Skriptum zur ANALYSIS 1

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1 Skriptum zur ANALYSIS 1 Günter Lettl WS 2013/ Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik 1.1 Naive Mengenlehre Definition einer Menge nach Georg Cantor ( ):,,Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Ist M eine Menge und a ein Objekt, so gilt entweder a M (,,a ist Element von M,,,a liegt in M ) oder a / M (,,a ist kein Element von M,,,a gehört nicht zu M ). Relationen zwischen Mengen: M und N seien beliebige Mengen. Gleichheit: M = N M und N heißen gleich genau dann, wenn sie dieselben Elemente enthalten. M N M und N sind nicht gleich. Teilmenge: M N M ist eine Teilmenge von N (ist in N enthalten) genau dann, wenn jedes Element von M auch zu N gehört. (andere Notationen: M N, M N) M N M ist eine echte Teilmenge von N genau dann, wenn M N und M N erfüllt sind. Operationen mit Mengen: M und N seien beliebige Mengen. Der Durchschnitt von M und N, M N, ist die Menge, die aus genau jenen Elementen besteht, die sowohl zu M als auch zu N gehören. Die Vereinigung von M und N, M N, ist die Menge, die aus genau jenen Objekten besteht, die Elemente von M oder von N (oder von beiden) sind. Die Differenz von M und N, M \N, ist die Menge derjeniger Elemente von M, welche nicht zu N gehören. Das (kartesische) Produkt (oder die Produktmenge) von M und N, M N besitzt als Elemente genau alle geordneten Paare (a,b), für welche a M und b N gilt. M N = {(a,b) a M und b N}. 1

2 2 Beispiel 1: a) Lesen Sie nach, wie in Ihrem Mittelschullehrbuch (9. Schulstufe) der Begriff der Menge und die Mengenoperationen eingeführt wurden. Lösen Sie einige Beispiele zu diesem Thema. b) Überlegen Sie sich, dass folgende 3 Mengen gleich sind: {3,1,3,2,2,1,1}, {1,2,3}, {x N 2x < 7}. Beispiel 2: Wie viele Elemente besitzen die folgenden Mengen, welche dieser Mengen sind gleich, welche sind Teilmengen einer anderen? {1,2,3}, {2,2,1,3,2}, {1,2,{3}}, {1,{1}}, {1,1}, {1,{1},{1,1}}. Hinweis: Die Menge {1,{2,3}} hat genau 2 Elemente, nämlich die Zahl 1 und die Menge {2,3}. Beispiel 3: a) Geben Sie für M = {1,2,3,4} und N = {a,b} die Produktmenge M N an! Gilt M N = N M? b) Geben Sie konkrete Beispiele für Mengen M und N an, sodass M \ N N \ M bzw. M N = N gelten. 1.2 Aussagenlogik und Beweise (Mathematische) Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Operationen mit Aussagen (= logische Verknüpfungen): Für das Folgende seien A und B (irgendwelche) Aussagen. (1) Negation: A (,,nicht A,,,non A ) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist. (2) Konjunktion: A B (,,A und B ) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn sowohl A als auch B wahr sind. (3) Disjunktion: A B (,,A oder B ) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A wahr ist oder B wahr ist (oder beide). (4) Implikation: A B (,,aus A folgt B, A impliziert B,,,B ist notwendig für A,,,A ist hinreichend für B ) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist oder B wahr ist. (5) Äquivalenz: A B (,,A und B sind (logisch) gleichwertig,,,a gilt genau dann, wenn B gilt,,,a ist notwendig und hinreichend für B ) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind.

3 Logische Quantoren: Es seien M eine Menge und A eine Aussage (die sich auf die Elemente von M bezieht). DieAussage x M: A istwahrgenaudann, wennfüralleelementex M dieaussage A wahr ist. Die Aussage x M: A ist wahr genau dann, wenn es ein Element x M gibt, für das die Aussage A wahr ist. 3 Definition 1 (Mengenrelationen und -operationen mit logischen Symbolen). Es seien M und N beliebige Mengen. Wir definieren: a) (M N) def x M: x N (M = N) def ( ( x M: x N) ( x N: x M) ) ( ) (M N) (N M) b) M N = {x x M x N} M N = {x x M x N} M \N = {x M x / N} c) Eine Menge M heißt leer, wenn M keine Elemente besitzt. Beispiel 4: a) Gegeben sind die Mengen M = {1,3} und N = {1,2,3,4}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch bzw.,,unsinn (mit jeweiliger Begründung)? M N, N M, M = N, M N, {2,3} N, 2 M, 3 N, {3} M, {2} N. b) Geben Sie M N, M N, M \N und N \M an! Satz 1. a) Es gibt nur eine leere Menge. Diese bezeichnen wir mit {} oder. b) Für jede Menge M gilt: M. Satz 2 (Rechenregeln für Mengenoperationen). Für (beliebige) Mengen A, B und C gelten die folgenden Aussagen: (1) Kommutativgesetze: (2) Assoziativgesetze: A B = B A A (B C) = (A B) C (3) Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) (4) De Morgan sche Regeln: A\(B C) = (A\B) (A\C) A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A\(B C) = (A\B) (A\C) Beispiel 5: Skizzieren Sie die Rechenregeln von Satz 2 mit Hilfe von Venn-Diagrammen.

4 4 Definition 2. Eine Menge M heißt endlich, wenn es ein n N 0 gibt, sodass gilt: M hat genau n (verschiedene) Elemente. Wir schreiben dann #M = n und nennen n die Elementanzahl von M. Ist M keine endliche Menge, so heißt M unendlich (und wir schreiben #M = ). 1.3 Vollständige Induktion und Rekursion Prinzip der vollständigen Induktion: Es sei n 0 Z eine ganze Zahl und N = {n Z n n 0 }. Für jedes n N sei eine Aussage A(n) formuliert. Sind (I1) A(n 0 ) und (I2) n N : A(n) A(n+1) wahre Aussagen, so gilt A(n) für alle n N. Bemerkung: Statt (I2) ist auch folgende Variante erlaubt: (I2 ) n N : (A(n 0 ) A(n 0 +1)... A(n)) A(n+1). Satz 3 (Minimumprinzip). Jede nicht leere Teilmenge A von N 0 besitzt ein Minimum (= kleinstes Element; d. h. m A, sodass a A : m a; Schreibweise: m = min(a)). Rekursive Definition (= Konstruktion durch vollständige Induktion): Es sei n 0 Z und N = {n Z n n 0 }. Um einen mathematischen Begriff E(n) für alle n N zu definieren, genügt es: (R1) E(n 0 ) zu definieren und (R2) n N: E(n+1) mit Hilfe von E(n) zu definieren [bzw. (R2 ) n N: E(n+1) mit Hilfe von E(n),E(n 1),...,E(n 0 ) zu definieren]. Beispiel 6: Es sei k N. Schreiben Sie (2k) mit Hilfe des Produktsymbols, und geben Sie den Wert dieses Produkts mit Hilfe der,,fakultät an. Beispiel 7: Schreiben Sie Summe gleich k k j=1 1 j? k 1 k mit Hilfe des Summensymbols an. Ist diese Satz 4. Für n N ist die Anzahl aller möglichen Anordnungen ( =,,Permutationen ) von n verschiedenen Objekten n!

5 Definition 3. Für n,k N 0 wird der Binomialkoeffizient ( n k), sprich,,n über k, definiert durch: ( ) n n! falls 0 k n = k!(n k)!. k 0 falls n < k Offensichtlich gilt für 0 k n: ( ) ( n k = n n k). 5 Satz 5. Für n,k N 0 gilt: ( ) n i) = k n i+1 n(n 1)(n 2)...(n k +1) = k i k! ( ) ( ) ( ) ( ) n+1 n n n ii) = + und N 0 k +1 k +1 k k iii) Eine endliche Menge M mit n Elementen besitzt genau ( n k) Teilmengen mit k Elementen. Beispiel 8: a) Wie viele 3-elementige Teilmengen besitzt die Menge {A,B,C,D,E}? Geben Sie alle an! b) Wie viele verschiedene Lottosechser gibt es bei,,6 aus 45? Vergleichen Sie diese Zahl mit der Einwohnerzahl Österreichs! Definition 4. Für eine Menge M heißt P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M (= die Menge aller Teilmengen von M). Beispiel 9: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch bzw.,,unsinn (mit jeweiliger Begründung): {1,3} P({1,2,3,4}), {1,3} P({1,2,3,4}), {{1},{1,3}} P({1,2,3,4}), {1,5,10} P(N), 17 P(N), P(N) P(Z)? Satz 6 (Binomischer Lehrsatz). Für (beliebige) Zahlen a,b und n N gilt: n ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n (a+b) n = a n i b i = a n + a n 1 b+ a n 2 b ab n 1 +b n. i 1 2 n 1 i=0 Beispiel 10: Multiplizieren Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes aus: ( 1 2 2x 3 )3, (2a+3b) 5, (4 4) 7. Korollar. a) Für n N 0 gilt: n i=0 ( ) n = 2 n. i b) Ist M eine endliche Menge mit #M = n N 0, so gilt #P(M) = 2 n.

