HEA kn HEA 140

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1 4,00 4,00 Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau Aufgabe BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Punkte gegeben: System und Bemessungswerte der Belastung: 40 k 180 k HEB 0 15 k 180 k HEA 140 HEA 140 HEA 140 HEA 140 4,00 5,00 [m] Alle Positionen: S 355 gesucht: a) Qualitative Darstellung des verformten Systems in Anlage.1. b) Berechnung der Schnittgrößenverläufe nach Theorie II. Ordnung (Anlage.). c) Querschnittsnachweise für Stab 1 und Stab mit elastischen Widerstandsgrößen (Klasse 3). 7/

2 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Hinweise: Es handelt sich um ein ebenes Problem. Biegung der Profile erfolgt um die starke Achse. Die Effekte von Anfangsimperfektionen sind in den Lastannahmen enthalten. Längsdehnungen der Stäbe und deren Eigengewicht sind zu vernachlässigen. Die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie. Ordnung ist mit dem M-Verfahren durchzuführen (geometrische Reihe). Anlage.1: 8/

3 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage.: Q M 9/

4 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/01 Aachen, Musterlösung Aufgabe Profildaten: HEB 0, S355: Iy = cm 4 ; pl,rd = 3.31 k : Vpl,Rd = 571 k ; Mel,Rd = 61 km HEA 140, S355: Iy = cm 4 ; pl,rd = k : Vpl,Rd = 07 k ; Mel,Rd = 55 km a) Qualitative Darstellung des verformten Systems 1 3 Die Verformungen und 3 sind gleich groß, da die Längenänderung der Stäbe vernachlässigt werden darf. b) Berechnung der Schnittgrößenverläufe nach Theorie II. Ordnung (Anlage.). Für die Berechnung nach Theorie. Ordnung wird zunächst geprüft, wo Abtriebskräfte aus Verformungen auftreten: Im Riegel (Pos 1) durch Verformung 1 zusammen mit angreifenden H-Last. In der rechten Stütze (Pos ) durch Verformung 3 in Zusammenhang mit der ormalkraft in der Stütze. 10/

5 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, In der linken Stütze (Pos 3 und Pos 4) durch Verformung in Zusammenhang mit den jeweiligen ormalkräften in den Pendelstützen. Diese Verformungen, die Momentverläufe und ormalkräfte sind zu berechnen. Dafür kann das System z.b. wie folgt zerlegt werden: 11/

6 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Schnittgrößen nach Theorie 1. Ordnung (Querkräfte sind nicht erforderlich): in k in k M in km M in km Berechnung von 1: (System: Einfeldträger mit Kragarm hier mit Kraftgrößenverfahren berechnet) EI , 113m 3 3, Anmerkung: Häufig erfolgt die Berechnung der Schnittgrößen in k und m. Das Flächenträgheitsmoment wird im Stahlbau aber häufig in cm 4 angegeben. Eine einfache Umrechnung der Einheiten von EI erfolgen, indem für E,1 und I in cm 4 eingesetzt wird. Das entspricht der Angabe von EI mit k und m. Berechnung von : (System: Einfeldträger hier mit Formel aus Tabellenwerken Schneider Bautabellen etc.) 3 3 F L EI , 074m 48 48, /

7 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Ansatz der Abtriebskräfte: Abtriebskräfte werden an den Stäben angesetzt, die durch ormalkraft beansprucht werden und sich gleichzeitig schief stellen. Sie treten immer paarweise auf. H 1 H 1 H 3 H H 3 H 4 H H H 4 H Berechnung der Abtriebskräfte: H L Anordnung der Abtriebskräfte Auf Pos. 1 wirkt nur ΔH1: 0,113 H , 1 k 4,00 Auf Pos. wirken die restlichen Abtriebskräfte und lassen sich zusammenfasen zu: ΔH = ΔH3 + ΔH4 ΔH = 4,81 k mit: H H H 3 4 0, ,59 k 4,00 0, ,33 k 4,00 0, ,66 k 4,00 13/

8 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Berechnung des Zusatzmomentes aus Abtriebskräften: Pos. 1: Pos. : M 45,1 0, 4km 4,818,0 M 9, 6km 4 Verbesserung des Ergebnisses durch Anwendung des Reihenansatzes: M II Pos. 1: Pos. : I M M 1 I M M II 183km 0, , , ,13 II 1 Damit ist 0,130 m 0,130 H , 85 k 4, M II 44, 1km 9, ,3 30 0, ,3 II Damit ist H H H 3 4 0,109 m ,109 4,00 0,109 4,00 0,109 4,00 0,87 k 1,96 k 6,87 k Eine weitere Iteration ist im Rahmen der Klausur im Allgemeinen nicht verlangt. Das hier ermittelte Ergebnis ist also eine erste äherung. (Zur Information hier die genaue Lösung: Pos. 1 M II =183,7 km, Pos. M II = 43,8 km) 14/

9 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Angabe der Schnittgrößenverläufe nach Therorie. Ordnung (unter Berücksichtigung der verbesserten Abtriebskräfte): M in km Q in k in k 15/

10 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/01 Aachen, c) Querschnittsnachweise für Stab 1 und Stab mit elastischen Widerstandsgrößen (Klasse 3). Querschnittsnachweis für Stab 1 (HEB 0, S355) M-V Interaktion: V Ed 46 0,5 V pl, Rd keine M-V Interaktion erforderlich! Ed Rd M M Ed Rd ,06 0,70 0, achweis erbracht! Querschnittsnachweis für Stab (HEA 140, S355) M-V Interaktion: V Ed 11 0,5 V pl, Rd keine M-V Interaktion erforderlich! Ed Rd M M Ed Rd ,03 0,80 0, achweis erbracht! 16/

11 Aufgabe 3 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Punkte gegeben: - Konsole für einen Kranbahnträger Kranbahnträger Stütze (IPE400) Konsole (IPE330) - Seitenansicht: Anschluss: Pi [mm] - Material: S Teilsicherheitsbeiwerte: Ff = 1,0 Mf = 1,15 - Überfahrten: ni = 1.50 pro Jahr - Belastung: Pi = 50 k * Ordinate Einflusslinie 17/

12 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Profilmaße: h [mm] b [mm] tw [mm] tf [mm] r [mm] d [mm] Iy [cm 4 ] IPE ,5 11, IPE ,6 13, Einflusslinie bei einem 5-Feldträger für die Auflagerkraft bei Auflager C: 1,000 0,115-0,05-0,87 A0 10 B 0 C 30 D 40 E 50 F gesucht: Führen Sie den Ermüdungsnachweis für den Anschluss der Konsole an die Stütze für eine geplante Betriebsdauer von 40 Jahren. Hinweise: - Eine Auswahl möglicher Kerbfälle nach DI E ist in Anlage 3.1 und Anlage 3. gegeben. - Der Ermüdungsnachweis ist mit Hilfe der Schadensakkumulationshypothese nach Palmgren-Miner zu führen. - Es gilt die Annahme, dass Biegemomente über die Schweißnähte am Flansch und Querkräfte über die Schweißnähte am Steg abgetragen werden. 18/

