Aufgabensammlung. Signale und Systeme 2. Dr. Mike Wolf und Dr. Ralf Irmer, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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1 Aufgabensammlung Signale und Systeme 2 für die BA-Studiengänge EIT, II und MT (5. FS) Dr. Mike Wolf und Dr. Ralf Irmer, Fachgebiet Nachrichtentechnik Version vom 4. Februar

2 7 Analoge Systeme und Laplace-Transformation 7.14 Betrachtet wird der nachfolgend skizzierte RC-Hochpass. C R (a) Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (p) in Polynomform an. (b) Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (p) in Pol-Nullstellenform an. (c) Skizzieren Sie das PN-Bild. (d) Geben Sie die Übertragungsfunktion G(f) an. (e) Skizzieren Sie den Betragsverlauf 20log 10 G(f) db im logarithmischen Maßstab. (f) Ermitteln Sie die Gruppenlaufzeit (Formel und Skizze). (g) ErmittelnSieausderÜbertragungsfunktionG p (p)inpol-nullstellenform diesprungantwort h(t) (Formel und Skizze). Es gilt exp(at) L 1 (h) Ermitteln Sie die Impulsantwort (Formel und Skizze). (i) Ermitteln Sie die Antwort des Filters auf einen relativ breiten Rechteckimpuls Betrachtet wird der nachfolgend skizzierte Tiefpass 2. Ordnung. p a. (a) Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (p) in Polynomform an. (b) Überführen Sie die Übertragungsfunktion in die Standardform G p (p) = ω 2 0 p 2 +p ω 0 Q +w2 0 wobei ω 0 = 2πf 0 die Resonanz-Kreisfrequenz und Q die Güte ist. (c) Berechnen Sie die Pole und Nullstellen in Abhängigkeit der Parameter Q und ω 0. Skizzieren Sie das PN-Diagramm; unterscheiden Sie dabei die Fälle Q = 1/2, Q = 1/ 2 und Q = 1. (d) Berechnen Sie den Amplitudengang G(f). (e) Berechnen Sie den Wert G(f 0 ) in Abhängigkeit des Parameters Q. (f) Skizzieren Sie den Betragsverlauf 20log 10 G(f) db für die Fälle Q = 1/2, Q = 2 und Q = 10 im logarithmischen Maßstab. (g) Berechnen Sie die Gruppenlaufzeit und diskutieren Sie die Werte an den Stellen f = 0 und f = f 0., 25

3 7.16 Betrachtet wird wiederum ein Tiefpass 2. Ordnung gemäß G p (p) = ω 2 0 p 2 +p ω 0 Q +w2 0 wobei eine Güte Q > 1/2 vorausgesetzt wird. Für die Pole gilt p 1/2 = ω 0 2Q ±jω Q 2. (a) G p (p) ist auch als Partialbruch gemäß darstellbar. Berechnen Sie a 1 und a 2. G p (p) = a 1 p p 1 + a 2 p p 2 (b) Berechnen Sie die Impulsanwort. Beachten Sie den Hinweis aus Aufgabe 7.14 (g) Betrachtet wird ein System 1. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion G p (p) = 1 pt 1+pT = 1 1+pT pt 1+pT. wobei T (T > 0, reell) eine Zeitkonstante ist. (a) Skizzieren Sie das PN-Diagramm. (b) Skizzieren Sie den Amplitudengang G(f)., (c) Berechnen Sie die Impulsantwort. Hinweis: Es gilt p U p (p) L du(t) dt. 26

4 8 Hilbert-Transformation 8.1 Die Hilbert-Transformation H{u(t)} eines Signals u(t) ist wie folgt definiert H{u(t)} = 1 π u(τ) t τ dτ. (a) Drücken Sie die Hilbert-Tranformation als Faltungsoperation aus. (b) Mit welcher Operation korrespondiert die Hilbert-Tranformation von u(t) im Frequenzbereich? Hinweis: 1 jπt sgn(f) 8.2 Berechnen Sie die Hilbert-Transformierten H{u(t)} der folgenden Zeitfunktionen: (a) u(t) = U 0, (b) u(t) = U 0 δ(t), (c) u(t) = U 0 cos(2πf 0 t). 8.3 Es sei y(t) = H{u(t)}. Wie lautet die Vorschrift für die inverse Hilbert-Transformation H 1 {y(t)}? Welche Bedingungen muss u(t) erfüllen, damit gilt u(t) = H 1 {y(t)}? 8.4 Gegeben ist der Realteil Re{G(f)} der Übertragungsfunktion G(f) eines kausalen LTI- Systems mit der Impulsantwort g(t). 1 Re{G(f)} f g f g f Bestimmen Sie (a) die Impulsantwort g(t) und (b) den Imaginärteil Im{G(f)} der Übertragungsfunktion (Formel und Skizze). 27

