Galoissche Theorie. 20i (4i + 3) 4 20i (10i 5) 4 20i )

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1 Galoissche Theorie ζ 11 = ζ 5 = ((1965ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ (51821ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ ( ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ (620246ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ (658845ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ ( ζ ζ ζ ) ζ ζ ζ ( ζ ζ ) ζ ζ ζ ( ζ ζ ζ 5 ) ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ( (4i + 3) 4 20i (10i 5) 4 20i ) 20i )

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3 Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Universität Augsburg Lehrbuch Galoissche Theorie Eine Einführung in die Algebra für Bachelor und Lehramt Marc Nieper-Wißkirchen 10. Dezember 2013 Universität Augsburg

4 Prof. Dr. Marc Nieper-Wißkirchen Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Universität Augsburg D Augsburg Dieses Buch wurde mit Hilfe von KOMA-Script und L A TEX gesetzt.

5 Für Konrad, Karla und Irmgard

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7 Inhaltsverzeichnis Vorwort Notationen Einleitung xiii xix xxi I. Elementare Galoissche Theorie 1 1. Der Fundamentalsatz der Algebra Über Polynomgleichungen Die komplexen Zahlen Algebraische Zahlen Komplexe Einheitswurzeln Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Der Fundamentalsatz der Algebra Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises Polynome Der Vietasche Satz Die Diskriminante Transzendenz von π und die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung Separabilität Irreduzible Polynome Irreduzibilität über den ganzen Zahlen Irreduzibilität modulo einer Primzahl Der Grad algebraischer Elemente Der Satz vom primitiven Element Die Gradformel Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-ecke Galoissch Konjugierte Die Galoissche Gruppe einer Gleichung Über Invarianten der Galoisschen Wirkung Galoissche Resolventen vii

8 Inhaltsverzeichnis 4.5. Der Lagrangesche Satz und die Klassengleichung Kreisteilungspolynome Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-ecke Über die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen Relative Galoissche Gruppen Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie Algebraisch eindeutige Wurzeln Wurzeldarstellungen der primitiven Einheitswurzeln Nicht auflösbare Galoissche Gruppen Eine nicht auflösbare Gleichung fünften Grades Über auflösbare Gleichungen Die Cardanischen Formeln II. Abstrakte Galoissche Theorie Gruppen Gruppen und Gruppenhomomorphismen Untergruppen und Nebenklassen Gruppenwirkungen Normalteiler und Faktorgruppen Auflösbare Gruppen Die Sylowschen Sätze Endlich präsentierte abelsche Gruppen Ringe Ringe und Ringhomomorphismen Ideale und Faktorringe Lokalisierung Faktorielle Ringe Hauptidealringe Dedekindsche Bereiche Körper Körpererweiterungen Faktorielle Körper Separabel faktorielle Körper Vollkommene Körper Endliche Körper und der Frobenius Separable und inseparable Erweiterungen Transzendente Erweiterungen Galoissche Erweiterungen Auflösbare Galoissche Gruppen viii

9 Inhaltsverzeichnis III. Ausblicke 387 ix

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11 Abbildungsverzeichnis 1. Évariste Galois, xvii 1.1. Das Calabische Dreieck Die Gaußsche Zahlenebene Multiplikation komplexer Zahlen Die vierten Wurzeln aus Die sechsten Einheitswurzeln Konstruktion der Summe zweier komplexer Zahlen Konstruktion des Produktes zweier reeller Zahlen Konstruktion der Summe zweier Winkel Konstruktion der Inversen einer reellen Zahl Konstruktion der reellen Wurzel Approximation einer Nullstelle im Fundamentalsatz der Algebra Die Funktion m(s) Quadratur des Kreises Die reellen Werte des Polynoms f(x) = X 4 4X 2 + X Die reellen Werte des Polynoms f(x) = X 4 7X 3 + 4X X Der Satz vom primitiven Element Relative Grade algebraischer Elemente Verdopplung des Würfels Dreiteilung eines Winkels von Eine Linie in der Ebene Ein gleichseitiges Dreiecks in der Ebene Die zyklische Permutation σ 2 S Ein Quadrat in der Ebene Ein Tetraeder Illustration der Klassengleichung Die Hauptsatz der Galoisschen Theorie illustriert an der kubischen Gleichung X 3 2 = Die Hauptsatz der Galoisschen Theorie illustriert an der quartischen Gleichung X 4 2 = Die reellen Werte des Polynoms f(x) = X 5 6X Ein Solitaire-Brett xi

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13 Vorwort Die Galoissche Theorie, welche mit einigem Recht sicherlich zu den Perlen der reinen Mathematik gezählt werden kann, nimmt eine zentrale Stellung in den Algebra-Kursen für Bachelor- oder Lehramtsstudenten in Mathematik ein. Ausgangspunkt ist die Frage, ob sich Lösungen von Polynomgleichungen mit Hilfe von Wurzelausdrücken beschreiben lassen können. Dazu werden Symmetrien zwischen den Lösungen einer solchen Gleichung untersucht. Es zeigt sich, daß aus diesen Symmetrien wesentliche Informationen über das Polynom erhalten werden können und daß diese insbesondere Antworten auf die ursprüngliche Frage nach der Auflösbarkeit durch Wurzeln geben. In der Galoisschen Theorie kommen die drei wichtigsten Strukturen in der Algebra vor: Die Symmetrien der Lösungen lassen sich zu einer Gruppe zusammenfassen. Die Koeffizienten der Polynomgleichungen nehmen Werte in einem Körper an, etwa den rationalen oder den komplexen Zahlen. Schließlich bilden die Polynome selbst einen Ring, welcher in vielerlei Hinsicht Ähnlichkeiten mit dem Ring der ganzen Zahlen hat. Ziel des ersten Teiles dieses Buches ist es, einen elementaren, klassischen Einstieg in die Galoissche Theorie zu vermitteln und dabei gleichzeitig die Früchte der Theorie in Form von Anwendungen auf jahrtausend alte Probleme zu ernten. Im zweiten Teil des Buches wird die modernere, abstraktere Sichtweise auf die Galoissche Theorie betont. Dabei werden die Strukturen Gruppe, Ring und Körper motiviert, definiert und dann im Detail studiert. Gleichzeitig wird der Anwendungsbereich der im ersten Teil entwickelten Theorie erweitert, zum Beispiel von Körpererweiterungen über den rationalen Zahlen zu Körpererweiterungen über beliebigen Körpern. Damit umfaßt der erste der beiden Teile in etwa den Stoff, wie er in einer einsemestrigen Vorlesung Algebra auch schon zu Beginn des Studiums behandelt werden könnte und zusammen mit aus gewählten Abschnitten des zweiten Teiles genau das, was Thema von (Staatsexamens-)Prüfungen in Algebra ist. Im dritten und letzten Teil des vorliegenden Buches werden Ausblicke auf Weiterführungen und Weiterentwicklungen der Galoisschen Theorie und der Theorie der Gruppen, Ringe und Körper gegeben, insbesondere in Hinblick auf die algebraische Zahlentheorie und die algebraische Geometrie gegeben. Einige Konzepte der ersten beiden Teile werden noch einmal vom höheren Standpunkt aus betrachtet, welches das Verständnis noch einmal vertieft. Der Stoff des dritten Teiles könnte in einer vertiefenden Vorlesung in Algebra abgehandelt werden oder auch als Grundlage eines Seminars in Algebra dienen. Unabhängig davon soll er aber den interessierten Studenten dazu einladen, sich selbständig weiter mit der Algebra zu beschäftigen und die weiterführenden Themen der Algebra anhand dieses Buches selber zu entdecken und sich zu erarbeiten. Während die ersten beiden Teile des Buches in chronologischer Reihenfolge gelesen werden sollten, sind die einzelnen Kapitel des dritten Teiles unabhängiger voneinander. xiii

