10. Übungsblatt zur Mathematik II für MB

Transkript

1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. och SS Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 3 Arbeitsintegrale Berechnen Sie jeweils das Integral F dx für die Funktion F (x, y) := (x, xy)t und die folgenden Wege von (, ) T nach (1, 1) T : a) X 1 (t) := (t, t) T mit t [, 1], b) X (t) := (t, t ) T mit t [, 1], c) die urve mit Spur = 3 4, wobei 3 die Spur der urve X 3 (t) := (t, ) T mit t [, 1] und 4 die Spur der urve X 4 (t) := (1, t) T mit t [, 1] bezeichnet. a) F dx = 1 F (X(t)), X (t) 1 dt = (t, t ) T, (1, 1) T 1 dt = t + t dt = 5 /6. b) c) 1 F dx = (t, t 3 ) T, (1, t) T dt = 9 /1. F dx = F dx F dx 4 = 1 / + 1 / = 1. 4 Aufgabe 33 Potenziale Berechnen Sie, sofern möglich, die Potenziale der folgenden Vektorfelder: a) F (x, y) = (x, y) T b) F (x, y) = (y, x) T c) F (x, y) = (x, xy) T d) F (x, y, z) = (z cos y, zx sin y + z, x cos y + y) T. (a) ϕ(x, y) = x + y + C (b) ϕ(x, y) = xy + C (c) kein Potentialfeld (d) ϕ(x, y, z) = xz cos y + yz + C

2 1. Übung Mathematik II für MB

3 1. Übung Mathematik II für MB Aufgabe 34 Gravitation a) Bendet sich ein Punkt P mit der Masse m an der Stelle X, so übt die Erde auf P die Anziehungskraft F (X) = cm X X 3 aus, wobei c R eine onstante ist. Zeigen Sie, dass das Vektorfeld F ein Potenzial besitzt. b) Sei h : R + R dierenzierbar. Zeigen Sie, dass das Vektorfeld ein Potenzial besitzt. F : R n R n, F (X) := h( X ) X c) Bestimmen Sie für das Vektorfeld F aus Teil a) die Potenzialfunktion. d) Bestimmen Sie die Arbeit, die Sie verrichten müssen, um eine Punktmasse der Masse m von einer Höhe h 1 über dem Erdmittelpunkt auf eine Höhe h zu befördern (Erdradius = R h 1 < h ). e) Bestimmen Sie die Arbeit, die Sie verrichten müssen um eine Punktmasse der Masse m unendlich weit von der Erde zu entfernen. Mit welcher Geschwindigkeit muss die Punktmasse von der Erdoberäche aus bewegt werden? a) Es gibt ein Potenzial, da: F (X) = (f 1, f, f 3 ) T = cm X X 3 = cm (x 1, x, x 3 ) T (x 1, x, x 3 ) T 3 f x 1 = f 1 x = 3cm x 1x X 5, f 1 = f 3 x 1 = 3cm x 1x 3 X 5, f 3 x = f = 3cm x x 3 X 5. Nochmal ausführlich für z.b. f 1 : f 1 = x 1 (cm x 1 + x + x 33 ) = cmx 1 (x 1 + x + x x 3) 3 = 3cmx 1 x 3 (x 1 + x + x 3) 5 x 1 x 3 = 3cm x 1 + x + x 35 = 3cm x 1x 3 X 5 b) Für F (X) = (f 1, f,..., f n ) T = h( X ) X zeigt sich mit Hilfe der ettenregel: f i = h( X )x i = x i h ( X ) ( X ) = h ( X ) x ix j X 3 Wenn wir die Indizes vertauschen, sprich f j x i Somit gilt f i = f j x i. bestimmen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. 3