6 6 2. Reelle und komplexe Zahlen 2.1 Körperstruktur und Anordnung von R Für (beliebige) reelle Zahlen a, b, c R gelten die folgenden (algebraischen) Körperaxiome: (K1) a+b = b+a und a b = b a (Kommutativgesetze) (K2) (a+b)+c = a+(b+c) und (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetze) (K3) x R mit a+x = b und - falls a 0 - gibt es auch ein y R mit a y = b. Für x schreibt man auch b a, und für y auch b : a = b a. (K4) a (b+c) = a b+a c (Distributivgesetz) Lemma 1. Es seien a,b R. a) Die Lösungen x,y R der Gleichungen in (K3) sind eindeutig bestimmt. b) Ist a b = 0, so folgt a = 0 oder b = 0. Beispiel 11: Verifizieren Sie die Körperaxiome (K1) bis (K4) und die Aussage von Lemma 1.c) für die konkret gewählten Zahlen a = 42, b = 1 3, c = 10,5. R ist archimedisch geordnet: Gewisse reelle Zahlen x R sind als,,positiv ausgezeichnet (nämlich diejenigen, die auf der Zahlengeraden rechts von der Zahl 0 liegen); Schreibweise: x > 0. Für beliebige reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Anordnungsaxiome: (A1) Genau eine der 3 Relationen ist erfüllt: a > 0, a = 0, a > 0. (A2) Sind a > 0 und b > 0, so gilt a+b > 0 und a b > 0. (A3) Es existiert ein n N mit n a > 0. (,,Archimedisches Axiom ) Definition 1. Es seien a,b R. a heißt negativ, wenn a > 0 gilt. a heißt größer als b (a > b), falls a b > 0 gilt. a heißt kleiner als b (a < b), falls b > a gilt. a heißt kleiner oder gleich b (a b), falls (a < b) (a = b) gilt. R + := {x R x > 0} R := {x R x < 0} R 0 := {x R x 0}.

7 7 Satz 1 (Rechenregeln für Ungleichungen). Es seien a,b,c,d R. Dann gilt: a) Genau eine der Relationen a > b, a = b oder a < b ist erfüllt. b) Aus a > b und b > c folgt a > c (Transitivität von,,> ). c) Ist a > b, so gilt: (i) Wenn b > 0 ist, so folgt 1 a < 1 b. (ii) a+c > b+c (iii) Wenn c > 0 ist, so folgt ac > bc; und wenn c < 0 ist, folgt ac < bc. d) Sind a > b und c > d, so folgt: (i) a+c > b+d (ii) Wenn b,d 0 gilt, so folgt a c > b d. e) Ist a 0, so ist a 2 > 0 f) Jede natürliche Zahl ist positiv. Beispiel 12: ( Geben Sie einen ),,logisch korrekten Beweis, dass für a, b R folgende Aussage richtig ist: (a b) (a b) a = b Satz 2 (Bernoulli sche Ungleichung). Es sei 0 x R mit x 1 und 1 n N. Dann gilt: (1+x) n > 1+nx Beispiel 13: Beweisen Sie die folgende Variante der Bernoulli schen Ungleichung: Für alle x R mit x 1 und für alle n N gilt: (1+x) n 1+nx. In welchen Fällen gilt,,=? Satz 3. Es sei q R +. Dann gilt: a) Ist q > 1, so gibt es zu jedem K R ein n N mit q n > K. b) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n N mit q n < ε. Beispiel 14: a) Geben Sie ein n N an, welches Satz 3.a) mit q = 1,01 und K = 100 erfüllt. Haben Sie in der Mittelschule gelernt, wie man diese Aufgabe mit Logarithmen lösen kann? Können Sie das kleinste n angeben, das dieses Problem löst? b) Geben Sie ein n N an, welches Satz 3.b) mit q = 1 2 und ε = 0,001 (bzw. ε = ) erfüllt.

8 8 Definition 2. Es sei a R. Dann heißt { a falls a 0 a := der Absolutbetrag von a und a falls a < 0 1 falls a > 0 sgn(a) := 0 falls a = 0 das Vorzeichen (oder Signum) von a. 1 falls a < 0 Satz 4. Für a,b R gilt: a) a b = a b b) a < b b < a < b und a b b a b c) a b a±b a + b Beispiel 15: Überlegen Sie sich, dass für alle a R gilt: a = a sgn(a) und a = a sgn(a). Satz 5. 2 ist eine irrationale Zahl. 2.2 Die Vollständigkeit von R Beispiel 16: Haben Sie in der Mittelschule gehört, wie man an der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl erkennen kann, ob sie rational ist oder nicht? Wiederholen Sie, wie man eine reelle Zahl mit periodischer Dezimaldarstellung in einen Bruch umwandelt. Definition 3. a) Es seien a,b R mit a < b. Dann heißt die folgende Teilmenge I R [a,b] := {x R a x b}dasabgeschlossene (auch:kompakte)intervall (von a nachb); (a,b) := {x R a < x < b} das offene Intervall (von a nach b); [a,b) := {x R a x < b} das (nach rechts) halboffene Intervall (von a nach b); (a,b] := {x R a < x b} das (nach links) halboffene Intervall (von a nach b). a und b heißen die Randpunkte jedes solchen Intervalls I, und I = b a heißt dessen Länge. b) Eine Folge von kompakten Intervallen (I n ) n N = I 1,I 2,I 3,... heißt eine Intervallschachtelung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (IS1) n N: I n+1 I n (IS2) ε > 0: n N mit I n < ε. Vollständigkeitsaxiom (für R): Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) n N in R gibt es eine reelle Zahl, die in jedem der Intervalle I n enthalten ist. Behauptung: Ist (I n ) n N eine Intervallschachtelung in R, so gibt es genau eine reelle Zahl α, sodass n N gilt: α I n.

9 Satz 6 (Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen). Für jedes 0 < x R und jedes k N existiert genau eine reelle Zahl y > 0 mit y k = x. (Schreibweise: y = k x = x 1 k). 9 Korollar (Definition rationaler Potenzen positiver reeller Zahlen). Es seien 0 < x R und p,p Z, q,q N mit p q = p q = r Q. Dann gilt: q xp = q x p ( =: def x r, ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruchzahl). Beispiel 17: Suchen Sie in Ihrem Mittelschullehrbuch das Kapitel über das Rechnen mit rationalen Exponenten und lösen Sie einige Aufgaben dazu! Satz 7 (Arithmetisch-geometrische Mittelungleichung). Für n N und a 1,a 2,...,a n R 0 gilt: n a1 a 2... a n a 1 +a a n n und in dieser Ungleichung gilt,,= genau dann, wenn a 1 = a 2 =... = a n. Hilfssatz (zum Beweis): Sind n N und x 1,...,x n R >0 mit x x n = n, so gilt x 1... x n 1, und,,= gilt genau dann, wenn x 1 = x 2 =... = x n = 1., Beispiel 18: Leiten Sie aus Satz 7 als Spezialfall ab: Für a,b R 0 gilt: 4 ab 2(a + b). Können Sie diese Ungleichung geometrisch deuten? (Tipp: ein Rechteck mit Seitenlängen a und b.) Definition 4. Es sei M R eine Menge reeller Zahlen. a) Eine Zahl m M heißt Maximum [bzw. Minimum] von M, wenn für alle x M gilt: x m [bzw. m x]. Schreibweise: m = max(m) [bzw. m = min(m)]. b) Eine reelle Zahl s R heißt obere [bzw. untere] Schranke von M, wenn für alle x M gilt: x s [bzw. s x]. c) M heißt nach oben [bzw. nach unten] beschränkt, wenn eine obere [bzw. untere] Schranke von M existiert. M heißt beschränkt, wenn M nach oben und nach unten beschränkt ist; andernfalls heißt M unbeschränkt.