5 8.5 Für Minimalphasensysteme mit der Übertragungsfunktion G(f) = G(f) e jϕ(f) besteht zwischen dem Dämpfungsverlauf a db (f) = 20log 10 G(f) db und dem Phasenverlauf ϕ(f) der folgende Zusammenhang ϕ(f) = ln10 20 H{a db(f)}. Bestimmen Sie zum nachfolgend skizzierten Dämpfungsverlauf eines Minimalphasensystems den Phasenverlauf ϕ(f). a db (f) a S : Sperrdämpfung a S f g f g f 8.6 Mit Hilfe eines Hilbert-Transformators lässt sich ein Einseitenband Bandpass-Signal erzeugen. Zeigen Sie anhand eines (reellen) Tiefpass-Signals u 1 (t) mit dem Spektrum U 1 (f) und der Bandbreite B, dass eine Quadratur-Upconversion der Signale u 1 (t) und H{u 1 (t)} gemäß u m (t) = u 1 (t) cos(2πf c t) H{u 1 (t)}sin(2πf c t) ein Einseitenband-Signal erzeugt. Für die Trägerfrequenz f c soll gelten f c B. 8.7 Wie lautet die Impulsantwort eines bandbegrenzten Hilbert-Transformators mit der Übertragungsfunktion [ ( ) ( )] f +fg /2 f fg /2 G(f) = j rect rect? f g f g 28

6 9 Bandpass-Tiefpass-Transformation 9.1 Geben Sie für die beiden folgenden Bandpass-Signale die entsprechenden komplexen Einhüllenden u T1 (t) bzw. u T2 (t) an. Die Bandpass-Tiefpass-Transformation soll bzgl. der Frequenz f c durchgeführt werden. (a) u 1 (t) = U 0 cos(2πf c t) (b) u 2 (t) = U 0 sin(2πf c t) 9.2 Die folgende Abbildung zeigt das Spektrum X(f) eines (reellen) Bandpass-Signals. (a) Skizzieren Sie das Spektrum X T (f) des zugehörigen Tiefpass-Signals, wenn die Bandpass-Tiefpass-Transformation bzgl. der Frequenz f c durchgeführt wird. (b) Ermitteln Sie das zugehörige komplexe Tiefpass-Signal x T (t). (c) Wie lauten die Inphase- und die Quadraturkomponente von x(t)? X(f) X 0 f c f c f X 0 2B 9.3 Die folgende Abbildung zeigt das Spektrum X(f) eines (reellen) Bandpass-Signals. (a) Skizzieren Sie das Spektrum X T (f) des zugehörigen Tiefpass-Signals, wenn die Bandpass-Tiefpass-Transformation bzgl. der Frequenz f c durchgeführt wird. (b) Ermitteln Sie das zugehörige komplexe Tiefpass-Signal x T (t). X(f) X 0 f c f c f B 29

7 9.4 Gegeben sei das folgende komplexe Tiefpass-Signal x T (t) = jx 0 si(πbt) (a) Berechnen Sie das zugehörige Bandpass-Signal x(t), wenn bzgl. der Transformation vom komplexen Tiefpass-Bereich in den Bandpass-Bereich die Mittenfrequenz f c = 5 B vorausgesetzt wird. (b) Ermitteln Sie die spektrale Amplitudendichte X(f) des Bandpass-Signals x(t). 9.5 Betrachtet wird ein Amplitudenmoduliertes Signal u 1 (t) ohne Träger gemäß u 1 (t) = U 0 cos(2πf s t)sin(2πf c t) mit f c f s, das über einen Bandpass mit der Übertragungsfunktion ( ) ( ) f +fc +B/2 f fc B/2 G(f) = rect +rect B B mit B = 2f s übertragen wird. (a) Ermitteln Sie das Zeitsignal u 2 (t) und dessen Spektrum U 2 (f) am Ausgang des Bandpasses (Formel). (b) Führen Sie bzgl. der Frequenz f c eine Bandpass-Tiefpass-Transformation des Eingangssignals durch. Skizzieren Sie u T1 (t) und das zugehörige Spektrum U T1 (f). (c) Skizzieren Sie Impulsantwort g T (t) und Übertragungsfunktion G T (f) des Bandpasses im äquivalenten Tiefpass-Bereich. Beachten Sie, dass die Transformation wieder bzgl. der Frequenz f c vorgenommen werden muss. (d) Ermitteln Sie das Ausgangssignal u T2 (t) und dessen Spektrum U T2 (f) im äquivalenten Tiefpass-Bereich (Formel und Skizze). 30