14 Vorwort Im Anhang sind schließlich für die Algebra wichtige Ergebnisse aus der Linearen Algebra und der Analysis zusammengestellt und weiteres Material aufgenommen, welches das Interesse des Leser wecken sollte, welches aus konzeptionellen Gründen aber nicht in den Hauptteil paßt. Es sind schon viele einführende Lehrbücher der Algebra und speziell über die Galoissche Theorie geschrieben worden. Der Autor dieses Buches hat zum Beispiel viel aus dem Buch von Serge Lang [L] gelernt und auch in deutscher Sprache gibt es viele bewährte Lehrbücher wie zum Beispiel das von Siegfried Bosch [B]. Was sind also die Besonderheiten des vorliegenden Buches, dessen Inhalt auch Grundlage von Vorlesungen des Autors ist? Folgende Prinzipien sind bei der Erstellung der Galoisschen Theorie verfolgt worden: Abstrakte Theorien und Definitionen werden aus konkreten Problemstellungen und Lösungen abgeleitet und nicht umgekehrt das Konkrete als Spezialfall des Abstrakten angesehen. Auch wenn die abstrakte Theorie am Ende das ist, was die eigentliche Weiterentwicklung der Mathematik darstellt, kann sie doch nur mit Wissen des ursprünglichen konkreten Rahmens ausreichend gewürdigt und verstanden werden. Weiter besteht bei jeder fortschrittlichen mathematischen Theorie die Gefahr, daß die großen Sätze am Ende zwar elegant aus einer Kette von Abstraktionen und Lemmata folgen, der eigentliche Grund für ihre Wahrheit aber nicht mehr übersehen wird. Erklärtes Ziel des Buches ist es daher auch, dafür zu sorgen, daß der rote Faden im Kopf des Lesers nicht abreißt und dieser zu jeder Zeit in der Lage ist, einem Laien zumindest grob erklären zu können, was die Gegenstände der Theorie sind, und Begründungen für ihre Aussagen liefern zu können. In dieser Hinsicht wichtig ist dem Autoren auch, daß schon frühzeitig auf Anwendungen der Theorie eingegangen wird und nicht erst am Ende, nachdem ein riesiges Theoriegebäude scheinbar unmotiviert hochgezogen worden ist. Die Entwicklung der Galoisschen Theorie und ihrer Grundlagen erfolgt schließlich in eine Richtung, auf die in weiteren fortgeschrittenen Vorlesungen die algebraische Zahlentheorie und die arithmetische und algebraische Geometrie aufbauen können. Auf diesen Feldern gibt es etliche Ausblicke. Im Gegensatz dazu ist der Gruppentheorie ein kleinerer Raum gegeben worden, etwa in dem Maße, wie sie üblicherweise in einführenden Algebravorlesungen abgehandelt wird und wie sie in anderen Gebieten der Mathematik benötigt wird. Die nicht-kommutative Algebra spielt in diesem Buch keine große Rolle, und auch auf die Darstellungstheorie wird nicht wesentlich eingegangen. In jedem Falle ist darauf wert gelegt worden, daß auch das Studium nur des ersten Teiles dieses Buches einen wesentlichen Beitrag für die mathematische Allgemeinbildung auch desjenigen Studenten liefert, welcher sich nicht im Bereich der Algebra vertiefen möchte. Etwas, wovon sich dieses Buch von den meisten, wenn auch nicht von allen Lehrbüchern der Algebra wir denken da an das von Harold Edwards [E] unterscheidet, ist, daß konsequent der Standpunkt eines konstruktiven Mathematikers eingenommen worden ist: Um die Existenz eines mathematischen Objektes zu beweisen, ist eine Konstruktionsvorschrift für dieses anzugeben. Damit muß zwar auf das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und das Auswahlaxiom, welche beide nicht konstruktiv sind, verzichet werden (das heißt, die klassische Logik muß durch die intuitionistische ersetzt werden), allerxiv

15 dings erlaubt dies nicht nur eine schärfere Sicht auf die Dinge, sondern verhindert auch, daß wir Aussagen ableiten, welche zwar logische Konsequenz der Axiome sind, aber für sich genommen keine praktische Relevanz haben: So besagt der klassische Fundamentalsatz der Algebra, daß jede nicht triviale Polynomgleichung über den komplexen Zahlen eine Nullstelle hat. Jedoch gibt es kein allgemeines Verfahren, eine solche Nullstelle zu berechnen, was im wesentlichen daran liegt, daß es für eine beliebige komplexe Zahl unentscheidbar ist, ob sie verschwindet oder nicht. Im Gegensatz zu anderen Büchern über konstruktive Algebra wie etwa [MRR] wird in diesem Buch der konstruktive Standpunkt jedoch nicht betont. Jemandem, dem der Konstruktivismus bisher fremd gewesen ist und der dieses Buch liest, wird im wesentlichen auffallen, daß einige Aussagen etwas vorsichtiger als klassisch üblich formuliert sind so werden wir den Fundamentalsatz der Algebra nur für Gleichungen beweisen, deren Koeffizienten algebraische Zahlen sind und vielleicht, daß einige Beweise zwar aufwendiger, dafür aber mit größerer Klarheit geführt worden sind. Da es überzeugte Meinung des Autors ist, daß Mathematik genauso wenig wie Schwimmen oder das Spielen eines Instrumentes nur durch das Studium eines Buches gelernt werden kann, sind zahlreiche Übungsaufgaben vorhanden. Das Niveau der Übungsaufgaben beginnt bei einfachen Fragen, anhand derer eine einfache Überprüfung des Lernerfolges möglich ist, und geht hin bis zu schweren Kopfnüssen, die die Begnadeten unter den Studenten animieren sollen. Genug der Vorrede, jetzt kommt die Algebra zu Wort. Ich wünsche viel Spaß beim Stöbern und Durcharbeiten der Kapitel. Augsburg, am 10. Dezember 2013 Marc Nieper-Wißkirchen xv

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17 Abbildung 1.: Évariste Galois, xvii