13 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.1: Auszug aus DI E , Tabelle 8. 19/

14 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.: Auszug aus DI E , Tabelle 8.5 0/

15 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 Führen Sie den Ermüdungsnachweis für den Anschluss der Konsole an die Stütze für eine geplante Betriebsdauer von 40 Jahren. Kerbfälle und Ermüdungsfestigkeitskurven: Riss am Schweißnahtübergang ( < 50 mm) Kerbfall 80 Kerbfall / 80/1,15 69,6 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf m C D C 69,6 51,3 / mm (bei D = 5 x ) D m D L D 51,3 8, / mm (bei L = 1 x ) L 110 Wurzelriss Kerbfall 36* Kerbfall / 36/1,15 31,3 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf m C D C 31,3 3,1 / mm (bei D = 5 x ) D m D L D 3,1 1,7 / mm (bei L = 1 x ) L 110 Schubspannungen in Schweißnaht Kerbfall 80 Kerbfall / 80/1,15 69,6 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf m C L C 69,6 31,8 / mm (bei L = 1 x ) L 110 Spannungsschwingbreiten und zul. Schwingspiele Schwingbreiten Einflusslinie: EL EL 1,000 0,87 1 0,115 0,05 1,87 0,30 1/

16 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Spannugsschwingbreiten Schweißnahtübergang: Mi ELi 50k0, 17m Spannugsschwingbreiten Wurzelriss: Mi ELi 50k0, 17m mit: I a, F Spannugsschwingbreiten Stegnaht: Pi ELi 50k i I Pi i d a i w, S M i y, Konsole M i Ia, F h h Konsole Lebensdauer als Anzahl der Spannungsschwingspiele: 3 bzw. 5 D i, D und i ΔM bzw. ΔP [km bzw. k] i, Anzahl pro Fahrt [-] L L i Δσ bzw. Δτ [/mm²] 5 Konsole ΔM SÜ,1 54,7 1 76, ΔM SÜ, 13,6 1 19,1 - - ΔM WR,1 54, , ΔM WR, 13,6 1 6, ΔP S,1 31, , ΔP S, 80,0 1 36, Ermüdungsnachweis Schweißnahtübergang: n ! i D d 0,03 1,0 achweis eingehalten! i Ermüdungsnachweis Wurzelriss: n ! i D d 0,98 1,0 achweis eingehalten! i Ermüdungsnachweis Stegnaht: n ! i D d 1,11 1,0 achweis nicht eingehalten! i b I a, F F a w, F h / 4b r t / a h t Konsole mm 4 F w w, F m [-] Konsole F i [-] / /

17 ,0 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau Aufgabe nach BPO 009/01 Aachen, Punkte gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: qed qed PEd Stahlseil (fällt aus) 4,0 1,0 [m] Bemessungswerte der Lasten: PEd = 7,5 k qed = 1,5 k / m Alle Positionen: IPEa 160 S 355 8/6

18 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, gesucht: Bei der angegebenen Tragstruktur eines Pultdaches fällt das Stahlseil aus. Weisen Sie das neue statische System nach Theorie. Ordnung nach. Dokumentieren Sie folgende Schritte: Schnittgrößenverläufe nach Theorie 1. Ordnung. Qualitative Verformungsfigur des Systems (Anlage.1) Systemskizze mit Abtriebskräften Hinweise: Es sind keine Vorimperfektionen anzusetzen. Bei zugbelasteten Stäben sind keine Abtriebskräfte anzusetzen. Infolge von Verkrümmungen sind keine Abtriebslasten (w und Hw) anzusetzen. Längsdehnungen der Profile sind zu vernachlässigen. Die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie. Ordnung ist mit dem M-Verfahren durchzuführen (geometrische Reihe). Bei Querschnittsnachweisen dürfen im Falle einer M--V Interaktion die ormalkraft und Querkraft vereinfacht nach Theorie 1. Ordnung verwendet werden. 9/6

19 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage.1: 10/6

20 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Musterlösung Aufgabe Die Schnittgrößen werden zwecks einfacherer Überlagerung bei der Verformungsberechnung nach Lastfall getrennt ermittelt. Auflagerkräfte inf. qed 4 Bv 1/ 5 qed 1 4,5, 5km Av 1,0 q 4,0 q B, 5km A q Ed h Ed 6 km Ed v Auflagerkräfte inf. PEd Bv 1/ 5 4 PEd 8km Av PEd Bv km A h 0km Geometrie: l l , cm l r , 6 cm 00 arctan 6, /6

21 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Verlauf des Biegemoments nach Theorie 1. Ordnung inf. qed B V q Ed = 600kcm Verlauf der ormalkraft nach Theorie 1. Ordnung inf. qed cos(α) B V =,01k cos(α) A H sin(α) A v = 4,36k 1/6

22 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Verlauf der Querkraft nach Theorie 1. Ordnung inf. qed V l q Ed l l =,01k V l q Ed l r = 4,36k sin(α) B V = 1,01k sin(α) A H + cos(α) A v = 4,7k Verlauf des Biegemoments nach Theorie 1. Ordnung inf. PEd B V 100 = 00kcm 13/6

23 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Verlauf der ormalkraft nach Theorie 1. Ordnung inf. PEd 19,68k (s. o. ),46k (s. o) Verlauf der Querkraft nach Theorie 1. Ordnung inf. PEd 9,84 k (s. o. ) 4,9k (s. o. ) 14/6

24 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Verformungsfigur Die Rahmenecke bewegt sich aufgrund der Projektionskonstanz auf einer Linie entlang des rechten Riegels. gekrümmt gekrümmt δ 1 Systemskizze mit Abtriebskräften 15/6

25 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Bestimmung der horizontalen Verschiebung d1 Verlauf des Biegemoments inf. 1-Last 1 00 = 00kcm 00 1 EI l q 3 Ed l 8 r q 3 Ed r 9,3cm 8 mit EI , kcm Abtriebskräfte H cos6,57 cos 1 (19,68,01) H 9,3 1 1 r 0,81k Ermittlung des zusätzlichen Biegemomentes DM M 00 H1 16 kcm 16/6

26 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Moment nach Th. II. Ordnung für Pos.1: M II I M M 1 I M I kcm Querschnittsnachweis M-V Interaktion: V Ed 14, 0,5 V pl, Rd keine M-V Interaktion erforderlich! -V Interaktion: Ed 0,5 pl, 1,7 0,5 a Rd pl, Rd 130,5k 104,9k keine M- Interaktion erforderlich! achweis nach Theorie zweiter Ordnung: M 3,0 km M pl, Rd Ed 9, 7 achweis erbracht! km 17/6

27 Aufgabe 3 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Punkte gegeben: - Kranbahnträger mit wandernder Einzellast Pi - Material: S Teilsicherheitsbeiwerte: Mf = 1,0 Ff = 1,0 - Querschnitt: - Stützweite: = 5 m - Einzellast: Pi = 500 k (Hinfahrt) = 0 k (Rückfahrt) - Überfahrten: ni = pro Jahr 18/6