8 10 Filter mit zeitdiskreter Impulsantwort 10.1 Die folgende Skizze zeigt ein (lineares zeitinvariantes) Übertragungssystem mit zeitdiskreter Impulsantwort. Es enthält neben den Konstantenmultiplikatoren und dem Additionsglied ein ideales Verzögerungsglied mit der Impulsantwort g e (t) = δ(t t 0 ). u 1 (t) 1 1 t 0 u 2 (t) (a) Wie lautet die Z-Transformierte G ze (z) des Elementarsystems mit der Impulsantwort g e (t) = δ(t t 0 )? (b) Ermitteln Sie die Impulsantwort g(t) des Übertragungssystems durch Ablesen aus der Schaltung und skizzieren Sie diese. (c) Skizzieren Sie die zugehörige Sprungantwort h(t). (d) Ermitteln Sie die Z-Transformierte G z (z) des Übertragungssystems sowohl durch Ablesen aus der Schaltung(vgl. Anhang A, Seite 38) als auch durch Z-Transformation der Impulsantwort g(t) zugeordneten Zahlenfolge c(n). (e) Skizzieren Sie das PN-Bild (PN: Pol-Nullstellen). (f) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G(f) des Gesamtsystems durch Fourier- Transformation von g(t) sowie alternativ aus der Z-Transformierten G z (z). (g) Skizzieren Sie den Betragsverlauf G(f) Die folgende Skizze zeigt ein FIR-Filter. u 1 (t) t 0 t u 2 (t) 2 (a) Interpretieren Sie den Begriff FIR-Filter. (b) Ermitteln Sie die Impulsantwort g(t) des Übertragungssystems durch Ablesen aus der Schaltung und skizzieren Sie diese. (c) Skizzieren Sie die zugehörige Sprungantwort h(t). (d) Ermitteln Sie die Z-Transformierte G z (z) des Übertragungssystems sowohl durch Ablesen aus der Schaltung auch durch Z-Transformation der der Impulsantwort g(t) zugeordneten Zahlenfolge c(n). 31

9 (e) Skizzieren Sie das PN-Bild (PN: Pol-Nullstellen). (f) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G(f) des Gesamtsystems durch Fourier- Transformation von g(t) sowie alternativ aus der Z-Transformierten G z (z). (g) Skizzieren Sie den Betragsverlauf G(f) Weisen Sie nach, dass eine reelle Nullstelle z 1 = ± 1 mit einem frequenzproportionalen Phasenwinkel korrespondiert Weisen Sie nach, dass der Betragsverlauf G(f) der Übertragungsfunktion konstant ist (Allpass). G z (z) = k z z 1 z 1 z z 1, 0 < z 1 < Das angegebene System wird mit einem periodischen Rechtecksignal u 1 (t) gemäß Skizze beaufschlagt. Ermitteln Sie das Ausgangssignal u 2 (t). u 1 (t) t 0 u 2 (t) u 1 (t) 4 V t 02 t t Bzgl. der Übertragungsfunktion sind gesucht G z (z) = k z(z +0.1) z (a) das Blockschaltbild, (b) die Impulsantwort g(t), (c) die Konstante k z unter der Randbedingung, dass gilt G(0) = 1. 32

