Funktionentheorie. Kapitel Komplexe Funktion

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1 Kapitel 4 Funktionentheorie Die Funktionentheorie bezeichnet die Analysis über den komplexen Raum. Zunächst unterscheidet sich die komplexe Analysis kaum von der reellen Analysis. Begriffe wie Folgen, Konvergenz und Stetigkeit werden analog definiert und haben ähnliche Eigenschaften wie Funktionen von zwei Variablen im Reellen. Die Untersuchung differenzierbarer komplexer Funktionen beendet, wie wir später sehen werden, die Gemeinsamkeit mit der reellen Analysis, da im Komplexen die Differenzierbarkeit eine wesentliche stärkere Forderung darstellt als im Reellen. Darüberhinaus unterscheidet sich die komplexe Integrationstheorie insbesondere für analytische Funktionen, wo Konturintegrale vom Interesse sind, von der reellen Theorie. Diese Integrale können dank der Integralsätze von auchy auf wunderbar einfache Weise berechnet werden. Wir werden auch den Begriff der Laurentreihen kennenlernen, welche für die Berechnung der erwähnten Kurvenintegralen ein äußerst starkes Werkzeug darstellen und als eine Erweiterung der Taylor-Reihen interpretiert werden können. Abschließend wird auch gezeigt, dass uneigentliche reelle Integrale mit den Mitteln der Funktionentheorie einfacher und eleganter gelöst werden. 4. Komplexe Funktion Wie wir wissen können auch komplexe Zahlen der Form z x + iy variabel werden, wenn x, y oder beide variieren. Somit kann auch eine komplexe Funktion folgendermaßen definiert werden. Definition 4... Falls für jedes z eine Zahl w eindeutig zugeordnet werden kann, nennt man w f(z) eine komplexe Funktion, die in der Form f(z) u(x, y) + iv(x, y) dargestellt werden kann, wobei u(x, y) und v(x, y) reelle Funktionen in zwei Veränderlichen sind, d.h. u(x, y) R (f(z)) v(x, y) I (f(z)) 28

2 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 29 Bsp.: f(z) z 2 (x + iy) 2 x 2 y 2 +i 2xy. }{{}}{{} R(f(z)) I(f(z)) u(x, y) x 2 y 2 v(x, y) 2xy 4.. Differenzierbarkeit Wie im Reellen wird die Ableitung über den Differenzenquotienten eingeführt. Genauer, eine Funktion f(z) : G heißt komplex differenzierbar bei z G, falls der Grenzwert f f (z + z) f (z ) (z ) : lim z z (4..) existiert, wobei z z z. In diesem Fall heißt f (z ) df dz (z ) die Ableitung von f bei z. Falls nun f in z differenzierbar ist, so ist f auch stetig in z. Beweis: lim z f (z + z) f (z ) lim Es folgt lim z z f(z) f(z ). z f (z + z) f (z ) z } {{ } existiert nach Voraussetzung lim z z }{{} Die Funktion f heißt analytisch (holomorph oder regulär), falls G offen ist und f bei allen z G eindeutig und komplex differenzierbar ist. Somit ist eine Funktion, die nur in einzelnen Punkten komplex differenzierbar ist nirgendwo holomorph. Eine auf ganz holomorphe Funktion nennt man übrigens auch ganze Funktion und hat, wie wir später sehen werden, einige schöne Eigenschaften, welche sich im Zusammenhang mit den komplexen Kurvenintegralen offenbaren werden. Der Grenzwert muss also eindeutig und unabhängig von der Richtung sein, in der man sich dem Punkt z nähert. Das Gebiet G entspricht einer zusammenhängenden offenen Teilmenge von, welches auch Analytizitätsgebiet der Funktion f genannt wird. Da nun per Definition f(z) u(x, y) + iv(x, y) kann der Grenzwert 4.. in die Form f (z) u (x + x, y + y) u (x, y) i [v (x + x, y + y) v (x, y)] lim x, y x + i y gebracht werden. Wie man sieht gibt es nun zwei Möglichkeiten den Grenzwertübergang durchzuführen. Zunächst wählen wir den Weg über x. In diesem Fall ist y fixiert und demnach y. Daraus ergibt sich f (z) lim x [ u (x + x, y) u (x, y) + i x v (x + x, y) v (x, y) x ] u v +i x x

3 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 3 Der nächste Schritt bezieht sich folglich auf die Änderung in die y-richtung, wobei nun x fixiert wird, sodass x. [ ] u (x, y + y) u (x, y) f v (x, y + y) v (x, y) (z) lim + i i u y i y i y y + v y Damit nun dieser Grenzübergang bzw. die Ableitung f (z) eindeutig ist, muss gelten u x + i v x i u y + v y woraus wir die sogenannten auchy-riemann-differentialgleichungen u x v y u y v x erhalten, welche notwendig und hinreichend für die Existenz der Ableitung einer komplexen Funktion sind. In diesem Zusammenhang werden die Funktionen u(x, y) und v(x, y) auch oft harmonisch konjugierte Partnerfunktionen genannt, dann kann man tatsächlich aus der einen Funktion die andere bis auf eine additive Konstante, die sich beim Lösen bzw. Integrieren der entsprechenden DG ergibt, berechnen. Satz: Die Funktion f(z) u(x, y) + iv(x, y) ist im Punkt z x + iy differenzierbar, dann und nur dann wenn die partiellen Ableitungen u x, u y, v v x und y stetig sind und in z die auchy-riemann-differentialgleichungen (RD) erfüllen. Diese RD bieten demnach eine alternative Möglichkeit, den Analytizitätsbereich einer Funktion auszuloten. Es zeigt sich, dass die elementaren Funktionen, wie Polynome, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, usw., komplex differenzierbar sind, und sich ihre Ableitungsregeln Eins-zu-Eins aus dem Reellen übertragen lassen. Bsp.: Ist die Funktion f(z) z 2 f (z) 2z in analytisch? Um dies herauszufinden prüfen wir die RD. Zunächst schreiben wir die Funktion f(z) in die Form f(z) z 2 (x + iy) 2 x 2 y 2 + i2xy Nun ist u(x, y) x 2 y 2 und v(x, y) 2xy. Durch Einsetzen dieser Funktionen in die RD erhalten wir: u v 2x x y u y 2y v x

4 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 3 Somit sind die RD erfüllt und die Ableitung der Funktion f (z) u x + iv y 2x + i2y 2(x + iy) 2z. Die komplexe Funktion ist demnach analytisch in, da sie in alle z differenzierbar ist. Bsp.: Ist die Funktion f(z) z (x iy) irgendwo in analytisch? Die Grenzwertbildung liefert: f (z + z) f (z ) z + z z lim lim z z z z z lim z z Hier hängt das Ergebnis wesentlich davon ab, wie wir z ansetzen. Wählen wir z reell, z x, nähern uns also z parallel zu reellen Achse, so erhalten wir x lim x x lim x x x Mit imaginären z hingegen, z i y, folgt i y lim y i y lim i y y i y Da nun die beiden Werte unterschiedlich sind, existiert die Ableitung nicht. Da der Punkt z in dieser Überlegung völlig beliebig war, ist f(z) z für kein z differenzierbar. Mit u(x, y) x und v(x, y) y kann der Sachverhalt etwas einfacher betrachtet werden und die partiellen Ableitungen ergeben folgendes Bild u x v x u y v y Da nun u x v y ist die von den RD gestellte Forderung verletzt und die Funktion f(z) ist nirgendwo analytisch. Dem aufmerksamen Leser wird schon aufgefallen sein, dass es natürlich auch Funktionen geben kann, die überall außer an einem Punkt analytisch sind. Wir wollen diese besonderen Punkte, auch Singularitäten genannt, erst im Kapitel über die Laurentreihen näher behandeln, da sich diese Singularitäten mit Hilfe der Laurentreihen systematisch einordnen lassen. Der Leser sei demnach für eine vernünftige Klassifikation der singulären Punkte auf die nachfolgenden Abschnitte verwiesen.