28 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/01 Aachen, gesucht: a) Führen Sie den Ermüdungsnachweis des Kranbahnträgers in Feldmitte und im Stützbereich für eine Betriebsdauer von 10 Jahren. b) ach 10 Jahren Betrieb soll die Belastung Pi um 50 % gesteigert werden. Bestimmen Sie hierfür die mögliche Restnutzungsdauer. c) ennen und erläutern Sie Ertüchtigungsmöglichkeiten um die Restnutzungsdauer zu verlängern. Hinweise: - Die Kranbahnschiene ist auf dem Kranbahnträger aufgeklemmt und trägt nicht zum Lastabtrag bei. - Eine Auswahl möglicher Kerbfälle nach DI E ist in Anlage 3.1 und Anlage 3. gegeben. - Für die Bestimmung der Momenten- und Querkraft-Einflusslinien sind Anlage 3.3 (Stützbereich) und Anlage 3.4 (Feldmitte) zu verwenden. - Das Flächenmoment 1. Grades darf in Höhe der Schweißnaht zu Sy = 76,6 cm³ angenommen werden. Die wirksame Schweißnahtdicke beträgt aw = 4 mm. - Der Ermüdungsnachweis ist mit Hilfe der Schadensakkumulationshypothese nach Palmgren-Miner zu führen. 19/6

29 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.1: Auszug aus DI E , Tabelle 8. 0/6

30 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.: Auszug aus DI E , Tabelle 8.5 1/6

31 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.3: Einflusslinie für einen Zweifeldträger mit gleichen Stützweiten /6

32 Tafelwert Tafelwert BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/01 Aachen, Anlage 3.4: Momenten-Einflusslinie in Feldmitte für einen Zweifeldträger mit gleichen Stützweiten,5 1,5,031 M = Tafelwert F l ,5 0-0,5-1 -0, Laststellung Querkraft-Einflusslinie in Feldmitte für einen Zweifeldträger mit gleichen Stützweiten 6 4 4,06 V = Tafelwert F , , Laststellung 3/6

33 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 a) Führen Sie den Ermüdungsnachweis des Kranbahnträgers in Feldmitte und im Stützbereich für eine Betriebsdauer von 10 Jahren. Querschnittswerte Kranbahnträger: I y,ges W y,ges I HEA I Bl 1,5 56, cm Iy,ges cm (auf Höhe der Schweißnaht!) z 56,5/ 4 Kerbfälle und Ermüdungsfestigkeitskurven: ormalspannungen in Schweißnaht Kerbfall 100 Kerbfall / 100/1,0 100,0 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf 6 C 10 3 D m C 100,0 73,7 / mm 6 D 510 (bei D = 5 x 10 6 ) 6 5 m D 510 L D 73,7 40,5 / mm 8 L 110 (bei L = 1 x 10 8 ) Schubspannungen in Schweißnaht Kerbfall 80 Kerbfall / 80/1,0 80,0 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf 6 C 10 5 L m C 80,0 36,6 / mm (bei L = 1 x ) L 110 Spannungsschwingbreiten und zul. Schwingspiele M und Q aus Anlage 3.3 und Anlage 3.4 mit F = 500 k und l = 5m M und W y,ges Q Sy I a y,ges w 3 bzw. 5 D i, D und i i, L L i 5 4/6

34 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, ΔM bzw. ΔQ [km bzw. k] Anzahl pro Fahrt [-] Δσ bzw. Δτ [/mm²] ΔM F,1 67, , ΔQ F,1 500,0 1 48, ΔQ F, 48,0 1 4,7 - - ΔM S,1 40,0 36,4 - - ΔQ S,1 500,0 1 48, ΔQ S, 48,0 1 4,7 - - m [-] i [-] Ermüdungsnachweis Feldmitte: D d n ! i 0,41,0 achweis eingehalten! i Ermüdungsnachweis Stützbereich: D d n ! i 0,01,0 achweis eingehalten! i b) ach 10 Jahren Betrieb soll die Belastung Pi um 50 % gesteigert werden. Bestimmen Sie hierfür die mögliche Restnutzungsdauer. Ermüdungsnachweis in Feldmitte maßgebend (vgl. Aufgabenteil a)! M und Q aus Anlage 3.3 und Anlage 3.4 mit F = 750 k und l = 5m bzw. Werte aus Aufgabenteil a) mit 1,5 multiplizieren! ΔM bzw. ΔQ [km bzw. k] Anzahl pro Fahrt [-] Δσ bzw. Δτ [/mm²] ΔM F,1 941, , ΔQ F,1 750,0 1 73, ΔQ F, 7,0 1 7,0 - - m [-] i [-] 5/6

35 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/01 Aachen, Ermüdungsnachweis Feldmitte: D d ni i x x 1, ! x Die Restlebensdauer beträgt Überfahrten bzw. 8,6 Jahre! c) ennen und erläutern Sie Ertüchtigungsmöglichkeiten um die Restnutzungsdauer zu verlängern. 1.) Flächenträgheitsmoment bzw. Widerstandsmoment durch anschweißen von zusätzlichen Laschen erhöhen. Reduziert die ormalspannungen in den Schweißnähten!.) Schweißnahtmaß aw erhöhen. Reduziert die Schubspannungen in den Schweißnähten! 3.) Zusätzliche Zwischenauflager einfügen. Reduziert die resultierenden Biegemomente. In der Praxis jedoch meistens nur bedingt umsetzbar! 4.) Berücksichtigung der genauen Lastverteilung aus der Kranbahn. Reduziert die Schnittgrößen insgesamt! 5.) Seitliche Bleche durch Laschen ersetzen (Flächenträgheitsmoment bzw. Widerstandsmoment mindestens erhalten). Günstigerer Kerbfall (100 15)! 6/6

36 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 007/009 Aachen, Aufgabe 3 16 Punkte gegeben: - Ringflanschanschluss mit ständiger Last g und veränderlicher Last M q g M q - Experimentell ermittelte Wöhlerlinie: Lastniveau Δσ [/mm²] Spannungsschwingspiele [-] 45, ,3 (Δσ D ) ,5 (Δσ L ) Schrauben: 8 x M Material: S Teilsicherheitsbeiwerte: Mf = 1,0 Ff = 1,0 - Querschnittswerte: Außendurchmesser: D a = mm Blechdicke: t = 40 mm 19/5

37 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 007/009 Aachen, Ständige Belastung: g = k - Lastkollektiv für M q : Moment ΔM q [km] Schwingspiele [-] gesucht: a) Bestimmen Sie den Kerbfall und die charakteristischen Punkte der Wöhlerlinie für die Ringflanschverbindung (vgl. Anlage 3.1). b) Zeichnen Sie sowohl die normative als auch die experimentell ermittelte Wöhlerlinie in Anlage 3. ein. c) Bestimmen Sie abschnittsweise die Steigung m der experimentell ermittelten Ermüdungsfestigkeitskurve. Der Schwellenwert der Ermüdungsfestigkeit darf zu 10 8 Spannungsschwingspielen angenommen werden. d) Führen Sie den Ermüdungsnachweis für die Ringflanschverbindung anhand der experimentell ermittelten Wöhlerlinie. Hinweise: - Die Schweißnaht der Ringflanschverbindung ist als Kehlnaht ausgeführt. - Der Ermüdungsnachweis ist mit Hilfe der Schadensakkumulationshypothese nach - Palmgren-Miner zu führen. a x b x ln b ln a 0/5