10 10 d) Eine reelle Zahl s R heißt Supremum (oder kleinste obere Schranke) von M, wenn (i) s eine obere Schranke von M ist und (ii) jedes s R mit s < s keine obere Schranke von M ist. Schreibweise: s = sup(m) Eine reelle Zahl s R heißt Infimum (oder größte untere Schranke) von M, wenn (i) s eine untere Schranke von M ist und (ii) jedes s R mit s < s keine untere Schranke von M ist. Schreibweise: s = inf(m) Beispiel 19: Überprüfen Sie die folgenden Mengen M auf alle Eigenschaften, die in Definition 4.a) - d) festgelegt wurden: M = {x Q x 3 8} bzw. M = {x Q x 4 < 5}. Was ist der Unterschied zwischen Maximum und Supremum? Satz 8 (Supremumseigenschaft von R). Jede nicht leere Menge M R, die nach oben [bzw. nach unten] beschränkt ist, besitzt ein Supremum [bzw. ein Infimum]. Satz 9 (,,Q liegt dicht in R ). Zu jedem x R und jedem 0 < ε R gibt es eine rationale Zahl r Q mit x r < ε. Beispiel 20: Schreiben Sie die folgende Aussage mit Hilfe von mathematischen Symbolen, und versuchen Sie, diese mit Hilfe von Satz 9 zu beweisen:,,zwischen je 2 verschiedenen reellen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen. (Tipp: indirekter Beweis) Beispiel 21: Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von mathematischen Symbolen, und versuchen Sie, diese zu beweisen:,,zwischen je 2 verschiedenen rationalen Zahlen liegt eine irrationale Zahl.,,Zwischen je 2 verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele irrationale Zahlen. 2.3 Die komplexen Zahlen Definition 5. Auf der Menge R 2 = {(x,y) x,y R} werde eine Addition und eine Multiplikation wie folgt definiert: Für (x,y),(u,v) R 2 seien (A) (x,y) (u,v) = (x+u,y +v) (M) (x,y) (u,v) = (xu yv,xv +yu)

11 Satz 10. Mit den in Definition 5 definierten Operationen und bildet die Menge R 2 einen Körper (mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0)), in dem die Gleichung 2 Lösungen besitzt. z 2 = z z = ( 1,0) 11 Definition 6. C = {a+bi a,b R} heißt der Körper der komplexen Zahlen. Für eine komplexe Zahl z = x+iy C (mit x,y R) heißt: x = R(z) der Realteil von z y = I(z) der Imaginärteil von z z = x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl z = x 2 +y 2 der (Absolut-)Betrag von z. z C heißt rein imaginär, wenn R(z) = 0 gilt. Beispiel 22: Suchen Sie in Ihrem Mittelschullehrbuch das Kapitel über komplexe Zahlen und lösen Sie einige Beispiele dazu. Nach welchem,,rezept läßt sich der Quotient zweier komplexer Zahlen in die Gestalt x+iy mit x,y R bringen? Beispiel 23: Überlegen Sie sich, wie Sie zu einer gegebenen komplexen Zahl c C die Lösungen der Gleichung z 2 = c bestimmen können! Führen Sie dies für einige konkrete Werte von c durch! Satz 11 (Rechenregeln für den Absolutbetrag). Für w,z C gilt: a) z 0 und ( z = 0 z = 0) b) z = z = z z, z +z = 2R(z), z z = i 2I(z) c) R(z) z und I(z) z d) z w = z w e) z +w z + w (Dreiecksungleichung) Beispiel 24: Überlegen Sie sich, dass für die komplexe Konjugation folgende Rechenregeln gelten: w,z C: z +w = z +w, z w = z w, zw = z w und (falls w 0) ( ) z w = z w. Beispiel 25: Zeigen Sie, dass für w,z C gilt: w z w z w ±z w + z. Dabei dürfen Sie natürlich Satz 11.e) und Satz 4.c) - letzteren aber nur für reelle Zahlen! - verwenden. Fundamentalsatz der Algebra: Jede Gleichung z n +a n 1 z n a 1 z +a 0 = 0 mit n N und a 0,a 1,...,a n 1 C besitzt eine Lösung in C.

12 12 3. Funktionen 3.1 Grundbegriffe Definition 1. A und B seien Mengen. a) Eine Abbildung (oder Funktion) f von A nach B (Schreibweise: f: A B) ist eine Vorschrift, die jedem x A genau ein Element y B zuordnet. Dann heißen: y das Bild von x unter f (oder: der Wert von f an der Stelle x), Schreibweise: y = f(x) bzw. x y; A der Definitionsbereich von f, B der Wertevorrat (oder Zielbereich) von f und Graph(f) = {(x,y) A B y = f(x)} der Graph von f. b) Es sei f: A B eine Abbildung. Ist B R [bzw. B C], so heißt f eine reellwertige [bzw. komplexwertige] Funktion. Sind A,B R [bzw. A,B C], so heißt f eine reelle [bzw. komplexe] Funktion (in einer Variablen). Ist g: A B eine weitere Abbildung von A nach B, so heißen f und g gleich (f = g), wenn für alle x A gilt: f(x) = g(x). Beispiel 26: Die Mengen A und B seien konkret gegeben durch A = {m,a,t} und B = {2,3,5,7}. Geben Sie 3 verschiedene Abbildungen von A nach B und deren jeweiligen Graphen an! Wie viele verschiedene Abbildungen von A nach B gibt es insgesamt? Beispiel 27: Die Abbildung g: R C ist definiert durch g(x) = x + 2xi. Welche der Eigenschaften aus Definition 1.b) hat g? Geben Sie Graph(g) an! Können Sie Graph(g) skizzieren (3-dimensional!)? Definition 2. Es sei f: A B eine Abbildung. a) Für eine Teilmenge A A heißt f(a ) = {f(x) x A } das Bild von A unter f, insbesondere heißt f(a) das Bild (oder die Wertemenge) von f. Für eine Teilmenge B B heißt das Urbild von B unter f. f 1 (B ) = {x A f(x) B } b) Ist g: B C eine weitere Abbildung, so heißt die Abbildung g f: A C x g(f(x)) die Komposition(oder Hintereinanderausführung) von g und f (Sprechweise:,,g nach f ).

13 Beispiel 28: a) Geben Sie für,,ihre 3 Abbildungen aus Beispiel 26 jeweils f({a,t}), f({a}) sowie f 1 ({3,5,7}) und f 1 ({7}) an! b) Es sei f: C R, f(z) = z, der komplexe Absolutbetrag und g so wie in Beispiel 27 gegeben. Geben Sie f g an! Welche der Eigenschaften aus Definition 1.b) haben f bzw. f g? Bestimmen Sie f 1 ({ 5}) bzw. (f g) 1 ({ 5}). Lemma 1. Ist f: A B eine Abbildung, so gilt: a) A A = A f 1 (f(a )) b) B B = f(f 1 (B )) = B f(a) B 13 Definition 3. Eine Abbildung f: A B heißt injektiv, falls für alle x 1,x 2 A gilt: f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 [bzw. äquivalent dazu: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )]. surjektiv, falls f(a) = B gilt [d. h.: zu jedem y B existiert (mindestens) ein x A mit f(x) = y]. bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Lemma 2. Es sei f: A B eine injektive Abbildung. Dann existiert die Umkehrabbildung f 1 : f(a) A mit Graphem Graph(f 1 ) = {(y,x) y f(a) und x A mit f(x) = y} f(a) A. f 1 ist die eindeutig bestimmte Abbildung von f(a) nach A, die f 1 f = id A und f f 1 = id f(a) erfüllt. Beispiel 29: a) Welche,,Ihrer 3 Abbildungen aus Beispiel 26 ist injektiv? Warum kann keine dieser Abbildungen surjektiv bzw. bijektiv sein? b) Geben Sie für die Abbildung g aus Beispiel 27 die Umkehrabbildung g 1 (samt ihrer Definitionsmenge) an! Definition 4. a) Es seien f,g: A B C (reell- oder) komplexwertige Funktionen. Dann definiert man { f +g: A C die Summe von f und g: x f(x)+g(x), { f g: A C das Produkt von f und g: x f(x) g(x), f g : A 0 C den Quotienten von f durch g: x f(x) g(x) mit A 0 = {x A g(x) 0},