5 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE Riemann sche Zahlenkugel Wie man im Falle der reellen Achse oft eine Kompaktifizierung durch Hinzufügen der beiden idealen Punkte ± vornimmt, so kann man auch kompaktifizieren, und zwar durch Hinzufügung nur eines Punktes. Es sei aber gleich zu Beginn gesagt, dass wir mit dem unendlich fernen Punkt nicht wie mit beliebigen komplexen Zahlen rechnen dürfen. Man assoziiert zu das Symbol und nennt { }, wobei / die erweiterte komplexe Zahlenebene. Zur Veranschaulichung von nimmt man eine Einheitssphäre im R 3, wobei die gewöhnliche komplexe Ebene (R 2 ) oft als Tangentialebene im Südpol der sogenannten Riemann schen Kugel veranschaulicht wird und man den Ursprung des dreidimensionalen euklidischen Koordinatensystems wie folgt in den Südpol der Kugel legt. Dieser Sachverhalt soll in der nachstehenden Abbildung verdeutlicht werden. Abbildung 4.2.: Riemann sche Zahlenkugel Die Einheitssphäre wird als S 2 ( Riemann sche Zahlenkugel ) bezeichnet, die x - und x 2 -Achsen entsprechen der reellen bzw. imaginären Achse von R 2, die x 3 -Achse verläuft dann durch den Nordpol der Kugel, welcher also die Koordinaten (,, 2) bekommt. Somit betrachten wir eine Kugel vom Radius. Damit hat S 2 in R 3 die Gleichung x 2 + x (x 3 ) 2 Die kanonische Projektion der komplexen Ebene auf die Kugel, d.h. auf S 2 {(,, 2)}, die jedem Punkt z den eindeutig bestimmten Punkt z S 2 zuordnet, welcher sich als Schnittpunkt der Verbindungsstrecke von z x + ix 2 mit dem

6 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 33 Nordpol N ergibt, heißt stereographische Projektion. Sie ist bijektiv zwischen und S 2 {N}, und wir können uns die Abbildung als bijektiv zwischen und S 2 vorstellen, wenn wir dem Punkt den Nordpol N der Kugel zuordnen. Somit liegt anschaulich der Punkt überall ( rundherum ) um die komplexe Ebene. Man stellt nun fest, dass bei der stereographischen Projektion Kreise und Geraden wieder in Kreise auf S 2 übergehen und umgekehrt, wobei natürlich z.b. aus einer Geraden in ein Kreis auf S 2 durch den Nordpol wird. Wir werden in der Vorlesung oft mit der komplexen Ebene allein arbeiten, aber manchmal doch auf die Riemann sche Zahlenkugel bzw. zurückgreifen, um einen Punkt zur Verfügung zu haben, der uns bei der Berechnung von Integrationswegen in der komplexen Ebene bzw. bei der inversen Laplace- Transformation behilflich sein wird. Damit wird klar, dass ein Weg, der auf der reellen Achse von + nach und von nach verläuft, in tatsächlich ein zusammenhängender Weg zwischen + und ist, der durch den Nordpol der Zahlenkugel verläuft. Obwohl in den nachfolgenden Ausführungen keine Beweise dazu zu finden sind, sollte man sich hierbei nicht Mysteriöses oder Unpräzises vorstellen, da Abbildung 4.2. alle Definitionen klar aufzeigt. 4.3 Riemann sche Blätter In seiner Doktorarbeit führte Riemann die heute sogenannten Riemann schen Blätter bzw. Flächen in die Funktionentheorie ein. Dadurch machte er sie topologischen Methoden zugänglich. Versuchen wir zunächst den Sachverhalt anhand eines Beispiels zu erklären. Betrachten wir dazu die Funktion w z z w 2 (4.3.) Betrachten wir zu Beginn den Zeiger von z, der eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung vollzieht, wobei von einem beliebigen Punkt A aus gestartet wird. Der Punkt A soll sich durch die Phase ϕ ϕ definieren. Wir haben gelernt, dass mit Hilfe der komplexen Zahlen alle Werte der Funktion w(z) z 2 dargestellt werden können, wobei das Argument von z nur bis auf additive Vielfache von 2π festgelegt werden kann. Demnach findet man n 2 verschiedene Werte von w(z), welche, wie wir ja schon wissen, die 2 Wurzeln der Gleichung 4.3. darstellen. Die komplexe Zahl z bezüglich des Startpunktes A kann mit Hilfe der Exponentialdarstellung folgendermaßen angegeben werden. z r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) r exp(iϕ) w z 2 r exp(i ϕ 2 )

7 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 34 Nach einer vollen Umdrehung um 2π zurück zu Punkt A, d.h. ϕ ϕ + 2π ergibt sich w r exp(i ϕ+2π 2 ) ( r exp i ϕ) 2 exp (iπ) r exp ( i ϕ ) 2 cos(π) +i sin(π) }{{}}{{} r exp ( i ϕ ) 2 Jedoch ein weiterer Umlauf zurück zu A, d.h. ϕ ϕ + 4π ergibt in analoger Weise w 2 r exp(i ϕ 2 ) Wir erhalten somit erst nach zwei Umläufen wieder den Funktionswert am Startpunkt A. Wir erhalten also zwei Umkehrfunktionen w und w 2. Wie aber lässt sich dies deuten? Wie wir wissen entspricht obige komplexe Funktion w(z) einer Abbildung von der komplexen Ebene in die komplexe Ebene, d.h. z w, wobei hier die erweiterte komplexe Ebene Verwendung findet. Man sagt auch, die z-ebene wird in die w-ebene abgebildet. Diese Abbildung ist wie wir gesehen haben, aber nicht immer eindeutig. In unserem Fall wird der Kreis in der w-ebene für den Bereich ϕ < 2π einmal durchlaufen, während der dazugehörige Weg in der z-ebene zweimal durchlaufen wird. Um sich diesen Sachverhalt auch graphisch vorstellen zu können, ist es notwendig sich die komplexe Ebene, je nach Funktion, in Form von mehreren, übereinander angeordneten Kopien zu denken, die auch als die Riemann schen Blätter bekannt sind. Man stelle sich z.b. ein Parkhaus mit mehreren Stockwerken vor. Somit hat die Funktion w(z) z in der z-ebene zwei Riemann sche Blätter, über die der Weg zurückgelegt wird. Die Gesamtheit dieser Riemann schen Blätter bildet die sogenannte Riemann sche Fläche, auf der es demnach eine eindeutige Beziehung zwischen z und w(z) gibt, sodass die nun bekannte mehrwertige komplexe Funktion w(z) z analytisiert werden kann. Auf jedem Blatt ist somit die Funktion w(z) eindeutig. Demnach ist jede dieser beiden Funktionen w und w 2 auf einer eigenen komplexen Ebene, welche die Riemann schen Blätter darstellen, eindeutig definiert. Schlussendlich bleibt noch zu klären, wie der Weg über die beiden Riemann schen Blätter in der komplexen z-ebene verläuft bzw. wie man sich die Verbindung dieser Blätter vorzustellen hat. Stellen Sie sich einfach vor, die beiden übereinander liegenden Blätter werden an einer Linie aufgeschnitten und dann entlang dieser Linie miteinander verbunden. Der vollzogene Schnitt ist auch als Verzweigungsschnitt (branch-cut) bekannt.