38 BACHELORPRÜFUG nach BPO 007/009 Aachen, Anlage 3.1: Auszug aus DI E , Tabelle 8.5 1/5

39 Längsspannungsschwingbreite ΔσR in /mm² Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau BACHELORPRÜFUG nach BPO 007/009 Aachen, Anlage 3.: ,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 Anzahl der Spannungsschwingspiele /5

40 Längsspannungsschwingbreite ΔσR in /mm² Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau BACHELORPRÜFUG nach BPO 007/009 Aachen, MUSTERLÖSUG Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie den Kerbfall und die charakteristischen Punkte der Wöhlerlinie für die Ringflanschverbindung (vgl. Anlage 3.1). Ringflanschverbindung Kerbfall 40 Kerbfall / 40/1,0 40,0 / mm (bei C = x 10 6 ) C Mf 6 C 10 3 D m C 40,0 9,5 / mm (bei 6 D = 5 x 10 6 ) D D L m D 9,5 16, / mm (bei 8 L = 1 x 10 8 ) L 110 b) Zeichnen Sie sowohl die normative als auch die experimentell ermittelte Wöhlerlinie in Anlage 3. ein EC3-1-9 Versuche E E E E E E E+10 Anzahl der Spannungsschwingspiele 3/5

41 BACHELORPRÜFUG nach BPO 007/009 Aachen, c) Bestimmen Sie abschnittsweise die Steigung m der experimentell ermittelten Ermüdungsfestigkeitskurve. Der Schwellenwert der Ermüdungsfestigkeit darf zu 10 8 Spannungsschwingspielen angenommen werden. HIWEIS: Die Beziehung zwischen Punkten einer Ermüdungsfestigkeitskurve auf einem Abschnitt mit einheitlicher Steigung m lautet: m A A m B woraus folgende Gleichung folgt: B A A B B 1/ m Sind Punkte einer Ermüdungsfestigkeitskurve bekannt kann die Ausgangsgleichung zur Bestimmung der Steigung m verwendet werden: m A m B B A L m L B A A B m L L ,6 m 6, 4 45,0 50,3 L L 50,3 4,5 1 d) Führen Sie den Ermüdungsnachweis für die Ringflanschverbindung anhand der experimentell ermittelten Wöhlerlinie. Spannungsschwingbreiten und zul. Schwingspiele: I y W D 4 y I A 4 DI 4 D / 1500/ A M W y y 4, , mm 3 4 4, mm 4 4/5

42 BACHELORPRÜFUG nach BPO 007/009 Aachen, i D D i m ,3 i m ΔM q [km] Schwingspiele [-] Δσ [/mm²] ,0 3, ,0 3, ,9 6, ,0 6, ,1 6, , , , ,0 - - m [-] i [-] Ermüdungsnachweis nach Palmgren-Miner: n! i Dd 0,9041,0 achweis eingehalten! i 5/5

43 4,0 3,0 Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau Aufgabe BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Punkte gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: P Ed,1 P Ed,1 P Ed,1 q Ed, q Ed,1 Pos. 1 Pos. Pos. 3 3,0 3,0 [m] Bemessungswerte der Lasten: q Ed,1 = 3,0 k/m q Ed, = 5,0 k/m P Ed,1 = 50 k Pos. 1: IPE 160 S 35 Pos. : IPE 0 S 35 Pos. 3: IPE 00 S 35 7/7

44 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, gesucht: a) Bemessen Sie Pos. 1 nach Theorie. Ordnung unter Berücksichtigung der dafür notwendigen Imperfektionen. b) Bemessen Sie Pos. nach Theorie. Ordnung unter Berücksichtigung der dafür notwendigen Imperfektionen. Dokumentieren Sie folgende Schritte: - Schnittgrößenverläufe nach Theorie 1. Ordnung. - Qualitative Verformungsfigur des Systems (Anlage.1) - Systemskizzen mit Abtriebskräften - Angabe der nach DI E anzusetzenden Imperfektionen (Anlage.) Hinweise: Längsdehnungen der Pfosten und des Riegels sind zu vernachlässigen. Die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie. Ordnung ist mit dem M-Verfahren durchzuführen (geometrische Reihe). Bei Querschnittsnachweisen darf im Falle einer M- Interaktion die ormalkraft vereinfacht nach Theorie 1. Ordnung verwendet werden. 8/7

45 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Anlage.1: 9/7

46 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Anlage.: 10/7

47 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, /7

48 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/010 Aachen, Musterlösung Aufgabe : Verlauf des Biegemoments nach Theorie 1. Ordnung q Ed, 3 = 5,65 8 q Ed,1 3 = 3,38 8 q Ed,1 3 4 = 18 [km] Verlauf der ormalkraft nach Theorie 1. Ordnung 3 3 = 4, = 57, = 57,5 [k] = 65 1/7

49 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Verlauf der Querkraft nach Theorie 1. Ordnung q Ed, 3 = 7,5 q Ed,1 3 = 4,5 q Ed,1 3 = 4,5 [k] Verformungsfigur δ 1 δ 1 δ 1 δ linear 13/7

50 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, a) Bemessen Sie Pos. 1 nach Theorie. Ordnung unter Berücksichtigung der dafür notwendigen Imperfektionen. Bestimmung der Vorkrümmung Plastische Bemessung: e 1 M / l 550 M pl 0, d el 1 48 e d 0, 6cm 0, Systemskizze mit Abtriebskräften Bestimmung der horizontalen Verschiebung d 1 EI mit EI Pos.1 Pos.1 5 q Ed, Abtriebskraft 8 q 1 3 0,17 cm 4 184,9km eo, d 857,5 0,006 0,0017 l 3 0,4 k / m 14/7

51 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Ermittlung des zusätzlichen Biegemomentes DM q l M 0, 45km 8 Moment nach Th. II. Ordnung für Pos.1: M II I M M 1 I M I 3,38 0,45 1 3,38 3,89km Querkraft im Punkt des Momentenmaximums = 0 keine M-V Interaktion! Querschnittsnachweis Ed 0,5 57,5 0,5 a pl,rd pl,rd 118,0k 93,5k -> keine M- Interaktion erforderlich achweis nach Theorie zweiter Ordnung: M pl,rd 9,1km M Ed 3,89km -> achweis erbracht. b) Bemessen Sie Pos. nach Theorie. Ordnung unter Berücksichtigung der dafür notwendigen Imperfektionen. Hinweis: Die Stützenkopferverschiebungen infolge Imperfektionen müssen identisch sein, es werden daher Fälle untersucht. Bestimmung der Schiefstellung 0 h m mit: h 1,15 1 und h 1, 0 3,0 4,0 15/7