14 14 die zu f konjugiert komplexe Funktion: { f: A C x f(x), { R(f): A R den Realteil von f: x R(f(x)) { I(f): A R und den Imaginärteil von f: x I(f(x)). b) Eine reelle Funktion f: A B (d. h.: A,B R) heißt [streng] monoton wachsend, wenn für alle x 1,x 2 A mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) [bzw. f(x 1 ) < f(x 2 )], [streng] monoton fallend, wenn für alle x 1,x 2 A mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) [bzw. f(x 1 ) > f(x 2 )]. Beispiel 30: Suchen Sie aus Ihrem Mittelschullehrbuch einige Beispiele von reellen Funktionen und versuchen Sie, an diesen einige Operationen aus Definition 4.a) durchzuführen. Lemma 3. Es seien A,B R und f: A B eine reelle Funktion. Ist f streng monoton wachsend [bzw. streng monoton fallend], so ist f injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion f 1 : f(a) A. f 1 ist dann ebenfalls streng monoton wachsend [bzw. streng monoton fallend]. 3.2 Abzählbarkeit von Mengen Definition 5. A und B seien Mengen. a) A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f: A B gibt. b) Die Menge A heißt abzählbar, wenn A und N gleichmächtig sind, d. h.: es gibt eine bijektive Abbildung f: N A (eine,,abzählung von A ) höchstens abzählbar, wenn A endlich oder abzählbar ist überabzählbar, wenn A unendlich und nicht abzählbar ist. Satz 1. a) Z und Q sind abzählbare Mengen. b) Die Menge R ist überabzählbar. Beispiel 31: a) Wieso sind die Mengen A und B aus Beispiel 26 nicht gleichmächtig? b) Modifizieren Sie den Beweis für die Abzählbarkeit von Q, um zu beweisen, dass N N abzählbar ist.

15 Polynomfunktionen Für den gesamten Abschnitt sei K {R,C}. { } reelle, falls K = R, Definition 6. Eine Abbildung f: K K heißt Polynomfunktion (auch: Polynom), wenn es ein n N 0 und a 0,a 1,...,a n K gibt, sodass für alle komplexe, falls K = C, x K gilt: n f(x) = a i x i = a 0 +a 1 x+a 2 x a n x n. i=0 Ist a n 0, so heißt f Polynomfunktion vom Grad n. Ist α K mit f(α) = 0, so heißt α eine Nullstelle von f. Satz 2. Es sei f: K K eine Polynomfunktion vom Grad n N und α K. Dann gilt: a) Es existiert eine Polynomfunktion g: K K vom Grad n 1, sodass für alle x K gilt: f(x) = (x α)g(x)+f(α). b) f(α) = 0 Es existiert eine Polynomfunktion g: K K vom Grad n 1, sodass für alle x K gilt: f(x) = (x α)g(x) [Sprechweise:,,x α teilt f(x) ]. Beispiel 32: Gegeben sei die Polynomfunktion f(x) = x Bestimmen Sie jeweils für α = 1, α = i, α = 3 3 die nach Satz 2.a) existierende Polynomfunktion g(x) mit f(x) = (x α)g(x)+f(α). Nach welchem,,rechenrezept läßt sich in Satz 2 zu gegebenem f und α die entsprechende Polynomfunktion g finden? Beispiel 33: Was besagt Satz 2 im speziellen Fall n = 1? Wieso ist Satz 2 für n = 0 falsch? Satz 3. Es sei f: K K eine Polynomfunktion vom Grad n N 0. Dann besitzt f in K höchstens n Nullstellen. Beispiel 34: Berechnen Sie für beliebiges a R das Matrizenprodukt ( ) ( 1 a 1 a )! Wie viele (2 2)-Matrizen X lösen die Gleichung X X = ( )?

16 16 Korollar 1. Es seien f,g: K K Polynomfunktionen mit n n f(x) = a i x i und g(x) = b i x i für ein n N 0. i=0 i=0 Sind x 1,x 2,...,x n+1 K paarweise verschieden und gilt für alle k mit 1 k n+1: f(x k ) = g(x k ), so folgt a i = b i für alle i mit 0 i n (und somit f = g). Korollar 2. Ist 0 f: K K eine Polynomfunktion, so ist ihr Grad n N 0 eindeutig bestimmt, und es existieren eindeutig bestimmte a 0,a 1,...,a n K mit a n 0, sodass für alle x K gilt: f(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n. Korollar 3 (Interpolation nach Lagrange). Es sei n N 0, x 0,x 1...,x n K seien paarweise verschieden, und y 0,y 1,...,y n K. Dann gibt es genau eine Polynomfunktion f: K K vom Grade n, sodass für alle i mit 0 i n gilt: f(x i ) = y i [,,Interpolationseigenschaft ]. Beispiel 35: Es seien (x 0,x 1,x 2,x 3 ) = ( 1,1,2,5) und (y 0,y 1,y 2,y 3 ) = (7,5,10, 23). Geben Sie die Polynomfunktion f vom Grad 3 an, für die f(x i ) = y i für alle 0 i 3 gilt. Können Sie verschiedene Methoden angeben, um dieses Problem zu lösen? Der allgemeine Binomialkoeffizient: ( ) z 1 falls n = 0 Für n N 0 und z C definiert man := z(z 1)...(z n+1) n falls n 1. ( ) n! z ist eine komplexe Polynomfunktion vom Grad n (in der Variablen z) mit Nullstellen n 0,1,2,...,n 1. Beispiel 36: Berechnen Sie ( ) ( 3 3, 3 ) ( 4, 4) ( 3 3, i ( 4), i 2 ) 3. Gilt ( ) ( z n + z ) ( n+1 = z+1 n+1) auch für allgemeine Binomialkoeffizienten? Satz 4 (Additionstheorem für allgemeine Binomialkoeffizienten). ( ) ( )( ) w +z Für w,z C und n N 0 gilt: = n w z. n i n i i=0 Beispiel 37: Berechnen Sie für beliebiges n N 0 und z C: (Stimmt Ihre Rechnung auch für n = 0 bzw. z = 0?) n ( z z i=0 i)( n i)!

17 Satz 5. Ist 0 f: K K eine Polynomfunktion und α K, so existieren genau ein e N 0 und genau eine Polynomfunktion g: K K, sodass für alle x K gilt: f(x) = (x α) e g(x) und g(α) 0. Definition: Ist e > 0, so heißt α eine e-fache Nullstelle von f. 17 Satz 6 (Zerlegungssatz für komplexe Polynome). Ist f: C C eine (komplexe) Polynomfunktion vom Grad n N 0, so existieren eindeutig bestimmte 0 a C, r N 0, paarweise verschiedene α 1,...,α r C und e 1,...,e r N mit e 1 + +e r = n, sodass für alle x C gilt: r f(x) = a (x α i ) e i. 3.4 Rationale Funktionen Für den gesamten Abschnitt sei K {R,C}. Definition 7. f,g: K K seien Polynomfunktionen mit g 0 und E = {α K g(α) = 0}. Dann heißt h = f g : K \E K x f(x) g(x) eine rationale Funktion auf K. Ist α E eine e-fache Nullstelle von g und f(α) 0, so heißt α eine e-fache Polstelle (oder: Pol der Ordnung e) von h. Beispiel 38: Gegeben sind die Polynomfunktionen f(x) = x 3 (x 3) 2 (x 2 1) 3 (x + 1) und g(x) = (x 1) 4 (x 2 9) 2 (x+3)x. Bestimmen Sie E = {α R g(α) = 0}. Geben Sie für die rationale Funktion h = f g : R \ E R die gekürzte Form an. Um welche Zahlen kann die Definitionsmenge von h dadurch erweitert werden? Geben Sie alle Nullstellen und Pole von h sowie deren Ordnungen an! Skizzieren Sie den Graphen von h für x 5.