8 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 35 Abbildung 4.3.: Riemann sche Blätter der Funktion w(z) z in der z-ebene. Eine in w(z) einmalige Umrundung des Verzweigungspunktes entspricht in z einer zweimaligen Umrundung. Somit hat jeder Schnitt aber auch zwei Endpunkte, welche als Verzweigungspunkte bezeichnet werden. Die Verzweigungspunkte liegen demnach dort, wo keine Mehrdeutigkeit auftritt. Im Fall der Funktion w(z) z ist das der Punkt z und der Punkt im Unendlichen. Demzufolge kann ein Verzweigungsschnitt, der sozusagen die Blätter voneinander trennt, entlang der positiven oder negativen reellen Achse durchgeführt werden. Überträgt man diesen Sachverhalt auf die im vorherigen Abschnitt besprochene Riemann sche Kugel, so sieht man, dass der Schnitt zwischen Nord- und Südpol der Kugel verläuft. Allgemeiner gesprochen liegen die Verzweigungspunkte der Funktion mit nichtganzzahligen Potenzen w(z) (z z ) m n bei z und im Unendlichen, wobei nun n Riemann sche Blätter auftreten um die obige Funktion auf jeden dieser Blätter eindeutig zu halten. Ohne näher darauf einzugehen, sollte notiert werden, dass bei irrationalen Potenzen unendlich viele Riemann sche Blätter von Nöten sind um die dazu korrespondierende vorliegende komplexe Funktion stets eindeutig betrachten zu können. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung, insbesondere bei der inversen Laplace- Transformation bzw. bei der Lösung des Bromwich-Integrals, auf die Begriffe der erweiterten komplexen Ebene, der Riemann schen Zahlenkugel und der Riemann schen Blätter zurückgreifen, um unmissverständlich die dort auftretenden Probleme lösen zu können, da diese Rücktransformation keineswegs trivialer Natur ist.

9 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE Komplexe Kurvenintegrale Komplexe Kurvenintegrale stellen Integrale über beliebige Wege in der komplexen Ebene dar. Es wird sich zeigen, dass die Aussage über die Wegunabhängigkeit ein wesentlicher Bestandteil der Funktionentheorie darstellt, und sich durch den wohl bekanntesten Satz der Funktionentheorie, dem auchy schen Integralsatz, definieren lässt. Da wir es mit Linien- oder Kurvenintegralen zu tun haben, müssen wir uns erst klar darüber werden, wie denn solche Wege oder Kurven überhaupt beschrieben werden. Eine Möglichkeit einen Weg in der komplexen Ebene darzustellen bietet die Parameterdarstellung der Form : z(t) x(t) + iy(t) wobei t R. Wir betrachten im Folgenden aber immer Wege, die stückweise glatt sind, d.h. wir lassen nur Funktionen x(t) und y(t) zu, die zumindest stückweise stetig differenzierbar sind. Die Richtung in der man sich auf der Kurve bewegt unterliegt der Konvention, dass sie als positiv bezeichnet wird, wenn der Weg im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird. Für einen mathematisch positiv durchlaufenden Kreis mit Mittelpunkt z und Radius r erhält man die Parameterdarstellung z(t) z + r exp(it) wobei t 2π. Für Geraden mit Anfangspunkt z a und Endpunkt z b ergibt sich beispielsweise folgende parametrisierte Darstellung z(t) z a + (z b z a ) t wobei c t d mit c, d R. Wir wollen uns nun mit der Integration von komplexen Funktionen f(z) entlang einer mit z(t), a t b parametrisierten Kurve befassen. f(z)dz : b a f(z(t)) dz dt dt Eigenschaften: ( ) Falls f(z) u(x, y) + iv(x, y) mit dz dx dt + i dy dt dt über den Weg z(t) x(t) + iy(t) mit a t b integriert wird ergibt sich, dass der Realund Imaginärteil eines komplexen Kurvenintegrals reelle Kurvenintegrale darstellen. f(z)dz b a (u + iv)(x + iy )dt b a (u x v y )dt + i b a (uy + vx )dt }{{} dx dt }{{} dy dt (udx vdy) + i (udy + vdx) Durchläuft man den Integrationsweg in Gegenrichtung, welchen wir als bezeichnen wollen, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals: f(z)dz f(z)dz

10 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 37 Ist eine Kurve aus mehrere Teilstücken, 2,..., n zusammengesetzt, so schreibt man f(z)dz f(z)dz + f(z)dz f(z)dz 2 Bsp.: Zu berechnen sei das Linien- oder Wegintegral über die Funktion f(z) z 2 entlang des Weges : z(t) t mit t. Dafür erhalten wir n z 2 dz z 2 (t)dt t 2 dt 2 3 Nun wählen wir einen anderen Weg, der aber denselben Anfangs- und Endpunkt wie der obige besitzen soll. Wir wählen als Weg einen Halbkreis mit Radius r : : z(t) cos(t) + i sin(t) exp(it) dz(t) sin(t)dt + i cos(t)dt i exp(it)dt wobei t π. Wir haben nun die Möglichkeit entweder die Winkelfunktionen oder die Exponentialform in die Integration miteinzubeziehen. Aufgrund der einfacheren und zeitsparenderen Integration der Exponentialfunktion lässt sich das Linien- oder Wegintegral folgendermaßen anschreiben: z 2 dz π π exp(2it) i exp(it)dt i exp(3it) 2 }{{} 3 dz(t) Wie wir sehen, erhalten wir wiederum das gleiche Ergebnis. Das Wegintegral ist demnach unabhängig von der Form des Weges. Wir werden uns in diesem Zusammenhang Möglichkeiten nach der Formulierung der Wegunabhängigkeit suchen.

11 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE Integralsatz von auchy Wir wollen nun versuchen die Wegunabhängigkeit auszuformulieren, indem wir einen beliebigen geschlossenen Integrationsweg betrachten, worauf wir uns zwei beliebige Punkte z a und z b wählen. Eine Kurve heißt einfach oder Jordan-Bogen, wenn sie sich nicht schneidet. Darüberhinaus nennt man eine Kurve einfach geschlossen oder Jordan-Kurve, wenn Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Abbildung 4.4.: Integrationswege Wie wir in Abbildung sehen, existieren nun zwei Wege, und c 2, die von z a nach z b führen. Abbildung 4.4.2: Einfache Schleife. Der Weg ist in zwei Teilwegen und 2 aufgeteilt. Bei Wegunabhängigkeit ist f(z)dz 2 f(z)dz, wobei für beliebige Kurvenintegrale f(z)dz f(z)dz gilt. Für das Linienintegral über die gesamte Schleife erhält man somit im Falle der Wegunabhängigkeit: f(z)dz f(z)dz + f(z)dz f(z)dz f(z)dz 2 2

12 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 39 Somit wurde gezeigt, dass Wegunabhängigkeit vorliegt, wenn das Integral einer komplexen Funktion f(z) über einen geschlossenen Weg Null ist. Nun aber wollen wir prüfen unter welchen Voraussetzungen Wegunabhängigkeit vorliegt. Daraus wollen wir einige Eigenschaften von holomorphen Funktionen und ihren Wegintegralen gewinnen. Wir nehmen diesbezüglich an, dass der Weg als kleinsten x-wert x und als größten x-wert den Wert x 2 hat. An jeden Wert x soll y (x) y y 2 (x) gelten. Wir haben gesehen, dass der Real- und Imaginärteil eines komplexen Kurvenintegrals jeweils reelle Kurvenintegrale darstellen. f(z)dz x 2 x (udx vdy) + i (udy + vdx) udx y 2 (x) y (x) vdy + i y 2 (x) y (x) udy + i x 2 x vdx (4.4.) wobei hier das Integral über einen geschlossenen Weg betrachtet wird und mit bezeichnet wird. Aus Abbildung kann entnommen werden, dass für einen im positiven Sinn durchlaufenden Weg der Teil z x+iy (x) von links nach rechts und der obere Wegteil z x + iy 2 (x) von rechts nach links durchlaufen wird. Unter diesen Umstand können die Teilintegrale von Gleichung 4.4. berechnet werden. x 2 x udx x 2 x u (y (x)) dx + x x 2 u (y 2 (x)) dx x2 x [u (y (x)) u (y 2 (x))] dx x2 x dx ( ) y 2 (x) y (x) u(y(x)) y dy ( ) da A u y Somit konnte das Ausgangsintegral in ein Flächenintegral geschrieben werden. Für den zweiten Term in Gleichung 4.4. erhalten wir: y 2 (x) y (x) vdy y 2 (x) y (x) v (x 2(y)) dy + y (x) y 2 (x) v (x (y)) dy y2 (x) y (x) [v (x 2(y)) v (x (y))] dy y2 (x) y (x) dy ( ) x 2 v(x(y)) x x dx ( v x) da Die restlichen zwei Integrale ergeben sich analog zu y 2 (x) y (x) udy A A ( ) u da x x 2 ( vdx v ) da y x A Nun kann zusammengefasst werden: f(z)dz x2 x udx y 2 (x) y (x) vdy + i y 2 (x) y (x) udy + i x 2 x vdx ( ) u y da ( v ) ( x da + i u ) ( x da + i A A A A [( ) ( )] u y v x + i u x v y da A v y ) da