52 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Da beide Abminderungsfaktoren 1 sind, erzeugt Pos. eine größere Stützenkopfverschiebung. m 1 0,5 1 0,816 3 Stützenkopfverschiebung: 0 h 0,004 m i 400 1, 6cm Systemskizze mit Abtriebskräften Bestimmung der horizontalen Verschiebung d 1 1 mit EI Pos. 1 EI Pos. 4, Abtriebskräfte ,65cm km H 1 H 1 i 3,5 1 57,5 0,6 k H i 3,5 65 0,46 k H /7

53 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Ermittlung des zusätzlichen Biegemomentes DM M,0(H H ) 6, 8km 4 1 Moment nach Th. II. Ordnung für Pos.1: M II I M M 1 I M I 18 6, ,93km V Ed 4,5 0,5 V z, pl, Rd M-V Interaktion muss nicht nachgewiesen zu werden. Querschnittsnachweis Ed 0,5 65 0,5 a pl,rd pl,rd 196,1k 154,3k -> keine M- Interaktion erforderlich achweis nach Theorie zweiter Ordnung: M pl,rd 67,1km M Ed 9km -> achweis erbracht. 17/7

54 Aufgabe 3 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Punkte gegeben: - Statisches System eines Rahmentragwerks mit veränderlicher Einzellast P i - Biegesteife Rahmenecke (Detail A): - Schrauben: 8 x M /7

55 Kraft Pi [k] Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Material: S Teilsicherheitsbeiwerte: Ff = 1,0 Mf = 1,35 - Querschnittswerte: o Riegel (IPE 400): I y = cm 4 W y,el = cm³ A = 84,5 cm² o Stütze (HEB 60): I y = cm 4 W y,el = cm³ A = 118,0 cm² o Schweißnaht: I y = cm 4 W y,el = 910 cm³ A = 63, cm² o Schrauben (M0): A = 3,14 cm² A S =,45 cm² - 1 Belastungsverlauf: Zeit [s] 19/7

56 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/010 Aachen, gesucht: a) Bestimmen Sie für das dargestellte Rahmentragwerk die Schnittgrößenverläufe infolge einer 1 -Last im Lastangriffspunkt von P i. b) Ermitteln Sie die maximal zulässige Anzahl an Belastungsverläufen für die Schweißnaht und den Schweißnahtübergang des Kopfplattenanschlusses. c) Ermitteln Sie die maximal zulässige Anzahl an Belastungsverläufen für die Schraubverbindung. Hinweise: - Der Einfluss aus Schubbeanspruchung darf für den achweis der Schweißnaht (Aufgabenteil b) vernachlässigt werden. - Für die Ermittlung der Schraubenkräfte (Aufgabenteil c) darf die ormalkraft in der Rahmenecke vernachlässigt werden. Des Weiteren darf angenommen werden, dass die resultierende Druckkraft infolge Momentenbelastung im Schwerpunkt des Flansches angreift. - Die Ermittlung der Spannungskollektive soll nach der Reservoir-Methode erfolgen. - Der Ermüdungsnachweis ist mit Hilfe der Schadensakkumulationshypothese nach Palmgren-Miner zu führen. 0/7

57 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Anlage 3.1: 1/7

58 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Anlage 3.: Auszug aus DI E , Tabelle 8.1 Anlage 3.3: Auszug aus DI E , Tabelle 8.5 /7

59 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3: a) Bestimmen Sie für das dargestellte Rahmentragwerk die Schnittgrößenverläufe infolge einer 1 -Last im Lastangriffspunkt von P i. Die Schnittgrößenverläufe können mit Hilfe von Rahmenformeln für Zweigelenkrahmen (Schneider Bautabellen o. ä.) ermittelt werden. I k I R S A F B F h l b l a l H1 H 3 F a b h l k 3 M H1 3 M H 4 h h M M4 3 M " 1" 1,173 km 0,577 km Q 3, St Q 3, Ri Q 4, Ri Q 4, St 0,165 k 0,5 k 0,5 k 0,165 k 3/7

60 BACHELORPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach BPO 009/010 Aachen, St 0,5 k Ri 0,165 k b) Ermitteln Sie die maximal zulässige Anzahl an Belastungsverläufen für die Schweißnaht und den Schweißnahtübergang des Kopfplattenanschlusses. Ermüdungsnachweis Schweißnaht Kerbfall: Kerbdetail 3 Tabelle 8.5 Kerbfall 36 C Kerbfall / Mf 36/1,35 6,7 / mm D m C D C ,7 19,7 / mm L m D L D ,7 10,8 / mm Spannungsschwingbreiten: P Steigung m Anzahl [k] [/mm ] [-] [-] , , mit: P A aht Ri P M W 3 y,el,aht 4/7

61 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Ermüdungsnachweis nach Palmgren-Miner: 3 3 D 6 19,7, 1 D 510 i 79, 5 5 D 6 19,7, D 510 i 13, D d n i i 1 x 100 x! 1, x Hinweis: Der Einfluss aus Schubbeanspruchung darf laut Aufgabenstellung für den achweis der Schweißnaht vernachlässigt werden! Ermüdungsnachweis Schweißnahtübergang Kerbfall: Kerbdetail 1 Tabelle 8.5 Kerbfall 80 (l 45mm) C Kerbfall / Mf 80/1,35 59,3 / mm D m C D C ,3 43,7 / mm L m D L D ,7 4,0 / mm Spannungsschwingbreiten: P Steigung m Anzahl [k] [/mm ] [-] [-] , ,3-100 mit: P A Riegel Ri P M W 3 y,el,riegel 5/7

62 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Ermüdungsnachweis nach Palmgren-Miner: 3 3 D 6 43,7, 1 D 510 i 6, D d n i i 1 x! 1, x c) Ermitteln Sie die maximal zulässige Anzahl an Belastungsverläufen für die Schraubverbindung. Kerbfälle: Kerbdetail 14 Tabelle 8.1 Kerbfall 50 C Kerbfall / Mf 50/1,35 37,0 / mm D m C D C ,0 7,3 / mm L m D L D ,3 15,0 / mm Kerbdetail 15 Tabelle 8.1 Kerbfall 100 C Kerbfall / Mf 100/1,35 74,1 / mm L m C L C ,1 33,9 / mm Spannungsschwingbreiten: Hinweis: Im Schraubenanschluss werden die Druckkräfte direkt über die Kopfplatten ins angrenzende Profil übertragen. Lediglich Zugkräfte müssen über die Schrauben übertragen werden. Für die Momentenbelastung muss daher eine Fallunterscheidung in obere und untere Schraubenreihe vorgenommen werden. Bei dem gegebenen Belastungsverlauf entstehen die größeren 6/7

63 BACHELORPRÜFUG nach BPO 009/010 Aachen, Kraftamplituden DF im positiven Bereich von P i wobei Zugkräfte in der oberen Schraubenreihe auftreten. Aus diesem Grund werden für den Ermüdungsnachweis die oberen Schrauben maßgebend. P Steigung m Anzahl [k] [/mm ] [-] [-] , , mit: h SD P M 4 A 3 S,Schrauben h SD ,5/ 338,5 mm P Steigung m Anzahl [k] [/mm ] [-] [-] , ,0-100 mit: P Q 8 A 3,Ri Schrauben Ermüdungsnachweis nach Palmgren-Miner: 3 D 6 7,3, 1 D i 139, 3 D 6 7,3, D i 34,8 3 3 D d n i i 1 x 100 x! 1, x /7