18 18 Satz 7 (Partialbruchzerlegung in C). Es sei h = f g : C\E C eine rationale Funktion, wobei g(x) = r (x α i ) m i mit r N 0, m i N und paarweise verschiedenen α 1,...,α r C, und E = {α 1,...,α r }. Dann besitzt h eine eindeutige Darstellung der Form ( r mi ) a ij h(x) = +p(x) x C\E (x α i ) j j=1 mit a ij C und einer Polynomfunktion p: C C. Definition: Diese Darstellung heißt die (komplexe) Partialbruchzerlegung von h. Die rationale Funktion m i a ij (x α i ) j j=1 heißt der Hauptteil von h an der Stelle α i, und p heißt der Polynomanteil von h. Beispiel 39: Geben Sie die Partialbruchzerlegung von 3x3 +17x 2 +32x+18 (x+2) 4 (Kann Ihnen dabei Satz 2.a) mit α = 2 helfen?) an! Beispiel 40: Welche möglichen Nenner treten in der komplexen (bzw. reellen) Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion auf, deren Nenner (x 4 16) bzw. (x 4 81) 4 ist?

19 19 4. Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen 4.1 Grundbegriffe Definition 1. a) Eine Folge (reeller bzw. komplexer) Zahlen ist eine Abbildung { a: Z k R C mit einem k Z. { Schreibweise: a(n) = a n R... n-tes Folgenglied C a = (a n ) n k = (a k,a k+1,a k+2,...). b) Eine Folge (a n ) n k heißt konvergent, wenn es eine Zahl a C mit folgender Eigenschaft gibt: zu jedem ε > 0 existiert ein N N, sodass für alle n N gilt: a n a < ε. Ist dies der Fall, so heißt a der Grenzwert (oder: Limes) der Folge. Schreibweise: lim n a n = a bzw. (a n ) n k a Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent. c) Eine Folge (a n ) n k heißt beschränkt, falls die Menge { a n n k} beschränkt ist; andernfalls heißt sie unbeschränkt. Beispiel41: VersuchenSieFolgena = (a n ) n 1 reelleroderkomplexerzahlenkonkretanzugeben: z. B.: a n = i n oder a n = n-te Dezimalstelle von π oder a n = n 2 in oder a n wird mit einem Würfel gewürfelt (zufällig) oder... Welche dieser Folgen sind beschränkt? Satz 1. a) Ist eine Folge konvergent, so ist ihr Limes eindeutig bestimmt. b) Eine konvergente Folge ist beschränkt. c) Ist (a n ) n k a eine gegen a C konvergente Folge, so gilt: lim a n = a, lim a n = a, lim R(a n ) = R(a), lim I(a n ) = I(a). n n n n Insbesondere gilt: Sind alle a n R, so ist auch a R. Beispiel 42: Geben Sie die ersten 10 Glieder der Folge (a n ) n 1 mit a n = ( ) 1+i n 2 an! Versuchen Sie, Formeln für a n, R(a n ) und I(a n ) zu finden. Bestimmen Sie lim a n, lim a n, lim R(a n), lim I(a n). n n n n

20 20 Satz 2 (Rechenregeln für konvergente Folgen). Es seien a = (a n ) n 1 und b = (b n ) n 1 Folgen. a) Sind a eine Nullfolge und b eine beschränkte Folge, so gilt lim a nb n = 0. n b) Sind a und b konvergente Folgen, so gilt: (i) lim(a n ±b n ) = lim a n ± lim b n und lim(a n b n ) = lim a n lim b n. n n n n n n (ii) Ist lim b n 0, so existiert ein k N, sodass für alle n k gilt: n b n 0 und ( an b n ) n k lim n a n lim n b n. Definition 2. Es sei a = (a n ) n N eine Folge. a) Ist n 0 N, so heißt die Folge (a n ) n n0 ein Endstück der Folge a. b) Ist T N eine unendliche Teilmenge, T = {n 1,n 2,n 3,...} mit n 1 < n 2 < n 3 <..., so heißt die Folge (a ni ) i N = (a n1,a n2,a n3,...) eine Teilfolge von a. c) Ist ϕ: N N eine bijektive Abbildung, so heißt die Folge (a ϕ(j) ) j N = (a ϕ(1),a ϕ(2),a ϕ(3),...) eine Umordnung der Folge a. Satz 3. Ist a = (a n ) n N eine konvergente Folge mit lim n a n = a, und ist die Folge b = (b n ) n N ein Endstück von a oder eine Teilfolge von a oder eine Umordnung von a, oder ist {n N a n b n } eine endliche Menge, so ist auch b konvergent, und es gilt lim b n = a. n Beispiel 43: Geben Sie Endstücke, Teilfolgen bzw. Umordnungen für einige Folgen aus Beispiel 41 an! 4.2 Reelle Folgen Satz 4. Es seien (a n ) n N a und (b n ) n N b konvergente reelle Folgen, und für alle n N sei a n b n. a) Dann gilt: a b. b) [Einzwickkriterium] Ist c = (c n ) n N eine reelle Folge mit a n c n b n für alle n N und ist a = b, so ist auch c konvergent und lim n c n = a.

21 Definition 3. Eine reelle Folge a = (a n ) n N heißt: { { oben a n M nach beschränkt, wenn es ein M R gibt, sodass für alle n N gilt:, unten M a n [streng] monoton wachsend, wenn für alle n N gilt: a n a n+1 [bzw. a n < a n+1 ], [streng] monoton fallend, wenn für alle n N gilt: a n a n+1 [bzw. a n > a n+1 ], monoton, wenn a entweder monoton wächst oder monoton fällt. 21 Beispiel 44: Wieso ist Definition 3 für Folgen mit komplexen Gliedern sinnlos? Satz 5. Ist a = (a n ) n N { eine beschränkte und monotone Folge reeller Zahlen, so ist a sup{a n n N} falls a monoton wächst konvergent mit lim a n =. n inf{a n n N} falls a monoton fällt Erweiterte Zahlengerade: Wir ergänzen R durch 2 weitere Elemente = + und zur erweiterten Zahlengeraden R = R {, }. Ordnungs- bzw. Rechenregeln für R: Für beliebiges a R definiert man: (i) < a < (ii) a± = ± +a = ± a (± ) = ± a = { ± falls a > 0 falls a < 0 und a ± = 0 (iii) + = = ( ) ( ) = ( )+( ) = ( ) = ( ) = = = { oben Ist A R nicht nach beschränkt, so setzt man unten Weiters setzt man sup( ) = und inf( ) =. Intervalle in R: [, ] = R, (, ) = R, (0, ] = R + { } usw. { sup(a) = inf(a) =.

22 22 Definition 4. Eine reelle Folge a = (a n ) n N heißt bestimmt divergent gegen { M < a n es zu jedem M R ein N N gibt, sodass für alle n N gilt: a n < M. { { Schreibweise: (a n ) n N bzw. lim a n = n. {, wenn Beispiel 45: Geben Sie jeweils eine Nullfolge (a n ) n 1 und eine gegen bestimmt divergente Folge (b n ) n 1 an, sodass die Produktfolge (a n b n ) n 1 a) gegen 0 konvergiert b) gegen 3 konvergiert c) bestimmt gegen divergiert d) gegen 2 konvergiert e) weder konvergiert noch bestimmt divergiert. Satz 6. Die Aussagen von Satz 2.b) (falls die entsprechenden Ausdrücke definiert sind), Satz 3 und Satz 4.a) gelten auch für bestimmt divergente Folgen. Satz 4.b): Ist (a n ) n N und a n c n für alle n N, so ist auch (c n ) n N. Satz 5: Eine monotone reelle Folge ist konvergent oder bestimmt divergent. 4.3 Häufungswerte und Satz von Bolzano-Weierstraß { { reelle R Definition 5. Es sei a = (a n ) n N eine Folge. Dann heißt a komplexe C ein Häufungswert der Folge a, wenn es eine Teilfolge (a ni ) i N von a mit lim a ni = a gibt i (d. h.: wenn es eine gegen a konvergente oder bestimmt divergente Teilfolge von a gibt). Beispiel 46: Bestimmen Sie für die Folgen aus Beispiel 41 alle Häufungswerte (welche Probleme treten dabei auf?). Satz 7. Es sei a = (a n ) n N eine reelle oder komplexe Folge und H R (bzw. H C) die Menge der Häufungswerte von a. a) Es gilt: + H a ist reell und nicht nach oben beschränkt. H a ist reell und nicht nach unten beschränkt. b) Für ein a C gilt: a H für jedes ε > 0 gilt: #{n N a n a < ε} =. Beispiel 47: Geben Sie eine reelle Folge an, die als Häufungspunkt besitzt und dennoch nicht bestimmt nach divergiert.

