutlichen: Beispiel2.8(Korrekturverfahren) EineInvestorinstehtvorderEntscheidung,obsieineinProjektmitfolgendenDatenin vestierensoll:dieinvestitionsauszahlungint=0beläuftsichauf100mio..dieweite rencashflowsz t fürdiegesamtelaufzeitvon4jahrenwerdenentsprechenddertabelle prognostiziert: DieInvestorinstrebtnachmaximalemVermögenundbeurteiltdieseInvestitionmittels der Kapitalwertmethode. Bei einem unterstellten Kalkulationszinsfuß von 10% ergibt sicheinkapitalwertinhöhevonca.7,2mio..daderkapitalwertpositivist,erscheint dasprojektabsolutvorteilhaft. Die Investorin ist pessimistisch und stuft dieses Projekt als äußerst unsicher ein. Sie nimmt daher hinsichtlich der Investitionsauszahlung einen pauschalen Aufschlag von 10% und bezüglich der weiteren CashflowReihe einen pauschalen Abschlag in Höhe von10%vor:die neue Zahlungsreihesiehtwiefolgtaus: Den Kalkulationszinsfuß belässt die Investorin hingegen bei 10%. Nach erneuter Be rechnung des Kapitalwertes stellt sich heraus, dass das vormals vorteilhafte Projekt plötzlichunvorteilhaftgewordenist.derkapitalwertbeträgtnun13,5mio..diepau schalekorrekturderzahlungsreiheum10%,dienichtrationalnachvollziehbarist,son

59 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 85 dernausdem Bauchgefühl derinvestorinresultiert,hatalsodazugeführt,dassdiein vestition tot gerechnetwurde. KommenwirzurBewertungdesKorrekturverfahrens: UnterstellungeinespessimistischenInvestors BerücksichtigungnurnegativerZukunftslagen ZukunftslageneineFragedes Fingerspitzenbzw.Bauchgefühls GefahrderKumulationderKorrekturen GeringerPlanungsundRechenaufwand AufgrunddesgeringenPlanungsundRechenaufwandsistdasKorrekturverfahreninder Praxisbeliebt.DieanderenaufgeführtenPunktesindjedochsonegativ,dassdasKorrek turverfahrenaustheoretischersichtklarabzulehnenist Sensitivitätsverfahren DieSensitivitätsanalyseisteininderPraxissehrbeliebtesVerfahren.Siekommtentweder in Form einer Szenarioanalyse oder einer KritischeWerteRechnung zur Anwendung. FolgendezweiFragestellungenversuchtmanmitdiesemVerfahrenzubeantworten: WieverändertsichderZielfunktionswertbeivorgegebenenVariationeneineroder mehrererinputgrößen?(szenarioanalyse) WelchenWertdarfeineInputgrößeannehmen,wenneinvorgegebenerZielfunk tionswertmindestenserreichtwerdensoll?(verfahrender kritischenwerte ) Die Szenarioanalyse ist eine Weiterentwicklung des Korrekturverfahrens. Auch hier wer den die Auswirkungen einer Variation der Inputgrößen, wiez.b. die Investitionsauszah lung oder der zukünftigen Cashflows, auf deren Outputgröße, z.b. der Kapitalwert, be trachtet.derunterschiedzumkorrekturverfahrenliegtdarin,dassmansichnichtaufein einzigesszenariobeschränkt,sonderni.d.r.dreiverschiedeneszenarienbetrachtet:worst case,mostlikelycaseundbestcase.dermostlikelycasesolldabeidenmöglichstenoder auch wahrscheinlichsten Fall repräsentieren. Eine Abweichung sowohl nach oben (best case) als auch nach unten (worst case) runden die Betrachtung der Unsicherheit ab. Die Annahme eines pessimistischen Investors, wie beim Korrekturverfahren, wird hier also aufgegeben.derinvestorerhältaberdurchdiegleichzeitigebetrachtungderunterschiedli chenszenarienkeineklareentscheidungsempfehlungmehr.dieunsicherheitwirddurch dieszenarienbildunglediglichetwastransparentergemacht. Bei der Methode der kritischen Werte wird geschaut, in wie weit die Veränderung einer unsichereninputgrößedasergebnisderbeurteilungsostarkbeeinflusst,dasseszurab lehnungdesprojektesführt.bezogenaufdiekapitalwertmethodebedeutetdies:wiesehr dürfensichdieinputgrößenjedefürsichbetrachtetverändern,ohnedassderkapitalwert negativ wird und damit die Investition gefährdet wird? Diese Fragestellung haben wir