10 10.7 Für die skizzierte PN-Konfiguration jim{z} k z = 1, 0 < a < 1 a a 1 Re{z} sind gesucht (a) die Übertragungsfunktion G z (z), (b) das Verzweigungsnetzwerk ( Modellrealisierung ), (c) die Impulsantwort g(t) für a 2 = 1/2, (d) der Betrags- und der Phasenverlauf G(f) bzw. ϕ(f) Gegeben ist folgendes Verzweigungsnetzwerk u 1 (t) u 2 (t) 0,5 t 0 (a) Handelt es sich um ein IIR- oder ein FIR-Filter? (b) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G z (z). (c) Skizzieren Sie das PN-Bild. (d) Ist das System stabil? Begründen Sie Ihre Aussage. (e) Stellen Sie durch Rücktransformation von G z (z) die Rekursionsgleichung auf (Differenzengleichung), die das System im Zeitbereich beschreibt. (f) Skizzieren Sie die Impulsantwort g(t), die sich durch Ablesen aus dem Verzweigungsnetzwerk ergibt. Vergleichen Sie die Stoßgewichte der zeitdiskreten Impulsantwort mit den Zahlenwerten, die sich durch Einsetzen des Anfangswerts 1 aus der Rekursionsgleichung ergeben. (g) Skizzieren Sie die Sprungantwort h(t). (h) Skizzieren Sie den Betrags- und den Phasenverlauf G(f) bzw. ϕ(f). 33

11 10.9 Gegeben ist folgendes Verzweigungsnetzwerk u 1 (t) 1 b 0 < b < 1, reell t 0 u 2 (t) b (a) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G z (z). (b) Skizzieren Sie das PN-Bild. (c) Ist das System stabil? Begründen Sie Ihre Aussage. (d) Stellen Sie durch Rücktransformation von G z (z) die Rekursionsgleichung auf (Differenzengleichung), die das System im Zeitbereich beschreibt. (e) Skizzieren Sie die Gewichtsfunktion g(t), die sich durch Ablesen aus dem Verzweigungsnetzwerk ergibt. Vergleichen Sie die Stoßgewichte der zeitdiskreten Impulsantwort mit den Zahlenwerten, die sich durch Einsetzen des Anfangswerts 1 aus der Rekursionsgleichung ergeben. (f) Skizzieren Sie die Sprungantwort h(t). (g) Skizzieren Sie den Betrags- und den Phasenverlauf G(f) bzw. ϕ(f) Gegeben ist ein Filter mit der folgenden Impulsantwort g(t) = δ(t)+3δ(t t 0 ) δ(t 3t 0 ). (a) Skizzieren Sie das dazugehörige Verzweigungsnetzwerk. (b) Geben Sie die Formeln für die Übertragungsfunktionen G(f) sowie G z (z) dieses Filters an. Das Eingangssignal u 1 (t) sei gegeben durch 2 u 1 (t) = c 1 [n]δ(t n t 0 ), n=0 mit c 1 [0] = 2 c 1 [1] = 1 c 1 [2] = 3. (c) Berechnen Sie das Ausgangssignal u 2 (t) mit Hilfe der Matrix-Vektor-Schreibweise auf zwei verschiedene Arten. (d) Stellen Sie die in (c) berechnete Beziehung zwischen u 1 (t) und u 2 (t) in Matrix- Vektor-Schreibweise so dar, dass die Systemmatrix C circ zyklisch wird. (e) Geben Sie die Eigenvektoren der in (d) berechneten zyklischen Systemmatrix C circ an. Wie lassen sich die Eigenwerte von C circ berechnen (die Eigenwerte müssen nicht explizit berechnet werden, die Vorschrift genügt)? 34