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19 Notationen Standardmengen Mit N 0 = {0, 1, 2,... } bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen, insbesondere ist für uns 0 eine natürliche Zahl. Die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit N. Weiter sei Z die Menge der ganzen Zahlen, Q die Menge der rationalen Zahlen, R die Menge der reellen Zahlen und C die Menge der komplexen Zahlen. Mengenlehre Ist X eine Teilmenge einer Menge Y, so schreiben wir X Y. Ist X eine echte Teilmenge von Y, das heißt X Y und X Y, so schreiben wir auch X Y. Reelle Zahlen Sind x und y zwei reelle Zahlen, so steht x y für (x > y) (x < y), wir haben also x y genau dann, wenn x y > 0. xix

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21 Einleitung Frag Jacobi oder Gauß öffentlich um ihre Meinung, nicht hinsichtlich der Richtigkeit, sondern hinsichtlich der Bedeutung dieser Sätze. Später einmal, so hoffe ich, werden es einige Leute der Mühe wert finden, dieses ganze Geschmier zu entziffern. [G, S ] (Brief von É. Galois an A. Chevalier) Mit zu den wichtigsten Aufgabenstellungen in den Anwendungen der Mathematik aber auch in der Mathematik selbst gehört sicherlich das Lösen von Gleichungen. Die einfachsten Gleichungen sind vielleicht die linearen, also Gleichungen der Form ax + b = 0, oder auch mehrere solcher Gleichungen zusammengefaßt zu linearen Gleichungssystemen, etwa a 11 X a 1m X m + b 1 = 0,. a n1 X a nm X m + b n = 0, wobei die a ij und b i zum Beispiel rationale Zahlen sind. Eine befriedigende Lösungstheorie für solche linearen Gleichungssysteme liefert die Lineare Algebra. Ein ganzes Stück komplizierter sind dann schon Polynomgleichungen, also Gleichungen der Form a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 = 0. (1) Die Lösungstheorie solcher Gleichungen ist Gegenstand der Algebra und damit zentrales Thema dieses Buches. Der nächstkompliziertere Schritt würde dann zu polynomiellen Gleichungssystemen in mehreren Variablen führen. Diese werden in der Algebraischen Geometrie behandelt, welche auf der Algebra aufbaut und auf deren Anfänge wir im dritten Teil des Buches knapp eingehen können. Können wir durch a n dividieren, läßt sich (1) in die äquivalente Gleichung X n + b n 1 X n b 1 X + b 0 = 0 (2) mit b i = a 1 n a i für i {0,..., n 1} umformen. Wir nennen n N 0 dann den Grad der Polynomgleichung. Im Falle von n = 1 erhalten wir die lineare Gleichung X + b 0 = 0, welche genau eine Lösung, nämlich X = b 0 besitzt. Interessant wird es beginnend mit den quadratischen Gleichungen, also dem Falle n = 2. Mit p = b 1 und q = b 0 ist die allgemeine quadratische Gleichung durch. X 2 + px + q = 0 (3) xxi

22 Einleitung gegeben. Schon in der Schule wird die Lösungstheorie solcher Gleichungen gelehrt und auch den Babyloniern vor viertausend Jahren war die Lösung wohlbekannt [vdw]: Ist die Diskriminante = p 2 4q ein Quadrat, sind die Lösungen von (3) durch x 1,2 = 1 ( p ± ) 2 gegeben, ansonsten ist die Gleichung unlösbar. Damit wird auch schon ein wesentlicher Unterschied zur linearen Gleichung in einer Variablen deutlich: es kann auch mehrere, in diesem Falle bis zu zwei Lösungen geben. Schauen wir genauer auf die beiden möglichen Lösungen, so erkennen wir eine interessante Sache: Definieren wir eine Wurzel von einfach als eine Zahl, deren Quadrat ist, so ist diese Zahl im allgemeinen nur bis auf ein Vorzeichen definiert. Und genau um diese Vorzeichenwahl unterscheiden sich die beiden Lösungen x 1 und x 2. Den Wechsel dieses Vorzeichens, das heißt das Vertauschen von x 1 und x 2 können wir als Symmetrieoperation auf der Menge der Lösungen der Gleichung auffassen. Erwähnenswert ist weiterhin, daß wir zum Erhalten der Lösung durch 2 dividieren müssen. Wir werden später lernen, daß dies nicht in jedem Zahlbereich möglich ist, d.h. es gibt Zahlbereiche, in denen die Lösungstheorie der quadratischen Gleichung anders aussehen muß. Gehen wir als nächstes zu Polynomgleichungen höheren Grades über. Es zeigt sich, daß bei der Gleichung (2) vom Grade n höchstens n verschiedene Lösungen auftreten, im Falle der Gleichung X 3 + ax 2 + bx + c = 0 (4) dritten Grades also bis zu drei Lösungen. Im Gegensatz zur quadratischen Gleichung hat es bis zum 16. Jahrhundert gedauert, bis die allgemeine Lösung der kubischen Gleichung gefunden worden ist, und zwar zuerst von Scipione del Ferro 1 und Nicolo Tartaglia 2. Die Lösung lautet folgendermaßen: Wir setzen p := b a2 3, q := 2a3 9ab + 27c. 27 Dann ist die reduzierte kubische Gleichung Y 3 + py + q = 0 (5) mit Y = X + a 3 äquivalent zu (4) (wie sich schnell durch Einsetzen und Ausmultiplizieren überprüfen läßt), das heißt, ist y eine Lösung von (5), so ist x = y a 3 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung (4) (und umgekehrt). Damit reicht es offensichtlich, die reduzierte kubische Gleichung zu lösen. Sei u = 3 q Scipione del Ferro, , italienischer Mathematiker 2 Nicolo Tartaglia, 1499/ , italienischer Mathematiker xxii