23 Satz 8 (Bolzano Weierstraß). Es sei a = (a n ) n N eine Folge und H die Menge der Häufungswerte von a. a) [reelle Version] Ist a eine reelle Folge, so existieren a,a H R, sodass für alle a H gilt: a a a ; insbesondere ist H. Definition: a = liminf n a n = lim n a n heißt Limes inferior von a und a = limsup n a n = lim n a n heißt Limes superior von a. b) [komplexe Version] Ist a komplex und beschränkt, so ist H. 23 Beispiel 48: a) Welche Eigenschaft besitzt eine komplexe Folge, die keinen Häufungswert besitzt? b) Können Sie eine komplexe Folge mit genau einem Häufungswert angeben, die dennoch nicht konvergiert? Kann es auch eine beschränkte komplexe Folge mit diesen Eigenschaften geben? Beispiel 49: Die Folge (a n ) n 1 sei eine beliebige Abzählung von Q (d. h.: jede rationale Zahl tritt genau einmal als Folgenglied auf.) Kann R die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge sein? (Erinnern Sie sich an die Beispiele 20 und 21!) Bemerkung: Es sei a eine reelle Folge. Für ein x R gilt: x = limsupa n für alle ε > 0 gilt: {n N x+ε < a n } ist endlich und n {n N x ε < a n } ist unendlich. x = liminf n a n für alle ε > 0 gilt: {n N a n < x ε} ist endlich und {n N a n < x+ε} ist unendlich. Satz 9 (Konvergenzkriterium nach Cauchy). Eine (reelle oder komplexe) Folge a = (a n ) n N konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, sodass für alle m,n N gilt: a n a m < ε. Beispiel 50: Geben Sie die,,logisch verneinte Version von Satz 9 an:,,eine (reelle oder komplexe) Folge a = (a n ) n N divergiert genau dann, wenn....

24 24 5. Unendliche Reihen 5.1 Grundbegriffe Definition 1. Es sei k Z und (a i ) i k eine (komplexe) Folge. Unter der unendlichen Reihe a i versteht man die Folge (s n ) n k der Partialsummen s n := n a i. i=k Die unendliche Reihe a i heißt konvergent [bzw. divergent bzw. bestimmt divergent i=k gegen ± ], wenn die Folge (s n ) n k die entsprechende Eigenschaft besitzt. Im Falle (s n ) n k a C R nennt man a die Summe der Reihe. Schreibweise: a = a i = lim s n. i=k n Die Reihe a i heißt absolut konvergent, wenn a i konvergiert. i=k Beispiel 51: Wie lassen sich aus der Folge der Partialsummen (s n ) n k die Summanden a i der dazugehörigen unendlichen Reihe berechnen? Fassen Sie einige konkret angegebene Folgen des vorangegangenen Kapitels (bzw. aus dem Proseminar) als Folge von Partialsummen auf und geben Sie die dazupassenden unendlichen Reihen an! Satz 1. Es seien a i = a und b i = b konvergente Reihen. Dann gilt: i=k i=k a) Für alle m k ist die Reihe a i konvergent und es gilt: b) Für alle α,β C gilt: c) a i = a. i=k i=m i=k (αa i +βb i ) = αa+βb. i=k Beispiel 52: Berechnen Sie j=3 ( 1 i ) j 2 und ( 2 ) j. j= 2 7 i=m i=k a i = a m 1 Beispiel 53: Verwenden Sie Satz 1.b) und die Summenformel für die geometrische Reihe, um folgende Summe zu berechnen: ( j=0 (1 i) ( 2+i 3 )j 2 3 (2 3 ). )j Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium). Die Reihe a i konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, sodass i=k für alle n,m N mit n > m N gilt: n i=m+1 a i < ε. i=k a i.

25 Beispiel 54: Bestimmen Sie für die Reihe i=0 (1 3 )i und für ε = ein N N, sodass die Bedingung des Cauchyschen Konvergenzkriteriums erfüllt ist. Tipp: Es genügt, N so zu wählen, dass i=n+1 (1 3 )i < gilt. (Wieso?) Korollar. a) Ist die Reihe i=k b) Ist die Reihe i=k a i absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. a i konvergent, so gilt lim n a n = Reihen mit reellen Summanden Alternierende Reihen: EineReihemitreellenSummandenund,,abwechselndenVorzeichen (d. h.: 0 sgn(a i ) = sgn(a i+1 )) heißt alternierend. Satz 3 (Leibnizkriterium). Es sei (a i ) i 0 eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist die Reihe ( 1) i a i = a 0 a 1 +a 2 a i=0 konvergent, und für ihre Summe a gilt: n a ( 1) i a i an+1. i=0 Beispiel 55: Wie läßt sich das Leibnizkriterium für alternierende Reihen i=0 b i mit sgn(b i ) = ( 1) i+1 anwenden? Reihen mit nicht-negativen Gliedern: a i mit 0 a i R. Für solche Reihen gilt: die Folge der Partialsummen ist (nicht negativ und) monoton wachsend. Nach 4 (Satz 5 und Definition 4) gilt daher: es existiert lim n s n [0, ]. Satz 4 (Vergleichskriterium). Es seien a i und b i Reihen und k N so, dass für alle i k gilt: a i b i. Dann gilt: a i i=k b i. i=k

26 26 Insbesondere gilt: a) Konvergiert b i, so ist a i absolut konvergent (also auch konvergent), und b i heißt (konvergente) Majorante für a i. b) Ist a i divergent, so divergiert auch b i, und a i heißt (divergente) Minorante für b i. 5.3 Quotienten- und Wurzelkriterium Satz 5 (Quotientenkriterium). Es sei a i eine Reihe mit a i 0 für fast alle i N. a) Gibt es ein q (0,1) und ein N N derart, dass für alle n N gilt: a n+1 a n q, so ist a i absolut konvergent. b) Gibt es ein N N, sodass für alle n N gilt: 1 a n+1 a n, so ist a i divergent. Beispiel 56: Die Reihe i=0 a i werde durch,,mischen der beiden konvergenten geometrischen Reihen i=0 (1 2 )i und i=0 (1 4 )i gebildet, d. h.: (a 0,a 1,a 2,...) = (1,1, 1 2, 1 4,(1 2 )2,( 1 4 )2,( 1 2 )3,( 1 4 )3,...). Zeigen Sie, dass das Quotientenkriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe i=0 a i liefert. Satz 6 (Wurzelkriterium). Es sei a) Ist s < 1, so ist a i absolut konvergent. a i eine Reihe und s = limsup n b) Gibt es unendlich viele n N mit 1 n a n, so ist a i divergent. n an. Dann gilt: Beispiel 57: Zeigen Sie mit dem Wurzelkriterium, dass die Reihe aus Beispiel 56 absolut konvergiert. Beispiel 58: So wie im Beispiel 56 werde die Reihe i=0 a i durch,,mischen der Reihen i=0 2i und i=0 (1 4 )i gebildet. Wieso ist i=0 a i divergent? Zeigen Sie, dass auch für diese Reihe das Quotientenkriterium versagt, das Wurzelkriterium hingegen die richtige Antwort liefert.