12 Anhang A Analoge Filter und Laplace-Transformation A.1 Laplace-Transformation Beim Entwurf und der Analyse von Filtern spielt die Laplace-Transformation eine wesentliche Rolle. Die Laplace-Transformation kann als eine Erweiterung der Fourier-Transformation aufgefasst werden. Hinreichend für die Konvergenz des Fourierintegrals im klassischen Sinn, d.h. ohne die Zuhilfenahme von Distributionen, ist die absolute Integrierbarkeit der Zeitfunktion. Beispielsweise sind periodische Zeitsignale nicht ohne weiteres Fourier-transformierbar, da das Fourier-Integral bei der Grundfrequenz f 0 (und gegebenenfalls auch bei ganzzahligen Vielfachen von f 0 ) betragsmäßig unendlich ist. Aber auch wenn die Stoßfunktion zugelassen wird, konvergiert das Fourier-Integral für exponentiell anwachsende Signale nicht. Die Laplace-Transformation erweitert nun die Klasse der transformierbaren Signale durch eine zusätzliche exponentielle Wichtung mit exp( σt), σ 0, reell. Werden kausale Zeitfunktionen vorausgesetzt (jedes realisierbare System hat eine kausale Impulsantwort), dann gilt für die Fourier-Transformierte der Funktion g(t) unter Berücksichtigung der Wichtung e σt g(t) 0 g(t) e σt e j2πft dt. Mit der Substitution p = σ + j2πf ergibt sich die Definition der Laplace-Transformierten G p (p) einer Zeitfunktion g(t): g(t) L G p (p) = 0 g(t) e pt dt. Die Laplace-Transformation ist prinzipiell auf kausale Zeitfunktionen zugeschnitten. Die Bildvariable p = σ + j2πf ist komplex bzw. zweidimensional. Durch die Wichtung e σt sind nun auch exponentiell anwachsende Zeitfunktionen transformierbar, die unter anderem im Zusammenhang mit instabilen Systemen auftreten können. Wird ein Filter beispielsweise aktiv realisiert und enthält Rückkopplungen, dann kann sich die Impulsantwort bei ungünstiger Dimensionierung exponentiell aufschauckeln. Ein solches System ist mit der Fourier- Transformation nicht mehr behandelbar. Ist g(t) jedoch zugleich im klassischen Sinn, d.h. ohne die Zuhilfenahme von Distributionen, Fourier-transformierbar, dann folgt mit σ = 0 bzw. p = j2πf für die Übertragungsfunktion G(f) = G p (p) p=j2πf = G p (j2πf). Nach der oben formulierten hinreichenden Bedingung für die Existenz des Fourier-Integrals muss dies für alle BIBO-stabilen (kausalen) Systeme mit gelten. 0 g(t) dt < 35

13 R i L (t) u L (t) L u 1 (t) C i C (t) u 2 (t) u 1 (t) R u 2 (t) Abbildung 1: Tiefpass-Filter 1. Ordnung mit den Blindelementen C oder L. A.2 Beschreibung analoger Filter A.2.1 Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung Zunächst soll der RC-Tiefpass im linken Teil von Abb. 1 betrachtet werden. Der physikalische Zusammenhang zwischen dem Strom i C (t) durch die Kapazität und der Spannung u 2 (t) über der Kapazität lautet i C (t) = C du 2(t) dt bzw. u C (t) = 1 C t 0 i C (τ)dτ. Unter Anwendung des Differentationssatzes bzw. des Integrationssatzes der Laplace-Transformation folgt daraus für die Beschreibung im Bildbereich unmittelbar I C (p) = pc U 2 (p) bzw. U C (p) = 1 p 1 C I C(p). (1) Differentiation und Integration im Zeitbereich korrespondieren also mit einfachen algebraischen Operationen im Bildbereich. Demnach ist die Übertragungsfunktion G p (p) des RC- Tiefpasses gegeben durch G p (p) = U 2(p) U 1 (p) = 1 1+pT mit T = RC. (2) Für den physikalischen Zusammenhang zwischen dem Strom i L (t) und der Spannung u L (t) über der Induktivität im rechten Teil von Abb. 1 gilt analog u L (t) = L di L(t) dt bzw. i L (t) = 1 L t 0 u L (τ)dτ. Die Korrespondenz im p-bereich ist U L (p) = pl I L (p) bzw. I L (p) = 1 p 1 L U L(p). (3) Damit gilt für die Übertragungsfunktion G p (p) wieder G p (p) = 1 1+pT mit T = R L. 36