23 wobei := 4p 3 27q 2 die Diskriminante der reduzierten kubischen Gleichung ist. Setzen wir so ist v = p 3u, y = u + v = u p 3u eine Lösung von (5). (Es folgt, daß x = u+v a 3 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung (4) ist.) Was ist mit den anderen Lösungen? Dazu erinnern wir daran, daß (zumindest im Körper der komplexen Zahlen) das Ziehen der dritten Wurzel keine eindeutige Operation ist, das heißt, ist eine Zahl z gegeben, so gibt es in der Regel drei Lösungen u für u 3 = z. Damit erhalten wir also auch drei mögliche Werte für y. Im Vergleich zur Lösungsformel für die quadratische Gleichung sticht ins Auge, daß die kubische Gleichung wieder durch Wurzeln, in diesem Falle durch Quadrat- und dritte Wurzeln ausgedrückt werden kann. Die Mehrdeutigkeit der (in diesem Falle dritten) Wurzel liefert wieder die verschiedenen Lösungen der Gleichung. Schauen wir genau hin, erkennen wir aber, daß noch eine andere Wurzel auftritt, nämlich die Quadratwurzel unter der dritten Wurzel von u. Was passiert, wenn wir hier die andere Wurzel wählen, also das Vorzeichen vor der Wurzel ändern? Wie sich durch kurze Rechnung bestätigen läßt, ist v 3 = q , also v = 3 q , das heißt u und v vertauschen durch einen Wechsel des Vorzeichens einer Quadratwurzel, etwas, was wir im Falle der quadratischen Gleichung als Symmetrieoperation angesehen haben. Und auch hier sind Symmetrien erkennbar. Die Lösung y = u+v ist zum Beispiel invariant unter der Vertauschung von u und v, ist also symmetrisch. Die Lösungsformel für die kubische Gleichung ist durch Gerolamo Cardano in seinem Werke Ars magna aufgeschrieben worden. Ihm wurde das Wissen über diese Formel von Tartaglia mitgeteilt, allerdings nur unter dem Schwur, sie nicht weiterzuverbreiten. An diesen Schwur fühlte sich Cardano nicht mehr gebunden, nachdem er Kenntnis davon erlangt hatte, daß del Ferro schon einige Zeit vor Tartaglia die Gleichungen entdeckt hatte. Cardanos Schüler Ludovico Ferrari 4 fand unter Anleitung seines Lehrers schließlich auch noch eine Lösungsformeln für Polynomgleichungen vierten Grades, welche ebenfalls in der Ars magna veröffentlich worden ist (aus diesem Grunde heißen 3 Gerolamo Cardano, , italienischer Arzt, Philosoph und Mathematiker 4 Ludovico Ferrari, , italienischer Mathematiker xxiii

24 Einleitung die Auflösungsformeln für die Gleichung dritten und vierten Grades auch Cardanische Formeln. Die Formeln für die quartische Gleichung, also die Gleichung vierten Grades, wollen wir aufgrund ihrer Kompliziertheit an dieser Stelle nicht angeben wir werden aber im Hauptteil des Buches diese Formel ableiten, allerdings sei gesagt, daß die Lösungen wieder durch Quadrat- und dritte Wurzeln ausgedrückt werden können. (Wer unbedingt eine vierte Wurzel erwartet, der sei daran erinnert, daß eine vierte Wurzel nichts anderes als eine Quadratwurzel einer Quadratwurzel ist.) Damit stellte sich natürlich die Frage nach entsprechenden Lösungsformeln für Polynomgleichungen fünften und höheren Grades, das heißt nach der Antwort auf das folgende Problem: Gegeben seien die Koeffizienten einer Polynomgleichung. Bestimme ihre Lösung mittels der Grundrechenarten und Wurzelziehens aus den Koeffizienten; löse die Gleichung also durch Wurzeln auf. Nachdem Cardano die Formel für die Gleichungen dritten und vierten Grades 1545 aufgeschrieben hatte, hat es zunächst über Jahrhunderte keinen echten Fortschritt gegeben. Die allgemeine Gleichung fünften Grades widerstand jeglichen Lösungsversuchen. In den Jahren 1770/71 untersuchte Joseph-Louis de Lagrange 5 noch einmal die Rechentricks, welche schließlich zu den Lösungen für die Gleichungen dritten und vierten Grades führten. Er erkannte ein Muster und wendete es auf die Gleichung fünften Grades an. Doch anstelle einer Vereinfachung auf eine Gleichung niedrigeren Grades erhielt er eine Gleichung vom Grad 24, welche jedenfalls keine Vereinfachung der ursprünglichen Gleichung bedeutet. Bei Gleichungen höheren als fünften Grades war die Situation noch hoffnungsloser. Langsam begannen die Mathematiker zu glauben, daß es vielleicht gar keine Lösungsformel für Gleichungen fünften oder höheren Grades gibt. Im Jahre 1799 veröffentlichte Paolo Ruffini 6 eine Arbeit, in der er behauptete, daß die allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch Wurzeln auflösbar sei. In dem von ihm gegebenen Beweis gab es jedoch eine kleine Lücke, welche erst von Niels Henrik Abel 7 im Jahre 1824 geschlossen werden konnte. Seitdem war klar, daß die allgemeine Gleichung fünften und höheren Grades nicht durch Wurzeln auflösbar ist, daß also jegliche Suche nach Lösungsformeln vergeblich war. Dieser Satz heißt heutzutage zu Ehren seiner Entdecker der Abel Ruffinische Satz. Was der Satz allerdings nicht ausschließt, ist für jede einzelne Gleichung die Existenz eines Wurzelausdrucks in den Koeffizienten für ihre Lösungen. Denn für zwei verschiedene Gleichungen könnten diese Wurzelausdrücke ja so unterschiedlich sein, daß sie sich nicht zu einer allgemeinen Formel, deren Nichtexistenz von Abel und Ruffini bewiesen war, zusammensetzen lassen. Aber auch diese Vermutung war falsch: Es gibt spezielle Gleichungen fünften (und höheren) Grades, welche sich nicht durch Wurzeln auflösen lassen, wie zum Beispiel X 5 X + 1 = 0, (6) das heißt für keinen wie auch immer gearteten Wurzelausdruck ist dessen fünfte Potenz 5 Joseph-Louis de Lagrange, , italienischer Mathematiker 6 Paolo Ruffini, , italienischer Mathematiker, Mediziner und Philosoph 7 Niels Henrik Abel, , norwegischer Mathematiker xxiv