60 86 Investition bereits bei der InternenZinsfußMethode oder der dynamischen Amortisationsrechnung kennen gelernt. Bei der InternenZinsfußMethode (Amortisationsrechnung) haben wir nachdemjenigenzinssatz(laufzeit)alskritischenwertgesucht,beidemderkapitalwert der Investition gerade den Wert Null annimmt. Nun können bei einer Investition auch anderewertealsderzinssatz(i)bzw.derzinsfaktor(q)oderdienutzungsdauer(t)ange sehenwerden.wirdderprognostiziertecashflowinseinebestandteilezerlegt,dannlassen sichfolgendegrößenidentifizieren(vgl.götze2008,s.364;blohmetal.2006,s.233): Anschaffungsauszahlung(I 0 ) Verkaufspreis(p) Absatzbzw.ProduktionsmengebeiGütern(x) produktionsabhängigeauszahlungenbeigütern(a v ) produktionsunabhängigeauszahlungenbeigütern(a f ) Liquidationserlös/Restwert(L) FormalbetrachtetgiltbezogenaufdenKapitalwertC 0 einerinvestition: T t! C= 0 z q t 0 t0 T t T C 0=I 0((P a v) x A f) q L q 0 t1 (2.53) Unterstellen wir einmal, dass erstens die Frage nach dem kritischen Verkaufspreis) von InteresseistunddasszweitensderVerkaufspreis,dieAbsatzunddie (p krit)produktions menge,dieproduktionsabwieunabhängigenauszahlungenüberdiegesamtenutzungs dauer der Investition konstant sind, so lässt sich die obige Gleichung modifizieren und nachdemkritischenverkaufspreisleichtumformen: T t T C 0=I 0((p krit a v) x A f) q L q 0 t1 T t T C=I 0 0((p krit a) x A) v f q +L q ) 0 t1 (2.54) Nachp krit umgeformt: p krit T t T I 0 (a v x+a f) q L q ) t1 T t x t1 q (2.55)

61 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 87 Beispiel2.9(Sensitivitätsanalyse kritischewerte)nachgötze(2008,s.365) AusKapazitätsgründensolleineweitereMaschineangeschafftwerden,damitzusätzlich 1.000MengeneinheitendesProduktsgefertigtundverkauftwerdenkönnen(Annahme: Produktionsmenge=Absatzmenge,FertigungnureinerProduktart).DieNutzungsdauer deralternativeliegtbei5jahren.miteinemliquidationserlösamendedernutzungs daueristnichtzurechnen.dieproduktionsabhängigenauszahlungenprostückwerden beidiesermaschinemit50geveranschlagt.dieproduktionsunabhängigenauszahlun genbelaufensichproperiodeauf16.000ge.dieinvestitionkostet ge.derkal kulationszinssatzbeträgt10%undderpreispromengeneinheitdesproduktssollinner halbdesgesamtenplanungshorizontsbeikonstanten100geliegen.derkapitalwertist unterdieservoraussetzungmit28.886,74gepositiv.welchenverkaufspreismussdas Produktmindestenserzielen,damitsichdieInvestitionnachwievorrechnet? Lösung: DieDatenindieobigeGleichungeingesetzt,ergibt: p krit 5 t ( ) 1,1 ) ,1 t1 t t1 92,38 WieistdiesesErgebnisnunzuinterpretieren?BezogenaufdenursprünglichenVerkaufs preisvon100gedarfderverkaufspreismaximalum7,62%nachuntenabweichen,damit diebetrachteteinvestitionkeinflopwird,vorausgesetzt,dieandereninputgrößenbleiben ceterisparibusunverändert.betrachtenwirdieandereninputgrößenundfragendortnach denkritischenwerten,soerhältmanfolgendeergebnisse(tabelle2.16): Tabelle 2.16 Sensibilität der Inputgrößen (Kritische Werte) auf die Outputgröße Inputgrößen KritischeWerte AbweichungvomAusgangswert A ,74GE +28,9% p 92,38GE 7,6% av 57,62GE +15,2% X 847,60Stückx 15,2% Af ,30GE +47,6% i 20,76% +107,6% T 36,7Jahre 26,6% Quelle:eigeneDarstellung

62 88 Investition WiedieTabelleverdeutlicht,istderVerkaufspreisderkritischsteWertvonallenInputgrö ßen,daerlediglichca.7,6%nachuntenabweichendarf.Amunkritischstenistdagegendie Höhe des Kalkulationszinssatzes. Dieser darf sogar um mehr das Doppelte anwachsen, ohnedassdererfolgderinvestitiongefährdetwäre. Kommen wir zur Bewertung des Sensitivitätsverfahrens. In Wirklichkeit findet die Unsi cherheitbeidersensitivitätsanalyseauchkeinedirekteberücksichtigung,weswegeninder LiteraturauchhiervonInvestitionsentscheidungenunterQuasiSicherheitgesprochenwird (vgl.breuer2001,s.7ff.).esbleibtfestzuhalten: KeinEntscheidungsverfahren,sonderneineSensibilitätsanalyse FlexibleAnwendungsmöglichkeitenaufverschiedeneInvestitionstypen UnrealistischeAnnahmeüberKonstanzderanderenInputgrößen KeineAussagenüberEintrittswahrscheinlichkeitenderGrößen GeringerRechenaufwand Das Erwartungswertverfahren (μ-prinzip) DasErwartungswertverfahren,auchPrinzipoderBayesRegelgenannt,isteinVerfahren aus der klassischen Entscheidungstheorie und kommt bei Risikosituationen zum Einsatz. EsgehtvoneinemrisikoneutralenInvestoraus,daderEntscheiderausschließlichdaser warteteinvestitionsergebnisinformbeispielsweisedesvermögensoderdererwarteten Rendite zur Entscheidungsgrundlage macht. Das Risiko bzw. die Chance einer Abwei chung vom Erwartungswert wird bei dieser Betrachtung prinzipiell ausgeschlossen. Vo raussetzungfürdieanwendungdiesesverfahrensist,dassderinvestordiewahrschein lichkeitsverteilungderzukünftigen,unsicherenerwartungswerteangebenkann.dieziel größe des Investors je Umweltzustand i wird als zufallsabhängige (stochastische) Größe definiert.dabeiistesunerheblich,obdiewahrscheinlichkeiten(p i )subjektiver(geschätzt) oderobjektiver(aufgrundvonstatistiken)natursind.bezogenaufdiekapitalwertmetho de,rücktbeianwendungdeserwartungswertverfahrensdererwartetekapitalwert(e[c 0 ]) in den Fokus des Investors. Formal gilt für die Ermittlung des erwarteten Kapitalwertes einerinvestitionsalternativebeiannahmediskreterzufallsvariablen(c 0,i ): EC [ 0] C0, pi mit pi 1 I i i1 i1 I (2.56) DieverschiedenenKapitalwertejeUmweltzustandresultierenausdenunsicherenInputgrö ßen, wie z.b. dem Cashflow oder der Nutzungsdauer. Bei Wahleinzelentscheidungen sind allealternativenjabsolutvorteilhaft,dieeinenpositivenerwartetenkapitalwertaufweisen. RelativvorteilhaftistdieAlternativemitdemmaximalenerwartetenKapitalwert.Formalgilt:

63 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 89 EC [ 0] j >0 Investition ist absolut vorteilhaft EC [ ] max! Investition ist relativ vorteilhaft 0 j Natürlich lässt sich das Erwartungswertverfahren auch problemlos auf die interne Zins fußmethodeübertragen.indiesemfallwürdederinvestorseineinvestitionsentscheidung nachdererwartetenrenditeausrichten(vgl.z.b.schäfer2002,s.238f.). Beispiel2.10(Erwartungswertverfahren) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungenannehmen können. Die jeweili genumweltzuständes i tretenmitunterschiedlichenwahrscheinlichkeitenein:s 1 =20%, S 2 =50%,S 3 =30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen: Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem Erwartungswert prinzip,wennderinvestornachmaximalenvermögenstrebt. Lösung: NachderobigenFormelerrechnenwirdieerwartetenKapitalwertefürunseredreiAl ternativen.fürdieerstealternativej=1gilt: 3 EC [ 0] 1 C0, i pi520% 650% 1830% 7,4 i1 DieeinzelnenErgebnissesindinderTabellezusammengetragen: WiemanderTabelleentnehmenkann,sindalledreiInvestitionenabsolutvorteilhaft,da ihrerwarteterkapitalwertpositivist.daderinvestorannahmegemäßnachmaximalem Vermögenstrebt,würdeersichfürdieAlternativeBentscheiden. Anhand des Beispiels konnte man sehr gut erkennen, dass das Erwartungswertprinzip auch als eine Weiterentwicklung der Szenarioanalyse (vgl. Kap ) bezeichnet werden kann.wirhabenfürunserezielgrößekapitalwertdreiszenarien(s 1 =worstcase,s 2 =most likelycase,s 3 =bestcase)unterstellt,denenwirjetztaberauchimgegensatzzurszenario analyse Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen konnten. Erst dadurch waren wir in der

64 90 Investition Lage,diedreierhaltenenErgebnisse(Kapitalwerte)zueinerKennzahl(Erwartungswert)zu verdichten.derinvestoristdamitwiederindielageversetztworden,eineentscheidung unterunsicherheitüberdendirektenvergleichderergebnisseherbeizuführen,undnicht wiebeiderszenarioanalyselediglichdierisikosituationtransparentzumachen. Das Prinzip ist in der Literatur nicht unumstritten. Dabei wird oft das Petersburger Spiel einspielerwirfteinemünzesoofthoch,biszumerstenmaldiemünzseite Zahl angezeigtwird.derspielererhälteinengewinninabhängigkeitderanzahlwürfen.die Zahlungbeläuftsichauf2 n angeführt,beidemdererwartungswerttheoretischunendlich großist.(vgl.trautmann2007,s.236f.).einempotenziellenmitspielermüsstediebeteili gungamspieltheoretischbeliebigvielwertsein,wennersichnachdemerwartetenge winn orientiert. Tatsächlich wird es trotz hoher Gewinnaussichten schwierig sein, einen Mitspielerzufinden,derbereitwäre,einenhohenGeldbetrageinzusetzen,umandiesem Spielteilnehmenzukönnen.DiesesParadoxonzwischenTheorieundPraxishatBernoulli dazuveranlasst,einneuesprinzipzuentwickeln:dasbernoulliprinzip(vgl.kap.2.4.6). KommenwirzurBewertungdesErwartungswertprinzips: AngabeeinerWahrscheinlichkeitsverteilungbezüglichderunsicherenInputgrößen oderderoutputgrößenotwendig RisikoeinerAbweichungvomErwartungswertbleibtunberücksichtigt(risikoneutraler Investor) FlexibleAnwendungsmöglichkeitaufzahlreicheVerfahrenderInvestitionunterSi cherheit(z.b.kapitalwertundinternezinsfußmethode) ParadoxonzwischenTheorieundPraxis(PetersburgerSpiel) Die Erwartungswert-Varianz-Regel(μ--Prinzip) EntscheidungennachdemErwartungswertunddessenStreuung,kurzPrinzip,bezie henexplizitdierisikoeinstellungdesinvestorsindieentscheidungsfindungmitein.dabei wirdalsgeeignetesrisikomaßdiestandardabweichunginbezugzumerwartungswert gesetzt.alsergebniserhältmaneinenpräferenzwert(,).durchdiesekomprimierung derbeidenkennzahlenundzueinerkennzahlkanneszuinformationsverlustenkom men,diedasergebnisverfälschenkönnen.esistdurchausdenkbar,dassentscheidungen auf der Grundlage des Prinzips in Widerspruch zum Dominanzprinzip stehen (vgl. BussevonColbeundLaßmann1990,S.170).DiesesDominanzprinzipsagtaus,dasseine Alternativederanderenüberlegenist,soferndiezubetrachtendeZielgrößedereinenAl ternativeinjedemumweltzustandgrößerodergleichistalsdiederanderenalternative. Folglich muss der Entscheider, bevor er das Prinzip auf ein Entscheidungsproblem anwendenwill,zunächstalssog.vorauswahlregeldasdominanzprinzipanwenden,und ggf.diedominiertenalternativenzuvoraussortieren.