14 u 1 (t) α 0 α 1 α M g e (t) g e (t) g e (t) g e (t) u 2 (t) β 0 β 1 β M β N 1 1 β N Abbildung 2: Analoges Verzweigungsnetzwerk N-ter Ordnung. Das enthaltene Elementarsystem mit der Impulsantwort g e (t) ist ein idealer Integrator mit G pe (p) = 1/p. Zu beachten sind die negativen Vorzeichen an den Konstantenmultiplikatoren im Rückwärtszweig. A.2.2 Verzweigungsnetzwerk als systemtheoretisches Modell Ein Filter bzw. Analog-Netzwerk N-ter Ordnung enthält genau N-Blindelemente (Kapazitäten/Induktivitäten). Für jedes Blindelement ist der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung im Bildbereich durch Gl. (1) bzw. Gl. (3) vorgegeben. Dabei spielt immer der Term 1/p (idealer Integrierer) bzw. p (idealer Differenzierer) eine Rolle. Tatsächlich kann jedes RLC-Netzwerk N-ter Ordnung systemtheoretisch durch das in Abb. 2 dargestellte Verzweigungsnetzwerk modelliert werden, das als Elementarsystem mit der Impulsantwort g e (t) genau N ideale Integratoren mit G pe (p) = 1 p enthält. Da sich die Integration im Zeitbereich im Bildbereich der Laplace-Transformation durch den einfachen rationalen Ausdruck gemäß Gl. (4) darstellen lässt, kann die Übertragungsfunktion G p (p) des Netzwerks als die folgende gebrochen rationale Funktion N-ten Grades dargestellt werden: M µ=0 G p (p) = α µp µ N ν=0 β νp = α 0 +α 1 p+ +α M p M ν β 0 +β 1 p+ +β N p N. (5) Der Grad N des Nennerpolynoms wird durch die Anzahl der Elementarsysteme vorgegeben in der Praxis also durch die Anzahl der in der Schaltung enthaltenen Blindelemente. Das Zählerpolynom M µ=0 α µp µ vom Grad M enthält M Nullstellen (wobei hier mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden sollen). Diese Nullstellen sind zugleich auch Nullstellen der Übertragungsfunktion G p (p) und damit Nullstellen schlechthin. Das Nennerpolynom N µ=0 β µp µ enthält entsprechend des Grades N Nullstellen, die bezogen auf G p (p) als Polstellen bezeichnet werden. Komplexe Null- bzw. Polstellen müssen bei reellen Impulsantworten g(t) immer als konjugiert komplexe Paare auftreten, denn anderenfalls wäre G p (j2πf) keine bzgl. konjugiert gerade Funktion mehr. Mit den Nullstellen p 0µ und Polstellen p ν kann die gebrochen rationale Funktion nach Gl. (5) auch in die folgende Linearfaktorform überführt werden G p (p) = k p (p p 01 )(p p 02 )...(p p 0M ) (p p 1 )(p p 01 )...(p p N ) 37 (4) mit k p = α M β N. (6)

15 jim{p} 1/T Re{p} Abbildung 3: PN-Bild eines RC-Tiefpasses. Eine einzelne Nullstelle ergibt ein nicht realisierbares System. Deshalb muss in der Praxis immer gelten N M. Es sei darauf hingewiesen, dass die Linearfaktorform nach Gl. (6) gerade in der Praxis bedeutsam ist, da praktische Systeme (inbesondere aktive Analogfilter) höherer Ordnung häufig als Kaskade(Kettenschaltung) von Einzelsystemen 1. und 2. Ordnung realisiert werden. Eine Darstellung der Null- und Polstellen in der komplexen p-ebene ist (zumindest mit etwas Erfahrung) sehr aussagekräftig. Man spricht vom sogenannten PN-Bild. Für den beispielhaft betrachteten Tiefpass mit der Übertragungsfunktion nach Gl. (2) gilt G p (p) = 1 1+pT = 1 T 1 p+ 1 T Er hat die Polstelle p 1 = 1/T. Abb. 3 zeigt das zugehörige PN-Bild. Der Pol liegt in der linken Halbebene. Tatsächlich müssen immer alle Pole in der linken Halbebene liegen, damit ein System stabil ist. Nur in diesem Fall darf für die Analyse der Übertragungsfunktion G(f) die Bildvariable p ing p (p) zup = j2πf gesetzt werden.beispielsweise gilt ein idealer Integrator als Einzelsystem als nicht stabil, da die Polstelle der Übertragungsfunktion im Ursprung und damit auf der imaginären Achse liegt.. B Filter mit zeitdiskreter Impulsantwort B.1 Verzweigungsnetzwerk u 1 (t) Vorwärts (Feedforward)-Zweig α 0 α 1 α M t 0 t 0 t 0 t 0 u 2 (t) β 0 β 1 β M β N 1 1 β N Rückkoppel (Feedback)-Zweig 38