25 derselbe um eins vermindert. Dies ist um 1830 von Évariste Galois 8 erkannt worden, in dem er die Symmetrien zwischen den Lösungen einer Polynomgleichung untersucht hatte und bewies, daß Gleichungen mit zu vielen Symmetrien existieren, als daß die Lösung noch durch Wurzeln ausdrückbar wäre. Galois selbst hatte zu Lebzeiten nie Anerkennung für seine bahnbrechende Leistung gefunden im Vergleich zu seinem Nichtexistenzsatz ist der Satz von Abel und Ruffini viel leichter. Das lag zum einen daran, daß er 1832 im Alter von nur 20 Jahren tragisch an den Verletzungen durch ein Pistolenduell starb, dessen vermutlicher Anlaß eine unglückliche Liebe war. Zum anderen schien er mit seinen Ideen seinen mathematischen Zeitgenossen weit voraus gewesen zu sein; erst 1843 erkannte Joseph Liouville 9 die Bedeutung der Galoisschen Theorie und veröffentlichte sie in seinem Journal. Diese Theorie und ihre Weiterentwicklungen bis in 21. Jahrhundert hinein werden wir im Buch nachvollziehen, so daß wir am Ende auch die Frage beantworten können, warum Gleichungen dritten und vierten Grades durch Wurzeln auflösbar sind, die Gleichung (6) aber zum Beispiel nicht. Neben der Frage nach Auflösungsformeln für Polynomgleichungen gab es weitere, jahrtausende alte ungelöste Probleme, diesmal aus der ebenen Geometrie. Schon die alten Griechen fragten danach, ob es möglich sei, einen beliebigen Winkel nur mit Zirkel und Lineal dreizuteilen. (Daß die Halbierung eines Winkels mit Zirkel und Lineal möglich ist, ist seit der Antike bekannt und wird regelmäßig in der Schule gelehrt.) Eine weitere Frage war die nach der Würfelverdoppelung: Kann aus der Seitenlänge eines gegebenen Würfels nur mit Zirkel und Lineal die Seitenlänge eines Würfels mit doppeltem Flächeninhalt konstruiert werden? Mit anderen Worten also die Frage, ob aus einer Strecke der Länge 1 eine Strecke mit der Länge 3 2 konstruiert werden kann. Eine ähnliche Frage war die nach der Quadratur des Kreises: Gegeben ein Radius eines Kreises, kann daraus nur mit Zirkel und Lineal die Seitenlänge eines Quadrates mit demselben Flächeninhalt wie der Kreis konstruiert werden? Eine positive Antwort auf diese Frage würde ein Konstruktionsverfahren für eine Strecke der Länge π aus einer Strecke mit der Länge 1 liefern. Wir werden sehen, daß alle drei Fragen mit nein zu beantworten sind. In der Mathematikgeschichte hat es nach den Griechen allerdings sehr lange gedauert, bis diese Antworten gefunden waren: Im Jahre 1837 zeigte Pierre Laurent Wantzel 10 auch aufbauend auf den Ideen Galois, daß weder die Dreiteilung eines allgemeinen Winkels noch die Würfelverdopplung nur mit Zirkel und Lineal möglich sind. Das Problem der Quadratur des Kreises war hartnäckiger und benötigte neben der Algebra auch Methoden der Analysis. Erst 1882 wurde die Unmöglichkeit der Kreisquadratur von Carl Louis Ferdinand von Lindemann 11 gezeigt. Eng mit der Dreiteilung des Winkels hängt auch die Frage nach der Konstruierbarkeit regelmäßiger Polygone zusammen. Mit Zirkel und Lineal konnten die Griechen das regelmäßige Drei-, Vier-, Fünf- und Fünfzehneck konstruieren. Aufgrund der Möglich- 8 Évariste Galois, , französischer Mathematiker (Porträt auf xvii) 9 Joseph Liouville, , französischer Mathematiker 10 Pierre Laurent Wantzel, , französischer Mathematiker 11 Carl Louis Ferdinand von Lindemann, , deutscher Mathematiker xxv

26 Einleitung keit der Winkelhalbierung folgen daraus sofort Konstruktionsvorschriften für das n-eck mit n = 2 m k, wobei k = 3, 5, 15. Offen blieb zum Beispiel die Frage nach der Konstruierbarkeit des regelmäßigen Sieben- oder Neunecks. (Da für das Neuneck der Winkel des gleichseitigen Dreiecks dreigeteilt werden muß, würde Nichtkonstruierbarkeit des regelmäßigen Neunecks allgemeiner die Unmöglichkeit der Dreiteilung eines beliebigen Winkels implizieren.) Erst 1796 gab es wieder Fortschritt in dieser Frage: Als Neunzehnjähriger gab Carl Friedrich Gauß 12 eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 17-Eck an. Fünf Jahre später konnte er Konstruktionen mit Zirkel und Lineal für das regelmäßige n-eck angeben, wenn immer n ein Produkt aus einer Zweierpotenz und paarweise verschiedenen Fermatschen 13 Primzahlen ist. Dabei ist eine Fermatsche Primzahl eine Primzahl, welche von der Form F n = 2 2n + 1 ist. (Bisher sind nur fünf Fermatsche Primzahlen bekannt, nämlich F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = ) Gauß vermutete, daß keine weiteren regelmäßigen n-ecke mit Zirkel und Linear konstruierbar sind was insbesondere die Nichtkonstruierbarkeit des regelmäßigen Sieben- und Neunecks einschließen würde. Ein Beweis dieser Vermutung ist ebenfalls in der Arbeit von 1837 durch Pierre Wantzel gegeben worden. 12 Carl Friedrich Gauß, , deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker 13 Pierre de Fermat, , französischer Mathematiker und Jurist xxvi

27 Teil I. Elementare Galoissche Theorie 1

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29 1. Der Fundamentalsatz der Algebra 1.1. Über Polynomgleichungen Wie in der Einleitung beschrieben, ist eines der Ziele dieses Buches, die Lösungstheorie von Polynomgleichungen zu beschreiben, also von Gleichungen der Form a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 = 0, (1.1) wobei die Koeffizienten a 0,..., a n Zahlen sind und wir X die Unbestimmte nennen. Eine Lösung der Gleichung (1.1) ist eine Zahl x, so daß die Setzung X = x in (1.1) die Gleichung erfüllt, das heißt, daß a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0. (1.2) Die erste Frage, die sich stellt, ist die, ob (1.1) überhaupt eine Lösung besitzt. Bevor wir diese Frage beantworten können, sollten wir erst einmal klären, was bei der Definition der Polynomgleichung unter einer Zahl verstehen wollen, in welchem Zahlbereich wir also rechnen wollen. Damit (1.2) Sinn ergibt, müssen wir in diesem Zahlbereich mindestens addieren und multiplizieren können, und es sollten in ihm die einschlägigen Gesetze, nämlich die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze und das Distributivgesetz gelten. Weiter sollte die Null im Zahlbereich enthalten sein schließlich taucht sie auf der rechten Seite der Gleichung auf und ebenso die Eins denn damit können wir auch eine Gleichung wie X 2 1 = 0 in die Form (1.1) bringen, nämlich als 1 X 2 1 = 0 1. (In Zukunft werden wir Vorfaktoren 1 in der Regel nicht mehr mitschreiben, genausowenig wie Terme mit Vorfaktoren 0.) An schon aus der Schule bekannten Zahlbereichen mit diesen Eigenschaften haben wir die natürlichen Zahlen N 0, die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen Q und die reellen Zahlen R zur Verfügung, wobei die Zahlbereiche ineinander liegen, das heißt, wir können jede natürliche Zahl als ganze Zahl auffassen, jede ganze Zahl als rationale Zahl, etc. Damit können wir grundsätzlich die Koeffizienten aus einem anderen dieser Zahlbereiche als die gesuchten Lösungen wählen. Fangen wir mit der Betrachtung des Koeffizientenbereiches an: Eine Gleichung der Form X a = 0 (1.3) können wir in die Form (1.1) bringen, indem wir X + ( a) = 0 schreiben. Offensichtlich muß dazu im Koeffizientenbereich die Negation a von a existieren, also eine Zahl a 1 Wir werden später lernen, daß ein solcher Zahlbereich ein kommutativer Halbring genannt wird. 3