65 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 91 KommenwirzurückzurRisikoeinstellung:IstderInvestorrisikoaffin(risikoavers),sowird erbeiderentscheidungsfindungdiepositive(negative)abweichungvomerwartungswert berücksichtigen.jenachstärkederaffinitätbzw.aversionzudenrisiken,wirddiestan dardabweichung vom Investor mehr oder weniger stark in Bezug zum Erwartungswert gesetzt.beieinfacherrelationderrisikenzumerwartungswertlautendieentscheidungs kriterieninabhängigkeitderrisikoeinstellung: ( μ, ) = μ+ Max! (für risikoaffinen Investor) ( μ, ) = μ Max! (für risikoaversen Investor) WirddasRisikobzw.dieChancevollkommenausgeblendet(s=0),sohabenwireswieder miteinemrisikoneutraleninvestorzutun.daserwartungswertprinzipistalsoeinspezial falldesprinzips. Wenden wir das Prinzip auf Investitionsentscheidungen an, so sind zunächst in einem erstenschrittdieerwartungswerteunddiestandardabweichungenjealternativezubestim men.ineinemzweitenschrittwerdendiesebeidenkennzahlenjenachrisikoeinstellungdes Investors zum Präferenzwert () verdichtet. Eine Investition j ist absolut vorteilhaft, wenn j >0ist.RelativvorteilhaftistdiejenigeInvestition,deren j maximalist.formalgilt: jμ (, ) > 0 Investition j ist absolut vorteilhaft jμ (, ) max! Investition j ist relativ vorteilhaft WiederErwartungswertallgemeinberechnetwird,habenwirbereitsinKap.2.4.4gesehen. DieStandardabweichungbzw.dieVarianz( 2 )einerdiskretenzufallsvariablenberechnen sichformalwiefolgt: I 2 2 C0, i i1 ( ) pi (Varianz) (2.57) I 2 ( C0, i ) pi(standardabweichung) i1 (2.58) BetrachtenwirdasnachfolgendeBeispielzumErwartungswertverfahrenundergänzenes nachkleinenmodifikationenhinsichtlichderrisikoeinstellungumdasprinzip: Beispiel2.11(Prinzip) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungenannehmen können. Die jeweili genumweltzuständes i tretenmitunterschiedlichenwahrscheinlichkeitenein:s 1 =20%, S 2 =50%,S 3 =30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen:

66 92 Investition Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem Prinzip, wenn derinvestornachmaximalenvermögenstrebt.gehensiedabeivoneinemmäßigrisiko scheuen,starkrisikoaversenundvoneinemmäßigrisikofreudigeninvestorausundver gleichensieihreergebnisse. Lösung: Die Erwartungswerte der Kapitalwerte je Alternative haben wir bereits in Kap (vgl.tab.) berechnet. Die Standardabweichung für die Alternative A ergibt sich durch EinsetzenderDateninobigeGleichung: = ( 5 7,4) 20 % + (6 7,4) 50 % + (18 7,4) 30 % = 8,1 DieErwartungswerteundStandardabweichungenfüralledreiAlternativensindinfol gendertabellezusammengefasst: ImzweitenSchrittwirddieRisikoeinstellungdesInvestorsberücksichtigt.Hiersollge mäßaufgabenstellungvoneinemstarkundmäßigrisikoaversensowievoneinemmäßig risikoaffinen Investor ausgegangen werden. Der Vollständigkeit halber betrachten wir auch noch den risikoneutralen Entscheider. Die Ergebnisse können der nachfolgenden Tabelleentnommenwerden: Richten wir zunächst unser Augenmerk auf den Fall des mäßig risikoscheuen Investors. Die Standardabweichung wird in einfacher Form vom Erwartungswert subtrahiert (). FolglichergibtsichfürAlternativeAeinWertvon0,7(=7,4 8,1).DieseAlternativeist alsonichtabsolutvorteilhaftfürdeninvestor.lediglichfürdiealternativebundcsind