64 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Aufgabe 3 18 Punkte Eine gleichmäßige Linienlast q d soll über zwei 6,0 m lange Pfetten auf Stahlträgern mit jeweils 8,0 m Spannweite gelenkig auf dem Obergurt aufgebracht werden, welche an ihren Enden durch Gabellager gestützt werden. gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: Seitenansicht: Pfetten q d = 6,0 [k/m] 6,00 Träger,00 Pfetten,00,00,00 Träger [m] Verfügbare Profile: IPE 00, IPE 40, IPE 70, IPE 300 IPE 00 IPE 40 IPE 70 IPE 300 Einheit h mm b mm A 8,58 39,10 45,90 53,80 cm² I y cm 4 W pl,y 0,60 366,60 484,00 68,40 cm 6 KSL y a a a a - I z cm 4 W pl,z 44,61 73,9 96,95 15,0 cm 6 KSL z B b b b - I t 6,98 1,90 15,90 0,10 cm 4 I w cm 6 pl,rd 669,35 919,7 1079,76 165,00 k M pl,y,rd 51,85 86,16 113,74 147,6 km M pl,z,rd 10,48 17,37,78 9,43 km QKL /3

65 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Material: S 35 E = /mm²; G = /mm², ρ = 7850 kg/m³ Hinweise: - Gelenkige Gabellagerung an allen Auflagern ohne Wölbbehinderung. - Keine seitliche Stabilisierung der Träger oder der Pfetten vorhanden. - Die Anlage 3. beinhaltet eine Tabelle mit der Beziehung zwischen der Schlankheit gegen BDK (λ LT ) und dem entsprechenden Abminderungsfaktor gegen BDK (χ LT ). - Die Linienlast wirkt nur auf die Pfetten. Gesucht: a) Optimieren Sie die Pfetten und Träger im Hinblick auf das Gewicht. Sie dürfen nur die angegebenen Profile der IPE Reihe verwenden. Ein Versagen auf Biegedrillknicken ist für diese Konstruktion maßgebend. Verwenden Sie für die Ermittlung von M cr die Anlage 3.1. b) Zeichnen Sie die Knickfigur des in Aufgabenteil a) gewählten Systems. Ab welcher Linienlast q d ist dieses Versagen zu erwarten? c) Wie viel Gewicht könnte man sparen, wenn man den Obergurt der Träger seitlich hält? 18/3

66 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.1: Berechnung von M cr,y Mit der folgenden Formel kann M cr,y für alle Systeme berechnet werden: mit z p Lastangriffspunkt (sofern die Lasten nach unten wirken und am Obergurt der Träger angreifen, ist z p negativ) 19/3

67 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.: Abminderungsfaktoren χ LT, in Abhängigkeit von λ LT und k c 0/3

68 MASTERPRÜFUG Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau nach MPO 010 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 a) Optimieren Sie die Pfetten und Träger im Hinblick auf das Gewicht. Sie dürfen nur die angegebenen Profile der IPE Reihe verwenden. Ein Versagen auf Biegedrillknicken ist für diese Konstruktion maßgebend. Verwenden Sie für die Ermittlung von M cr die Anlage Ermittlung der kritischen Biegedrillknickmomenten: Für die Pfetten: h b I y I z I t I w C 1 C k c M cr 00IPE , ,1 0,45 0,94 183, IPE , ,1 0,45 0, , IPE , ,1 0,45 0, , IPE , ,1 0,45 0, ,5781 Einheit mm mm cm4 cm4 cm4 cm6 kcm Für die Träger H b I y I z I t I w C 1 C k c M cr 70IPE , ,04 0,47 0, , IPE , ,04 0,47 0,98 583,5445 Einheit mm mm cm4 cm4 cm4 cm6 kcm 1/3

69 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Ermittlung der Einwirkung: Für die Pfetten: M y,ed = q L p ²/8 = 6 6²/8 = 7,0 km = 700 kcm Für die Träger: M y,ed = q L p / L T /4 = 6 6/ 8/4 = 36,0 km = 3600 kcm 3. Ermittlung des Widerstandes gegen BDK: Für die Pfetten: M pl,rd λ = χ (aus Anlage 3.) M b,rd 00IPE 51,85 1, ,48, IPE 86,16 1, ,477 41, IPE 113,74 1, ,477 54, IPE 147,6 1, ,504 74,40048 Einheit km - - km Für die Träger: M pl,rd λ = χ (aus Anlage 3.) M b,rd 70IPE 113,74 1, ,346 39, IPE 147,6 1, ,367 54,17654 Einheit km - - km Die Optimale Auslegung ist mit Pfetten IPE-40 und Trägern IPE Gewicht: Gewicht Pfetten = 6[m] A IPE-40 [m²] 7850[kg/m³] = 368,3 kg Gewicht Träger = 8[m] A IPE-70 [m²] 7850[kg/m³] = 576,50 kg Gewicht Insgesamt = 944,8 kg /3

70 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, b) Zeichnen Sie die Knickfigur des in Aufgabenteil a) gewählten Systems. Ab welcher Linienlast q d ist dieses Versagen zu erwarten? Mit der gewählten Auslegung werden die Träger früher als die Pfetten auf BDK versagen. Die resultierende Knickfigur ist: Dies geschieht ab einer Last von q d = 6,56 k/m c) Wie viel Gewicht könnte man sparen, wenn man den Obergurt der Träger seitlich hält? Wenn eine seitliche Halterung der Träger vorliegt, dann sind diese nicht mehr BDK gefährdet, somit muss man nur den Querschnittsnachweis erfüllen: M Ed / M Rd,pl < 1 M pl,rd,ipe-00 = 51,85 > 36,0 km Es reicht mit einem IPE-00 als Träger. Dies spart: Δ Gewicht Träger = 8[m] (A IPE-70 [m²]- A IPE-00 [m²]) 7850[kg/m³] = 17,54 kg 3/3

71 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Aufgabe 3 0 Punkte Eine gleichmäßige Flächenlast q d soll über Pfetten auf Stahlträgern mit jeweils 8 m Spannweite aufgebracht werden, welche an ihren Enden durch Gabellager gestützt werden. gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: q d [k/m²] s s s s Pfetten 50 s Regelträger [m] Grundriss (Prinzipskizze): Pfetten 8,0 [m] Träger: IPE 40 Profilmaße Statische Werte h 40 mm I y 3890 cm 4 A 39,1 cm² b 10 mm W el,y 34 cm 3 I t 1,9 cm 4 t w 6, mm W pl,y 366,6 cm 3 I w cm 6 t f 9,8 mm I z 84 cm 4 d / t w 30,71 QKL 1 W el,z 47,3 cm 3 c / t f 4,8 QKL 1 W pl,z 73,9 cm 3 1/0