13 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 4 Der aufmerksame Leser wird schon erkannt haben, da nun die wohlbekannten auchy-riemann-bedingungen zum Vorschein treten. Falls nun die Funktion f(z) auf der Schleife und im darin eingeschlossenen, einfach zusammenhängenden Gebiet A analytisch ist, so sind die RD erfüllt und es ergibt sich das Herz der Funktionentheorie, der auchy sche Integralsatz: f(z)dz Ganz grob gesprochen heißt eine Menge M zusammenhängend, wenn sie nur aus einen Stück besteht. Jene Mengen, die sowohl offen als auch zusammenhängend sind, nennt man Gebiete. Hat ein Gebiet zudem keine Löcher im Inneren, so nennt man es einfach zusammenhängend. Somit heißt ein Gebiet D einfach zusammenhängend, wenn jede einfach geschlossene Kurve nur Punkte P D einschließt. Mann auch sagen, dass sich ein einfach zusammenhängendes Gebiet auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Abbildung 4.4.3: Gebiet A ist einfach zusammenhängend, d.h. die Schleife ist zu einem Punkt homotop. Das Gebiet B ist mehrfach zusammenhängend, da es ein Loch enthält und somit ist die Kurve 2 nicht zu einem Punkt homotop bzw. kann nicht auf einem Punkt zusammengezogen werden. Wir wir in den nachfolgenden Ausführungen sehen werden, ergeben sich aus dem Integralsatz von auchy, wie erwähnt, einige Eigenschaften von analytischen Funktionen und ihren Linienintegralen, worunter eine der wichtigsten wohl die Integralformel von auchy ist, mit derer Hilfe man die Funktionswerte im Inneren des Analytizitätsbereichs A durch die Randwerte bestimmen kann. Wie man sieht kann man im Fall holomorpher Funktionen bzw. Integranden die Berechnung von Kurvenintegralen mit Hilfe des Integralsatzes von auchy stark vereinfachen. Wie sich auch zeigen wird, können auch bei Funktionen, die nicht überall analytisch sind die Integrationswege im Holomorphiegebiet geeignet verformt werden um sich so die Berechnung erheblich zu vereinfachen.

14 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 4 An dieser Stelle soll nun das sogenannte Prinzip der Konturverformung erwähnt werden. Solange Anfangs- und Endpunkt eines Integrationsweges im Analytizitätsbereiches A festgehalten werden, kann der Weg homotop verformt werden, sofern die Verformung nicht die komplexe Ebene verlässt bzw. bis ins Unendliche reicht Integralformel von auchy Aus dem auchy schen Integralsatz folgt direkt ohne viel Aufwand die zentrale Formel in der Funktionentheorie, die Integralformel von auchy. Wie wir ja schon wissen, kann mit Hilfe des Integralsatzes von auchy und unter Betrachtung der nachstehenden Abbildung die Kontur auf eine Kontur Γ mit Radius r und Mittelpunkt z zusammengezogen werden, falls die betrachtete Funktion f(z) auf und innerhalb der einfach geschlossenen Kurve analytisch ist. Wir betrachten nun eine in einem einfach zusammenhängenden Gebiet A und am Rand A analytische Funktion f(z). Somit gilt: Abbildung 4.4.4: Integralformel von auchy f(z) dz z z Γ f(z) z z dz (4.4.2) Zu Beginn dieses Abschnitts wurde angemerkt, dass man für einen im positiven Sinn durchlaufenden Kreis mir Radius r und Mittelpunkt z die Parameterdarstellung z(θ) z + r exp (iθ) dz ir exp (iθ) dθ erhält, wobei z z r und Θ < 2π. Mit Hilfe der Polarkoordinaten können wir das Integral auf der rechten Seite der Gleichung folgendermaßen anschreiben: Γ f(z) z z dz 2π f(z +r exp(iθ)) r exp(iθ) ir exp (iθ) dθ i 2π f (z + r exp (iθ)) dθ

15 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 42 Damit bedeutet das Umlaufen der Kontur Γ einfach eine Integration über Θ von bis 2π. Da nun f(z) im betrachteten Gebiet analytisch ist, ist es wegen der Differenzierbarkeit auch stetig. Nun können wir die Grenzwerte beider Seiten der obigen Gleichung berechnen: lim r Γ f(z) z z dz Γ f(z) z z dz f(z) z z dz lim r i 2π f (z + r exp (iθ)) dθ i 2π lim r f (z + r exp (iθ)) dθ i 2π f (z ) dθ f (z ) woraus die Integralformel von auchy gewonnen werden kann: f (z ) f(z) dz z z Daraus geht hervor, dass die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren eines Bereiches vollständig durch die Werte am Rand festgelegt sind. Somit können alle Funktionswerte f (z ) im Inneren des Analytizitätsbereichs A durch die Kenntnis der Funktionswerte am Rand gewonnen werden. Im Reellen würde diese bedeuten, dass man aus der Kenntnis der Funktionswerte an den Grenzen eines Intervalls, auf die Funktionswerte im Inneren des Intervall schließen könnte, was aber im Reellen nur auf lineare Funktionen zutrifft. Es sollte notiert werden, dass die Integralformel von auchy auch für mehrfach zusammenhängende Gebiete gilt. Wir wollen nun zeigen, dass auch alle Ableitungen f (n) (z ) in dem einfach zusammenhängenden Gebiet A, d.h. innerhalb der Kontur existieren, falls die Funktion f(z) auf und innerhalb der geschlossenen Kontur analytisch ist, d.h. f (n) (z ) n! f(z) (z z ) n+ dz soll gelten. Mit Hilfe der Integralformel von auchy kann man dies direkt durch vollständige Induktion (Schluss von n auf n + ) beweisen. Somit prüfen wir zunächst den Fall n (für den Fall n ergibt sich die bereits oben abgeleitete Formel): f (z ) f(z) (z z ) 2 dz Aus Abbildung ist zu entnehmen, dass sowohl z wie auch z + h im Analytizitätsbereich A liegen.