67 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 93 dieverdichtetenkennzahlenpositiv.daderwertderalternativecmit3,2amgrößten ist,wirdsichdiesermäßigrisikoscheueinvestor,dersichnachdemprinzipverhält,für diesealternativeentscheiden.dieseentscheidungwirdbeieinemstarkrisikoaversenin vestor manifestiert. Alternative B wäre in diesem Fall auch nicht mehr absolut gesehen vorteilhaft,daderkomprimiertewertmit2,9negativist. BeieinemmäßigrisikoaffinenInvestordrehtsichdieEntscheidung.HiererscheintAlterna tive A mit einem Wert von 15,5 am vorteilhaftesten. Der risikoneutrale Investor dagegen würde sich für die Alternative B entscheiden., was genau dem erwarteten Kapitalwert entspricht,isthiermit7,5maximal.diesesergebniskennenwirbereitsausdembeispiel3a (vgl.kap.2.4.4). KommenwirzurBewertungdesPrinzips: AngabeeinerWahrscheinlichkeitsverteilungbezüglichderunsicherenInputgrößen oderderoutputgrößenotwendig Risiko/ChanceeinerAbweichungvomErwartungswertwirdexplizitberücksichtigt StärkederRisikoeinstellung(Risikoaversionundaffinität)lässtsichüberdieAddition bzw.subtraktionderkennzahlenundsrelativfeinsteuern FlexibleAnwendungsmöglichkeitaufzahlreicheVerfahrenderInvestitionunterSi cherheit(z.b.kapitalwertundinternezinsfußmethode) AnwendungdesDominanzprinzipsalsVorauswahlregel,umggf.widersprüchliche ErgebnissedessPrinzipszuvermeiden Dem Prinzip kommt in der Investitions und Finanzierungstheorie eine sehr große Bedeutung zu. Weitere Verfahren der Investitionsrechnung unter Unsicherheit, wie z.b. das Entscheidungsbaumverfahren, die MonteCarloSimulation und die Portfoliotheorie, basierenaufdiesemkonzept.flexibilitätbeweistdasprinzipauchhinsichtlichdeszu betrachtetenrisikomaßes.esistdurchausmöglich,stattdervarianzbzw.derstandardab weichungaucheinanderesrisikomaßzuverwenden,wiez.b.denvariationskoeffizienten (vgl.bussevoncolbeundlaßmann1990,s.171). AlsFazitlässtsichfesthalten,dassdieErwartungswertVarianzRegeleinesowohlinder Theorie als auch in der Praxis bevorzugte Möglichkeit des Umgangs mit Investitionsent scheidungenbeirisikosituationendarstellt Das Bernoulli-Prinzip DasBernoulliPrinzipgehtaufdenMathematikerDanielBernoulliimJahr1738zurückund gerietbiszurwiederentdeckungimjahr1944durchjohnvonneumannundoskarmor gensterninvergessenheit(vgl.kruschwitz(2009,s.327)unddiedortaufgeführteliteratur Bernoulli 1738). Als Entscheidungsgrundlage dient der erwartete Risikonutzen des Ent scheiders oder auch Bernoulli bzw. NeumannMorgensternNutzen genannt (vgl. Busse voncolbeundlaßmann1990,s.172).derentscheiderbewertetgemäßseinerindividuellen

68 94 Investition RisikoeinstellungjedemöglicheAusprägungdesZielwertesinFormeinerNutzenfunktion, um anschließend diese verschiedenen Nutzenwerte mit der jeweiligen Eintrittswahrschein lichkeitdesumweltzustandeszugewichten.alsergebnisdiesesbewertungsprozesseserhält derentscheidereinenpräferenzwertfürdiebetrachtetealternative,denerwartetenrisiko nutzen. Werden diese verschiedenen erwarteten Risikonutzen je Alternative miteinander verglichen,sowähltderentscheiderdiejenigemitdemmaximalennutzenaus. DadasBernoulliPrinzipvoneinemrationalhandelndenMenschenausgeht,basierendie weiteren Überlegungen auf einem Rationalitätspostulat bzw. einem Axiomensystem, das ausdenaxiomenvergleichbarkeit,transitivität,stetigkeit,beschränkung,dominanzund Unabhängigkeit der möglichen Ausprägungen besteht. Auf eine weitere Beschreibung diesesaxiomensystemswollenwirhierverzichten.derinteressierteleserseiandieent sprechendeliteraturverwiesen(vgl.z.b.kruschwitz2009,s.335f.). Beziehen wir nun die allgemeinen Aussagen des BernoulliPrinzips wieder auf Investiti onsentscheidungen unter Risiko und wählen als ökonomische Größe den Kapitalwert. Dann ergibt sich dererwartete Risikonutzen aus einer Investition E[C 0,i )] aus der Summe mitderjeweiligeneintrittswahrscheinlichkeitp i gewichtetennutzen(utility)derverschie denenkapitalwerteu(c 0,i )jeumweltzustandi: EuC [ ( 0, i)] uc ( 0, i) pi mit pi 1 I i1 i1 I (2.59) BeiWahleinzelentscheidungensindalleAlternativenjabsolutvorteilhaft,dieeinenpositi ven erwarteten Risikonutzen aufweisen. Relativ vorteilhaft ist die Alternative mit dem maximalenerwartetenrisikonutzen.formalgilt: EuC [ ( 0)] j > 0 Investition ist absolut vorteilhaft EuC [ ( )] max! Investition ist relativ vorteilhaft 0 j StrenggenommenerfolgtalsobeimBernoulliPrinzipwiebeimPrinzipebenfallseine Verdichtung der Unsicherheit durch die Berechnung eines Präferenzwertes (erwarteter Risikonutzen).JedocherfolgtdieseKonzentrationzueinerKennzahlnichterstamSchluss derberechnungen,sondernbereitsamanfanginformeinerrisikonutzenfunktion,aufdie sich der Investor zuvor festgelegt hat. Diese Risikonutzenfunktion soll den persönlichen NutzenderbetrachtetenInvestitioninAbhängigkeitseinerindividuellenRisikoeinstellung widerspiegeln.durchdiegestaltderrisikonutzenfunktionsollalsodieindividuellerisi koeinstellung zum Ausdruck kommen. Dabei werden grundsätzlich drei verschiedene Risikonutzenfunktionenbetrachtet: KonkaveRisikonutzenfunktionfürrisikoscheueInvestoren KonvexeRisikonutzenfunktionfürrisikofreudigeInvestoren LineareRisikonutzenfunktionfürrisikoneutraleInvestoren DietypischeGestaltdieserRisikonutzenfunktionenistinAbbildung2.26dargestellt.