72 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Pfetten: Durchgehend ausgeführt als Durchlaufträger Material: S 35 E = /mm²; G = /mm² Hinweise: - Gelenkige Gabellagerung an allen Auflagern ohne Wölbbehinderung. - Die Pfetten sind nicht nachzuweisen. - Anschlüsse zwischen Pfetten und Träger können als starr angenommen werden. - Die Profilverformungen der Stahlträger sind vernachlässigbar klein. - Steifigkeit der Pfetten I y = 106,6 cm 4 - Keine seitliche Stabilisierung der Träger durch die Pfetten. Gesucht für den Regelträger: a) Ermitteln Sie die maximal zulässige Belastung q d in Abhängigkeit vom Trägerabstand s unter der Annahme, dass ein Versagen auf Biegedrillknicken maßgebend wird. Vernachlässigen Sie hierbei die Wirkung der Pfetten. Verwenden Sie für die Ermittlung von M cr die Anlage 3.1. b) Berücksichtigen Sie nun die stabilisierende Wirkung der Pfetten. Ab welchem Trägerabstand s min kann man auf den achweis gegen Biegedrillknicken verzichten (sowohl für elastische Bemessung als auch für plastische Bemessung). Schraffieren Sie im Diagramm auf Anlage 3. den zulässigen Bereich des Wertepaars (q d, s) im Hinblick auf die Stabilität gegen Biegedrillknicken. c) Schraffieren Sie im Diagramm auf Anlage 3. den zulässigen Bereich des Wertepaars (q d, s) auch unter Berücksichtigung des Querschnittnachweises. 13/0

73 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.1: Berechnung von M cr,y Mit der folgenden Formel kann M cr,y für alle Systeme berechnet werden: mit ki,z = ² EI z / L² c² = (I w + 0,039 L² I T )/I z z p Lastangriffspunkt (sofern die Lasten nach unten wirken und am Obergurt der Träger angreifen, ist z p negativ) 14/0

74 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.: s-q d Diagramm 15/0

75 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 a) Ermittlung des idealen Biegedrillknickmomentes nach Anlage 3.1: ζ = 1,1 Lasteinleitung am Obergurt: z g = -1,0 cm (negativ!!) M cr,y = 3098 k cm Bezogener Schlankheitsgrad λ LT LT f Wy M y cr Mit W y = W pl = 366,6 cm³ λ LT = 1,668 Knicklinie für IPE 40 16/0

76 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Imperfektionsbeiwert α LT Abminderungsfaktor χ LT Φ LT = 0,5 (1+α LT (λ LT 0.)+ λ LT ²) =,045 χ LT = 0,31 Beanspruchbarkeit M b,rd = χ LT W y f y / γ M1 = 46,67 k cm Beanspruchung M Ed = q d [k/m]² s [m] 8[m]² / 8 = 8 s q d [km] Lösung q d,max = 4,7 / (8 s) k/m² b) Erforderliche Drehsteifigkeit 17/0

77 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, M pl = W pl f y = 8615 k cm K ν = 0,35 K ν = 1,0 wenn elastische Berechnung wenn plastische Berechnung K θ = 6,8 aus Tabelle BB.1 im A, KL b nach Tabelle 6.5 C θ,erf,el > 9,6 km/m C θ,erf,pl > 84,6 km/m Die vorhandene Steifigkeit kommt nur aus der Biegesteifigkeit des abstützenden Bauteils: Pfetten mit Biegesteifigkeit I y I eff = 106,6 [cm 4 ] 3 / 8 [m] = 40 cm 4 /m C D,C = I eff / s = [k/cm²] 40 [cm 4 /m] / s [m] = = /s [kcm²/m²] = 336/s [km/m] 18/0

78 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Lösung C θ,erf < C θ,vorhanden (C θ,erf ) -1 > (C θ,vorhanden) -1 (C θ,erf ) -1 > (C D,C ) -1 Ausreichende Drehbehinderung bei elastischer Bemessung wenn (1/9,6) > 1/(336/s) s <= 11,34 m Ausreichende Drehbehinderung bei plastischer Bemessung wenn (1/84,6-1/100) > 1/(336/s) s <= 3,97 m Berücksichtigung des elastischen bzw. plastischen Widerstands Beanspruchbarkeit elastisch M b,rd = W y,el f y / γ M0 = 7614 k cm q d,max = 76,14 / (8 s) k/m² Beanspruchbarkeit plastisch M b,rd = W y,pl f y / γ M0 = 8615 k cm q d,max = 86,15 / (8 s) k/m² 19/0

79 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Plastisches Versagen Elastisches Versagen sicher BDK 0/0

80 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Aufgabe 3 0 Punkte Ein Trapezblech soll über eine Länge von 100 m auf Stahlträgern mit 8 m Spannweite angebracht werden, welche an ihren Enden durch Gabellager gestützt werden. gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: q d = 1 k/m² L L L L 100,0 m Trapezblech [m] Grundriss (Prinzipskizze): 8,0 [m] Träger: IPE 00 Profilmaße Statische Werte h 00 mm I y 1940 cm 4 A 8,6 cm² b 100 mm W el,y 194 cm 3 I t 6,98 cm 4 t w 5,6 mm W pl,y 0,6 cm 3 I w 1990 cm 6 t f 8,5 mm I z 14 cm 4 d / t w 8,39 QKL 1 W el,z 8,5 cm 3 c / t f 4,14 QKL 1 W pl,z 44,61 cm 3 13/0

81 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Trapezblech: Durchgehend ausgeführt mit Überlappungsstöße, Material: S 35 E = /mm²; G = /mm² Hinweise: - Gelenkige Gabellagerung an allen Auflagern und keine Wölbbehinderung. - Es ist keine seitliche Halterung des oberen Trapezbleches vorhanden. - Steifigkeit des Anschlusses zwischen Trapezblech und Träger: C θ,k = 100 k m/m - Die Biegeverformungen des Steges sind vernachlässigbar klein. - Beide Randträger sind kontinuierlich drehbehindert. - Im Aufgabenteil b) ist der achweis elastisch zu führen. gesucht: a) Ermitteln Sie den maximal zulässigen Trägerabstand L unter der Annahme, dass ein Versagen auf Biegedrillknicken maßgebend wird. Vernachlässigen Sie hierbei die Wirkung des Trapezbleches. Verwenden Sie für die Ermittlung von M cr die Anlage 3.1. b) Ermitteln Sie die Mindeststeifigkeit I eff des Trapezbleches in Abhängigkeit des Trägerabstands L, um ein Versagen auf Biegedrillknicken zu verhindern. Berücksichtigen Sie nun die stabilisierende Wirkung des Trapezbleches. Definieren Sie im Diagramm auf Anlage 3. den zulässigen Bereich des Wertepaars (I eff, L) im Hinblick auf die Stabilität gegen Biegedrillknicken. 14/0

82 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.1: Berechnung von M cr,y Mit der folgenden Formel kann M cr,y für alle Systeme berechnet werden, die in Bild 1 dargestellt sind: mit ki,z = π²ei z / L² c² = (I w + 0,039L²I T )/I z z p Lastangriffspunkt (sofern die Lasten nach unten wirken und am Obergurt der Träger angreifen, ist z p negativ) 15/0