4 1. Übung Mathematik II für MB c) Gesucht ist das Potenzial ϕ von F (X): ϕ(x)) = cm = cm ϕ x1 = f 1 = cm x 1 X 3 x 1 X 3 dx 1 x 1 (x 1 + x + x 3) 3 dx1 = cm(x 1 + x + x 3) 1 + c(x, x 3 ) = cm 1 X + c(x, x 3 ) Durch partielles Ableiten von ϕ(x) nach x und gleichsetzen mit f erhält man Jetzt noch d(z) bestimmen: f = cm x X 3 = ϕ x f 3 = cm x 3 X 3 = ϕ x 3 Und wir erhalten für das Potenzial: = cmx (x 1 + x + x 3) 3 + c (x, x 3 ) = cm x X 3 + c (x, x 3 ) c (x, x 3 ) = c(x, x 3 ) = dx = d(x 3 ). = cmx 3 (x 1 + x + x 3) 3 + d (x 3 ) = cm x 3 X 3 + d (x 3 ) d (x 3 ) = d(x 3 ) = dx 3 = const.. ϕ(x) = cm 1 X + const.. d) Jeder mögliche Punkt X auf einer Höhe h hat den Abstand h zum Ursprung. Damit ist X = h und die Arbeit können wir direkt über das Potenzial bestimmen: ( 1 W = ϕ(h ) ϕ(h 1 ) = cm 1 ). h 1 h e) Mit dem Ergebnis aus d) erhalten wir: ( 1 W = lim cm h R 1 ) h = cm R. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes lässt sich die Geschwindigkeit v bestimmen: E pot = E kin, cm R = 1 mv v = c R. 4

5 1. Übung Mathematik II für MB Hausübung Aufgabe H34 Lineare Vektorfelder a) Gegeben sei das lineare Vektorfeld (1++1 Punkte) F (x, y, z) = (7x + 6y + 8z + 3, ax + 5y + 4, bx + cy + 9z) T mit a, b, c R. Bestimmen Sie a, b und c derart, dass F über ein Potenzial ϕ verfügt. b) Bestimmen Sie ϕ. c) Geben Sie F (x, y, z) in Matrix-Vektor-Notation an, sprich F (X) = AX + B. Welche Eigenschaft muss für die Matrix A allgemein gelten, damit F über ein Potenzial verfügt? Geben Sie auch ϕ(x) in Matrix-Vektor-Notation an. a) a = 6, b = 8 und c = b) ϕ(x, y, z) = 7 x + 5 y + 9 z + 6xy + 8xz + 3x + 4y + const. c) F (X) = 6 5 X Die Matrix A muss symmetrisch sein. ϕ(x) = 1 XT AX + B T X + const. = XT 6 5 X + ( ) X + const. Aufgabe H35 Arbeitsintegral und Potenzial Gegeben sei das Vektorfeld (+1+1 Punkte) F (x, y, z) = (x + yz, y + xz, xy) T und der durch die urve X(t) = (t, t, t 4 ) T für t [, ] gegebene Weg W. a) Bestimmen Sie das Wegintegral W F dx. b) Besitzt F ein Potenzial ϕ? Bestimmen Sie es gegebenenfalls. c) Berechnen Sie unter Verwendung von b) das Wegintegral W F dx längs des Weges W, der die Punkte P 1 = (,, ) und P = (, 4, 16) verbindet. a) F dx = F (X(t)), X (t) dt = (t + t 6, t + t 5, t 3 ) T, (1, t, 4t 3 ) T dt W = t + 4t 3 + 7t 6 dt = t + t 4 + t 7 t= =

6 1. Übung Mathematik II für MB b) F besitzt ein Potential ϕ, da R 3 oen und einfach zusammenhängend ist und weiterhin gilt f 1 y = f x = z, f 1 z = f 3 x = y, f z = f 3 y = x. Das Potential ϕ hat die Form ϕ(x, y) = x + y + xyz + const.. c) F dx = W W (ϕ(x(t)) dt = ϕ(, 4, 16) ϕ(,, ) = 148. Aufgabe H36 Potenzial Gegeben sei das Vektorfeld F α (x, y) = (e x+y + αxy, e x+y + x ) T mit einem freien Parameter α R. (+ Punkte) a) Bestimmen Sie α derart, dass F α ein Potenzial besitzt. Bestimmen Sie dieses Potenzial. b) Berechnen Sie für α = und X(t) = (t, t 3 ) T, t [, 1], das urvenintegral W = F (X) dx, indem Sie F geeignet als Summe zweier Vektorfelder schreiben. 6

7 1. Übung Mathematik II für MB 7