16 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 43 Abbildung 4.4.5: auchy sche Integraldarstellung für die Ableitungen der Funktion f (z ). Der Beweis geht einfach über den Ausdruck für den Differenzenquotienten mit Hilfe der auchy schen Integralformel, d.h. f f(z (z ) lim +h) f(z ) { h h lim h h z (z + h) } f(z)dz z z }{{} f (z ) f(z) (z z ) 2 dz + h lim h (z z ) 2 + h (z z h)(z z ) 2 f(z) (z z h) (z z ) 2 dz Um nun den Induktionsbeginn, also n, d.h. f (z ) erhalten muss h lim h f(z) (z z h) (z z ) 2 dz f(z) (z z ) 2 dz zu gelten. Aus Abbildung ist schlusszufolgern, dass h lim f(z) h (z z h) (z z ) 2 dz h lim f(z) h (z z h) (z z ) 2 dz gilt, da die Integrationswege im Analytizitätsbereich A homotop verformt werden können, weil ein einfach zusammenhängendes Gebiet A dadurch charakterisiert ist, dass beliebige Kurven, in diesem Fall und Γ, immer zueinander homotop, d.h. äquivalent sind und auf einen Punkt dieses Gebietes A zusammengezogen werden können, also zu diesem homotop sind. Wir wählen nun h so klein, dass z + h in Γ liegt und h < δ 2 ist. Die Gleichung für Γ ist nun z z δ. Daher gilt: Γ z z h z z h > δ δ 2 δ 2

17 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 44 Falls nun f(z) in A analytisch ist können wir eine positive Zahl M finden, sodass f(z) M, d.h. beschränkt ist. Darüberhinaus sei L Γ dz die Länge der Kontur Γ. Es ergibt sich: h f(z) (z z h) (z z ) 2 dz h M 2π (δ/2) δ 2 L Γ Da nun für h auch die linke Seite gegen Null gehen muss, haben wir den Satz für n bewiesen. Der Rest folgt durch vollständige Induktion und bleibt dem Leser überlassen. Bsp.: Anwendung der auchy schen Integralformel. Gesucht sei das Wegintegral der Funktion f(z) über die Kurve, die eine sogenannte Lemniskate repräsentiert, welche wie wir wissen bzw. aus der nachstehenden Ab- +z 2 bildung erkennen können, keine einfach geschlossene Kurve darstellt. Abbildung 4.4.6: Wegintegral der Funktion f(z) +z 2 über die Kurve. Unter Betrachtung der Funktion f(z) kann direkt entnommen werden, dass die Funktion überall außer an zwei Punkten z ±i analytisch ist. Die Funktion f(z) besitzt an diesen Punkten einen Pol, welcher, wie wir noch später erfahren werden, einen speziellen Typ einer Singularität darstellt. Aus der obigen Abbildung ist zu sehen, dass die Pole im Inneren der Kontur liegen. Es liegt nun nahe, die Kurve in zwei Teilwege, und 2, aufzuteilen, sodass wir das Wegintegral in folgende Form bringen können: dz +z 2 (z i)(z+i) dz (z i)(z+i) dz 2 (z i)(z+i) dz /(z+i) (z i) dz /(z i) 2 (z+i) dz Das erste Integral auf der rechten Seite hat nun die Form der Integralformel

18 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 45 von auchy mit z i und f(z) /(z + i). Das Teilergebnis ist daher: /(z + i) (z i) dz f (z ) 2i π Das zweite Integral über die Kontur 2 kann mit der auchy schen Integralformel durch z i und f(z) /(z i) in Verbindung gebracht werden. Daraus folgt nun unmittelbar: 2 /(z i) (z + i) dz f (z ) 2i π Schlussendlich müssen die beiden Resultate lediglich miteinander addiert werden um den gesuchten Wert des Wegintegrals der Funktion f(z) über +z 2 die Kontur zu erhalten: + z 2 dz /(z + i) (z i) dz /(z i) dz π ( π) 2π (z + i) Wie man unmissverständlich erkennen kann, stellen die Integralformel wie auch der Integralsatz von auchy sehr effiziente Werkzeuge zum Lösen von komplexen Kurvenintegralen dar Laurentreihen Der Begriff der Potenzreihe ist uns schon aus der reellen Analysis wohl bekannt. Es sollte zu Beginn erwähnt werden, dass sie in der Funktionentheorie eine wesentliche Rolle spielen, wobei diese dann weiter zur Laurentreihe verallgemeinert werden. Wir werden im Zuge dieses Abschnittes einen weiteren relevanten Satz der Funktionentheorie mit Hilfe der Laurentreihen ableiten, den Residuensatz. Darüberhinaus können auch nun die eingangs erwähnten singulären Punkte klassifiziert werden. Es sei auch notiert, dass viele bestimmte Integrale, für die sich keine Stammfunktionen mit elementaren Funktionen finden lassen, auf diesem Wege elegant zu lösen sind. Zusätzlich sei noch erwähnt, dass die Betrachtungen im Komplexen dabei helfen können, so manche Merkwürdigkeiten zu erklären, die sich im Reellen ergeben. Als Beispiel soll die Potenzreihenentwicklung, n a n (x x ) n, der reellen Funktion f(x) um den Punkt x x 2 betrachtet werden. Wie wir wissen gilt diese Entwicklung nur im Bereich < x <, da diese Funktion Singularitäten bei den Punkten x ± aufweist. Nun, dies ist nicht weiter verwunderlich. Darüberhinaus aber hat die Potenzreihe der reellen Funktion f(x) x 2 + x 4 x um den Entwicklungspunkt x +x 2 den a Konvergenzradius (Quotientenkriterium) R lim n n a n+. Dies verwundert nun doch, da ja die Funktion für alle x R definiert ist und keineswegs pathologischer Natur ist. Im Komplexen jedoch weist diese Funktion aber Singularitäten bei den Punkten x ±i auf, welche sich ja im Abstand vom

19 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 46 Nullpunkt in der Gauß schen Ebene befinden und im Reellen nicht sichtbar sind. Diese Punkte sind es also, die den Konvergenzradius der Potenzreihe oder Taylorreihe der Funktion f(x) auf beschränken und direkt auf +x 2 die Gegebenheiten im Reellen ihre Auswirkungen klar aufzeigen. Eine Möglichkeit den Begriff der Potenzreihe n a n (x x ) n zu erweitern bzw. zu verallgemeinern, stellt die Berücksichtigung negativer Potenzen dar. Damit erhält man eine sogenannte Laurentreihe: n c n (z z ) n : a n (z z ) n b n + (z z ) n n Zu Beginn formulieren wir folgenden Satz. Satz: Sei f(z) analytisch in dem kreisringförmigen Gebiet R z z R 2 und auf den beiden Rändern und 2, dann ist sie durch eine Laurentreihenentwicklung darstellbar, d.h. f(z) n c n (z z ) n : n n a n (z z ) n b n + (z z ) n wobei die Koeffizienten eindeutig durch c n f(z) n+ dz (4.5.) (z z ) bestimmt sind, wobei eine im Analytizitätsbereich der Funktion f(z) einfach geschlossene Kurve darstellt und den inneren Rand, d.h. z z R einschließt, bzw. a n f(z) n+ dz (z z ) b n 2 f(z) (z z ) n dz Dies bedeutet, dass die gesamte Laurentreihe auf einem kreisringförmigen Gebiet konvergiert. Sie divergiert somit für z z < R oder z z > R 2. In den Fällen R 2 < R, R 2 oder R konvergiert die Laurentreihe nirgendwo in. Für R R 2 R höchstens an den Punkten z mit z z R. Ist die Funktion f(z) sogar im gesamten Kreisinneren z z < R 2 analytisch, dann gilt aufgrund der Eindeutigkeit c c In diesem Fall stimmt die Laurentreihe mit der Taylorreihe um z überein. Wie in der nachfolgenden Abbildung zu sehen ist, liegt das Konvergenzgebiet der Laurentreihe zwischen zwei konzentrischen Kreisen um den Entwicklungspunkt z. Es sei vorwegzunehmen, dass die Größe dieser Kreise durch die Singularitäten der Funktion beschränkt sind. n