83 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.: L-I eff Diagramm 16/0

84 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 a) Ermittlung des idealen Biegedrillknickmomentes nach Anlage 3.1: ζ = 1,1 Lasteinleitung am Obergurt: z g = -10,0 cm (negativ!!) M cr,y = 1630,3 kcm Bezogener Schlankheitsgrad λ LT λ LT = f Wy M y cr Mit W y = W pl = 0,6 cm³ λ LT = 1,783 Knicklinie für IPE 00 17/0

85 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Imperfektionsbeiwert α LT Abminderungsfaktor χ LT Φ LT = 0,5(1+α LT (λ LT 0.) )+ λ LT ²) =,56 χ LT = 0,75 Beanspruchbarkeit M b,rd = χ LT W y f y / γ M1 = 195,7 kcm Beanspruchung M Ed = 1[k/m]² L [m] 8[m] ]² / 8 = 8L [km] Lösung L max = 1,957 / 8 = 1,6 m b) Erforderliche Drehsteifigkeit 18/0

86 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, M pl = W pl f y = 5184 kcm K ν = 0,35 weil elastische Berechnung K θ = 6,8 aus Tabelle BB.1 im A, KL b nach Tabelle 6.5 C θ,erf > 1,45 km/m Die vorhandene Steifigkeit kommt aus der Biegesteifigkeit des abstützenden Bauteils: Trapezblech mit Biegesteifigkeit I eff C D,C = 41000I eff / L = 84000I eff / L Und aus dem Anschluss Trapezblech zum Träger: C θ,k = 100 km/m 19/0

87 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Lösung (C θ,erf ) -1 = (C D,C ) -1 + (C θ,k ) -1 Ausreichende Drehbehinderung wenn (1/1,45-1/100)*84000*I eff [cm^3] = L[cm] I eff [cm^3] = 3,510-4 L[cm]; I eff [cm^4/m] = 0,035 L[cm]; Kein BDK BDK 0/0

88 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Aufgabe 3 0 Punkte Die Trägerkonstruktion einer Produktionsanlage soll untersucht werden. gegeben: Statisches System unter Last gemäß Skizze: F d,5,5 5,0 5,0 [m] Träger: IPE 160 Profilmaße Statische Werte h 160 mm I y 869 cm 4 A 0,1 cm² b 8 mm W el,y 109 cm 3 I t 3,6 cm 4 t w 5 mm W pl,y 13,9 cm 3 I w 3959 cm 6 t f 7,4 mm I z 68,3 cm 4 d / t w 5,4 QKL 1 W el,z 16,7 cm 3 c / t f 4,0 QKL 1 W pl,z 6,1 cm 3 Material: S 35 E = /mm²; G = /mm² Hinweise: - Gabellagerung an allen Auflagern und keine Wölbbehinderung. - Die Einleitung der Einzellast F d erfolgt mittig auf den Oberflansch. - Es sind keine Trapezbleche oder seitliche Halterung vorhanden. 11/17

89 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, gesucht: a) Ermitteln Sie die maximal zulässige Belastung F d unter der Annahme, dass ein Versagen infolge Biegedrillknicken maßgebend wird. Verwenden Sie für die Ermittlung von M cr die Anlage 3.1. b) Die Tragfähigkeit der Trägerkonstruktion soll konstruktiv erhöht werden, so dass eine Belastung von 1,35 F d ertragen werden kann. Ist eine derartige Laststeigerung durch eine Modifikation der Auflagerkonstruktion möglich, wenn hierdurch eine geänderte Lasteinleitung (zu 70% in den Untergurt und zu 30% in den Obergurt) erreicht wird? Bewerten Sie die beschriebene konstruktive Änderung im Hinblick auf die Standsicherheit (Stabilität auf Biegedrillknicken) der Trägerkonstruktion. 1/17

90 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Anlage 3.1: Berechnung von M cr,y Mit der folgenden Formel kann M cr,y für alle Systeme berechnet werden, die in Bild 1 dargestellt sind: mit L Feldlänge z p Lastangriffspunkt (sofern die Lasten nach unten wirken und am Obergurt der Träger angreifen, ist z p negativ) 13/17

91 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Musterlösung Aufgabe 3 a) Ermittlung des idealen Biegedrillknickmomentes nach Anlage 3.1: Für den linken Träger: C 1 = 1,79 C = 1,08 Lasteinleitung am Obergurt: z g = -8,0 (negativ!!) M cr,y = 1703,6 kcm Alternativ: (auf der sicheren Seite) C 1 = 1,35 C = 0,65 Lasteinleitung am Obergurt: z g = -8,0 (negativ!!) M cr,y = 1474,9 kcm Für den rechten Träger: C 1 = 1,77 C = 0 Keine Lasteinleitung im Träger M cr,y = 399,0 kcm Bezogener Schlankheitsgrad λ LT LT f Wy M y cr Mit W y = W pl = 13,9 cm³ 14/17

92 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, Für den linken Träger: λ LT = 1,3073 Für den rechten Träger: λ LT = 1,1017 Maßgebend ist der linke Träger! (Höhere Belastung, kleinere Schlankheit) Knicklinie für IPE 160 Imperfektionsbeiwert α LT Abminderungsfaktor χ LT Φ LT = 0,5 (1+α LT (λ LT 0.)+ λ LT ²) = 1,471 χ LT = 0,466 Beanspruchbarkeit M b,rd = χ LT W y f y / γ M1 = 134,13 kcm Maximal Last F d F d = M b,rd / (L 0,03) = 1, k 15/17

93 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, b) Vorgeschlagene Änderung: Für den linken Träger: C 1 = 1,79 C = 1,08 euer Lasteinleitungspunkt z g = 30% -8,0 cm + 70% (8,0-0,74) cm =,68 cm (auch 3,cm) M cr,y = 737,4 kcm Alternativ: (auf der sicheren Seite) C 1 = 1,35 C = 0,65 Lasteinleitung am Obergurt: z g =,68 cm M cr,y = 1967,8 kcm Für den rechten Träger: Keine Lasteinleitung im Träger keine Änderung M cr,y = 399,0 kcm Bezogener Schlankheitsgrad λ LT LT f Wy M y cr Mit W y = W pl = 13,9 cm³ Für den linken Träger: λ LT = 1,0313 Für den rechten Träger: 16/17

94 MASTERPRÜFUG nach MPO 010 Aachen, λ LT = 1,1017 Maßgebend bleibt der linke Träger. (höhere Belastung, kleinere Schlankheit) Abminderungsfaktor χ LT Φ LT = 0,5 (1+α LT (λ LT 0.)+ λ LT ²) = 1,0 χ LT = 0,595 Beanspruchbarkeit M b,rd = χ LT W y f y / γ M1 = 1574,56 kcm eue Maximal Last F d F d,neu = M b,rd / (L 0,03) = 16,8 k F d,neu / F d = 16,8 / 1, = 1,38 Die vorgeschlagene Änderung erlaubt eine Steigerung der Last auf 1,35 F d. Wenn man mit der Annahme auf der sicheren Seite arbeitet, dann ist die Steigerung nur auf 1,5 F d zulässig. 17/17