27 Allgemeine Summierbarkeit und Umordnung Definition 2. Es seien A und I Mengen. a) Eine Familie von Elementen aus A zur Indexmenge I ist eine Abbildung a : I A i a(i) =: a i Schreibweise: a = (a i ) i I. E(I) := {J J I und #J < } bezeichne die Menge aller endlichen Teilmengen von I. b) Eine Familie komplexer Zahlen zur Indexmenge I, (a i ) i I mit a i C, heißt summierbar, wenn es ein a C mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ε > 0 gibt es eine endliche Teilmenge I ε E(I), sodass für jedes J E(I) mit J I ε gilt: a i Ja i < ε. a heißt dann Summe der Familie (a i ) i I. Schreibweise: a = i Ia i Satz 7 (Hauptkriterium für Summierbarkeit). Eine Familie komplexer Zahlen (a i ) i I ist genau dann summierbar, wenn die Menge { a i J E(I)} beschränkt ist. i J Beispiel 59: Die Menge M = Q [0,1] aller rationalen Zahlen im Intervall [0,1] ist abzählbar (wieso?). a : N M sei eine Abzählung der Menge M (d. h.: eine bijektive Funktion), also M = {a 1,a 2,a 3,...}. Ist n N a n eine summierbare Familie? Hinweis: M enthält unendlich viele Zahlen, die größer als 1 2 sind. Korollar. Für eine Familie komplexer Zahlen (a i ) i N zur Indexmenge N gilt: a) (a i ) i N ist summierbar a i ist absolut konvergent. In diesem Fall gilt: a i = a i. i N b) Ist a i absolut konvergent, so auch jede Umordnung dieser Reihe, und es gilt a i = (ϕ: N N bijektiv). a ϕ(i) Satz 8 (Großer Umordnungssatz). Es sei (a i ) i I eine summierbare Familie komplexer Zahlen zur Indexmenge I und I = I k eine disjunkte Zerlegung der Menge I. k K Dann sind jede Teilfamilie (a i ) i Ik und die Familie der Teilsummen (s k ) k K mit s k = a i summierbar, und es gilt: i I k a i = s k = i I k K k K( a i ). i I k

28 28 Spezialfall von Satz 8 mit Mengen J,K und I = J K als Indexmenge: Doppelreihensatz: Für eine summierbare Familie (a j,k ) (j,k) I gilt: j,k = (j,k) Ia k K( a j,k ) = ( j,k ) j J j J k Ka Satz 9 (Cauchyprodukt von Reihen). Es seien a = a i und b = b i absolut konvergente Reihen, und für alle n N 0 sei i=0 d n = n a i b n i. Dann gilt: i=0 i=0 ( ) ( ) a b = a i b i = i=0 i=0 d n = (a 0 b 0 )+(a 0 b 1 +a 1 b 0 )+(a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 )+(a 0 b 3 +a 1 b )+... Bemerkung: Die Reihe d n heißt das Cauchyprodukt der Reihen a i und b i. i=0 i=0 Beispiel 60: Zeigen Sie, dass der n-te Summand d n des Cauchyproduktes der beiden geometrischen Reihen aus Beispiel 56 gleich ( 1 2 )n 1 ( 1 4 )n ist. Prüfen Sie nach, dass d n = ( )i) ( i=0 (1 2 i=0 (1 4 )i) gilt. 5.5 Potenzreihen Definition 3. Es sei (a n ) n 0 eine Folge in C und z C. Dann heißt die unendliche Reihe P = a n z n = a 0 +a 1 z +a 2 z 2 +a 3 z die Potenzreihe in z mit Koeffizientenfolge (a n ) n 0. Die Menge D P = {z C P konvergiert für z} 0 heißt Konvergenzbereich von P, und die (ebenfalls mit P bezeichnete) Funktion P : D P C z P(z) = a n z n heißt die durch die Potenzreihe P dargestellte Funktion. ρ P = sup{r R P(r) konvergiert} [0, ] heißt der Konvergenzradius von P.

29 Satz 10. Es sei P = a n z n eine Potenzreihe. a) Konvergiert P in einem Punkt z 0 C, so ist P absolut konvergent für alle z C mit z < z 0. b) P ist für alle z C mit z < ρ P absolut konvergent und für alle z C mit z > ρ P divergent; d. h.: K ρp (0) D P K ρp (0) =: {z C z ρ P } bzw. c) Es gilt ρ P = 1 n lim sup an n ρ P = lim n a n a n+1 [Cauchy-Hadamard] [Euler], falls dieser Limes existiert oder die Folge ( a n a n+1 ) n 0 bestimmt divergiert. 29 Definition 4. Es seien P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen in z und c C. Dann definiert man: P ±Q = (a n ±b n )z n c P = i=0 ( n ca n z n und P Q = a i b n i )z n. Satz 11. Sind P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen in z mit Konvergenzradien ρ P,ρ Q > 0, so gilt mit ρ = min{ρ P,ρ Q }: Jede der Potenzreihen P ±Q, P Q und c P (c C) hat einen Konvergenzradius ρ, und für alle z K ρ (0) gilt: (P ±Q)(z) = P(z)±Q(z) (P Q)(z) = P(z)Q(z) und (cp)(z) = c P(z). Beispiel 61: Gegeben sind die Potenzreihen P = ( 1)n z n und Q = zn. Geben Sie die Potenzreihen P +Q, P Q und PQ an! Berechnen Sie für z K 1 (0): P(z),Q(z),(P +Q)(z),(P Q)(z) und (PQ)(z). Überprüfen Sie mit Satz 11, ob Sie sich nicht verrechnet haben!

30 30 Satz 12. Es sei P = a n z n eine Potenzreihe in z mit Konvergenzradius ρ = ρ P > 0. Dann gilt: a) [Approximationssatz] Variante i: Für jedes r mit 0 < r < ρ und jedes N N gibt es ein (von r und N abhängiges!) c R, sodass für alle z C mit z r gilt: N 1 P(z) a n z n = a n z n c z N Variante ii: Ist 0 < r < r < ρ, so gibt es ein N 0 N, sodass für alle N N 0 und für alle z C mit z r gilt: N 1 P(z) a n z n r ( r N r r r) b) Sind nicht alle a n = 0, so gibt es ein r > 0, sodass für alle z K r (0) \ {0} gilt: P(z) 0. Korollar (Identitätssatz für Potenzreihen). Sind P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen mit Konvergenzradien ρ P,ρ Q > 0, ρ = min{ρ P,ρ Q },undgibteseinenullfolge(z k ) k N ink ρ (0)mitz k 0undP(z k ) = Q(z k ) für alle k N, so gilt: n=n für alle n N 0 ist a n = b n (d. h.: P = Q). Satz 13 (Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen). Es seien P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen mit Konvergenzradien ρ P,ρ Q > 0. Für n N 0 sei Q n = Q Q... Q = }{{} n das (n 1)-fache Cauchyprodukt von Q mit sich. k=0 b (n) k zk Ist b 0 < ρ P, so existiert ein ρ > 0, sodass für alle z K ρ (0) gilt: Q(z) < ρ P und ( ) ( ) P(Q(z)) = a n b (n) k zk = a n b (n) k z k...potenzreihe P(Q). k=0 k=0

31 31 6. Stetige Funktionen 6.1 Grundbegriffe der Stetigkeit Definition 1. Es sei φ D C und x 0 D. a) Eine Funktion f: D C heißt stetig im Punkt x 0, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit folgender Eigenschaft gibt: für jedes x D mit x x 0 < δ gilt: f(x) f(x 0 ) < ε ; andernfalls heißt f unstetig im Punkt x 0. f heißt stetig in D, wenn f in jedem Punkt x 0 D stetig ist. b) Eine Teilmenge U D mit x 0 U heißt Umgebung von x 0 relativ zu D (oder: in D), wenn es ein ε > 0 mit K ε (x 0 ) D U gibt. Beispiel 62: Die Funktion f: [ 2,2] R sei gegeben durch f(x) = sgn(x) (vgl. 2, Def. 2). Zeigen Sie, dass f an der Stelle x 0 = 0 unstetig ist, an allen anderen Stellen x 0 [ 2,2]\{0} jedoch stetig ist. (Versuchen Sie, Beispiel 1. und 2. aus der Vorlesung nachzuahmen!) Satz 1. Für eine Funktion f: D C und ein x 0 D sind folgende Aussagen äquivalent: a) (ε-δ-definition) f ist stetig im Punkt x 0. b) (topologische Definition) Zu jeder Umgebung V von f(x 0 ) in C gibt es eine Umgebung U von x 0 in D mit f(u) V. c) (Definition mit Grenzwerten) Für jede Folge (x n ) n 1 mit x n D und lim x n = x 0 gilt: lim f(x n ) = f(x 0 ) n n Beispiel 63: Lösen Sie Beispiel 62, indem Sie die Stetigkeitsdefinition mit Grenzwerten (Satz 1.c) verwenden. Welche Lösungsmethode ist Ihnen sympathischer bzw. ist,,schneller? Beispiel 64: Gegeben ist die Funktion f: C C durch f(z) = z 2. a) Berechnen Sie z 0 = f(2+i)! b) Es sei V die Menge aller komplexen Zahlen, deren Abstand zu z 0 nicht größer als 1 ist. Geben Sie die Menge V in mathematischer Schreibweise an. Ist V eine Umgebung von z 0? c) Geben Sie eine Umgebung U von 2+i an, für die f(u) V gilt. Tipp: Wählen Sie für U eine,,genügend kleine Kreisscheibe um 2+i. Satz 2. Es seien f,g: D C Funktionen, die im Punkt x 0 D stetig sind. Dann gilt: a) f +g, f g und fg sind im Punkt x 0 stetig. b) Ist g(x 0 ) 0, so ist f g in einer Umgebung von x 0 in D definiert und im Punkt x 0 stetig. Hilfslemma zum Beweis von b): Ist g(x 0 ) a C, so existiert ein δ > 0 derart, dass für alle x K δ (x 0 ) D gilt: g(x) a. c) Ist E g(d) und h: E C stetig im Punkt g(x 0 ), so ist h g stetig im Punkt x 0.