20 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 47 Abbildung 4.5.: Die Laurentreihe konvergiert in einem kreisringförmigen Analytizitätsgebiet um z. Wie man der obigen Graphik entnehmen kann, kann das Gebiet durch einen Schnitt einfach zusammenhängend gemacht werden. Darüberhinaus kann man erkennen, dass sich die Beiträge zum Integral im Schnitt wegheben wegen der Abhängigkeit des Vorzeichens vom Umlaufsinn. An dieser Stelle sollte angemerkt werden, dass Gleichung 4.5. nur in den seltensten Fällen zur Berechnung der Laurentreihe Verwendung findet. Diese Verfahrensweise ist sozusagen nur der letzte Ausweg. Die Entwicklung der Laurentreihe wird üblicherweise durch bereits bekannte Potenzreihen abgelesen, wobei auch des öfteren bekannte Reihen differenziert und integriert werden. Beweis des Satzes: Wir benutzen die abgebildete Kontur mit dem Schnitt. Es handelt sich um ein einfach zusammenhängendes Gebiet, wobei auf z z R und 2 auf z z R 2 liegt. Nach der auchy schen Integralformel für z z und z ξ gilt: f (z) 2 f(ξ) ξ z dξ f(ξ) ξ z dξ Hierbei sollte beachtet werden, dass die Kontur geschlossen sein muss und im positiven Sinn, also im Gegenuhrzeigersinn, durchlaufen werden muss. Es gilt: ξ z (ξ z ) (z z ) ( ) (ξ z ) z z ξ z ξ z (z z ) j j (ξ z ) j wobei hier die Summation der geometrischen Reihe n qn q Verwendung fand, die nur unter der Bedingung q < gilt. Entsprechend können wir analog zu oben schreiben: ξ z z z (ξ z ) j j (z z ) j

21 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 48 Die Bedingung q < ist erfüllt, da sowohl z z ξ z z z R 2 < und ξ z z z R z z < ist. Wir können daher schreiben: wobei f(z) A j (z z ) j + B j (z z ) (j+) j A j B j 2 j f(ξ) (ξ z ) j+ dξ f(ξ) (ξ z ) j dξ Für n j in der ersten Summe und n (j + ) in der zweiten gilt: wobei f(z) A n (z z ) n + n A n 2 B n n f(ξ) (ξ z ) f(ξ) (ξ z ) B n (z z ) n n+ dξ n+ dξ Da nun f(z) analytisch im Kreisring R z z R 2 ist, kann jede Kontur 2 und in eine einfache Kontur, die einschließt, deformiert werden, d.h. c n A n (n ), c n B n (n ) c n f(ξ) n+ dξ (ξ z ) und f(z) c n (z z ) n n

22 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 49 Bsp.: Wir betrachten im Folgenden die Laurentreihen der Funktion f(z) (z )(z i). Wie man sieht, sind hier im wesentlichen die Singularitäten an den Punkten z + und z +i von besonderem Interesse. Da ihr Abstand voneinander 2 beträgt, wird man vier Laurentreihen für < z < 2, für z > 2, für < z i < 2 und für z i > 2 erhalten. Der Sachverhalt ist in folgender Abbildung zu betrachten. Abbildung 4.5.2: Laurentreihenentwicklung der Funktion f(z) (z )(z i). Die entsprechenden Ausdrücke für die Laurentreihen in den besprochenen Gebieten erhält man durch den Trick mit der geometrischen Reihe: z i i z n i z+ i (z ) i z i ( ) n z i n i (z ) n (i ) n+ Da nun wiederum die Summation der geometrischen Reihe verwendet wurde, die nur für q < gilt, ist diese Entwicklung für n qn q z i <, also für z < i 2 gültig, da z i z x 2 + y 2 ( ) ist. Dieser Bereich ist nun aber ein Bereich, der uns interessiert. Somit wurde die Laurentreihe für das Gebiet z < 2 gefunden.

23 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 5 Die übrigen Entwicklungen ergeben sich analog: z > 2 z i z i+ z i < 2 z i z+i z i > 2 z i z i + z i z i z i i z i i z i ( i z n z ( z i i n i ( i z i n z i ) n n ) n n ) n n (i ) n (z ) n+ (z i) n ( i) n+ ( i) n (z i) n+ Diese Resultate können wir nun sofort in f(z) einsetzen und erhalten. Für das Gebiet < z < 2 erhalten wir: f(z) z z i z n (z ) n (z ) n (i ) n+ n (i ) n+ Analog ergeben sich die Reihen der übrigen Konvergenzgebiete zu: z > 2 f(z) n < z i < 2 f(z) n z i > 2 f(z) n (i ) n (z ) n+2 (z i) n ( i) n+ ( i) n (z i) n+2 Aus diesen Reihendarstellungen können die Koeffizienten c n nun direkt entnommen werden. Wie man eindeutig erkennen kann, wäre die Bestimmung der Laurentreihen bei Funktionen, die mehr als zwei Singularitäten aufweisen, weitaus rechenintensiver, da zunächst die Konvergenzgebiete absteckt werden müssen und die Funktion für alle vorliegenden Konvergenzgebiete entwickeln werden muss Isolierte Singularitäten Mit Hilfe der Laurentreihen können wir nun die isolierten singulären Punkte eindeutig klassifizieren. Wie wir wissen entspricht einer isolierten Singularität ein Punkt, an dem die Funktion f(z) nicht analytisch ist, d.h. die die auchy- Riemann Bedingungen der Funktion f(z) können nicht erfüllt werden. Darüberhinaus kann gezeigt werden, dass bei der Entwicklung der Laurentreihen die Pole aus dem inneren Kreis des Konvergenzgebietes zu den negativen Potenzen beitragen und die von außerhalb des äußeren Kreises zu den positiven. Die Koeffizienten der negativen Potenzen einer Laurentreihe tragen somit eine Information über die Singularitätsstruktur am Entwicklungspunkt z. Sei im weiteren Verlauf die Funktion f(z) in dem Gebiet < z z < R analytisch. In der nachstehenden Ausführung ist zu erkennen, dass die harakteristiken dieser singulären Punkte in verschiedene Gruppen eingeteilt werden können. Wenn nun alle c n für n N, so heißt die Singularität z von f(z) hebbare Singularität, welche aber nur scheinbare Singularitäten sind, bei denen man geeignet umformen kann, dass keine wirkliche Singularität mehr vorliegt. Die Funktion f(z) ist dann am Entwicklungspunkt z analytisch.

24 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 5 Bsp.: Ein typischer Vertreter einer Funktion mit einer hebbaren Singularität ist f(z) sin(z) z. Für z gibt es hier eine Singularität. Eigentlich ist die Funktion f(z) am Punkt z undefiniert, da sie von der Form ist. Wenn also f() ist dann wäre z eine hebbare Singularität. Man definiert einfach: f(). Somit ist f(z) analytisch, auch für z, und kann in eine Laurentreihe entwickelt werden, da man für den Sinus bei Entwicklung um z die Reihe sin(z) z z3 3! + z5 5! +...erhält. Die Laurentreihe stellt sich demnach folgendermaßen dar: f(z) z2 3! + z4 5! z6 7! +... n ( ) n z 2n (2n + )! Falls also f(z) in dem Gebiet < z z < R analytisch ist, kann f(z) auch in z z analytisch gemacht werden, indem man für f(z )den geeigneten Wert wählt. Die scheinbare Singularität von f(z) sin(z) z bei sin(z) z ist somit hebbar, da lim z z ist. Eine isolierte Singularität nennt man Pol N-ter Ordnung, falls f(z) folgende Darstellung hat: f(z) Φ(z) (z z ) N Für N ist Φ(z) analytisch in einer Umgebung von z und Φ(z ). Falls N hat f(z) bei z einen einfachen Pol. Die Laurentreihe hat demnach N negative Werte, d.h. f(z) n N c n (z z ) n. Der erste Koeffizient ist folglich c N Φ(z ). Somit kann geschlussfolgert werden, dass sich ein Pol k-ter Ordnung dadurch repräsentiert, wenn c n ist und c n für alle n > k ist. Eine Singularität, die weder hebbar noch ein Pol ist nennt man wesentliche Singularität. Die Laurentreihendarstellung hat in diesem Fall unendlich viel negative Glieder, d.h. f(z) n c n (z z ) n. Bsp.: Eine wesentliche Singularität finden wir etwa bei f(z) exp ( z ). Hier gibt es eine wesentliche Singularität bei z, da die Laurentreihendarstellung von f(z) f(z) n n! ( ) n z unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen aufweist. Diese Darstellung kann direkt aus der Taylorreihenentwicklung der Funktion exp(z) exp(z) + z + z2 2! +... z n n! durch formales Ersetzen, d.h. z z, gewonnen werden. Somit existiert die komplexe Ableitung f (z) exp ( ) z 2 z für alle z,d.h. f(z) ist n