16 Mit der z-transformierten G z (z) = z 1 des Elementarsystems folgt für die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems (Realisierbarkeit bedingt N M) G z (z) = M µ=0 α µz µ N ν=0 β νz ν = k z (z z 01)(z z 02 )...(z z 0M ) (z z 1 )(z z 2 )...(z z N ) mit k z = α M β N (7) für reellwertige Impulsantworten werden auch reellwertige Koeffizienten α µ und β ν gefordert; deshalb müssen komplexe Pole oder komplexe Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten IIR-Filter werden üblicherweise als Kaskade von Filtern 1. und 2. Ordnung realisiert. (Bei einem Digitalfilter muss beispielsweise der Einfluss der Koeffizientenquantisierung berücksichtigt werden. Hier zeigt die Kaskadierung deutliche Vorteile gegenüber einer Direktform.) B.2 Beitrag einer Nullstelle zur Frequenzcharakteristik gedachtes Koordinatensystem jim{z} j G(f x ) ϕ(f x ) e j2πfxt 0 2πf x t 0 1 Re{z} 39

17 B.3 Beitrag einer Polstelle zur Frequenzcharakteristik gedachtes Koordinatensystem jim{z} j G(f x ) 1 -ϕ(f x ) e j2πfxt 0 2πf x t 0 1 Re{z} B.4 Zulässige PN-Lagen für kausale, stabile Systeme für den Grad N des Nennerpolynoms muss gelten: N M alle Pole müssen im Inneren des Einheitskreises liegen B.5 Allpass-Konfigurationen ist jeder Pol mit einer konjugiert reziproken Nullstelle gepaart, gilt also z 0ν = 1/z ν ν, dann ergibt sich ein konstanter Betragsverlauf G(f), wobei G(f) = G z (z) z=e j2πft 0 die Gruppenlaufzeit T gr (f) = 1 positiv 2π dϕ(f) df ist im Bereich 0 f < 1/(2t 0 ) grundsätzlich dementsprechend ist der Phasengang ϕ(f) eines Allpasses im Bereich 0 f < 1/(2t 0 ) monoton und niemals positiv B.6 Minimalphasen-Konfigurationen Liegen alle Nullstellen z 0µ, µ = 0,...,M, im Inneren des Einheitskreises oder auf dem Einheitskreis, und entspricht die Anzahl der Nullstellen der Anzahl der Pole, dann spricht man von einem Minimalphasen-System. solche Minimalphasen-Systeme haben die folgenden wichtigen Eigenschaften: im Vergleich zu anderen Konfigurationen mit identischem Betragsgang besitzt die Minimalphasen-Konfigurationen die geringste Gruppenlaufzeit 1 1 Jedes Nicht-Minimalphasen-System, dass sich durch eine rationale Funktion entsprechend Gleichung (7) 40

18 im Vergleich zu anderen Konfigurationen mit identischem Betragsgang besitzt die Minimalphasen-Konfigurationen die geringste Phasenlaufzeit bzw. Phasenverzögerung 2 Die Phase eines Minimalphasen-Systems ist vollständig durch den Amplitudengang bestimmt. Zwischen dem Dämpfungsverlauf a db (f) = 20log 10 G(f) db und dem Phasenverlauf ϕ(f) besteht der folgende Zusammenhang ϕ(f) = ln10 20 H{a db(f)}. Dieser Zusammenhang folgt aus der Tatsache, dass das sogenannte Cepstrum ln(g(f)) = ln( G(f) )+jϕ(f) = a db(f) 20log 10 (e) +jϕ(f) bei Minimalphasensystems mit einer kausalen Zeitfunktion korrespondiert. Bei kausalen Zeitfunktionen ergibt sich der Imaginärteil des Spektrums durch die Hilbert-Transformation des Realteils verbunden mit einer Vorzeichennumkehr. liegen alle M = N Nullstellen im Inneren des Einheitskreises, so ist die inverse Systemfunktion1/G z (z) kausal undstabil; ein solches Minimalphasen-System lässt sich daher perfekt entzerren darstellen lässt, kann in ein Allpass-Teilsystem und ein Minimalphasen-Teilsystem zerlegt werden. Da ein Allpass im Bereich 0 f < 1/(2t 0) eine prinzipiell positive Gruppenlaufzeit aufweist, fällt die Gruppenlaufzeit des Gesamtsystems notwendigerweise größer als die Gruppenlaufzeit des Minimalphasen-Teilsystems aus. Dabei haben das Gesamtsystem uns das Minimalphasen-Teilsystem einen identischen Betragsgang. 2 Hier gilt entsprechend, dass ein Allpass im Bereich 0 f < 1/(2t 0) eine prinzipiell negative Phase ϕ(f) besitzt. Die Phase eines aus einem Allpass-Teilsystem und einem Minimalphasen-Teilsystem zusammengesetzten Systems muss daher negativer ausfallen als die eines Minimalphasen-(Teil)systems. 41