32 32 Beispiel65: a)zeigensiemithilfevonsatz1.c), dassdieidentität(z z)sowiejedekonstante Funktion (z c für ein beliebig gewähltes c C) als Funktion von C nach C stetig sind. b) Verwenden Sie Teil a) und Satz 2 um zu zeigen, dass folgende Funktionen stetig sind: f 1 : C C f 2 : C\{0} C f 3 : C\{1,3} C z z 2 3z z z 4 z 2 z iz2 7i+2 z 2 4z Stetige reelle Funktionen Satz 3. Es seien a < b R, f: [a,b] C stetig und injektiv, und B = f([a,b]). Dann ist auch die Umkehrfunktion f 1 : B [a,b] stetig. Beispiel 66: Gegeben ist die Funktion f: [ 1,1] C mit f(x) = (1+ix) 2. a) Überlegen Sie sich, wieso f stetig ist. b) Skizzieren Sie Graph(f) und zeigen Sie, dass f injektiv ist. Welche Information liefert Satz 3 für f? c) Versuchen Sie, die Umkehrfunktion von f anzugeben (schwierig?!). Satz 4 (Zwischenwertsatz). Es sei f: [a,b] R eine stetige Funktion und γ R eine reelle Zahl zwischen f(a) und f(b). Dann gibt es ein c [a,b] mit f(c) = γ. Beispiel 67: Für die Funktion aus Beispiel 62 sind sowohl die Voraussetzungen als auch die Behauptung des Zwischenwertsatzes (ZWS) falsch (machen Sie sich dies klar!). Können Sie eine reelle Funktion angeben, die zwar die Voraussetzungen des ZWS nicht erfüllt, für die aber die Behauptung des ZWS wahr ist? Korollar (Fixpunktsatz). Ist f: [a,b] R stetig und f([a,b]) [a,b], so existiert ein x 0 [a,b] mit f(x 0 ) = x 0. (x 0 heißt dann ein Fixpunkt der Funktion f.) Korollar (Satz von der Intervalltreue). Es sei I R ein Intervall und f: I R stetig und nicht konstant. Dann ist f(i) ein Intervall mit Randpunkten c = inf(f(i)) und d = sup(f(i)). Beispiel 68: Geben Sie eine konkrete (nicht konstante) reelle Funktion an, die die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt. Können Sie einen Fixpunkt dieser Funktion bestimmen? Weisen Sie nach, dass für diese Funktion auch die Aussage des Satzes von der Intervalltreue richtig ist! Korollar. Es sei I R ein Intervall und f: I R stetig. Dann gilt: f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist.

33 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen Definition 2. a) Ein Punkt b C heißt Berührpunkt der Menge B C, wenn es eine gegen b konvergente Folge (b n ) n 1 in B gibt (d. h.: es gibt b n B mit lim n b n = b). B := {b b ist Berührpunkt von B} heißt die abgeschlossene Hülle von B. b) Eine Teilmenge A C heißt abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge (a n ) n 1 in A gilt: lim n a n A. c) Eine Teilmenge K C heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beispiel 69: Überlegen Sie sich, dass die Menge A = {z C R(z) + I(z) < 1} ein Quadrat,,ohne Randlinie ist. Zeigen Sie, dass A eine beschränkte Teilmenge von C ist. Zeigen Sie, dass i ein Berührpunkt von A ist; ebenso 1, 1 2 i 2,... Können Sie beweisen, dass für A, die Menge aller Berührpunkte von A, gilt: Wieso ist A nicht kompakt, A jedoch schon? A = {z C R(z) + I(z) 1}? Satz 5. a) Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen [bzw. kompakten] Teilmengen von C ist abgeschlossen [bzw. kompakt]. b) Der Durchschnitt von (beliebig vielen) abgeschlossenen [bzw. kompakten] Teilmengen von C ist abgeschlossen [bzw. kompakt]. c) Ist K C kompakt und A C abgeschlossen, so ist A K kompakt. Beispiel 70: Können Sie eine Familie von abgeschlossenen Intervallen (I n ) n N angeben, für die I n = (0,2) [ bzw. I n = (0,2) ] gilt? n N n N Satz 6 (Bolzano-Weierstraß-Charakterisierung von,,kompakt ). Eine Teilmenge K C ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K einen Häufungswert in K besitzt (d. h.: eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt von K konvergiert). Satz 7. Es sei K C eine kompakte Menge, f: K C eine stetige Funktion und B = f(k). Dann gilt: a) B ist kompakt. b) (Verallgemeinerung von Satz 3) Ist f injektiv, so ist auch die Umkehrfunktion f 1 : B K stetig. Korollar (Satz vom Minimum und Maximum reellwertiger Funktionen). Ist K C kompakt und f: K R stetig, so existieren x 1,x 2 K mit f(x 1 ) = minf(k) und f(x 2 ) = maxf(k).

34 34 Beispiel 71: Es sei A = {( 1 3 )n n N}. a) Warum ist die Menge A nicht kompakt, die Menge B = A [ 1,0] jedoch schon? b) Die reelle Funktion f: A R sei gegeben durch f(x) = 1 x. Überlegen Sie sich, wieso f in jedem Punkt von A stetig ist. Zeigen Sie, dass f(a) nicht kompakt ist! (Wieso ist dies kein Widerspruch zu Satz 7.a)?) Zeigen Sie, dass f kein Maximum besitzt! (Wieso ist dies kein Widerspruch zum Korollar von Satz 7?) Beispiel 72: Gegeben seien A = K 1 (0) = {z C z 1} und die reellwertige Funktion f: A R, definiert durch f(z) = R(z) 2 +I(z) 2. Erinnern Sie sich, dass in der Vorlesung gezeigt wurde, dass A kompakt bzw. f stetig ist? Welche Information über die Funktion f liefert das Korollar zu Satz 7? Können Sie minf(a) bzw. maxf(a) bestimmen? Satz 8. Es sei n N und f(z) = z n +a n 1 z n a 1 z +a 0 eine (komplexe, nicht konstante) Polynomfunktion. Dann gilt: a) Die Funktion f besitzt auf C ein Minimum. b) Für z 0 C mit f(z 0 ) 0 ist f(z 0 ) kein Minimum von f. Korollar (Fundamentalsatz der Algebra). Jede nicht konstante Polynomfunktion f besitzt eine Nullstelle in C. 6.4 Grenzwerte von Funktionen Definition 3. Es sei A C. Ein Punkt a C heißt Häufungspunkt der Menge A, wenn a ein Berührpunkt der Menge A\{a} ist ( a A\{a} Folge (a n ) n 1 mit a a n A und lim n a n = a). A := {a C a ist Häufungspunkt von A}...die Menge aller Häufungspunkte von A. Ein Punkt a A heißt isolierter Punkt von A, wenn a / A gilt. Satz 9. Es sei A C und a C. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) a ist ein Häufungspunkt der Menge A. b) Jede Umgebung von a (in C) enthält unendlich viele Elemente von A. c) Für jedes ε > 0 gilt: #{x A x a < ε} =.