69 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 95 Abbildung 2.26 Risikonutzenfunktionen bei unterschiedlicher Risikoeinstellung u(x) Risikoneutralität Risikoaversion Risikoaffinität x Quelle:eigeneDarstellung DerVollständigkeithalbersollauchnocheinevierteRisikonutzenfunktion,dievonFried man;savage,erwähntwerden(vgl.bambergetal.2008).diesefunktion,diewirimweite rennichtweiterverfolgenwollen,bestehtsowohlauskonkavenwieauskonvexenstücken und soll die empirisch belegte, zum Teil widersprüchliche Einstellung des Entscheiders zumrisikoabbilden.zudenkenwäreanmenschen,dieanglückspielen,wiederstaatli chenlotterieoderspielwetten,teilnehmen(risikosympathie)undsichgleichzeitiggegen SachundPersonenrisikenbeiVersicherungenabsichern(Risikoaversion). BeispielefürkonkaveRisikonutzenfunktionenbeiRisikoaversionsind: u(x)=lnx u(x)= x BeispielefürkonvexeRisikonutzenfunktionenbeiRisikoaffinitätsind: u(x)=x 2 u(x)=e x BeispielefürlineareRisikonutzenfunktionenbeiRisikoneutralitätsind: u(x)=2x u(x)= 1 3 x DieRisikonutzenfunktionenerhältmandurchBefragungdesInvestorsbzw.durchHerbei führung hypothetischer Risikosituationen. Dabei werden, einmal vereinfachend gesagt, fiktive Fragen gestellt, dessen Beantwortung eine Messung des Nutzens für bestimmte Risikosituationen ermöglichen und damit Rückschlüsse auf die Gestalt der Risikonutzen funktiongebensoll.diesefrageundauswertetechnikwollenwirhierimeinzelnennicht

70 96 Investition weitervertiefen.derinteressierteleserseiandieentsprechendeliteraturverwiesen(vgl. z.b.bambergetal.2008,s.76ff.odertrautmann2007,s.237ff.). AnhanddesBeispiels3wollenwirmitleichtmodifizierterAufgabenstellungdietheoreti schenausführungenzumbernoulliprinzipnunverdeutlichen: ModifiziertesBeispiel2.12(Prinzip) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungenannehmen können. Die jeweili genumweltzuständes i tretenmitunterschiedlichenwahrscheinlichkeitenein:s 1 =20%, S 2 =50%,S 3 =30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen: Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem BernoulliPrinzip, wennderinvestornachmaximalemrisikonutzenstrebt.gehensiedabeivoneinemrisi koscheueninvestoraus,dessenrisikoeinstellungüberfolgendefunktionsehrgutzum Ausdruckkommt: Lösung: 2 C0 uc ( 0) C0 10 C 0 Da die Risikonutzenfunktion des Investors bereits bekannt ist, können wir gleich zur BewertungderdreiAlternativenkommen. StellvertretendfürAlternativeAberechnenwirineinemerstenSchrittzunächstdieNut zenwertefürdieverschiedenenkapitalwertejeumweltzustand: 2 2 C0,1 ( 5) Umweltzustand i=1: uc ( 0,1)= C0, C0, C0,1 (6) Umweltzustand i = 2: uc ( 0,1)= C 0,1 6 3,75 10 C 0, C0,1 (18) Umweltzustand i =3: uc ( 0,1) = C 0,1 18 6, C 0, DieseBerechnungenwiederholenwirfürjedeAlternativeundkönnenalsZwischenergeb nisfolgendenutzenmatrixerstellen:

71 Investitionsrechnung unter Unsicherheit 97 In einem nächsten Schritt ermitteln wir den erwarteten Risikonutzen je Alternative. Für AlternativeAergibtsich: 1 EuC [ ( 0,1)] A uc ( 0,1) pi10 20% 3,75 50% 6,43 30% 1,8 i 1 Berechnen wir den erwarteten Risikonutzen der anderen zwei Alternativen ebenso, so erhaltenwirdienachfolgendenergebnisse: DerVergleichdererwartetenRisikonutzenjeAlternativemachtdeutlich,dassfürdenIn vestordiealternativeboptimalist,dadernutzenfürihndortmaximalist. KommenwirzurBewertungdesBernoulliPrinzips: AufwendigeFrageundAuswertungsprozedurbeiderErstellungderRisikonutzen funktionerschwertdieschnelleanwendbarkeit AnwendungnursinnvollbeiAnnahmeeinesrationalhandelndenMenschen(Anerken nungdeszugrundeliegendenaxiomensystems) UnterstellungeinerdiskretenWahrscheinlichkeitsverteilungderZielgröße TransparenterEntscheidungsfindungsprozess Wegen der oben genannten, in erster Linie kritischen Punkte, hat das BernoulliPrinzip keinegroßepraktischerelevanzinderinvestitionsrechnung.