25 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 52 analytisch für z. Demnach handelt es sich um eine isolierte Singularität. Schreiben wir nun z in die Exponentialform, d.h. z r exp (iϕ). Somit gilt: [ ] f(z) exp exp ( iϕ) r Unter Verwendung der Euler schen Formel kann die obige Darstellung zu f(z) exp [ r (cos(ϕ) i sin(ϕ))] exp [ r cos(ϕ)] exp [ i r sin(ϕ)] exp [ { ( ) r cos(ϕ)] cos sin(ϕ) r i sin ( sin(ϕ) r umgeformt werden. Darauffolgend wird der Betrag gebildet: f(z) exp [ r cos(ϕ)] exp [ i r sin(ϕ)] }{{} z 2 zz exp [ r cos(ϕ)] exp [ i r sin(ϕ)] exp [ r cos(ϕ)] exp [ i r sin(ϕ)] exp [ r cos(ϕ)] exp i r sin(ϕ) + i r sin(ϕ) }{{} }{{} exp [ r cos(ϕ)] Wir sehen, dass für cos(ϕ) >, r geht f(z), und für cos(ϕ) <, r geht f(z). Setzen wir nun r R cos(ϕ), d.h. die Punkte (r, ϕ) liegen auf einem Kreis, dann ergibt sich f(z) exp(r) Dies bedeutet, dass innerhalb eines beliebig kleinen Kreises f(z) alle positiven Werte annimmt, was charakteristisch für eine wesentliche Singularität ist. Somit nimmt f(z) alle Werte, die von Null verschieden sind, in einer Umgebung einer wesentlichen Singularität an. Abschließend sollte noch angemerkt werden, dass auch ein Verzweigungspunkt, was ja der Endpunkt eines Schnittes ist, eine Singularität darstellt. Dieser aber kann in dieses Schema nicht eingeordnet werden, da die entsprechenden Funktionen auch in beliebig kleinen punktierten Umgebungen nicht analytisch sind. Wir wir gesehen haben, hat die Funktion f(z) z einen Verzweigungspunkt bei z. )}

26 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE Residuensatz Das Ziel dieses abschließenden Kapitels zur Funktionentheorie ist es, die Tricks zum Berechnen komplexer Kurvenintegral auszubauen, indem wir eines der wichtigsten Theoreme der Funktionentheorie ableiten, den sogenannten Residuensatz, welcher allerdings nichts Neues bringt, da es sich hierbei um eine Verallgemeinerung des auchy schen Integralsatzes handelt, in der die Funktion f(z) nicht überall analytisch ist, sondern isolierte Singularitäten aufweist. Falls die Funktion f(z) eindeutig und analytisch in einer Umgebung des Punktes z z ist, dann folgt direkt aus den Integralsatz von auchy, dass das Wegintegral über eine einfach geschlossene Kurve verschwindet. Falls nun aber die Funktion f(z) einen Pol oder eine isolierte Singularität bei z z aufweist, die innerhalb der Kontur liegt, dann ist das oben besprochene Wegintegral von Null verschieden. In diesem Fall kann, wie wir gesehen haben, die Funktion f(z) durch eine Laurentreihe dargestellt werden, also wobei f(z) n c n (z z ) n a + a (z z ) c n f(z) (z z ) n+ dz a + a 2 z z (z z ) 2 für n, ±, ±2,...Den negativen Teil der Reihe n c n (z z ) n, der alle negativen Potenzen beinhaltet, wird als Hauptteil der Funktion f(z) im Punkt z z bezeichnet. Den Koeffizienten c nennt man Residuum von f(z) bei z z, d.h. c Res (f(z); z ) Falls nun n ist, gilt also: c f(z)dz f(z)dz c Res (f(z); z ) Dies also stellt die gesuchte Verallgemeinerung des Integralsatzes von auchy für Funktionen f(z) dar, die einen isolierten singulären Punkt z, genauer: einem Pol erster Ordnung, besitzen. Dabei ist zu beachten, dass die Kontur die Singularität im positiven Sinne, also im Gegenuhrzeigersinn, umläuft und einschließt. Dies können wir folgendermaßen verallgemeinern. Der Residuensatz besagt also, dass eine komplexe Funktion f(z), welche auf und innerhalb einer einfach geschlossenen Kontur bis auf endlich viele isolierte Singularitäten, z...z N, analytisch ist, das Integral f(z)dz N j a j

27 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 54 hat. Die Summe geht dabei über alle Pole im Analytizitätsbereich mit der Kontur als Berandung. Die Werte a j Res (f(z); z j ) sind die entsprechenden Residuen der Pole der Funktion an den Stellen z j. Der Beweis ist denkbar einfach. Betrachten wir diesbezüglich die nachstehende Abbildung. Wir wählen nun eine Kontur, welche alle Singularitäten einschließt. Abbildung 4.6.: Residuensatz Es handelt sich hierbei um eine einfach geschlossene Kurve Γ, d.h. Γ 2... N, wobei i die Konturen im mathematisch negativen Sinn, also im Uhrzeigersinn, charakterisieren. Um jeden singulären Punkt zeichnen wir uns einen so kleinen Kreis, dass darin keine weiteren Singularitäten auftreten können. Diese N kleinen Kreise mit der Kurve stellen nun das Analytizitätsgebiet der Funktion f(z) dar. Darüberhinaus verschwindet das Wegintegral einer Funktion f(z) über solch eine Kontur nach dem auchy schen Integralsatz, also gilt: Γ f(z)dz f(z)dz f(z)dz 2 f(z)dz... N f(z)dz f(z)dz N j j f(z)dz Die Integrale auf der rechten Seite sind aber nun per Definition die Residuen der Funktion f(z) an den isolierten Singularitäten innerhalb von. N f(z)dz j j f(z)dz N j a j wobei a j Res (f(z); z j ). Wenn die Funktion f(z) bei z z einen Pol der Ordnung m aufweist, dann ist die Laurentdarstellung von der Form f(z) a + a (z z ) a + a 2 z z (z z ) a m (z z ) m