30 1. Der Fundamentalsatz der Algebra mit der Eigenschaft a + ( a) = 0. Da wir auch Gleichungen der Form (1.3) als Polynomgleichungen betrachten möchten, wollen wir als Zahlbereich der Koeffizienten den Bereich der natürlichen Zahlen ausschließen. Die übrigen Zahlbereiche Z, Q, R besitzen Negationen. (Bevor die Mathematiker gelernt haben, mit negativen Zahlen zu rechnen, waren zum Beispiel die quadratischen Gleichungen X 2 +px +q = 0 und X 2 px +q = 0 Gleichungen von einem unterschiedlichen Typ, was zu einer ganzen Reihe von dann notwendigen Fallunterscheidungen geführt hatte.) Aber auch die ganzen Zahlen als Koeffizientenbereich legen uns Einschränkungen auf: Wir wollen eine Polynomgleichung der Form X n + b n 1 X n b 1 X + b 0 = 0 eine normierte Polynomgleichung n-ten Grades nennen, wobei wir für n = 1, 2, 3, 4, 5 auch die Adjektive linear, quadratisch, kubisch, quartisch oder quintisch oder die Substantive lineare Gleichung, Quadrik, Kubik, Quartik oder Quintik verwenden. Ist a n 0 in (1.1), so können wir über den rationalen (oder reellen) Zahlen die Gleichung (1.1) in die äquivalente normierte Gleichung X n + a n 1 a n X n a 1 a 0 X + a 0 a n = 0 (1.4) n-ten Grades überführen. Dabei heißt äquivalent, daß ein x genau dann Lösung von (1.1) ist, wenn es Lösung von (1.4) ist. Über den rationalen Zahlen können wir sogar jede nicht triviale Gleichung der Form (1.1) in eine normierte Polynomgleichung überführen: Sind a n = a n 1 = = a m+1 = 0 und a m 0 in (1.1), so können wir die führenden Terme offensichtlich weglassen, so daß die Gleichung äquivalent zu a m X m + a m 1 X m a 1 X + a 0 = 0 ist, welche wegen a m 0 wiederum äquivalent zu einer normierten Gleichung ist. Von daher vereinbaren wir, daß wir bei der Untersuchung von Polynomgleichungen als Koeffizientenbereich (zunächst) die rationalen Zahlen wählen. Wir können uns damit auf normierte Polynomgleichungen n-ten Grades beschränken. Überlegen wir uns als nächstes einen geeigneten Zahlbereich für die Lösungen. Je größer dieser Zahlbereich, um so eher können wir erwarten, daß sich die Gleichung (1.4) eine Lösung besitzt. Gibt es einen Zahlbereich, in dem die normierte Polynomgleichung (1.4) für n 1 immer eine Lösung besitzt? (Der Fall n = 0 ist die Gleichung 1 = 0, die wir offensichtlich ausschließen müssen.) Damit Lösungen überhaupt existieren können, muß der Zahlbereich für die Lösungen sicherlich mindestens so groß sein, wie der Zahlbereich der Koeffizienten, denn die Gleichung X a = 0 hat in den natürlichen oder ganzen Zahlen keine Lösung, wenn a eine nicht ganze rationale Zahl ist. Doch auch in den rationalen Zahlen besitzen Polynomgleichungen im allgemeinen keine Lösung, was schon von Hippasos von Metapont 2 erkannt worden ist. Eine Polynomgleichung, welche in den rationalen Zahlen keine Lösung besitzt, ist zum Beispiel X 2 2 = 0. (1.5) 2 Hippasos von Metapont, 6./5. Jhd. vor Christus, griechischer Mathematiker, Musiktheoretiker und Philosoph 4

31 1.1. Über Polynomgleichungen Nach dem Satz des Pythagoras 3 ist die Lösung durch die Länge der Diagonalen eines Quadrates mit Seitenlänge 1 gegeben. Wir wollen uns kurz ins Gedächtnis rufen, warum keine rationale Zahl x Lösung von (1.5) sein kann. Angenommen x 2 = 2, wobei x = p q ist und p, q zwei ganze Zahlen mit q 0. Dann würde p 2 = 2q 2 folgen. Da in der Primfaktorzerlegung eines Quadrates einer ganzen Zahl jeder Primfaktor in gerader Anzahl auftaucht, ist der Exponent von 2 auf der linken Seite ein gerader, auf der rechten Seite allerdings ein ungerader. Widerspruch! Da wir ein Quadrat über einer Seite und dessen Diagonale, wie aus der Schule bekannt, nur mit Zirkel und Lineal konstruieren können, haben wir damit insbesondere gezeigt, daß wir aus einer Strecke der Länge 1 eine Strecke mit einer Länge konstruieren können, welche keine rationale Zahl ist. Für die Pythagoreer der Antike war dies eine erstaunliche Entdeckung, nämlich daß sich Strecken aus einer Strecke konstruieren lassen, zu der sie inkommensurabel sind, das heißt, zu der sie in keinem rationalen Verhältnis stehen. Bekanntlich läßt sich aber (1.5) lösen, wenn wir Lösungen aus dem größeren Bereich der reellen Zahlen zulassen: Eine Lösung ist 2 = 1, , die andere 2. Häufig wird in der Schule der Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen dadurch motiviert, daß nach einem Zahlbereich gesucht wird, in dem auch Gleichungen wie (1.5) eine Lösung besitzen. Dies ist jedoch irreführend, denn in Wirklichkeit kommen, wie wir noch sehen werden, neben den Lösungen solcher Polynomgleichungen noch viel mehr Zahlen beim Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen hinzu. Auf der anderen Seite gibt es aber immer noch Polynomgleichungen (wie gehabt mit rationalen Koeffizienten), welche auch in den reellen Zahlen keine Lösung besitzen. Das einfachste Beispiel ist die Gleichung X = 0. (1.6) Eine Lösung wäre eine Zahl, deren Quadrat 1 ist. Doch das Quadrat einer jeden reellen Zahl ist bekanntlich positiv. Doch wir können den Lösungsbereich ein weiteres Mal erweitern, um eine Lösung auch dieser Gleichung zu erhalten, und zwar zu den komplexen Zahlen, wovon im nächsten Abschnitt die Rede sein wird. Aufgaben Aufgabe Zeige, daß 3 keine rationale Zahl ist. Aufgabe Zeige, daß 12 keine rationale Zahl ist. Aufgabe Zeige, daß 3 25 keine rationale Zahl ist. Aufgabe Zeige, daß eine ganze Zahl a genau dann eine n-te Wurzel in den rationalen Zahlen besitzt, wenn a eine n-te Wurzel in den ganzen Zahlen besitzt. Aufgabe Zeige, daß jede rationale Lösung einer normierten Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizenten eine ganze Zahl ist. 3 Pythagoras von Samos, etwa v. Chr., griechischer Philosoph 5