72 98 Investition 2.5 Kontrollaufgaben Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: KontrollaufgabenzudenFragestellungenderInvestition Aufgabe2.1EinBauunternehmermöchteeineneueBetonmischmaschineanschaffenund hathierzu2alternativen:anlage1kostet12.790,anlage2hingegen diefixen KostendesBetriebsderAnlagesindbeibeidenAlternativenidentischundbetragen430 pro Jahr. Die Betriebskosten für Anlage 1 belaufen sich auf 12,20 und für Anlage 2 auf 10,75 pro m 3 Beton. Es wird eine jährliche Menge von m 3 Beton geplant und die KapazitätenreichenbeibeidenAnlagenhierzuaus.DerRestwertnachderfürbeideAnla gengeplantennutzungsdauervon8jahrenliegtjeweilsbei15%.führensieeinenstati schenkostenvergleichdurch.gehensiehierbeivoneinemzinssatzvon7,9%aus. Aufgabe 2.2 Der Eigentümer der Autovermietung Time Rent will ein neues Fahrzeug anschaffen und hat hierzu zwei Alternativen: Für Typ 1 liegt ihm ein Kaufangebot für vor.fürsteuernundversicherungkalkulierter10%desanschaffungspreisesals fixekostenprojahr.erschätzt,dassdasfahrzeug3jahrelangvermietetwerdenkann.pro MonatrechnetermiteinerLaufleistungvon4.500km,wobeilautFachpresseeinWertver lustvon1%pro2.500kmlaufleistungerwartetwird.außerdemfallen0,12 prokman variablenkostenan.manglaubt,dasfahrzeugfür0,40 prokmvermietenzukönnen. FürTyp2liegteinAngebotüber vor.auchhierwerdenfürsteuernundversiche rung 10% des Anschaffungspreises pro Jahr und ein Wertverlust von 1% pro 2500 km veranschlagt. Man glaubt auch dieses Fahrzeug über drei Jahre nutzen zu können und erwartet dabei variable Kosten von 0,13 pro km. Als monatliche Laufleistung zu einem Preisvon0,45 prokmwerden4200kmgeschätzt.derzinssatzbeibeidenalternativen beträgt6,5%. a) FührenSieeineGewinnvergleichsrechnungdurch. b) FührenSieeineRentabilitätsrechnungdurch. c) WarumführtmanhierkeineKostenvergleichsrechnungdurch? d) WasergibtsichbeieinerAmortisationsrechnung? Aufgabe2.3EinKapitalwirdmiteinemZinssatzvon6,35%proJahrverzinst.Nachfünf JahrenbeträgtK WiehochistdasKapitalnach32Jahren?Wiehochwareszum Zeitpunktt=0? Aufgabe 2.4 Ein Darlehen über soll über 26 Jahre in jährlichen Annuitäten zu rückgezahltwerden.alszinssatzsind5,85%vereinbart.wiehochsinddiejährlichenan nuitäten?wiehochsinddieraten,wennkeinetilgungvereinbartist(tilgungderdarle henssummeamendeineinersumme)?

73 Kontrollaufgaben 99 Aufgabe2.5EinKapitalwirdzehnJahremiteinemZinssatzvon5,7%verzinst.Nachdem zehntenjahrhebtdersparerdiehälftedesanfangskapitalsabundlässtdenrestwieder zehnjahremiteinemzinsvon6,3%verzinsen.nachablaufdes20.jahreszahltmanihm aus.wiehochwardasanfangskapital? Aufgabe2.6EinKapitalwird26JahremiteinemZinssatzvon5,74%verzinst.JedesMal, wenndiebankdiezinsenvergütet,legtdersparernocheinmal1.990 dazu.wiehochwar daskapitalzumzeitpunktt=0,wennesnach26jahren beträgt? Aufgabe2.7 OmaSchütterchen (73Jahrealt)bietetihrerEnkelinan,ihrzumEndejeden JahresdenBetragvon1.000 zuzahlen(beginnendzumzeitpunktt=1),damitdiesege nug Geld in eine spätere Ehe einbringen kann. Da die Enkelin den Gesundheitszustand ihrergroßmutterkritischbetrachtet,schlägtsieihrvor,ihrstattderjährlichenzahlungen sofort(zumzeitpunktt=0)einengroßenbetragüber zuschenken.abwelchem AlterderOmamusssichdieEnkelindarüberärgern,denEinmalbetraggewähltzuhaben? Aufgabe2.8EinekleineAutowerkstattverkauftderzeitmitzweiMonteurenproJahrins gesamt Werkstattstunden. Der Verkaufspreis liegt bei 45 pro Stunde. Die beiden MonteureerhaltenhierfüreinenStundenlohnvon11.DurchdenKaufeinerneuenHebe bühne könnten die Reparaturarbeiten an den Kundenfahrzeugen 3% schneller erfolgen, sodass 3% mehr Stunden verkauft werden könnten. Da die Monteure nach verkaufter Stundebezahltwerden,würdensichnatürlichauchdieLohnkostenentsprechenderhöhen. DieNutzungsdauerderHebebühnewirdauf15Jahreveranschlagt.DerAnschaffungspreis beträgt , als Zinssatz kalkuliert man 7,5%. Man erwartet, dass die Bühne nach 15JahrennurnochwertloserSchrottist. a) ErrechnenSiedenKapitalwertdieserInvestition. b) ErrechnenSiedieAmortisationsdauer. Aufgabe2.9EineFluggesellschaftkannfürzweiJahrebefristetdieRechteerwerben,Flüge zwischen Düsseldorf und Bangkok durchzuführen. Die Rechte haben einen Preis von HierfürmusseinzusätzlichesLangstreckenflugzeugangeschafftwerden,das man gebraucht für erwerben könnte.man erwartet, dass dieses Flugzeug pro Jahr2,5Mio.Flugkilometerzurücklegenwird,undmanglaubt,pro10.000Flugkilometer EinnahmeninHöhevon zuerzielen,denenkosteninhöhevon gegen überstehen.außerdemmüssenprojahrfürpflegeundwartungdesflugzeugsnochein mal veranschlagtwerden.inzweijahrenhatdasflugzeugnocheinenwertvon undessolldannhierfürverkauftwerden.derkapitalmarktzinsbeträgt5,7%. DieInvestitionsplanererrechnendeninternenZinsfußderInvestition.ZuwelchemErgeb niskommensie?werdensiedierechtekaufen?begründensiedieentscheidung. Aufgabe 2.10 Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: Die dynamischen Verfahren basierenalleaufderkapitalwertmethodeundführendaherzuidentischerbeurteilungder VorteilhaftigkeitvonInvestitionen.