19 C Bandpass-Tiefpass-Transformation C.1 Grafische Veranschaulichung A B Re{X(f)} Im{X(f)} f c BP-TP f c f Re{X T (f)} 2B 2A Im{X T (f)} 0 Betrachtet wird ein beliebiges reelles Bandpass-Signal x(t) mit der Fouriertransformierten X(f), wobei X(0) = 0 vorausgesetzt wird. Das Bandpass-Signal kann in Verbindung mit der Frequenz f c vollständig durch das äquivalente Tiefpass-Signal x T (t) X T (f) beschrieben werden. Da fürx T (f) im allgemeinen gilt X T (f) X T ( f), ist x T(t) im allgemeinen komplex. Ausnahmen bilden sogenannte symmetrische Bandpass-Signale, die für f > 0 die Bedingung X(f c +f) = X (f c f) erfüllen. Da f c willkürlich gewählt werden kann, existieren beliebig viele Möglichkeiten der Zuordnung. C.2 Transformationsvorschrift für Signale Signale werden lt. unserer Definition so transformiert, dass diese nach der BP-TP Transformation die gleiche Energie bzw. Leistung besitzen. Im Frequenzbereich gilt(g H (f)istdiefouriertransformierteeineshilbert-transformators): X T (f) = 1 {}}{ X + (f +f c ) mit X + (f) = X(f)+j [ j sgn(f)]x(f). 2 Im Zeitbereich gilt: f G H (f) x T (t) = 1 2 x + (t)e j2πfct = 1 2 e j2πfct [x(t)+j H{x(t)}]. Umgekehrt gilt für das Spektrum im Bandpass-Bereich: X(f) = 1 2 X T (f f c )+ 1 2,X T( (f +f c )) 42

20 und für das Zeitsignal x(t) im Bandpass-Bereich: x(t) = 1 x T (t)e j2πfct + 1 [x T (t)e j2πfct], 2 2 = { 2 Re x T (t)e j2πfct} und mit x T (t) = x Tr (t)+j x Ti (t), = x Tr (t) 2 cos(2πf c t) x Ti (t) 2 sin(2πf c t). 2 xtr (t) und 2 x Ti (t) werden als Inphase- und Quadraturkomponente bezeichnet; e j2πfct als komplexer Träger. C.3 Transformationsvorschrift für Systeme Bandpass-Bereich Tiefpass-Bereich x(t) g(t) y(t) x T (t) g T (t) y T (t) Gegeben sei ein LTI-Bandpass-System. Für das Ausgangssignal gilt bei reeller Impulsantwort g(t) die Beziehung: y(t) = x(t) g(t). Ziel: Konsistente Beschreibung im TP-Bereich gemäß: y T (t) = x T (t) g T (t). Abweichend zu Signalen wird für Systeme im Frequenzbereich definiert G H (f) G T (f) = 1 {}}{ 2 G+ (f +f c ) mit G + (f) = G(f)+j [ j sgn(f)]g(f). Im Zeitbereich gilt dementsprechend: g T (t) = 1 2 g+ (t)e j2πfct = 1 2 e j2πfct [g(t)+j H{g(t)}]. Die BP-TP-Zuordnungvon Signalen unterscheidet sich demnach um den Faktor 2 von der BP-TP-Zuordnung bei Systemen. Dementsprechend gilt für die Beschreibung des Systems im reellen Bandpass-Bereich auch Frequenzbereich: G(f) = G T (f f c )+G T ( (f +f c)), Zeitbereich: g(t) = 2 Re { g T (t)e j2πfct} und mit g T (t) = g Tr (t)+j g Ti (t), = g Tr (t) 2 cos(2πf c t) g Ti (t) 2 sin(2πf c t). 43