32 1. Der Fundamentalsatz der Algebra Aufgabe Sei X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 = 0 eine normierte Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizenten. Zeige, daß jede ganzzahlige Lösung ein Teiler von a 0 sein muß. Aufgabe Seien rationale Zahlen x 1,..., x n gegeben. Konstruiere eine Polynomgleichung vom Grade n mit rationalen Koeffizienten, welche x 1,..., x n als Nullstellen besitzt. Aufgabe Zeige, daß jede normierte Polynomgleichung ungeraden Grades mit rationalen Koeffizienten in den reellen Zahlen eine Lösung besitzt. Aufgabe Gib eine normierte Polynomgleichung vierten Grades mit rationalen Koeffizienten an, welche in den reellen Zahlen keine Lösung hat. Aufgabe Gib eine normierte Polynomgleichung fünften Grades mit rationalen Koeffizienten an, welche als einzige Nullstelle die Zahl 1 hat. Aufgabe Gib eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten an, welche als Lösung besitzt. Aufgabe Gib eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten an, welche die reelle Zahl cos 15 als Lösung besitzt. 1 1 x Abbildung 1.1.: Das Calabische Dreieck Aufgabe Eugenio Calabi 4 hat ein nicht gleichseitiges, gleichschenkliges Dreieck gefunden, in welchem sich drei gleich große, größte Quadrate gemäß Abbildung 1.1 einschreiben lassen. Zeige, daß das Verhältnis x der längsten zu einer der beiden kürzeren Seiten die Gleichung 2X 3 2X 2 3X + 2 = 0 erfüllt Die komplexen Zahlen Zwar sollten die komplexen Zahlen aus den Anfängervorlesungen schon bekannt sein; wir wollen sie an dieser Stelle aber noch einmal einführen und insbesondere motivieren, weil wir im weiteren Verlaufe dieses Buches noch mehrfach auf ähnliche Konstruktionen 4 Eugenio Calabi, 1923, italienisch-amerikanischer Mathematiker 6

33 1.2. Die komplexen Zahlen stoßen werden: Stellen wir uns zunächst vor, es gibt einen Zahlbereich, in dem (1.6) eine Lösung besitzt, welcher die reellen Zahlen enthält und in welchem Addition und Multiplikation definiert sind, welche Addition und Multiplikation reeller Zahlen fortsetzen und für die ebenfalls die einschlägigen Gesetze der Arithmetik (Assoziativitätsgesetze, Kommutativitätsgesetze, Distributivgesetz und Gesetze über Null und Eins) gelten. Sei C ein solcher minimaler Zahlbereich. Bezeichnen wir die Lösung der Gleichung (1.6) in diesem größeren Zahlbereich mit i, eine Zahl, welche wir imaginäre Einheit nennen. Für diese Zahl gilt offensichtlich i 2 = 1. (1.7) Da auf unserem (noch hypothetischen) Zahlbereich C eine Multiplikation definiert sein soll, müssen neben i auch Zahlen der Form b i enthalten sein, wobei b eine beliebige reelle Zahl ist. Außerdem sollen wir im Zahlbereich auch addieren können. Damit folgt aus der Existenz von Zahlen der Form b i auch die Existenz von Zahlen der Form a + b i, wobei a und b beides reelle Zahlen sind. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst von dieser Form, denn es gilt a = a + 0 i. Wir behaupten, daß aufgrund der angenommenen Minimalität alle Zahlen in C von dieser Form sind. Dazu müssen wir zeigen, daß weder Addition noch Multiplikation aus dem Bereich von Zahlen der Form a + b i hinausführen. Dies ist aber der Fall, denn aus den einschlägigen Rechenregeln und (1.7) folgt, daß und daß (a + b i) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b ) i (a + b i) (a + b i) = aa + (ab + ba )i + bb i 2 = (aa bb ) + (ab + ba ) i für reelle Zahlen a, a, b, b. Diese Gleichungen geben uns auch an, wie wir in C zu rechnen haben. Diese Analyse dieses hypothetischen Zahlbereiches C zeigt uns auch, wie wir einen solchen Zahlbereich zu konstruieren haben: Wir definieren eine komplexe Zahl als einen Ausdruck der Form a + b i, wobei a und b reelle Zahlen sind und für den die einschlägigen Rechenregeln und außerdem (1.7) gelten. Den Zahlbereich der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C. Wann sind zwei komplexe Zahlen gleich? Wann gilt also a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 i? Offensichtlich genau dann, wenn (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 ) i = 0. Damit reicht es zu untersuchen, wann a + b i = 0 für eine komplexe Zahl gilt. Multiplizieren wir diese Gleichung mit a b i, so erhalten wir 0 = (a + b i) (a b i) = a 2 b 2 i 2 = a 2 + b 2, das heißt die Quadratsumme der beiden reellen Zahlen a und b verschwindet. Da Quadrate reeller Zahlen immer nicht negativ sind, müssen damit a 2 und b 2 verschwinden, also auch a und b. Folglich gilt a + b i = 0 (a = 0 b = 0) 7

34 1. Der Fundamentalsatz der Algebra und damit a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 i (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). Es folgt, daß wir eine komplexe Zahl z = a + b i mit dem Paar (a, b) reeller Zahlen identifizieren können. Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z. Zwei komplexe Zahlen stimmen also genau dann überein, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Ist z eine komplexe Zahl mit Realteil a und Imaginärteil b, so nennen wir die komplexe Zahl z = a b i die Konjugierte von z. Es sei beachtet, daß i = i eine (genauer die) andere Lösung von (1.6) ist, die komplexe Konjugation vertauscht also die beiden Lösungen dieser Gleichung. Aus den Rechenregeln für komplexe Zahlen folgt, daß und z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 für komplexe Zahlen z 1 und z 2 gelten und daß z = z genau dann gilt, wenn z eine reelle Zahl ist. Mit z := zz = (a + b i)(a b i) = a 2 + b 2 bezeichnen wir den Betrag von z, dieser ist insbesondere eine reelle Zahl. Der komplexe Betrag verhält sich multiplikativ, das heißt und 1 = 1 z z = z z für zwei komplexe Zahlen z und z, wie sich sofort aus den Definitionen ableiten läßt. Mit unseren obigen Überlegungen über das Verschwinden einer komplexen Zahl ergibt sich außerdem, daß z = 0 z = 0. Seien z 1, z 2 zwei komplexe Zahlen. Wir schreiben z 1 z 2, falls z 1 z 2 > 0. Damit haben wir (z 1 z 2 ) z 1 = z 2. Für zwei reelle Zahlen a und b ist die Wurzel a 2 + b 2 genau dann nahe bei Null, wenn sowohl a als auch b nahe bei Null sind. Auf eine komplexe Zahl z = a+b i mit Realteil a und Imaginärteil b angewandt, heißt dies wegen z = a 2 + b 2 gerade, daß der Abstand von z zu 0 genau dann nahe bei Null ist (wir sagen dann, z ist nahe bei Null), wenn sowohl ihr Realteil a als auch ihr Imaginärteil b nahe bei Null sind. Das nutzen wir für folgende Überlegungen aus: Sei für jede natürliche Zahl n eine Konstruktionsvorschrift 8