74 100 Investition Aufgabe 2.11 Ein Fertigungsbetrieb, der spezielle energiesparende Neonröhren herstellt, beleuchtetseineeigenenfabrikhallenmit1.600röhrenauseigenerfertigung.dadieröh renmitzunehmenderbetriebsdauerwenigerenergieverbrauchen,solldieoptimalenut zungsdauerderröhrenermitteltwerden.dieröhrenhabenherstellungskostenvon16,5 pro Stück und halten 4 Jahre. Im ersten Jahr der Nutzung liegt die ersparte Energie pro Röhrebei11,imzweitenJahrbei7,imdrittenJahrbei2 undimviertenjahrspartman nurnoch1.ermittelnsiedieoptimalenutzungsdauerbeiunendlichhäufigerreinvesti tion.derkalkulationszinssatzliegtbei7,4%. Aufgabe2.12WirwohnenaufdemLand.Aberauchhieristallesteurergeworden insbe sonderediegutefrischeökomilch.wirerwägendeshalb,selbereinekuhzuhalten.wir verbrauchenprotag4,5lfrischmilch,die0,70 proliterkostet.derbenachbartebauer MüllerbietetunsKlara,eineMilchkuh,für1.500 an.wirschätzen,dassklaraprojahrfür 350 Futterbraucht,dennansonstenkannsieaufunsererWieseweiden(undnachtsdie Sträucher der Nachbarn anknabbern), wodurch wir noch einmal 50 für Rasenmäher benzin sparen. Bauer Müller meint, dass Klara noch eine Lebenserwartung von 7 Jahren hat,empfiehltmiraber(alsdiekindernichtzuhören),klaranach5jahreninfrischfleisch zutransformieren,dasiedannwohlnocheinenrestwertvon400 habenwird.derzins satzbeträgt6,8%. a) ÜberprüfenSiemittelsKapitalwertmethode,obichKlarakaufensoll. b) SollmanKlarawirklichnach5Jahrenschlachten? Aufgabe2.13DieStadtväterStuttgartsmöchtendieAttraktivitätihrerStadtsteigernund planen deshalb eine Ausstellung von Weltformat. Dabei denkt man entweder an eine KunstausstellungüberClaudeMonet(A1)oderaneineAutomobilAusstellung(A2),die die Entwicklungsgeschichte des Automobils in einem noch nie da gewesenen Ausmaß dokumentierensoll.diegeschätztenbesucherzahlensindvondreiverschiedenenumwelt zuständen(sj)abhängig.fallsderzustands1(eintrittswahrscheinlichkeit30%)eintreten sollte,dannwürden menschendiemonetund dieautomobilausstellung besuchen.wennjedochderzustands2(eintrittswahrscheinlichkeit45%)eintretensollte, dann würden zur Kunstausstellung und zur AutomobilAusstellung lediglich Besucher erwartet. Bei Eintritt des letztmöglichen Zustandes würden dagegen KundendieKunstund dieAutoschaubesuchen. FürwelchederbeidenAlternativensolltensichdieStadtväterentscheiden,wennsieden Risikonutzen maximieren möchten und dabei von der Risikonutzenfunktion u(x) = x1/2 ausgehen? Aufgabe2.14DerUnternehmerSüßbesitzteineKeksfabrik.ErmöchteseinSortimentum Vollwertkekse erweitern und plant deshalb den Kauf einer neuen Teigmaschine. Sie soll kosten.zusätzlichmussfürdieerrichtungdermaschineeineeinmaligeausgabe in Höhe von geleistet werden. Die betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer der Teig maschinebeträgt3jahre.fürdiesedreijahrehatsüßdienachfolgendendaten(in )zu sammengestellt,wobeiallezahlungenamjahresendeerfolgen.

75 Kontrollaufgaben 101 In einer Kekspackung befinden sich 25 Vollwertkekse. Süß plant eine jährliche Produkti onsmengevon keksen,dieauchvommarktaufgenommenwird.dieangestrebte Mindestverzinsungliegtbei9%. a) BeurteilenSieanhandderKapitalwertmethode,obsichdieInvestitionfürSüßlohnt. b) Angenommen,dieNachfragenachVollwertkeksenistvonSüßfürdaszweiteunddrit tejahrzuhocheingeschätztworden.eslassensichindenbetreffendenjahrennur Kekseabsetzen.WürdenSieunterdiesenVoraussetzungenheutedieTeigma schinekaufen? c) Süßistverunsichertundmöchtenunwissen,wievieleKekseermindestensabsetzen muss,damitsichdieinvestitionfürihnlohnt.helfensieihm.

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