28 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 55 wobei a m ist und die Reihe in der Nähe des Punktes z z konvergiert, nur nicht am Punkt z selbst. Multiplizieren wir nun beide Seiten mit (z z ) m erhalten wir: (z z ) m f(z) a m +a m+ (z z )+...+a m+(m ) (z z ) m +(z z ) m [a + a (z z ) +...] }{{} a Nun differenzieren wir beide Seiten (m ) mal nach z. Es sei erwähnt, dass diese Darstellung eine Taylorreihenentwicklung der analytischen Funktion g(z) (z z ) m f(z) repräsentiert. d m dz m [(z z ) m f(z)] (m )!a +m(m ) (m (m 2)) a }{{} (z z ) +... } 2 {{ } Q i Nach Durchführung des Grenzwertübergangs, also z z, verschwinden alle Terme Q i und wir erhalten: { } d m a Res (f(z); z ) (m )! lim z z dz m [(z z ) m f(z)] (4.6.) Bsp.: Gesucht sind die Residuen von f(z) cos(z) cos(z) z 2 ( z)(+z). Die Funktion f(z) hat also Pole. Ordnung bei z und z. Betrachten wir zunächst den Pol bei z z und schreiben die Funktion f(z) in die Form f(z) cos(z)/( + z) ( z) Das Residuum von f(z) bei z ergibt sich direkt aus Gleichung 4.6. zu cos(z)/( + z) Res (f(z); ) lim (z ) z ( z) 2 cos() Das Residuum bei z kann analog dazu zu Res (f(z); ) lim z cos(z)/( + z) (z + ) ( z) 2 cos() ermittelt werden. Somit ergibt sich der Wert des Kurvenintegrals über eine einfach geschlossene Kurve, wenn diese die Pole umläuft zu f(z)dz 2 cos() + 2 cos() Durch die Ausformulierung dieses zentralen Integralsatzes der Funktionentheorie sind wir nun befähigt, die zu Beginn dieses Kapitels erwähnte inverse Laplace-Transformation durchzuführen. Zuvor aber wollen wir noch eine Anwendung der Konturintegrationen besprechen, die sich auch im Reellen als sehr nützlich erweisen.

29 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE Anwendungen Wie wir im späteren Verlauf sehen werden, hat der Residuensatz nicht nur weitreichende Folgernungen innerhalb der Funktionentheorie, sondern kann auch für die Auswertung reeller Integrale verwendet werden. Auf den ersten Blick ist es sicherlich nicht einleuchtend, dass die oben besprochenen Kurvenintegrale im Komplexen, auch Konturintegrationen genannt, dabei helfen können. Eine Voraussetzung dieser Verallgemeinerung auf die komplexe Ebene ist jedoch, dass die Kontur, über die integriert wird, geschlossen sein muss. Betrachten wir zunächst eine einfach geschlossene Kurve bzw. eine Kurve die in Form eines Halbkreises vorliegt. Abbildung 4.6.2: Konturintegration Das Kurvenintegral über die Kontur einer komplexen Funktion f(z) kann demnach in zwei Teilwege und 2 aufgespalten werden. Somit gilt nach obiger Abbildung: f(z)dz f(z)dz + 2 f(z)dz +R R f(z)dz + 2 f(z)dz Schreiben wir nun die Konturintegration über 2 unter Verwendung der Polarkoordinaten bei festgehaltenen Radius R in Exponentialform, d.h. z R exp(iϕ) dz ir exp(iϕ)dϕ, wobei nach der obigen Abbildung von ϕ nach ϕ π integriert wird, so erhalten wir: f(z)dz +R R f(z)dz + π f (R exp(iϕ)) ir exp(iϕ)dϕ

30 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 57 Nach Durchführung des Grenzwertübergangs, also R, und der Annahme, dass lim R π f (R exp(iϕ)) ir exp(iϕ)dϕ ist, ergibt sich: lim f(z)dz R + f(z)dz (4.6.2) Dieses Integral verschwindet aber nicht immer. Dies hängt vom Integranden ab. Das folgende Beispiel aber soll Aufschluss darüber geben. Betrachten wir nun das uneigentliche reelle Integral + x 2 dx welches auf üblichem Wege mit Hilfe der geeigneten Substitution x tan(y) dx dy berechnet werden kann, wobei aufgrunddessen nun von y cos 2 (y) nach y π 2 integriert wird. Das uneigentliche Integral kann damit in ein finites Integral umgeformt und ohne weitere Probleme gelöst werden. dx 2π +x 2 +tan 2 (y) cos 2 (y) dy 2π sin 2 (y)+cos 2 (y) cos 2 (y) 2π dy π 2 cos 2 (y) dy Nun aber wollen wir dieses Integral vom Reellen in das Komplexe überführen, und eine entsprechende geschlossene Kurve betrachten über die die Konturintegration durchgeführt werden soll. Dies bedeutet, dass der Wert des Integrals + z 2 dz gefunden werden muss. Zunächst aber müssen die Singularitäten der Funktion f(z) ermittelt werden, die sich als Pole. Ordnung bei z ±i +z 2 darstellen. Wie gehabt führen wir die Rechnung in Polarkoordinaten bzw. Exponentialdarstellung durch, d.h. z R exp(iϕ) dz ir exp(iϕ)dϕ. Wie man aus den obigen Ausführungen entnehmen kann ist Gleichung erfüllt, da π ir exp(iϕ) lim R R 2 exp(2iϕ) + dϕ ist. Somit erhalten wir entlang des großen Halbkreises keinen Beitrag. Was also bleibt ist das Residuum bei z z i, welches sich nach entsprechendem Einsetzen in Gleichung 4.6. zu { ]} Res (f(z); z i) ( )! lim d z i [(z i) f(z) dz lim z i (z i) +z 2 lim z i (z i) (z i)(z+i) 2i

31 KAPITEL 4. FUNKTIONENTHEORIE 58 ergibt. Daraus ist der Wert der Konturintegration zu + z 2 dz Res (f(z); z i) π bestimmt worden. Aus Gleichung lässt sich nun schlussfolgern, dass + x 2 dx π 2 entspricht. Generell wird so vorgegangen, dass entweder ein reelles Integral durch eine geeignete Substitution in ein komplexes Konturintegral über eine einfach geschlossene Kurve umgewandelt wird, oder man betrachtet eben eine einfach geschlossene Kurve, die zum Teil auf der reellen Achse verläuft und bei der die Integrale über die anderen Kurvenstücke entweder von vornherein bekannt sind oder überhaupt nach dem Integralsatz von auchy verschwinden. 4.7 Inverse Laplace-Transformation Die Rücktransformation ist oft der schwierigste und aufwändigste Schritt der gesamten Laplace-Transformation, da die Berechnung des Umkehrintegrals, welches wir nachfolgend herleiten werden, Kenntnisse aus der Funktionentheorie voraussetzt, falls der Parameter s als komplex angesehen wird. Die einfachste Methode zur Gewinnung der Original- oder Oberfunktion f(t) aus der errechneten oder gegebenen Bild- oder Unterfunktion F (s) stellt der Gebrauch von Korrespondeztabellen dar, wie schon im Kapitel über die Laplace- Transformation gewöhnlicher Differentialgleichungen gezeigt wurde, da diese beiden Funktionen ein zusammengehöriges Funktionenpaar bilden, was auch als L-Korrespondez bekannt ist. Für die Rücktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich wird folgendes Symbol verwendet: L {F (s)} L {L {f(t)}} f(t) wobei der Operator L nun als inverser Laplace-Transformationsoperator bezeichnet werden kann. Der große Vorteil solcher Tabellen besteht darin, dass für fast alle in der Praxis auftretenden Fälle die Rechnung schon einmal früher durchgeführt wurde und in den Tabellen der korrespondierenden Funktionenpaare ihren Niederschlag gefunden hat. Im Kapitel über die Laplace- Transformation wurde gezeigt, dass man auch für komplizierte gebrochenrationale Bildfunktionen mit solchen Korrespondenztabellen arbeiten kann, wenn die Möglichkeit gegeben ist, dass durch eine Partialbruchzerlegung die Bildfunktion in einfachere Bildfunktionsteile zerlegt werden kann, die dann Glied für Glied unter Zuhilfenahme der Transformationstabelle rücktransformiert werden. Anstatt in einer Tabelle nachzurechnen oder Linearkombinationen bekannter Umkehrtransformationen zu verwenden, um die Umkehrtransformation durchzuführen, kann auch direkt integriert werden, um f(t) aus F (s) zurückzuerhalten. Da dieses Verfahren in der Literatur oft nur als Randnotiz erwähnt wird, wollen wir diese Methode ausführlicher behandeln da wir sie für