35 1.2. Die komplexen Zahlen komplexer Zahlen z n gegeben, und erfülle diese Vorschrift die Eigenschaft, daß z n z n für genügend großes n und n beliebig klein wird. (Hierbei dürfen in die Konstruktion von z n Wahlen eingehen, daß heißt für gegebenes n muß die Konstruktionsvorschrift nicht jedes Mal dasselbe z n liefern. Allerdings muß z n z n unabhängig von den Wahlen beliebig klein werden.) Schreiben wir z n = a n + b n i mit reellen a n und b n, so folgt, daß a n a n und b n b n für genügend großes n und n beliebig klein werden. Aufgrund der Vollständigkeit der reellen Zahlen existieren damit genau zwei reelle Zahlen a und b, so daß a n a und b n b für genügend großes n beliebig klein wird. Setzen wir z = a + b i, so folgt, daß z z n für genügend großes n beliebig klein wird. Umgekehrt folgt für eine komplexe Zahl z mit Realteil a und Imaginärteil b und der Eigenschaft, daß z n z für großes n beliebig klein wird, daß a n a und b n b beliebig klein werden. Damit sind aber a und b eindeutig bestimmt. Also hängt z nur von der Konstruktionsvorschrift für die z n ab. (Ist insbesondere (z n ) eine Cauchysche Folge komplexer Zahlen, so konvergiert (z n ) gegen genau eine komplexe Zahl, das heißt, es existiert genau eine komplexe Zahl z so, daß z z n für genügend großes n beliebig klein wird.) Wie sieht es mit der Invertierbarkeit komplexer Zahlen z aus, das heißt, wann gibt es ein (dann eindeutiges) Inverses z 1 mit zz 1 = 1? Betrachten wir zunächst den Fall, daß es eine Inverse z 1 von z gibt. Dann ist auch z invertierbar, und zwar gilt z 1 = z 1. (Dies können wir durch Multiplizieren der rechten Seite mit z und Ausnutzen der Gleichheiten zz = zz und 1 = 1 nachweisen.) Daraus folgt (z 1 z 1 ) (zz) = (z 1 z) (z 1 z) = 1 (z 1 z) = 1. Ziehen wir die Quadratwurzel, erhalten wir z 1 = z 1. Insbesondere sehen wir, daß der Betrag einer invertierbaren komplexen Zahl selbst invertierbar ist. Sei umgekehrt der Betrag einer komplexen Zahl z invertierbar. Wir machen den Ansatz z 1 = z zz = z z 2. (1.8) Die rechte Seite ist aufgrund der Invertierbarkeit des Betrages wohldefiniert. Und in der Tat gibt die rechte Seite multitpliziert mit z die komplexe Zahl 1, das heißt, die komplexe Zahl z ist invertierbar und ihr Inverses ist durch (1.8) gegeben. Damit haben wir gezeigt, daß eine komplexe Zahl genau dann invertierbar ist, wenn ihr Betrag invertierbar ist. Da wir eine komplexe Zahl z mit Realteil a und Imaginärteil b als ein Paar (a, b) betrachten können, liegt es nahe, wie in Abbildung 1.2 auf der nächsten Seite komplexe Zahlen mit Punkten in einer kartesischen Ebene zu identifizieren, deren eine Achse durch die reellen Zahlen gegeben ist und deren andere Achse durch die imaginären Zahlen, das 9

36 1. Der Fundamentalsatz der Algebra y z + z 1 z b 1 2 z = a 2 +b 2 α 1 2 z = a + b i a 1 x 1 2 z 1 Abbildung 1.2.: Die Gaußsche Zahlenebene. heißt durch die Zahlen der Form (0, b) gegeben ist. Diese Ebene nennen wir die Gaußsche (oder Argandsche 5 ) Zahlenebene. Ihr Ursprung ist die komplexe Zahl 0. In diesem Bild können wir die Operationen auf den komplexen Zahlen geometrisch interpretieren: Die komplexe Konjugation ist die Spiegelung an der reellen Achse, der Betrag (nach dem Satze des Pythagoras ) der Abstand zum Ursprung. Sind z 1 und z 2 zwei komplexe Zahlen aufgefaßt als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene, so ergibt sich ihre komplexe Summe z 1 + z 2 als derjenige Punkt, der auf dem durch z 1, z 2 und 0 aufgespannten Parallelogramm der Ecke 0 gegenüberliegt. Da eine Diagonale eines Parallelogramms höchstens so lang wie die Summe der beiden Seitenlängen ist, folgt die Dreiecksungleichung z 1 + z 2 z 1 + z 2 für den komplexen Betrag. Die Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ) ist etwas komplizierter. Im Falle z 1 = 0 oder z 2 = 0 haben wir z 1 z 2 = 0. Betrachten wir den Fall z 1 0 und z 2 0. Dann schließt die reelle Achse zusammen mit der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung der Gaußschen Zahlenebene und z i einen Winkel α i wie in Abbildung 1.3 auf der nächsten Seite ein. Nach Definition des Kosinus 5 Jean-Robert Argand, , französischer Buchhändler und Mathematiker 10

37 1.2. Die komplexen Zahlen y z 2 z 1 z 2 z1 z 2 1 α 1 +α 2 α z 2 z 1 z 1 α x Abbildung 1.3.: Multiplikation komplexer Zahlen. und Sinus gilt b i cos α i = a i sin α i für i {1, 2}. Wir nennen α 1 ein Argument von z 1 und α 2 ein Argument von z 2. Nach den Additionstheoremen für die Winkelfunkionen folgt, daß (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) cos(α 1 + α 2 ) = (a 1 b 2 + b 1 a 2 )(cos α 1 cos α 2 sin α 1 sin α 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )(cos α 1 sin α 2 + sin α 1 cos α 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) sin(α 1 + α 2 ). Damit liegt die komplexe Zahl z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ) auf der Halbgeraden mit Winkel α 1 + α 2 zur reellen Achse. Um sie vollständig zu konstruieren, bleibt es, ihren Abstand zum Ursprung zu bestimmen. Dieser ist wegen der Multiplikativität des Betrages gerade durch Produkt der der Abstände von z 1 und z 2 zu 0 gegeben. Aufgaben Aufgabe Berechne die Inverse der komplexen Zahl i. Aufgabe Sei z 0 eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteil rationale Zahlen sind. Zeige, daß z 1 ebenfalls rationalen Real- und Imaginärteil hat. Aufgabe Zeige, daß der Realteil einer komplexen Zahl z durch 1 2 (z + z) und daß der Imaginärteil durch 1 2i (z z) gegeben ist. Aufgabe Zeige formal die zuerst von Rafael Bombelli 6 gefundene Gleichheit (2 ± 1) 3 = 2 ± 121 und diskutiere, welche Vorzeichen der Quadratwurzeln jeweils zu wählen sind. 6 Rafael Bombelli, , italienischer Mathematiker 11